2. Curvas de nivel

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Univ. de Alcal´a de Henares Ingenier´ıa de Telecomunicaci´on

C´alculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005

Funciones de dos variables. Gr´ aficas y superficies.

Puede ser conveniente la visualizaci´on en pantalla o el uso de una impresora en color para algunas figuras

1. Funciones de dos variables. Gr´ aficas

La primera parte del curso se ha centrado en el estudio de las funciones de una variable, f : R → R

El siguiente paso en complejidad lo representan las funciones de dos variables. f : R² → R Estas funciones se representan a menudo mediante el s´ımbolo:

z = f (x, y) (esta mezcla de notaci´on z y f es com´un).

Es posible representar gr´aficamente una de estas funciones f : R² → R mediante su gr´afica:

graf(f ) =©

(x, y, z) ∈ R³ | (x, y) ∈ U, z = f (x, y)ª

Esta gráfica es, hablando informalmente, una superficie en R³: sobre cada punto (x, y) del plano xy dibujamos un punto (x, y, z) a altura z = f (x, y). El conjunto obtenido al dibujar las imágenes de todos los puntos (x, y) de U es la gráfica de f .

Ejemplo 1.1. El ejemplo m´as sencillo (sin ser constante) de una de estas funciones es un polinomio de grado 1, de la forma:

z = f (x, y) = ax + by + c, con a, b, c constantes

Esta función tan sencilla tiene, naturalmente una gráfica sencilla. La gráfica está formada por los puntos del plano

z = ax + by + c

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Naturalmente, si se consideran funciones más complicadas sus gráficas se corresponden con superficies más complejas que el plano.

Ejemplo 1.2. Por ejemplo la funci´on

f (x, y) = (3/2)e1+(x−1)2+(y−1)2¹ −(5/2)e1+(1/4)(x+1/2)2+(1/36)(y−1)2¹ +2e1+(x−2)2+(y−2)2¹ +2e1+(x−1)2+(y+1)2¹

tiene una gr´afica con este aspecto:

Como puede verse en este ejemplo, en general una gráfica se corresponde a una superficie con un paisaje lleno de accidentes: cumbres, valles, puertos, etcétera. Uno de nuestros objetivos es ser capaces de identificar y describir esas caracter´ısticas de la gráfica, al igual que hemos hecho en el caso de las funciones de una variable. Por ejemplo, las cumbres de ese paisaje que forma la gráfica se corresponden con los máximos locales de la función z = f (x, y), y en las aplicaciones resulta muchas veces esencial disponer de un procedimiento para localizar esos máximos con tanta precisión como se desee.

2. Curvas de nivel

Hemos comparado la gráfica de una función z = f (x, y) con un paisaje con un cierto re- lieve. En cartograf´ıa se utilizan las curvas de nivel para incorporar a un mapa (plano) alguna información tridimensional del relieve que corresponde a la zona representada. En esta figura se muestra una parte de un mapa cartográfico del Parque Nacional de Ordesa, en los Pirineos en el que se aprecian con claridad esas curvas de nivel.

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En la esquina superior izquierda de este mapa aparece el Pico Descargador, una curiosa formaci´on geol´ogica en la que la naturaleza parece haber querido representar de modo expl´ıcito la idea de curvas de nivel. He aqu´ı una foto de ese pico:

Las curvas de nivel se obtienen cortando la gr´afica con planos horizontales situados a distintas alturas. En la siguiente figura se muestra una gr´afica (la del ejemplo previo) cortada con dos planos horizontales a distintas alturas.

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Si cortamos la gr´afica con varios de estos planos horizontales obtenemos una serie de curvas situadas sobre la gr´afica:

Y si ahora proyectamos esas curvas sobre el plano xy (lo cual equivale a mirar la gráfica, el paisaje, desde arriba, a vista de pájaro) vemos una familia de curvas planas, que son las curvas de nivel de esta gráfica:

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2.0.1. Ecuaci´on de las curvas de nivel

Un plano horizontal tiene por ecuación: z = c con c constante La intersección de la gráfica de f con el plano horizontal son por tanto los puntos (x, y, z) tales que z = f (x, y) = c. Para entender como es la gráfica de f , sin embargo, lo que nos interesa es la proyección de este conjunto sobre el plano (x, y). Es decir, el conjunto formado por todos los puntos (x, y) del plano en los que f toma el valor c.

Definici´on 2.1. La curva de nivel c de la funci´on z = f (x, y) es el conjunto de puntos (x, y) del plano que cumplen

f (x, y) = c

Es decir, es el conjunto de puntos en los que f vale c. Iremos viendo a lo largo del curso algunas propiedades de las curvas (en general conjuntos) de nivel que los hacen interesantes en s´ı mismos. Además, las curvas de nivel pueden servir, como dec´ıamos, para ayudarnos a visualizar la gráfica de una función z : R² → R. Porque, como hemos dicho, el c-conjunto de nivel es la proyección en el plano xy de la intersección de la gráfica de f con el plano horizontal z = c.

Puesto que en los puntos del conjunto nivel f_c la función vale c, podemos imaginar que tomamos el conjunto de nivel y lo situamos a altura z = c. De esa forma obtenemos una parte de la gráfica de la función. Repitiendo esto para muchos valores de c se obtiene una aproximación a la gráfica de f . Veamos un ejemplo:

Ejemplo 2.2. Dada la funci´on z = f (x, y) = x²+ y², ¿cu´ales son sus curvas de nivel?

Se trata de estudiar los conjuntos:

z_c= {(x, y) ∈ R²/x²+ y²= c}

Y como puede verse, son circunferencias centradas en el origen, de radio√ c.

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En este ejemplo, si subimos cada curva de nivel a la correspondiente altura c se obtiene esta figura:

De hecho la gr´afica de f , representada en un ordenador, es as´ı:

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Se trata de una superficie que se denomina paraboloide circular, de la que hablaremos m´as adelante.

3. Secciones con planos verticales

La información que se obtiene a partir de las curvas de nivel de una función f se puede complementar mediante el estudio de las secciones de dicha gráfica con planos verticales. La ecuación de un plano vertical cualquiera que pasa por el punto (x₀, y₀) es:

a(x − x₀) + b(y − y₀) = 0, (∗) donde a, b son dos coeficientes que deciden la direcci´on del plano.

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Podemos estudiar estas secciones, por ejemplo, usando la ecuación (∗) para despejar y = b + mx. Entonces, un punto que esté a la vez en la gráfica de f y en el plano vertical tiene que cumplir esta relación:

z = f (x, y) = f (x, b + mx)

La cual permite expresar la coordenada z de esos puntos como función sólo de la coordenada x. Esta función de una variable es como las que hemos estudiado en el primer curso de cálculo, y podemos aplicarle todos los métodos que all´ı se aprenden; en particular la idea de derivada, aplicada a estas funciones, nos va a conducir en un cap´ıtulo posterior a las derivadas parciales y direccionales.

Para entender algunas gráficas sencillas, son especialmente útiles las secciones con los planos paralelos a los dos planos coordenados verticales: el plano xz (de ecuación y = 0) y el plano yz (de ecuación x = 0.) En el siguiente ejemplo ilustramos la utilidad de estas secciones.

Ejemplo 3.1. Vamos a tratar de entender la gr´afica de la funci´on g(x, y) =p

x²+ y² Para estudiar sus curvas de nivel plantemos la ecuaci´on:

px²+ y²= c

y descubrimos que (para c > 0) la curva de nivel c es una circunferencia de radio c (para c < 0 es vac´ıa). Eso significa que el conjunto de curvas de nivel en este ejemplo coincide con el de la funci´on

f (x, y) = x²+ y²

ejemplo 2.2. ¡Pero eso no significa que las dos gr´aficas sean iguales! De hecho la misma circun-

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las dos gr´aficas queda de manifiesto si se estudian sus cortes con el plano vertical x = 0. En el caso de f se obtiene

z = f (0, y) = y²

que representa una par´abola en el plano yz. Esto encaja con nuestros anteriores descubrimientos, ya que el corte del paraboloide con el plano yz es precisamente una parabola, como se muestra en la figura:

Sin embargo en la funci´on g el corte con el plano yz produce z = f (0, y) =p

y² = |y|

Por lo tanto el pérfil de la gráfica es éste:

Y un minuto de reflexión, combinando esta información con la forma de las curvas de nivel, convencerá al lector de que la gráfica de g es un cono invertido con vértice en el origen:

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4. Un ejemplo importante: la silla de montar

No queremos cerrar este tema sin presentar un ejemplo que será muy importante más adelante en el curso. Se trata de la función

z = f (x, y) = x²− y² Sus curvas de nivel son la familia de hip´erbolas

x²− y² = c Es decir:

Situando cada una de esas hipérbolas a la altura correspondiente al valor de c se concluye que la gráfica es ésta: