Control Clásico y Moderno

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Elizabeth Villota

Control Cl´asico y Moderno

– Notas de Clase MT221 –

29 de abril de 2012

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´Indice general

1. Modelado de sistemas . . . . 1

1.1. Conceptos en modelado . . . 1

1.1.1. Contribución al modelado de la mecánica y de la ingenier´ıa eléctrica . . . 1

1.2. Modelos espacio de estados . . . 3

1.2.1. Ecuaci´on diferencial ordinaria . . . 3

1.2.2. Ecuaci´on en diferencias finitas . . . 5

1.3. Ejemplo: Control de rapidez (control crucero) . . . 6

1.4. M´as sobre modelado de sistemas . . . 7

1.5. M´as ejemplos . . . 8

1.5.1. Ejemplo: Circuito RLC . . . 8

1.5.2. Ejemplo: Motor DC y acoplamiento flexible . . . 9

1.5.3. Ejemplo: Diagrama de bloques del motor DC . . . 12

1.5.4. Ejemplo: Doble filtro pasa-baja RC . . . 12

1.5.5. Ejemplo: Horno el´ectrico . . . 14

2. Sistemas Lineales . . . . 17

2.1. Definiciones b´asicas . . . 17

2.1.1. Linealidad . . . 17

2.1.2. Invariancia en el tiempo . . . 18

2.2. Respuesta a la condici´on inicial . . . 19

2.2.1. Ejemplo: Integrador doble . . . 20

2.2.2. Ejemplo: Oscilador sin amortiguamiento . . . 21

2.3. Respuesta entrada/salida . . . 21

2.3.1. Ecuaci´on de convoluci´on . . . 22

2.3.2. Respuesta en estado estacionario . . . 23

2.4. Polos, ceros y ganancia . . . 25

2.5. Otros . . . 27

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Cap´ıtulo 1

Modelado de sistemas

Un modelo es una representación puntual de la dinámica del sistema y es usada con la finalidad de responder preguntas mediante análisis y simulación. El modelo que se elige depende del tipo de preguntas que se desee responder, y como tal, existe más de un tipo de modelo para un mismo sistema dinámico, con diferentes niveles de fidelidad dependiendo del fenómeno de interés.

1.1. Conceptos en modelado

Unmodeloes una representación matemática de un sistema f´ısico, biológico o de información. El modelo permite razonar en relación al sistema y hacer predicciones con respecto a como se comportará un sistema. En esta parte nuestro interés es emplear modelos de sistemas dinámicos que describan el comportamiento entrada/salida de un sistema y para esto adoptaremos la representación en la forma espacio de estados.

En su forma más elemental, unsistema dinámicoes aquel donde los efectos de las acciones (entradas) no se presen-tan inmediatamente. Por ejemplo, la rapidez de un veh´ıculo no cambia inmediatamente después de presionado el pedal del freno, asi como tampoco un dolor de cabeza desaparece justo después de haber tomado una aspirina. Un ejemplo en el ámbito financiero ser´ıa que los beneficios de una inversión no se perciben a corto plazo, estos se presentan solo a largo plazo (si fue una buena inversión). Como caracter´ıstica fundamental todos estos ejemplos de sistemas dinámicos presentan un comportamiento que evoluciona en el tiempo.

1.1.1. Contribución al modelado de la mecánica y de la ingenier´ıa eléctrica

En mecánica, el estudio de la dinámica surgió al intentar describir el movimiento planetario1. Uno de los triunfos de la mecánica Newtoniana fue la observación de que el movimiento de los planetas pod´ıa ser predecida en base a las posiciones y velocidades actuales de todos los planetas. El estado de un sistema dinámico es la colección de variables que caracteriza completamente el movimiento de un sistema con el propósito de predecir el movimiento futuro. Al conjunto de todos los estados posibles se le denomina espacio de estados.

Un clase común de modelos matemáticos para sistemas dinámicos es representado por ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE, por sus siglas en inglés). En mecánica una de esas ecuaciones diferenciales es:

m ¨q+ c( ˙q) + kq = u, (1.1)

donde u representa el efecto de entradas externas. El modelo (1.1) es llamado ecuación diferencial controlada o forza-da. Cuando u= 0, el modelo se denomina ecuación diferencial libre. Este modelo puede fácilmente representar un sistema dinámico tal como el sistema masa-resorte con amortiguamiento, ver Fig. 1.1. La variable q∈ R representa la posición de la masa m con respecto a su posición de reposo. Se emplea ˙q para referirse a la derivada con respecto al

1_{En base a la observaci´on detallada de los planetas realizada por Tycho Brahe y los resultados de Kepler, se encontr´o empiricamente que}

las ´orbitas de los planetas pod´ıan ser descritas por elipses.

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tiempo de q (velocidad de la masa) y ¨q para representar a la segunda derivada (aceleraci´on). Decimos que el sistema es de segunda orden dado que la din´amica depende de las dos primeras derivadas de q.

c (q) q

m

k

Figura 1.1 Masa-resorte con amortiguamiento

La evolución de la posición y la velocidad pueden ser descritos usando ya sea una gráfica en el tiempo o un diagrama del plano de fase, ambos mostrados en Fig. 1.2. La gráfica en el tiempo muestra los valores de los estados individual-mente como función del tiempo. El diagrama del plano de fase muestra la evolución de la velocidad en relación a la posición, permitiendo asi visualizar el campo vectorial del sistema (velocidad denotada por las flechas).

0 5 10 15 −2 −1 0 1 2 Time t [s] P o si ti o n q [m ], v el o ci ty ˙q [m /s ] Position Velocity −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 Position q [m] V el o ci ty ˙q [m /s ]

Figura 1.2 Ilustraci´on de un modelo de estados

El adicionar la entrada u al sistema enriquece al sistema y permite que podamos respondar otras preguntas. Por ejemplo, el efecto que los disturbios externos tienen en la trayectoria del sistema. En el caso de que se pueda manipular la variable de entrada u de una forma controlada, es posible analizar si se puede llevar o no el sistema de un punto a otro en el espacio de estados a trav´es de una apropiada selecci´on de la entrada.

La ingenier´ıa eléctrica presentó una visión diferente del modelado, donde el diseño de amplificadores electrónicos llevó a un enfoque tipo entrada/salida. Un sistema era un dispositivo que transformaba entradas en salidas, como mostrado en Fig. 1.3. La estructura entrada/salida se usa en muchas disciplinas de la ingenier´ıa puesto que permite descomponer un sistema en sus componentes individuales y conectarlos a través de sus entradas y salidas. As´ı se puede tomar un sistema complicado como una radio o televisión y se descompone en piezas tales como el receptor, demodulador, amplificador, parlantes, etc. Cada una de estas piezas tiene un conjunto de entradas y salidas y, a través de un diseño apropiado, se pueden interconectar para formar el sistema completo.

Cuando la teor´ıa de control emergió como una disciplina en los 1940s, el abordaje adoptado estaba fuertemente influenciado por la visión de la ingenier´ıa eléctrica (entrada/salida). La segunda ola de desarrollo en control se vió in-fluenciada por la mecánica, donde se usó la perspectiva espacio de estados. El afán por realizar vuelos espaciales es un ejemplo t´ıpico de como comenzaron a fusionarse estos dos puntos de vista hasta llegar a ser lo que hoy en dia se conoce como la representación espacio de estados de sistemas de entrada/salida. Espec´ıficamente, uno de los problemas que se presentó fue el de controlar la órbita de un nave espacial. As´ı, el desarrollo de modelos espacio de estados involucraba modificar los modelos mecánicos para incluir sensores y actuadores y utilizar ecuaciones con formas más generales. Luego el modelo dado por la ecuación (1.1) fue reemplazado por:

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1.2 Modelos espacio de estados 3 7 +v –v vos adj (+) (–) Inputs Output 3 2 6 4 Q9 Q1 Q2 Q3 Q4 Q7 Q5 R1 R12 R8 R7 R9 R10 R11 R2 Q6 Q22 Q17 Q16 Q18 30pF Q15 Q14 Q20 Q8 System Input Output

Figura 1.3 Diagrama entrada/salida

dx

dt = f (x, u), y= h(x, u),

(1.2)

donde x es el vector de variables de estado, u es el vector de señales de control y y es un vector de (señales) medidas. El término dx_dt representa la derivada de x con respecto al tiempo, ahora considerado un vector, y f y h son mapeamien-tos (posiblemente no lineales) de sus argumenmapeamien-tos a vectores de dimensión apropiada. Para sistemas mecánicos, caso sistema masa resorte con amortiguamiento, el estado consiste en la posición y velocidad de la masa.

Para complementar la idea de modelado, cabe destacar que un desarrollo final en la construcción del problema con una visión de la teor´ıa de control viene dado por la inclusión de disturbios e incertezas del modelo2_.

Una observación a destacar en el modelado para diseño de sistemas de control es que el sistema por realimentación puede ser a menudo analizado y diseñado en base a modelos relativamente simples. La justificación se encuentra en la robustez inherente que presentan los sistemas de control por realimentación. Sin embargo, otro tipo de uso de modelos requiere de más complejidad y precisión. Un ejemplo son las estrategias de control por alimentación anticipada, donde uno usa el modelo para precalcular las entradas que harán que el sistema responda de cierta forma. Otra área es la de validación de sistemas.

1.2. Modelos espacio de estados

Esta sección presentará dos formas principales de modelos a ser usadas en clase. Ambas hacen uso de nociones de estado, entrada, salida y dinámica para describir el comportamiento de un sistema.

1.2.1. Ecuaci´on diferencial ordinaria

El estado de un sistema es la colección de variable que resume el pasado de un sistema con el propósito de predecir el futuro. Para un sistema f´ısico el estado está compuesto de las variables necesarias para el almacenamiento de masa, momento y energia. Una cuestión importante en el del modelado es el decidir cuan exacta debe ser la representación de este almacenamiento. Las variables de estado son representadas por un vector x∈ Rn_{llamado el vector de estados.} Las variables de control son representadas por otro vector u∈ Rp_{, y la señal medida por el vector y}_{∈ R}q_{. Un sistema} se puede representar entonces por la ecuación diferencial:

dx

dt = f (x, u), y= h(x, u),

(1.3)

(8)

donde f : Rn× Rp_{7→ R}n_{y h : R}n_{× R}p_{7→ R}q_{son mapeamientos suaves. Un modelo de esta forma se llama modelo} espacio de estados.

La dimensión del vector de estados es llamada orden del sistema. El sistema (1.4) es llamado invariante en el tiempo porque f y h no dependen explicitamente del tiempo t; existen sistemas variantes en el tiempo más generales donde las funciones si dependen del tiempo. El modelo consiste en dos funciones: la función f que provee la variación del vector de estados con respecto al tiempo en función del estado x y el control u, y la función h que provee los valores medido como función del estado x y del control u.

Un sistema se denomina sistema de espacio de estados lineal si las funciones f y h son lineales en x y u. Un sistema espacio de estados lineal puede ser representado por:

dx

dt = Ax + Bu, y= Cx + Du,

(1.4)

donde A, B, C y D son matrices. Si estas matrices son constantes, entonces se dice que tal sistema es lineal e invariante en el tiempo, LTI por sus siglas en inglés. La matriz A es llamada matriz dinámica o matriz de estados, la matriz B es llamada la matriz de control o matriz de entradas, la matriz C es llamada matriz del sensor o matriz de salidas, y la matriz D es llamada la matriz del término directo.

Generalizando la ecuación dinámica de segundo orden estudiada en mecánica, resulta una ecuación de la forma: dny

dtn+ an−1 dn−1y

dtn−1 + ... + aoy= u, (1.5)

donde t es la variable independiente, y(t) es la variable de (salida) dependiente y u(t) es la entrada. La notación d k_y dtk denota la k-ésima derivada con respecto a tiempo t, a veces denotada por y(k). La ecuación diferencial controlada (1.5) se dice que es un sistema de n-ésima orden. Este sistema se puede convertir en la forma espacio estado definiendo:

x=        x1 x2 .. . xn−1 xn        =        y dy/dt .. . dn−2y/dtn−2 dn−1y/dtn−1        , (1.6)

y la ecuaci´on espacio de estados resulta:

d dt        x1 x2 .. . xn−1 xn        =        x2 x3 .. . xn −aox1− ... − an−1xn        +        0 0 .. . 0 u        , y= x1. (1.7)

Con la definición apropiada de A, B, C y D, esta ecuación se puede definir en la forma espacio de estados lineal. Una forma aún más general se obtiene dejando que la salida sea una combinación lineal de los estados del sistema, por ejemplo:

y= b1x1+ b2x2+ ... + bnxn+ du. (1.8)

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1.2 Modelos espacio de estados 5 d dt        x1 x2 x3 .. . xn        =        0 1 ... 0 0 .. . ... 0 0 1 0 0 0 ... 0 1

−a0−a1... −an−2−an−1

       x+        0 0 .. . 0 1        u, y=b1b2... bn x+ du. (1.9)

Esta forma particular de un sistema lineal en espacio de estados se llama forma can´onica controlable.

La ecuaci´on (1.4) puede ser dibujada como un diagrama de bloques en la Fig. 1.4. Las dobles lineas indican que cantidades vectoriales (m´ultiples variables) son pasadas entre los bloques.

+ + A C B

∫

x(t) u(t) x(t)· y(t) D + + Block diagram of a

general continuous linear

Figura 1.4 Diagrama de bloques de un modelo espacio de estados lineal cont´ınuo general

1.2.2. Ecuaci´on en diferencias finitas

Muchas veces resulta más natural describir la evolución de un sistema en instantes de tiempo discretos en vez de continuamente en el tiempo. Si uno se refiere a cada uno de estos tiempos usando un número entero k= 0, 1, 2..., entonces se puede hacer la pregunta de cómo cambia el estado para cada k. Como se hizo en el caso de ecuaciones diferenciales ordinarias, se define como estado a los conjuntos de variable que resumen el pasado del sistema para propósitos de predicción de su futuro. Los sistemas que se describen de esa manera se denominan sistemas de tiempo discreto o sistemas discretos.

La evoluci´on de un sistema discreto se puede escribir de la forma: x[k + 1] = f (x[k], u[k]),

y[k] = h(x[k], u[k]), (1.10)

donde x[k] ∈ Rn_{es el estado del sistema en el tiempo k, u}_{[k] ∈ R}p_{es la entrada y y}_{[k] ∈ R}q_{es la salida. Como antes, f y} h son mapeamientos suaves de dimensión apropiada. La ecuación (1.10) se denomina ecuación en diferencias porque nos dice como x[k + 1] difiere de x[k]. El estado x[k] puede ser una cantidad escalar o un vector; en caso de ser un vector usaremos xj[k] para denotar al j-ésimo elemento del vector x (o j-ésimo estado) en el instante de tiempo k.

Como en el caso de ecuaciones diferenciales, a menudo las ecuaciones son lineales en el estado y la entrada, en cuyo caso el sistema puede ser descrito por:

x[k + 1] = Ax[k] + Bu[k],

y[k] = Cx[k] + Du[k], (1.11)

Como en el caso anterior, nos referimos a las matrices A, B, C y D como matriz de la din´amica, la matriz de control, matriz del sensor y matriz del t´ermino directo.

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1.3. Ejemplo: Control de rapidez (control crucero)

El control de rapidez de un veh´ıculo es un problema común de sistema por realimentación que encontramos en nuestro quehacer diario. El sistema intenta mantener una rapidez constante en la presencia de disturbios. El control compensa el efecto de los disturbios midiendo la rapidez del veh´ıculo y ajustando la válvula de alimentación de com-bustible apropiadamente (para acelerar o desacelerar).

Para modelar el sistema tenemos el diagrama de bloques de la Fig. 1.5. Sea v la rapidez del carro y vr la rapidez (deseada) referencia. El controlador recibe las señales v y vry genera la señal de control u que es enviada al actuador que controla la posición de la válvula de alimentación. La posición de la válvula de alimentación a su vez controla el torque desarrollado por el motor, que es transmitido a través de los engranajes y las ruedas, generando una fuerza F que mueve el carro. Existen duerzas de disturbios Fddebido a las variaciones en la pendiente de la superficie, la resistencia al deslizamiento de las ruedas y fuerzas aerodinámicas. El control de rapidez también tiene una interface humano-máquina que permite que el conductor establezca y modifique la rapidez de referencia. También existen funciones que desconectan el control de rapidez cuando se presiona el freno.

Gears & Actuator vr Controller Body Throttle & Engine Fd v cancel resume/accel set/decel on/off Driver Interface T F u Wheels

Figura 1.5 Diagrama de bloques del control de rapidez

Para comenzar a desarrollar un modelo matemático comenzamos con un balance de fuerzas para el cuerpo del vehiculo. Sea v la rapidez del vehiculo, m es la masa total (incluyendo pasajeros), F es la fuerza generada por el motor y Fdes la fuerza de disturbio debido a la aceleración de la gravedad, fricción y arrastre aerodinámico. La ecuación de movimiento del carro es:

mdv

dt = F − Fd. (1.12)

La fuerza F es generada por el motor, cuyo torque T es proporcional a la razón de inyección de combustible, que es a su vez proporcional a la señal de control 0≤ u ≤ 1 que controla la posición de la válvula de alimentación. El torque depende de la velocidad angular del motorω. El torque puede ser representado por la siguiente expresión:

T(ω) = Tm(1 −β(_ωω m

− 1)2_), _(1.13)

donde Tmes el torque máximo obtenido a la velocidad angular del motorωm. Parámetros tipicos son Tm= 190Nm, ωm= 420rad/s (para 4000 rpm) yβ = 0,4. Sea n la razón de los engranajes y r el radio de la rueda.La velocidad del motor es relacionada a la rapidez a trav’es de:

ω=n

rv=αnv, (1.14)

y la fuerza F se puede escribir como:

F=nu

r T(ω) =αnuT(αnv). (1.15)

Valores t´ıpicos deαnpara engranajes del 1 al 5 sonα1= 40,α2= 25,α3= 16,α4= 12 yα5= 10.

La fuerza de disturbio tiene tres componentes principales: Fg, fuerzas debido a la acción de la gravedad; Fr, fuerza debido a la resistencia al deslizamiento; y Fa, fuerza del arrastre aerodinámico. Si asumimos una pendiente de la superficieθ, la gravedad dota de la fuerza Fg= mgsinθ, como mostrado en la Fig. 1.6, donde g= 9,8m/s2. Un modelo simple de fricción es:

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1.4 M´as sobre modelado de sistemas 7

Fr= mgCrsgn(v),

Cr= 0,01 es coeficiente de fricción, sgn es la función signo de v (±1) o cero si v = 0. Un valor tipico de Cr es 0.01. Finalmente, el arrastre aerodinámico es proporcional al cuadrado de la rapidez:

Fa= 1 2ρCdAv

2_,

dondeρ= 1,3 kg/m3_{es la densidad del aire, C}

d= 0,32 es el coeficiente de arrastre aerodin´amico que depende de la forma del vehiculo, A= 2,4m2_{es el ´area frontal del carro.}

Resumiendo, encontramso que el carro puede ser modelado por: mdv

dt =αnuT(αnv) + −mgCrsgn(v) − 1 2ρCdAv

2_{− mgsin}_θ_.

El modelo es un sistema dinámico de primer orden. El estado es la rapidez del vehiculo, que también es la salida. La entrada es la señal u que controla la posición de la válvula de alimentación, y el disturbio e sla fuerza Fd, que pedende de la pendiente de la superficie. El sistema es no lineal puesto que el torque se define como en (1.13), el término relacionado a la fuerza gravitacional y el carácter no lineal de la fricción y arrastre aerodinámico.

g F

mg F

θ

Figura 1.6 Efecto de las fuerzas gravitacionales

1.4. M´as sobre modelado de sistemas

El principal objetivo del análisis de sistemas es la predicción de la forma en la que el sistema responderá a varias entradas y como éstas respuestas cambian para diferentes valores de los parámetros del sistema. En la ausencia del modelado de sistemas, los ingenieros se ven forzados a construir prototipos del sistema para poder probarlos. Los datos obtenidos en las pruebas de los prototipos f´ısicos son muy valiosos, sin embargo los costos en tiempo y dinero para obtener estos datos muchas veces no permiten su realización. Adicionalmente, los modelos matemáticos son inherentemente más flexibles que los prototipos f´ısicos y permiten un rápido refinamiento de los diseños del sistema para optimizar varias medidas de desempeño. En consecuencia, uno de los objetivos del análisis de sistemas es el establecer un modelo matemático adecuado que pueda ser usado para obtener información equivalente a la que se podrá conseguir de varios prototipos f´ısicos diferentes. De esta forma, aún si un prototipo final es construido para verificar el modelo matemático, el modelador se ha ahorrado un tiempo y dinero significativos.

Un modelo matemático es un conjunto de ecuaciones que describe completamente las relaciones entre las variables del sistema. Es usado como una herramienta para desarrollar diseños y algoritmos de control, y la tarea principal para la que será usado tiene implicaciones básicas para la elección del modelo del sistema. De ahi que los modelos del sistema deben ser lo más simples posible, y cada modelo debe ser desarrollado con alguna aplicación espec´ıfica en mente. De hecho, de esta forma se tendrá diferentes modelos construidos para diferentes usos del mismo sistema. En el caso de modelos matemáticos, diferentes tipos de ecuaciones serán usadas para describir al sistema en sus varias aplicaciones. La Tabla 1 clasifica a los modelos del sistema de acuerdo a los cuatro criterios más comunes: aplicación del principio de superposición, dependencia en coordenadas espaciales as´ı como en el tiempo, variación de los parámetros en el tiempo, y continuidad de las variables independientes. En base a estos criterios, los modelos de sistemas dinámicos son clasificados como lineales y no lineales, concentrados y distribuidos, estacionarios invariantes en el tiempo o variantes

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en el tiempo, cont´ınuos o discretos, respectivamente. Cada clase de modelo es también caracterizada por el tipo de ecuación matemática empleada en la descripción del sistema.

Tipo de modelo Criterio de clasificación Tipo de ecuación de modelo Nolineal Principio de superposición no aplica Ecuaciones diferenciales no lineales Lineal Principio de superposición aplica Ecuaciones diferenciales lineales Distribuido Variables dependientes son función de

co-ordenadas espaciales y el tiempo

Ecuaciones diferenciales parciales Concentrado Variables dependientes son

independi-entes de las coordenadas espaciales

Ecuaciones diferenciales ordinarias Variantes en el tiempo Par´ametros del modelo varian en el

tiem-po

Ecuaciones diferenciales con coeficientes que varian tiempo

Estacionario Par´ametros del modelo son constantes en el tiempo

Ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes

Cont´ınuo Variables dependientes definidas sobre rango cont´ınuo de variables independi-entes

Ecuaciones diferenciales

Discreto Variables dependientes definidas solo para distintos valores de variables independi-entes

Ecuaciones por diferencias finitas

Cuadro 1.1 Clasificaci´on de modelos del sistema

1.5. M´as ejemplos

1.5.1. Ejemplo: Circuito RLC

Se desea formular un modelo donde el voltaje terminal v sea la entrada y el voltaje en el capacitor vCsea la salida. Las leyes de Ohm y Kirchoff permiten obtener la siguiente relaci´on para los voltajes:

Ri(t) + Ldi(t)

dt + vC(t) = v(t). (1.16)

Para el capacitor se sabe que:

CvC(t) = q(t) → C dvC(t)

dt =

dq(t)

dt = i(t). (1.17)

De estas ecuaciones se puede ver inmediatamente que: ˙i = −R Li− 1 LvC+ 1 Lv, ˙ vC = 1 Ci. (1.18)

La dependencia del tiempo se ha omitido por simplicidad.

R _L C vC i v Figura 1.7 Circuito RLC

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1.5 M´as ejemplos 9

El sistema puede ser descrito por las dos ecuaciones diferenciales de primer orden acopladas mostradas en (1.18). Reescribiendo las ecuaciones en la forma de espacio de estados:

 ˙i ˙ vC =    −R L − 1 L 1 C 0    i vC + " 1 L 0 # v. (1.19)

Si las variables de estado y las matrices del sistema son definidas como:

x= i vC , ˙x = ˙i ˙ vC , A =    −R L − 1 L 1 C 0    , B = " 1 L 0 # , u = v,

la ecuaci´on (1.19) puede ser reescrita en forma compacta como: ˙

x= Ax + Bu.

Un diagrama de bloques del sistema es mostrado en la Fig. 1.8. Notar que los elementos del vector de estados x, i(t) y

∫

R L ---1 L ---1 C ----1 L ---

∫

v t( ) ₊ i t( ) i t( ) v·_c( )t v_c( )t _ _

Figura 1.8 Diagrama de bloques del circuito RLC

vC(t), son salidas de los dos integradores en el diagrama de bloques.

Dado que el voltaje del capacitor es la salida. Una segunda ecuación debe ser aumentada a la descripción del problema, la ecuación de salida:

y= vC=

0 1x. (1.20)

La combinaci´on de (1.19) y (1.20) es llamada el modelo espacio de estados del sistema.

La transformada de Laplace de (1.18) lleva al modelo a la forma de funci´on de transferencia del sistema: G(s) =Vc(s)

V(s) =

1

LCs2_{+ RCs + 1}. (1.21)

1.5.2. Ejemplo: Motor DC y acoplamiento flexible

La Fig. 1.9 muestra un motor DC con acoplamiento flexible en el eje entre la inercia de la armadura del motor y la inercia de la carga. R y L son la resistencia y la inductancia del bobinado de la armadura respectivamente, k y b son la constante de rigidez y el coeficiente de amortiguamiento (lineal) del acoplamiento flexible respectivamente y, Jmy Jl son los momentos de inercia de la armadura del motor y carga respectivamente. El voltaje en la armadura u es la entrada del sistema y la posici´on angular de la cargaθles la salida.

Si las dos inercias son separadas una de la otra y los torques apropiados (T_k, Tb, Ta) aumentados como mostrado en la Fig. 1.10 (diagramas de cuerpo libre), usando la Segunda Ley de Newton (Momentos de Euler) en ambas inercias se tiene:

Jmθ¨m= Kai+ k(θl−θm) + b( ˙θl− ˙θm) − bmθ˙m, (1.22) Jlθ¨l= −k(θl−θm) − b( ˙θl− ˙θm) − blθ˙l, (1.23)

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θ_m θ_l k,b R L i J_l J_m u

Figura 1.9 Motor DC con acoplamiento flexible

donde Kaes la constante de torque, bmy blson los factores de fricci´on de los rodamientos viscosos del motor y la carga respectivamente. θ_m _θ l J_m J_l State convention: θ_m<θ_l θ·_m<θ·_l T_a T_{k ,}T_b T_{k ,}T_b

Figura 1.10 Se˜nal y convenci´on de estados para el sistema en Fig. 1.9

Las leyes de Ohm y Kirchhoff aplicadas al circuito el´ectrico resulta en: u= Ri + Ldi dt+ ke ˙ θm (1.24) o ˙i = 1 L(u − ke ˙ θm− Ri), (1.25)

donde kees el coeficiente de inducci´on del bobinado de la armadura del motor.

Un diagrama de bloques puede ser dibujado directamente de las ecuaciones (1.22), (1.23) y (1.25) como mostrado en la Fig. 1.12. 1 L --- 1 J_m --- -1 J_l ----

∫

R b k_e b_m K_a k + _ _ + + + _ + _ + _ _ _ θ·_m u i· i θm ·· θ··_l θ·_l θ_m θ_l b_l _

_x

₅

x1

x3

x2

x4

y

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Si se define el vector de estados de orden 5 como: x=x1x2x3x4x5

T

=iθmθ˙mθl θ˙l T

, (1.26)

y la ecuaciones de estado pueden ser escritas por inspecci´on del diagrama de bloques: ˙ x1= − R Lx1− ke Lx3+ 1 Lu, ˙ x2= x3, ˙ x3= Ka Jm x1− k Jm x2− b+ bm Jm x3+ k Jm x4− b Jm x₅, ˙ x4= x5, ˙ x5= k Jl x2+ b Jl x3− k Jl x4− b+ bl Jl x5. (1.27)

En forma matricial la ecuaci´on se puede escribir como:

˙ x=           −R L 0 − ke L 0 0 0 0 1 0 0, Ka Jm −k Jm −b+ bm Jm k Jm b Jm 0 0 0 0 1 0 k Jl b Jl −k Jl −b+ bl Jl           x+        1 L 0 0 0 0        u. (1.28)

La ecuaci´on de salida es entonces:

y=0 0 0 1 0x. (1.29)

Se puede observar que el sistema motor DC con acoplamiento flexible es un sistema de orden 5: tiene 5 estados.

1 L --- 1 J_m --- -1 J_l ----

∫

R b k_e b_m K_a k + _ _ + + + _ + _ + _ _ _ θ·_m u i· i θm ·· θ··_l θ·_l θ m θ_l b_l _

_x5

x

1

x

3

x

2

x

4 y

(16)

1.5.3. Ejemplo: Diagrama de bloques del motor DC

El sistema electromec´anico anterior tiene un acoplamiento flexible entre las dos inercias rotacionales. Si se omite la flexibilidad, esto significa que el acoplamiento es completamente r´ıgido, luego las ecuaciones del sistema tendran una apariencia diferente al caso anterior.

Un acoplamiento r´ıgido significa que la constante de rigidez del resorte es infinita: k≈∞. No se puede modificar los elementos de las matrices (1.27, 1.28) directamente debido a que algunos de ellos serian muy grande y esto no puede ser posible. Luego, se debe retornar al conjunto de ecuaciones en (1.22) y (1.23) y modicarlas. Es obvio que las dos posiciones angulares ahora seran igualesθm=θl=θ y el momento de inercia y los factores de fricci´on de los rodamientos seran la suma: J= Jm+ Jly bb= bm+ bl. Las dos ecuaciones se reducen a una sola ecuaci´on diferencial de segundo orden:

J ¨θ= Kai− bnθ˙. (1.30)

Las ecuaciones de la parte el´ectrica seran las mismas que antes y el nuevo diagrama de bloques es mostrado en la Fig. 1.13. 1 L --- 1 J --

∫

R k_e b_b K_a + _ _ + ₊ _ θ· u i· i θ·· θ x1 x3 x2 y

Figura 1.13 Diagrama de bloques del sistema reducido

El n´umero de estados del sistema reducido es 3 y el vector de estados es como sigue: x=x1x2x3

T

=iθ θ˙T, (1.31)

y las ecuaciones de estado y salida resultan:

˙ x=      −R L 0 − ke L 0 0 1, Ka J 0− bb J      x+    1 L 0 0    u y=0 1 0x. (1.32)

1.5.4. Ejemplo: Doble filtro pasa-baja RC

A continuación se mostrará como derivar un modelo espacio de estados de un la red eléctrica pasiva mostrada en la Fig. 1.14. Usando la leyes de Ohm y Kirchhoff en los tres lazos de corriente resulta:

ei= R1i1+ 1 C1 Z (i1− i2)dt, 0= 1 C1 Z (i2− i1)dt + 1 C2 Z i2dt+ R2i2 −eo= − 1 C2 Z i2dt . (1.33)

(17)

Arreglando las ecuaciones,

R1i1= ei− 1 C1 Z (i1− i2)dt, R2i2= 1 C1 Z (i1− i2)dt − 1 C2 Z i2dt+ eo= 1 C2 Z i2dt , (1.34)

se llega al diagrama de bloques de la Fig. 1.15.

C1 C2 R₁ R2 e_i e_o i3=0 i2 i1

Figura 1.14 Red el´ectrica simple

Luego, derivando las ecuaciones de estado directamente del diagrama: ˙ x1= 1 C1 ₁ R1 (u − x1) − 1 R2 (x1− x2) , ˙ x2= 1 C2 1 R2 (x1− x2) , (1.35)

Acomodando el modelo espacio de estados es:

˙ x=    R1+ R2 C1R1R2 1 C1R2 1 C2R2 − 1 R2C2    x +   1 C1R1 0  u, y=0 1x (1.36) 1 R1 ---1 R2

---∫

∫

1 C1 ---1 C2 ---+ _ + _ + _ e_o = y e_i = u i1 i2 x1 x2

(18)

1.5.5. Ejemplo: Horno el´ectrico

La Fig. 1.16 muestra un horno aislado con calentamiento el´ectrico que contiene un producto a ser calentado. La temperatura del aire en el horno es Ts, las temperaturas del producto, material de aislamiento y aire del ambiente son Tg, Try Tarespectivamente. Se asume que todas las temperaturas son uniformes. La potencia para calentamiento que provee el elemento el´ectrico es q, y las potencias que entran al producto y aislamiento son qgy qr. El calor perdido en el aire del ambiente es qa.

q q_g q_r q_a T_s T_g T_a T_r Controlled power supply Insulation Product u

Figura 1.16 Horno calentado e´lectricamente

La potencia del elemento el´ectrico es controlada de forma lineal tal que:

q= ku, (1.37)

donde k es una constante de proporcionalidad.

Se asume que el intercambio de energ´ıa de calor es debido a convecci´on y por lo tanto las potencias y las temperat-uras estan relacionadas por:

qg= kg(Ts− Tg), qr= kr(Ts− Tr), qa= ka(Tr− Ta),

(1.38)

donde los coeficientes-k son parámetros de convección dependiendo del área y la naturaleza f´ısica de las superficies. Si la capacidad de calentamiento total del aire en el horno, del producto y del aislamiento se denota por Cs, Cgy Cr, se pueden formular las expresiones para la razón de variación de la temperatura de las diferentes partes del sistema. Luego se tiene que:

Cs dTs dt = q − qg− qr, Cg dTg dt = qg, Cr dTr dt = qr− qa. (1.39)

Un diagrama de bloques del modelo se puede ver en la Fig.1.17.

De la ecuaci´on diferencial (1.39) se puede determinar la siguiente elecci´on de variables de estado:

x=   x1 x2 x3  =   Ts Tg Tr   (1.40)

Con entrada u, el disturbio v= Tay la salida y= Tg, se puede obtener el conjunto de ecuaciones del modelo espacio de estados. Realizando la sustotuci´on apropiada en (1.39). El resultado es:

(19)

1.5 M´as ejemplos 15 ˙ x1= 1 Cs (ku − kg(x1− x2) − kr(x1− x3)) , ˙ x2= 1 Cg kg(x1− x2), ˙ x3= 1 Cr (kr(x1− x3) − ka(x3− v)) , (1.41) o en la forma vectorial-matricial: ˙ x=        −kg+ kr Cs kg Cs kr Cs kg Cg −kg Cg 0 kr Cr 0 −kr+ ka Cr        x+    k Cs 0 0    u +    0 0 ka Cr    v, y=0 1 0x (1.42)

∫

k_g k_r ka

∫

1 Cs ---1 C_r ---1 C_g ---k + _ + _ + _ + _ _ + _ T_s Tg T_r T_a u y qg q_r qa Block diagram of

the oven production system

Figura 1.17 Diagrama de bloques del sistema en Fig. 1.16

Fuente: Cap´ıtulos 2 y 3 del libro Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers, de Karl J. ˚Astr¨om y Richard M. Murray.

Fuente: Cap´ıtulo 1 del libro Dynamic Modeling and Control of Engineering Systems, de B. Kulakowski, J. Gardner y L. Shearer.

Fuente: Cap´ıtulo 2 del libro Linear Systems Control: Deterministic and Stochastic Methods, de E. Hendricks, O. Jannerup y P. Sorensen.

(20)

(21)

Cap´ıtulo 2

Sistemas Lineales

En esta parte del curso nos centraremos en el caso de sistemas lineales invariantes en el tiempo y analizaremos el efecto de las condiciones iniciales y las entradas en las salidas. Los conceptos centrales de matriz exponencial y la ecuación convolución nos permitirán caracterizar completamente el sistema.

Durante las clases anteriores hemos visto varios ejemplos donde los sistemas son modelados usando ecuaciones diferenciales lineales. En general, varios sistemas dinámicos pueden ser modelados de forma precisa usando ecuaciones diferenciales lineales. As´ı, sistemas mecánicos y circuitos eléctricos son ejemplos donde los modelos lineales pueden ser usados efectivamente. En muchos casos, nosotros creamos sistemas con una respuesta de entrada/salida lineal. Por ejemplo, casi todos los sistemas modernos de procesamiento de señales, ya sean analógicos o digitales, usan realimentación para producir caracter´ısticas de entrada/salida lineales o casi-lineales. Para estos sistemas, a menudo es útil representar las caracter´ısticas de entrada/salida como lineales, ignorando los detalles internos requeridos para obtener la respuesta lineal. Para otros sistemas, sin embargo, las no linealidades no pueden ser ignoradas, especialmente si uno se importa en el comportamiento global del sistema. Sin embargo, si sólo nos importa lo que pasa cerca del punto de equilibrio, es suficiente aproximar la dinámica no lineal por su linealización local.

2.1. Definiciones b´asicas

2.1.1. Linealidad

Considerando el sistema en la forma espacio de estados y su correspondiente ecuaci´on de salida: dx

dt = f (x, u), y= h(x, u), (2.1)

donde x∈ Rn_{, x}_{∈ R}p_{y y}_{∈ R}q_{. Sean}_(x

e, ue) 6= 0 las condiciones de operaci´on, y definiendo: ˜

x= x − xe, u˜= u − ue, y˜= y − ye. (2.2)

podemos reescribir las ecuaciones de movimiento usando como punto de equilibrio del sistema al origen ˜x= 0 y ˜u = 0. Luego tenemos: d dtx˜= f (xe+ ˜x, ue+ ˜u) = ˜f( ˜x, ˜u), ˜ y= h(xe+ ˜x, ue+ ˜u) − ye= ˜h( ˜x, ˜u). (2.3) En el nuevo conjunto de variables, el origen es un punto de equilibrio con salida cero. Una vez realizado el an´alisis en este nuevo conjunto de variables, las respuestas obtenidas ser´an trasladadas de vuelta a las coordinadas iniciales usando x= xe+ ˜x, u = ue+ ˜u y y = ye+ ˜y.

Para el sistema (2.1), asumiendo, sin pérdida de generalidad, que el origen es el punto de equilibrio de interés, escribiremos la salida y(t) correspondiente a la condición inicial x(0) = xoy entrada u(t) como y(t; xo, u). Usando esta notación, un sistema de entrada/salida es lineal si las siguientes condiciones son satisfechas:

(22)

i) y(t;αx1+βx2, 0) =αy(t; x1, 0) +βy(t; x2, 0)

ii) y(t;αxo,δu) =αy(t; xo, 0) +δy(t; 0, u) iii) y(t; 0,δu1+γu2) =δy(t; 0, u1) +γy(t; 0, u2).

(2.4)

Luego definimos que un sistema es lineal si las salidas son conjuntamente lineales en la respuesta a las condiciones iniciales (u= 0) y la respuesta forzada (x(0) = 0). La propiedad iii) est´a relacionada al principio de superposici´on: la respuesta de un sistema lineal a la suma de dos entradas u1y u2es la suma de las salidas y1y y2correspondientes a

cada entrada.

La forma general del sistema lineal en la forma de espacio de estados, con correspondiente ecuaci´on de salida, es: dx

dt = Ax + Bu, x(0) = xo y= Cx + Du,

(2.5)

donde A∈ Rn×n_{, B}_{∈ R}n×p_{, C}_{∈ R}q×n_{y D}_{∈ R}q×p_{. La ecuaci´on (2.5) es un sistema de ecuaciones diferenciales lineales}

de primer orden con entrada u, estado x y salida y. Es f´acil mostrar que dos soluciones dadas x1(t) y x2(t) para este

sistema de ecuaciones, satisfacen las condiciones de linealidad.

Definiendo xh(t) como la solución con entrada cero (solución homogénea) y la solución xp(t) como la solución con condiciones iniciales igual a cero (solución particular). La Fig. 2.1 ilustra como dos soluciones individuales se pueden superponer para formar la solución completa.

0 20 40 60 −2 0 2 Homogeneous Input u 0 20 40 60 −2 0 2 0 20 40 60 −2 0 2 Output y 0 20 40 60 −2 0 2 Particular 0 20 40 60 −2 0 2 0 20 40 60 −2 0 2 0 20 40 60 −2 0 2 Complete Time t [sec] 0 20 40 60 −2 0 2 Time t [sec] 0 20 40 60 −2 0 2 Time t [sec] State x1, x2

Figura 2.1 Superposici´on de soluciones particulares y homog´eneas.

Respuesta total = respuesta a entrada cero + respuesta a condiciones iniciales cero

2.1.2. Invariancia en el tiempo

Invariancia en el tiempo es un concepto importante que se usa para describir un sistema cuyas propiedades no cambian en el tiempo. Más precisamente, para un sistema invariante en el tiempo, si la entrada u(t) resulta en y(t), luego moviendo el tiempo en el que se aplica la entrada por una constante a, u(t +a), la salida resulta en y(t +a). Los sistemas que son lineales e invariantes en el tiempo a menudo se denominan sistemas LTI (linear time invariant, por sus siglas en inglés) y poseen una propiedad interesante: su respuesta a una entrada arbitraria está completamente caracterizada por sus respuesta a entradas del tipo escalón o sus respuestas a impulsos cortos. Ver más detalle a continuación.

(23)

2.2 Respuesta a la condici´on inicial 19

Descripci´on entrada-salida, sistema LTI

Suponiendo que el sistema se encuentra inicialmente en el punto de equilibrio (respuesta a las condiciones iniciales es cero), la respuesta a una entrada se puede obtener al superponer las respuestas a una combinación de entradas tipo escalón. Un ejemplo de este cálculo está dado en la Fig. ??. La Fig. ??(a) muestra una entrada u(t) lineal por partes (suma de funciones escalón). Sea H(t) la respuesta a un escalón unitario aplicado en el tiempo 0. La respuesta al primer escalón es entonces H(t − to)u(to), la respuesta al segundo escalón es H(t − t1)(u(t1) − u(to)), y as´ı sucesivamente. Luego, podemos encontrar la respuesta completa del sistema siendo dada por:

y(t) = H(t − to)u(to) + H(t − t1)(u(t1) − u(to)) + ...

= (H(t − to) − H(t − t1))u(to) + (H(t − t1) − H(t − t2))u(t1) + ... = ∞

∑

n=0 (H(t − tn) − H(t − tn+1))u(tn) = ∞

∑

n=0 (H(t − tn) − H(t − tn+1)) tn+1− tn u(tn)(tn+1− tn), (2.6)

como mostrado en la Fig. ??(b). La respuesta a una se˜nal cont´ınua se obtiene tomando el l´ımite cuando tn+1− tn→ 0, que resulta en:

y(t) =

Z ∞

0

H′(t −τ)u(τ)dτ, (2.7)

donde H′ es la derivada de la respuesta al escalón, también llamada respuesta impulsiva h. Luego, la respuesta de un sistema LTI a cualquier entrada puede ser calculada a partir de la respuesta al escalón. Nótese que la salida sólo depende de la entrada pues consideramos que el sistema está en reposo al inicio,x(0) = 0).

Siendo el sistemacausal(sistema donde la salida depende de las entradas pasadas o actuales pero no de entradas futuras), se tiene que la salida para todo sistema LTI causal en reposo al inicio est´a descrita por:

y(t) = Z t 0 h(t −τ)u(τ)dτ= Z t 0 h(τ)u(t −τ)dτ, (2.8) La segunda igualdad puede ser fácilmente verificada haciendo un cambio de variable (t−τ=σ). La integración en (2.8) es llamada unaintegración convolución.

0 2 4 6 8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Time (sec) Input (u) u(t0) u(t1) u(t1)−u(t0) 0 5 10 15 −0.5 0 0.5 1 Time (sec) Output (y) Complete Steps

Figura 2.2 (a) Respuesta a entradas cont´ınuas por partes y (b) salida resultante de la suma de entradas individuales.

2.2. Respuesta a la condici´on inicial

La ecuación (2.7) muestra que la salida de un sistema lineal se puede expresar como un integral sobre todas las entradas u(t). En esta sección derivaremos una fórmula más general, que incluye las condiciones iniciales diferentes de cero.

(24)

dx

dt = Ax, x(0) = xo. (2.9)

Para la ecuaci´on diferencial escalar se tiene: dx

dt = ax, x ∈ R, a ∈ R (2.10)

y la soluci´on est´a dada por:

x(t) = eatx(0). (2.11)

Generalizando para cuando A se convierte en una matriz. Definimos el exponencial de matrices como una serie infinita: eX= I + X +1 2X 2₊ 1 3!X 3_{+ ... =}

∑

∞ k=0 1 k!X k_, _(2.12)

donde X∈ Rn×n_{es una matriz cuadrada y I es la matriz identidad n}_{× n.}

Reemplazando X en (2.9) por At, donde t∈ R, tenemos que: eAt= I + At +1 2A 2_t2₊ 1 3!A 3_t3_{+ ... =}

∑

∞ k=0 1 k!A k_tk_, _(2.13)

luego diferenciando la expresi´on en (2.13) con respecto al tiempo resulta en: d dte At_{= A + A}2_t₊1 2A 3_t2_{+ ... = A}

∑

∞ k=0 1 k!A k_tk_{= Ae}At_. _(2.14)

Multiplicando por x(0) por la derecha, encontramos que x(t) = eAt_{x(0) es la solución a la ecuación diferencial (??) con} condiciones iniciales x(0). La matrizΦ(t) = eAt_{es denominada matriz de transición.}

Tomando la transformada de Laplace en (2.14), sabiendo que L[dh(t)/dt] = sL [h(t)] − h(0), tenemos: sL(eAt_{) − e}0_{= AL (e}At₎

(sI − A)L (eAt_{) = I.} Entonces, si A no tiene autovalores en el eje imaginario, obtenemos:

L_(eAt_{) = (sI − A)}−1_. _(2.15)

2.2.1. Ejemplo: Integrador doble

Un sistema lineal muy simple que puede ser usado para enteubnder conceptos b´asicos es la ecuaci´on diferencial de segunda orden dada por:

¨

q= u, y= q.

El sistema es llamado de integrador doble porque su entrada u es integrada dos veces para determinar la salida y. En la forma espacio de estados, escribimos x=q ˙qT y:

dx dt = 0 1 0 0 x+ 0 1 u. La matriz din´amica de un integrador doble es:

A= 0 1 0 0 , y por c´alculo directo encontramos que A2= 0 y entonces:

(25)

2.3 Respuesta entrada/salida 21 Φ(t) = eAt= 1 t 0 1 .

Entonces, la soluci´on homog´enea (u= 0) para un integrador doble es dada por: x(t) = 1 t 0 1 x1(0) x2(0) = x1(0) + tx2(0) x2(0) .

2.2.2. Ejemplo: Oscilador sin amortiguamiento

Un modelo simple de oscilador, tal como el sistema masa-resorte sin amortiguamiento es: ¨

q+ωo2q= u.

Poniendo el sistema en la forma de espacio de estados, la matriz dinámica del sistema puede ser escrita como: A= 0 ωo −ωo 0 y eAt= cosωot sinωot −sinωot cosωot . Esta expresión paraΦ(t) = eAt_{se puede verificar por diferenciación:}

d dte At ₌ −ωosinωot ωocosωot −ωocosωot −ωosinωot , = 0 ωo −ωo 0 cosωot sinωot −sinωot cosωot = AeAt_. Luego la soluci´on est´a dada por:

x(t) = eAt_{x(0) =} cosωot sinωot −sinωot cosωot x1(0) x2(0) . Si el sistema tiene amortiguamiento:

¨

q+ 2ζωoq+ωo2q= u,

la soluci´on es m´as complicada, pero se puede mostrar que la matriz exponencial es de la forma:

e−ωoζt     ζeiωdt₋ζ_e−iωdt 2pζ2_{− 1} + eiωdt_{+ e}−iωdt 2 eiωdt_{− e}−iωdt 2pζ2_{− 1} e−iωdt_{− e}iωdt 2pζ2_{− 1} ζe−iωdt₋ζ_eiωdt 2pζ2_{− 1} + eiωdt_{+ e}−iωdt 2    , donde ωd=ωo p ζ2_{− 1. N´otese que}ω d y p

ζ2_{− 1 pueden ser real o complejo, pero la combinaci´on de t´erminos}

siempre proveer´a un valor real para los elementos del exponencial de la matriz.

2.3. Respuesta entrada/salida

(26)

2.3.1. Ecuaci´on de convoluci´on

Volviendo al sistema general de entrada/salida en la ecuación (2.5). Usando la matriz exponencial , la solución de la ecuación (2.5) se puede escribir como:

Teorema 1 La soluci´on de la ecuaci´on diferencial lineal:

dx

dt = Ax + Bu, x(0) = xo y= Cx + Du.

(2.16)

est´a dada por:

x(t) = eAtx(0) +

Z t

0

eA(t−τ)Bu(τ)dτ (2.17)

⋄ Demostraci´on: Diferenciando ambos lados en (2.17) y usando la propiedad (2.13) de la matriz exponencial. Luego, por sustituci´on directa1_{, tenemos:}

dx dt = Ae

At_{x(0) +}Z t

0

AeA(t−τ)Bu(τ)dτ+ Bu(t) = Ax + Bu, (2.18)

que prueba el resultado. ⋄

De las ecuaciones en (2.16) y (2.17) la relaci´on entrada/salida para un sistema lineal est´a dado por: y(t) = CeAt_{x(0) +}Z t

0

CeA(t−τ)Bu(τ)dτ+ Du(t). (2.19)

La ecuación (2.19) se denomina ecuación de convolución y representa la forma general de solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales acopladas. Esta ecuación y la ecuación (14) han sido directamente calculadas en el dominio del tiempo. También podemos calcular las soluciones en el dominio de la frecuencia usando la transformada de Laplace. Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación (2.18) resulta:

X(s) = (sI − A)−1_{[x(0) + BU(s)]}

Y(s) = C(sI − A)−1_{x(0) + [C(sI − A)}−1_B_{+ D]U(s)}

(2.20)

Respuesta impulsiva

La respuesta impulsiva de un sistema vendr´ıa a ser la salida correspondiente a tener un impulso como entrada en (2.19):

y(t) =

Z t

0

CeA(t−τ)Bδ(τ)dτ+ Dδ(t) = CeAtB+ Dδ(t), (2.21) donde la segunda igualdad sigue del hecho que δ(t) es cero en cualquier lugar excepto el origen y su integral es idénticamente igual a 1. Nótese que existe una limitación en el cálculo de la respuesta impulsiva cuando D6= 0 ya que Dδ(t) se hace infinito en t = 0. En la práctica, se ignora la matriz D y la respuesta impulsiva viene dada por:

y(t) = h(t) =

Z t

0

CeA(t−τ)Bδ(τ)dτ= CeAtB. (2.22)

Escribiendo la ecuación de convolución en términos de la respuesta a las condiciones iniciales y la integral convolución (2.8) de la respuesta impulsiva h(t) y la señal de entrada u(t), se tiene:

y(t) = CeAtx(0) + Z t 0h(t −τ)u(τ)dτ, (2.23) 1 ∂ ∂t Rt tof(t,τ)dτ= f (t,τ)|τ=t+ Rt to ∂ ∂tf(t,τ)dτ.

(27)

2.3 Respuesta entrada/salida 23

as´ı la respuesta de un sistema lineal es la superposisici´on de la respuesta a un conjunto infinito de impulsos cuyas magnitudes est´an dadas por la entrada u(t).

El uso de pulsos como aproximaciones de la funci´on impulso se puede visualizar en la Fig. 2.3.

0 2 4 6 8 10 0 0.5 1 1.5 u

Time t

(a) Pulse and impulse functions

0 10 20 30 40 0 0.5 1 t y Pulse responses Impulse response

(b) Pulse and impulse responses

Figura 2.3 Respuesta de un sistema a entradas del tipo impulso representado como la suma de diferentes anchos de pulso. (a) Funciones pulso e impulso. b) Respuestas a los pulsos e impulso.

2.3.2. Respuesta en estado estacionario

Dada el sistema lineal de entrada/salida:

dx

dt = Ax + Bu, x(0) = xo y= Cx + Du.

la forma general de su soluci´on est´a dada por (2.19), reescrita aqui por conveniencia: y(t) = CeAt_{x(0) +}Z t

0

CeA(t−τ)Bu(τ)dτ+ Du(t),

que muestra que la respuesta total del sistema consta de la respuesta a las condiciones iniciales y la respuesta a la entrada. La respuesta a la entrada está compuesta por los dos últimos términos de (2.19)- esta respuesta a su vez tiene dos componentes - la respuesta transiente y la respuesta en estado estacionario, ver Fig 2.4. La respuesta transiente ocurre en el primer periodo de tiempo después de que la entrada ha sido aplicada y refleja la diferencia entre las condiciones iniciales y la solución en estado estacionario. La respuesta en estado estacionario es la porción de la respuesta en la salida que refleja el comportamiento del sistema a largo plazo bajo la acción de ciertas entradas. Para entradas periódicas la respuesta en estado estacionario también será periódica, y para entradas constantes la respuesta será a menudo constante.

0 20 40 60 80 −1 0 1 Time t [sec] Input u (a) Input 0 20 40 60 80 −0.1 0 0.1

Transient Steady State

Time t [sec]

Output

y

(b) Output Figura 2.4 Respuesta transiente versus respuesta en estado estacionario.

(28)

Respuesta al escal´on unitario

La función escalón unitario está definida como: u= S(t) =

0 t= 0, 1 t> 0, y representa un cambio abrupto de un valor a otro valor.

La respuesta a un escalón unitario del sistema (2.5) está definido como la salida y(t) comenzando de las condiciones iniciales cero (o el punto de equilibrio apropiado) y dada una entrada del tipo escalón. Calculando la respuesta a un escalón unitario de un sistema lineal usando la ecuación convolución, para x(0) = 0, tenemos:

y(t) = Z t 0 CeA(t−τ)Bu(τ)dτ+ Du(t) = C Z t 0 eA(t−τ)Bdτ+ D = C Z t 0 eAσBdσ+ D = C(A−1eAσB)σ_σ=t₌₀+ D = CA−1_eAt_B_−CA−1_B_{+ D.} (2.24)

Luego, reescribiendo la soluci´on tenemos:

y(t) = CA−1eAtB | {z } transiente + D −CA−1B | {z } estado estacionario . (2.25)

El primer término es la respuesta transiente que decae a cero a medida que t→∞. El segundo término es la respuesta al estado estacionario y representa el valor de la salida para después de transcurrido un tiempo grande.

Respuesta a una entrada senoidal. Respuesta en la frecuencia

Una señal de entrada común es del tipo senoidal (o combinación de senos). La respuesta en la frecuencia de un sistema de entrada/salida mide la forma en la que el sistema responde a una excitación senoidal. Dado que la solución asociada a una excitación senoidal es a su vez un senoide a la misma frecuencia, luego nos limitamos a comparar la magnitud y la fase de la salida senoidal.

Evaluando al ecuaci´on convoluci´on (2.19) para u= cosωt. En particular notando que: cosωt=1

2(e

iωt_{+ e}−iωt_).

Dado que el sistema es lineal, es suficiente calcular la respuesta del sistema a una entrada compleja de la forma u(t) = est _{y luego podemos reconstruir la salida a un senoide mediante el promedio de las respuestas correspondiente} a s= iωt y s= −iωt.

Aplicando la ecuaci´on convoluci´on a la entrada u= est _tenemos: y(t) = CeAt_{x(0) +}Z t 0 CeA(t−τ)Besτdτ+ Dest = CeAt_{x(0) +Ce}AtZ t 0 Ce(sI−A)τBdτ+ Dest (2.26)

Asumiendo que ninguno de los autovectores de A es igual a s= ±iω, luego la matriz sI− A es invertible y podemos escribir:

y(t) = CeAt_{x(0) + Ce}At_{(sI − A)}−1_e(sI−A)τ_B t

0+ De

st = CeAt_{x(0) +Ce}At_{(sI − A)}−1_e(sI−A)t_{− I}_B_{+ De}st = CeAt_{x(0) +C(sI − A)}−1_est_B_−CeAt_{(sI − A)}−1_B_{+ De}st_,

(2.27)

(29)

2.4 Polos, ceros y ganancia 25 y(t) = CeAt _{x(0) − (sI − A)}−1_B | {z } transiente + C(sI − A)−1B+ Dest | {z } estado estacionario , (2.28)

Nuevamente tenemos una soluci´on que consiste de un componente transiente y uno estado estacionario. El componente transiente decae a cero si el sistema es asint´oticamente estable y el componente estado estacionario es proporcional a la entrada (compleja) u= est_.

La respuesta en estado estacionario se puede reescribir como: yss(t) = Meiθest= Mest+iθ, donde:

Meiθ= C(sI − A)−1B+ D, (2.29)

con M y θ representando la magnitud y la fase de un número complejo C(sI − A)−1B+ D. El número complejo C(sI − A)−1B+ D se denominafunción de transferencia. Cuandon s= iω, decimos que M es la ganancia yθ es la fase del sistema para cierta frecuencia de excitaciónω. Usando linealidad y combinando las soluciones de s= +iωy s= −iω, podemos mostrar que si tenemos una entrada u= Ausin(ωt+ψ) y una salida y = Aysin(ωt+ϕ), entonces:

ganancia(ω) =Ay Au

= M, fase(ω) =ϕ−ψ=θ. La soluci´on en estado estacionario para un senoide u= cosωt est´a dada por:

yss(t) = Mcos(ωt+θ),

como presentado en la Fig. 2.5. Si la faseθ es positiva se dice la salida est´a adelantada a la entrada, de otra forma decimos que la salida est´a atrasada a la entrada.

0 5 10 15 20 −2 −1 0 1 2 Time [sec] Input, output ∆T T Input Output Au Ay

(a) Input/output response

10−3 10−1 101 Gain 0.5 5 −270 −180 −90 0 Phase [deg] Frequency [rad/s] (b) Frequency response Figura 2.5 Respuesta de un sistema lineal a un senoide. a) Respuesta entrada/salida. b) Respuesta en frecuencia.

Una propiedad de la respuesta en frecuencia es que la ganancia del sistema cuandoω= 0 se denomina ganancia en la frecuencia cero y corresponde a la relaci´on entre una entrada constante y la salida estacionaria:

Mo= −CA−1B+ D.

En Ingenier´ıa El´ectrica la ganancia de frecuencia cero es denominada DC gain.

2.4. Polos, ceros y ganancia

La funci´on de transferencia G(s) = C(sI − A)−1_B_{+ D tiene interpretaciones muy ´utiles y sus caracter´ısticas son a}

menudo asociadas a propiedades importantes del sistema. Tres de las caracter´ısticas m´as importantes son la ganancia y la ubicaci´on de polos y ceros.

(30)

La ganancia en la frecuencia cero (o ganancia DC) está dada por la magnitud de la función de transferencia en s= 0. Representa la relación del estado estacionario a la salida del sistema con respecto a una entrada del tipo escalón (que puede ser representado por u= est _{con s}_{= 0). Para una representación de espacio de estados, calculamos la ganancia} en la frecuencia cero usando la siguiente ecuación:

G(0) = −CA−1B+ D. (2.30)

Para un sistema escrito como una ecuaci´on diferencial lineal: dny dtn+ a1 dn−1y dtn−1 + ... + any= bo dmu dtm + b1 dm−1u dtm−1 + ... + bmu,

si asumimos que la entrada y la salida del sistema (en estado estacionario) son constantes yoy uo, luego encontramos que anyo= bmuo. Luego la ganancia en la frecuencia cero es:

G(0) = yo uo

=bm an

. (2.31)

Considerando el sistema lineal con la siguiente funci´on de transferencia racional: G(s) = b(s)

a(s). (2.32)

las raices del polinomio a(s) son llamados polos del sistema, y las raices del polinomio b(s) son llamados los ceros del sistema. Si los polos del sistema pertenecen al semiplano complejo izquierdo abierto (Co₋) se dice que la funci´on de transferencia es estable. Si los ceros del sistema pertenecen al semiplano complejo izquierdo abierto (Co₋) se dice que el sistema es de fase m´ınima, en caso contrario los ceros son de fase no m´ınima2.

Para un sistema espacio de estados con función de transferencia G(s) = C(sI − A)−1B+ D, los polos de la función de transferencia son los autovalores de la matriz dinámica A (sistema con realización m´ınima). Una forma de ver esto es notando que el valor de G(s) tiende a infinito cuando s es un autovalor de la matriz dinámica del sistema puesto que s es precisamente el conjunto de puntos donde el polinomio caracter´ısticoλ(s) = det(sI − A) = 0 (y luego (sI − A) no es invertible). Se puede destacar que los polos del sistema en la forma de espacio de estados sólo depende de la matriz A, que representa la dinámica intr´ınseca del sistema. Decimos que una función de transferencia es estable si todos sus polos tienen parte real negativa.

Para encontrar los ceros de un sistema en la forma de espacio de estados, observamos que los ceros son n´umeros complejos s tal que la entrada u(t) = uoest resulta en salida igual a cero. Insertando una respuesta puramente exponen-cial x(t) = xoest y y(t) = 0 en:

˙

x= Ax + Bu, y= Cx + Du, resulta:

sestxo= Axoest+ Buoest, 0= Cestxo+ Destuo que puede ser escrito como:

−sI + A B C D xo uo = 0. (2.33)

Esta ecuación tiene una solución con xo6= 0, uo6= 0 solo si la matriz a la izquierda no tiene rango completo. Los ceros del sistema (llamados también ceros de transmisión, en caso de una realización m´ınima) son entonces aquellos valores de s tal que la matriz.

−sI + A B

C D

, (2.34)

pierde rango o det

−sI + A B

C D

=0.

Siendo que los ceros dependen de A, B, C y D, ellos dependen de como las entradas y salidas son acopladas con los estados. N´otese que en particular si la matriz B tiene rango completo, luego la matriz en (2.34) tiene n filas linealmente

2_{Por ejemplo, el sistema g}_{(s) =} −s+a

s+a con cero en el semiplano derecho en s= a tiene una ganancia constante de 1, pero su fase es

(31)

2.5 Otros 27

independientes para todos los valores de s. Similarmente hay n columnas linealmente independientes si la matriz C tiene rango completo. Eso significa que los sistemas donde B y C son de rango completo no tienen ceros. En particular esto significa que un sistema no tiene ceros si es totalmente posible actuar en él (cada estado puede ser controlado independientemente) o si todos los estados son medidos. Para cuando consideramos sistemas sin igual número de entradas y salidas, el cálculo de los ceros usando (2.34) se hace inadecuado. Para este caso se trabaja directamente con la matriz de funciones de transferencia, como descrito a continuación.

POR COMPLETAR

2.5. Otros

Ancho de bandaEl concepto de ancho de banda es importante en el entendimiento de los beneficios y desventajas al aplicar control por realimentación. El ancho de banda está relacionado a la velocidad de respuesta. En general, un ancho de banda grande corresponde a un tiempo de levantamiento pequeño, esto debido a que las señales de alta frecuencia son pasadas más fácilmente hacia las salidas. Un ancho de banda grande también indica que el sistema es más sensible al ruido y a las perturbaciones paramétricas. Por otro lado, si el ancho de banda es pequeño, el tiempo de respuesta será por lo general grande, y el sistema usualmente será más robusto.

POR COMPLETAR

Fuente: Cap´ıtulos 5 y 8 del libro Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers, de Karl J. ˚Astr¨om y Richard M. Murray (2008).

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