Módulo Nº2 (2017)

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Página 1 de 9 Módulo de trabajo N° 2: Número y Sistemas de Numeración

Contenidos:

 Números Naturales ¿Cómo surgieron?

 Sistemas de numeración. Su evolución.

 Agrupamiento simple.

 Sistema de numeración egipcio.

 Sistema de numeración ático griego.

 Sistema de numeración chino.

 Sistema de numeración romano.

 Sistema de numeración babilonio.

 Sistema de numeración maya.

 Sistema de numeración decimal oral.

 Sistema de numeración decimal escrito.

Material de lectura:

1. El libro de la Matemática 7. Fregona, Dilma y otros (1997). Editorial Estrada. Bs. As

2. La numeración como objeto de saber extraído Eguiluz y Pujadas (2003) Numeración ¿Querés que te cuente? Editorial Galeón. Cba.

3. Lectura del texto: Sistemas de Numeración extraído de Tapia (1986) Matemática 1. Edit. Estrada. Bs. As.

Referencias Bibliográficas:

 El libro de la Matemática 7. Fregona, Dilma y otros (1997). Editorial Estrada. Bs. As.

 El imperio de los números. Guedj, Denis. Blume. 2011. Barcelona.

 Estudiar Matemática en 4° - Libro para el docente- Claudia Broitman y otros – Ed.Santillana.

 Matemática. Red Estrada. Módulo 1. Programa de capacitación docente: Didáctica de la Matemática. Chemello, Graciela y otros.

 Numeración ¿Querés que te cuente? Eguiluz y Pujadas (2003) Editorial Galeón. Cba.

 Matemática 1.Tapia (1986). Edit. Estrada. Bs. As.

 Didáctica de la Matemática 3. Nivel Primario. Tercer Ciclo. Rey, María Ester (1994). Editorial Estrada. Bs. As.

 Instituto Nacional de Formación Docente (2015). Enseñanza del número y el sistema de numeración. Clase 1: Complejidades de nuestro sistema de numeración. Un poco de historia. Especialización Docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en laEscuela Primaria. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.

 Instituto Nacional de Formación Docente (2015). Clase 3: Producción y análisis de escrituras matemáticas en el primer ciclo. Módulo: Enseñanza del Número y las Operaciones. Especialización Docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Escuela Primaria. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.

Instituto Superior “Carlos A. Leguizamón”

PROFESORADO DE EDUCACIÓN INICIAL – PROFESORADO DE EDUCACION PRIMARIA UNDAD CURRICULAR: Desarrollo del Pensamiento Matemático

2017

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Página 2 de 9 Introducción

Número y sistema de numeración

“Números Naturales ¿cómo surgieron?”

Los números naturales son los números que usamos para contar: 1, 2, 3, 4,..., 2789,..., 9650,... Cada uno de estos símbolos, y el nombre correspondiente, nos permiten identificar cuántos elementos tiene una colección determinada. Así, no es necesario tener presentes los objetos para recordar cuántos hay o para comunicarle a alguien cuánto tenemos.

Aunque no hay documentos para reconstruir el origen de estas nociones, hay rastros que nos permiten asegurar que el hombre prehistórico podía enumerar objetos. Mucho antes de usar los números, al hombre se le ocurrió hacer una marca (en la arena, sobre una madera o un hueso) por cada objeto observado.

¿Qué tiene que ver esto con los números? Podemos imaginar la situación siguiente: cada mañana un pastor suelta sus animales para que coman el pasto que crece cerca del río y, cuando oscurece, reúne otra vez el ganado para protegerlo de los lobos. Cada anochecer se le presenta la misma duda: ¿habrán vuelto todos?

Ese problema de controlar la cantidad de ganado, de frutos recogidos, de instrumentos, de personas, etcétera, se le presentaba cotidianamente a todos los miembros de su comunidad.

Gradualmente surgió la idea de usar una correspondencia uno a uno y, para cantidades pequeñas, empezaron a hacer corresponder un dedo (de las manos o de los pies) a cada objeto enumerado. Por ejemplo, un dedo para el animal más grande, otro dedo para el de la mancha negra en el lomo, otro dedo para el de la oreja caída...

Recuerden que estos hombres no tenían el conocimiento de los números para contar. Estamos tratando de estudiar los antecedentes de ese conocimiento.

Para una cantidad mayor, como en el caso del hueso encontrado en Europa, seguramente el pastor hacía una raya por cada animal que salía y, por la noche, controlaba con esa misma colección de rayas si todo su ganado volvía al corral.

Creados por la mente humana para contar objetos, agrupados de diversos modos, los números no contienen referencia alguna a las características de los objetos contados. El número 6 es una abstracción obtenida a partir de todas las colecciones que contienen 6 cosas, no depende de las cualidades específicas de dichas cosas ni de los símbolos usados para representarlas. (Fregona, D., 1997,)

El número es el resultado de una abstracción y, cuando aparecen situaciones físicas, uno debe considerar los hechos cuantitativos, efectuar las operaciones matemáticas apropiadas y luego interpretar la respuesta matemática. El número es un concepto del pensamiento, sin duda sugerido por los objetos físicos, pero independiente de ellos. Únicamente en etapas avanzadas del desarrollo intelectual llega a percibirse con toda claridad ese carácter abstracto de la idea de número. La teoría Matemática de los números naturales o enteros positivos se conoce con el nombre de Aritmética. (Extraído de Fregona, Dilma y otros (1997).El libro de la Matemática 7. Editorial Estrada. Bs. As.)

¿

Hasta qué número podían contar?

Transcurrieron muchos siglos antes de pasar de las rayas sobre un hueso a un lenguaje (escrito o hablado) que constituyera un sistema de numeración. Hoy, en nuestra civilización, si escribimos "3" o decimos "tres", determinamos la cantidad de objetos de una colección sin que nos importe de qué se trata. Podemos estar hablando de tres hijos, o tres piedras, o tres gatos, o tres objetos que están sobre la mesa.

En otras culturas, el nombre del número dependía de los objetos que se contaban. Así, existían palabras diferentes para nombrar a un grupo de tres, según se tratara de niños o de objetos.

Además, a cada cantidad de objetos le correspondía una palabra diferente sin ninguna ley de formación que permitiera, como en nuestro actual sistema, recordar el nombre de los números. Es fácil comprender, entonces , por qué eran tan pocas las personas que sabían contar y por qué resultaba imposible pensar en contar colecciones grandes.

Con un desarrollo muy rudimentario de la numeración, el hombre comenzó a dominar algunos he chos relacionados con las cantidades y los tamaños. La Matemática comenzó a ayudar al hombre para investigar y controlar la naturaleza a través de conocimientos sobre los pesos y las medidas y sobre las formas simples, como rectas, triángulos y círculos... Sin embargo, fueron los griegos de los siglos VI, V y IV antes de Cristo quienes realizaron el gran descubrimiento de cómo y hasta dónde se puede extender el razonamiento matemático.

Los conceptos básicos de Aritmética, es decir, el concepto de número, sus propiedades y sus aplicaciones, fueron estudiados por un grupo de matemáticos griegos conocidos como los pitagóricos, nombre que deriva de Pitágoras, su legendario líder.

Para ellos, los números naturales eran más que símbolos para determinar cantidades, eran el corazón de ciertos conceptos y relaciones sociales. Vamos a estudiar algunas propiedades de los números que provienen de aquella época.

La noción de agrupamiento surgió gradualmente. Parece que las tribus más primitivas utilizaron

Cuestión: ahora también a cada cantidad le corresponde un nombre.

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grupos de dos, pero un sistema natural corresponde a los dedos de la mano y puede así conducir a los agrupamientos de cinco. Así, si tenemos un símbolo y un nombre para cantidades hasta cinco, podemos armar montones de cinco objetos y luego una segunda vuelta de montones de cinco, y así sucesivamente.

Por ejemplo, si por cada oveja hacemos una cruz, podríamos determinar la cantidad de ganado tenemos haciendo los siguientes agrupamientos:

Seguramente encontraron dos montones de diez y cuatro ovejas sueltas: actualmente lo escribimos "24" y leemos "veinticuatro":

Pero los símbolos actuales, que vienen de los árabes, también tuvieron su evolución. Aquí les mostramos algunas de las formas en que se escribían las cifras en distintos momentos de la historia.

La utilización de esas cifras en el mundo occidental se fue extendiendo muy lentamente y durante mucho tiempo coexistieron diferentes formas de escribir las cifras, por lo cual era muy difícil comunicarse.

En 1202, Leonardo de Pisa (conocido como Fibonacci) utilizó sistemáticamente la numeración que provenía de India, mientras que en Florencia, en 1299, el Papa prohibió su uso, tal vez porque al no estar demasiado difundida, se podía prestar a falsificaciones y estafas. Se puede considerar que el uso de las cifras estuvo ampliamente difundido en Europa occidental a partir del siglo XIV.

Sistema de numeración chino

Los siguientes símbolos que se presentan a continuación son los que se utilizan en China para representar números. Existen nueve caracteres, que representan los números del uno al nueve, y los restantes representan números más grandes como diez, cien, mil, diez mil, etc. En el siguiente cuadro hemos escrito los símbolos hasta el diez mil.

Actividad N° 1:

a) Dadas las siguientes escrituras:

= 14 y = 40

¿Cómo explicarían la escritura de esos números?

Obtenemos cuatro montones de cinco y quedan cuatro ovejas sueltas.

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Página 4 de 9 b) ¿Cómo escribirían: 43; 400; 436; 4.000; 4.036; 4361 y 40.000? Expliquen qué tuvieron en cuenta para la escritura.

c) Representen los números 4.361 y 1.634. ¿Qué valores tienen los símbolos que representan dichos números? ¿Qué conclusión pueden extraer de acuerdo a la respuesta de la pregunta anterior?

d) ¿Es cierto que a mayor cantidad de símbolos, mayor es el número? Expliquen sus respuestas. Propongan ejemplos para cada respuesta.

e) Para escribir un número de cuatro cifras, ¿Se requieren sólo cuatro símbolos? ¿Hay una cantidad máxima de símbolos?

Actividad N° 2:

a) Realizar el visionado del video “La Historia del Uno” (presentado por Terry Jones) y hacer una síntesis (en editor de texto Word o similar – fuente: Arial – tamaño 10 – interlineado; sencillo – Márgenes: todos: 2 cm. – Extensión del trabajo: dos páginas).

Para la elaboración de dicha síntesis tenga en cuenta la mayoría de los siguientes interrogantes: 1. ¿Para qué se utilizaba el uno?

2. ¿Cómo se representaba el uno? ¿Qué significaba su representación?

3. ¿Hasta qué número podían contar?

4. Surge un primer acontecimiento importante en la historia del uno ¿Cuál fue ese acontecimiento? ¿Dónde se produjo?

5. ¿Qué nuevo uso del uno surge a partir del acontecimiento mencionado anteriormente?

6. ¿Qué caracterizaba, en términos numéricos, al pueblo de los Warlpiri?

7. ¿Qué inconvenientes encontraban los sumerios al momento de recordar cantidades? ¿Cómo lo resolvieron?

8. ¿Cuál fue el uso más significativo que los sumerios le dieron al uno?

9. ¿Qué nueva representación numérica surge con los egipcios? ¿Qué valor tenía cada símbolo? ¿Qué tuvieron en cuenta para determinar el valor de cada símbolo?

10. ¿Qué ventaja observa en la forma de escribir números de este pueblo en comparación con los sumerios?

11. ¿Cuál fue el símbolo de mayor valor que inventaron los egipcios?

12. ¿Qué otro uso le dieron los egipcios al uno?

13. Cómo resolvieron los egipcios los siguientes interrogantes: a) ¿Cuál es la unidad y qué entendían ahora por uno? b) ¿Qué forma tomó el uno?

c) ¿Por qué el uno se convierte en soberano?

14. ¿Qué exploraciones hizo Pitágoras con respecto a los números?

15. Representen los cuatro primeros números triangulares teniendo en cuenta la disposición de las piedras que se observa en el video.

16. Pitágoras también creó la forma de los números cuadrados. De manera análoga a la representación de los números triangulares, expresen los cuatro primeros números cuadrados.

17. ¿Cómo considera Pitágoras a los números enteros?

18. ¿Cuál es la creencia que tenía Pitágoras acerca del uno? ¿Qué sucedió con esa creencia? Expliquen la respuesta.

19. ¿A qué hace referencia el relator cuando expresa la metáfora “El uno debería hacerse menos real”?. Vinculen esta metáfora con el triángulo de Pitágoras.

20. ¿Por qué el uno dejó de ser la esencia del universo?

21. El pueblo romano, ¿cómo escribía los números? Acompañen la explicación con ejemplo.

22. ¿Cuál fue el símbolo de mayor valor que inventaron los romanos?

23. ¿Cuál fue el uso que le dieron los romanos a los números? ¿Cómo operaban?

24. Para la escritura de los números ¿qué símbolos desarrollaron en India?

25. ¿Qué símbolo transformó la vida del uno? ¿Por qué surge la necesidad de este nuevo símbolo?

26. ¿Qué significados tiene este nuevo símbolo?

27. ¿Cómo quedó establecido el sistema de numeración en India?

28. ¿Qué inconvenientes presentaban los números romanos para que los números de India los desplazaran?

29. ¿Qué otro sistema de numeración surge usando sólo dos símbolos del sistema indoarábigo?

30. ¿Cómo se expresa el nueve en sistema binario? Expliquen la forma de expresarlo.

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Página 5 de 9 32. Expresen en sistema binario el número anterior y posterior a nueve. Expliquen cómo lo hicieron.

Video Nº 1 “Historia del número no Parte 1” disponible en: http://www.youtube.com/watch?v=FCAzdjaHkR4 Video Nº 2 “Historia del número Uno Parte 2” disponible en http://www.youtube.com/watch?v=d65nTrsDxmg Video Nº 3 “Historia del número Uno Parte 3” disponible en http://www.youtube.com/watch?v=Mpb3uxFS8zU Video Nº 4 “Historia del número Uno Parte 4” disponible en http://www.youtube.com/watch?v=2871ISCuWuA Video Nº 5 “Historia del número o Uno Parte 5” disponible en http://www.youtube.com/watch?v=649BN_QG8lA Video Nº 6 “Historia del número Uno Parte 6” disponible en http://www.youtube.com/watch?v=18KRbi0ktNw

Audiovisual completo, disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=EHv3fJ6k6Xw

b) Algunas preguntas para seguir reflexionando acerca del sistema de numeración chino.

1. ¿Hasta qué número pueden escribir los chinos?

2. En el video de la Historia del Uno:

- En la pregunta 31 se indica: “En la escritura de un número en el sistema decimal ¿cómo se cuentan las cantidades que corresponden a las posiciones que ocupan las cifras? ¿Cómo se cuentan las cantidades que

corresponden a las posiciones que ocupan las cifras, en la escritura de un número en sistema binario?”

¿Qué podrían decir acerca del sistema de numeración chino?

- Visionaron la aparición de un símbolo que revolucionó la vida del uno, ¿cuál era? Este símbolo ¿fue necesario para el sistema de numeración chino? ¿Por qué?

Actividad 3: Para trabajar en grupos Un poco de historia

 Algunos documentos egipcios nos da información de los “resultados” de una guerra, de la siguiente manera:

Recursos Humanos

Enemigos muertos 42.209

Enemigos capturados 120.000

Soldados heridos 1.000.010

Riquezas en Aves

Gallinas 121.200

Patos

121.092

Gansos 11.910

Analicen los documentos anteriores e intenten descubrir cómo se escribían los números en el antiguo Egipto. Para ello respondan las siguientes preguntas:

a) ¿Cuánto vale cada símbolo?

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c) ¿Qué operación se realiza entre los diferentes símbolos que representan una cantidad? d) ¿Importa la ubicación de los símbolos para representar una cantidad? ¿por qué?

 Un documento griego nos da información de los “resultados” de un censo, de la siguiente manera:

Recursos Humanos

Hombres 45.678

_{M M M M}

_

_X

_

_

_

_

_

_{I I I}

Mujeres 54.867

_

_M

_{X X X X}

_

_

_{   }

_

_

_{I I}

Niñas 92.045

_

_M

_{M M}

_{X X}

_

_

Niños 32.414

_{M M M}

_{X X}

_{    }

_{I I I I}

Analicen el documento anterior e intenten descubrir cómo se escribían los números en el sistema ático griego. Para ello respondan las siguientes preguntas:

b) ¿Existe en este sistema un símbolo para designar al cero?

c) ¿Qué operación se realiza entre los diferentes símbolos que representan una cantidad? d) ¿Importa la ubicación de los símbolos para representar una cantidad? ¿Por qué?

 Un documento romano nos da información de los “resultados” de una cosecha, de la siguiente manera:

Cosechas en Kilogramos

Maíz 21.242 _X_X_I

_{C C X L I I}

Cebada 12.924 _X_I_I

_{C M X X I V}

Trigo 4.000.101.403

V

I

C

I

C D I I I

Centeno 3.559

M M M D L I X

Analicen el documento anterior e intenten descubrir cómo se escribían los números en el sistema romano. Para ello respondan las siguientes preguntas:

c) ¿Qué operación se realiza entre los diferentes símbolos que representan una cantidad? d) ¿Importa la ubicación de los símbolos para representar una cantidad? ¿por qué?

 Un documento babilonio nos da información de los “resultados” de una feria rural, de la siguiente manera:

Animales

Cabras 65

Cerdos 80

Vacas 157

Gallinas 4.903

Analicen el documento anterior e intenten descubrir cómo se escribían los números en el sistema babilonio. Para ello respondan las siguientes preguntas:

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 Un documento maya nos da información de los “resultados” de las cantidades de piedras utilizadas en las siguientes construcciones:

Recursos Edilicios

Altar 2.161

Monolito ₁₀₀

Templo 8.588

Analicen el documento anterior e intenten descubrir cómo se escribían los números en el sistema maya. Para ello respondan las siguientes preguntas:

Actividad 4: decimal!!!

Actividades de integración

1) Confeccionen un cuadro que refleje una síntesis de los distintos sistemas de numeración estudiados.

Sistema Egipcio Ático Romano Babilonio Maya Decimal

Escrito Oral

Símbolos

Ejemplo de escritura

Mayor número que podían representar Posicional

Base de agrupamiento Aditivo

Multiplicativo

Permiten comparar cualquier número según cantidad de símbolos

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a) Cualquiera de los símbolos se puede repetir hasta nueve veces. b) Cualquiera de los símbolos se puede repetir hasta cuatro veces.

c) Los valores de los símbolos se suman para obtener el número representado. d) Hay un símbolo para el número 5.

e) No se necesita el 0.

f) Los símbolos se pueden escribir de adelante para atrás o de atrás para adelante. g) El número más grande que se puede escribir es el 9.999.999 y se necesitan 63 símbolos

h) El número más grande que se puede escribir es el 99.999 y se necesitan 25 símbolos.

3) Decidan cuáles de las siguientes afirmaciones sobre la numeración ático-griego es correcta. Justifiquen la elección.

a) Cualquiera de los símbolos se puede repetir hasta nueve veces. b) Cualquiera de los símbolos se puede repetir hasta cuatro veces.

c) Los valores de los símbolos se suman para obtener el número representado. d) Hay un símbolo para el número 5.

e) No se necesita el 0.

f) Los símbolos se pueden escribir de adelante para atrás o de atrás para adelante. g) El número más grande que se puede escribir es el 9.999.999 y se necesitan 63 símbolos h) El número más grande que se puede escribir es el 99.999 y se necesitan 25 símbolos.

4) Expresen en numeración maya y en numeración egipcia el siguiente número: “tres mil, quinientos siete”. Dejar constancia de los procedimientos realizados.

5) Respondan los siguientes interrogantes:

a. ¿Se puede determinar si un número es mayor que otro por la cantidad de símbolos usados en su escritura romana? ¿Por qué?

b. Fernanda escribió el natural “cuarenta y cinco” de la siguiente manera VL pues por regla si el menor figura a la izquierda, se resta. ¿Es correcto? ¿Por qué?

c. Había que escribir el número 352 en egipcio. Lucas lo escribió así: y Pedro así:

Antonio dice que fue Lucas el que escribió correctamente el número. ¿Es cierto lo que dice Antonio? ¿Por qué?

6) Escriban en el sistema decimal, los siguientes números expresados en el sistema romano

a) XXX II _e)

_VI

_X

i) III

IV

_XIX b) DCC LXXX III f) CI

j)

XLI

XIX_CCCI

c)

V

_V _g)_I

CXI

_CXI

d) MMMIII

h) XXIII

7) Expliquen por qué son erróneas las siguientes escrituras en el sistema romano:

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8) Escriban con palabras cómo leen los siguientes números:

a) 121.223.445.000.001 c) 909.889.765

b) 1.230.000.000.239 d) 3.004.005.007

9) Dado el siguiente número veintiún mil trescientos millones quinientos cuatro. Respondan: a) ¿Cómo se escribe con cifras?

b) ¿Cuántas decenas de mil de millón tiene?

c) ¿Cuántas centenas tiene?

d) ¿Cuál es el valor relativo de la cifra 1? e) ¿Qué indica la cifra 3?

f)

Realicen al menos dos escrituras equivalentes en el sistema decimal de dicho número y expresen la modalidad elegida para cada una de ellas.

10) ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar que cumplen con las siguientes condiciones? Expliquen cómo lo pensaron.

a)La cifra de la centena es: 1 ó 9. b)La cifra de la decena es: 2, 8 ó 5. c) La cifra de la unidad es: 0, 7 ó 8.

11) ¿Qué indica la cifra 0 en cada uno de los siguientes números?

a) 105 b) 1.040 c) 20.100

12) ¿Qué sucede si al número 643 se lo multiplica por 10?

13) Completen las siguientes expresiones y expliquen cómo lo pensaron. a) 20 centenas de mil = ... centenas