Modelado, Diseño e Implementación del Control Analógico de Velocidad para un Motor de CD

Modelado, Diseño e Implementación del Control Analógico de

Velocidad para un Motor de CD

Sebastián MANRIQUE-MACHADO, Iván MORA-OROZCO, Oswaldo ARENAS-CRESPO Universidad Pontificia Bolivariana, Mora Orozco, Cir. 1 #70-01, B11, Medellín, Colombia.

sebastian.manrique alfa.upb.edu.co

Resumen: El presente trabajo trata acerca del diseño y la implementación de un control analógico de velocidad para un motor de CD. Se presenta el modelado del motor de CD, el diseño del control PI, la implementación circuital usando amplificadores operacionales y el diseño del transductor. El comportamiento adecuado puede verificarse mediante un osciloscopio. Copyright © UPB 2013

Palabras clave: Control análogo, control PI, motor de CD, Matlab, modelado de sistemas.

Abstract: This work is about the design and implementation of an analogous speed control for a DC motor. The modeling of the DC motor, the PI control design, the circuital implementation using operational amplifiers and the transductor design, is presented. The appropriate behavior of the prototype is verified with an oscilloscope..

Keywords: analogous control, PI control, DC motor, Matlab, System modelling.

1. INTRODUCCIÓN

El presente artículo expone el diseño y la implementación de un control analógico de velocidad para un motor de CD, para lo cual fue necesario dividir el trabajo en 5 partes fundamentalmente. La primera de ellas consiste en la obtención del modelo del motor de CD a controlar. Posteriormente, se presenta el diseño de los controladores utilizando tanto el método del diagrama del lugar de las raíces como el método de los diagramas de Bode. El desempeño de los diseños se verificó mediante simulación en Matlab. En la tercera parte se expone el diseño circuital del controlador, mediante el uso de amplificadores operacionales. Subsuguientemente se muestra el diseño del transductor empleado para medir la velocidad del motor mediante señales de voltaje, y de esta forma lograr el acople controlador motor. Finalmente se anexa video en el cual se presenta brevemente los resultados obtenidos experimentalmente.

2. MODELADO DEL MOTOR DE CD

Los motores de C.D. gracias a sus características son de fácil controlabilidad, y por tal motivo son los motores predilectos a la hora de realizar las tareas de control más complejas.

Los motores de CD pueden producir el campo magnético necesario para su funcionamiento a través de electroimanes, o en su defecto, mediante imanes permanentes. Éstos últimos son de alta popularidad (Kuo, 1996), y en este caso son de fácil acceso lo

cual permite desarrollar más fácilmente aplicaciones educativas como es el presente caso.

Los motores de C.D. de imán permanente pueden clasificarse de acuerdo con el tipo de diseño de la armadura de la siguiente manera (Kuo, 1996):

• De núcleo de Hierro

• De devanado superficial

• De bobina móvil

El modelo matemático del motor de CD de imán permanente se puede llevar a cabo considerando al motor como un sistema del tipo SISO (por sus siglas en inglés Single Input, Single Output), en donde la entrada es el voltaje de alimentación, y mediante una transformación de energía eléctrica en energía mecánica que realiza el sistema, la salida de éste es una velocidad angular. La conversión de energía antes mencionada, supone que se debe acudir a ecuaciones tanto eléctricas como mecánicas, y a ecuaciones que relacionen variables de ambos tipos. El circuito básico a considerar se presenta en la Figura 1.

Aplicando LVK en el circuito mostrado en la Figura 1, considerando un amortiguamiento por fricción en el eje del motor y aplicando la segunda ley de Newton para sistemas rotacionales se obtienen las dos ecuaciones que describen por separado la parte mecánica y la parte eléctrica del sistema.

Figura 1. Circuito Básico a considerar para el modelado matemático de un motor de CD

De otro lado, se sabe que en este tipo de motores, el torque que proporciona el mismo, es directamente proporcional a la corriente por la armadura, y la constante que relaciona ambas variables se le conoce con el nombre de constante del par [=] N-m/A. También se conoce que el voltaje en la armadura está relacionado mediante una constante proporcional con la velocidad angular del motor, y de esta forma se obtiene una segunda ecuación que relaciona una variable eléctrica con una mecánica. Con las cuatro ecuaciones descritas anteriormente, es posible llegar a la siguiente ecuación diferencial1:

1

Para observar en detalle la obtención del modelo matemático del motor, puede consultarse los libros de (Kuo, 1996) y de (Nise, 2004). ( ) ̇

(1)

B [=] N-m-s/rad: Constante de amortiguamiento debida a la fricción.

J [=] Kg-m2: Masa inercial del motor. Km [=] N-m/A: Constante de par.

Kb [=] V-s/rad: Constante de fuerza contraelectromotriz.

En la Figura 2, se puede observar el diagrama de bloques del modelo de segundo orden.

Figura 2. Diagrama de bloques para el modelo matemático de segundo orden de un motor de CD

La ecuación (1) es una ecuación diferencial de segundo orden, la cual puede aproximarse a una ecuación diferencial de primer orden, si se desprecia la constante eléctrica, la cual según la literatura es una buena aproximación. La ecuación podría aproximarse a:

(

) ̇ (2)

O si se quiere, también se puede trabajar con el modelo en espacio de estado como lo muestra la Figura 3.

Figura 3. Diagrama de bloques para el modelo representado en espacio de estado

2.1. Obtención de las constantes del modelo

Con la ayuda de un tester y un medidor de inductancia se obtuvo: Ra = 23 Ω.

L = 5.86 mH

Luego se procedió a encontrar a Kb la cual es la constante que

relaciona la velocidad angular con el voltaje en la armadura. Dicha constante se obtuvo de la siguiente manera.

Figura 4. Modelo del motor de CD para el cálculo de Kb

Dado que una inductancia en corriente directa y en estado estable es aproximadamente un corto, es posible despreciar La, tal como

se muestra en la Figura 4. De este modo se tiene que

La prueba se llevó a cabo con las condiciones mostradas en la Tabla 1.

Tabla 1. Condiciones experimentales para el cálculo de Kb

Parámetro Valor experimental

Va 9 V

Ia 0.056 A

Ra 28 Ω

ω 634.6 rad/s

Despejando de (3), la constante que relaciona el voltaje en la armadura con la velocidad angular, se obtiene:

(4)

Se procede a hallar la constante del par. Se calcula entonces, la potencia que consume el motor en vacío y la potencia mecánica, asumiendo las condiciones planteadas en la Tabla 1,

(5)

(6)

Por lo tanto para las condiciones presentadas en la Tabla 1.Se tiene entonces que:

(7)

Figura 5. Respuesta del sistema a un escalón de 9V, incluyendo la función de transferencia del sensor de

medida

Se realizaron varios experimentos para varios escalones, similares al que se observa en la Figura 5; se promediaron los resultados, y se obtuvo la siguiente función de transferencia

Vale la pena mencionar que este modelo, contiene la función de transferencia del sensor y transductor, el cual es una constante de 0.006 V-s/rad. Relacionando los valores experimentales de la salida del sensor, respecto a la entrada, para lo cual se obtuvo la pendiente mostrada en la Figura 6.

Figura 6. Característica del bloque sensor + transductor

Tomando la función en (2) y remplazando las constantes L, R, Km

y Kb halladas en los pasos anteriores, se procede entonces a usar

métodos numéricos para ajustar los valores de las constantes J y B de modo que la respuesta obtenida ante la entrada escalón tengan la mayor semejanza posible con respecto a la hallada experimentalmente en (8).

De esta forma se obtiene

_Kg-m2

(9) y

_{N-m-s/rad. (10)}

En la Figura 7, se muestra la implementación llevada a cabo para comparar la respuesta ante el escalón del modelo matemático con respecto al experimental, de modo que se pueda validar el modelo matemático.

Figura 7. Simulación y comparación de modelos experimental y matemático, usando diagramas de

bloques y = 0,006x + 0,015 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 0 100 200 300 400 500 600 V o lt aj e C D ( V ) Frecuencia (rad/s)

Al momento de realizar la simulación, se encontró pertinente observar el valor de la constante de par Km, puesto que se conoce

que debe ser mayor a Kb, y por ende, se ajustó su valor a

0.127 Kg-m2.

Las respuestas obtenidas de ambos modelos pueden apreciarse en la Figura 8. Debido a que el modelo experimental lleva incluida la constante del sensor, se le ha añadido también al modelo matemático, de modo que se puedan comparar ambas salidas en la misma unidad (voltaje).

Figura 8. Comparación de las respuestas obtenidas para el modelo matemático con respecto al

experimental, ante un escalón de 10.52 V

Con el fin de ajustar el modelo para que los valores simulados de velocidad en vacío y corriente coincidieran con los obtenidos de forma experimental, se ajustaron en algunas centésimas los valores de Km y Kb. Finalmente se obtuvieron las constantes

presentadas en la Tabla 2.

Tabla 2. Resumen de parámetros hallados para el modelo matemático

Parámetro Valor Unidad

Ra 28 Ω La 5.86 mH Km 0.0127 Kg-m2 Kb 0.012 V-s/rad B N-m-s/rad J Kg-m2

De acuerdo a estos parámetros ahora pueden remplazarse en el modelo de segundo orden, de lo cual se obtiene

(11)

Con ayuda del comando de Matlab tf2ss(), fue posible hallar el modelo de orden 2 del motor en espacio de estados, se obtuvo:

[ ̇_{̇ ] [} ] [ ] [ ] [ ] (12)

[ ] [ ] [ ]+[ ][ ] (13)

3. DISEÑO DE CONTROLADORES P+I PARA EL MOTOR DE CD

Para el diseño de los controladores, se han usado las estrategias propuestas en (Dorf & Bishop, 2005) y (Ogata, 1998).

3.1. Método del Diagrama del Lugar de las Raíces El modelo clásico del control P+I es de la forma

( ) (14)

Para garantizar un sobreimpulso menor que el 13% se tiene que √

(15)

con esto se obtiene que,

(16)

Para garantizar un tiempo de estabilización de 0.4 s, se hace

(17)

por lo tanto

El punto en el diagrama del lugar de las raíces que satisface las condiciones anteriores es

√ (18)

Se conoce que el polo añadido por el control queda se ubica en el origen, de esta forma solo resta encontrar la posición del cero, para esto se usa la condición de fase, de modo que:

(19)

y reemplazando en (19),

(20)

Con este ángulo puede obtenerse la ubicación del cero en el eje real

Figura 9. Diagrama del lugar de las raíces de la planta controlada

Con la condición de magnitud se halla la ganancia necesaria para llevar el polo al punto A,

‖ (

) (

)‖ (22)

así . La función de transferencia del control es

( ) (23)

A partir de este diseño se espera la respuesta ante una entrada escalón, mostrada en la Figura 10.

Figura 10. Respuesta ante el escalón dela planta controlada en lazo cerrado

3.2. Diseño del controlador usando Diagramas de Bode

En la Figura 11, puede observarse la traza de Bode correspondiente para la planta sin controlar, para la cual se observa que no hay manera de medir el margen de fase del sistema, debido a que la ganancia no cruza por 0 dB.

Al añadirse un polo en el origen, este añade una fase de 90° negativos y un aporte en la ganancia con -20 dB por década

Figura 11. Diagrama de Bode para la planta sin compensar

Como se ve en (14), solo resta añadir un cero y una ganancia total para completar el control P+I.

Si se desea un sobreimpulso de 20 %, se tiene que √

(24)

Por lo tanto el margen de fase deseado es

(25)

Figura 12. Diagrama de Bode para la planta, añadiendo un polo en el origen

De acuerdo con la Figura 12, el margen de fase es mayor. Por lo tanto se hace una reducción de fase calculando el tiempo integral con la ecuación

tomando como referencia la frecuencia de corte con 0dB vista en la Figura 12, se hace , así .

La función de transferencia del controlador se presenta en (27).

(27)

con lo que las constantes del control P+I+D quedan , .

Figura 13. Diagrama de bode para la planta controlada usando compensador P+I

En la Figura 13 puede observarse la traza de Bode obtenida, la cual muestra un margen de fase de 57.3° adquirido mediante el control, con este margen de fase, se cumple con los cálculos presentados anteriormente. En la Figura 14 se muestra la respuesta ante el escalón presentada por el control diseñado en esta sección, en el cual se observa un sobreimpulso menor que el 20%, y un tiempo de estabilización de 0.76 s lo cual es aceptable para realizar una implementación.

Figura 14. Respuesta ante el escalón de la planta controlada usando el compensador P+I

4. DISEÑO E IMPLEMENTACIÒN CIRCUITAL Para la implementación circuital, las principales disposiciones a usar del amplificador operacional son: amplificador, integrador, sumador e inversor. A continuación se exponen los esquemáticos y ecuaciones básicas asociadas a dichos circuitos (Coughlin & Driscoll, 1993).

La Figura 15, muestra un sumador inversor cuya ecuación de salida es

( ) (28)

Figura 15. Sumador inversor con amplificador operacional

La Figura 16, presenta la disposición que debe tener un circuito para obtener un inversor. La ecuación que rige el voltaje de salida está dada por

(29)

Figura 16. Inversor con amplificador operacional

En la Figura 17, puede apreciarse un amplificador operacional empleado como un integrador. La ecuación que determina el voltaje de salida es:

∫ (30)

-V

Figura 17. Integrador con amplificador operacional

Figura 18. Amplificador no inversor con amplificador operacional

Finalmente la Figura 18, muestra un amplificador no inversor. La ecuación de salida es:

( ) (31)

4.1. Diseño del Controlador

Los valores de las resistencias empleados en los sumadores y en los inversores, no tienen mayor importancia, solamente debe considerarse que deben ser valores suficientemente altos para que la impedancia de entrada sea adecuada.

De lo expuesto en el numeral 2, se ha obtenido que Kp y Ki deben

ser 5 y 131 respectivamente.

De acuerdo con (31), se calcula para cumplir con Kp

considerando a . Se obtiene que el valor de . La resistencia finalmente se aproximó a 8.3k .

De acuerdo con (30) es posible calcular R, considerando un capacitor de 10μF, para que la relación de cómo resultado un Ki de

131. Se obtiene R=763.36 Ω.

Se concluye así los cálculos necesarios para garantizar que el control PI calculado, coincida con el implementado.

El circuito que se implementó finalmente, fue el mismo diseñado. En la Figura 19, se presenta el circuito completo que se ha montado y en la Figura 20, se muestra el circuito que se ha implementado en protoboard. -V Vin Vo R +V + U4 Integral C -V Vo Vin R2 R1 + U3 Amplificador +V

Figura 19. Esquemático del circuito implementado en protoboard

Figura 20. Circuito implementado en Board

5. ACOPLE CONTROL-MOTOR

Debido a que se pretende implementar un control de velocidad para un motor de DC en lazo cerrado, se hace necesario medir la velocidad de dicho dispositivo. Para tal efecto, se fabricó un encoder con dos ranuras por revolución, y con un sensor infrarrojo en herradura o en U. Dicho sensor consta de un diodo LED, y un foto transistor sensible a la longitud de onda que emite el LED. En la Figura 21 se puede a preciar el motor acoplado con la circunferencia ranurada, la cual ha sido fabricada en acrílico negro, para evitar el paso de luz infrarroja.

Figura 21. Motor con el disco ranurado acoplado

La señal de salida del encoder, corresponde a una señal cuadrada, cuya frecuencia es directamente proporcional a la velocidad del motor. Dicha señal posee un nivel de directa, el cual fue eliminado mediante un condensador con el fin de acoplar la señal a la entrada de un conversor de frecuencia a voltaje.

Para la implementación de dicho conversor, se utilizó un IC LM2907, el cual ha sido diseñado específicamente para Encoder Conversor F aV C2 100uF IN COM OUT FaV LM2907 C1 22uF Q2 NPN +V V7 7V +V V6 7V Q1 Foto TRS D1 LED1 M2 R13 22k R6 10k R1 220 R15 3.3k R14 3.3k +VV15-15V +V V14 15V + U6 Inversor +VV10-15V +V V11 15V + U3 Proporcional C3 10uF + U4 Integral +V V9 15V +V-15VV8 + U5 Inversor +V V13 15V +VV12-15V + U2 sumador +V V2 15V +VV3-15V +V V5 7V +V-15VV4 +V-15VV3 +V V2 15V +V V1 15V SetP 10k 40% + U2 sumador + U1 Inversor R11 8.3k R8 1k R9 2.2k R12 3.3k R10 3.3k R3 10k R4 10k R7 10k R7 10k R5 4.7k R4 10k R3 10k R2 4.7k

aplicaciones de este tipo. Se ha empleado la configuración recomendada por el fabricante (Texas Instruments, 2008).

Con los anteriores dispositivos se logró el acople control-motor. El desempeño del control implementado fue probado mediante un osciloscopio, en el cual se puede visualizar la señal de referencia y la señal de velocidad medida. Las pruebas realizadas pueden visualizarse en el video adjuntado en los anexos.

6. CONCLUSIONES

Se ha modelado satisfactoriamente un motor de CD, obteniendo empíricamente todas las constantes asociadas a los modelos de primer y segundo orden. Se validaron y se compararon los modelos obtenidos mediante simulaciones en Matlab y comparaciones con las medidas experimentales realizadas. Se diseñaron dos controladores de velocidad, utilizando estrategias de diseño tanto en el dominio del tiempo,como en el dominio de la frecuencia. El desempeño de ambos controladores fue analizado mediante simulaciones en Matlab.

Se llevó a cabo el diseño y la implementación circuital del controlador diseñado por el método del diagrama del lugar de las raíces, obteniendo resultados experimentales satisfactorios y coherentes con lo esperado.

Se realizó el acople controlador – motor mediante la implementación de un encoder con un disco de dos ranuras por

revolución, un sensor infrarrojo en herradura o en U y un conversor de frecuencia a voltaje. De igual manera se halló la función de transferencia del transductor fabricado.

REFERENCIAS

Coughlin, R. F., & Driscoll, F. F. (1993). Amplificadores operacionales y circuitos integrados lineales. (Cuarta ed.). Prentice Hall.

Dorf, R. C., & Bishop, R. H. (2005). Sistemas de control moderno (Décima ed.). Pearson.

Kuo, B. C. (1996). Sistemas automáticos de control (Séptima ed.). Prentice-Hall Hispanoamérica.

Nise, N. S. (2004). Sistemas de control para ingeniería (Primera ed.). Continental. Ogata, K. (1998). Ingeniería de Control Moderna (Tercera ed.). Pearson. Texas Instruments. (2008). LM2907/LM2917 Frequency to Voltage Converter.

AUTORES

Sebastián de Jesús MANRIQUE MACHADO. Obtuvo el título de Ingeniero Electricista de la Universidad Pontificia Bolivariana, en junio de 2013. Actualmente labora como Analista de Aseguramiento de la Operación, en XM, filial de ISA. Sus intereses académicos e investigativos van enfocados a las áreas de sistemas de potencia, energías renovables y smartgrids.

Oswaldo ARENAS CRESPO comenzó sus estudios en Ingeniería Eléctrica en la UPB Medellín en el 2007 y actualmente trabaja como asistente de investigación en el Grupo de investigación de Transmisión y Distribución de Energía Eléctrica de la UPB. Sus intereses académicos son el área de las protecciones eléctricas y las Smartgrids.

Iván Darío MORA OROZCO. Docente Titular de la Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica de la UPB, Medellín. Magíster en Automática con énfasis en robótica. Su principal línea de trabajo es la Mecatrónica, la robótica y el control automático, ha desarrollado trabajos en el área de control de movimiento de robots manipuladores, robótica móvil y visión artificial y el desarrollo de hardware y software aplicados a la automatización. Actualmente es el Coordinador del Semillero en Automática y Diseño A+D.

ANEXO

Video de las pruebas realizadas al controlador: <http://www.youtube.com/watch?v=Rs6x3sOAqzw>.