1b6.pdf

EJERCICIOS DE MATEMATICAS

1.- Deriva las siguientes funciones: a)

y



x

3

(

2

x



1

)

5; b)

1

2

1

2







x

x

y

; c)

x

x

y





₃

2

2.- Halla las derivadas de las funciones siguientes (L es logaritmo neperiano):

f

(

x

)



L

(

4

x



1

)

,

g

(

x

)



cos(

3

x



1

)

2 y

h

(

x

)



senx

cos

2

x

3.- Aplicando logaritmos, halla la derivada de la función

y



x

x

4.- Halla la derivada de la función

1

1

2 2







x

x

L

y

5.- Deriva y simplifica:

2

)

1

(

2





x

x

y

6.- Deriva y simplifica:

x x x x

e

e

e

e

y

_ 







7.- Se considera la función

























2

1

2

2

0

1

x

0

x

1

)

(

x

si

x

x

si

si

x

f

Estudia si es derivable en los puntos x = 0 y x = 2

8.- Deriva y simplifica la función

x

x

L

y

cos

1

cos

1







9.- Halla la pendiente de la recta tangente a la curva

f

(

x

)



x

2



x



1

en el punto de abscisa x = 2. Escribe la ecuación de dicha recta.

10.- Deriva las siguientes funciones: a)

1

3

)

(

₂







x

x

x

f

; b) ₂

)

5

(

3

)

(





x

x

g

: c) 3 2 1 2

5

)

(

x



x  x

h

11.- Deriva y simplifica: ₂

)

5

(

3

2







x

x

y

12.- Deriva las siguientes funciones logarítmicas:

y



L

(

2

x

2



3

x



1

)

;

y



L

2

x



3

;

y



log

₂

(

x

2



5

x



6

)

13.- Deriva y simplifica:

14.- Calcula:

a) Derivada de

f

(

x

)



x

4



4

x



1

en el punto de abscisa x = 1 b) Derivada de

f

(

x

)



L

(

x



3

)

en x = 2

c) Derivada de

f

(

x

)



cos(

5

x



4

)

en x = 

15.- ¿Qué valores han de tener a y b para que la función





















2

2

3

2

)

(

2 2

x

si

b

ax

x

si

x

x

x

f

sea derivable en x = 2?

16.- Halla la ecuación de la recta tangente a la curva

y



3

sen

2

x

en el punto de abscisa x= 0.

17.- Deriva la función

_y



3

₍

₅

_x



₃

₎

2

18.- El espacio recorrido por un móvil viene dado por la función

s

(

t

)



3

t

2



t



1

donde s se mide en metros y t en segundos. Calcula la velocidad en el instante t = 2 segundos.

19.- Di si la función















1

2

-2x

1

x

1

)

(

2

x

si

si

x

x

f

es derivable en x = 1.

20.- Deriva y simplifica:

x

x

L

y







1

1

;

x

a

x

a

L

y







;

x

senx

y

cos

1





;

21.- REPRESENTACIÓN DE CURVAS a)

Gráfica

de

y



x

2



4

x



3

b)

Gráfica

y



x

2



3

x



2

c)

Gráfica

de

f(x)



x

3



9

x

h)

x

Lx

y

de

Gráfica



i)

Gráfica

de

y



xe

x

j)

Lx

x

y

de

Gráfica



k)

Gráfica

de

y





x

-

1

22.- OPTIMIZACIÓN

a) De una lámina cuadrada de lado 10 cm. se cortan cuadrados en cada uno de los vértices con el objeto de hacer una caja abierta por arriba. Calcula el lado del cuadrado que se debe cortar para que el volumen de la caja sea máximo.

b) Un pastor dispone de 1000 metros de tela metálica para construir un cerco rectangular aprovechando una pared ya existente. Halla las dimensiones del cerco a fin de el área encerrada sea máxima.

c) Entre todos los rectángulos de perímetro 12 cm. ¿cuál es el que tiene la diagonal menor?

d) Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener 2 cm. cada uno, y los laterales 1 cm. Halla las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo

e) Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una circunferencia de 10 cm. de radio.

f) En una carretera a través del desierto un automóvil debe ir desde la ciudad A hasta el oasis P situado a 500 Km. De distancia de A. Puede aprovecha para ello una carretera recta que une las ciudades A y B y que le permite ir a una velocidad de 100 Km/h, mientras que

x

por el desierto la velocidad es de 60 Km/h. Sabiendo que la distancia más corta de P a la carretera que une las ciudades A y B es de 300 Km., determina la ruta que deberá usar para ir de A a P en el menor tiempo posible.

g) Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para 4.000 litros, ¿qué dimensiones debe tener para que su fabricación sea lo más económica posible? h) Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto de área

total 150 cm2 y volumen máximo. Determina su generatriz y su radio.

i) Con un alambre de 4 metros se quiere construir el borde de un rectángulo de área máxima. ¿Qué dimensiones hay que dar al rectángulo?

j) Se desea construir un marco rectangular para una ventana de 6 m2 de superficie. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 20 € y el tramo vertical es a 30 € el metro. Calcula las dimensiones de la ventana para que el coste de marco sea mínimo. k) Considérese un prisma recto de base rectangular, con dos de los lados de ese

rectángulo de longitud doble que los otros dos. Halla las dimensiones que ha de tener este prisma para que el área total sea de 12 metros cuadrados y que con estas condiciones tenga volumen máximo.

23.- Halla los valores de a y b en la función

f

(

x

)



x

2



ax



b

sabiendo que pasa por el punto P(-2, 1) y tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = -3

24.- Halla a, b y c en la función

f

(

x

)



ax

3



bx

2



cx



d

sabiendo que el punto P(0,4) es un máximo y el punto Q(2,0) un mínimo.

25.- Estudia la monotonía de la función

f

(

x

)



(

x



1

)

e

x

26.- Dada la función

1

)

(

2





x

x

x

SOLUCIÓN EJERCICIOS DE MATEMATICAS CC SS TEMA 8

1.-

a)

y



x

2

(

2

x



1

)

4

(

16

x



3

)

; b)





2

1

2

4







x

y

; c)



₃



2

2

2

6

x

x

x

y









2.-

1

4

4

)

(

'





x

x

f

,

g

'

(

x

)





6

(

3

x



1

)

sen

(

3

x



1

)

2 y

h

'

(

x

)



cos

x

·cos

2

x



2

senx

·

sen

2

x

3.-

y

'



x

x

(ln

x



1

)

4.-

1

4

'

4





x

x

y

5.- 3

)

1

(

)

1

(

2

'









x

x

y

6.-





2

4

'

x x

e

e

y









7.- No y No 8.-

senx

x

senx

y

1

cos

1

2











9.- pte= 5 y = 5x – 3 10.-

a)



₂



2

2

1

1

6

)

(

'











x

x

x

x

f

; b) ₃

)

5

(

6

)

(

'







x

x

g

: c)

h

'

(

x

)



(

6

x



2

)·ln

5

·

5

3x22x1

11.- ₃

)

5

(

2

4







x

x

y

12.-

1

3

2

3

4

'

₂









x

x

x

y

;



2

3



1

'





x

y

;

2

)·ln

6

5

(

5

2

'

₂









x

x

x

y

13.-:

x

y

cos

2

'



16.-

y



6

x

17.-

3

₍

₅

₃

₎

·

3

10

'





x

y

18.- 11 m/seg 19.- Sí

20.-

2

1

2

'

x

y





;

'

₂

2

₂

x

a

a

y





;

x

y

cos

1

1

'





;

21.- REPRESENTACIÓN DE CURVAS a)

Gráfica

de

y



x

2



4

x



3

c)

Gráfica

de

f(x)



x

3



9

x

d)

1

2

2

x

y

de

Gráfica

2









x

x

e)

1

x

y

de

Gráfica

2 2





x

1 1

f)

5

x

3

-2x

y

de

Gráfica





g)

1

1

x

y

de

Gráfica

2 2







x

h)

x

Lx

y

de

Gráfica



i)

Gráfica

de

y



xe

x

j)

Lx

x

y

de

Gráfica



22.- OPTIMIZACIÓN

a) V=(10-2x)2·x x = 5/3

b) A=x·(1000 – x)/2 x = 500 y = 250 c) d=

x

2



(

6



x

)

2 x = 3 y = 3

d) A=











 

2

-x

18

4

x·

x = 5 y = 10

e) A=

x

400



x

2 x = y =

200

f) t=

60

x

90000

100

x

-400



2



carretera = 175 Km desierto = 375 Km g) A=x2+16000/x lado base = 20 altura = 10

h) V=πr2_{·(150-2 πr}2_{)/(2πr) r = 2’82 altura = 5’64}

i) A=x·(2-x) x = y = 1

j) Coste=40·b+60·6/b b = 3 m h = 2 m

k) V=x·2x·(12-4x2)/(6x) base = 1 y 2 altura = 4/3 23.- a = 6 y b = 9

24.- a = 1, b = –3, c = 0 y d = 4

25.- ] –

_∞

, 0 ] decreciente [ 0 , +

_∞

[ creciente ( 0 , –1 ) mínimo

26.- ] –

∞

, 0 ] U ] 2 , +

∞

] creciente [ 0 , 1 [ U ] 1, 2 ] decreciente ( 0 , 0 ) máximo