Teorema de Carath´ eodory
Objetivos. Dada una medida exterior ϕ, definir conjuntos Carath´eodory-medibles respec- to a ϕ, mostrar que esos conjuntos forman una σ-´algebra y la medida exterior ϕ restringida a esta ´algebra es una medida. Demostrar el teorema de Carath´eodory que toda premedida definida en un anillo se puede extender a la σ-´algebra generada por este anillo.
Requisitos. Semianillos y anillos, premedidas, medidas y medidas exteriores. Medida exterior generada por una premedida definida en un anillo.
1 Definici´on (conjuntos Carath´eodory-medibles respecto a una medida exterior). Sea X un conjunto y sea ϕ : 2X → [0, +∞] una medida exterior. Un conjunto A ⊂ X se llama Carath´eodory-medible respecto a ϕ si
∀P ⊂ X ϕ(P ) = ϕ(P ∩ A) + ϕ(P \ A).
Denotemos por Cϕ al conjunto de todos los conjuntos Carath´eodory-medibles respecto a la medida exterior ϕ:
Cϕ := A ⊂ X : ∀P ⊂ X ϕ(P ) = ϕ(P ∩ A) + ϕ(P \ A) . 2 Observaci´on. Para todos A, Y ⊂ X, la condici´on
ϕ(P ) ≤ ϕ(P ∩ A) + ϕ(P \ A)
sigue de la propiedad subaditiva de la medida exterior ϕ. Por eso los conjuntos Ca- rath´eodory-medibles respecto ϕ se pueden definir de la siguiente manera:
Cϕ =A ⊂ X : ∀P ⊂ X ϕ(P ∩ A) + ϕ(P \ A) ≤ ϕ(P ) .
3 Definici´on (medida completa). Sea (X,F, µ) un espacio de medida. Se dice que (X,F, µ) es completo o que la medida µ es completa, si para todo A ∈ F tal que µ(A) = 0 y todo B ⊂ A se tiene que B ∈F.
Construcci´ on de Carath´ eodory:
σ-´ algebra y medida asociadas a una medida exterior
4 Teorema (sobre la σ-´algebra y medida asociadas a una medida exterior). Sea X un conjunto y sea ϕ : 2X → [0, +∞] una medida exterior. Entonces Cϕ es una σ-´algebra y la restricci´on de ϕ al conjunto Cϕ es una medida completa.
Partimos la demostraci´on en una serie de lemas.
5 Lema. Cϕ es una ´algebra de conjuntos sobre X.
Demostraci´on. 1. X ∈Cϕ.
2. Sea A ∈Cϕ. Entonces Ac∈Cϕ.
3. Sean A, B ∈Cϕ. Demostremos que A ∩ B ∈Cϕ. Sea P ⊂ X. Entonces ϕ(P ∩ (A ∩ B)) + ϕ(P ∩ (A ∩ B)c)
= ϕ(P ∩ (A ∩ B)) + ϕ(P ∩ (A ∩ B)c∩ A) + ϕ(P ∩ (A ∩ B)c∩ Ac)
= ϕ(P ∩ A ∩ B) + ϕ(P ∩ Bc∩ A) + ϕ(P ∩ Ac)
= ϕ(P ∩ A) + ϕ(P ∩ Ac) = ϕ(P ).
4. Sean A, B ∈Cϕ. Entonces de los incisos 2 y 3 de la demostraci´on sigue que A∪B ∈Cϕ
y A \ B ∈Cϕ, porque
A ∪ B = (Ac∩ Bc)c, A \ B = A ∩ Bc.
6 Lema. Sean A, B ∈Cϕ disjuntos y P ⊂ X. Entonces
ϕ(P ∩ (A ∪ B)) = ϕ(P ∩ A) + ϕ(P ∩ B).
Demostraci´on. Pongamos Q = P ∩ (A ∪ B) y apliquemos la condici´on A ∈Cϕ: ϕ(Q) = ϕ(Q ∩ A) + ϕ(Q ∩ Ac).
Luego notemos que
Q ∩ A = (P ∩ A ∩ A) ∪ (P ∩ B ∩ A) = P ∩ A, Q ∩ Ac= (P ∩ A ∩ Ac) ∪ (P ∩ B ∩ Ac) = P ∩ B.
7 Lema. Sean m ∈ N, A1, . . . , Am ∈Cϕ mutualmente disjuntos y P ⊂ X. Entonces
ϕ P ∩
m
[
j=1
Aj
!!
=
m
X
j=1
ϕ(P ∩ Aj).
Demostraci´on. Aplicamos la inducci´on matem´atica sobre m. En el caso m = 1 la afirma- ci´on es trivial:
ϕ(P ∩ A1) = ϕ(P ∩ A1).
Suponiendo que m ∈ {2, 3, . . .} y la afirmaci´on es cierta para m − 1, la vamos a demostrar para m. Ponemos
A =
m−1
[
j=1
Aj, B = Am.
Entonces A ∩ B = ∅,
m
[
j=1
Aj = A ∪ B. Aplicamos el lema anterior:
ϕ(P ∩ (A ∪ B)) = ϕ(P ∩ A) + ϕ(P ∩ B) y la hip´otesis de inducci´on:
=
m−1
X
j=1
ϕ(P ∩ Aj) + ϕ(P ∩ Am) =
m
X
j=1
ϕ(P ∩ Aj).
8 Lema. Sea (An)n∈N una sucesi´on disjunta en Cϕ y sea B = [
n∈N
An. Entonces B ∈Cϕ y
ϕ(B) =
∞
X
n=1
ϕ(An). (1)
Demostraci´on. Denotemos por Ck a las “uniones parciales” de la sucesi´on (An)n∈N: Ck :=
k
[
n=1
An. Sea P ⊂ X. Por el lema anterior,
ϕ(P ∩ Ck) =
k
X
n=1
ϕ(P ∩ An).
De aqu´ı,
ϕ(P ∩ Bc) +
k
X
n=1
ϕ(P ∩ An) = ϕ(P ∩ Bc) + ϕ(P ∩ Ck) usando la contenci´on Bc⊂ Ckc y la monoton´ıa de ϕ
≤ ϕ(P ∩ Ckc) + ϕ(P ∩ Ck) usando el hecho que Ck ∈Cϕ
= ϕ(P ).
Pasamos al l´ımite cuando k → ∞:
ϕ(P ∩ Bc) +
∞
X
n=1
ϕ(P ∩ An) ≤ ϕ(P ). (2)
Por otro lado, de la propiedad subaditiva de ϕ,
ϕ(P ) ≤ ϕ(P ∩ Bc) + ϕ(P ∩ B) ≤ ϕ(P ∩ Bc) +
∞
X
n=1
ϕ(P ∩ An). (3) De (2) y (3) obtenemos que
ϕ(P ) = ϕ(P ∩ B) + ϕ(P ∩ Bc) (4)
y
ϕ(P ) = ϕ(P ∩ Bc) +X
ϕ(P ∩ An). (5)
9 Lema. Sean X un conjunto yA una ´algebra de conjuntos sobre X cerrada bajo uniones numerables disjuntas. Entonces A es una σ-´algebra sobre X.
Idea de demostraci´on. Toda uni´on numerable se expresa a trav´es de uniones finitas, dife- rencias y una uni´on numerable disjunta.
Demostraci´on. Sea (An)n∈N una sucesi´on de conjuntos en A y sea B := [
n∈N
An.
Tenemos por demostrar que B ∈A. Definimos Ck:= [
n≤k
An, Dk := Ck\ Ck−1.
Entonces, como ya hab´ıamos visto previamente, los conjuntos Dk son disjuntos a pares y [
n∈N
An= [
k∈N
Ck= [
k∈N
Dk.
Los conjuntos Ck y Dk se obtienen de An a trav´es de uniones finitas y diferencias, por lo tanto pertenecen al ´algebraA. Como A es cerrada bajo uniones disjuntas numerables, B ∈A.
Por los lemas anteriores, Cϕ es una σ-´algebra, y la restricci´on de ϕ a Cϕ es una medida.
Nos falta demostrar que esta restricci´on es una medida completa.
10 Lema. Si A ⊂ X y ϕ(A) = 0, entonces A ∈Cϕ. Demostraci´on. Para todo P ⊂ X tenemos
ϕ(P ∩ A) + ϕ(P \ A) ≤ 0 + ϕ(P ) = ϕ(P ).
11 Lema. La restricci´on de ϕ a Cϕ es una medida completa: si A ∈ Cϕ, ϕ(A) = 0 y B ⊂ A, entonces B ∈Cϕ.
Demostraci´on. Por la propiedad mon´otona de la medida exterior ϕ tenemos que ϕ(B) = 0.
Luego aplicamos el lema anterior.
Con esto se termina la demostraci´on del Teorema4.
Teorema de Carath´ eodory sobre la extensi´ on de una premedida definida en un anillo a la σ-´ algebra generada por este anillo
12 Teorema (teorema de Carath´eodory sobre la extensi´on de una premedida definida en un anillo a la σ-´algebra generada por este anillo). Sean X un conjunto, R un anillo sobre X y µ : R → [0, +∞] una premedida. Denotemos por F a la σ-´algebra generada por R.
Entonces existe una medida ν : F → [0, +∞] tal que ν(Y ) = µ(Y ) para todo Y en R.
Demostraci´on. Denotamos por µ∗ a la medida exterior generada por la premedida µ.
Denotemos por Cµ∗ o, m´as brevemente, por C, a la σ-´algebra de Carath´eodory asociada con µ∗.
1. Demostremos que el anillo original R est´a contenido en la σ-´algebra C. Sean A ∈ R y P ⊂ X. Sea (Qn)n∈N una R-cubierta de P . Entonces (Qn∩ A)n∈N es una R-cubierta de P ∩ A y (Qn∩ Ac)n∈N es una R-cubierta de P ∩ Ac. Por lo tanto
µ∗(P ∩ A) + µ∗(P ∩ Ac) ≤X
n∈N
µ(Qn∩ A) +X
n∈N
µ(Qn∩ Ac) =X
n∈N
µ(Qn).
Como (Qn)n∈N es una R-cubierta arbitraria de P ,
µ∗(P ∩ A) + µ∗(P ∩ Ac) ≤ µ∗(P ), as´ı que A ∈C.
2. Como R ⊂ C y C es una σ-´algebra, la σ-´algebra F, generada por R, est´a contenida enC. Definimos ν como la restricci´on de µ∗ aF. Ya sabemos que µ∗|C es una medida. Por lo tanto, µ∗|F es una medida. Adem´as, si A ∈R, entonces ν(A) = µ∗(A) = µ(A). Hemos mostrado que ν|R = µ.
