TEMA 2. DERIVADAS Y APLICACIONES.pdf

Tema 2: DERIVADAS Y APLICACIONES.

1. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. DERIVADAS LATERALES.

Definición:Se llama derivada de una función f en un punto de abcisa x = x0, y se denota f´(x0), al

número real resultado del siguiente límite

o x

x

h _{x x}

x f x f lím h x f h x f lím x Df x f          ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

´( 0 0 0

0 0 0

0

NOTA: Cuando este límite existe y es un número real, se dice que la función es derivable en x = x0.

Definición: Se llama derivada lateral por la derecha de una función f en un punto de abcisa x = x0, y

se denota f´( xo+), al número real resultado del siguiente límite

o x

x

h x x

x f x f lím h x f h x f lím x f       _{ }    ( ) ( ) ( ) ( ) )

´( 0 0 0

0 0

0

Definición: Se llama derivada lateral por la izquierda de una función f en un punto de abcisa x = x0,

y se denota f´(x0), al número real resultado del siguiente límite

o x

x

h x x

x f x f lím h x f h x f lím x f       _{ }    ( ) ( ) ( ) ( ) )

´( 0 0 0

0 0

0

Propiedad: Una función f es derivable en un punto sí y sólo sí existen las derivadas laterales de la función en ese punto y coinciden.

2.CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES DERIVABLES.

Si f es derivable en x = a f continua en x = a

El recíproco no es cierto. Veamos un contraejemplo: f(x) x es continua en x = 0 pero no es derivable en x = 0

3. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN EN UN PUNTO. RECTA TANGENTE.

La derivada de una función f(x) en el punto de abscisa x = x0, f‘(xo), es la

pendiente de larecta tangente a la función en el punto (x0, f(xo))

La ecuación de la recta tangente a la función f (x) en el punto (x0, f(xo)) es

de la forma:

) )·( ´( )

(x₀ f x₀ x x₀

f

y  

La ecuación de la recta normal a la gráfica de f(x) en el punto





·( ) ) ´( 1 ) ( 0 0

0 x x

x f x

f

4. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS.

Definición:Se llama función derivada de una función f, o simplemente derivada y se denota f´(x), a la función que asocia a cada punto donde la función es derivable, la derivada de la función en ese punto h x f h x f lím x f h ) ( ) ( ) ´( 0    

Si f´es derivable, su función derivada se llama derivada segunda de f (f´´), y así sucesivamente fn) (x) (derivada n-ésima)

5. DERIVADAS DE ALGUNAS OPERACIONES CON FUNCIONES.

DERIVADA DE LA SUMA: D(f(x) +g(x)) = f´(x) + g´(x)

PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA FUNCIÓN: D( k · f(x) ) = k · f´(x)

PRODUCTO DE FUNCIONES: D( f(x) · g(x) ) = f´(x) · g(x) + f(x) · g´(x)

COCIENTE DE FUNCIONES:

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES: D( g(f(x) ) = g´( f(x) ) · g´(x)

FUNCIÓN SIMPLE 6. DERIVADAS DE FUNCIONES.

y = k y´= 0

y = x y´= 1 FUNCIONES COMPUESTAS

y = xn y´= n· xn -1 y = [f(x)]n y´= n· [f(x)]n -1 · f ’(x)

y = x

x 2

1 '

y  y f(x)

) x ( f 2 ) x ( ' f ' y 

y = n

x n n 1

x n 1 ' y 

 _yn _f(x)

n n 1

) x ( f n ) x ( ' f ' y  

y = e x y´= e x y = ef(x) y´= e f(x)·f ’(x)

y = a x y´= a x lna y = af(x) y´= a x lna · f ’(x)

y = lnx

x 1 '

y  y = ln f(x) ·f'(x)

) x ( f 1 ' y 

y = log ax

a ln 1 · x 1 '

y  y = loga f(x)

a ln 1 · x 1 '

y  · f ’(x)

 

) x ( g ) x ( g • ) x ( f ) x ( g • ) x ( f ) x ( g ) x ( f

D _   

y = sen x y´= cos x y = sen f(x) y´= cos f(x) · f ‘(x)

y = cos x y´= - senx y = cos f(x) y´= - sen f(x) · f ‘(x)

y = tgx

x cos

1 '

y  ₂ = 1+ tg2x y = tg f(x)

) x ( f cos ) x ( ' f '

y  ₂ = [1+ tg2f(x)]·f ’(x)

y = arc senx ₂

x 1 1 ' y 

 _{y = arc senf(x)} ·f'(x)

) x ( f 1 1 ' y 2  

y = arc cosx ₂

x 1 1 ' y  

 _{y = arc cosf(x)} ·f'(x)

) x ( f 1 1 ' y 2   

y = arc tgx ₂

x 1 1 ' y 

 y = arc tgf(x) ·f'(x)

) x ( f 1 1 ' y ₂  

7. DERIVACIÓN IMPLÍCITA.

Hay funciones que vienen expresadas mediante expresiones (x,y)0 en las cuales es difícil o imposible despejar la y.

Por ejemplo y37x25xy2170

En ellas, los valores de y quedan implícitamente dados por la expresión, pero no es posible obtener explícitamente una expresión del tipo y = f(x). Sin embargo, y´ no es difícil de calcular.

0 ´ · · 10 5 14 ´ ·

3y2 y x y2 xyy

2 2 5 14 ) 10 3

´·( y xy x y

y    

xy y y x y 10 3 5 14 ´ ₂ 2   

Observamos que y´viene dada en función de x e y. Por tanto, para hallar el valor de la derivada en un punto, hemos de conocer la abcisa y la ordenada del punto.

Por ejemplo: 1 1 · 2 · 10 1 · 3 1 · 5 2 · 14 ) 1 , 2 ´( ₂ 2     y

8. DERIVACIÓN LOGARÍTMICA.

Es un procedimiento para hallar la derivada de y = f(x) g(x)

Pasos para su resolución:

1º Tomar logaritmos a ambos lados: ln y = ln f(x) g(x)

2º Aplicar la propiedad del logaritmo de una potencia: ln y = g(x) · ln f(x)

3º Derivar de forma implícita: g’(x) · ln f(x) + g(x) ·

(regla del producto)

9. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES.

9.1. TEOREMA DE ROLLE

Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b], derivable en el intervalo abierto (a, b) y f(a) = f(b), entonces existe, al menos, un punto c perteneciente al intervalo (a, b) en el que la derivada se anula.

9.2. TEOREMA DE LAGRANGE O DEL VALOR MEDIO

Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b], derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe, al menos, un punto c perteneciente al intervalo (a, b)

de modo que en él se verifica

a b

a f b f c f

   ( ) ( )

) ´(

9.3. REGLA DE L´HÔPITAL

Si

0 0 ) (

) (



 _{g x}

x f lím

a

x siendo f y g derivables en un entorno de a y si existe el _{g x} L

x f lím

a

x _{´( )}  ) ´(

, se

cumple que L

x g

x f lím x

g x f lím

a x a

x   _{´( )}  ) ´( )

( ) (

(Es posible aplicar también esta regla si x → ± ∞ y si la indeterminación inicial es e incluso ∞ -

∞, 0 · ∞ haciendo una transformación que las lleve a o )

10. MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN.

Dada una función f(x) derivable en un intervalo (a,b) 10.1. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

Definición: Se cumple que si:

f ’(a) >0 →f es creciente en x= a f ’(a) <0 →f es decreciente en x= a

f ’(a) =0 →

 f puede ser creciente en x= a. Ej. f(x) = x3 en x=0

 f puede ser decreciente en x= a. Ej. f(x) = -x3 en x=0

 f puede tener máximo o mínimo en x= a

Nota: Este concepto local, se generaliza en intervalos y de este modo f ’(x) >0 f es creciente en I

10.2. MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS

Definición: Se dice que en x=a hay un MÁXIMO RELATIVO (MÍNIMO RELATIVO)si f(x)<f(a)[ f(x)<f(a)],

. Es decir, si alcanza el menor valor en un entorno de a.

Condición necesaria para la existencia de máximos y mínimos (en funciones derivables) Si en x= a hay un máximo o mínimo relativo → f ’(a) =0

Condiciones que añadidas al hecho de que f ‘ (a) = 0 garantizan la existencia de máximos y mínimos relativos.

Criterio 1: Con f

Si f(a-)<f(a) y f(a+) <f(a) →En x=a hay un máximo.

Si f(a-)>f(a) y f(a+) >f(a) →En x=a hay un mínimo.

En otro caso → No hay ni máximo ni mínimo.

Criterio 2: Con f ´

Si f ’(a-)>0 y f ‘(a+) <0 →En x=a hay un máximo.

Si f ’(a-)<0 y f ‘(a+) >0 →En x=a hay un mínimo. En otro caso → No hay ni máximo ni mínimo.

Criterio 3: Con f ´´

Si f ´´(a)<0 →En x=a hay un máximo. Si f ´´(a)>0 →En x=a hay un mínimo.

En otro caso → No se puede concluir nada.

10.3. PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Para resolverlos seguiremos los siguientes pasos:

1. Localizar la función a maximizar o minimizar (normalmente con dos variables). 2. Localizar en el enunciado un dato que nos permita relacionar las dos variables.

3. Despejar del dato una de las dos variables en función de la otra y sustituir en la función (que ahora sólo dependerá de una).

4. Derivar la función, igualar a 0 para hallar máx/mín y COMPROBAR que realmente lo son. 5. Una vez obtenido un valor de una variable, hallar la otra y contestar en términos del

11.- CURVATURA DEUNA FUNCIÓN.

Definición: Una región se dice CONVEXA si para cualquier pareja de puntos incluidos en ella, el segmento que los une está totalmente incluido en la región. En caso contrario se dice CÓNCAVA

Definición: Una función es CONVEXA (CÓNCAVA) si la región superior asociada de su gráfica es convexa (cóncava).

11.1. CURVATURA EN FUNCIONES DERIVABLES Definición: Se cumple que si:

 f ´´(a) >0 →f es convexa en x= a

 f ´´(a) <0 →f es cóncava en x= a

 f ´´(a) =0 →

 f puede ser convexa en x= a. Ej. f(x) = x4 en x=0

 f puede ser cóncava en x= a. Ej. f(x) = -x4 en x=0

 f puede tener un punto de inflexión en x= a

Justificación: (para el caso de convexa, para el otro igual)

Si f ´´(a) >0→f´es creciente en x=a →sup que f´(a) = 0 → f´(a-) < 0, f´(a+) >0

11.2. PUNTOS DE INFLEXIÓN

Definición: Se dice que en x=a hay un PUNTO DE INFLEXIÓN si la función pasa de cóncava a convexa o viceversa en ese lugar.

Condición necesaria para la existencia de puntos de inflexión (en funciones derivables, 2 veces)

Si en x= a hay un punto de inflexión → f ´´(a) =0

Condiciones que añadidas al hecho de que f ´´(a) = 0 garantizan la existencia de puntos de inflexión

Criterio 1: Con f ´´

Si f ´´(a-)>0 y f ´´(a+) <0 →En x=a hay un P.I convexo -cóncavo

Si f ´´(a-)<0 y f ´´(a+) >0 →En x=a hay un P.I cóncavo - convexo En otro caso → No hay ni máximo ni mínimo

Criterio 2: Con f ´´´

Si f ´´´(a)<0 →En x=a hay un P.I convexo -cóncavo

Si f ´´´(a)>0 →En x=a cóncavo - convexo

12. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES.

1. Dominio

2. Simetrías.

Una función f es par (o simétrica respecto al eje OY) si f(x) = f(-x)

Una función f es impar (o simétrica respecto al origen de coordenadas) si f(-x) = -f(x)

3. Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con el eje OX. Son las soluciones del sistema   

 

) ( 0

x f y y

Punto de corte con el eje OY. Es la solución del sistema   

 

) ( 0

x f y x

4. Asíntotas.

5. Estudio de f´. Intervalos de crecimiento y decrecimiento; extremos relativos.

Obtenemos f´

Resolvemos la ecuación f´(x) = 0

Estudiamos el signo de f´. Si f´(x0) < 0 →f decreciente en x0

Si f´(x0) > 0 →f creciente en x0

En los puntos donde f´(x0) = 0 y cambie la monotonía de la función, habrá un extremo

relativo

6. Estudio de f´´. Curvatura y puntos de inflexión.

Obtenemos f´´

Resolvemos la ecuación f´´(x) = 0

Estudiamos el signo de f´. Si f´´(x0) < 0 →f cóncava hacia abajo en x0

Si f´´(x0) > 0 →f cóncava hacia arriba en x0

En los puntos donde f´´(x0) = 0 y cambie la curvatura de la función, habrá punto de inflexión