Espacios m´ etricos: definici´ on y ejemplos

Espacios m´ etricos

Problemas para examen

Espacios topol´ ogicos, el interior y la cerradura

1 Ejercicio. Escriba la definici´on de topolog´ıa (y del espacio topol´ogico).

2 Ejercicio. Escriba la definici´on de conjuntos cerrados en un espacio topol´ogico.

3 Ejercicio. Enuncie y demuestre las propiedades principales de los conjuntos cerrados en un espacio topol´ogico.

4 Ejercicio (definici´on local y global del interior de un conjunto en un espacio topol´ogico).

Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico y sea A ⊆ X. Definimos el interior de A de la siguiente manera:

int(A) := {x ∈ X : ∃U ∈ τ x ∈ U ∧ U ⊆ A}.

Demuestre que int(A) ⊆ A y

int(A) = ∪{V ∈ τ : V ⊆ A}.

Demuestre que int(A) es el conjunto m´as grande entre todos los conjuntos abiertos con- tenidos en A.

5 Ejercicio (propiedades de la operaci´on int). Demuestre las siguientes propiedades de la operaci´on int.

1. int(X) = X.

2. Para cada A en 2^X, int(A) ⊆ A.

3. Para cualesquiera A, B en 2^X, int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B).

4. Para cada A en 2^X, int(int(A)) = int(A).

6 Ejercicio (defini´on local y global de la cerradura de un conjunto en un espacio to- pol´ogico). Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico y sea A ⊆ X. Definimos la cerradura de A de la siguiente manera:

Demuestre que A ⊆ clos(A). Demuestre que clos(A) = X \ int(X \ A). Demuestre que clos(A) = ∩{B ∈ 2^X: A ⊆ B ∧ X \ B ∈ τ }.

Demuestre que clos(A) es el m´as peque˜no entre todos los conjuntos cerrados que contienen al conjunto A.

7 Ejercicio (propiedades de la operaci´on clos). Demuestre las siguientes propiedades de la operaci´on clos.

1. clos(∅) = ∅.

2. Para cada A en 2^X, A ⊆ clos(A).

3. Para cualesquiera A, B en 2^X, clos(A ∪ B) = clos(A) ∪ clos(B).

4. Para cada A en 2^X, clos(clos(A)) = clos(A).

Funciones continuas

8 Definici´on. Sean (X, τ_X), (Y, τ_Y) espacios topol´ogicos, f : X → Y . Decimos que f es continua y escribimos f ∈ C(X, Y ) si para cada B en τY se cumple f⁻¹(B) ∈ τX.

9 Ejercicio. Sean (X, τ_X), (Y, τ_Y) espacios topol´ogicos, f : X → Y , a ∈ X. Escriba la definici´on de la continuidad de f en el punto a.

10 Ejercicio (continuidad local y global). Sean (X, τ_X), (Y, τ_Y) espacios topol´ogicos, f : X → Y . Demuestre que f es continua si, y solo si, para cada a en X la funci´on f es continua en a.

11 Ejercicio. Describa la continuidad en t´erminos de conjuntos cerrados.

12 Ejercicio (descripci´on de la continuidad en t´erminos de la operaci´on int). Sean (X, τ_X), (Y, τ_Y) espacios topol´ogicos, f : X → Y . Demuestre que f es continua si, y solo si, para cada B en Y se cumple

f⁻¹(int(B)) ⊆ int(f⁻¹(B)).

13 Ejercicio (descripci´on de la continuidad en t´erminos de la operaci´on clos). Sean (X, τ_X), (Y, τ_Y) espacios topol´ogicos, f : X → Y . Demuestre que f es continua si, y solo si, para cada B en Y se cumple

clos(f⁻¹(B)) ⊆ f⁻¹(clos(B)).

Espacios m´ etricos: definici´ on y ejemplos

14 Ejercicio. Escriba la definici´on de pseudom´etrica, la definici´on de m´etrica, la defini- ci´on del espacio pseudom´etrico, la definici´on del espacio m´etrico.

15 Ejercicio. Sea (V, k · k) un espacio normado complejo. Demuestre que la funci´on d(a, b) := ka − bk

es una m´etrica.

16 Ejercicio. Escriba la definici´on de la m´etrica en una gr´afica no dirigida.

17 Ejercicio (distancia de “vuelos a trav´es de la capital”). Definimos ρ : R² → [0, +∞) mediante la regla

ρ(a, b) :=

(0, a = b;

|a| + |b|, a 6= b.

Demuestre que ρ es una distancia.

Propiedades elementales de m´ etricas

18 Ejercicio (desigualdad poligonal). Demuestre que para cualquier n en N y cuales- quiera x1, . . . , xn+1 en X

d(x₁, x_n+1) ≤

n

X

k=1

d(x_k, x_k+1).

19 Ejercicio (desigualdad inversa del tri´angulo). Sean a, b, c ∈ X. Demuestre que

|d(a, b) − d(a, c)| ≤ d(b, c).

20 Ejercicio (desigualdad de cuadril´atero). Sean x₁, x₂, x₃, x₄ ∈ X. Demuestre que

|d(x₁, x₂) − d(x₃, x₄)| ≤ d(x₁, x₃) + d(x₂, x₄).

21 Ejercicio (distancia de un punto a un conjunto). Dados x ∈ X, Y ⊆ X, pongamos d(x, Y ) := ´ınf

y∈Yd(x, y).

Sean a, b ∈ X, Y ⊆ X. Demuestre que

|d(a, Y ) − d(b, Y )| ≤ d(a, b).

Bolas abiertas en espacios m´ etricos

22 Definici´on (bola abierta en un espacio m´etrico). Dados a en X, r > 0, B(a, r) := {x ∈ X : d(x, a) < r}.

23 Ejercicio (condici´on suficiente para que dos bolas sean disjuntas). Sean x1, x2 ∈ X, r₁, r₂ > 0 tales que

r₁+ r₂ ≤ d(x₁, x₂).

Demuestre que B(x₁, r₁) ∩ B(x₂, r₂) = ∅.

24 Ejercicio (condici´on suficiente para que una bola est´e contenida en otra). Sean x1, x2 ∈ X, r1, r2 > 0 tales que

d(x₁, x₂) + r₁ ≤ r₂. Demuestre que B(x₁, r₁) ⊆ B(x₂, r₂).

25 Ejercicio (la intersecci´on de dos bolas conc´entricas). Sean x ∈ X, r₁, r₂ > 0. De- muestre que

B(x, r₁) ∩ B(x, r₂) = B(x, m´ın{r₁, r₂}).

26 Ejercicio (ejemplo cuando una bola de radio m´as grande es un subconjunto propio de una bola de radio m´as peque˜no). Construya un espacio m´etrico (X, d), puntos x₁, x₂ ∈ X y radios r₁, r₂ > 0 tales que r₁ < r₂, pero B(x₂, r₂) ( B(x1, r₁). Sugerencia: se puede usar el espacio m´etrico del Ejercicio ??.

27 Ejercicio (ejemplo de dos bolas ajenas de radios grandes). Construya un espacio m´etrico (X, d), puntos x1, x2 ∈ X y radios r1, r2 > 0 tales que r1 + r2 > d(x1, x2), pero B(x₁, r₁) ∩ B(x₂, r₂) = ∅. Sugerencia: se puede usar el conjunto Z con la m´etrica d(x, y) = |x − y|.

28 Ejercicio (la intersecci´on de dos bolas en un espacio normado). Sea V un espacio normado real o complejo y sean x₁, x₂ en V , r₁, r₂ > 0 tales que r₁ + r₂ > d(x₁, x₂).

Demuestre que B(x₁, r₁) ∩ B(x₂, r₂) 6= ∅.

La topolog´ıa asociada a una m´ etrica

29 Ejercicio (el interior de un conjunto respecto a una m´etrica). Sea (X, d) un espacio m´etrico. Para cada A en 2^X, pongamos

int_d(A) := {x ∈ X : ∃r > 0 B(x, r) ⊆ A}.

Demuestre que intd(A) ⊆ A.

30 Ejercicio (la topolog´ıa asociada a una m´etrica). Sea (X, d) un espacio m´etrico. Pon- gamos

τ_d:= {A ∈ 2^X: int_d(A) = A}.

Demuestre que τ_d es una topolog´ıa en X.

31 Ejercicio (las bolas abiertas son abiertas). Sean (X, d) un espacio m´etrico, x ∈ X, r > 0. Demuestre que B(x, r) ∈ τd.

32 Ejercicio (la topolog´ıa asociada a una m´etrica es de Hausdorff). Sea (X, d) un espacio m´etrico. Demuestre que la topolog´ıa τ_d es de Hausdorff, esto es, para cualesquiera a, b en X tales que a 6= b, existen A, B en τd tales que a ∈ A, b ∈ B y A ∩ B = ∅.

33 Ejercicio (el interior de un conjunto en un espacio m´etrico coincide con su interior en la topolog´ıa asociada a la m´etrica). Sea (X, d) un espacio m´etrico y sea A ⊆ X.

Denotemos por τ a la topolog´ıa asociada a d. Demuestre que int_d(A) = int_τ(A).

Sucesiones convergentes en espacios m´ etricos

34 Ejercicio (subsucesi´on de una sucesi´on convergente). Sean X un espacio m´etrico, (x_n)_n∈N una sucesi´on en X, a ∈ X, l´ım_n→∞x_n= a, ν : N → N una funci´on escrictamente creciente. Demuestre que l´ım_k→∞x_ν(k) = a.

35 Ejercicio (descripci´on de la cerradura de un conjunto en un espacio m´etrico, en t´ermi- nos de sucesiones convergentes). Sean X un espacio m´etrico, A ⊆ X, b ∈ X. Demuestre que b ∈ clos(A) si, y solo si, existe una sucesi´on (xn)_n∈N en A tal que l´ımn→∞xn= b.

36 Ejercicio (criterio de continuidad en t´erminos de sucesiones, conocido como criterio de Heine). Sean X, Y espacios m´etricos, f : X → Y , a ∈ X. Demuestre que f es continua en a si, y solo si, para cualquier sucesion (xn)_n∈Nen X que converge al punto a, la sucesi´on (f (x_n))_n∈N converge al punto f (a).

De un espacio pseudom´ etrico a un espacio m´ etrico

37 Ejercicio (construcci´on de un espacio m´etrico a partir de un espacio pseudom´etrico).

Sea (X, d) un espacio pseudom´etrico.

1. Definimos una relaci´on binaria en X mediante la siguiente regla:

x ∼ y ⇐⇒ d(x, y) = 0.

Demuestre que esta relaci´on binaria es una relaci´on de equivalencia. Para cada x en X denotemos su clase de equivalencia por [x]. Denotemos por Y al conjunto de las clases de equivalencia.

2. Demuestre que si x₁ ∼ x₂, y₁ ∼ y₂, entonces d(x₁, y₁) = d(x₂, y₂).

3. Definimos ρ : Y × Y → [0, +∞) mediante la regla ρ([x], [y]) := d(x, y).

Explique por qu´e esta definici´on es consistente. Demuestre que ρ es una m´etrica.

Sucesiones de Cauchy y espacios m´ etricos completos

38 Ejercicio. Escriba la definici´on de la sucesi´on de Cauchy.

39 Ejercicio. Demuestre que cada sucesi´on convergente es de Cauchy.

40 Ejercicio. Sean X un espacio m´etrico, (xn)_n∈N una sucesi´on de Cauchy en X, a ∈ X, ν : N → N una funci´on escrictamente creciente, l´ımk→∞x_ν(k) = a. Demuestre que l´ım_n→∞x_n= a.

41 Ejercicio. Escriba la definici´on del espacio m´etrico completo.

42 Ejercicio. Escriba la definici´on de la sucesi´on regular de Cauchy.

43 Ejercicio. Demuestre que cada sucesi´on regular de Cauchy es de Cauchy.

44 Ejercicio. Demuestre que en cualquier sucesi´on de Cauchy hay una subsucesi´on re- gular de Cauchy.

45 Ejercicio. Demuestre que el espacio m´etrico es completo si, y solo si, cualquier suce- si´on regular de Cauchy converge.

46 Ejercicio. Sea X un espacio m´etrico completo y sea Y un subespacio m´etrico de X, es decir, un subconjunto de X considerado con la distancia inducida. Demuestre que Y es completo si, y solo si, Y es cerrado en X.

Funciones uniformemente continuas

47 Ejercicio. Sean X, Y espacios m´etricos, f : X → Y . ¿Cu´ando se dice que f es unifor- memente continua? Explique por qu´e cada funci´on uniformemente continua es continua.

Denotamos por C_u(X, Y ) al conjunto de las funciones uniformemente continuas X → Y . 48 Ejercicio (el m´odulo de continuidad de una funci´on). Sean X, Y espacios m´etricos, f : X → Y . Definimos ω_f: (0, +∞) → [0, +∞] mediante la regla

ω_f(δ) := sup{d(f (a), f (b)) : a, b ∈ X, d(a, b) ≤ δ}.

Demuestre que ω_f es una funcion creciente: si δ₁ < δ₂, entonces ω_f(δ₁) ≤ ω_f(δ₂).

49 Ejercicio. Demuestre que f es uniformemente continua si, y solo si, l´ım_δ→0ω_f(δ) = 0.

50 Ejercicio (funciones uniformemente continuas y sucesiones de Cauchy). Sean X, Y espacios m´etricos, f ∈ Cu(X, Y ), (xn)_n∈N una sucesi´on de Cauchy en X. Demuestre que (f (x_n))_n∈N es una sucesi´on de Cauchy en Y .

Completaci´ on de un espacio m´ etrico

51 Ejercicio. Escriba la definici´on

Teorema del punto fijo de Banach

Teorema de Baire

53 Ejercicio. Sea X un espacio m´etrico completo. Demuestre que X es de Baire.

54 Ejercicio. Escriba el criterio de espacio de Baire en t´erminos de subconjuntos magros (conjuntos de la primera categor´ıa).

55 Ejercicio. Sea X un espacio m´etrico completo no vac´ıo. Demuestre que X no es magro.

Subconjuntos acotados en espacios m´ etricos

56 Ejercicio (el di´ametro de un subconjunto de un espacio m´etrico). Sean X un espacio m´etrico, Y ⊆ X. Escriba la definici´on de diam(Y ). Decimos que Y es acotado si diam(Y ) <

+∞.

57 Ejercicio (monoton´ıa del di´ametro). Sea X un espacio m´etrico y sean Y, Z ⊆ X tales que Z ⊆ Y . Demuestre que diam(Z) ≤ diam(Y ).

58 Ejercicio (criterio del subconjunto acotado). Sean X un espacio m´etrico, Y ⊆ X.

Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) Y es acotado, esto es, diam(Y ) < +∞;

(b) existen a en Y y r > 0 tales que Y ⊆ B(a, r);

(c) existen a en X y r > 0 tales que Y ⊆ B(a, r).

59 Ejercicio (uniones finitas de subconjuntos acotados son acotadas). Sea X un espacio m´etrico y sean Y₁, . . . , Y_m subconjuntos acotados de X. Demuestre que Y₁∪ · · · ∪ Y_m es acotado.

60 Ejercicio (subconjuntos de subconjuntos acotados son acotados). Sea X un espacio m´etrico y sean Y, Z ⊆ X tales que Y es acotado y Z ⊆ Y . Demuestre que Z es acotado.

Espacios m´ etricos totalmente acotados

61 Ejercicio (criterio de ε-red para un subconjunto de un espacio m´etrico). Sean X un espacio m´etrico, Y ⊆ X, A ⊆ X, ε > 0. Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(a) A es una ε-red para Y , esto es, para cada x en Y existe a en A tal que d(x, a) < ε;

(b) para cada x en Y , d(x, A) < ε;

(c) Y ⊆S

a∈AB(a, ε).

62 Ejercicio. Escriba la definici´on del espacio m´etrico totalmente acotado.

63 Ejercicio. Demuestre que cada espacio m´etrico totalmente acotado es acotado.

64 Ejercicio. Sea X un espacio m´etrico. Demuestre que X es totalmente acotado si, y solo si, para cada ε > 0 existe una cubierta finita (A1, . . . , Am) de X tal que diam(Ak) < ε para cada k en {1, . . . , m}.

65 Ejercicio (criterio del espacio m´etrico totalmente acotado en t´erminos de sucesiones de Cauchy). Sea X un espacio m´etrico. Demuestre que X es totalmente acotado si, y solo si, cualquier sucesion en X tiene una subsucesi´on de Cauchy.

Espacios topol´ ogicos compactos

66 Ejercicio. Sea X un espacio topol´ogico. ¿Cu´ando se dice que X es compacto?

67 Ejercicio (criterio de compacidad en t´erminos de colecciones cerradas). ¿Cu´ando una colecci´on de conjuntos se llama centrada? Enuncie y demuestre el criterio de compacidad del espacio topol´ogico en t´erminos de colecciones de conjuntos cerrados.

68 Ejercicio. Sea X un espacio topol´ogico compacto y sea Y un subconjunto cerrado de Y . Demuestre que Y es compacto.

69 Ejercicio. Sea X un espacio topol´ogico de Hausdorff y sea Y subespacio compacto de X. Demuestre que Y es cerrado en X.

70 Ejercicio. Sea X un espacio topol´ogico de Hausdorff y sean Y₁, . . . , Y_msus subespacios compactos. Demuestre que Y1∪ · · · ∪ Ym es compacto.

71 Ejercicio. Sean X un espacio topol´ogico de Hausdorff, Y un subespacio compacto de X, Z un subespacio cerrado de Y . Demuestre que Z es compacto.

72 Ejercicio. Sean X un espacio topol´ogico compacto, Y un espacio topol´ogico, f ∈ C(X, Y ). Demuestre que f [X] es compacto.

Espacios m´ etricos compactos

73 Ejercicio. Escriba la definici´on del espacio m´etrico secuencialmente compacto.

74 Ejercicio (criterio de compacidad del espacio m´etrico). Sea X un espacio m´etrico.

Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) X es compacto;

(b) X es secuencialmente compacto;

(c) X es completo y totalmente acotado.

75 Ejercicio. Sean X un espacio m´etrico compacto, Y un espacio m´etrico. Demuestre que C_u(X, Y ) = C(X, Y ).