En este curso hemos estudiado los cambios materiales en los que a partir de unas sustancias se pueden obtener otras diferentes (reacciones químicas). Sin embargo, sabemos que también exis-ten otros cambios, mucho más simples, en los que únicamente se modifican cosas como la posi-ción, la velocidad o la forma, sin que se altere la estructura íntima de los cuerpos que los sufren. Estos cambios, que tienen que ver con movimientos y deformaciones, se llaman cambios mecá-nicos y son los que vamos a estudiar ahora.
A.1. Enumerad distintas situaciones concretas en las que tenga interés estudiar el movimiento de algún cuerpo o bien deformarlo, indicando qué cuestiones o aspectos convendría plantearse en dicho estudio.
Entre otros, podemos pensar en casos como:
Carreras, tiro con arco, salto con pértiga, paracaidismo, esquí, camas elásticas, tenis, etc. Trenes, aviones y vehículos en general.
Planetas, satélites, cometas, estrellas, etc. Nubes, huracanes, etc.
Si pensamos un poco más en las situaciones anteriores o en otras parecidas, nos daremos cuenta de tanto para cambiar el movimiento de un cuerpo de una manera determinada, como para cam-biar su forma, necesitamos ejercer una fuerza. Si queremos estudiar esos efectos concretos de las fuerzas, primero tendremos que ver cómo podemos describir un movimiento y qué tipos de mo-vimiento interesa considerar para, después, estudiar a qué obedece la existencia de distintos tipos de movimiento, así como de cambios en la forma de un cuerpo (fuerzas). El tema lo terminare-mos estudiando un par de fuerzas presentes en la naturaleza (gravedad y rozamiento).
1. Invención de magnitudes útiles para describir los movimientos
1.1. ¿Cómo podemos indicar dónde se encuentra un cuerpo en un instante dado? 1.2. ¿Cómo podemos medir el cambio de posición de un cuerpo?
1.3. ¿Cómo medir la rapidez con que un cuerpo cambia de posición? 1.3. Si cambia la rapidez. ¿cómo podemos medir lo deprisa que cambia?
2. Posibles tipos de movimiento según el valor de la aceleración sobre la trayectoria 3. Gráficas del movimiento uniforme
4. Estudio experimental del movimiento uniforme 5. Gráficas del movimiento unifórmemente acelerado 6. Concepto de velocidad
7. ¿Cómo conseguir que un cuerpo cambie de velocidad? 8. La fuerza gravitatoria en el universo
174 1. INVENCIÓN DE MAGNITUDES ÚTILES PARA DESCRIBIR MOVIMIENTOS
Para comenzar, imaginaremos el cuerpo que se mueve (móvil) como un objeto puntual. Se trata de una simplificación necesaria para poder indicar fácilmente dónde está, la rapidez con que se mueve, etc. Eso quiere decir que, mientras se pueda, para nosotros los planetas en su giro alrede-dor del Sol serán como masas puntuales, lo mismo que un coche que circula por una carretera. Para describir un movimiento nos interesa saber expresar, al menos, dónde está el móvil (posi-ción), lo que se ha desplazado (cambio de posición o desplazamiento), lo deprisa que se está mo-viendo (velocidad) y lo rápidamente que cambia de velocidad (aceleración). A continuación nos detendremos en introducir las magnitudes necesarias para el caso particular de móviles que sigan trayectorias definidas de antemano.
1.1. ¿Cómo podemos indicar dónde se encuentra un cuerpo en un instante dado?
A.2. Proponed una forma sencilla de dar la posición de un coche en un instante dado de su re-corrido por una carretera.
Para indicar sin lugar a dudas donde se encuentra el coche, se necesita siempre elegir un punto fijo sobre la trayectoria, que en este caso será la carretera, al cual referirse. Podría ser, por ejem-plo, el árbol de la figura. De esta forma la posición del coche (considerado como una masa pun-tual) vendría dada por la distancia a dicho punto. Este punto fijo de la trayectoria suele designar-se por O y constituye un sistema de referencia, porque la posición designar-se da siempre referida a di-cho punto, que se toma como origen de posiciones.
En general, la trayectoria no tiene por qué ser recta. Lo habitual es representarla mediante una línea con curvas, calibrada en trozos iguales (que suelen representar metros). Una vez señalado el punto fijo escogido como origen y para poder distinguir a qué lado se encuentra el móvil, se toman arbitrariamente valores positivos de la posición a un lado de O y negativos al otro.
Conviene aclarar que O no tiene por qué ser el punto de donde “salió” el móvil. La posición so-bre la trayectoria en un instante dado se denomina también espacio y la designaremos mediante el símbolo “e” (en unidades internacionales, se mide en metros). Su valor absoluto siempre coin-cide con la distancia (medida sobre la trayectoria) a la que se encuentra el móvil de O (que tam-bién se suele llamar origen de espacios).
El término “espacio” utilizado para dar la posición sobre la trayectoria no debe confundirse en ningún caso con el espacio de tres dimensiones ni con el espacio donde se hallan los astros, con los que no tiene nada que ver.
A.3. Determinad la posición de un objeto situado en los puntos A, B, C de la figura (cada subdi-visión tiene una longitud de 1 m).
Si escogemos como valores positivos las posiciones situadas a la derecha del origen O, es fácil darse cuenta que eA = 3 m, eB = 10 m y eC = -3 m. Como podéis ver, el valor de la posición de-pende de dónde se haya tomado el origen y el convenio de signos elegido. Aunque la elección del origen y el convenio es algo arbitrario, es imprescindible expresar claramente dónde se ha tomado el origen y qué convenio de signos se ha tomado, pues todos los valores están basados en ellos (si el origen en la figura anterior se hubiera tomado, por ejemplo, en A y valores positivos las posiciones situadas a la izquierda del origen, tendríamos que: eA = 0; eB = -7 m y eC = 6 m). 1.2. ¿Cómo podemos medir el cambio de posición de un cuerpo?
A.4. Proponed una forma de indicar el cambio de posición o desplazamiento sobre la trayecto-ria realizado por un móvil.
Practicad con la nueva magnitud introducida calculando su valor cuando el corredor de la figu- ra anterior se mueva:
1º) Desde la posición A a la B. 2º) Desde la B a la A.
3º) Desde la C a la A. 4º) Desde la B a la C.
176 Si analizamos la figura anterior, podemos ver que las posiciones marcadas por las letras A, B y C corresponden respectivamente a eA = 20 m, eB = 50 m y eC = -20 m. De modo que cuando el corre-dor vaya desde A hasta B el desplazamiento sobre la trayectoria será: e = eB - eA = 50 - 20 = 30m. Análogamente cuando se desplace desde B hasta A será e = eA - eB = 20 - 50 = -30 m. Cuando saliendo de C llegue a A, la posición inicial será C y la final A con lo que e = eA - eC = 20 - (-20) = 40 m. Finalmente, cuando se desplace de B a C, la posición inicial será B y la final C, de modo que el desplazamiento sobre la trayectoria será, en este caso: e = eC - eB = -20- 50 = -70 m.
¿Cuánto valdrá la distancia recorrida en cada uno de los cuatro casos anteriores?
En el primero se mueve en un solo sentido (positivo) y la distancia recorrida es 30 m, es decir, su valor coincide con el cambio de posición. Sin embargo entre B y A la distancia recorrida es también 30 m mientras que el cambio de posición es -30 m. Análogamente ocurre en el cuarto caso, en el que la distancia recorrida es de 70 m pero el cambio de posición es negativo (-70 m). Como una distancia recorrida no puede ser menor que 0 (es decir, negativa), hay que concluir que el cambio de posición sobre la trayectoria y la distancia recorrida, solo coinciden cuando el cuerpo se mueve en el sentido escogido como positivo.
Existen también otras situaciones más complejas, como ocurre cuando se produce un cambio de sentido, en las que el cambio de posición puede ser también negativo o, incluso, valer 0 (cuando el móvil vuelve al punto de partida), que serán tratados en el curso próximo. Aquí nos limitaremos a estudiar movimientos que se producen a lo largo de una trayectoria conocida y en un solo sentido. 1.3. ¿Cómo medir la rapidez con la que un cuerpo cambia de posición?
Cuando consideramos el movimiento, por ejemplo, de un coche que circula por una carretera de-terminada, no sólo nos interesa saber que ha ido de una ciudad a otra, sino también lo rápida-mente que se ha desplazado, es decir, lo rápido que ha cambiado de posición.
A.5. Un corredor C tarda 8 segundos en realizar un cambio de posición de 80 m. Otro corre-dor D tarda 8 segundos en realizar un cambio de posición sobre la trayectoria, de 40 m. ¿Cuál de los dos ha ido más rápido?¿Por qué?
En principio, podemos decir que el C se ha movido más rápido que el D. Concretamente, como en el mismo tiempo el cambio de posición es dos veces mayor, podemos decir que la rapidez desarrollada por C ha sido el doble que la de D. Es decir: A igual tiempo, cuanto mayor sea el cambio de posición, mayor será la rapidez.
A.6. Un ciclista A experimenta un cambio de posición sobre la trayectoria de 400 m en 20 s, mientras que otro B realiza el mismo cambio de 400 m en 10 s. ¿Cuál de los dos ha ido más rápido?¿Por qué?
En principio podemos decir que la rapidez de B ha sido doble que la desarrollada por A, ya que ha hecho el mismo cambio de posición en la mitad de tiempo. Es decir: A igualdad de cambio de posición, cuanto menos tiempo se tarde en hacerlo, mayor será la rapidez.
De acuerdo con lo visto anteriormente, la expresión deberá ser tal que para un mismo intervalo de tiempo, la rapidez deberá ser mayor cuanto mayor sea el cambio de posición realizado, mien-tras que, para un mismo cambio de posición, la rapidez será mayor cuanto menor sea el tiempo empleado en realizarlo.
Una expresión que cumple las condiciones anteriores es:
o, lo que es lo mismo:
Al cociente e/t, se le denomina rapidez media, se representa por vm y, en el sistema interna- cional de unidades, se mide en m/s.
A.8. Un autobús realiza un cambio de posición de posición de 2 km en 80 s, mientras que un vehículo todo terreno cambia su posición en 1800 m en 1 minuto. Hallad la rapidez media de cada uno. Rdo. Autobús: 25 m/s. Todo terreno: 30 m/s.
A.9. Un móvil pasa por A, B y C cuando el reloj marca respectivamente 0, 4 y 10 segundos. Calculad la rapidez media para los desplazamientos de A a B, de B a C y de A a C, sabiendo que cada división equivale a 5 m.
Rdo.
v
m AB = 8'75 m/s;v
m BC = 2'5 m/s;
v
m AC = 5 m/sA.10. Un móvil pasa de la posición A a la posición B en 4 s. Sabiendo que cada división equiva-le a 10 m, calculad el valor de la rapidez media.
Rdo.
v
m AB = -12'5 m/sLos resultados de las dos actividades anteriores, permiten ver que la rapidez puede ser positiva o negativa. El signo nos indica el sentido en el que se desplaza el móvil. Siempre que se desplace en sentido positivo, la rapidez será positiva y siempre que se desplace en sentido negativo, la rapidez será negativa.
A.11. ¿Qué significa una rapidez media de 5 m/s? ¿Quiere decir que el móvil ha avanzado siem-e e0 vm
t t0
178 tan solo el valor medio de la rapidez. Dicho valor indica que si hubiese ido siempre a 5 m/s habría tardado justo el mismo tiempo que ha empleado en realidad moviéndose con una rapidez variable (unas veces mayor y otras menor que 5 m/s).
Como es lógico, cuando la rapidez es constante (no cambia) su valor medio coincidirá con el valor en cada instante. En este caso particular el movimiento se denomina movimiento unifor-me, sea cual sea la forma que tenga su trayectoria.
A.12. Un estudiante va directamente de su casa al instituto por un camino de 2’5 km en 35 mi-nutos. Un ciclista va por una carretera de un pueblo a otro, distantes 51’3 km, en hora y media. Un corredor de los 100 m lisos tiene su marca en 9’8 s. Calculad la rapidez media de cada uno en unidades internacionales (m/s).
Rdo. 1’2 m/s, 9’5 m/s, y 10’2 m/s (estudiante, ciclista y corredor, respectivamente).
A.13. ¿Qué quiere decir que la rapidez de un móvil es de -5 m/s?
Una respuesta correcta sería que, de mantener constante dicha rapidez, la posición sobre la tra-yectoria cambiaría disminuyendo 5 m cada segundo. En efecto, si “v” es negativa, de acuerdo con su definición indicará que “e” es negativo (ya que el intervalo de tiempo t entre dos posi-ciones sucesivas ha de ser siempre una cantidad positiva) es decir, que “e” está disminuyendo.
A.14. En diciembre de 2015 debido a la alta contaminación del aire se redujo la rapidez máxima permitida en las vías de acceso a Madrid a 70 km/h. Se pide:
a) Elaborad un texto argumentativo indicando posibles ventajas y desventajas de esta medida, razonando si se está a favor o en contra de la misma.
b) Un conductor que se desplazó 17'1 km por una de esas vías desde su casa hasta Madrid en 15 minutos, recibió días después una multa por exceso de rapidez. Tras realizar algunos cálculos decidió recurrir la sanción, pero el juez (que sabía algo de física) se negó a quitársela. ¿Qué argumentos pudo emplear cada uno para defender su postura? ¿Quién tenía razón?
Más que conocer la rapidez media, nos interesa conocer cuál es la rapidez a la que se desplaza un móvil en cualquier instante. En cursos superiores, veremos cómo se puede hacer esto. Dicha rapidez se llama rapidez instantánea y es la que marca en cada momento el velocímetro de los vehículos. Como ya hemos indicado, solo cuando se circula siempre a la misma rapidez, su valor medio y su valor en cada instante coinciden. Los ordenadores de muchos vehículos suelen calcu-lar automáticamente los valores del desplazamiento, rapidez media, etc. y lo mismo ocurre con otros dispositivos que utilizan muchos deportistas.
Generalmente los vehículos no suelen ir siempre con la misma rapidez. Pensemos, por ejemplo, en un coche que se desplaza por una carretera. En un adelantamiento, puede que precise aumen-tar mucho su rapidez en muy poco tiempo, en otro momento querrá detenerse, en otro solo frenar un poco, etc. Además, no es lo mismo un coche capaz de pasar de 0 a 100 km/h en 9 s que otro que necesita 18 s.
a
t m v
t
atm v v0 t t0
1.4. Si cambia la rapidez ¿cómo calcular lo deprisa que se ha producido dicho cambio? Concepto de aceleración sobre la trayectoria (o aceleración tangencial)
A.15. Un móvil A emplea 12 segundos en pasar de 0 a 100 km/h. Otro móvil B tarda 6 segun-dos en realizar el mismo cambio de rapidez. ¿Cuál de los segun-dos ha acelerado más?
La situación que se plantea en esta actividad tiene que ver con el llamado “reprise” de un vehículo. En muchos folletos de propaganda de automóviles se da este dato como una de sus características más importantes.
Es evidente que la aceleración experimentada por el móvil B será justo el doble que la acelera-ción experimentada por el A ya que realiza el mismo cambio de rapidez en la mitad de tiempo.
A.16. Un móvil C en 5 s pasa de 30 m/s a 40 m/s, mientras que otro móvil D en 5 s pasa de 30 m/s a 60 m/s. ¿Cuál de los dos ha experimentado una mayor aceleración sobre la trayectoria?
En este caso, es evidente que D ha sufrido una mayor aceleración que C. Concretamente, como en el mismo tiempo el cambio de rapidez es el triple, podemos decir que la aceleración sufrida por D ha sido el triple que la correspondiente a C.
Parece claro que cuanto mayor sea el cambio de rapidez y menor el tiempo empleado en dicho cambio, mayor será el valor de la aceleración sobre la trayectoria.
A.17. Inventad razonadamente una expresión que sirva para calcular lo deprisa que se ha pro-ducido un cambio de rapidez. Tened en cuenta que esa magnitud (aceleración sobre la trayecto-ria) deberá depender tanto del cambio de rapidez realizado, como del tiempo empleado en hacerlo, tal y como hemos visto en las dos actividades anteriores.
En este caso los cambios de rapidez del coche y de la moto son diferentes y también lo son los tiempos. Para poder comparar las aceleraciones bastará con dividir el cambio de rapidez de cada uno por el tiempo empleado en dicho cambio. De esta forma tendremos lo mismo en los dos casos: el cambio de rapidez realizado en una unidad de tiempo.
De acuerdo con lo visto anteriormente, la expresión deberá ser tal que para un mismo intervalo de tiempo, la aceleración sobre la trayectoria deberá ser mayor cuanto mayor sea el cambio de rapidez experimentado, mientras que, para un mismo cambio de rapidez, dicha aceleración será mayor cuanto menor sea el tiempo empleado en realizarlo.
Una expresión que cumple las condiciones anteriores es:
que también puede expresarse como:
Al cociente v/t, se le denomina aceleración media sobre la trayectoria (o aceleración tan-gencial media) y se representa por atm
180
A.18. ¿Qué significa físicamente at = 5 m/s2? ¿Y at = -5m/s2?
A.19. Una moto aumenta su rapidez de 54 km/h a 90 km/h en 2 s, mientras que un coche cambia su rapidez de 72 km/h a 180 km/h en 3 s. ¿Cuál pensáis que ha experimentado una mayor acele-ración? Comprobadlo calculando su valor en cada caso en unidades internacionales (m/s2).
Analizad si es cierta la siguiente afirmación: Cuanto mayor es la rapidez de un móvil, mayor es su aceleración.
A.20. Un tren que viajaba a 90 km/h (valor absoluto) frena y tarda 10 s en detenerse. Se pide: a) Dibujad un esquema de la situación, en el que se vea claramente el sistema de referencia y criterio de signos escogido.
b) Calculad el valor medio de la aceleración sobre la trayectoria experimentada en la frenada.
Rdo. Suponiendo se mueve en sentido positivo: atm = -2'5m/s2
A.21. Describid cómo será el movimiento de un cuerpo cuya rapidez inicial es de 40 m/s y que se mueve siempre con una aceleración de -10 m/s2. Dibujad una supuesta trayectoria conocida por la que se desplaza y, de forma cualitativa, indicad mediante cruces posibles posiciones del cuer-po durante los 4 primeros segundos, explicando qué le ocurre con el mayor detalle cuer-posible.
Una rapidez inicial de 40 m/s (positiva) nos indica que el cuerpo se está moviendo en sentido positivo (los valores de la posición van aumentando). El que la aceleración sea negativa y valga siempre -10m/s2 significa que cada segundo que la rapidez va disminuyendo de forma regular en 10 m/s cada segundo (va frenando). Por tanto, el cuerpo se moverá cada vez más despacio y su rapidez será de 30m/s, 20 m/s, 10 m/s y 0 en los instantes 1 s, 2 s, 3 s, y 4 s, respectivamente.
Como vemos, cuando hayan pasado 4 s el cuerpo se para, pero si no perdiese la aceleración que llevaba comenzaría a retroceder inmediatamente y su rapidez pasaría a ser de -10 m/s en el ins-tante 5 s, de -20 m/s en el insins-tante 6 s y así sucesivamente, moviéndose cada vez más deprisa, mientras siguiese existiendo esa aceleración.
2. Posibles tipos de movimiento según el valor de la aceleración sobre la trayectoria
Conocer un movimiento que se realiza sobre una trayectoria conocida de antemano, significa conocer los valores de la aceleración sobre la trayectoria, la rapidez y la posición en cualquier instante de dicho movimiento. A continuación analizaremos qué casos se pueden dar.
a)Caso de que at = 0
Por tanto, lo que caracteriza al movimiento uniforme es que at = 0, es decir, que la rapidez no cam- bia, por lo que la rapidez en cualquier instante del movimiento (v), coincidirá con la rapidez media de dicho movimiento (vm), es decir: vm = v en todo momento, con lo que podemos escribir:
v e t o, lo que es lo mismo:
con la que, conocidos dos estados cualesquiera del movimiento (posición y tiempo), podemos conocer el valor de la rapidez del movimiento.
La expresión anterior se puede escribir también como: e v t , o bien:
e
e
0
v
(
t
t
0)
y despejando "e" de esta última, obtenemos:
con la que, conocido un estado cualquiera del movimiento y el valor de la rapidez, podemos cal-cular dónde se encontrará el móvil (la posición "e") en cualquier otro instante posterior "t". Como ya hemos dicho, en todo movimiento uniforme, la rapidez no cambia (es constante) pero la posición del móvil sí que cambia (se está moviendo), aunque lo hace siempre al mismo ritmo, es decir, aumenta (o disminuye) siempre en la misma cantidad cada segundo transcurrido. Eso significa que si marcáramos la posición del móvil a intervalos regulares de tiempo, podríamos obtener figuras como las siguientes:
Los tres casos anteriores representan trozos de trayectorias de: un movimiento rectilíneo y uni-forme, un movimiento curvilíneo y uniuni-forme, y un movimiento circular y uniforme. En todos ellos, at = 0 y, por tanto, la rapidez es constante, pero el que va por el tramo recto es el más lento y el que va por el circular el más rápido. (En los tres casos los intervalos de tiempo considerados son de la misma duración).
b)Caso de que la aceleración sobre la trayectoria no sea 0 y valga siempre lo mismo (at = cte) Al ser constante, el valor medio (atm) y el valor en cualquier instante (at) deben coincidir, es decir,
e
e
0
v
(
t
t
0)
182 o, lo que
con la que, conocidos dos estados cualesquiera del movimiento (rapidez y tiempo), podemos conocer el valor de la aceleración sobre la trayectoria.
La expresión anterior se puede escribir también como: ∆v = at·∆t o bien:
v
v
0
a
t
(
t
t
0)
y despejando "v" de la última, obtenemos:con la que conocida la rapidez en un instante dado (t0) y el valor de la aceleración sobre la tra-yectoria, podemos calcular la rapidez con que se moverá en cualquier otro instante posterior "t". Todos los movimientos en los que at = cte, se denominan uniformemente acelerados. En ellos la rapidez sí que cambia, pero lo hace siempre al mismo ritmo, es decir: aumenta (o disminuye) siempre lo mismo cada segundo. Eso significa que, conforme va transcurriendo el tiempo, el objeto se mueve cada vez más rápido (o más despacio) y, por tanto, si marcáramos la posición del móvil a intervalos regulares de tiempo, podríamos obtener figuras como:
Los tres casos anteriores representan trozos de trayectorias de un movimiento rectilíneo y uni-formemente acelerado, un movimiento curvilíneo y uniuni-formemente acelerado, y un movimiento circular y uniformemente acelerado. Si suponemos que el sentido del movimiento es hacia la derecha y en el circular en el sentido de las agujas del reloj, concluiremos que en el caso de la trayectoria recta el objeto va cada vez más rápido, en el tramo curvilíneo va cada vez más lento y en el tramo circular cada vez más rápido.
También puede ser que la aceleración sobre la trayectoria cambie con el tiempo (movimiento variado), sin embargo este caso es más complejo y no lo vamos a estudiar aquí.
Un problema muy importante en el estudio de los movimientos es, una vez conocida la acelera-ción sobre la trayectoria, poder determinar la rapidez y la posiacelera-ción del móvil en cualquier instan-te. A continuación, veremos un modo sencillo de hacerlo.
3. Gráficas del movimiento uniforme
En primer lugar, conviene reflexionar acerca de la forma que deberían tener dichas gráficas
A.22. Supongamos un objeto que se desplaza con movimiento uniforme como, por ejemplo, el representado en el esquema siguiente:
v
v
0
a
t
(
t
t
0184 Elaborad de forma cualitativa unas posibles gráficas de: la aceleración sobre la trayectoria frente al tiempo, la rapidez frente al tiempo, la posición frente al tiempo.
La actividad anterior debe servir para dejar claro que al ser nula la aceleración sobre la trayecto-ria, su gráfica en función del tiempo será una línea horizontal que coincidirá con el eje de abcisas (donde representamos los valores de t); por otra parte, como la rapidez siempre es la misma, las gráficas de v frente a t en todos los movimientos uniformes, siempre van a ser líneas paralelas al eje de abcisas. En cuanto a la posición, como para intervalos de tiempo iguales corresponden los mismos cambios de posición, la gráfica de "e" frente a "t", siempre será una línea recta con cierta inclinación, tanto mayor cuanto mayor sea el valor absoluto de la rapidez. La actividad también ha de servir para comprender que dichas gráficas no representan nunca la trayectoria realmente seguida por el móvil.
Veamos ahora un caso con valores numéricos:
A.23. Una persona realiza un movimiento curvilíneo y uniforme desplazándose con una rapidez de 2 m/s. Sabiendo que en el instante inicial t0 = 0 se encontraba en la posición e0 = 5m. Se pide:
a) Expresad las magnitudes características de este movimiento (at, v, e).
b) Rellenad la siguiente tabla de valores:
e (m)
t (s) 0 1 2 3 4 5
c) Construid las gráficas correspondientes a la aceleración at, la rapidez v y la posición e, en
función del tiempo.
d) Utilizando la gráfica de "e" frente a "t" construida, calculad la posición para t = 4'5 s y com-probad que el valor de e coincide con el obtenido utilizando la ecuación correspondiente.
También podemos plantearnos el problema inverso: dada la gráfica de la posición frente al tiem- po, averiguad a partir de la misma el valor de la rapidez con que se mueve.
a) Posición del móvil en el instante inicial t0 = 0
b) Rapidez con que se mueve en cualquier instante
c) Dibujad una posible trayectoria en la que figure un origen de espacios, criterio de signos y la posición del móvil en los instantes 0, 2, 4, 6 y 8 (todos ellos en segundos).
Para resolver la primera cuestión es suficiente observar en la gráfica la posición correspondiente al instante t0 = 0. Si los hacemos veremos que es e0 = 4 m, lo que significa que en ese instante inicial el móvil se halla a 4 m del origen en el lado con valores positivos de la posición.
Podemos calcular la rapidez aplicando la expresión: v e t
Para ello, basta con escoger un par de puntos cualesquiera de la recta representada, determinar los incrementos de e y de t correspondientes y aplicar la expresión anterior, tal y como se mues-tra en la figura siguiente para los puntos A y B.
Para el punto A: tA = 4 s y eA = 8 m Para el punto B: tB = 6 s y eB = 10 m
Por tanto, ∆e = eB - eA = 10 - 8 = 2 m mientras que ∆t = tB - tA = 6 - 4 = 2 s De modo que: v e 2 1 m/s
t 2
Conviene comprobar que para cualquier otra pareja de puntos de la recta, habríamos obtenido el mismo resultado de la rapidez.
186 4. Estudio experimental del movimiento uniforme
A.25. Después de realizar algún ensayo, formulad alguna hipótesis respecto a qué tipo de movi-miento puede corresponder el de una burbuja de gas que asciende por el interior de un tubo lleno de agua coloreada.
A.26. Elaborad un posible diseño experimental que nos permita contrastar la hipótesis
Un diseño posible es utilizar tubos delgados de vidrio o plástico rígido transparente y abiertos por ambos extremos, de entre 1'30 m y 1'50 m de longitud y 1 cm de diámetro. Cada tubo ha de llenarse de agua ligeramente coloreada dejando una pequeña burbuja en su interior. Para medir la posición se puede proceder a colocar las marcas oportunas con un rotulador indeleble en el tubo. El tiempo se puede medir utilizando un cronómetro. Con unos tapones se cierra cada tubo herméticamente por ambos extremos. Se hacen dos marcas equidistantes de ambos extremos, para señalar el origen de espacios y se comienza a contar el tiempo cuando la burbuja pase por una de dichas marcas (es decir, e0 = 0 para t0 = 0).
Para medir el tiempo podemos utilizar cualquier reloj digital que lleve un cronómetro in-corporado, pero también es posible recurrir a medios más sofisticados, como sería el caso de utilizar teléfonos móviles apropiados. En efecto, muchos teléfonos móviles tienen una aplicación consistente en un cronómetro de sensibilidad de centésimas de segundo y op-ción “vuelta” que permite medir el tiempo entre diferentes pulsaciones de pantalla. Esta aplicación da la posibilidad de obtener datos espacio y tiempo sucesivos para una deter-minada experiencia.
Otra posibilidad consiste en utilizar aplicaciones informáticas libres, en línea o descarga-bles, que funcionan como cronómetros con la opción “vuelta”.
A.28. En el caso de no poder llevar a cabo la experiencia, a continuación se indican los resulta-dos obteniresulta-dos por un grupo de alumnos utilizando un tubo de plástico transparente de 120 cm de longitud y 1 cm de diámetro, para que procedáis a su interpretación
e (cm) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
t (s) 0 1,19 2,46 3,82 5,22 6,58 7,98 9,28 10,75 12,08 13,57
Con los datos de la tabla anterior se puede construir una gráfica como la siguiente:
En la gráfica anterior es fácil comprobar cómo los datos obtenidos se ajustan muy bien a una línea recta que pasa por el origen, lo que, como ya sabemos, se interpreta diciendo que el movi-miento de ascenso de la burbuja por el interior del tubo corresponde a un movimovi-miento uniforme (y en este caso, rectilíneo). Una cuestión importante es calcular la rapidez correspondiente.
A.29. Utilizad la gráfica construida para determinar la rapidez con la que asciende la burbuja.
Conviene que los alumnos, antes de tratar los datos informáticamente, aprendan a realizar un ajuste cualitativo manual de los puntos experimentales trazando una recta que pase lo más cerca posible del mayor número de puntos y que luego calculen, también manualmente, el valor de la pendiente.
188 5. Gráficas del movimiento uniformemente acelerado
Igual que hicimos con el movimiento uniforme, vamos a reflexionar primero sobre la forma que deberían tener las gráficas.
A.30. El esquema siguiente representa el movimiento de un cuerpo que se desplaza con un mo-vimiento curvilíneo uniformemente acelerado. En él se indican 5 posiciones sucesivas del móvil a intervalos iguales de tiempo.
Representad de forma cualitativa posibles gráficas de la aceleración sobre la trayectoria frente al tiempo, de la rapidez frente al tiempo y de la posición frente al tiempo.
Del esquema anterior, es fácil darse cuenta de que en este caso el cuerpo se mueve en el sentido escogido como positivo (por lo que la rapidez será positiva).
Por tratarse de un movimiento uniformemente acelerado, la aceleración tangencial o aceleración sobre la trayectoria, es constante (vale siempre lo mismo) y es la causa de que la rapidez aumen-te regularmenaumen-te con el tiempo, de forma que el cuerpo se desplaza cada vez más deprisa y, por eso, los cambios de posición son cada vez mayores.
Al ser la rapidez positiva e ir aumentando, la aceleración sobre la trayectoria también será positi-va, por lo que la gráfica de at frente al tiempo será de la forma:
Vemos como, al ser at constante, vale igual en cada instante y por eso, la gráfica sale una línea horizontal paralela al eje de abcisas.
En ella podemos ver que a intervalos de tiempo iguales la rapidez aumenta lo mismo, es decir, v, va aumentando linealmente con el tiempo. En los movimientos uniformemente acelerados, las gráficas de "v" en función de "t" son trozos de rectas más o menos inclinadas.
Sin embargo, como el cuerpo se mueve cada vez más deprisa, a sucesivos intervalos iguales de tiempo, ∆t, les irán correspondiendo cambios de posición ∆e, cada vez mayores, con lo que la gráfica de la posición, e, frente al tiempo, t, deberá contemplar este hecho, tal y como se muestra en la figura siguiente.
En la figura adjunta para mayor clari-dad no se han indicado la posición ini-cial e0 = 0 y el instante inicial t0 =0, que coinciden con el origen de coorde-nadas de la gráfica.
Como puede verse fácilmente, los cambios de posición experimentados por el móvil a intervalos de tiempo iguales, son cada vez mayores. En los movimientos uniformemente acelera-dos, las gráfica de "e" en función de "t" son fragmentos de parábolas.
190
A.31. Un vehículo se mueve a lo largo de una trayectoria recta. Al representar la rapidez con que lo hace frente al tiempo, se ha obtenido la gráfica adjunta. Se pide:
a) Describir con el mayor detalle cada tramo, explicando que le pasa en cada uno a la aceleración sobre la trayectoria y a la rapidez.
b) Calculad el valor de la aceleración sobre la trayectoria en cada tramo, y representad, en una misma gráfica, la at en función del tiempo para todo el movimiento.
c) Dibujad (sin utilizar valores numéricos) una posible gráfica e-t sabiendo que para t0=0, e0 = 0. d) Dibujad una posible trayectoria y sobre ella indicad de forma cualitativa las sucesivas posi-ciones del móvil cada segundo para todo el movimiento.
a) En el primer tramo (izquierda de la figura), vemos que el móvil partió del reposo (para t0=0, v0=0) pero que la rapidez va aumentando linealmente con el tiempo, así que la aceleración sobre la trayectoria será constante y positiva (movimiento uniformemente acelerado), hasta que para t=4 s alcanza una rapidez de 20 m/s y la mantiene constante ( at = 0, movimiento uniforme) du-rante 5 s más.
b)Para calcular los valores de at aplicaremos la expresión a
v
t
t en cada tramo: Primer tramo: a
v 20 0 = 5 m/s2 ,
t
t 4 0
lo que significa que la rapidez aumenta en 5m/s cada segundo. Segundo tramo: a
v 20 20 0 t
t 9 4
lo que significa que la rapidez vale siempre lo mismo (movimiento uniforme).
De acuerdo con los valores anteriores, la gráfica que se demanda en el enunciado sería:
192 para intervalos iguales de tiempo, en el primer tramo los ∆e serán cada vez mayores, mientras que en el segundo tramo (movimiento uniforme) serán iguales.
d) Para terminar, utilizaremos lo que sabemos sobre el movimiento para señalar. de forma cuali-tativa, la posición del móvil sobre la trayectoria a intervalos regulares de tiempo.
En la figura anterior podemos ver el cómo en el primer tramo el cambio de posición es mayor cada segundo transcurrido (entre t0 = 0 y t = 4s), mientras que en el segundo tramo todos los cambios de posición son iguales (entre t = 4s y t = 9s).
Insistimos de nuevo, para que no se confunda ninguna de las gráficas anteriores (v-t y e-t), con la trayectoria por donde se desplaza el móvil.
6. Concepto de velocidad
Lo que hemos visto hasta aquí es útil para estudiar movimientos que se realizan siguiendo una trayectoria sobre la cual podemos medir fácilmente la posición, una trayectoria que conocemos de antemano, como una carretera, la vía de ferrocarril o el lanzamiento de un cuerpo vertical-mente hacia arriba. Así, el cuentakilómetros de un coche y el velocímetro nos proporcionan con-tinuamente los valores de su posición (respecto de un origen determinado) y de la rapidez con que se mueve, independientemente de que la carretera sea recta o con curvas.
B
La velocidad instantánea o velocidad con que se mueve un cuerpo en un instante dado se repre-senta por un vector o flecha, tangente a la trayectoria, orientado siempre en el sentido en que se mueve el cuerpo y cuyo módulo (tamaño), coincide siempre con el valor absoluto de la rapidez en ese instante. Decimos entonces que la velocidad v , (al contrario que la posición e, la rapidez o la temperatura) es una magnitud vectorial.
El concepto de velocidad es más potente que el de rapidez, porque sirve para estudiar todo tipo de movimientos y no sólo los que se realizan a lo largo de una trayectoria ya conocida. Al repre-sentarse por medio de una flecha orientada, nos indica no sólo lo aprisa que el cuerpo está cam-biando de posición sino también la dirección y sentido en que se mueve en ese instante. El hecho de que en el lenguaje cotidiano se utilicen ambos términos indistintamente se debe a que los va-lores instantáneos de las dos magnitudes coinciden siempre numéricamente (si prescindimos del signo de la rapidez).
A.32. En una prueba automovilística se ha controlado la rapidez que lleva un coche en diversos instantes según se indica en la figura y en la tabla adjunta.
Posición A B C D
Rapidez (km/h) 50 100 150 200
Dibujad en cada una de las posiciones marcadas un vector representativo de la velocidad con que se mueve el coche en cada una de ellas.
La velocidad es una magnitud que puede cambiar su valor (módulo), su dirección y su sentido, como se muestra en la actividad siguiente. En la actividad debe haber quedado claro que la longi-tud de un vector representa su módulo (que nunca podrá ser un número negativo porque no hay longitudes negativas). Por tanto, el vector vD , por ejemplo, deberá tener una longitud doble que
y cuádruple que vA .
A.33. En otra prueba destinada a averiguar el consumo de gasolina y el comportamiento en ca-rretera de un nuevo modelo de coche, se le sometió a las siguientes situaciones:
a) Ir siempre a 100 km/h por una pista circular. b) Ir siempre a 150 km/h por una carretera recta. c) Ir siempre a 50 km/h por una carretera con curvas.
d) Ir a 200 km/h por una carretera recta y frenar hasta parar.
Proceded a construir los esquemas apropiados para cada caso incluyendo, en cada uno de ellos, tres vectores representativos de la velocidad en otras tantas posiciones y explicando en qué se diferencian unos de otros.
194
F
de dirección; en el segundo esquema los tres vectores velocidad tendrán el mismo módulo y también la misma dirección y sentido, es decir, en el caso b, la velocidad no cambia en nada, es constante (movimiento rectilíneo y uniforme); en el tercero la trayectoria no es circular ni rectilí-nea pero el módulo de la velocidad es constante (movimiento uniforme); finalmente en el cuarto (caso d) la velocidad no cambia de dirección (la trayectoria es recta) pero sí de módulo (va dis-minuyendo) por lo que cada vector deberá ser más pequeño que el anterior.
7. ¿Cómo conseguir que un cuerpo cambie de velocidad?
Son muchas las situaciones en las que nos interesa mucho cambiar la velocidad de un cuerpo. Podemos pensar, por ejemplo, en distintos deportes como el fútbol, donde hay que cambiar la velocidad del balón de modo que entre en la portería contraria; el baloncesto, donde se cambia la velocidad de la pelota para que entre en la canasta; el tenis, donde en el saque, la pelota experi-menta un gran cambio de velocidad; el paracaidismo, donde al abrirse el paracaídas se consigue disminuir la velocidad de caída. También en el cambio de velocidad que necesariamente hay que realizar cada vez que se conduce por una carretera con curvas (aunque se vaya despacio con rapidez constante), en el despegue o aterrizaje de los aviones, en el movimiento de los planetas en torno al Sol, el lanzamiento y puesta en órbita de satélites, etc.
A.34. Considerad los ejemplos anteriores y argumentad qué es lo que se necesita para que la velocidad de un cuerpo cambie.
Si analizamos los ejemplos anteriores u otros similares, nos daremos cuenta de que para que la velocidad de un cuerpo cambie es necesario que sobre él actúe una fuerza resultante. Es decir: siempre que sobre un cuerpo se ejerce una fuerza resultante, su velocidad cambia. Fijémonos, que lo contrario también es cierto: siempre que un cuerpo está en reposo o se mueve con veloci-dad constante (movimiento rectilíneo y uniforme) es porque no actúa ninguna fuerza sobre él o porque la resultante (suma) de todas las que actúan es nula (esto se conoce como primer princi-pio de la dinámica).
Siempre que la velocidad con que se mueve un cuerpo cambie en algo (aunque sea sólo en una cosa), decimos que sobre él se ejerce una fuerza resultante.
Antes de continuar, hemos de aclarar que la fuerza, al igual que la velocidad, también es una magnitud vectorial (no solo basta con conocer su valor sino que también nos interesa saber en qué dirección y sentido actúa) y, por tanto, cualquier fuerza se puede representar por medio de una flecha orientada (vector), cuyo tamaño sea proporcional al valor de dicha fuerza. En la figura siguiente hemos representado la fuerza que tira del carro mediante un vector de color rojo.
A.35. Como sabemos, la velocidad de un móvil puede cambiar tanto en módulo como en direc-ción. Supongamos un vehículo que va por una carretera recta aumentando constantemente su velocidad. Señalad hacia donde iría el vector fuerza resultante y dibujadlo. Ídem para el caso de otro que disminuya de velocidad.
En ambos casos la trayectoria es rectilínea y el móvil se desplaza en el mismo sentido, por lo que el vector velocidad no cambia de dirección ni sentido. Sin embargo en el primero el módulo de la velocidad va aumentando, mientras que en el segundo va disminuyendo. Para que esto pueda ocurrir, sobre el camión de bomberos deberá estar actuando una fuerza resultante en la misma dirección y sentido que la velocidad, mientras que sobre el coche de carreras será al contrario y la fuerza resultante deberá frenarlo y, por tanto, deberá tener sentido contrario a la velocidad
A.36. De acuerdo con los resultados de la actividad anterior, señalad a título de hipótesis, qué dirección deberá tener el vector fuerza, para que cambie sólo la dirección de la velocidad pero no se modifique su valor.
En la actividad anterior hemos visto que cuando el vector fuerza tiene el mismo sentido que el vector velocidad, el módulo de la velocidad aumenta (y la dirección no cambia). Por el contrario, cuando el vector fuerza tiene sentido opuesto a la velocidad, sucede que el módulo de la veloci-dad disminuye (y la dirección tampoco cambia).
196 En la figura anterior hemos representado el caso de un objeto que se mueve sometido a una fuer-za de módulo constante y perpendicular en todo momento al vector velocidad. De esa forma na-da de la fuerza empuja al objeto hacia adelante y tampoco nana-da lo frena. Se trata de un movi-miento circular y uniforme. En este movimovi-miento el módulo de la velocidad no cambia, por tanto la rapidez es constante y la aceleración sobre la trayectoria es nula. Como la velocidad está cam-biando continuamente de dirección debe haber una fuerza responsable de dicho cambio, dirigida como hemos visto hacia el centro de la circunferencia (por lo que recibe el nombre de fuerza centrípeta).
A.37. Atad un objeto pequeño (por ejemplo, una arandela) a un hilo fino y sobre una superficie lisa fijad el otro extremo del hilo (por ejemplo, con un dedo). Tensad el hilo y, a continuación, golpead el objeto con un dedo de la otra mano. Observad el movimiento del objeto y explicadlo.
A continuación, estudiaremos algunas fuerzas de especial interés.
8. La fuerza gravitatoria en el universo
A.38. ¿A qué puede deberse el peso de los cuerpos sobre la Tierra? ¿Y la fuerza que actúa sobre la Luna para que gire alrededor de la Tierra con un movimiento aproximadamente circular y uniforme?
Fue Newton (uno de los científicos más grandes de la historia) quien en el siglo XVII formuló la idea de que tanto el peso de los cuerpos como la fuerza que actúa sobre la Luna, se debían a la misma causa: a que la Tierra ejercía una fuerza de atracción sobre ellos, a la que llamó fuerza gravitatoria. Dicha fuerza no actúa solamente entre la Tierra y los cuerpos que se hallan próximos a ella, sino que afecta a cualquier pareja de objetos por el solo hecho de tener masa, ya sean tan pequeños como átomos o tan grandes como planetas o estrellas. Se trata, pues, de una fuerza universal y que se ejerce a distancia, sin necesidad de que exista contacto entre los cuerpos que la experimentan.
F
G m
1 m
r
2 2Así pues, la fuerza gravitatoria es universal, siempre de atracción, y se debe a la masa análogamente a como la fuerza eléctrica se debe a la carga). De las fuerzas existentes en la naturaleza, la gravitatoria es la más débil, por eso para que se note la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos, hace falta que al menos uno de ellos tenga una masa muy grande (como es el caso de un planeta).
A39. ¿De qué dependerá la fuerza gravitatoria con que se atraen dos cuerpos? Formulad hipótesis respecto a esta cuestión y también acerca de cómo pueden influir los factores considerados en que el valor de dicha fuerza sea más o menos grande.
Cabe pensar que dependa de las masas y también de la distancia a que las separa, de forma que cuanto mayores sean las masas y menor sea la distancia, mayor será la fuerza de atracción gravitatoria entre ambas. Newton obtuvo que el valor de esa fuerza venía dado por la expresión:
Dicha expresión se conoce como ley de Newton de la gravitación universal. En ella, G es una constante universal (no depende del medio en que se hallen los cuerpos), m1 y m2 son las masas de los objetos (considerados como puntuales) y r es la distancia existente entre ambos. En unidades internacionales, sabemos que la masa se mide en kg y la distancia en m. En ese caso, el valor de G resulta G = 6'67·10-11 N·m2/kg2. Como podéis ver es un valor pequeñisimo, lo que explica que la fuerza gravitatoria sea la más débil de las fuerzas presentes en la naturaleza.
A.40. Utilizando la expresión anterior, calculad con qué fuerza gravitatoria se atraerán dos objetos de 1 kg de masa cada uno separados 1 m. A continuación comentad el resultado obtenido y explicad el significado físico de la constante de gravitación universal G.
Rdo. F = 6'67·10-11 N. Un valor extraordinariamente pequeño. El valor de G coincide con el de la fuerza gravitatoria con que se atraen dos masas de 1 kg cada una separadas por 1 m de distancia.
Existe una magnitud que podemos denominar intensidad gravitatoria que tiene un valor distinto y característico para cada planeta o astro en general. Se representa por "g" y su valor coincide con el de la fuerza con que ese astro atraería a un objeto de 1 kg de masa. En unidades internacionales se mide en N/kg. En la superficie de la tierra, por ejemplo, g = 9'81 N/kg, lo cual significa que cada kg de masa situado sobre el suelo es atraído por la Tierra con una fuerza de 9'81 N (es decir, pesa 9'81 N). Conforme nos vamos alejando de la Tierra (o de cualquier otro planeta) el valor de g va disminuyendo, aunque nunca llega a anularse del todo. En la estación espacial internacional, por ejemplo, que se encuentra a unos 350 km de la superficie terrestre, g vale aproximadamente 8'81 N/kg.
A.41. Proponed una expresión que sirva para calcular el peso de cualquier cuerpo situado sobre la superficie terrestre.
198 como la expresión adecuada para obtener el peso de un cuerpo de masa m. Aunque la hemos deducido para el caso de la superficie terrestre, esta expresión tiene una validez general, sin más que utilizar en ella el valor de g correspondiente al punto donde nos encontremos.
A.42. Calculad el peso de una persona cuya masa es de 60 kg y que se encuentra sobre la superficie de la Tierra. Rdo. P = 588'6 N
A.43. En la tabla se dan los valores aproximados de la intensidad gravitatoria en la superficie de algunos astros. Calculad lo que pesaría una persona de 60 kg de masa si pudiera situarse en la superficie de cada uno de ellos y comparad los resultados con el de la actividad anterior.
Astro Luna Venus Marte Júpiter Neptuno Sol
g (N/kg) 1'6 8'9 3'7 23'1 11'0 274'0
Ya hemos comentado antes que la fuerza gravitatoria con que la Tierra (y en general cualquier astro) atrae a un objeto, va disminuyendo conforme nos vamos alejando de ella debido a que la intensidad gravitatoria es cada vez menor. Por tanto, el peso (terrestre) de un cuerpo es la fuerza con que dicho cuerpo es atraído por la Tierra y no una propiedad del mismo. Sin embargo, hay algo que no cambia esté el cuerpo donde esté. A esa propiedad de un cuerpo que vale lo mismo esté en la superficie de la Tierra, de la Luna, Marte o en el espacio intergaláctico y que no cambia aunque se caliente o se enfríe, se le denomina masa.
Fijémonos que la unidad internacional para medir la masa es el kg y para medir el peso el N. En la superficie de la Luna un objeto pesaría aproximadamente la sexta parte de lo que pesa en la superficie de la Tierra, pero su masa sigue siendo la misma.
En el lenguaje habitual no se distingue entre la masa y el peso y se habla, por ejemplo, de que una persona pesa 60 kg. Sin embargo, en un contexto científico hemos de expresar el peso en N y nunca en kg. El que una persona "pese" 60 kg se debe interpretar como que su peso es como el de un objeto de 60 kg de masa.
A.44. ¿Qué pesa más, 1 kg de plomo o 1 kg de porexpán ("corcho blanco") para embalar?
Si habéis comprendido bien la diferencia entre masa y peso, debéis haber contestado que ambos pesan lo mismo (colocados en el mismo lugar), porque su masa es la misma. Concretamente: P = m·g = 1·9'81 = 9'91 N
Otra cosa es que 1 kg de corcho blanco ocupará mucho más espacio (tiene un volumen mucho mayor) que 1 kg de plomo.
Nuestro sistema solar tiene un diámetro de más de 5000.000.000 km. Sin embargo, el Sol no es sino una estrella corriente de las entre 200.000 millones y 400.000 millones de estrellas que con-forman nuestra galaxia. Girando alrededor de muchas de esas estrellas hay también planetas y se calcula que habrá decenas de miles de millones de planetas solo en nuestra galaxia (ya se han detectado miles de ellos) formando parte de muchos otros sistemas solares.
Cuando hablamos de estrellas, hemos de tener en cuenta que existe una gran variedad en cuanto a su masa, tamaño, brillo, etc. El volumen ocupado por nuestro Sol, por ejemplo, es aproxima-damente el que ocuparían 1000.000 de Tierras. Sin embargo hay estrellas tan grandes que dentro de ellas cabrían más de 100.000.000 de soles como el nuestro. Como todas las estrellas están tan lejos de nosotros, las vemos siempre como puntos brillantes por grandes que sean. Las distancias son tan inmensas que no es útil medirlas en km y por eso, en su lugar, se utilizan otras unidades como, por ejemplo, el año luz o distancia que recorre la luz en un año.
A.45. Sabiendo que la luz en el vacío se mueve aproximadamente a 300.000 km/s calculad la distancia recorrida por un pulso de luz en un año.
Rdo. 1 año luz = 9'46 · 1012 km (es decir, más de nueve millones de millones de km).
Nuestra galaxia tiene un diámetro de unos 120.000 años luz y una forma lenticular. Si pudiéra-mos reducir el tamaño de nuestra galaxia al tamaño de toda España, nuestro sol sería una pe-queñísima bolita luminosa con un diámetro inferior a una diezmilésima de mm (haría falta un buen microscopio para verlo). Todo ese conjunto enorme de estrellas gira lentamente en torno a su centro (nuestro sol tarda unos 300 millones de años en dar una vuelta completa) y se mantiene ligado gracias a la fuerza gravitatoria existente entre toda la materia que lo conforma. Las ga-laxias del universo varían mucho en extensión y algunas llegan a alcanzar los 6 millones de años luz de diámetro, con poblaciones superiores al billón de estrellas.
A.46. Averiguad cuánto tiempo tardaría una nave que viajase a 300.000 km/h en cruzar nuestra galaxia de parte a parte.
200 años (el tiempo empleado por la luz desde que salió de ella hasta llegar a nuestros ojos). El uni-verso es tan grande que cuando observamos un objeto muy lejano es como viajar al pasado. Los científicos han podido detectar estrellas y galaxias a unos 13000 millones de años luz de noso-tros, es decir, formadas poco después del origen de nuestro universo, lo cual ocurrió hace unos 13700 millones de años.
Nuestra galaxia (conocida como Vía Láctea), no está sola sino que forma parte de un grupo de galaxias llamado Grupo Local. En general, las galaxias se agrupan en macroestructuras formadas por decenas, cientos y, a veces, miles de ellas (cúmulos). Incluso hay organizaciones de varios cúmulos (supercúmulos) que son las mayores estructuras conocidas del universo. Así pues, las galaxias no están aisladas sino que se agrupan, interaccionan y deforman mutuamente debido a la gravedad. No sabemos exactamente cuántas galaxias hay en el universo observable pero, con mucha seguridad, hay cientos de miles de millones de ellas.
9. Efecto deformador de las fuerzas. Medida experimental del peso de un cuerpo
Las fuerzas no solo pueden cambiar la velocidad a la que se mueve un cuerpo (acelerarlo). Tam-bién podemos utilizarlas para aplastarlos, estirarlos, romperlos y en general, para deformarlos.
A.47. Enumerad ejemplos cotidianos importantes en los que se utilicen fuerzas con el propósito de cambiar únicamente la forma de algo con diversos fines.
Podemos pensar, por ejemplo, en el estiramiento de la cuerda de un arco, para lanzar una flecha, en un escultor que moldea la arci-lla con sus manos para hacer una estatua, un deportista que realiza un salto con pértiga, una persona que salta desde un puente sujeta a unas gomas elásticas, los músicos que hacen sonar instrumentos de cuerda, saltar en una cama elástica, amasar pan, cambiar de peina-do, etc.
Existen materiales que, en determinadas condiciones, se pueden deformar mediante fuerzas pero que luego (a diferencia de otros, como el barro) recuperan su forma original. Dichos materiales se denominan elásticos y con ellos se fabrican objetos como resortes, gomas, etc. Como acaba-mos de ver, el peso es una fuerza y precisamente por eso, podeacaba-mos aprovechar la elasticidad para medir cuánto vale el peso de un cuerpo, como vamos a ver a continuación.
A.48. Enunciad alguna hipótesis acerca de los factores de los que dependerá el estiramiento producido en un muelle sujeto del techo por uno de sus extremos, al colgar un objeto pesado en el otro extremo. A continuación sugerid cómo cabe esperar que influyan dichos factores.
La hipótesis anterior puede operativizarse como:
P
x
k
(donde k es una constante).Fijémonos que la expresión anterior nos dice que el cociente entre P y x siempre ha de valer lo mismo. Eso significa que si cambiamos el peso, lo que se estira el muelle también cambiará, de tal forma que el cociente siga valiendo lo mismo.
A.49. Elaborad un diseño experimental para contrastar la hipótesis anterior sobre la influencia del peso en el alargamiento de un muelle determinado.
Un posible diseño es utilizar un mismo muelle elástico del que vamos a colgar distintos pesos, midiendo lo que se alarga el muelle (respecto de su longitud inicial) para cada uno. Antes de nada, conviene, no obstante, pensar en cómo medir cada cosa.
Para medir el peso, podemos utilizar tuercas o arandelas iguales y adoptar el peso de una de ellas como unidad. Después basta con colgar dos, tres, cuatro… arandelas, con lo que el peso será dos, tres, cuatro… veces el de una sola. Es decir, el peso del objeto que cuelga será así igual al núme-ro de arandelas (1, 2, 3, 4…).
Para medir el alargamiento, podemos utilizar un muelle con el extremo visible y colocar a su lado una regla milimetrada de manera que se pueda apreciar bien el alargamiento del extremo, tal y como se muestra en la figura siguiente. La regla se puede mantener vertical simplemente utili-zando un trozo de plastilina sobre el cual se coloca invertida.
Los datos obtenidos se pueden recoger en una tabla como la anterior. Si la hipótesis es cierta, se deberá cumplir que:
P
k
x
Para ver que los datos se ajustan a la ecuación anterior, podemos simplemente dividir cada valor de P por el de x que le corresponda y comprobar que los resultados son muy parecidos (toda me-dida siempre viene afectada de una cierta imprecisión), es decir:
P (U.A) x (cm)
0 0
1 x1
2 x2
3 x3
4 x4
201 Otra posibilidad, científicamente más aceptable, es darse cuenta que la expresión anterior tam- bién se puede poner como:
P
k
x
que corresponde, precisamente, a la ecuación de una recta. Por tanto, si al representar gráfica-mente los valores obtenidos, los puntos se ajustan a una línea recta como la de la figura siguien-te, habremos confirmado la hipótesis.
A.50. Por si no ha sido posible realizar la experiencia, se reproduce a continuación una tabla de datos correspondiente a un grupo de estudiantes que sí pudieron realizarla. A partir de ella pro-ceded a construir e interpretar la gráfica correspondiente.
P (U.A) 0 1 2 3 4 5
x (cm) 0 2'2 4'5 6'6 8'7 11'0
Numerosas investigaciones, realizadas en condiciones cuidadosamente controladas y de forma muy rigurosa, coinciden con el resultado que hemos obtenido aquí:
Existe una proporcionalidad directa entre el valor de la fuerza peso con que la Tierra atrae al objeto que cuelga y la deformación producida en el muelle.
En este resultado se basa la construcción de un instrumento específicamente diseñado para poder medir con él de forma directa el peso de distintos objetos. Se llama dinamómetro y consiste esencialmente en un muelle con una escala incorpora-da y un cursor que señala el peso o la fuerza (en general) que se ejerce sobre el extremo en N.
10. La fuerza de rozamiento por deslizamiento y sus efectos
A.51. En la figura adjunta una persona empuja un bloque situado sobre una superficie horizon-tal pero, a pesar de que cada vez hace más fuerza, no consigue moverlo. ¿Cómo interpretar este hecho?
Algunas personas interpretan este hecho diciendo que la fuerza de rozamiento es mayor que la fuerza con que se empuja. Sin embargo, si eso fuera así nos encontraríamos ante una situación absurda ya que el objeto debería entonces moverse en sentido contrario a la fuerza que nosotros le hacemos, porque la fuerza resultante (suma de todas las que actúan) iría hacia la izquierda.
Para explicar que el objeto no cambie de velocidad, hemos de admitir que la fuerza resultante sobre él ha de ser 0; de esa forma si estaba en reposo continuará estándolo.
Así pues, mientras que el objeto no se mueva, la fuerza de rozamiento sobre él ha de valer exactamente lo mismo en todo momento y ser de sentido contrario que la fuerza paralela al suelo con que se le empuje. Es decir: podemos ir aumentando la fuerza con que empujamos al bloque, pero mientras que este no comience a deslizar, la fuerza de rozamiento también irá aumentando de modo que ambas fuerzas valgan lo mismo para que la fuerza resultante sea nula y no haya cambio de velocidad (que seguirá siendo 0). Naturalmente esto no puede seguir indefinidamente y llega un momento en el que la fuerza ejercida sobre el bloque supera el valor límite o máximo que puede tener la fuerza de rozamiento actuante en esa situación. Justo en ese momento el blo-que comenzaría a deslizar. En resumen: La fuerza de rozamiento por deslizamiento siempre ser opone al deslizamiento del objeto sobre la superficie en que se encuentre y puede tomar infinitos valores entre 0 y ese valor máximo a que nos hemos referido, de modo que mientras no consi-gamos superar ese valor máximo, el objeto no comenzará a deslizar.
202 tirar haciendo una fuerza cada vez mayor. Si en el momento en que el bloque comienza a desli-zar, medimos lo que marca el dinamómetro, ese será el valor límite buscado.
Si no hubiese ningún rozamiento, no nos costaría nada mover el bloque por pesado que fuera. Cualquier pequeña fuerza paralela al suelo lo conseguiría ya que esa fuerza sería una fuerza re-sultante no equilibrada por ninguna otra.
No obstante vivimos en un mundo en el que las fuerzas de rozamiento están presentes en la ma-yoría de los fenómenos que observamos.
A.53. ¿Qué ocurriría si, de repente, desapareciesen las fuerzas de rozamiento?
Para empezar, no podríamos caminar, los coches parados no podrían arrancar, los vehículos en marcha por una carretera se saldrían en cuanto intentasen tomar una curva y no podrían parar, no habría estrellas fugaces, etc. Vemos, pues que las fuerzas de rozamiento tienen una gran impor-tancia, aunque a veces nos interese mucho disminuirlas, como, por ejemplo, cuando añadimos aceite lubricante a las máquinas para frenar el desgaste de sus piezas y disminuir la energía nece-saria para su funcionamiento, cuando practicamos el esquí o cuando intentamos fabricar vehícu-los cada vez más aerodinámicos.
A.54. ¿A qué puede deberse la fuerza de rozamiento?
Una primera aproximación, es relacionarla con la rugosidad o imperfecciones más o menos visi-bles que existen tanto en el objeto como en la superficie sobre la que desliza. Pensamos que esas imperfecciones encajan entre sí como los dientes de una sierra de modo que eso supone un im-pedimento al movimiento y hace que el objeto en movimiento vaya frenando hasta pararse. El hecho de que al lanzar un objeto por una superficie plana y horizontal este llegue tanto más lejos cuanto más lisa sea dicha superficie y más pulido esté el objeto, parece confirmar esta idea. En realidad, el estudio de las fuerzas de rozamiento es muy complejo. Su explicación a nivel microscópico es muy diferente a la que se da cuando se habla de irregularidades que encajan unas en otras. Cuando analizamos lo que ocurre a escala atómica encontramos interacciones en-tre átomos de la superficie del objeto y otros átomos de la superficie sobre la que desliza, partí-culas que no están quietas sino vibrando, roturas y formaciones de enlaces químicos, fuerzas eléctricas, etc.
RECAPITULACIÓN
a)
b)
8. EL MOVIMIENTO Y LAS FUERZAS. ACTIVIDADES DE REFUERZO
1.A partir de la gráfica adjunta se pide:
a) Qué tipo de movimiento es y rapidez con que se realiza
b) Ecuación del movimiento c) Construid la gráfica v = f(t)
d) Sobre una posible trayectoria en la que se indique el origen de espacios y criterio de sig-nos, señalad mediante cruces la posición del móvil durante los 5 primeros segundos.
Rdo. a) MU, v = -2 m/s. b) e = 10-2t
2.Considerad los siguientes movimientos reales:
a) Un tren de alta velocidad que partiendo del reposo arranca con aceleración constante por una vía recta hasta que alcanza una rapidez determinada que mantiene sin variar.
b) Un autobús que frena con aceleración constante hasta detenerse en un semáforo
Se pide: Dibujad las posibles trayectorias para ambos movimientos y marcad sobre ellas con cruces las posiciones sucesivas a intervalos regulares de tiempo. Indicad el origen de espacios escogido y criterio de signos. Dibujad las gráficas v = f(t) y e = f(t) para ambos
3. Los siguientes esquemas representan otros tantos movimientos, todos ellos correspondientes a móviles que se desplazan con rapidez constante.
204 4.La gráfica de un movimiento es la de la figura adjunta:
a) Obtened toda la información posible (cualitativa y cuantitativa) de dicho movimiento: tipo de movimiento, valores de e0 y de t0, valor de la rapidez y de la aceleración sobre la trayectoria, sentido en que se desplaza el móvil.
b) Sobre una posible trayectoria señalad mediante cruces la posición del móvil a intervalos igua-les de tiempo.
c) Si continuase siempre con el mismo movimiento, ¿dónde se encontraría en el instante t = 50 s?
Rdo. c) e = 180 m
5. Un cuerpo de mueve constantemente a 3 m/s por una trayectoria rectilínea. Un observador mira su cronómetro y constata que en el instante 2 s el móvil se encontraba a 10 m del origen de espacios. Con todos estos datos, se pide:
a) Dibujad la trayectoria y señalad mediante cruces la posición del móvil en los instantes: 2, 3, 4, y 5 (todos ellos en segundos).
b) Ecuación del movimiento e = f(t)
c) Construid las gráficas de v = f(t), at = f(t) y e = f(t)
d) Determinad la posición del móvil en los instantes tA = 4'5 s y tB = 20 s.
Rdo. d) eA = 17'5 m eB = 64 m
6. Respecto del movimiento de la trayectoria adjunta, sabiendo que el objeto se mueve siempre hacia la derecha con una rapidez constante de 4 m/s y que cada división es 1 m, se pide:
a) Señalad mediante cruces tres posiciones para los instantes 2, 4 y 6 (todos en segundos). b) Escribid la ecuación e = f(t) y comprobad con ella las posiciones señaladas en a). c) Calculad la distancia total recorrida por el móvil durante los 10 primeros segundos
7.A partir de la gráfica adjunta, se pide:
a) Calcular la rapidez
b) Escribid la ecuación e = f(t)
c) Determinad la posición en los instantes tA = 3'2 s y tB = 25 s
Rdo. a) v = 2'5 m/s b) e = 10 + 2'5·t c) eA = 18 m y eB = 72'5 m
8. Respecto de la trayectoria de la figura, sabiendo que el objeto se mueve siempre hacia la iz-quierda con rapidez constante de 5 m/s (en valor absoluto) y que cada división es 1 m, se pide:
a) Señalad mediante cruces tres posiciones para los instantes 1, 2 y 3 (todos en segundos).
b) Escribid la ecuación del movimiento e = f(t) y comprobad con ella las posiciones señaladas en el apartado anterior.
206
9. A continuación se reproduce un esquema de la Dirección General de Tráfico (de julio de 2015) en donde se detalla la distancia de reacción, la de frenado y la distancia total necesaria para detener un coche (con frenos y neumáticos en buenas condiciones) por un conductor atento y en buenas condiciones físicas, tanto en carretera seca como cuando está mojada. Analizad cui-dadosamente toda la información proporcionada en dicho esquema y, a continuación, contestad las siguientes cuestiones:
a) ¿Por qué la distancia de frenado aumenta tanto cuando la carretera está mojada y no lo hace la distancia de reacción?
b) Sabiendo que en carretera seca cuando se circula a 140 km/h la distancia de reacción es de 39 m y la distancia de frenado de 87 m, utilizad estos datos y los del esquema (solo carretera seca) para representar en un mismo gráfico (con distintos colores): la distancia de reacción, la distan-cia de frenado y la distandistan-cia total de parada, frente a la rapidez del vehículo. A continuación ana-lizad los resultados interpretando la forma de las líneas obtenidas.
c)¿Cómo cambiaría todo si el conductor estuviese bebido o distraído y los neumáticos gastados?
10.Ordenad de menor a mayor los siguientes valores de la rapidez media (dados aleatoriamente): a) 340 m/s, b) 0'1 km/min, c) 300 km/h, d) 0'01 km/s
Los valores anteriores corresponden a la rapidez media desarrollada por un corredor de los 100 m lisos, una persona que camina muy rápido, el sonido cuando viaja por el aire y un tren de alta velocidad. Decid cuál es cada uno.
12.La gráfica siguiente representa cómo va cambiando la rapidez de un móvil con el tiempo.
Sobre una trayectoria recta, señalad mediante cruces la posición del móvil sobre la trayectoria a intervalos regulares de tiempo y dibujad las gráficas e = f(t) y at = f(t) correspondientes. (Consi-derad que para t0 = 0, e0 = 0).
13.La gráfica siguiente representa cómo va cambiando la rapidez de un móvil con el tiempo.
a) Extraed la máxima información del movimiento (rapidez inicial, tipo de movimiento, valor de la aceleración sobre la trayectoria y significado físico del mismo).
b) Calculad el valor de la rapidez en el instante tA = 7 s y en el instante tB = 20 s c) Suponiendo que para t0 = 0, e0 = 0, representad cualitativamente la gráfica e = f(t).
a) at = 0'5 m/s2 b) vA = 3'5 m/s, vB = 10 m/s
14.Busca en el tema los valores de la intensidad de la gravedad en la superficie de la Tierra y de la Luna. A continuación calcula cuántas veces pesarías más en la Tierra que en la Luna.
