1 La Geometría: “Un espacio perdido”
Prof. Mario E. Reynaga
Profesor en EGB3 y Polimodal en Matemática Lic. En Ciencias de la Educación con Especialización en Planeamiento, Supervisión y Administración Educativa Especialista en Enseñanza de la Educación Primaria y TIC´S
Introducción
Es frecuente para quienes tienen un vínculo con la enseñanza de la Matemática tanto en el Nivel Primario como en la Escuela Secundaria, el hecho de que el trabajo geométrico ha ido perdiendo espacio y sentido en las diferentes propuestas de enseñanza y aprendizaje de la Matemática.
El desarrollo del niño desde muy temprana edad comienza mediante el descubrimiento del espacio y del tiempo, de allí su importancia en las construcciones temporo - espaciales que se continúan trabajando en los diferentes Niveles de las Instituciones Educativas.
Existen diferentes y diversos motivos que pueden resultar causales de la pérdida de este espacio de enseñanza y aprendizaje, no es el objetivo del presente texto profundizar en estas posibles causas, sin embargo resulta de interés citarlas a manera de reflexión como parte del análisis de la Matemática y su Didáctica:
Lo dificultoso que resulta para los docentes encontrar suficientes situaciones, actividades, problemas y/o juegos que representen un verdadero desafío.
La importancia que implica el abordaje de otras ramas de la Matemática, en este caso la Geometría.
Lo complejo que resulta para los docentes el abordaje conceptual de los objetos geométricos, pertenecientes a un espacio teórico, quizás resulte importante el punto de vista didáctico de dicha diferenciación, es decir, entre un espacio teórico y un espacio real continentes de objetos, que los estudiantes deben poder identificar y diferenciar.
Lo que implica al docente planearse cómo promover en los estudiantes la posibilidad de despegarse del trabajo perceptivo o visual, en donde los dibujos trazados son representaciones de los objetos teóricos, y proponer otras posibles estrategias de enseñanza y aprendizaje.
La importancia de la selección de problemas, que pueden en un principio ser explorados empíricamente, para luego apoyarse en las propiedades mediante las cuales, los resultados adquieran un estatus de conjetura matemática por parte del estudiante.
Recuperar la Geometría como un espacio perdido, implica un enfoque basado en la resolución de problemas, por lo tanto permite identificar las particularidades que debería tener un “problema geométrico”, en tal sentido cabe señalar que: Para resolver un problema geométrico se ponen en juego las propiedades de los objetos. Por lo tanto es relevante señalar que:
2 La función que cumplen los dibujos en la resolución del problema no es la de permitir arribar a la respuesta por simple constatación sensorial, sino a la de la conceptualización anclada en las propiedades.
La validación de la respuesta dada al problema por parte del estudiante, entiéndase el concepto de validación en el marco de la Teoría de Situaciones de Guy Brousseau (1998), no se establece empíricamente sino también mediante el anclaje en las propiedades de los objetos, dando lugar a la construcción de un nuevo conocimiento.
La Geometría en el aula: Sistema Figurativo y Sistema Discursivo
Duval (1999) y Balacheff (1987, 1999) sostienen, que una de las claves para que los alumnos venzan el obstáculo del aprendizaje en la resolución de problemas y/o de demostraciones geométricas, radica en lo que los autores denominan “reconfiguración”.
Las actividades geométricas en el aula se realizan en dos sistemas: el de la Representación de las figuras, y en el Sistema del discurso.
A través del Sistema Figurativo, el estudiante representa sensorialmente los objetos geométricos y observa sus propiedades, dicha representación sensorial es plausible de ser realizada desde diferentes “manipulaciones”, y en el segundo enuncia definiciones y/o teoremas con sus demostraciones.
Para descubrir un resultado, resolver un problema o bien elaborar una demostración es necesario, por parte del estudiante, apoyarse y realizar transformaciones en el registro de las figuras. Significa que el estudiante no identifica las propiedades de las figuras con el sólo hecho de “percibirlas”, muchas veces lo que él observa y/o detecta, no es lo que el docente pretende que el educando identifique; esta diferencia radica en que docente y estudiante poseen una asimetría con relación al conocimiento geométrico.
El docente de manera “ingenua” supone, que el estudiante “observa” en la figura lo que él mismo “observa”, entiéndase que el hecho de “observar” refiere a un trabajo de percepción sensorial, sea cual fuere la que el estudiante pone en juego, acorde a sus posibilidades cognitivas.
Lo que el “ojo” observa depende de los conocimientos que pone en funcionamiento el observador.
Las figuras cumplen una función heurística en la resolución de problemas geométricos; ahora bien, éste ejercicio no es algo espontáneo ni automático, debe formar parte de una propuesta de enseñanza y aprendizaje, que se encuentre atravesada transversalmente durante los diferentes niveles de escolaridad. Presenta un verdadero desafío concretar una planificación de enseñanza de la Matemática, que no se proponga el alcance de objetivos a corto o mediano plazo solamente, sino que se focalice también en la posibilidad de entender la diversidad de los procesos de aprendizaje de cada persona, como un ser único y como un sujeto de derecho.
Las situaciones y/o actividades con soporte visual que se propongan a los educandos con la finalidad de indagar, reconocer o identificar propiedades, deben necesariamente, impactar en procesos intelectuales que las expliciten, y por otro lado también pensar en la posibilidad de recurrir a otros soportes en donde se ponen en juego otras capacidades cognitivas.
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“Un dibujo geométrico puede ser aprendido de cuatro maneras diferentes: aprehensión perceptiva, aprehensión secuencial, aprehensión discursiva y aprehensión operativa” (Duval, 1995, p. 143).
Duval (1995) sostiene que la aprehensión operativa, es la más efectiva para que el estudiante realice procesos de aprendizaje significativos; a través de la misma el problema geométrico es resuelto y/o demostrado, mediante procesos mentales más complejos, que promueven al igual que otras actividades en otras áreas de la Matemática el desarrollo del pensamiento abstracto.
La reconfiguración consiste precisamente en un tipo de aprehensión operativa, que significa redistinguir y reagrupar los elementos o sub figuras de una figura dada.
El Sistema Discursivo sostiene que en Geometría las figuras deben ser acompañadas mediante indicaciones verbales. “En Geometría no hay dibujo que se represente por sí
mismo, es decir, no hay dibujo sin leyenda” (Duval. 1999, p. 159).
Las indicaciones verbales determinan el estatus matemático de los objetos visuales. Pero dichas indicaciones verbales deben entenderse como “formas de comunicación”, no solamente recurrir al lenguaje oral, sino a otras formas posibles, dependiendo de cada sujeto.
Las soluciones de los problemas geométricos y/o producción de conjeturas y/o demostraciones, se realizan mediante una estrecha articulación entre figuras y el conjunto de enunciados, acordes a los diferentes niveles de enseñanza de la Geometría.
En un principio muchos autores (Poincaré, 1906, 1914; Hadamard, 1949) sostenían que para el estudiante validar y/o demostrar significaba convencer; hoy en día esa idea se contrapone con muchas experiencias didácticas, ¿convencer a quién? Bachelard (1938) sostiene que el destinatario es el mismo demostrador, con lo cual este significado cambia, se convierte, y demostrar significa convencerse, construir el sentido del concepto personalmente, otorgándole la posibilidad de transformarlo en instrumental, es decir como una “herramienta” para su propia vida.
Se plantea que la demostración posee autonomía interna en el contexto escolar, ésta significa ser partícipe de la verdad en un contexto educativo.
En Geometría surge una importante dificultad didáctica, ésta se debe al uso del dibujo como soporte necesario en el proceso de la validación y/o demostración, por lo tanto es necesario apelar a otros posibles recursos.
Para el docente una figura geométrica puede ser considerada genérica, con lo cual se excluye la particularidad de resolver un problema específico; sin embargo ésa perspectiva de lo genérico muchas veces resulta un obstáculo didáctico para el aprendizaje del estudiante, quien considera que esa misma figura es sólo un caso especial. Esto nos lleva a analizar que no solamente se presentan dificultades cognitivas, sino que se suman otras que complican notablemente el problema de la validación y/o demostración: como el dibujo, los accesorios, el lenguaje, entre otras.
Sin embargo desde el punto de vista didáctico, lo relacionado al aprendizaje de la resolución de problemas geométricos parecería centrase en dos aspectos centrales: el de hacer, y el de saber cómo funciona lo que se ha hecho, es decir realizar una introspección.
Estos aspectos fueron analizados en la teoría del aprendizaje de Piaget:
La justificación lógica de un juicio se hace en un plano diferente al de la invención de este
juicio. Mientras esta última es inconsciente y resulta de la recombinación de experiencias
4 más allá del pensamiento espontáneo de un pensamiento del pensamiento, que por sí solo es
capaz de necesidad lógica. (Piaget, 1958).
Ejemplo Nº1:
Analicemos la siguiente actividad pensada para estudiantes de Nivel Primario y/ Primer Ciclo Nivel Secundario:
“Construir un paralelogramo en el cual un lado mida 6 cm y el otro lado mida 4 cm. ¿Habrá un solo paralelogramo que cumpla estas condiciones?
Desde el punto de vista de la resolución de problemas geométricos la actividad pretende que los estudiantes identifiquen que no es suficiente considerar solamente los lados para caracterizar un paralelogramo, y que en consecuencia reconozcan que a estos datos se debería agregar por ejemplo, el ángulo que forman los dos lados. Si bien se parte de la definición de paralelogramo como requisito de aprendizaje, es muy probable que la representación mental que posean los estudiantes de Nivel Primario y/o Nivel Secundario, fuertemente anclada en lo perceptivo – visual, o bien por no haber tenido la posibilidad de realizar un verdadero trabajo geométrico argumentativo, implique una única representación como la siguiente:
6cm
4 cm
Este dibujo “usualmente” presentado a los estudiantes en diversas oportunidades, indudablemente limita la posibilidad de concebir al ángulo como variable si se conocen solamente las longitudes de los lados.
Retomamos el concepto del obstáculo didáctico del rectángulo y del ángulo recto, y sugerimos un trabajo mediante el cual un paralelogramo, no se encuentre de manera similar atravesado por esta dificultad. Es allí donde resulta interesante la pregunta que hace referencia a la unicidad o no de la construcción.
Si bien los estudiantes pueden considerar que un paralelogramo es “Como un rectángulo inclinado”, considerando su importancia didáctica cabe señalar si hubo propuestas de enseñanza en donde un rectángulo puede ser:
5 Esta “idea” posee una construcción conceptual basada en aspectos culturales fuertemente arraigados en la “forma” que poseen objetos de la vida cotidiana: ventanas, puertas, cajas, edificios, etc. Sin embargo, ¿conocemos cuál es el origen de dicha construcción cultural? Su origen se remonta a los orígenes del Desarrollo del Pensamiento Matemático referidos a la “divina proporción”, contenido que si bien implicó un gran avance en cuanto al pensamiento matemático, hoy en día debe ser “tomado” como una propuesta problematizadora de nuestras propias prácticas de enseñanza. “Toda herramienta
pedagógica didáctica puede resultar potente para el desarrollo del pensamiento abstracto”
Un paralelogramo!!!
Retomando la actividad y la importancia de la pregunta vinculada a la unicidad de la construcción, una posible intervención docente para el trabajo en el aula implica preguntar a los estudiantes:
¿Si se modifica la posición de uno de los lados, se obtiene “otro” paralelogramo que cumpla las mismas condiciones?
Avanzando en el trabajo argumentativo surge también la posibilidad de avanzar un poco más: ¿Cómo hacer para indicar que se pueden construir muchos paralelogramos? ¿Será posible construir todos? ¿Cuántos son? Si se cambia el ángulo, ¿qué otros elementos del paralelogramo se modifican? ¿Cuáles se mantienen? Surge así la potencia de la actividad como resultado del análisis que permitirá identificar que en los paralelogramos así construidos se modifican también la altura y las diagonales.
Estas discusiones que se intentan promover y/o generar con los estudiantes, desde un enfoque basado en la resolución de problemas son sustanciales como punto de partida en la experiencia de la construcción, en la toma de decisiones del uso de algunos útiles de geometría (compás), el reconocimiento de la unicidad o no, etc. Preparando al estudiante en la producción del trabajo argumentativo. Indudablemente “poder” hacer uso de otros recursos didácticos, como software específicos, produce una economía de tiempo indiscutible, pero el trabajo con útiles de geometría tradicional también lo hace posible, no es algo que necesariamente deba ser descartado y/o reemplazado por un entusiasmo infundado. Lo importante es poder realizar una propuesta de enseñanza y aprendizaje de la Geometría “potente” con los recursos que se dispone.
6 Ejemplo Nº2:
Analicemos la siguiente actividad pensada para estudiantes de Nivel Primario y/o Nivel Secundario:
“Construir un paralelogramo en el cual uno de los lados mida 7 cm, otro mida 4 cm y la diagonal mida 11 cm”
Siguiendo con el enfoque basado en la resolución de problemas en Geometría, la intencionalidad didáctica de este problema, es que los estudiantes de Nivel Primario y/o Nivel Secundario, reconozcan la relación triangular entre dos lados consecutivos y su diagonal. La construcción no se establece empíricamente, sino que también se encuentra anclada en la relación entre los datos y las propiedades de los objetos, dando lugar a la construcción de un nuevo conocimiento. Es decir la posibilidad de unir dos triángulos y obtener un paralelogramo.
Es probable que aquellos estudiantes que poseen poca experiencia en las actividades geométricas no reconozcan esta relación, y en consecuencia realicen la construcción a partir de los datos presentados. El problema como medio didáctico sanciona las retroacciones cognitivas del estudiante frente a la duda de llegar o no a buen término, y en muchos casos puede obtener dibujos como el siguiente:
11cm 4 cm
7 cm
Evidentemente este tipo de construcciones es consecuencia de los errores de medición que cualquier estudiante podría realizar debido a lo poco precisos de los instrumentos que utiliza. No hay en esta construcción, en principio, ningún tipo de reflexión sobre las propiedades de la figura, pues la construcción se hizo a partir de una lógica empírica.
Enseñar a enseñar: El uso de varillas articuladas (palitos de helados, cintas de cartulina,
tiras de cartón, tiras de acetato y/o celuloide, y tachas) permiten al docente una experiencia de
trabajo previo y lúdico con los estudiantes, que muchas veces necesitan trabajar e integrar material
7 Referencias bibliográficas:
Balacheff, Nicolás (1982) “Preuve et démonstratión en mathemathique au collage. Recherches Didactique es Mathématiques” Vol. 3 nº 3, p 261- 304.
Balacheff, Nicolás (1987) “El origen de la demostración: ensayo en epistemología didáctica” Vol. 8, p. 267 – 312. Gilber Arsac (eds). Laboratoire Leibniz, Grenoble.
Balacheff, Nicolás (1999) “¿Es la Argumentación un Obstáculo?” Laboratoire Leibiz, Grenoble.
Brousseau, Gay (2007) “Iniciación al Estudio de la Teoría de las Situaciones Didácticas” Editorial Libros del Zorzal, Buenos Aires.
D’Amore, Bruno (2009) “Didáctica de Matemática Editorial Magisterio”. Bogotá,
Duval, Richard (1993) “Registres de représentatión sémiotique et fonctionnement cognitific de la pensée, Annales de didactiques et de sciencies cognitives” IREM de Strasbourg.
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Santaló, Luis (1968) “La Enseñanza de la Matemática en la Escuela Media” Proyecto CINAE – Buenos Aires,
Vernant, Jean (1979) “Religión, Historia y Razón” Editorial Maspero, París,
