Comunicativas en el Aula de Matemáticas
Sindy Paola Joya Cruz
Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ciencias y Educación
Maestría en Educación Bogotá, Colombia
Comunicativas en el Aula de Matemáticas
Sindy Paola Joya Cruz
Trabajo de investigación presentado como requisito para optar al título de
Magíster en Educación
Directora
Magíster Deissy Milena Narváez Ortiz
Modalidad: Profundización Grupo de Investigación MESCUD (Matemáticas Escolares Universidad Distrital)
Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ciencias y Educación
Maestría en Educación Bogotá, Colombia
Dedicatoria
A mis padres por toda la comprensión y apoyo, A Felipe por la familia que somos.
Agradecimientos
A los estudiantes y profesora del curso 701 por su disposición y participación en este trabajo, A Deissy Narváez por posibilitar la elaboración de este
Tipo de
documento Trabajo de Grado de Maestría
Acceso al
documento Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Título del
documento
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
Autor(es) Sindy Paola Joya Cruz
Director Deissy Milena Narváez Ortiz
Publicación Bogotá. Universidad Distrital Francisco José de Caldas, 2016.
Palabras Claves Contrato Didáctico, Prácticas Comunicativas, Etnografía, Cláusula de Control Semántico
2.Descripción
Este trabajo evidencia algunos datos empíricos en los que se identifican manifestaciones del contrato didáctico (Brousseau, 1986b), las cuales fueron caracterizadas mediante el uso de instrumentos y métodos de la investigación etnográfica. Este estudio se desarrolló en clases de matemáticas de un grupo de grado séptimo de un colegio distrital de Bogotá. Los resultados describen que la ocurrencia de Efectos del contrato didáctico interviene de manera negativa en la significación de las matemáticas que hacen los estudiantes y que muchas de sus respuestas y comportamientos se catalogan como erróneos o inexplicables debido a que las acciones desarrolladas se ejecutan bajo Cláusulas nocivas del contrato didáctico.
3.Fuentes
Se referencian 36 documentos, referidos al Contrato Didáctico, Prácticas Comunicativas, Metodología de investigación etnográfica y aquellos que teorizan respecto a la teoría de situaciones didácticas. A continuación se resaltan los más relevantes:
Brousseau, G. (1986b). Fundamentos y Métodos de la Didáctica. Universidad Nacional de Córdoba, Argentina.
Brousseau, G. & Warfield, V. (1999). El caso de Gaël: El estudio de un niño con dificultades matemáticas. The Journal of Mathematical Behavior, 18(1), 1-40. Calderón, D. (2012). El lenguaje en las matemáticas escolares. En B. D'Amore, J. Godino,
D. Calderón, C. Vasco, O. León & A. Sáenz Ludlow, Perspectivas en la Didáctica de las Matemáticas (1st ed., pp. 79-110). Bogotá, Colombia.
D'Amore, B. (2006). Didáctica de la Matemática. Bogotá: Magisterio.
Murillo, J. & Martínez, C. (2010). Investigación etnográfica. Métodos de investigación educativa en educación especial. Universidad Autónoma de Madrid.
4.Contenidos
En el primer capítulo se presenta la delimitación del problema, recurriendo a planteamientos del proceso de construcción del problema, los objetivos, pregunta de investigación y antecedentes del estudio.
En el segundo capítulo se expresan los referentes teóricos y conceptuales concernientes al contrato didáctico, efectos y cláusulas presentes en el contrato didáctico y a la comunicación en el aula de matemáticas.
En el tercer capítulo se detalla la metodología etnográfica, caracterizando el diseño, el escenario de investigación, técnicas usadas y la manera de realizar la recolección de la información.
El cuarto capítulo expone las categorías de análisis en tres ramas: (1) Clausulas y Efectos (2) Funciones del uso de la lengua y (3) Prácticas comunicativas.
El quinto capítulo da cuenta de los análisis desarrollados de acuerdo a las fuentes teóricas y la recolección de información. Se analizan 12 situaciones referidas a las tres categorías descritas en el capítulo 4.
Por último, el capítulo seis presenta las conclusiones y la descripción de algunas inquietudes investigativas.
5.Metodología
Se utiliza la Etnografía Educativa (Murillo y Martínez, 2010, p.3) ya que centra su atención, en “[…] descripciones detalladas de situaciones, eventos, personas, interacciones y comportamientos que son observables”. En este sentido, se realiza la observación,
descripción y análisis de 3 sesiones de clase de matemáticas, de aproximadamente dos horas cada una, de un grupo de grado séptimo de un colegio distrital en la ciudad de Bogotá, que tienen como eje de sus prácticas el uso de Números Enteros. Para ello, se muestran 12 situaciones referidas a efectos, cláusulas y prácticas comunicativas.
6.Conclusiones Algunas de las conclusiones de este trabajo son:
Las prácticas comunicativas de los estudiantes durante el desarrollo de las sesiones evidencian la importancia de reconocer en la matemática los sistemas de signos, para transmitir información específica. En este sentido, una descripción del objeto matemático números enteros corresponde a un juego semántico en el que pretende caracterizarse de la mejor manera posible el uso de sus propiedades, aunque en ocasiones en el esfuerzo del docente por hacer comunicativa una idea, se pierda el objeto matemático.
Finalmente, las acciones del docente y los estudiantes, no son del todo espontáneas, de hecho, todas se corresponden a una respuesta ante el contrato didáctico que se ha apropiado en el aula, en el que se requiere de diversas formas de comunicación y actuación.
Elaborado por: Sindy Paola Joya Cruz [email protected]
Revisado por: Deissy Milena Narváez Ortiz [email protected]
Introducción 14
1. Delimitación del problema 16
1.1 Problema de Investigación 16
1.2 Objetivos 18
1.3 Pregunta de investigación 19
1.4 Antecedentes 19
2 Marco teórico 25
2.1 Contrato Didáctico 28
2.2 Efectos del Contrato Didáctico 30
2.3 Cláusulas del Contrato Didáctico 33
2.4 Comunicación en el Aula de Matemáticas 37
3 Marco Metodológico 43
3.1 Diseño y Escenario 44
3.2 Técnicas e Instrumentos 46
3.3 Recolección y Procesamiento de datos 47
4 Categorías de análisis 49
4.1 CATEGORÍA 1: Manifestaciones del Contrato Didáctico: Efectos y Cláusulas 49
4.2 CATEGORÍA 2: Funciones del uso de la lengua: Representación. 52
4.3 CATEGORÍA 3: Prácticas Comunicativas: Funciones de Comunicación. 53
5 Análisis de datos 54
5.1 Análisis Clase 1 55
5.2 Análisis Clase 2 64
8 Anexos 94
8.1 Anexo 1: Rejilla para la revisión de documentos 94
8.2 Anexo 2: Elementos destacados en diferentes documentos 94
8.3 Anexo 3: Tabulación de Datos Bibliométricos 99
8.4 Anexo 4: Esquemas para la caracterización de situaciones a-didácticas. 102
ILUSTRACIONES
Ilustración 1. Relación triángulo didáctico y comunicación educativa (Autino et al. 2011) 22
Ilustración 2. El triángulo: Maestro, Estudiante, Saber. (D’Amore, 2006, p. 231). ... 27
Ilustración 3. Relaciones y aspectos visualizados ... 43
Ilustración 4. Fases de acuerdo a Murillo y Martínez (2010). ... 44
Ilustración 5. Acciones a desarrollar para el procesamiento de la información. ... 48
Ilustración 6. Esquema de acción. Reconstrucción de imagen (Brousseau, 1986b, p. 29). 102 Ilustración 7. Esquema de comunicación. Reconstrucción de imagen (Brousseau, 1986b, p. 46). ... 103
Ilustración 8. Esquema de validación explícita. Tomado de Brousseau (1986b, p. 49). .... 104
TABLAS Tabla 1. Situación didáctica y Situación a-didáctica, de acuerdo a Panizza (2003)... 26
Tabla 2. Efectos del Contrato Didáctico ... 33
Tabla 3. Cláusulas del Contrato Didáctico ... 36
Tabla 4. Funciones de Representación. ... 40
Tabla 5. Funciones de Comunicación. ... 40
Tabla 6. Prácticas Compartidas, de acuerdo a Fandiño (2009, en D’Amore et al. 2010, p. 150) ... 41
Tabla 7. Rejilla para observación de clase. ... 47
Tabla 8. CATEGORÍA 1: Manifestaciones del Contrato Didáctico: Efectos y Cláusulas... 51
Tabla 9. CATEGORÍA 2: Funciones del uso de la lengua: Representación. ... 52
Tabla 10. CATEGORÍA 3: Prácticas Comunicativas: Funciones de Comunicación. ... 53
Tabla 11. Observables Clase 1 – Categoría 1 ... 56
Tabla 12. Clase 1. Situación 1. Efecto Jourdain. ... 57
Tabla 13. Clase 1. Situación 2. Cláusula de Control Semántico. ... 59
Tabla 14. Observables Clase 1 – Categoría 2 ... 60
Tabla 18. Observables Clase 2 – Categoría 1 ... 66
Tabla 19. Clase 2. Situación 5. Efecto Jourdain. ... 67
Tabla 20. Clase 2. Situación 6. Cláusula: Todos los problemas tienen solución ligada solo a los datos numéricos. ... 69
Tabla 21. Observables Clase 2 – Categoría 2 ... 70
Tabla 22. Clase 2. Situación 7. Función Apofántica. ... 71
Tabla 23. Observables Clase 2 – Categoría 3 ... 72
Tabla 24. Clase 2. Situación 8. Función Informativa. ... 73
Tabla 25. Observables Clase 3 – Categoría 1 ... 76
Tabla 26. Clase 3. Situación 9. Efecto Topaze. ... 77
Tabla 27. Clase 3. Situación 10. Cláusula de Control Semántico. ... 78
Tabla 28. Observables Clase 3 – Categoría 2 ... 80
Tabla 29. Clase 3. Situación 11. Función Apofántica. ... 81
Tabla 30. Observables Clase 3 – Categoría 3 ... 82
Tabla 31. Clase 3. Situación 12. Función Personal ... 83
Tabla 32. Instrumento para la revisión de documentos. ... 94
Tabla 33. Elementos destacados en el documento de Azcárate (1994). ... 95
Tabla 34. Elementos destacados en el documento de Gascón (1997). ... 95
Tabla 35. Elementos destacados en el documento de D’Amore y Martini (1997). ... 96
Tabla 36. Elementos destacados en el documento de Morales, Joya y Quintero (2010). .... 96
Tabla 37. Elementos destacados en Autino, Digión, Llanos, Marcoleri, Montalvetti y Soruco (2011). ... 97
Tabla 38. Elementos destacados en el documento de Jiménez, Suárez y Galindo (2010). .. 97
Tabla 39. Elementos destacados en el documento de Triana (2012)... 98
Tabla 40. Elementos destacados en el documento de Jaramillo, Morales y Varela (2006). 99 Tabla 41. Registro de aproximación bibliométrica a núcleos temáticos. ... 102
Tabla 42. Anexo: Transcripción apartados de Clase 1. ... 116
Tabla 43. Anexo: Transcripción apartados de Clase 2. ... 133
Imagen 1. “Tabla de división entre signos” ... 57
Imagen 2. Estudiante que no se siente autorizado a usar el signo (+) en la solución de una división ... 59
Imagen 3. División ... 61
Imagen 4. Listado de palabras asociadas a la operación resta. ... 67
Imagen 5. Solución del Problema #2. (Registro de la docente) ... 68
Imagen 6. Solución del Problema #2. (Registro de un estudiante)... 69
Imagen 7. Estudiantes “encontrando” la operación indicada. ... 71
Imagen 8. Diagrama, operaciones y solución del Problema #1(Registro docente) ... 73
Imagen 9. Operaciones y solución del Problema #1(Registro de un estudiante) ... 73
Imagen 10. Estudiante y Profesora realizando la revisión de problemas. ... 77
Imagen 11. Estudiante presentando un problema que no necesita cálculos para su solución ... 81
Imagen 12. Docente a la estudiante que hay palabras clave que resuelven el problema... 82
Imagen 13. División ... 107
Imagen 14. “Tabla de división entre signos” ... 108
Imagen 15. Producción de estudiante: Partes de la división en un ejemplo ... 108
Imagen 16. Justificación formal de un estudiante. ... 109
Imagen 17. Dictados para aclarar la explicación de clase. ... 110
Imagen 18. Solución de divisiones entre enteros desarrollada por el estudiante. ... 112
Imagen 19. Estudiantes a los que se les dificulta dividir por varias cifras. ... 112
Imagen 20. Estudiante que no se siente autorizado a usar el signo (+) en la solución de una división ... 113
Imagen 21. Listado de palabras asociadas a la operación suma. ... 118
Imagen 22. Listado de palabras asociadas a la operación resta. ... 118
Imagen 23. Palabras asociadas a las operaciones básicas (Registro de un estudiante). ... 119
Imagen 24. Indicaciones de cómo se debe resolver un problema. ... 121
Imagen 25. Estudiantes siguiendo el dictado de la docente. ... 122
Imagen 28. Diagrama, operaciones y solución del Problema #1(Registro docente) ... 124
Imagen 29. Operaciones y solución del Problema #1(Registro de un estudiante) ... 124
Imagen 30. Dictado de la docente. Problema #2. Ejercicio tomado de libro. ... 125
Imagen 31. Solución del Problema #2. (Registro de la docente) ... 126
Imagen 32. Solución del Problema #2. (Registro de un estudiante)... 126
Imagen 33. Dictado de la docente. Problema #3. Ejercicio tomado de libro. ... 126
Imagen 34. Estudiantes “encontrando” la operación indicada. ... 127
Imagen 35. Estudiantes indicando cuál es la operación que resuelve el Problema #3 ... 127
Imagen 36. Solución del Problema #3 (Registro de la docente) ... 128
Imagen 37. Solución del Problema #3 (Registro de un estudiante)... 128
Imagen 38. Organización del aula de clase en filas. ... 129
Imagen 39. Estudiante resolviendo el Problema #4 en el tablero ... 129
Imagen 40. Estudiantes que muestran la solución del ejercicio a la docente ... 130
Imagen 41. Solución del Problema #4 (Registro de estudiante y docente en el tablero) ... 131
Imagen 42. Problema #2 (Registro de un estudiante ... 131
Imagen 43. Manera de escribir velocidades (Registro de la docente). ... 132
Imagen 44. Problema #4 (Registro de un estudiante) ... 133
Imagen 45. Estudiantes presentando la tarea para revisión ... 133
Imagen 46. Registro de una tarea calificada por la docente. ... 133
Imagen 47. Estudiante que solicita se le califique la tarea. ... 134
Imagen 48. Datos para la construcción de un problema (Registro de la docente). ... 135
Imagen 49. Estudiante buscando aprobación del problema que se inventó. ... 135
Imagen 50. Docente aprobando los problemas diseñados por una estudiante... 136
Imagen 51. Estudiante presentando un problema que no necesita cálculos para su solución. ... 136
Imagen 52. Estudiante que diseña un problema sin considerar la información dada. ... 137
Imagen 53. Docente a la estudiante que hay palabras clave que resuelven el problema.... 138
Imagen 54. Datos dados por la docente para el diseño de problemas. ... 138
Imagen 58. Estudiante en busca de validación de respuestas ... 141
Imagen 59. Docente dando indicaciones a una estudiante para resolver ejercicios ... 141
Imagen 60. Estudiante que no se siente autorizada a usar datos implícitos. ... 143
Introducción
En Educación Matemática hay una gran cantidad de investigaciones, desde diferentes perspectivas, que refieren a las interacciones y a las formas como éstas dificultan o favorecen la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas que tienen lugar en el aula. Refiriendo a las investigaciones que tienen en cuenta las relaciones en la triada didáctica (Chevallard, 1982,
en D’Amore, 2006) y a la Didáctica de las Matemáticas como ciencia, podemos indicar que autores como Godino (2010), Brousseau (1986b) y D’Amore (2006), han problematizado la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, reconociendo que la Didáctica de la Matemática tiene como objetivo identificar, caracterizar y comprender los fenómenos y los procesos que condicionan la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas (D’Amore,
2006, p. 111).
Para comprender algunos de los procesos que tienen lugar en el aprendizaje de las matemáticas, Brousseau (1978, citado en D’Amore, 2006, p.113) explicitó la idea de Contrato Didáctico, desde el estudio de las causas del fracaso electivo en matemáticas. Desde lo planteado por Brousseau, el origen del contrato didáctico se remonta precisamente al estudio de un caso de fracaso escolar, el caso de Gaël (Brousseau y Warfield, 1999), en el que se señala que algunos comportamientos del estudiante en el abordaje de situaciones matemáticas son producto de interpretaciones que hace de las indicaciones del profesor dentro de una situación didáctica.
Dichos comportamientos se reflejan a través de efectos (terminología propuesta por Brousseau) y cláusulas (terminología propuesta por Chevallard), que han sido estudiados, analizados y ejemplificados a partir de casos particulares en los que se indica su aparición en la solución de una situación didáctica. Sin embargo, rastrear manifestaciones de efectos y cláusulas se constituye en problema de investigación, ya que a pesar de que existe documentación teórica al respecto, son muy pocas las evidencias con datos empíricos suficientes que soporten dicha información.
Para realizar dicha caracterización se tiene en cuenta tres fuentes teóricas: la primera corresponde a los Efectos del contrato didáctico (Brousseau, 1986b); la segunda a las
Cláusulas del contrato didáctico (D’Amore, 2006; Chevallard, 1982, en D’Amore, 2006); y la tercera a las Prácticas Comunicativas (Fandiño, 2009). Se presenta como hipótesis que a partir de la observación y análisis de las prácticas comunicativas en el aula, se pueden evidenciar con mayor claridad situaciones relativas al contrato didáctico.
Con este propósito y usando la Etnografía Educativa como método (Murillo y Martínez, 2010), se realiza la observación, descripción y análisis de diferentes sesiones de clase de matemáticas del curso 701, en un colegio público en la ciudad de Bogotá, en las que se aborda el objeto matemático Números Enteros. Posteriormente, se muestra cómo el análisis de las prácticas comunicativas en el aula de matemáticas puede ser interpretado a partir de las diferentes manifestaciones del contrato didáctico.
Debido a que el objeto matemático que se identifica es los Números Enteros y la intención de enseñanza que se tiene es el uso adecuado de propiedades y operaciones en este conjunto numérico, las sesiones de clase se desarrollan en torno a reglas y procedimientos que son sugeridos por la docente para permitir que los estudiantes desarrollen “adecuadamente” una serie de intervenciones, preguntas y respuestas. Estas situaciones, enmarcadas en diferentes prácticas comunicativas, son analizadas inicialmente a partir de la caracterización realizada por Fandiño (2009), en la que se identifica que una práctica comunicativa es una práctica compartida, que se especifica en el reconocimiento y exposición de ideas matemáticas que deben ser defendidas y validadas.
De igual manera, con base en las ideas de Brousseau (1986b) y las interpretaciones desarrolladas por D’Amore (2006) se proponen categorías de análisis. Estas categorías, si bien no son muestra total de las interacciones que se llevan a cabo en las diferentes aulas de matemáticas, dan muestra de aproximaciones que pueden ser analizadas en otros contextos.
1. Delimitación del problema
En este capítulo se contextualiza el problema de investigación, se realiza la determinación de objetivos, se plantea explícitamente la pregunta de investigación y se identifican algunos antecedentes respecto al tema específico de esta investigación.
1.1 Problema de Investigación
La Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) de Brousseau (1986b) vincula aspectos emergentes de la relación entre los elementos de la Tríada Didáctica: Profesor, Estudiante y Saber. En las relaciones presentes, se resalta la de Profesor-Estudiantes, más aún por la presencia de prácticas de tipo comunicativo que inciden en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas; las cuales a su vez producen algunos efectos y cláusulas en el marco de un contrato didáctico establecido tácitamente en clase.
Por ejemplo, en D’Amore (2006, p. 117) se referencia que a un grupo de estudiantes de cuarto
de primaria se les presentó la siguiente información: “Un pastor tiene 12 ovejas y 6 cabras. ¿Cuántos años tiene el pastor?”A lo cual los estudiantes respondieron: “Dieciocho”. 1 En
esta situación es evidente la ocurrencia de al menos dos hechos: por un lado, el docente da una serie de informaciones (hechos, datos, nombres), instrucciones y preguntas que espera
que el estudiante interprete “adecuadamente”; y por el otro, el estudiante tiene la expectativa de responder descifrando la intención comunicativa del profesor, a través de lo que reconoce en los datos y con los algoritmos que le son próximos.
Todavía cabe considerar que en esta situación se “exige” una respuesta, ya que los estudiantes están convencidos de que todos los problemas matemáticos tienen solución; sin embargo, dada la información, se debe comprender que el estudiante señala una respuesta, no porque no reconozca las matemáticas o sus diversos razonamientos, sino porque está sujeto a una interacción que se ha desarrollado en la clase, en la cual sabe que al realizarse una pregunta, él, como estudiante deberá responderla.
De lo anterior se desprende que el Contrato Didáctico (Brousseau, 1986b) está presente en el aula de matemáticas, ya que se asigna un rol a cada uno de los participantes y ellos responden de acuerdo a éste; por ejemplo, el docente de preguntar y el estudiante de responder. Un rol que si bien no fue enmarcado abiertamente ha sido la forma de interacción en el aula. Cabe resaltar que dicho rol no puede señalarse como positivo o negativo, ya que está sujeto a las circunstancias con las cuales se realicen las aproximaciones, intervenciones e interacciones en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.
Se aclara sin embargo que, en casos como el expuesto por D’Amore (2006, p. 117) al referirse
a la edad del pastor, pueden intervenir también una variedad de dificultades que los estudiantes encuentran en el aprendizaje y en la práctica del aula (D’Amore, Fandiño,
Marazzani y Sbaragli, 2010, p. 151). Una de estas dificultades es conocida como fracaso electivo.2
Brousseau y Warfield (1999) posteriormente, desarrollan observaciones referidas al fracaso electivo en matemáticas, remitiéndose al Caso de Gaël.3 En el cual identifican aspectos que
afectan negativamente el aprendizaje de las matemáticas y que llaman la atención sobre la necesidad de estudiar más profundamente el contrato didáctico en el aula. Algunos de estos aspectos son: el no reconocimiento del sentido de una pregunta, la incapacidad de mantener una idea ante la contradicción de otro, manifestaciones de sumisión o dependencia frente a una autoridad como el maestro o un adulto, el no uso de diferentes estrategias para verificar una respuesta y hábitos en los que se evita el enfrentamiento a problemas matemáticos, así como cualquier situación que implique la construcción de conocimiento.
Interesa llegar a esto porque el Caso de Gaël puede ser equiparable con el de muchos estudiantes que a diario se encuentran en las aulas y que al parecer muestran un desempeño deficiente en matemáticas; su fracaso, puede que no sea atribuible a dificultades de aprendizaje, sino a formas de actuar que se establecen en el aula, producto de la comunicación entre docente y estudiantes, o relaciones entre el estudiante y el saber mismo, las cuales son relativas a las expectativas de cada uno y que no son interpretadas por otros.
2 Denominación usada por Brousseau y Pérez (1981), referidas al caso de Gaël.
A causa de ello, se identifica que la comunicación representa un papel indispensable en las relaciones entre los elementos de la triada didáctica, ya que de ella dependen algunas de las interacciones que se dan en torno al saber. Particularmente, la comunicación se caracteriza por la transmisión e intercambio de información que se presenta con mayor recurrencia en el aula de matemáticas y por tanto, como ya se hizo notar, la necesidad de ponerlo en manifiesto.
Por lo tanto, el problema de investigación, surge como la necesidad de caracterizar manifestaciones del contrato didáctico en un aula de matemáticas a través de prácticas comunicativas; toda vez que no existen suficientes ejemplos, así como instrumentos, investigaciones o situaciones que permitan a la comunidad de educadores matemáticos, tomar consciencia de las mismas para el reconocimiento de efectos y cláusulas del Contrato Didáctico en torno a la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.
1.2 Objetivos
Objetivo General
Caracterizar manifestaciones del contrato didáctico en un aula de matemáticas a la luz de las prácticas comunicativas de estudiantes de grado séptimo en una institución educativa en la ciudad de Bogotá. 4
Objetivos Específicos
● Reconocer episodios de clase en los que se manifiesten acciones o comportamientos del profesor y los estudiantes, asociados a los Efectos (Brousseau, 1986a) y las
Cláusulas (Chevallard, en D’Amore, 2006) del Contrato Didáctico reportados en estudios precedentes.
● Identificar y describir prácticas comunicativas entre estudiante y profesor (Fandiño, 2009) mediante la observación de episodios de clase de matemáticas y el reconocimiento de manifestaciones del contrato didáctico.
1.3 Pregunta de investigación
¿Qué manifestaciones del Contrato Didáctico pueden observarse en las Prácticas Comunicativas entre profesor y estudiantes, de un curso de grado séptimo de un colegio distrital de Bogotá?
1.4 Antecedentes
En el marco de la Maestría en Educación con Énfasis en Educación Matemática, de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas (Bogotá, Colombia) y para los fines de este trabajo, se desarrolla una revisión de bases de datos, sobre producción bibliográfica respecto a tres núcleos temáticos: (1) Contrato Didáctico, (2) Comunicación en el aula de matemáticas y (3) Etnografía como metodología de investigación. Esta elaboración tiene como fin reconocer la literatura de carácter científico, los autores que la producen, así como algunos análisis, metodologías y conclusiones existentes respecto a las mismas. De acuerdo con la documentación encontrada se presenta una síntesis conceptual de investigaciones y trabajos que se relacionan con el problema formulado.
La revisión y registro se desarrolla mediante la “Rejilla para la revisión de documentos” (Ver
Anexo 1), la cual permitió rastrear una serie de elementos, que aporten a la toma de decisiones metodológicas en este estudio, en particular formas de actuación validadas que sean útiles para el análisis oportuno, detallado de los datos y, sobre todo, que den muestra de la relación existente entre el contrato didáctico y la comunicación. Con el uso de esta rejilla, se reconoce en los documentos analizados que diversos autores se han aproximado a la idea de contrato didáctico desde adhesiones a lo propuesto por Brousseau (1986b) y distanciamientos con pretensión de complementar las ideas que sustentan las interacciones entre los elementos de la tríada didáctica.
El primer núcleo temático refiere al Contrato Didáctico, con estas indicaciones, Azcárate (1994, p. 2) (Ver Anexo 2.1) menciona una definición de contrato didáctico, reconociéndola como:
[...] los derechos y los deberes tanto de los alumnos como del profesor; y éste es el responsable de la coherencia de los enunciados, de acuerdo con aquellas normas que forman parte de la cultura escolar,…. el papel de los estudiantes es el de dar una respuesta, de acuerdo con la lógica del contrato escolar.
Aunque es una interpretación que se aleja de la idea original de Contrato Didáctico, dados los términos nuevos que incorpora, se deja como evidencia que, aunque para un estudiante, una situación no tenga sentido, él se siente obligado a responder ya que es el contrato que tiene con el profesor; contrato en el cual se debe presentar una solución para determinar si sabe hacer los procedimientos matemáticos necesarios.
Pasemos ahora a Gascón (1997) (Ver Anexo 2.2), quien da un indicio de la existencia de cambios sustanciales en el contrato de acuerdo con los niveles educativos, este aporte permitió tomar decisiones sobre el nivel educativo en que se tomarían los datos. Al respecto plantea que la responsabilidad didáctico-matemática deja de ser exclusiva del profesor y se convierte en responsabilidad compartida con el estudiante a nivel universitario. De igual manera, se identifica la transposición didáctica como las modificaciones que surgen a las obras matemáticas para poder ser enseñadas; el cambio de contrato que se ejemplifica del paso de secundaria a universidad y la caracterización de los fenómenos relativos a la matemática escolar, dan muestra de algunos obstáculos epistemológicos en el proceso no homogéneo de estudio de las matemáticas, los cuales plantean como objetivo modificar la estructura y las funciones de los dispositivos didácticos existentes.
fotográficos en los que se describe posteriormente las interpretaciones que mencionan los estudiantes.
El segundo núcleo temático hace referencia a la Comunicación en el aula de matemáticas, particularmente a elementos que deben ser considerados cuando se hace resolución de problemas. Se considera inicialmente a Morales, Joya y Quintero (2010) (Ver Anexo 2.4); quienes si bien no se refieren directamente a la comunicación, evidencian el análisis de intervenciones que determinan las respuestas de un grupo de estudiantes frente a una situación problema, posterior a una validación en la que intervienen a través de diferentes representaciones (gráfica, tabular, gestual, textual), para hacer considerar a las otras personas la validez de las afirmaciones propias.
Por otro lado, se interpreta la comunicación educativa de acuerdo a los señalamientos de Ojalvo (1995, en Autino, Digión, Llanos, Marcoleri, Montalvetti y Soruco, 2011, p. 3) (Ver Anexo 2.5), quien señala que es:
[…] todo proceso inseparable de la actividad docente, donde intervienen diversas prácticas de interacción. Estas prácticas se pueden expresar en el aula, a través de diferentes lenguajes: el escolar, el magisterial, el lenguaje de los alumnos y el lenguaje de los textos, como así también en las metodologías de enseñanza-aprendizaje y en las relaciones que establece la escuela con su contexto social.
Ilustración 1. Relación triángulo didáctico y comunicación educativa (Autino et al. 2011)
En este esquema se evidencia la existencia de un contexto en relación al saber matemático; el código y el mensaje que debe ser comunicado; así como el profesor y el alumno en un doble rol de receptor-emisor.
Y el tercer núcleo temático que refiere a la Etnografía como método de investigación, explicitando algunas investigaciones en las que se hace referencia a dicho método y el análisis a la luz de su interpretación metodológica.
En este sentido Triana (2012) (Ver Anexo 2.7), presenta un estudio con un enfoque metodológico de orden cualitativo, de diseño etnográfico apoyado en elementos cuantitativos para el análisis de los resultados que surgieron a partir de observación directa y el empleo de un cuestionario de preguntas abiertas. De acuerdo a este autor, el enfoque cualitativo especifica que la investigación inicia examinando el mundo y en este proceso se desarrolla una teoría coherente con lo que se ha observado (Sampieri, 2008, en Triana, 2012, p. 63). Debido a ello, es un proceso inductivo que va de lo particular a lo general, que se caracteriza por definir la problemática a partir de la recolección de datos que registra las situaciones, eventos, personas, interacciones, entre otros.
De acuerdo a los planteamientos de Jaramillo, Morales y Varela (2006) (Ver Anexo 2.8), el alumno sólo adquiere conocimiento cuando es capaz de contextualizar el saber ajeno a indicaciones intencionales (Situación a-didáctica) y por tanto en la Teoría de las Situaciones Didácticas, las fases de Acción, Formulación, Validación e Institucionalización deben utilizarse en la resolución de problemas como fuente y criterio de la elaboración de saber.
Este estudio también es de carácter cualitativo etnográfico, en el que se realiza una aproximación teórico experimental a las rutas de estudio y aprendizaje en el aula. Por lo cual, de acuerdo a lo descrito por Blanco (1991, en Jaramillo et al. 2006, p. 45) este tipo de investigación se destaca por: (1) Los datos registrados se manifiestan con palabras más que con números. (2) Los datos cualitativos, son altamente descriptivos en los procesos. (3) Se hace énfasis en el lenguaje, la interpretación de hechos y el punto de vista del actor. (4) El análisis cualitativo es fundamentalmente descriptivo-interpretativo. (5) La etnografía educativa disminuye la distancia entre la investigación educativa y la práctica docente, por lo cual aporta descripciones de contextos, actividades y diálogos de los participantes.
bibliografía existente y referida a los tres núcleos es posible encontrar diversos trabajos a nivel de pregrado, maestría y doctorado.
En el Anexo 3, se hace referencia a la tabulación de algunos datos bibliométricos respecto a la teoría de las situaciones didácticas y el contrato didáctico, publicados desde 1986 hasta 2014. Algunos de ellos analizados en el primer núcleo y otros presentes en el marco teórico de este trabajo. En dicho anexo la clasificación de los mismos se hace teniendo en cuenta el tipo de publicación bajo los siguientes ítems: Artículo, Capítulo de libro, Libro, Módulo, Presentación, Revista, Tesis de Pregrado, Tesis de Especialización, Tesis de Maestría, Tesis de Doctorado y Traducción.
Este registro corresponde a parte de la producción científica en español, ya que son reconocidos en otros idiomas, trabajos como los de Sarrazy (1995); Sarrazy (2002); Sekiguchi (2005); Elia, Gagatsis, Panaoura, Zachariades y Zoulinaki (2009); y Pierce, Stacey y Wander (2010). De igual manera, este estudio se nutre parcialmente de la obra de D’Amore
et al. (2010) en la que aparece un capítulo dedicado al estudio del contrato didáctico y en el que dichos autores referencian algunas obras para la aproximación conceptual. La frecuencia relativa de producciones en torno al contrato didáctico en aulas colombianas, o al menos latinoamericanas desde el estudio bibliométrico realizado, es mínimo, tal y como se observa en el Anexo 3: Tabulación de Datos Bibliométricos.
2 Marco teórico
El presente capítulo expone la recopilación teórica y conceptual que da cuenta de la idea de Contrato Didáctico (Brousseau, 1986b), particularmente de la incidencia de Efectos (Brousseau, 1986b) y Cláusulas (Chevallard, 1988, en D’Amore, 2006; y D’Amore, 2006),
así como la relación existente entre el fracaso electivo en matemáticas y las Prácticas Comunicativas (Fandiño, 2009) que determinan la actuación del docente y los estudiantes en consideración a un objeto matemático. De igual manera, algunos de los constructos que se evidencian en este capítulo permitieron la consolidación de observables y categorías de análisis, así como el reconocimiento de algunos ejemplos que hacen referencia a la ruptura del contrato didáctico.
Para iniciar, se realiza una delimitación conceptual que corresponde a la caracterización de Didáctica de la Matemática (Brousseau, 1989), Teoría de las Situaciones Didácticas (Brousseau, 1986a) y Situaciones Didácticas y A-didácticas (Panizza, 2003).
En este sentido y para las pretensiones de este trabajo, se identifica que la Didáctica de la
Matemática desde la idea de Brousseau (1989, en D’Amore, 2006, p. 93), hace referencia a:
“una ciencia que se interesa en la producción y comunicación de los conocimientos matemáticos, y en lo que esta producción y esta comunicación tienen de específico”. Por lo tanto, debe tenerse en cuenta que Brousseau considera como un solo sistema el fenómeno de enseñanza–aprendizaje de las matemáticas. Como complemento a esta idea, D’Amore (2006,
p. 93) menciona que la Didáctica de la Matemática como ciencia presenta como objetos de estudio a las operaciones esenciales de la difusión de los conocimientos y las instituciones y actividades que tienen como objetivo facilitar las operaciones.
contradicciones, de dificultades, de desequilibrios), con el fin de manifestar nuevas respuestas que den muestra del aprendizaje.
La TSD está determinada a su vez por la existencia de las situaciones didácticas y las situaciones a-didácticas; en el siguiente esquema se recogen los aspectos y características de ellas, de acuerdo a lo expuesto por Brousseau (1982, en Panizza, 2003, pp. 3-4):
SITUACIÓN DIDÁCTICA SITUACIÓN A-DIDÁCTICA
Def
in
ició
n
Conjunto de relaciones establecidas explícita y/o explícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende eventualmente instrumentos u objetos) y un sistema educativo (representado por el profesor) con la finalidad de lograr que estos alumnos se apropien de un saber constituido o en vías de constitución.
Toda situación que, por una parte, no puede ser dominada de manera conveniente sin la puesta en práctica de los conocimientos o del saber que se pretende y que, por la otra, sanciona las decisiones que toma el alumno (buenas o malas) sin intervención del maestro en lo concerniente al saber que se pone en juego.
C
ar
ac
ter
ís
tica
s 1. Situaciones de acción, sobre un medio para evidenciar conocimientos implícitos.
2. Situaciones de formulación, para que al
comunicar (emisor y receptor) se comprenda el mensaje.
3. Situaciones de validación, para enunciar
afirmaciones y determinar su veracidad.
1. Necesidad de conocimientos para hacer
evolucionar el aprendizaje.
2. Existencia de retroacción de las
condiciones para juzgar los resultados.
3. No intervención del maestro en relación al
saber (Devolución).
Tabla 1. Situación didáctica y Situación a-didáctica, de acuerdo a Panizza (2003).
De acuerdo con esta descripción, es necesario dejar claro que la situación a-didáctica se
enfoca en el aprendizaje, lo cual no significa que el docente debe “estar ausente” de la
actividad, sino que debe preparar el medio para que las condiciones estén dadas y el estudiante llegue por sus propios medios a la adquisición del conocimiento.
Sin embargo, parte de la relación entre docente y estudiante se encuentra determinada en la Triada Didáctica expuesta por Chevallard (1997, p. 4); la cual es un sistema didáctico al que pertenecen tres componentes: Maestro, Estudiante y Saber (Matemático). Por lo tanto, la relación va más allá de un juego de entre dos personas y se extiende a un tercer elemento que es trascendental en esta teoría: el saber matemático. El esquema que propone Chevallard
(1982, en D’Amore, 2006, p. 231) para distinguir el triángulo didáctico es el siguiente:
Ilustración 2. El triángulo: Maestro, Estudiante, Saber. (D’Amore, 2006, p. 231).
En este esquema se reconoce que el Maestro es un sujeto institucional y pedagógico (Cornu
y Vergnioux, 1992, en D’Amore, 2006, p. 232). De igual forma, la herramienta esencial de su práctica es el texto del saber (…), en las variaciones que él se permite imponerle (Chevallard, 1997, p. 14). Por tanto, debe posibilitar la enseñanza a través de una buena transposición didáctica de un objeto de saber.
Un segundo elemento del esquema es el Estudiante, quien es un sujeto biológico y epistémico (Cornu y Vergnioux, 1992, en D’Amore, 2006, p. 232); este sujeto pone en acción como instrumentos los objetos conocidos, amplía el campo de aplicación, reconoce la insuficiencia y debe recurrir a nuevos instrumentos (D’Amore, 2006, p. 237).
aula de matemáticas, es necesario realizar una Transposición Didáctica,5 la cual se caracteriza por ser la comprensión que se tiene respecto a las nociones del Saber Sabio, para determinar cuál es el saber por enseñar y así mismo reconocer cuál es el saber enseñado realmente. Esta transposición, según Chevallard (1985, en D’Amore, 2006, p. 235), debe caracterizarse porque el saber enseñado no se encuentre ni muy cerca ni muy lejos del saber sabio.
2.1 Contrato Didáctico
En el proceso de observación de niños con fracaso electivo, surgió la necesidad de crear el concepto de Contrato Didáctico (Brousseau, 1990, p.5), cuya mención ya se había presentado como hipótesis de investigación en 1980. De acuerdo con los planteamientos de Brousseau, todo saber enseñado trae consigo la conformación de un Contrato Didáctico que tiene en cuenta la enseñanza–aprendizaje de las matemáticas y la relación entre docentes y estudiantes. Por ejemplo, Chevallard (1997, p. 22) señala que un desempeño del alumno esperado por el docente al factorizar una ecuación, es el reconocimiento de ciertas ocasiones de uso de las nociones matemáticas consideradas como herramientas de la actividad matemática. Sin embargo, para clarificar la forma como se relaciona la enseñanza-aprendizaje, Brousseau (1986a) define el contrato didáctico como un:
[…] conjunto de comportamientos del profesor que son esperados por los alumnos y al conjunto de comportamientos de los alumnos que el profesor espera de ellos. Ese contrato es el conjunto de reglas que determinan, una pequeña parte explícitamente, pero sobretodo implícitamente, en lo que cada socio de la relación didáctica deberá hacer y, lo que de alguna manera deberá exigir al otro.
Esta noción, sin embargo, ha presentado diversas interpretaciones, de manera implícita y
explícita, como las señaladas por Azcárate (1994); Gascón (1997); D’Amore y Martini
(1997); Joya y Morales (2011); y Niño, Forero y Cipagauta (2013). Conforme a ello, a continuación, se presentan algunas de esas interpretaciones. Particularmente, Gascón (1997, p. 2), señala que el Contrato Didáctico es:
[…] una noción teórica que solo toma su sentido preciso cuando se emplea a
nivel de sistema didáctico en el marco de la teoría de las situaciones didácticas
(Brousseau, 1986) […] el contrato didáctico […] [está] constituido por las
cláusulas que son comunes a todos los contratos didácticos que pueden
establecerse actualmente en la enseñanza de las matemáticas […]
En este sentido, Gascón (1997, p. 6) manifiesta respecto a las cláusulas del contrato didáctico que son relativas a la institución, a la organización matemática y a los dispositivos didácticos que se presentan continuamente en el aula. Igualmente, Chevallard (1988) resalta que “Las cláusulas del contrato didáctico organizan las relaciones que alumnos y enseñantes mantienen con el saber. El contrato regula con mucho detalle la cuestión. Cada noción enseñada, cada tarea propuesta se halla sometida a su legislación”.
Conforme a esto, las cláusulas son vistas como normas o reglas que dan la impresión de tener bajo control la situación de enseñanza-aprendizaje. No obstante, van más allá, pues delimitan las acciones a las que se sienten comprometidos docentes y estudiantes; acciones que surgen de la concepción que se tiene de la escuela y la matemática, que se reflejan en acuerdos implícitos y explícitos en el aula. Sin embargo, la idea de cláusula del contrato didáctico será desarrollada más adelante.
Ahora bien, muchos de los acuerdos que se señalan en el contrato didáctico no cumplen con el ideal de aprendizaje y se presenta la ruptura del contrato didáctico, ya que esto implica una ruptura de la tradición escolar o de la concepción matemática (Montiel, 2002, p. 127). Sin embargo, dados los ideales de la TSD, es justo en las rupturas donde se producen nuevos aprendizajes (Montiel, 2002, p. 164). Por lo tanto también es necesario aclarar, como menciona Castañeda, Hernández-Morales y González-Polo (2016, p. 101) que:
Finalmente, el contrato didáctico surge como una idea para estudiar el fracaso electivo en matemática (Brousseau y Warfield, 1999),6 de igual manera, es necesario evidenciar algunos
de los acuerdos y manifestaciones presentes en él; para ello se describe a continuación los efectos y las cláusulas del contrato didáctico.
2.2 Efectos del Contrato Didáctico
Los efectos han sido reportados por Brousseau (1986b, p. 6), y se refieren al profesor en una situación de enseñanza en relación a un objeto matemático. También son conocidos como fenómenos de la didáctica, ya que están ligados al control de la transposición didáctica y pueden afectar a toda una comunidad durante generaciones.
Es importante destacar que, para los fines de este trabajo, la manifestación que se reconoce de los efectos son las situaciones en la que los estudiantes contestan con el mínimo de significados, ya que el profesor actúa generando intervenciones que no hacen posible el aprendizaje. Se debe tener en cuenta además que en el efecto interviene siempre el objeto matemático. Para identificar estos fenómenos, a continuación se referencian los seis que fueron descritos por Brousseau (1986b, pp. 6-10) y que dan muestra de las relaciones existentes en cada uno de ellos.
2.2.1 Efecto Topaze y el control de la incertidumbre.
El conocimiento pretendido desaparece y solo queda el juego de palabras como “aplica esta regla”, asociado a una representación que desconoce el objeto matemático. En el Efecto Topaze (Brousseau, 1986b, p. 6) se evidencian cambios de preguntas por parte del docente para llevar a un estudiante a una respuesta específica que es considerada como muestra de aprendizaje. Las intervenciones son por tanto condicionadas para el estudiante, lo dejan sin posibilidades de respuesta y termina mencionando aquello que se esperaba de él desde el inicio, aunque no sea consciente de ello. El estudiante se siente a gusto solo porque encontró la aprobación del docente en algo de lo que dijo. Y el docente también se siente a gusto porque escuchó la respuesta que cree da muestra de conocimiento.
2.2.2 Efecto Jourdain o el malentendido fundamental.
Se presenta cuando el profesor considera que el estudiante se debe aprender una regla porque siempre se va a usar, generando esquemas mal formados. El Efecto Jourdain hace referencia a procedimientos que muestra el docente y que deben realizar los estudiantes para “una correcta” solución. El docente espera que el estudiante realice procesos similares que señalen comprensión de la forma como debe resolverse (D’Amore et al. 2010, p. 182); sin embargo, el estudiante solo repite procesos, lo que no significa necesariamente la apropiación de objetos matemáticos. Esto deja también la percepción de que el estudiante da una respuesta correcta, siguiendo las instrucciones o imitando las acciones del docente, no por tanto evidenciando el conocimiento matemático.
2.2.3 Efecto Dienes.
El docente cree que: si el diseñador afirma que el instrumento funciona, funcionará también en mi clase y con mis estudiantes (Brousseau, 1986b, p. 17). En este sentido, el docente solo hace uso de un instrumento diseñado para la enseñanza de las matemáticas, bajo unas perspectivas didácticas específicas, pero se olvida de realizar adaptaciones, que permitan paulatinamente un uso adecuado y que alcance los objetivos para los cuales ha sido diseñado. En consecuencia a la falta de intervención del docente como mediador del saber (Brousseau,
1986, en D’Amore et al. 2010, p. 179), el estudiante no da muestra del conocimiento ya que no es capaz de realizar cambios o transferencias en el saber. Así mismo el instrumento pierde el valor didáctico que se deseaba alcanzar con él.
2.2.4 Deslizamiento metacognitivo.
Surge cuando una actividad de enseñanza ha fracasado (Brousseau, 1986b, p. 8) y el docente utiliza sus propios instrumentos alejados del conocimiento matemático, provocando otras dificultades. Para superar las dificultades, se señalan nuevos objetos de enseñanza, que terminan por alejar al estudiante de las intenciones reales de enseñanza-aprendizaje que se pretendían y limitándose solo al uso adecuado de un nuevo instrumento.
2.2.5 Uso abusivo de la analogía.
sabio; sin embargo su uso inadecuado repercute en la aparición del Efecto Topaze, lo que representa la desaparición total del objeto matemático que se desea explicar.
2.2.6 Envejecimiento de las situaciones de enseñanza.
El docente reproduce las situaciones de enseñanza cierta cantidad de veces, con diferentes grupos de estudiantes y no obtiene los mismos resultados; esto hace que se cuestione sobre la efectividad de la actividad y lleva a pensar en los aspectos que debe cambiar, para la renovación de sus situaciones didácticas (Brousseau, 1986b, p. 10).
A continuación se presenta un esquema en el que se resumen los fenómenos que fueron descritos:
FENÓMENOS DE LA DIDÁCTICA
Efecto Topaze
El docente realiza sugerencias disfrazando la respuesta que espera del estudiante, a través de preguntas o palabras que se asemejan a la respuesta esperada.
El estudiante sigue los indicios, adivinando la respuesta que debe dar, como si no le quedará más opción. En ocasiones aunque señale la respuesta no es consciente de ella, o no le asigna algún sentido.
Efecto Jourdain
El docente trata de evitar discusiones sobre el sentido del conocimiento matemático que está tratando, pues prevé un posible fracaso, así que prefiere darle importancia a normas o a juegos de lenguaje (desprovisto de sentido) que ayudarán a que se tenga éxito sobre tareas específicas aunque no se construyan significados.
El estudiante imita un esquema y lo memoriza sin saber por qué, para qué y cuándo usarlo; sin mayor comprensión de los objetos matemáticos involucrados. El profesor le da estatus de conocimiento erudito (o fundamental) a estos esquemas, juegos de palabras o claves que el estudiante reconoce.
Efecto Dienes
El docente usa instrumentos didácticos de los cuales espera obtener los mismos resultados que los diseñadores, sin realizar ningún tipo de adaptación para garantizar su efectividad. El profesor no comprueba que hubo aprendizaje, pues lo supone como consecuencia inmediata del uso del instrumento.
El estudiante no da muestra del conocimiento esperado, empleando solo un instrumento que no pasó por la intervención del docente y por tanto le es imposible realizar transferencias en el saber.
Deslizamiento Metacognitivo
Uso Abusivo de la Analogía
El docente usa analogías para que los estudiantes se apropien de un saber, pero su uso repetitivo, hace que los estudiantes generen ideas inadecuadas o malentendidos al considerar demasiados aspectos en la analogía que pueden no ser convenientes para tratar el objeto matemático.
El estudiante recae en la aparición de un Efecto Topaze, ya que representa la desaparición total del objeto matemático que se desea explicar.
Envejecimiento de las Situaciones de
Enseñanza
El docente repite actividades cierta cantidad de veces (días, meses, años), sin realizar modificaciones didácticas. Esto lo lleva a proponer la misma situación que considera fue efectiva en un momento dado.
En otro caso, el docente realiza modificaciones a la situación previendo que sus estudiantes no enfrenten errores que ha evidenciado en implementaciones anteriores de esta misma situación. Así, empieza a dar pistas e instrucciones que hacen que la situación se simplifique tanto, que el estudiante ya no se encuentra obstáculos que le permitan resignificar el conocimiento.
Tabla 2. Efectos del Contrato Didáctico
Estos seis fenómenos de la didáctica, según Brousseau (1986b, p. 6) construyen un “modelo” de los protagonistas en presencia, de las relaciones y de las restricciones que los vinculan.
2.3 Cláusulas del Contrato Didáctico
Las cláusulas han sido reportadas por Chevallard (1988) y analizadas con otros ejemplos por
D’Amore (2006), y corresponden a la actuación del estudiante frente al saber matemático independientemente a si está o no el docente. La presencia del docente no es necesaria como tal ya que se evidencia su “existencia” a través de las interacciones, respuestas y acciones del estudiante, las cuales suelen estar sujetas a las palabras o actuaciones que han sido reproducidas por el docente.
Es importante destacar que, para los fines de este trabajo, la manifestación que se reconoce de las cláusulas son situaciones en las que se evidencia que el estudiante responde de manera diferente en dos contextos, el escolar y fuera del aula; o mediante el señalamiento de ideas sujetas a sus interpretaciones de lo que es hacer matemáticas.
Para identificar las cláusulas, a continuación se referencian siete que están descritas en
“Cláusula de Control Semántico” de acuerdo a algunas descripciones realizadas por D’Amore (2006, p. 125) y que permiten la consideración de este elemento.
2.3.1 Todo problema tiene una solución.
El estudiante se las ingenia para contestar un problema en el que los datos dados no son adecuados para responder a una pregunta específica. El caso más conocido es el de la edad del capitán reportado en Baruk.7 Esta es una cláusula de confianza en el docente o hacia la
imagen de la matemática, ya que los estudiantes creen que siempre hay solución. Esta concepción permanece a menos de que ocurra algo que demuestre contradicción. Cuando exista dicha contradicción, el estudiante puede señalar que el problema no se puede resolver y por tanto hay ruptura del contrato.
2.3.2 Todos los problemas tienen solución ligada a los datos netamente numéricos.
El estudiante se enfrenta con un problema y reconoce que tiene una solución ligada únicamente a los datos numéricos que aparecen en el enunciado (D’Amore et al. 2010, p.
166). Si no se presentan dichos datos, el estudiante “inventa” una respuesta incoherente, pero
con la que se siente cómodo. O bien usa los datos una vez, en el orden del enunciado, con las operaciones cercanas a él y sin tener en cuenta otras implicaciones.
2.3.3 Exigencia de la justificación formal.
El estudiante piensa que las operaciones o procedimientos son necesarios para que un problema sea realmente resuelto y por tanto tiene que descubrir cuál es el algoritmo correcto, lo cual viene señalado por una regla explícita que ha manifestado el docente con anterioridad (deben justificar su respuesta). Sin embargo, existen muchas situaciones que no requieren de cálculos para ser solucionadas, pero el estudiante se siente obligado a escribir una organización lógica y formal más exigente (D’Amore et al. 2010, p. 169).
2.3.4 El docente no asigna problemas sin solución.
El estudiante considera que cualquier situación que le presente el docente se puede resolver. Es similar a la cláusula de que todo problema tiene una solución. Sin embargo, este tiene
relación directa con el docente ya que, por la idea que tiene el estudiante de la escuela, se piensa que el docente tiene un papel evaluador de las respuestas que produzca, por lo tanto de que puede resolver el problema.
2.3.5 Un problema real es diferente a un problema escolar.
El estudiante identifica que los problemas escolares son condiciones artificiales diseñadas
por el docente para que él realice cálculos (D’Amore et al. 2010, p. 158) y que los problemas
reales son las situaciones que se dan fuera del aula, que son ciertas y que no necesariamente necesitan de cálculos para dar una solución.
2.3.6 Si el problema no tiene solución, el docente lo notifica.
El estudiante espera que cuando el problema no tiene solución el docente le avise sobre ello, para que así él se dé cuenta de la incoherencia que impide buscar una respuesta. Sin embargo, esto imposibilita que el estudiante esté atento a las situaciones que se presentan y siempre permanezca a la espera de las indicaciones del docente sobre todos y cada uno de los problemas.
2.3.7 Delegación formal.
El estudiante cree que su única responsabilidad es saber qué operación realizar y con cuáles números, y es totalmente independiente a él los resultados e interpretaciones que puedan asignarse a dichos resultados. En pocas palabras, le toca al algoritmo o mejor aún a la máquina (D’Amore et al. 2010, p. 168) dar cuenta de la coherencia.
2.3.8 Cláusula de Control Semántico.
Schoenfeld (1987 en D’Amore, 2006, p. 124) que se refiere a soldados que deben ser transportados en autobuses.8
Estas ocho cláusulas del contrato didáctico, caracterizan algunas de las acciones del estudiante en relación al saber matemático. A continuación se presenta un esquema en el que se resumen los elementos que fueron descritos:
CLÁUSULAS DEL CONTRATO DIDÁCTICO
Todo problema tiene una solución.
El estudiante contesta un problema en el que los datos dados no son adecuados para responder a una pregunta específica. Todos los problemas tienen
solución ligada solo a los datos numéricos.
El estudiante se enfrenta con un problema y reconoce que tiene una solución ligada únicamente a los datos numéricos que aparecen.
Exigencia de la justificación formal.
El estudiante piensa que las operaciones o procedimientos son necesarios para que un problema sea realmente resuelto. El docente no asigna problemas
sin solución.
El estudiante considera que cualquier situación que le presente el docente se puede resolver.
Un problema real es diferente a un problema escolar.
El estudiante identifica que los problemas escolares son condiciones artificiales diseñadas por el docente.
Si el problema no tiene solución, el docente lo notifica.
El estudiante espera que cuando el problema no tiene solución el docente le avise sobre ello.
Delegación formal. El estudiante cree que su única responsabilidad es saber qué operación realizar y con cuáles números.
Cláusula de Control Semántico. El estudiante desconoce la naturaleza de la pregunta, por lo tanto su respuesta no es objetiva.
Tabla 3. Cláusulas del Contrato Didáctico
Ahora bien, Brousseau (1986b, pp. 22-27) también se refiere a paradojas como elementos presentes en el contrato didáctico, sin embargo en los análisis que se plantean no se hará referencia a ello ya que las pretensiones de este trabajo están orientadas a los efectos y cláusulas. Las cláusulas del contrato didáctico están determinadas, de acuerdo a Chevallard (1988, en D’Amore et al. 2010), en tanto “[…] organizan las relaciones que alumnos y enseñantes mantienen con el saber; y las prácticas comunicativas están presentes en dicha relación.
Como ya ha sido mencionado, todo saber enseñado trae consigo la conformación de un Contrato Didáctico que tiene en cuenta la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. Para poder analizar al respecto, es necesario reconocer las manifestaciones de lo que ha sido
descrito como efectos y cláusulas. Para ello, se identifica que el campo de manifestaciones es extenso, por lo tanto se hace referencia exclusivamente a aquellas que refieren a la comunicación, particularmente a las Prácticas Comunicativas (Fandiño, 2009).
2.4 Comunicación en el Aula de Matemáticas
Partiendo de que el contrato didáctico es importante para estudiar las causas del fracaso electivo en matemática, es decir el típico fracaso en matemática de los estudiantes que, más o menos, parecen… arreglárselas con las otras materias (D’Amore, 2006, p. 113). Se señala que, los estudiantes tratan de evitar situaciones que les generen conflicto utilizando diferentes estrategias; algunas de ellas corresponden a evasión de preguntas y a tener el menor contacto o comunicación posible con otro interlocutor.
De acuerdo a Morales, Joya y Quintero (2010), la cultura de clase está asociada a la forma como el estudiante asume su rol y admite el de otros; y a la manera como el profesor, en ocasiones esta permeado de la inducción, voluntaria o no, de respuestas que no necesariamente están vinculadas a los saberes propios de la escuela. Conforme a ello, surge nuevamente el interrogante ¿Por qué hay estudiantes académicamente brillantes pero incapaces de pensar matemáticamente ante una situación problema?
Una posible respuesta se encuentra en el fortalecimiento de la competencia específica denominada comunicación en matemática, la cual presenta los siguientes componentes (Fandiño, 2010, pp. 160-164):
● Sintaxis específica y símbolos oportunos: Los cuales deben usarse con claridad, pertinencia y exactitud. No es algo espontáneo, requiere de un proceso cultural que el estudiante debe hacer propio durante el transcurso de la vida escolar.
● Organización de la presentación: Lo cual requiere de diversas formas de comunicación que deben tener claridad, lógica y eficacia. Esta organización debe ser coherente con la comunicación oral y luego con la comunicación escrita.
● Uso de diversas formas de comunicación: Elegir un medio, el cual cuenta con un sistema de signos específico. Aunque se identifica que un resultado puede ser comprendido mejor si se utilizan varios sistemas de signos.
● Empeño dado al diálogo: Los argumentos o razonamientos deben ser claros, pertinentes y profundos, favoreciendo la actividad comunicativa del estudiante.
● Consideración de los argumentos y de las razones de los otros: teniendo en cuenta la eficacia, lógica y pertinencia de los argumentos de otros, tomando distancia de los argumentos propios.
Por otro lado, Fandiño (2010, p. 134) señala que una de las mayores dificultades en el aula es que la comunicación es asimétrica, especialmente porque se reconoce en mayor medida la dirección del docente hacia el estudiante; en la cual el docente actúa como si la recepción se diera por completo, únicamente con el acto comunicativo, obviando la idea de la diferencia entre el lenguaje del estudiante y el lenguaje del docente.
Eso no significa que sólo debe usarse un lenguaje común en el aula, por el contrario, el lenguaje común debe favorecer la aparición del lenguaje específico, y a medida que los estudiantes van haciendo uso de él, se comprende y usa de manera más apropiada, pues la
enseñanza es comunicación (D’Amore 2006, p. 259) y tiene como uno de sus objetivos
favorecer el aprendizaje y la comprensión a través del lenguaje.
Esto implica que el docente debe hacer uso en su clase, en ese proceso de enseñanza, del lenguaje común y del lenguaje matemático, permitiendo así la apropiación del lenguaje específico. De lo contrario (visto como posible cláusula del contrato didáctico), los estudiantes terminan repitiendo frases o consideraciones que ellos suponen el docente ha querido señalar, limitándose a repetir las palabras que usa el profesor, sin comprender realmente lo que significan y los contextos en los que tienen sentido.
Pero hay otra consideración, en los primeros años escolares, donde aún no existe una apropiación teórica fuerte, se reflexiona que una buena descripción del concepto matemático comunica significativamente la idea que se pretende (Fandiño, 2010, p. 137); esto pone de manifiesto que dichas descripciones no son tal cual la definición misma, por lo que se
presentan como “juegos semánticos”, ya que existe más de una lógica posible (aunque en la
Con estas interpelaciones, quizás se pueda responder a la pregunta planteada respecto a ¿Por qué hay estudiantes académicamente brillantes pero incapaces de pensar matemáticamente ante una situación problema? Sin embargo, es importante revisar la otra cara del asunto. Ya
se ha hecho mención a la comunicación en el sentido docente → estudiante, pero ¿Qué pasa
con la comunicación del estudiante hacia el docente?
Pues bien, Fandiño (2010, pp. 142-149) expone que la comunicación matemática en este sentido presenta una incomprensión:
El docente (receptor) espera una cierta comunicación que no coincide con aquella propuesta por el estudiante (emisor). Por ello, se observa el lenguaje de la matemática en el aula con intención comunicativa con el objetivo de hacer que quien escucha aprenda
Aquí vale la pena considerar que de acuerdo con Jiménez, Suárez y Galindo (2010, p. 179), en los Lineamientos Curriculares y Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas se establece un papel predominante a la comunicación en la clase de matemáticas, entendiendo la comunicación como:
[…] un proceso de interacción social en el que se favorecen la negociación de
significados, el consenso, el diálogo y el debate, acciones mediante las cuales se alcanzan procesos esenciales para el desarrollo del pensamiento matemático, como la conjeturación y la argumentación (Jiménez et al. 2010, p. 174)
En este sentido, Jiménez et al. (2010, p. 179) destacan que la comunicación en la clase de matemáticas debe ser percibida más allá del lenguaje simbólico que pretende ser comunicado, con el fin de favorecer los procesos necesarios en la matematización (particularizar, generalizar, conjeturar y convencer). Esto encuentra coherencia con lo que señala Fandiño (2010, p. 133) al decir que saber comunicar la matemática es una meta cognitiva específica, ya que existen algunos estudiantes que aparentemente han construido conceptos matemáticos, sin embargo, se les dificulta comunicarlo.
