Modelo de Fitzhugh-Nagumo y las redes neuronales

(1)

Universidad EAFIT Facultad de Ciencias B´asicas

Modelo de Fitzhugh-Nagumo y las

redes neuronales

Tesis de Maestr´ıa presentada por Jasmidt Vera Cuenca, cod. 200410027016

Yineth Medina Arce, cod. 200410015016

Director

Dr. Mauro Montealegre C´ardenas Maestr´ıa en Matem´aticas Aplicadas

Departamento de Matem´aticas Facultad de Ciencias Exactas

Universidad Surcolombiana

Universidad EAFIT Medell´ın

(2)

Universidad EAFIT Facultad de Ciencias B´asicas

Modelo de Fitzhugh-Nagumo y las

redes neuronales

Tesis de Maestr´ıa presentada por Jasmidt Vera Cuenca, cod. 200410027016

Yineth Medina Arce, cod. 200410015016

Director

Dr. Mauro Montealegre C´ardenas Maestr´ıa en Matem´aticas Aplicadas

Departamento de Matem´aticas Facultad de Ciencias Exactas

Universidad Surcolombiana

Universidad EAFIT Medell´ın

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Agradecimientos

Agradezco a Dios por haberme permitido llegar a la culminación de este sueño tan anhelado, a la Universidad Eafit por brindarme la oportunidad de acceder a los conocimientos; al Doctor Mauro Montealegre Cárdenas por su paciencia, perseverancia y apoyo incondicional para el desarrollo y culminación de este proyecto, a mi amigo y profesor Gustavo Londoño Betancour por sus conocimientos y tiempo; a mi madre, a mi hija Natalia por su tiempo, tolerancia, comprensión y voz de aliento para no desfallecer en la firme decisión de alcanzar esta meta y a todos los que de una u otra forma han contribuido para la realización de este logro significativo para mi vida.

Jasmidt Vera Cuenca

Quiero expresar mis agradecimientos a la universidad Eafit por contribuir con mi engrandecimiento personal y profesional y que a la vez permitiera alcanzar uno de mis grandes sue˜nos.

Agradezco especialmente la colaboraci´on de:

Al doctor Mauro Montealegre Cárdenas, mi asesor de tesis quien con sus conocimientos paciencia y oportunas orientaciones contribuyó a la culmi-nación de esta tesis.

Al profesor Gustavo Londo˜no por ofrecernos sus conocimientos y orienta-ciones durante el transcurso de la tesis.

Dedico esta tesis:

A mis dos hijos, Javier y Luis Ernesto que me regalaron su tiempo para que este logro fuera posible.

A mis familiares

A mis amigos (amigas).

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(6)

´Indice general

Introducci´on 1

1. Definiciones relacionadas con los procesos din´amicos no

lineales 3

1.1. Sistemas gradientes [PE] . . . 3

1.1.1. Definici´on . . . 3

1.1.2. Conjugaci´on Topol´ogica . . . 4

1.2. Variedades invariantes . . . 6

1.2.1. Conjuntos invariantes [GU,HO] . . . 6

1.2.2. Teorema de las variedades invariantes bajo difeomorfismos [PE] . . . 6

1.2.3. Variedades invariantes para flujosϕasociados a ecuaciones diferenciales . . . 7

1.2.4. Variedades invariantes para órbitas periódicas hiperbólicas 7 1.2.5. Teorema de la variedad central . . . 7

1.3. Formas normales . . . 8

1.4. Bifurcaci´on de Hopf . . . 10

1.4.1. Bifurcaci´on de Hopf para ecuaciones diferenciales . . . 10

1.4.2. Bifurcaci´on de Hopf para mapeos . . . 10

1.4.3. Bifurcaci´on de Bogdanov-Takens . . . 11

1.5. An´alisis de la forma normal en _R2 _{en torno a un foco (para} una bifurcaci´on de Hopf) . . . 11

1.6. Compactificación de Poincaré de un sistema dinámico . . . 14

1.6.1. La proyecci´on estereogr´afica . . . 14

1.6.2. La proyecci´on central . . . 15

(7)

iv ´INDICE GENERAL

1.6.3. Observaci´on . . . 16

1.7. Metodos num´ericos para resolver ecuaciones diferenciales . . . 16

1.7.1. M´etodo de Euler [Ki,Che] . . . 17

1.7.2. El m´etodo de Runge-Kutta. . . 17

2. Modelo de Fitzhugh-Nagumo para el potencial de una membrana 19 2.1. Fundamentos . . . 19

2.2. Estructura de una neurona . . . 21

2.3. Excitabilidad de la membrana celular . . . 22

2.4. Modelo de Fitzhugh Nagumo . . . 24

2.4.1. Estados de equilibrio y ceroclinas . . . 25

2.4.2. Estabilidad del potencial de reposo y linealizaci´on . . . 27

2.5. An´alisis param´etrico . . . 28

2.5.1. Existencia de un ´unico estado de equilibrio . . . 29

2.5.2. Caso aut´onomo . . . 30

2.5.3. Estimulaci´on de la c´elula con una corriente externa . . . . 32

2.5.4. Conclusi´on del Cap´ıtulo 2 . . . 34

3. Estudio cualitativo del modelo FitzHugh-Nagumo espacio-temporal en _R3 37 3.1. Definiciones y conceptos b´asicos . . . 37

3.1.1. An´alisis de la estabilidad lineal . . . 40

3.2. Simetr´ıas del sistema . . . 41

3.3. Espacio vectorial tangente generado por los vectores propios . 44 3.4. Reducci´on de la variedad central y forma normal . . . 46

3.5. Análisis numérico: bifurcación y caos . . . 48

3.6. Los coeficientes R(2_ij,3) . . . 49

3.7. Bifurcaciones de órbitas homocl´ınicas, heterocl´ınicas y periódicas 50 3.7.1. Introducción . . . 50

3.7.2. Orbitas heterocl´ınicas . . . .´ 51

3.7.3. Las bifurcaciones heterocl´ınicas . . . 51

3.8. Bifurcaciones Homocl´ınicas para el modelo de Fitzhugh-Nagumo con su perturbaci´on singular, sistema lento-r´apido. . 52

3.9. Conclusiones del cap´ıtulo tres . . . 55

4. Las din´amicas de las redes neuronales no lineales 57 4.1. El modelo de Hopfield . . . 57

4.1.1. Identificaci´on de sistemas din´amicos mediante redes neuronales . . . 61

(8)

´_{Indice General} _V

4.3. Modelo de aprendizaje de una neurona d´ebilmente no lineal . 69 4.3.1. Modelo matem´atico de una neurona y su proceso de

aprendizaje . . . 69

4.3.2. Conjugaci´on topol´ogica de cascada de gradientes . . . 70

4.3.3. Comentario . . . 71

4.3.4. Neuronas d´ebilmente no lineales . . . 72

4.3.5. Din´amica del proceso de aprendizaje de una neurona no lineal . . . 75

4.4. El movimiento errante y el f´enomeno co-operativo en una red neuronal: un modelo de memorio asociativa . . . 78

4.4.1. Modelo . . . 79

4.4.2. Memoria asociativa. . . 81

Conclusiones 83

(9)

(10)

Introducci´

on

Este trabajo de tesis es motivado por el conocimiento de la din´amica nerviosa y las relaciones b´asicas con las redes neuronales artificiales, proble-ma fundamental de la biofisica y la tecnologia contemporanea.

Para ello nos soportamos en los trabajos de R. Fitzhugh [FH]; P. Mu-ruganandam y M. Lasklmanan [MU,MA]; Andrzej Bielecki [BiI] y [BiII]; M. Atencia, G. Joya y F. sandoval [AT,JO,SA], Carolina Barriga y otros [BA,CARR,ON]; entre otros.

El método usado en nuestra tesis es el análisis cualitativo de los sis-temas dinámicos que surgen de la actividad de la membrana nerviosa, tal como lo presenta en sus trabajos de J. Gukhenheimer and P. J. Holmes [GU,HO], Morris F. Hirsch and Stephen Smale [MO,ST], Mauro Montealegre y otros [MON,LON,POL], y Lawrence Perko [PE]. Buscando aplicaciones básicas en los procesos de aprendizaje y de reconocimiento de parámetros, a partir de los estudios de [BA,CARR,ON] y [BiI].

(11)

2 Introducci´on

cuya existencia tiene significado relevante en la actividad de la membrana nerviosa; las simulaciones necesarias son ralizadas usando el software Integra. En el cap´ıtulo tres estudiamos el modelo de Fitzhugh-Nagumo en la versión espacial espacio-temporal dada por una ecuación diferencial parcial; la cual por medio del cambio de variable del tipo de onda viajera conduce a una ecuación diferencial ordinaria en tres dimensiones; via variedad central llegamos de nuevo a un estudio cualitativo bidimensional confirmando los resultados obtenidos en el cap´ıtulo dos, ampliando as´ı el conocimiento de la bifurcación de Hopf. Aqu´ı las técnicas son más elaboradas pues se requiere escribir las ecuaciones en formas normales especiales, además de técnicas especiales para reconocer bifurcaciones homocl´ınicas y heterocl´ınicas en la versión S. N. Chow, B. Deng y D. Terman. Los estudios a este nivel aún son incipientes en la literatura conocida.

(12)

CAP´ITULO

1

Definiciones relacionadas con los procesos din´

amicos no

lineales

1.1.

Sistemas gradientes [PE]

1.1.1.

Definici´on

Sea Ω ⊆_Rn _{un conjunto abierto,y} _v _{: Ω}_−→

R una funci´on potencial de clase C2_{, entonces el sistema gradiente tiene la siguiente forma}

˙ ~

x= d~x(t)

dt =−grad v(~x(t)) (1.1.1) donde

grad v(~x(t)) =

∂v(~x(t)) ∂x1

,∂v(~x(t)) ∂x2

, ..., ∂v(~x(t)) ∂xn

T

,

grad v : Ω−→_Rn _{es el campo vectorial gradiente. El sistema (1.1.1) tiene}

las siguientes propiedades:

i) si ˙v = ∂v_∂t : Ω−→_Res la derivada de v a lo largo de las trayectorias de (1.1.1); esto es,

˙

v(x) = dv(v(t)) dt

t=0 por la regla de la cadena tenemos

˙

v(x) =Dv(~x(t))·~x(t)˙

=hgrad v(~x),−grad v(~x)i =−|grad v(x)|2

(13)

4 Definiciones relacionadas con los procesos din´amicos no lineales

ii) Para c∈_R constante, si ∂v_∂x(~x)

n 6= 0, para ~x∈ B(

~

U), por el teorema de la funci´on implicita tenemos que

v(x1, x2, ..., xn−1, g(x1, x2, ..., xn−1)) =c, g : _Rn−1 _−→

R es una superficie n −1 dimensional y de clase C1. Entonces si grad v(~x) 6= 0, esto es ~x es un punto regular de (1.1.1), las curvas de nivel de v atraviezan transversalmente las trayectorias de (1.1.1), como se muestra en la siguiente figura para el potencial: v(x, y) =x2(x−1)2 +y2

Figura 1.1.1 Sistema gradiente

iii) La función L : Ω −→ _R, L(~x) = v(~x)−v(x0),~ donde ~x0 es un punto de equilibrio de (1.1.1), esto es grad v(~x0) = 0 es una función de lyaponov ; además los m´ınimos de v son equilibrios asintoticamente estables de (1.1.1).

1.1.2.

Conjugaci´on Topol´ogica

i) Sean dos dominios abiertos Ω1,Ω2 ⊆ _Rn _{para los campos vectoriales}

f ∈C1_(Ω

1), g ∈C1(Ω2) decimos que los dos sistemas ˙

~x=g(~x) ˙

~

y =f(~y) (1.1.3)

son topológicamente conjugados si tienen la misma estructura dinámica y preservan la orientación dada por el tiempo, esto es, existe un homeomorfismo H: Ω1 −→Ω2 tal que

H0φt(~x,τ)(~x) =ψτ◦H(~x) (1.1.4)

(14)

1.1 Sistemas gradientes [PE] 5

Ejemplo 1.1.1. (Sobre el teorema de Hartman-Grobman [PE]) Si~0∈Ω⊆ Rn y f~ ∈ C1(Ω) con f~(~0) = 0 y adem´as A = Df(0), entonces para el flujo φt de ˙~x=f(~x) tenemos

H◦φt(~x) =eAtH(~x)

donde H es un homeomorfismo de Ω en Ω; t∈ I ⊂_R, I es un intervalo que contiene el origen del tiempo.

Ejemplo 1.1.2. Sea ˙~x = f~(~x) y para el cual construimos el nuevo campo vectorial ˙~x = f~(~x)

1+k_f~₍_~_x₎k, los cuales resultan ser topol´ogicamente conjugados;

sólo que el segundo es siempre un sistema dinámico porque su solución es ϕt(x) =~x0+

Z t

0

f(x(s)) 1 +kf(x(s))kds con

f(~x0) = 0 ϕt(~x) : Ω×R−→Ω

Ejemplo 1.1.3. Dos difeomorfismo xn+1 = f(xn) y yn+1 = g(yn) pueden

ser topol´ogicamente conjugados (y hasta diferencialmente conjugados), por ejemplo:

i) Qc(x) = x2 +c y Fµ(x) = µx(x−1) son topol´ogicamente conjugados via

un homeomorfismo de la formah(x) = αx+β.

ii) Si f : _R −→ _R es un difeomorfismo con Df(x) > 0, ∀x ∈ _R; la ecuaci´on diferencial es ˙x = f(x)−x define un flujo ϕt : R −→ R, se puede mostrar

que f y ϕ1 son topol´ogicamente conjugados.

iii) Si dos orbitas periódicas de un sistema ˙~x = f(~x) son asintóticamente estables, entonces en vecindades de ellos se puede definir mapeos de Poincaré que resultan topológicamente conjugados.

iv) Los mapeos F(x) = 4x(x −1) para 0 ≤ x ≤ 1 y la aplicaci´on tienda G(x) = 2 1₂ − |1

2 −x|

son topol´ogicamente conjugados, basta tomar el difeomorfismo h(x) = 2π−1arcsen√x. Se deduce que si xn+1 = G(xn) con

n= 0,1,2, ... y yn=sen2(πx₂n), entoncesyn+1 =F(yn).

v) Sea Λ el conjunto de cantor generado por la ecuaci´on cuadr´atica Fµ(x) =

µx(1−x), para µsuficientemente grande, para la restricci´on siguiente Fµ|Λ

existen dos intervalos I0 y I1 tal que Λ ⊆ I0 ∪I1; para x ∈ Λ definimos el homeomorfismo h(x) = s0s1s2... donde sJ = 0 si FµJ(x) ∈ I0, sJ = 1 si

FJ

µ(x)∈I0FµJ(x)∈I1, se puede mostrar que si µ >2 + √

(15)

donde

σ :X 2

−→X 2

(1.1.5) es el mapeo shift.

1.2.

Variedades invariantes

1.2.1.

Conjuntos invariantes [GU,HO]

La ´orbita de un punto mediante un difeomorfismo f(xn+1 = f(xn)), o

mediante un flujo ϕ(ϕt : x −→ ϕt(x)), puede permanecer en una regi´on

especial del espacio de fases Ω. Un conjunto Λ ⊆ Ω es invariante para f (´o paraϕ) sifm(Λ)⊆Λ ´o ( ϕt(Λ)⊆Λ);∀m ∈Z(∀t∈R).Es positivamente

invariante si m∈_Z+ _{(t >}_0), _{o negativamente invariante si}_m _∈

Z− (t <0). Ejemplo 1.2.1. El alfa limite de y ,α(y) ´o el omega limite de y, w(y) son son conjuntos invariantes, [PE] .

1.2.2.

Teorema de las variedades invariantes bajo difeomorfismos [PE]

Sea f : Ω −→ _Rn _{un difeomorfismo con un punto fijo} _~_x

0 ∈ Ω, esto es f(~x0) = x0. Entonces existe una vecindad N ⊆ Ω con ~x0 ∈ N que contiene las siguientes variedades estable y inestable:

W_Locs (~x0) ={~x∈N|fm(~x)−→~x0 cuando n−→+∞}, (1.2.1) W_Locµ (~x0) = {~x∈N|fn(~x)−→~x0 cuando n−→ −∞}, (1.2.2) ~x0 es hiperb´olico si Df(x0) tiene todas las partes valores propios diferentes de (1.1.5).

Para ~x0 hiperb´olico podemos extender las variedades locales invariantes anteriores a las variedades globales estables o inestables siguientes

Ws(~x0) = puntos de acumulaci´on

[

m∈Z+

(16)

1.2 Variedades invariantes 7

Wu(~x0) =puntos de acumulaci´on

[

m∈Z

fm(W_Locu (~x0)) (1.2.4)

1.2.3.

Variedades invariantes para flujos ϕ asociados a ecuaciones diferenciales

˙ ~

x = f(~x), con f(~x0) = 0 equilibrio hiperb´olico, tenemos las siguientes variedades invariantes locales:

W_Locs (~x0) = {x∈N| ϕt(x)−→~x0 cuando t →+∞}, W_Locu (~x0) = {x∈N| ϕt(x)−→~x0 cuando t → −∞}; con variedades globales:

Ws(~x0) = [

t>0

ϕ−t(WLocs (~x0))

Wu(~x0) =

[

t>0

ϕt(WLocu (~x0))

1.2.4.

Variedades invariantes para órbitas periódicas hiperbólicas

Seaσ una orbita peri´odica de ˙~x=f(~x) se pueden definirWs(σ) yWu(σ), como se ilustra en la siguiente

Figura 1.2.4 ´orbita per´ıodica del tipo silla

1.2.5.

Teorema de la variedad central

Si f ∈ Cr _{es un campo vectorial,} _f _{: Ω} _−→

Rn, asociado a la ecuaci´on diferencial ˙~x=f(~x;µ), ~x0 un punto de equilibrio no-hiperb´olico (f(~x0) = 0) con A=Df(~x0;µ), el espectroσ deA se divide en tres partes: σs,σµ,σc con

(podemos asumir~x0 = 0):

Re(λ) =







<0 si λ∈σs

= 0 si λ∈σc

(17)

con respectivos autoespacios Es_,Eµ_,Ec_{. Entonces tambi´}_{en existe una}

variedad invariante Wc, la variedad central, tangente a Ec en ~x0 de clase Cr−1, la cual es el gr´afico siguiente

Wc ={(xs, xc, xµ)/xc =h(xs, xµ);h(0) =Dh(0) = 0}

1.3.

Formas normales

Sea la ecuaci´on diferencial siguiente ˙

x=Ax+hr(x) con x∈Rn (1.3.1)

y el siguiente polinomio homogeneohr(x) = h2(x) +h3(x) +...+hr(x),hk(x)

es de grado k, mediante el siguiente cambio de coordenadas proximas a la unidad,

ξ(y) =y+ξk(y), y ∈_Rn_; _(1.3.2)

cuya derivada es,

Dξk(y) = I+ξ_yk(y); (1.3.3) ξy(y) con inversa

(ξy(y))−1 =I −ξyk(y) + 0(|y|

2k−2

) (1.3.4)

Tenemos que para y ∈ Ωk, Ωk una peque˜na vecindad del origen en Rn , tenemos que el sistema (1.3.1) se transforma en el siguiente sistema en la variable y:

˙

y=Ay+h2(y) +hr−1(y) +{hr(y)−[Dξk(y)Ay−Aξk(y)]}+ 0(|y|k+1) (1.3.5)

Ahora sea Hk

n el espacio vectorial de los campos de vectores de polinomios

homog´eneos (sin coeficientes independientes) con n variables de grado k . Definimos el operador de Lie LK_A:

LK_A =H_nk −→H_nk

(LK_Aξk) =ξk(y)Ay−ADξk(y), (1.3.6) Lk_A es denominado el colchete de Lie, y es tal que

H_nk =Rk⊕ϑk; (1.3.7)

donde:

(18)

1.3 Formas normales 9

ϑk =ker (Lk_A)(H_nk) (1.3.9) tomamos la base del espacio vectorial Hk

n dada por los polinomios {xα ·

exp_i}i=1,...,n donde

αk =xk1

1 x

k2

2 ...x

kn

n con k1+k2+...+kn=k

ei = (0,0, ...,1,0, ...,0),1 en la posici´on i`. (1.3.10) En ´este contexto tenemos el siguiente teorema y definiciones

Teorema 1.3.1. Sea X(~~ x) un campo de vectores diferenciable en _Rn_,

para la ecuaci´on diferencial (1.3.1) con X(0) = ~0, entonces existe una transformaci´on polinomial en las nuevas coordenadas ~y tal que este sistema se trasforma en:

˙

y=Ay+g2(y) +...+gr(y) + 0(|y|r+1₎ _(1.3.11) y∈Ωk, donde gk ∈ϑk para k = 2, ..., r (1.3.12)

Definici´on 1.3.2. Sea el vector de valores propios de (1.3.1) ~λ = (λ1, λ2, .., λn) entonces para m·λ=λm11.λ

m2

2 ...λmnn obtenemos

∧m,i = (m~ ·~λ)−λi, (1.3.13)

Se puede probar que

LK_A(xα·ej) = (λ·α−λj)xαej (1.3.14)

Definici´on 1.3.3. Una n-dupla de autovalores ~λ = (λ1, λ2, ..., λn) es

resonante de orden r, si

λi =

X

j=1

mjλj (1.3.15)

Para mj ∈ N, con Pnj=1mj = r, y alg´un j = 1, ..., n. Podemos notar que hr(x) de (1.3.1) puede desaparecer si escogemos ξk tal que

Lk_A(ξk(y)) =hr(y), (1.3.16)

entonces escogiendo la base can´onica {xα_·_e

i}i=1,..,n tenemos

ξr(x) =

X

m,i

ξm,ixmei (1.3.17)

Sustituyendo (1.3.17 ) en (1.3.16) vemos que si los autovalores no son resonantes de orden r, entonces

ξm,i =

Xm,i

(m~ ·~λ−λi)

(19)

1.4.

Bifurcaci´on de Hopf

1.4.1.

Bifurcaci´on de Hopf para ecuaciones diferenciales

Consideremos un sistema que localmente tiene la siguiente forma

(

˙

x=f(x, y) =fxµµx−(w−fyµµ)y+...=µx−wy−(x2+y2)x+...

˙

y=g(x, y) = (w+gxµµ)x+gyµµy+....=wx+µy−(x2 +y2)y+...;

(1.4.1) El cual en coordenadas polares es

(

˙

r=α(µ) +ReA(µ)r3+ 0(r5)

˙

θ =β(µ) +ImA(µ)r2 + 0(r4)

o en t´erminos de z = x + iy y λ(µ) = α(µ) + iβ(µ) es equivalente ˙

z = λ(µ)z +A(µ)|z|2_z _{+ 0(|z|}2_{). Resulta que (1.4.1) tiene un equilibrio en} el origen, el cual es un foco y una ´orbita peri´odica de radio aproximado a r=

q

−_Rα(µ)

eA(µ) y per´ıodo aproximado a

2π

β(µ). De la ecuaci´on caracter´ıstica de este sistema en torno del origen, tenemos que sus valores propios

λ(µ) = α(µ)±iβ(µ)

con

α(µ) = 1

2(fµx+gµy)µ+ 0(µ 2_), β(µ) =w(1 + µ

2w(gµx−fµy)) + 0(µ 2_), con la condición génerica para la bifurcación de Hopf siguiente

d

dµα(µ)|µ=0 6= 0

1.4.2.

Bifurcaci´on de Hopf para mapeos

Fλ

x y

= (λ+β(x2+y2))

cos(θ0+µr2), −sin(θ0+µr2) sin(θ0+µr2), cos(θ0+µr2)

x y

(1.4.2) donde exp(niα)6= 1 para n = 1,2,3,4. el cual tiene un punto fijo (0,0); este sistema se expresa en coordenadas polares como

(

r1 =λr+βr3+ 0(r5) θ1 =θ+α+γr2+ 0(r4)

(20)

1.5 An´alisis de la forma normal en _R2 _{en torno a un foco (para} una bifurcaci´on de Hopf ) 11

de lo que se deduce la existencia de una ´orbita peri´odica en r =

q

(1−λ)

β ,

la estabilidad de la órbita depende del signo de β (la órbita de Hopf puede ser subcr´ıtica o supercr´ıtica). El sistema (1.4.3) en variable compleja tiene la siguiente expresión

zn+1 = 1 +αµ+ 0(µ2) exp(iθ(µ))zn+A(µ)|zn|2zn+ 0(|zn|2)

con la condici´on generica d_dµ|λ|(0) =α, deλ(µ) = 1 +αµ+ 0(µ2_).

1.4.3.

Bifurcaci´on de Bogdanov-Takens

corresponde al sistema bidimensional de dos par´ametros, ver [PE]

(

˙ x=y

˙

y=µ1+µ2y+x2+xy

(1.4.4)

1.5.

An´alisis de la forma normal en_R2 en torno a un foco (para una bifurcaci´on de Hopf )

Seguiremos con el procedimiento de la forma normal dada por Crawford para el flujo en dos dimensiones

˙

X =V(X)≡V(1)(X) +V(2)(X) +..., X ≡(x, y)∈_R2 (1.5.1) V(1)(X) =

γx+wy −wx+γy

(1.5.2) Sea la transformaci´on

X0 =X+φ(k)(X) (1.5.3)

cuya inversa es

X0 =X−φ(k)(X) + 0(x2k+1) (1.5.4) donde

φk:_R2 −→_R2 _(1.5.5)

es un mapeo polinómico homogeneo de grado k. Esta transformación en la ecuación (1.5.1) nos lleva a

˙

X =V(X)−Lk[φ(k)(X)] + 0(xk+1) (1.5.6) donde

(21)

Para cambiar todos los t´erminos de grado k, uno debe solucionar,

V(1)(X)−L[φ(k)(X)] = 0 (1.5.8) o sea

φ(k)(X) = (Lk)−1[V(1)(X)]. (1.5.9) Aqu´ı Lk puede ser visto como una matriz dimensionalmente finita y sera posible cambiar todos los t´erminos de orden k si y solo si detL 6= 0. As´ı φ(k)_{(X) puede ser asumida como un vector en el espacio dimensional} 2(k + 1), a saber K(k)₍

R2), esto es, φ(k)(X) ∈ K(k)(R2) y Lk es una transformaci´on lineal que actua sobre este espacio

Lk :K(k)₍

R2)→L[K(k)(R2)] (1.5.10) K(k)(R2) = H₂k si el determinante detLk = 0, entonces Lk tiene uno de los valores propios cero. En la presencia de tal valor propio cero uno puede especificar un subespacio completo=(k)_,_{como en (1.3.7),}

K(k)₍2_{) =} _L[K(k)₍

R2)] +=(k) (1.5.11) Una vez=(k) _{es elegido , entonces los t´}_{erminos de orden}_k _{pueden ser escritos} como

V(k) =V_r(k)+V_g(k) (1.5.12) con

V(k) ∈L[K(k)₍

R2)] (1.5.13)

y

V_g(k) ∈ =(k) (1.5.14) la componente Vr(k) desaparece mediante este cambio de coordenadas.

Asumiremos la forma de φ(k) como

φ(k)(x, y) =





φ(xk)(x, y)

φ(yk)(x, y)



 (1.5.15)

donde

Lk[φ(k)(x, y)] =

γ w −w γ

φ(k)_(x) φ(k)_(x)

−



 

∂φk₍_x₎

∂y

∂φk₍_x₎

∂y

∂φk₍_y₎

∂x

∂φk₍_y₎

(22)

1.5 An´alisis de la forma normal en _R2 _{en torno a un foco (para} una bifurcaci´on de Hopf ) 13

Para determinar los valores propios de Lk _{es mas conveniente usar}

coordenadas complejas (z,z). Entonces la ecuaci´¯ on (1.5.15) escrita en variable complejas como

Lk[φ(k)(z,z)] =¯

γ−iw 0 0 γ+iw

φ(k)_(z) φ(k)(¯z)

−



 

∂φk₍_z₎

∂z

∂φk₍_z₎

∂z¯

∂φk_(¯_z₎

∂z

∂φk_(¯_z₎

∂z



 

(γ−iw)z (γ+iw)¯z

(1.5.17) La ecuaci´on de arriba tiene vectores propios de la forma (O(k),0) y (0, O(k)). Supongamos el vector dado por

ξ₊(k,l) =





zl_z_¯k−l

0





y

ξ−(k,l) =





0 zl_z_¯k−l



, l = 0,1,2, ..., k (1.5.18)

y sean los vectores propios de Lk _{y usando una base para}_H(k)₍

R2).Entonces los valores propios deL pueden obtenerse de la forma

Lk[ξ±(k,l)] =λ

(k,l)

± ξ

(k,l)

± (1.5.19)

donde

λ(_±k,l)= (1−k)γ−iw(k−2l±1) (1.5.20) Para encontrar los términos de orden k que no se pueden quitar por la transformación uno tiene que encontrar la condición para valores propios cero (puesto que detLk = 0 implica que al menos Lk tiene un valor propio cero). Esto igualando a cero tanto la parte real como la imaginaria de (1.5.20) obtenemos:

(1−k)γ = 0 (1.5.21)

(k−2l±1)w= 0 (1.5.22)

En la bifurcaci´on de Hopf γ = 0 y w 6= 0 e implica que k−2l±1 = 0. Ya que 2l±1 es impar, parak par nunca se cumplira la ecuaci´on (1.5.22) y para k impar, esto esk = 2i±1 tenemos dos vectores propios:

ξ₊(k,(k+1)/2) =





zl|z|k−l

0



(23)

y

ξ−(k,(k+1)/2) =





0 zl_|z|k−l



 k = 3,5,7, ... (1.5.23)

Estos dos vectores forman una base para el subespacio complementario (1.5.11) =(k)_{. Mediante la aplicaci´}_{on de la transformaci´}_{on de coordenadas} sucesivamente uno puede obtener la forma normal de todo orden par cambiando los t´erminos no lineales,

˙ z ˙¯ z =

γ−iw 0 0 γ+iw

z ¯ z + ∞ X j=1

αjz|z|2j

¯ αjz|z|¯ 2j

(1.5.24)

la cual puede ser escrita en coordenadas polares en la forma estandar ˙

r=r

γ+P∞

j=1ajr2j

(1.5.25) ˙

θ=w+

∞

X

j=1

bjr2j (1.5.26)

dondeaj =Re(αj) y bj =−Im(αj).

1.6.

Compactificación de Poincaré de un sistema dinámico

1.6.1.

La proyecci´on estereogr´afica

Se trata de proyectar la esfera S2 = {(x, y, z)∈ _R3_| _{k(x, y, z)k} _{= 1} ⊆} R3 en el plano (x, y); ubicado en el polo norte de acuerdo con la proyecci´on π:

Figura 1.6.1 Proyecci´on estereografica

π =







(24)

1.6 Compactificación de Poincaré de un sistema dinámico 15

denominada proyección estereográfica; en este caso el polo norte (0,0,1) es proyectado al infinito del plano, k(x, y)k −→ +∞. Los puntos dentro del c´ırculo x2 ₊ _y2 _{= 1 corresponden a la semiesfera inferior; el origen} corresponde al punto (0,0,−1); los puntos fuera del c´ırculo x2 ₊_y2 _{= 1} corresponden al hemisferio superior. Usando esta proyección podemos ver el sistema tridimensional

˙ ~

x=F(~x(t))⇐⇒



    

    

˙

x=−y+xz2 ˙

y=x+yz2 ˙

z =−z(x2₊_y2₎

Es tal que si v(x, y, z) =x2+y2+z2 entonces ˙v = 0, esto es su flujo esta en la esferaS2_{; el flujo en la vecindad del polo norte es repulsor, y esta cualidad} en el infinito se puede calcular mediante su proyecci´on en el plano.

1.6.2.

La proyecci´on central

De acuerdo a la gr´afica los puntos (X, Y, Z)∈S2 _{se proyectan al plano} _π ubicado tangente al polo norte con coordenadas (x, y) mediante el mapeo

C(X, Y, Z) =

X Z,

Y Z

= (x, y)

C−1(x, y) = _p x

1 +x2₊_y2,

y

p

1 +x2₊_y2,

1

p

1 +x2 ₊_y2

!

,

con mapeo inversoC−1 :π −→S2,

(25)

En coordenadas locales de la esfera en un entorno de x = 1, tenemos Cx(1, y, z) = 1_z,u_z

; en coordenadas locales de un entorno dey = 1,tenemos queCy(x,1, z) = u_z,1_z

.Los mapeos de Cx,Cy, y analogamenteCz se llaman

mapeos de compactificaci´on de Poincar´e; Cx, Cy se usan para conocer el

comportamiento del campo ˙~x = f(~x) en el infinito, el ecuador de la esfera. En el ecuador deS2 _{pueden quedar nuevas singularidades y ´}_{orbitas regulares} correspondiendo al infinito del plano as´ı:







∂x

∂t =P(x, y) ∂y

∂t =Q(x, y)

=⇒







∂u

∂t =−uzP(

1

z, u

z) +zQ(

1

z, u z) ∂z

∂t =−z

2_P₍1

z, u z)

haciendo dτ = _zdtn, donde n es el mayor grado entre los polinomios P y Q,

obtenemos







∂u ∂τ =P

∗_{(u, z)}

∂z ∂τ =Q

∗_{(u, z)}

sistema el cual esta definido en z = 0, esto es en el infinito.

1.6.3.

Observaci´on

Como S2 se puede expresar en coordenadas esf´ericas, C : (ρ, φ, θ) −→ (ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosθ), sus coordenadas son ψ(x, y, z) = (arc cos(z),arctan(_xy)) = (φ, θ), donde se toma φ = arc cos(x2 +y2 + 1)−12.

La inversa deψ0C−1 es el mapeo P(φ, θ) = (tanφcosθ,tanφsinθ),y resulta (1.1.5) que el campo vectorial definido en el plano tangenteπ es dado por la siguiente expresi´on

˙

y=y(φ, θ) = (DP)−1[f(P(φ, θ))]

1.7.

Metodos num´ericos para resolver ecuaciones diferenciales Para la ecuaci´on diferencial ordinaria

dx

dt =f(t, x)

(26)

1.7 Metodos num´ericos para resolver ecuaciones diferenciales 17

1.7.1.

M´etodo de Euler [Ki,Che]

Dividimos el intervalo [a, b] enN puntos con tamaño del paso h= b−_Na,y hacemos tk =a+kh para cada k = 0,1,2, ..., N si y(t) es la solución única

de la ecuaci´on diferencial, la expandimos usando el teorema de Taylor, de la siguiente forma:

y(tk+1) =y(tk) + (tk+1)·y0(tk) +

(tk+1−tk)2

2 ·y

00_(ξ

k)

para alg´un ξk ∈(tk, tk+1). Esto es sih=tk+1−tk, entonces

wk+1 :=y(tk+1) = y(tk) +hy0(tk) +

h2 2 y

00

(ξk),

donde podemos asumir que 0(h2) = 0

1.7.2.

El m´etodo de Runge-Kutta

Da el siguiente algoritmo para el c´alculo de pendientes: wk+1 =wk+

1

6(k1 + 2k2+ 2k3+k4), i= 0,1,2, ..., N −1 w0 =α

k1 =hf(tk, wk)

k2 =hf(tk+

h 2, wk+

k1 2 ) k3 =hf(tk+

h 2, wk+

k2 2 ) k4 =hf(tk+1, wk+k3).

(27)

(28)

CAP´ITULO

2

Modelo de Fitzhugh-Nagumo para el potencial de una

membrana

2.1.

Fundamentos

(29)

20 Modelo de Fitzhugh-Nagumo para el potencial de una membrana

en presencia de contracciones musculares o bajo la aplicación de pulsos eléctricos externos. Posteriormente, en 1868, Julius Bernstein -disc´ıpulo de du Bois-Reymond- logró medir el curso temporal de los cambios del voltaje de la membrana de una fibra nerviosa, dando as´ı inicio a la electrofisiolog´ıa moderna.

Un avance importante tuvo lugar a mediados del siglo pasado. Basa-dos en una serie de experimentos, que fueron interrumpiBasa-dos por la Segunda Guerra Mundial, los ingleses Alan Lloyd Hodgkin y Andrew Fielding Huxley [FH]estudiaron experimentalmente la dinámica del voltaje transmembranal en el axón (gigante) de una neurona de calamar, al ser aplicada una estimulación eléctrica externa. En 1952, a partir de estos estudios, dichos investigadores propusieron una teor´ıa biof´ısica y un modelo con cuatro ecuaciones diferenciales no lineales, que explicó y reprodujo los resultados experimentales conocidos hasta el momento. Su estudio reveló que la onda del voltaje observada o espiga, que se propaga a lo largo de las fibras nerviosas, se debe a la permeabilidad iónica -selectiva y dependiente, a su vez, del mismo voltaje a través de la membrana de la célula nerviosa. Debido a estas investigaciones, Hodgkin y Huxley, recibieron en 1963 -junto con Sir John Carew Eccles- el premio Nobel de Medicina y Fisiolog´ıa.

El modelo de Hodgkin y Huxley consta de cuatro ecuaciones diferenciales no lineales. Este tipo de ecuaciones tienen que ser estudiadas recurriendo a métodos cualitativos de análisis y simulaciones computacionales, basadas en la solución numérica del sistema. Para lograr una mejor comprensión del fenómeno se han construido modelos que simplifican la estructura matemática del sistema Hodgkin y Huxley, capturando exclusivamente la esencia dinámica de algunos de los procesos involucrados. Estos modelos simplificados proveen esquemas teóricos que permiten la comprensión de los fenómenos estudiados, a diferentes niveles de detalle.

(30)

2.2 Estructura de una neurona 21

matem´atica [BA,CARR,ON].

Simultánea e independientemente del trabajo de FitzHugh, el investi-gador japonés Jin-ichi Nagumo propuso como análogo neuronal, un circuito eléctrico no lineal, gobernado por un sistema de dos ecuaciones también semejantes a las de van der Pol.

Actualmente, al análogo simplificado propuesto por estos autores, se le conoce como modelo de FitzHugh-Nagumo. La importancia actual de este modelo transciende el ámbito de la biof´ısica y la neurofisiolog´ıa, siendo de interés para los profesionales de otras ramas de las ciencias que necesitan comprender la constelación de fénomenos no lineales, que son concominantes al fénomeno de excitabilidad. Particularmente, el modelo es de interés para ingenieros y cient´ıficos interesados en el estudio de sistemas de integración , disparo y oscilaciones de relajación que, t´ıpicamente se producen en éstos.

2.2.

Estructura de una neurona

Las células nerviosas var´ıan en su forma y tamaño pero protot´ıpicamente están constituidas por tres partes principales: El cuerpo celular o soma, las dendritas y el axón (ver figura 2.1). El soma contiene al núcleo de la célula y por lo tanto es poseedor del material genético de la neurona. Aqu´ı ocurren los mecanismos bioqu´ımicos sintetizadores de enzimas y demás prote´ınas necesarias para mantenerlas vivas. Las dendritas y el axón son filamentos con múltiples ramificaciones que le permiten a la célula nerviosa recibir o transmitir señales a otras células.

(31)

Figura 2.1 Esquema de una neurona t´ıpica (izquierda). Microfotograf´ıa de un par de neuronas de la corteza cerebral de una rata de 19 d´ıas de vida (derecha).

En los circuitos cerebrales, una sola neurona s´olo puede recibir entre 10,000 y 20,000 sinapsis de cientos de neuronas, y mandar proyecciones a cientos y a veces miles de neuronas blanco. La funcionalidad del cerebro emerge de la suma de todas las interacciones que tienen lugar entre las c´ elu-las constituyentes. El sustrato de esta funcionalidad tiene una complejidad extraordinaria. Un cerebro cuenta con varios cientos de miles de millones de neuronas, que individualmente pueden llegar a tener conexiones con varias centenas de otras c´elulas nerviosas.

2.3.

Excitabilidad de la membrana celular

Las neuronas están cubiertas por una membrana compuesta de complejos prote´ınicos y l´ıpidos orientados que forman estructuras encargadas del transporte de solutos y electrolitos, entre el interior y el exterior de la célula nerviosa. Entre éstas están los llamados canales iónicos, que sirven para regular las corrientes iónicas transmembranales responsables de originar la formación de los trenes de espigas de voltaje, que son señales nerviosas. Los primeros estudios experimentales que se llevaron a cabo, fueron facilitados por el descubrimiento del axón gigante de una de las células que controlan la acción neuromotora del calamar. Cuando, en esta preparación clásica se coloca un par de electrodos, uno en el interior y otro en el exterior del axón, se mide un voltaje de aproximadamente −70mV, llamado voltaje o

(32)

2.3 Excitabilidad de la membrana celular 23

a través de la membrana celular, que decae asintóticamente hasta que se alcanza otra vez el potencial de reposo. Si la amplitud del pulso de corriente aplicado es suficientemente grande, lo cual corresponde a llevar el potencial de la membrana por encima de un umbral de aproximadamente −55mV, se observa un aumento desproporcionado del voltaje, hasta que éste alcanza un valor máximo cercano a +30mV, para luego decrecer más allá del potencial del reposo, hasta alcanzar su valor máximo a los −80mV. En una última fase del proceso, lentamente, se recupera el voltaje de reposo: −70mV. El fénomeno anterior es llamado impulso nervioso, potencial de acción o espiga de voltaje y dura alrededor de dos milisegundos (ver figura 2.2).

Figura 2.2 Curso temporal del voltaje eléctrico a través de la membrana celular, durante un potencial de acción.

Experimentalmente, se comprueba que la amplitud máxima del poten-cial de acción (+30mVen la preparación clásica) es independiente de la magnitud del est´ımulo eléctrico aplicado, siempre y cuando éste rebase el valor del umbral (−55mV).Este hecho es conocido como la ley del “todo o nada”. Al aplicar secuencialmente breves est´ımulos (supraumbrales) suficientemente espaciados en el tiempo, la membrana responde cada vez produciendo idénticos potenciales de acción. En cambio, si el lapso entre est´ımulos se va reduciendo, se observa que, para intervalos de tiempo de entre 0,25msy 0,5ms, es imposible excitar a la membrana por segunda vez. Este lapso cr´ıtico es llamado per´ıodo refractario.

Bajo ciertas condiciones, si en vez de aplicar un breve pulso de corriente, se le aplica a la célula una corriente constante de magnitud I, ésta responde con un tren periódico de disparos de potenciales de acción, que tiene una frecuencia creciente con el valor de la intensidad de la corriente aplicada (ver figura 2.3). Esto quiere decir que la intensidad del est´ımulo se codifica en términos de la frecuencia de las espigas.

(33)

milisegundo, las frecuencias m´aximas resultan ser inferiores a 1000 espigas por segundo.

Es importante destacar que las neuronas cerebrales son mucho más complejas que los axones del calamar. La diversidad de canales iónicos que tienen les permite generar trenes de potenciales de acción con diferentes estructuras temporales; unas disparan en ráfagas, otras “adaptan” su disparo (esto es, cambian su frecuencia con el tiempo), otras más disparan periódicamente todo el tiempo, etc. Si se quisiera modelar esta riqueza dinámica con ecuaciones del tipo de Hodgkin y Huxley, cada neurona requer´ıa de un sistema de entre 10 y 20 ecuaciones diferenciales no lineales (para tomar en cuenta los diferentes tipos de canales iónicos involucrados). Por lo tanto, es realmente notable que los aspectos más básicos de la dinámica de las células nerviosas puedan comprenderse con el simple modelo de FitzHugh-Nagumo.

Figura 2.3 Respuesta de una c´elula del neuroestriado del cerebro de una rata al aplicarse una corriente sostenida durante un intervalo de tiempo de aproximadamente

medio segundo.

2.4.

Modelo de Fitzhugh Nagumo

(34)

2.4 Modelo de Fitzhugh Nagumo 25

la complejidad matemática dificulta enormemente su análisis. Con el afán de comprender la esencia de la dinámica del fénomeno de excitabilidad, FitzHugh construyó un sistema más simple (dos ecuaciones diferenciales), basado en la famosa ecuación de Van Der Pol [GU,HO]. Se trata de un sistema que a pesar de ser no lineal, es suceptible de un análisis cualitativo bastante completo por ser bidimensional. El sistema se representa generalmente en la forma siguiente:

dv

dt =V(v, w) = I−v(v−a)(v −1)−w (2.4.1) dw

dt =W(v, w) =b(v−gw) (2.4.2) siendoI,g ≥0,b >0 y 0< a < 1 los parámetros. No se trata de un modelo que describa detalladamente la realidad biof´ısica de las células nerviosas sino que constituye más bien lo que se conoce como un “análogo” que imita la dinámica neuronal. Para poder hacer la interpretación de la dinámica del sistema FitzHugh-Nagumo en términos biof´ısicos, se considera la variable de estado v como el voltaje a través de la membrana y se considera que el parámetro I representa la corriente externa aplicada a la célula nerviosa. Siguiendo a FitzHugh, conviene pensar la variable de estado w, como una variable de recuperación del sistema sin significado biof´ısico espec´ıfico. El sistema FitzHugh-Nagumo constituye hoy en d´ıa el modelo estándar del fénomeno de excitación.

2.4.1.

Estados de equilibrio y ceroclinas

Al resolver, anal´ıtica o numéricamente, el sistema de ecuaciones diferen-ciales que gobiernan la dinámica de la neurona, encontramos la evolución temporal de las variables de estado del sistema, (v(t), w(t)), a partir de algu-na condición inicial (v0, w0), predeterminada. El espacio donde habitan las variables de estado (v, w), es llamado espacio de fases o espacio de estados

y en él podemos visualizar la evolución del sistema (la neurona), graficando las órbitas de la ecuación diferencial (es decir las imágenes de las soluciones de la ecuación diferencial). Los puntos del espacio de estados de un sistema de ecuaciones diferenciales, para los cuales las derivada respecto al tiempo de las variables de estado involucradas se anulan simultáneamente, constituyen losestados de equilibrio o estados estáticos del sistema.

Igualando a cero las ecuaciones (2.4.1,2.4.2)del sistema de FitzHugh-Nagumo se encuentran las ecuaciones de los estados de equilibrio:

(35)

0 =b(v −gw) Por lo tanto

w=I−v(v−a)(v−1)

w=g−1v (2.4.3)

Las curvas que determinan cada una de estas ecuaciones por separado en el espacio estado (v, w), son llamadas curvas ceroclinas del sistema. Éstas son el lugar geométrico de los puntos del espacio de estados en los que el campo vectorial asociado al sistema es, respectivamente, vertical u horizontal. La primera de estas ecuaciones corresponde a los estados en los cuales no hay cambio instantáneo en v (se obtuvo al hacer dv_dt = 0), y la segunda, a los estados para los cuales no hay cambio instantaneo enw (se obtuvo al hacer

dw dt = 0).

Cada una de las ecuaciones del sistema (2.4.3) representa una curva en el espacio de estados (v, w) del sistema FitzHugh-Nagumo. A la primera ecuación le corresponde la gráfica de un polinomio cúbico y a la segunda le corresponde la gráfica de una recta que pasa por el origen. Los puntos en donde estas curvas (la cúbica y la recta) se intersecan, son los puntos de equilibrio del sistema -no se producen cambios, ni en v ni en w. Como estas curvas pueden tener hasta tres intersecciones, el número máximo de equilibrios del sistema FitzHugh-Nagumo es tres. Ejemplos de cuando se tienen uno, dos o tres puntos fijos se muestran en la figura 2.4.

Figura 2.4.1 Se grafican las dos ceroclinas del sistema de FitzHugh-Nagumo. Dependiendo del valor de los par´ametros se pueden obtener uno, dos o tres cruces. Aqu´ı se muestran tres ejemplos: si a= 0,15,b = 0,01, g= 2,5,I= 0 se tiene un solo punto fijo;

si a= 0,15, b = 0,01, g = 5,45, I = 0 se tienen dos puntos fijos; si a= 0,15, b = 0,01,

(36)

2.4 Modelo de Fitzhugh Nagumo 27

2.4.2.

Estabilidad del potencial de reposo y linealizaci´on

Para analizar la dinámica de un sistema de ecuaciones diferenciales, es necesario estudiar sus estados de equilibrio, y la estabilidad de los mismos. Dos sistemas que tengan un número distinto de estados de equilibrio, o el mismo número, pero con diferente estabilidad, tendrá un comportamiento cualitativamente diferente. Los estados de equilibrio de un sistema dinámico pueden ser inestables, estables o asintóticamente estables. Si se trata de un estado de equilibrio inestable, una pequeña perturbación puede hacer que el sistema evolucione a estados muy lejanos de él y se pierda el equilibrio; si se trata de un equilibrio estable, las soluciones vecinas no se alejarán nunca de él; y si el equilibrio es asintóticamente estable, después de cualquier pequeña perturbación, éste tenderá a restablecerse automáticamente.

Es conocido que, bajo ciertas condiciones que se puedan verificar com-putacionalmente, la dinámica local, alrededor de un estado de equilibrio de un sistema no lineal, puede aproximarse bastante bien, utilizando sólo la parte lineal del campo vectorial. A continuación se recordará la idea de este procedimiento y el teorema que establece la relación entre el sistema no lineal y su linealización, as´ı como las condiciones de su validez.

Si se tiene un sistema no lineal en dos dimensiones, dado por las funciones continuamente diferenciables Xi(x1, x2), i = 1,2, .... en una vecindad de un punto entonces, utilizando la expansi´on de Taylor se tiene:

Xi(x1, x2) =Xi(ξ, η) + (x1−ξ) ∂Xi

∂x1

(ξ, η) + (x2−η) ∂Xi

∂x2

(ξ, η) +Ri(x1, x2) dondeRi(x1, x2) satisface l´ımr→0

h

Ri(x1,x2)

r

i

= 0 con r= [(x1−ξ)2+ (x2− η)2]12.

Si (ξ, η)es un punto fijo del sistema de ecuaciones diferenciales ˙x=X(x), con x= (x1, x2) y X = (X1, X2), entonces Xi(ξ, η) = 0. Utilizando este hecho y

la expansi´on de Taylor se encuentra que: ˙

x1 = (x1−ξ) ∂X1

∂x1

(ξ, η) + (x2−η) ∂X1

∂x2

(ξ, η) +R1(x1, x2)

˙

x2 = (x2−ξ)∂X2 ∂x1

(ξ, η) + (x2−η)∂X2 ∂x2

(ξ, η) +R2(x1, x2)

y la parte lineal de este sistema, utilizando las nuevas coordenadasy1 =x1−ξ y y2 =x2−η, se puede escribir como:

˙ y1 ˙ y2 = ∂X1 ∂x1 ∂X1 ∂x2 ∂X2 ∂x1 ∂X2 ∂x2

(x1,x2)=(ξ,η)

y1 y2

(37)

A esta matriz de 2×2 se le conoce como la matriz de linealización en el punto (ξ, η).El siguiente teorema establece la relación entre un sistema no lineal (en el plano) y el sistema lineal que se obtiene utilizando la matriz de linealización.

Teorema 2.4.1. Sea x˙ = X(x) un sistema no lineal, con x = (x1, x2), tal que su matriz de linealizaci´on A = DX((ξ, η)) en el estado de equilibrio

(ξ, η) sea no singular (detA 6= 0). Entonces, si el sistema linealizado no es un centro (es decir los valores propios de A no son imaginarios), la din´amica del sistema y la de linealizaci´on son cualitativamente equivalentes en una vecindad de x= (ξ, η).

La matrizA de linealizaci´on del sistema FitzHugh-Nagumo alrededor del punto (ξ, η) = (v0, w0) es:





∂V ∂v

∂V ∂w

∂W ∂v

∂W ∂w





(v,w)=(v0,w0)

=





−3v2

0+ 2(a+ 1)v0 −a −1 b −bg





y el sistema linealizado alrededor del equilibrio es: ˙

v = (−3v2

0 + 2(a+ 1)v0−a)v−w ˙

w=b(v−gw) (2.4.4)

La estabilidad de los puntos fijos está relacionada con los valores propios de la matriz de este sistema lineal. Cuando la parte real de todos los valores propios es negativa, el equilibrio es asintóticamente estable; cuando al menos uno es cero, es estable ; cuando algún valor propio es positivo, el sistema lineal es inestable.

2.5.

An´alisis param´etrico

(38)

2.5 An´alisis param´etrico 29

2.5.1.

Existencia de un ´unico estado de equilibrio

Como hemos observado anteriormente, dependiendo de los valores de sus parámetros, el sistema FitzHugh-Nagumo puede tener uno, dos o tres estados de equilibrio. Ahora queremos averiguar bajo qué condiciones paramétricas se puede asegurar la existencia de un único punto de equilibrio. Para esto observamos primero que el parámetro b no es relevante en este análisis: las coordenadas de los puntos de equilibrio del sistema no dependen de b, ya que éste no figura en las ecuaciones de la ceroclinas. Conviene hacer dos observaciones geométricas en el plano de fases del sistema FitzHugh-Nagumo. Si se mantienen fijos los parámetrosa y g, la modificación de los valores del parámetro I tiene como consecuencia la traslación de la ceroclina cúbica, en la dirección del ejew; si se mantienen fijos los parámetrosI y a, el modificar el parámetro g tiene como efecto un cambio en el valor de la pendiente de la ceroclina recta. A partir de estas consideraciones, no es dif´ıcil llegar a la siguiente observación geométrica.

Fijemos el parámetroaen el intervalo (0,1) y denotemos porca la pendiente de la ceroclina cúbica en su punto de inflexión. Si la pendiente (_g1) de la ceroclina recta es mayor o igual a c, entonces para todo valor del parámetro I, el sistema FitzHugh-Nagumo tiene un único punto de equilibrio.

Calculemos el valor de la pendiente de la ceroclina c´ubica, w = I −v(v − a)(v−1), en su punto de inflexi´on:

d2w

dv2 =−6v+ 2(a+ 1) y

d2_w

dv2 = 0 ⇐⇒v = a+ 1

3

Entonces en v = a+1₃ la ceroclina cúbica tiene el punto de inflexión. La pendiente que tiene la ceroclina en este valor de v se calcula fácilmente:

dw dv

_v₌a+1

3

= a

2₋_a_{+ 1}

3 =c

obtenemos as´ı el siguiente resultado .

Proposición 2.5.1. Para calcular selección de parámetros, (a, I, b, g) del sistema FitzHugh-Nagumo. Si se cumple la condición

1 g ≥

a2₋_a_{+ 1}

3 =c (2.5.1)

(39)

2.5.2.

Caso aut´onomo

Analizamos primero el caso en el que I = 0, lo cual significa que a la membrana neuronal no se le aplica corriente alguna. Bajo estas condi-ciones, los experimentos fisiológicos revelan que el potencial de reposo se comporta como un atractor. Si el potencial de la membrana es perturbado con un pulso de corriente (ver figura 2.6), éste espontáneamente se recu-pera regresando a su valor inicial (potencial de reposo). Cuando I = 0 y se cumple la desigualdad (2.5.1), en el modelo matemático el origen (v0, w0) es el único estado de equilibrio del sistema FitzHugh-Nagumo de-bido a que las ceroclinas de este sistema se intersecan en el origen del espacio. Averigûemos ahora si este (único) estado de equilibrio del modelo es estable, como debe corresponder a la realidad biológica observada. Para ésto aplicaremos el procedimiento de linealización y buscaremos condiciones sobre los parámetros, de manera que la parte real de los valores propios del sistema linealizado sea menor que cero. De acuerdo con la ecuación (2.4.4), el sistema linealizado alrededor del (0,0) ser´ıa en este caso

˙

v =−av−w ˙

w=b(v−gw) Los valores propios del sistema resultan entonces:

λ1,2 = 1 2

h

(−a−bg)±p(−a−bg)2₋_4(abg₊_b)i ´

o

λ1,2 =−

a+bg 2

±

p

(a−bg)2₋_4b 2

Para llevar a cabo el an´alisis conviene separar dos casos: cuando los valores propios son reales y cuando ´estos no son reales.

Caso real. Este se produce cuando (a − bg)2 ≥ 4b. Para que los valores propios sean menores que cero, se tiene que cumplir que a + bg > p(a−bg)2₋_{4b, lo cual equivale a que} _{ga >} _{−1; ´}_{esto se} cumple siempre, pues, desde el planteamiento de las hip´otesis de modelo FitzHugh-Nagumo, hemos supuesto quea, b > 0 yg ≥0.

(40)

Proposición 2.5.2. Si en el sistema de FitzHugh-Nagumo existe un solo punto fijo y no hay estimulación externa (es decir cuando I = 0), entonces para todo valor de los parámetros a, b > 0 y g ≥ 0, el estado de equilibrio

(v0, w0) = (0,0) es asint´oticamente estable.

En referencia a la figura (2.5), conviene notar que las constantesa= 0,15, b= 0,01 yg = 0,25 verifican la condición (2.5.1) y en consecuencia el sistema tiene un único estado de equilibrio. Por la proposición anterior este estado de equilibrio (v0, w0) = (0,0) es un atractor. all´ı se calculan y muestran las ceroclinas del sistema FitzHugh-Nagumo y algunas órbitas en el espacio de fases, as´ı como los correspondientes cursos temporales del voltaje, cuando la corriente aplicada es cero. Se aprecia claramente que los cursos temporales que produce el modelo son cualitativamente iguales a los potenciales de acción que se observan en el experimento (comparar con la figura 2.2). Se muestra además, que el experimento de perturbación del potencial de reposo de la neurona, queda bien modelado por las ecuaciones del sistema FitzHugh-Nagumo (escogiendo soluciones con condiciones iniciales de la forma (v0, w0) = (0, vu ±ε) siendo vu el potencial umbral y ε una pequeña

perturbación). Observamos también en esta figura que al aplicar a la neurona una serie de pertubaciones, que tengan el efecto de incrementar progresivamente el valor del voltaje de la membrana v1 < v2 < v3 < ..., se obtiene primero una respuesta pasiva (lineal) de la membrana, cuyo voltaje no excede a la amplitud del la perturbación inicial. Después, cuando la perturbación cruza el valor umbral, se obtiene una respuesta activa (no lineal), caracterizada por un incremento desproporcionado del voltaje v(t), hasta alcanzar un valor máximo que es mucho mayor que el valor de la perturbación inicial. Finalmente, se observa también que la diferencia entre los cursos temporales de perturbaciones que superan el umbral es muy poco significativa, dando lugar a potenciales de acción que son prácticamente indistinguibles.

Figura 2.5.2 Fénomeno de excitabilidad. Izquierda: Órbitas el espacio de estados. Derecha: Correpondientes cursos temporales del potencial eléctrico. Los parámetros

(41)

2.5.3.

Estimulaci´on de la c´elula con una corriente externa

Investigaremos ahora la forma en que la membrana responde cuando se le aplica una corriente I constante en el tiempo (lo que en la jerga de los ingenieros electrónicos se conoce como una corriente continua; ver figura 2.6). F´ısicamente es de esperar que exista un valor cr´ıtico de I (la corriente aplicada) a partir de la cual la dinámica eléctrica de la membrana celular exhiba trenes periódicos de potenciales de acción, cuya frecuencia var´ıe o simplemente crezca al aumentar la intensidad de la corriente, lo cual se registra en las ecuaciones 2.4.1 y 2.4.2.

Veamos qué predice el modelo de FitzHugh-Nagumo en estas condi-ciones. Aumentar el valor de la corriente I, traslada la gráfica de la ceroclina cúbica verticalmente en el sentido positivo del eje w del plano de fases, lo cual tiene como efecto incrementar el valor de la componente v del estado de equilibrio del sistema (ver figura 2.10). Es importante estu-diar la variación de la estabilidad de este equilibrio cuando ocurre tal cambio.

Figura 2.5.3 a) Estimulaci´on del ax´on con una corrienteI(t). En el caso A se aplica un pulso de corriente y en el caso B una corriente continua.

Puede demostrarse que si los par´ametros del sistema FitzHugh-Nagumo satisfacen la condici´on

bg ≥c (2.5.2)

(42)

Figura 2.5.3 b)Configuración paramétrica (a= 0,15,b= 0,14 yg= 2,5) para la cual el punto de equilibrio resulta ser un atractor para todo valor deI; los valores de la corriente para cada una de las gráficas sonI= 0,01 (arriba a la izquierda), I= 0,095 (arriba a la

derecha) eI= 0,35 (abajo).

Cuando se tiene una configuración paramétrica del sistema FitzHugh-Nagumo con bg < c puede demostrarse la existencia de dos valores de la corriente aplicada I1(g, b) y I2(g, b) para los cuales la traza de la matriz de linealización del sistema en el punto de equilibrio se anula y tales que al traspasarlos, variando el valor de I, la traza cambia de signo. Como el signo de la traza de la matriz de linealización da el signo de la parte real de los valores propios del sistema linealizado, asociado a esta transición se produce un cambio en la estabilidad del equilibrio. Este hecho se ilustra en la figura 2.8

Figura 2.5.3 c) Configuración paramétrica (a= 0,15, b= 0,08 y g = 2,5) para la cual el estado de equilibrio pierde la estabilidad al incrementar la intensidad de la corriente aplicada. Obsérvese que un incremento adicional de la corriente aplicada puede volver a

estabilizar el voltaje de reposo. Los valores de la corriente, para cada una de las gr´aficas

sonI= 0,01 (arriba a la izquierda),I= 0,095 (arriba a la derecha) e I= 0,35 (abajo).

La situaci´on anterior configura lo que se conoce como escenario de la

(43)

potencial de acción de una neurona. En este caso se obtienen trayectorias en el espacio de estados casi horizontales, debido a que la variable w empieza a variar muy lentamente respecto a la variable v (los valores propios de ˙w se hacen mucho más pequeños que los de ˙v). Al respecto, ver 2.4.1; nótese que cerca de la ceroclina cúbica los valores de ˙v y ˙w pueden tener el mismo orden de magnitud. En la figura 2.10 se muestra cómo al aumentar los valores de la corriente I se produce la transición, del régimen excitable al régimen oscilatorio del sistema FitzHugh-Nagumo. En la figura 2.10 se muestra como, de acuerdo a lo observado experimentalmente (comparar con la figura 1.3), la frecuencia de disparo de los trenes de potenciales de acción aumenta con la intensidad de la corriente.

Figura 2.5.3 d)Ciclos l´ımite estables asociados a los estados de equilibrio inestables. En todos casos se utiliz´oa= 0,15,g= 2,5 eI= 0,095; los valores debsonb= 0,08 (arriba a

la izquierda),b= 0,03 (arriba a la derecha) yb= 0,01 (abajo).

2.5.4.

Conclusi´on del Cap´ıtulo 2

(44)

un escenario de complejidad m´ınima para entender el fenómeno de la excitabilidad en un contexto geométrico. Por esta razón, la aparición de este modelo marca una nueva etapa en la historia de la neurofisiolog´ıa, en la que el análisis geométrico de órbitas en el espacio de fases se vuelve fundamental para lograr una comprensión visual de la mécanica del impulso nervioso.

Figura 2.5.4Transición del régimen excitable al régimen oscilatorio del potencial eléctrico de una neurona al aumentar la intensidad de la corriente. Obsérvese cómo el voltaje del

estado de equilibrio aumenta con la corriente. En todas las gr´aficas se utiliz´o a = 0,15,

b= 0,01 y g= 2,5; de arriba a abajo, los valores del par´ametroI, tanto en el retrato de

fase (izquierda) como en el curso temporal (derecha), son respectivamente, 0,035; 0,05 y

(45)

(46)

CAP´ITULO

3

Estudio cualitativo del modelo FitzHugh-Nagumo

espacio-temporal en

_R

3

3.1.

Definiciones y conceptos b´asicos

Un modelo matemático bien conocido que describe la propagación de pulsos o voltajes a lo largo de la membrana de las células es el formado por las ecuaciones

Vxx−Vt =F(v) +R−I (3.1.1)

Rt=c(V +a−bR) (3.1.2)

el cual fue sugerido por FitzHugh-Nagumo (FHN). Estas son ecuaciones diferenciales parciales para el pulso de voltaje V(x, t) a lo largo de la fibra nerviosa y para la variable recuperadora R(x, t) donde a, b son constantes positivas, c corresponde al factor de temperatura e I es la corriente externa inyectada. Las ecuaciones (3.1.1) y (3.1.2) tiene aplicaciones en electrofisi-olog´ıa y también en la genética de poblaciones. Cuando la segunda variación espacial de V(x, t), a saber Vxx, es insignificante entonces las ecuaciones

(3.1.1) y (3.1.2) se reducen a la ecuaci´on del oscilador de BONHOEFER-VAN DER POL (BVP).

(47)

38 Estudio cualitativo del modelo FitzHugh-Nagumo espacio-temporal en _R3

formas del modelo neuronal. Por otra parte, al buscar soluciones en forma de ondas viajeras

V =V(x−ut) = V(ξ) (3.1.3) R =R(x−ut) =R(ξ) (3.1.4) donde ues la velocidad de la onda viajera, las ecuaciones (3.1.1) y (3.1.2) se reducen al siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.

¨

V =F(v) +R−uv˙ −I (3.1.5) ˙

R = c

u(v+a−bR) (3.1.6)

el cual puede reformularse como: ˙ v =U ˙

U =f(v) +R−uU−I ˙

R = c

u(v+a−bR)

Aqu´ı la diferenciación es con respecto aξ, eI es una corriente externamente inyectada, la cual podemos suponer constante. En nuestro análisis estamos suponiendo que tenemos un axón de longitud infinita. Es suficiente para tratar la no linealidad enF(v) en forma adecuada, en particular se escogerá la forma cúbica,

F(V) =−V +V 3

3 (3.1.7)

(Comparar con la correspondiente en 2.4.1.) En los últimos años algunos estudios se han llevado a cabo usando el método de perturbación en ausencia de corriente externa. El comportamiento caótico ha sido estudiado en modelos neuronales similares. Por ejemplo Kahlert y Rössler, estudiaron el comportamiento caótico de manera diferente del modelo de FHN en el modelo de Rinzel-Keller. Muy recientemente Rajasekar y Lakshmanan han investigado numéricamente y señalando la existencia del movimiento l´ımite de carácter c´ıclico que bifurca en una sucesión de duplicidad de per´ıodo para este movimiento caótico y la eliminación del caos usando mecanismos diferentes, con y sin, la inyección de corriente constante y periódica para ciertos parámetros escogidos espec´ıficamente.

(48)

3.1 Definiciones y conceptos b´asicos 39

Nosotros aplicaremos la teor´ıa de bifurcaciones basada en la reducción de la variedad central y el análisis de la forma normal para que una bifurcación de Hopf ocurra en las ecuaciones (3.1.3) y (3.1.4), las cuales modelan la conducción nerviosa con y sin la inyección de corrientes externas constantes (I = A0 e I = 0, respectivamente). Notamos primero que las ecuaciones (3.1.3) y (3.1.4) poseen dos puntos de equilibrio correspondientes (V,V , R) = (α,˙ 0, β), donde α y β satisfacen las ecuaciones

α3+ 3α

a

b −1

+ 3

a

b −A0

= 0 (3.1.8)

y

β = α+a

b (3.1.9)

Ahora, por conveniencia, haremos la transformaci´on lineal del sistema de ecuaciones ordinarias

V =x+α, V˙ =y, R =z+β (3.1.10) obteniendo   ˙ x ˙ y ˙ z  =  

0 1 0

α2₋₁ _−u ₁ −c u 0 bc u     x y z  +   0 αx2₊ x3

3 0



 (3.1.11)

Es fácil ver que la transformación (3.1.10) solamente cambia el punto de equilibrio de (α,0, β) a el origen (0,0,0) [PE]. Nuestro primer propósito es encontrar la forma normal para que la bifurcación de Hopf ocurra y analizar la naturaleza de ésta para varios parámetros elegidos, al igual que entender la dinámica caótica de (3.1.11). Para ello en la sección 2.2 llevaremos a cabo el análisis de (3.1.11) alrededor de puntos fijos. Consideraremos un parámetro espec´ıfico , a saber a_b =A0, para el cuál el sistema posee simetr´ıa por reflexión y veremos que varias bifurcaciones de interés ocurrirán en este sistema simétrico.

En la secci´on 2.3 hemos clasificado el espacio vectorial lineal asociado con el sistema linealizado de (3.1.11) y su variedad central, esto es por, una reducci´on de dimensionalidad local la cual es invariante.

(49)

3.1.1.

An´alisis de la estabilidad lineal

A continuaci´on consideraremos, sin perder generalidad el sistema (3.1.11) correspondiente a la ecuaci´on FHN, el cual tiene tres puntos de equilibrio, obtenidos haciendo ˙x= ˙y= ˙z = 0.

S0 _{= (0,}_0,_{0); y}

S± =





−3α2_±q₁₂₋12

b −3α2

2 ,0,

−3α2_±q₁₂₋ 12

b −3α2

2b



 (3.1.12)

Los puntos de equilibrio S± existen ´unicamente si b > 1 y α <

q

1− 1

b.

Sin embargo el paramétro b siempre será tomado como menor o igual que 1, debido a una interpretación fisiológica. Esto significa que el punto de equilibrioS0 _{es el que aparece en el caso fisiol´}_{ogico .}

En lo sucesivo consideraremos este caso. Para analizar la estabilidad de S0_{, linealizaremos la ecuaci´}_{on (3.1.11) alrededor de} _S0_{. Su matriz} jacobiana es

J(S0) =





0 1 0

α2 ₋₁ _−u ₁ −c

u 0

bc u



 (3.1.13)

La estabilidad es determinada por los valores propios deJ(S0_{) los cuales son} las ra´ıces de su ecuaci´on caracter´ıstica. Esta es

P(λ) = λ3+p1λ2+p2λ+p3 = 0 (3.1.14) donde

p1 =u− bc

u p2 = 1−α2−bc p3 = c

u[(α 2 ₋

1)b+ 1]

El punto de equilibrio S0 _{es asint´}_{oticamente estable si y s´}_{olo s´ı todos los} valores propios tienen parte real negativa. La condicion necesaria y suficiente para que los valores propios tengan parte real negativa es:

p1 >0, p3 >0 y p1p2−p3 >0.

(50)

3.2 Simetr´ıas del sistema 41

u > bc (3.1.15) (1−α2)b+ 1>0 (3.1.16) u(1−α2−bc) + (bc−c)>0 (3.1.17) La estabilidad se puede perder cuando un par de valores propios complejo cruza el eje imaginario, siendo a´un el tercero negativo. En la bifurcaci´on de Hopf J(S0_{) se tienen valores propios} _±iw

0 y λt 6= 0. Esta situaci´on

corresponde a p1p2 = p3p2 = w20 > 0, en la ecuaci´on (3.1.14), es decir las condiciones son

u2(1−α2−bc) +b2c2−c= 0 (3.1.18)

w₀2 = 1−α2−bc (3.1.19)

λ1 =−u+ bc

u <0 (3.1.20)

De (3.1.18) para valores fijos de los parámetros a, b, c y A0, la condición umbral para que la bifurcación ocurra es

uH =

r

c−b2_c2

1−α2₋_bc (3.1.21)

la figura 3.1(a), muestra la curva de la bifurcaci´on de Hopf en el plano c−u, para varios valores de A0 y b fijo [ver ecuaci´on 3.1.8].

3.2.

Simetr´ıas del sistema

Es interesante considerar las propiedades de estabilidad, para el parámetro a_b = A0 en la ecuación (3.1.11), la cual admite ciertas propiedades de simetria. El valor espec´ıfico elegido naturalmente corresponde a la situación en la cual el valor de la razón de dos parámetros ay b representan varios parámetros asociados con las variables de activación e inactivación de la ecuación original Hodgkin-Huxley, de la cual la ecuacion FHN ha sido derivada y balanceada por la inyección externa de la corriente A0.

(51)

(c)

FIGURA 3.1. Las curvas para la bifurcaci´on de Hopf en el plano c−u para varios valores deA0

Para este parámetro elegido a se convierte en cero, el cual puede se reducido de la ecuación (3.1.11, 3.1.8), la ecuación FHN se convierte en

˙

x=y (3.2.1)

˙

y=−x+ x 3

3 −uy+z (3.2.2)

˙ z =−c

u(x−bz) (3.2.3)

La ecuación (3.1.11, 3.1.13) es ahora invariante bajo la acción del grupo simétrico Z2

(x, y, z) Z2

−→(−x,−y,−z)

Entonces, el polinomio caracter´ıstico correspondiente a S0 _{para los valores} propios del sistema linealizado es

λ3+p1λ2+p2λ+p3 = 0 (3.2.4) donde ahora

p1 =u− bc

u, p2 = 1−bc y p3 =

c

u

(1−b). De (3.1.11, 3.1.13) resultan dos casos diferentes, a saber:

a) 0< b <1 b) b= 1

Cada uno de estos casos conducen a varias bifurcaciones correspondientes a estados estables y soluciones peri´odicas.