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Unidad 3

Los dos problemas fundamentales

Una vista preliminar

¿Qué es el cálculo?

El área del conocimiento que llamamos “Cálculo” gira en torno a dos problemas geométricos fundamentales que las personas han estudiado desde hace más de 2000 años. Cada problema está relacionado con la gráfica y = f(x) de una función dada.

El primer problema es el de la tangente: Dado un punto P(x, f(x)) sobre la curva y = f(x), ¿cómo calcular la pendiente de la recta tangente en P?

P(x, f(x))

El problema de la tangente es un problema geométrico, pero su respuesta (en la forma de derivadas) es la clave para la solución de diversos problemas de aplicación en muchas áreas científicas y técnicas.

El segundo problema es el del área: Si f(x) ≥ 0 para x en el intervalo [a,b], ¿cómo calcular el área A de la región plana que está bajo la curva

y = f(x) y sobre este intervalo? a b

y = f(x)

A

En el curso Calculo II aprenderemos que el área A es la integral definida en [a, b] de la función f.

El límite de una función en un cierto numero c describe lo que le sucede a esa función a medida que la variable x se aproxima a c.

El concepto de límite

Suponga que se desea conocer qué le sucede a la función f de la figura, a medida que x se acerca a 1.

1 x

2 x x

) x ( f

2

x se aproxima a 1 x se aproxima a 1 por la izquierda por la derecha

x 0,8 0,9 0,95 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,05 1,1 f(x) 2,8 2,9 2,95 2,99 2,999 3,001 3,01 3,05 3,1

“El límite de f(x), a medida que x tiende a 1 es igual a 3”

3 )

x ( f lim

1

x→ =

L

)

x

(

f

lim

c

x→

=

Definición:

Se escribe

y se dice que “el límite de f(x) es igual a L cuando x tiende a c” si podemos acercar arbitrariamente los valores de f(x) a L, aproximando x a “c” pero sin igualar a “c”.

Tres funciones para las que

lim

f

(

x

)

L

c

Dos funciones para las que no existe

lim

f

(

x

)

c

Conforme t tiende a cero, las imágenes de la función se acercan

Ejercicio

: Determine . Grafique la función

involucrada en la calculadora utilizando distintas ventanas de visualización. ¿Qué puede observar?.

t

2 2

0

3 9 lim

t t

t

− + →

- 1,0 0.16228 - 0,5 0.16553

-0,1 0.16662 -0,05 0.16666 -0,01 0.16667 +0,01 0.16667 +0,05 0.16666 +0,1 0.16662 +0,5 0.16553 +1,0 0.16228

2 2

0

t _t

3 9

t

lim + −

→

2 2

t

3 9 t ) t (

Ejercicio

: Grafique la función y = sen(π/x) en la ventana [-2, 2] x [-1.5, 1.5] y luego estime si existe el límite:

x sen lim

0 x

π

→

Ejercicio

: Grafique la función y = x sen(π/x) en la ventana [-2, 2] x [-1.5, 1.5] y luego estime si existe el límite:

x sen x

lim 0 x

π

Revisando el concepto de límite

Si f es una función definida en un intervalo abierto que contiene al número c, excepto quizás a “c” mismo, se dice que el límite de f(x) es L, cuando x tiende a “c” si podemos acercar arbitrariamente a L los valores de f(x) aproximando x lo suficiente a “c”. Esto se expresa con más precisión así:

Definición:

que

tal

0

0,

L

)

x

(

f

lim

c

x→

=

⇔

∀

ε

>

∃

δ

>

δ

<

<

ε

<

siempre

que

0

x

-

a

L

-f(x)

Teorema de unicidad: Si existe, entonces este es único.

lim

f

(

x

)

c

Límite lateral derecho

El límite lateral derecho de f(x) cuando x tiende a “c” ( o límite de f(x) cuando x tiende a “c” por la derecha) es igual a L si podemos acercar arbitrariamente a L los valores de f(x) aproximando x lo suficiente a “c”, con x mayor que “c”.

El límite lateral izquierdo de f(x) cuando x tiende a “c” ( o límite de f(x) cuando x tiende a “c” por la izquierda) es igual a L si podemos acercar arbitrariamente a L los valores de f(x) aproximando x lo suficiente a “c”, con x menor que “c”.

Límite lateral izquierdo

_lim

_f

₍

_x

₎

_L

c

x_→ −

=

Límites laterales

L

)

x

(

f

lim

c

Ejemplo: Considere la función f definida por

5

)

1

x

2

(

lim

)

x

(

f

lim

2 x 2

x

=

+

=

+

+ _→

→

3 )

x 1 ( lim )

x ( f

lim 2

2 x 2

x

− = −

=

−

− _→

→ 

  

≥ +

< −

=

2 x

si 1

x 2

2 x

si x

1 )

x (

f 2

Ejercicio

: Muestre que los siguientes límites no existen

Teorema:

L

)

x

(

f

lim

c

x→

=

x→

lim

c+

f

(

x

)

=

L

=

x→

lim

c−

f

(

x

)

si y sólo si

2 x

2 x lim

2

x −

−

→

] x [ lim

1 x→

Ejercicio

: Determine el o los valores de a de modo que el siguiente límite exista.

a x

a a x x

lim

2 2

a

x −

− − −

El cálculo de límites

Para calcular límites no siempre es posible disponer del gráfico de la función. Por esta razón, es conveniente saber determinar el límite de una función mediante procedimientos algebraicos. Para esto es necesario conocer algunos límites básicos y el “algebra de límites”.

c x lim y IR

k , k k lim

c x c

Si k es una constante y existen los límites entonces

)

x

(

g

lim

y

)

x

(

f

lim

a x a

x→ →

)

x

(

g

lim

)

x

(

f

lim

)]

x

(

g

)

x

(

f

[

lim

)

x

(

f

lim

k

)]

x

(

f

k

[

lim

)

x

(

g

lim

)

x

(

f

lim

)]

x

(

g

)

x

(

f

[

lim

a x a x a x a x a x a x a x a x → → → → → → → →

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

+

=

+

0 ) x ( g lim que siempre , ) x ( g lim ) x ( f lim ) x ( g ) x ( f lim a x a x a x a

x = → ≠

→ → → Además, y n a x n a

0 2 x 1 lim ) 2 x ( lim 2 x 1 ) 2 x ( lim 2 x 2 x lim 1 2 x 2 x lim 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x = − − = − − = − − = − − → → → → →

Ejercicio

: Demuestre usando el álgebra de límites que

n n 2 2 1 o a

xlim→ p(x) = p(a) si p(x) = a + a x + a x + . . . .+ a x

Ejercicio

: Analice por qué se produce la siguiente contradicción

Ejercicio

: Calcule, si es que existen, los siguientes límites.

V o F

Ejercicio

: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique

)

x

(

g

lim

y

)

x

(

f

lim

a x a

x→ →

1. Si los límites no existen,

entonces

_lim

₍

_f

_g

₎₍

_x

₎

no existe. a

x→

+

3. Los siguientes límites no existen: ) x 1 x

( lim y

1 x

1 x lim

0 x 1

x − +

−

→ →

2. Si existe y no existe, entonces

no existe

)

x

(

f

lim

a

Ejercicio

: Grafique en la calculadora

Observe que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), para todo x.

¿Puede determinar

gráficamente ? 2

x 1 2

2

_,

_g(x)

_x

_sen

₍

₎

_y

_h(x)

_x

x

)

x

(

f

=

−

=

=

)

x

(

g

lim

Teorema:

Si f(x) ≤ g(x) para toda x en un intervalo abierto que contiene a c (excepto quizás a c) y existen los límites de f y g cuando x tiende a “c”, entonces

Teorema de Sandwich

:

Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para toda x en un intervalo abierto que contiene a c (excepto quizás a c) y

)

x

(

g

lim

)

x

(

f

lim

c x c

x→

≤

→

L

)

x

(

h

lim

)

x

(

f

lim

c x c

x→

=

→

=

entonces .x

lim

→c

g

(

x

)

=

L

El teorema anterior nos permite afirmar que

puesto que − x2 ≤ x2sen ( _x1 ) ≤ x2, ∀x ≠ 0

0 ) ( sen x

lim

x 1 2

0

Ejercicio

: Demuestre, utilizando el teorema del sandwich y

gráficamente, que ₁

x x sen lim

y IR,

a 0, )

( sen x lim

0 x x

a 0

x→ = ∈ → =

1 x

x sen lim

0

x→ = sen x 1

x lim

0

Teorema de Sustitución

El ejercicio anterior y el siguiente teorema de sustitución nos permitirá calcular una gran cantidad de límites.

Sean A, B IR y f: A IR, g: B IR funciones tales que . Supongamos que y que existe I_c un intervalo abierto en torno a c tal que f(x) b para todo x I_c – {c}. Si entonces

Es decir,

b

)

x

(

f

lim

c

x→

=

L

)

u

(

g

lim

b

u→

=

x

lim

→c

g

(

f

(

x

))

=

L

.

⊆

B

)

A

(

f

⊆

≠

∈

L

)

u

(

g

lim

))

x

(

f

(

g

lim

b u c

Ejercicio

: Calcule, si existen, los siguientes límites. 2 2 x 3 1 2x lim 8) 2 x 4 x lim 7) x 2 x 8 lim 6) 1 u 1 u lim 5) 4 t 8 t lim ) 4 1 x 1 x lim 3) 2 3 x 1 x lim 2) 49 x 3 x 2 lim ) 1 4 x 4 16 x 3 8 x 4 3 1 u 3 64 t 3 1 x 2 1 x 2 7 x − − − + − − − − − − − − − − − + − − − − → → → → → → → →

Límites infinitos

significa que para cada número positivo M,

f(x) > M

, cuando x está suficientemente cerca de c.

∞

=

→

f

(

x

)

lim

c x

significa que para cada número negativo N,

f(x) < N

, cuando x está suficientemente cerca de c.

−∞

=

→

f

(

x

)

lim

c x

∞ =

→ 0 2

x _x

10

lim + = −∞

→ 5ln(x 3) lim

−∞

=

−∞

=

−∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

+ + → → → → → →

)

(

lim

)

(

lim

)

(

lim

)

(

lim

)

(

lim

)

(

lim

a x a x a x a x

-x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

a x a x Ejemplo:

La recta x=2 es una asíntota vertical de la función

1 ) 2 ( 1 ) ( + − = x x f

Asíntotas verticales

Ejercicio

: Determine, si ellas existen, todas las asíntotas verticales de las funciones siguientes:

Ejercicio

: Analice la veracidad de las siguientes afirmaciones. Justifique en cada caso si son verdaderas o falsas.

1. La gráfica de y = tan(x) tiene una infinidad de asíntotas verticales.

2. La gráfica de un cuociente siempre tiene una asíntota vertical x = a en los puntos “a” que anulan el denominador.

(

)

( )

( ) , 0)

) ( 1 ) 1 ( ) ( ) ( 3 9 ) ( 3 3 2 2 2 2 2 2 = ∈ ∈ − − = = − − = = + − = −

+ _{a IR a}

Límites al Infinito

¿Qué ocurre con la gráfica de la función f cuando x tiende a infinito?

Sea f una función definida en un intervalo (a,∞); entonces

significa que los valores de f(x) se pueden acercar arbitrariamente a L si x se incrementa lo suficiente.

L

x

f

lim

x→∞

(

)

=

1 ) x ( f lim

1 x

1 x

) x ( f

x

2 2

= + − =

L

)

x

(

f

lim

o

L

)

x

(

f

lim

x

x→∞

=

→ ∞

=

Si f es una función definida en un intervalo (-∞, a), entonces

indica que los valores de f(x) se pueden acercar arbitrariamente a L haciendo que x sea lo bastante grande y negativa.

Asíntotas horizontales

La recta y = L se llama asíntota horizontal de la curva y = f(x) si se cumple cualquiera de las dos condiciones siguientes:

L

x

f

lim

Por ejemplo, la recta y = 1 es una asíntota horizontal de la curva

Ejercicio

: Determine las asíntotas horizontales y verticales de la gráfica de la función

5 x 3

1 x

2 )

x (

f 2

− + =

1 x

1 x

y ₂2

El álgebra de límites vista anteriormente también es válida para los límites al infinito si se reemplaza

∞ →

∞ →

→ a con x o con x

-x

Teorema

: Si r >0 es un número racional, entonces

Si r >0 es un número racional tal que xr _{está definido} para toda x, entonces

0 x

1

lim _r

x → ∞ =

0 x

1

lim _r

x → −∞ =

Ejercicio

: Grafique en la calculadora la función

y evalué lim f(x ). 2x 1

3 x 5 x

6 ) x ( f

2 2

− − +

Problema: Un tanque contiene 5000 litros de agua pura. Se le bombea una salmuera con 30 grs de sal por litro, a una tasa de 25 lt/min. La concentración de sal, pasados t minutos, en gramos por litro es . ¿Qué sucede

con la concentración cuando ? t 200 t 30 ) t ( C + = ∞ → t

Ejercicio

: Calcule, si existen, los siguientes límites.

Algunos límites especiales

Algunas curvas no tienen ni asíntotas horizontales ni verticales pero sí tienen asíntotas oblicuas.

Si , la recta y = mx + b se llama asíntota oblicua, porque la distancia vertical entre la curva y = f(x) y la recta y = mx + b tiende a 0.

En las funciones racionales se tienen asíntotas inclinadas cuando el grado del numerador es el del denominador más uno.

Asíntotas Oblicuas

(

f(x) (mx b)

)

0 lim

x→∞ − + =

Sea y ; entonces la recta y = mx + b es una asíntota oblicua (derecha) del gráfico de la función y = f(x).

(

f

(

x

)

mx

)

lim

b

x

−

=

∞ → x ) x ( f lim m

x→∞

=

La recta y = mx + b es una asíntota oblicua (izquierda) de la

función y = f(x), donde y .

x ) x ( f lim m

x→−∞

=

b

lim

(

f

(

x

)

mx

)

x

−

=

−∞ →

Ejemplo: Determinemos las asíntotas oblicuas de

1 x x ) x ( f 2 3 + = , 1 ) 1 x ( x x lim m 2 3

x + =

=

∞

→ x 1 0

x lim x 1 x x lim b ₂ x 2 3

x  =

    + − =         − + = ∞ → ∞ →

10 x 3 x x y 1 x 4 x y 4 x x

y 2_{2 2} 3

− + = − + = + = 2 x 3 x 4 9 x y 1 x x y x x 1 x y 2 4 4 3 3 + + − = + = + + =

Ejercicio

:

Encuentre todas las asíntotas posibles de cada curva. Compruebe su respuesta graficando con la calculadora.

Continuidad

Una función f es continua en el número a si

)

(

)

(

lim

f

x

f

a

a

x→

=

La definición anterior requiere, implícitamente tres cosas: 1. Que f(a) esté definida; esto es, que a esté en el dominio de f. 2. Que exista el límite , de modo que f debe estar

definida en un intervalo abierto que contenga a “a”. 3. Que

Si f no es continua en a se dice que es discontinua en a o que tiene una discontinuidad en a

)

(

x

f

lim

a x→

)

(

)

(

lim

f

x

f

a

a

¿Cómo se ven gráficamente una función continua y una función discontinua?

Tres funciones continuas

La gráfica de una función continua se puede trazar sin despegar el lápiz del papel.

La gráfica de una función discontinua tiene algún salto o vacío.

Ejercicio

: Analizar la continuidad de las funciones:

  

≥ < +

= +

− =

=

1 x si x

-2

1 x si 1 x h(x)

1

1 x

g(x) 1

) (

2

x x

Una función f es continua por la derecha en un número a si

)

a

(

f

)

x

(

f

lim

a

x→ +

=

y f es continua por la izquierda en a si

_lim

_f

₍

_x

₎

_f

₍

_a

₎

a x

=

− →

Ejemplo

:

En cada entero n, la función f(x) = [x] es continua por la derecha, pero discontinua por la izquierda.

1 n ] x [ lim )

x ( f lim

) n ( f n ] x [ lim )

x ( f lim

n x n

x

n x n

x

− = =

= =

=

− −

+ +

→ →

Ejercicio

:

Sea f la función dada por

1. Determine el dominio de la función y grafique la función en la calculadora.

2. Estudie la gráfica de f en torno de x = 3.

3. ¿Cómo debemos definir a f en x = 3 para eliminar la discontinuidad?

4. Calcule el límite de f cuando x tiende a 3.

5. Muestre que la función extendida g es continua en x = 3. Grafique en la calculadora

9 6 7

)

( ₂

3

− − −

=

x x x

x f

3

x

10/3

3

x

9

6

7

)

(

2

3









=

≠

−

−

−

=

_x

x

x

Discontinuidades remediables e irremediables

La figura muestra distintos tipos de discontinuidad. La primera gráfica muestra una discontinuidad infinita. La segunda muestra una discontinuidad de salto. En ambos casos el limite no existe, no hay forma de mejorar la situación para hacer la función continua y se dicen discontinuidades irremediables. La tercera discontinuidad es removible o remediable pues el límite L de la función existe en el punto de discontinuidad. Podemos remediar la discontinuidad redefiniendo f(c) como el valor L del límite.

Ejercicio

: Estudie la continuidad de la función en los puntos p indicados. Si existe discontinuidad remediable redefina de modo que la función f sea continua en p.

0 3 3 x 27 9 6 3 x 0 3 x 3 9 x f(x) 0 3 3 1 3 3 1 cos 3 0 p y 3 p 3 3 ) ( 3 2 2 = =         < − + − = > − − = = =     = ≠       = = = − − =

y p p

x x x

x

Una función f es continua en un intervalo si es continua en todo número del intervalo. En el extremo del intervalo se entiende por continua cuando es continua por la derecha o por la izquierda.

Ejercicio

: Demuestre que la función es continua en el intervalo [-4, 4].

2 16

)

(x x x

f = −

Para comprobar la continuidad de una función muchas veces es más cómodo aplicar el siguiente teorema, que muestra cómo

Teorema

: Si f y g son continuas en el punto a y k es una constante real, entonces las siguientes funciones también son continuas en a:

1) f+g 2) f-g 3) kf 4) fg 5) f/g si g(a) ≠ 0

Observaciones:

a) Cada una de las cinco partes de este teorema es consecuencia del álgebra de límites.

b) Como consecuencia del teorema y de la definición anterior, si f y g son continuas en un intervalo, también lo son las funciones f+g, f-g, kf, fg y f/g (si g nunca es cero).

Ejercicio: Utilizando álgebra de límites pruebe que f(x)= x2_+senx

Teorema

:

a) Todo polinomio es continuo en IR.

b) Toda función racional es continua donde está definida; o sea, es continua en su dominio.

Teorema

:

Si n es un entero positivo par, entonces es continua en [0,∞[. Si n es un entero positivo impar, entonces f es continua en IR.

Ejercicio

:

¿En qué intervalos es continua la función ?

1 x

2 x

4 x

) x ( f

2 3

− +

+ =

n _x

) x (

f =

Ejercicio

:

¿En qué intervalos es continua la función ? 2 x

1 x x

) x ( f

− + +

¿Podemos simplemente mover el límite dentro del radical?

Teorema

: Si f es continua en b y , entonces

Una consecuencia del último teorema es que, efectivamente, se puede mover el límite dentro del radical. Más concretamente,

n

a x n

a

x

g

x

lim

g

x

lim

(

)

(

)

→

→

=

3 2

5 - 3 2

5

+

39

=

→

+

39

−

→

x

lim

x

lim

x x

Por ejemplo,

b ) x ( g lim

a

x→ =

) ) x ( g lim ( f ) b ( f )) x ( g ( f lim

a x a

Teorema

:

Si g es continua en a y f es continua en g(a), entonces la compuesta f o g es continua en a.

Ejercicio

: Demuestre el teorema precedente y utilícelo para mostrar que las siguientes funciones son continuas en IR.

f(x) = sen x2_{, g(x) = cos (3x}5 _{+ 7) y h(x) = e}x + sen x

Ejercicio

: Estudie la continuidad de la función f: ]-∞, 1[ IR definida por

  

  

 

< <

= < =

1 x

0 si x

sen x

0 x

si 0

0 x

si )

cos( x

) x ( f

2 3

Ejercicio: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.

Ejercicio

: Hallar los valores de c y d para los que h es continua en IR

1. La función f(x) = [2x] es discontinua sólo en los enteros.

2. Si f+g es continua en a y f es continua en a entonces g es continua en a.

3. Si f y g son discontinuas en a entonces f+g es discontinua en a.

V o F 

  

> ≤ ≤

+

< =

2 x

si x

4

2 x

1 si d

cx

1 x

si x

2 )

x (

Teorema del valor intermedio

: Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y L es cualquier número estrictamente entre f(a) y f(b), entonces existe un número c en (a, b) tal que f( c ) = L.

La continuidad de f en el intervalo [a, b] juega un papel esencial en el teorema. Si f fuese discontinua aún en un único punto del

Puede haber más de un valor c tal que f(c) = L; por ejemplo,

L

c c’ c’’

En este caso, f(c) = f(c’) = f(c’’) = L

Ejercicio

: Use el teorema del valor intermedio para demostrar que hay un número positivo c tal que c2 _{= 2.}

Ejercicio

: ¿Existe algún número real exactamente una unidad menor que su cubo?

El problema equivale a demostrar la existencia de un real que

satisfaga cierta ecuación

Corolario: Si f es continua en el intervalo [a,b] y si f(a) y f(b) tienen signos opuestos (uno positivo y el otro negativo), entonces f( c) = 0 para al menos un número c entre a y b.

a _b

f(b)

f(a)

Ejercicio

: Demuestre que existe una raíz de la ecuación en el intervalo dado y luego resuelva gráficamente usando calculadora.

Ejercicio

: Un punto fijo de una función f es un número c en su dominio tal que f(c )= c.

a) Trace la gráfica de una función continua cuyo dominio sea [0, 1] y cuyo recorrido también sea [0, 1]. Localice un punto fijo de f. b) Intente trazar la gráfica de una función continua cuyo dominio y

recorrido sean [0, 1], que no tenga un punto fijo. ¿cuál es el obstáculo?

c) Use el teorema del valor intermedio para demostrar que toda función continua cuyo dominio y recorrido sean [0, 1] debe tener

3) (2, , 0 3 x x

2

a) Sea con f(-1) = -0,5 y f(2) = 1 . Por teorema del valor intermedio , existe al menos un valor c ∈ [-1,2] talque f(x)=0.

a) Si , entonces existe un valor c ∈ IR tal que g(c) = -1.

b) Sea

1 1 ) (

− =

x x f

2 2

)

(x = x5 − x3 + x2 + g

   

≤ ≤

−

< ≤

=

4 2

0 3

)

( ₂

x x

x x

f

0

1

El teorema del valor intermedio garantiza la existencia de un punto c ∈[-1,4] tal que f(c) = 0.

V o F

Ejercicio_{Determine si las siguientes afirmaciones son} :