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Integrales y Ajustes de Datos
A continuación presentare el desarrollo de los ejercicios que se hicieron durante el
labora-torio. El repaso va dirigido al ajuste de datos experimentales y la resolución de integrales
encontradas en magnetostática. También se presenta la elaboración de gráficos que nos
ayudaran en la parte del análisis de datos similares a los que se tomaran en el laboratorio.
Objetivos
Familiarizar al estudiante con distintos comandos utilizados en el ajuste de datos, y el como
analizarlos.
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Ajuste de Datos:
Ejercicio 1:
La guía nos presenta un conjunto de datos a los cuales les haremos un ajuste polinómico. Se hara un ajuste lineal y uno cuadrático,
posterior-mente graficaremos los datos y los ajustes para observar cual se ajusta mejor.
El comando ultilizado para los ajustes polinómicos es llamado Fit que nos pide como argumento los datos por ajustar, el orden del polinomio y
la variable con respecto a la que haremos el ajuste.
El orden del polinomio se da de la siguiente manera {1,x,x^2...x^n} donde el 1 significa que tendra terminos constantes, el x que tendra
terminos lineales etc.
datos1=882, 4<,83.5, 5<,84.3, 5.8<,85.2, 6.7<,86, 8.3<<;
Almacenaremos los ajustes en funciones ya que luego las usaremos para ser graficadas.
f1Ax_E=Fit@datos1,81, x<, xD
1.61094+1.03549 x
f2Ax_E=Fit@datos1,81, x, x ^ 2<, xD
4.08363-0.381475 x+0.177877 x2
El siguiente paso es hacer una grafica con los dos ajustes y los datos. Recordemos que el comando para graficar funciones en 2D es Plot que toma como argumento la funcion que graficara y los limites de la variable. Para graficar un conjunto de datos se usa el comando ListPlot que solo toma como argumento el conjunto de datos a graficar.
OBSERVACIÓN#1: Es importante pero no necesario que nosotros se hagan las gráficas con distintos colores, de esta manera es mas sencillo hacer la compara-ción. Esto se consigue agregando el comando PlotStyle ® “Color Deseado” al comando Plot o List Plot. En Help/Documentation Center pueden encontrar una lista de colores que Mathematica tiene.
OBSERVACIÓN#2: Debido a que nosotros estamos analizando sistemas físicos no podemos dejar los ejes sin nombre ES NECESARIO hacerlo. Supongamos que en este caso nosotros graficamos posición vs. tiempo (x vs. t). Los datos que tenemos entonces son de la forma {t,x}. La manera de introducir el nombre de los ejes a las gráficas es con el comando AxesLabel®{“Nombre del eje ‘x’”,”Nombre del eje ‘y’”}. Ademas no olvidemos que es absolutamente necesario
colocar en que unidades estamos graficando, en este caso asumiremos que estamos graficando posición en centimetros, y tiempo en segundos
Almacenaremos las gráficas en una variable para luego mostrarlas todas mediante el comando Show.
GE1=ListPlot@datos1, PlotStyle® Green, AxesLabel®8"tHsL", "xHcmL"<D;
GE2=Plot@f1@xD,8x, 0, 7<, PlotStyle®Red, AxesLabel®8"tHsL", "xHcmL"<D;
GE3=Plot@f2@xD,8x, 0, 7<, PlotStyle®Blue, AxesLabel®8"tHsL", "xHcmL"<D;
Show@GE1, GE2, GE3D
3 4 5 6
tHsL 5
6 7 8 xHcmL
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Ejercicio#2
Al estar estudiando fenómenos físicos nosotros muchas veces ya sabemos que comportamiento deberia de tener el conjunto de datos que medimos, por lo cual no es necesario que los ajustemos polinomicamente.
Cuando ya tenemos una funcion a la cual se deberia de ajustar el conjunto de datos, nosotros haremos uso del comando FindFit que toma como argumentos el conjunto de datos, la función a la cual nos ajustaremos, las constantes que deben de ser encontradas, la variable que estamos ajustando.
datos2=882, 1.07<,84, 1.88<,86, 2.26<,812, 2.78<,818, 2.97<,824, 2.99<<;
Recordemos que los caracteres especiales se escriben de la manera Tecla ESC Equivalente Tecla ESC. Como ejemplo el nuestro Tecla ESC a Tecla ESC
genera la letra griega a. En su defecto, pueden buscar los caracteres en el asistente básico de matematica, que se abre en la pestaña Palettes/Basic Math Assistant.
FindFit@datos2, 83-3 Exp@- axD<,8a<, xD 8a ®0.233784<
a =0.233784;
Ahora usaremos el comando Manipulate para hacer algo similar al ejercicio pasado, con la diferencia de que almacenaremos los gráficos individuales y el gráfico conjunto.
Ge1=ListPlot@datos2, PlotStyle® Blue, AxesLabel®8"xHmesesL", "yHpulg.L"<D;
Ge2=Plot@3-3 Exp@- axD,8x, 0, 24<, PlotStyle®Orange, AxesLabel®8"xHmesesL", "yHpulg.L"<D;
Ge3=Show@Ge1, Ge2D;
Manipulate@Gráfica,8Gráfica,8Ge1® "Gráfica 1", Ge2 ® "Gráfica 2", Ge3® "Gráfica 3"<<D
Gráfica Gráfica 1 Gráfica 2 Gráfica 3
5 10 15 20
xHmesesL 1.5
2.0 2.5 3.0 yHpulg.L
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Integrales:
Para realizar integrales en
Mathematica
tenemos dos maneras de hacerla, a pesar de que la guía nos dice que hagamos las integrales a tráves del
uso del asistente básico (Palettes/Other/Basic Math Input), haremos las integrales tambien con el comando Integrate que pide como
argumento la funcion a integrar, y la variable con respecto a la cual integraremos (los limites si la integral es definida).
Ejercicio#3
Se nos proporciona una integral que resolveremos por los dos metodos. Al correr el programa pueden notar que el método 2 se tarda menos tiempo, esto es porque le dividimos el trabajo a Mathematica en partes, en vez de ponerla a trabajarlo todo en un solo comando.
Método 1:
Debemos tener cuidado al ingresar distintas letras en Mathematica, algunas ya estan reservadas como es el caso de la letra I, esta letra es leida por el programa como el numero complejo i, por ello nosotros nombraremos a las corrientes I1. No sabemos toda la información del problema, sin embargo si sabemos que esas constantes son reales, de esta manera la computadora efectuara la integral de una manera más rápida debido a que no tiene que resolver el caso mas general. Haremos esto con el comando Assuming. Ademas de que le pediremos a Mathematica que nos de la respuesta de manera simplificada usando FullSimplify.
B1Az_E=FullSimplifyBAssumingBI1 ÎReals &&r ÎReals && L1 ÎReals && L1 ÎReals ,
mI1r
4p
à -L1
L2 1
Ir2+
z2M
3
2
âzFF
ConditionalExpressionB
I1m L1
L12+r2 + L2
L22+r2
4p r
,r ¹0 && L1+L2>0 && L1<0F
Se resolvio la integral de manera sarisfactoria con la excepción de las conidiciones que pudieron ser puestas antes de resolver la integral, esto depende de la naturaleza del problema. Desde luego podemos asumir que estas condiciones son lógicas, nos quieren decir que la longitud del circuito es mayor que cero (seria imposible tener una longitud negativa) que L1 es negativa (esto debido a la geometrá del problema L1 es dirección z negativa), y que r sea distinto de cero (es el parametro que nos dice donde estamos midiendo el campo, osea cualquier punto en un plano f-z exceptuando el origen, donde se situa la corriente).
Método 2:
Lo que se pretende es facilitarle el trabajo a Mathematica dividiendole el trabajo, a pesar de que se puede evaluar los limites dentro de la integral, haremos una funcion en la cual almacenaremos el resultado de la integral para luego evaluar los limites de integración. En este caso no seria muy necesario, pero cuando nos encontramos con integrales multiples es muy efectivo.
b1Az_E=Assuming@I1 Î Reals&&r ÎReals && L1 ÎReals && L1 ÎReals ,
mI1r•H4pLIntegrate@1•Hr^ 2+z ^ 2L^H3•2L, zDD; FullSimplify@b1@L2D-b1@-L1DD
I1m L1 L12 +r2 + L2 L22 +r2
4p r
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Ejercicio#4
Observemos que en la primera integral se nos presenta dos maneras de hacerla, se resolveran ambas por métodos distintos.
Método 1:
B2=FullSimplifyB
AssumingBLÎReals &&m ÎReals && aÎ Reals && zp ÎReals &&Ha>0ÈÈa<0L&& L>0,à
0
L mI1 a ^ 2 n
2Ia2+Hzp-zoL2M
3•2
âzoFF
1
2 I1 n
L
a2+HL-zpL2
+zp
-1
a2+HL-zpL2
+
1
a2+zp2
m
Método 2:
b2Az_E=Assuming@L ÎReals &&mÎ Reals && aÎ Reals && zp ÎReals &&Ha>0ÈÈa<0L&& L>0,
mI1 a ^ 2 n•2 Integrate@1•Ha ^ 2+z ^ 2L^H3•2L, zDD; FullSimplify@b2@L-zpD-b2@-zpDD
1
2 I1 n
L-zp
a2+HL-zpL2
+
zp
a2+zp2
m
De nuevo los dos métodos son equivalentes y concuerdan con la respuesta del Wangsness.
La ultima integral tiene un vector en el numerador pero eso no sera ningun poblema. Si huebiera algun tipo de operación vectorial como Laplacianos seria necesario definir el sistema coordenado.
AssumingBxÎReals && y ÎReals && zÎ Reals& k ÎReals &&m ÎReals,
mk•H4pL à
-¥ ¥ à
-¥ ¥
8z, 0, x<•Hx ^ 2+y ^ 2+z ^ 2L^H3•2LâxâyF
:ConditionalExpressionB k zm
2 z2
, ReAz2E>0F, 0, 0>
