2 MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 1 2 MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO

2.1. Modelado Matemático.

2.2. Descripción Externa/Interna.

2.3. Modelado de Sistemas.

2.4. No linealidades, linealización.

2.1.- MODELADO MATEMÁTICO 2.1.1.- Objetivo

Caracterizar las relaciones existentes entre las magnitudes asociadas al sistema, con el fin de estudiar su evolución temporal (análisis), o reproducir su comportamiento bajo ciertas condiciones (simulación)

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 2 2.1.2.- Parámetros concentrados y Distribuidos

-Entidades ideales (masa puntual, carga concentrada en un punto del espacio etc...) no tienen existencia real, estos elementos idealizados reciben el nombre de elementos de parámetros concentrados.

-En el mundo real, las masas no son puntuales, las resistencias eléctricas presentan un efecto capacitivo e inductivo distribuido a lo largo del componente etc...los modelos que tienen en cuenta este tipo de características se denominan modelos de parámetros distribuidos.

-Los modelos para representar elementos de parámetros distribuidos son complejos, por tanto suelen utilizarse modelos de parámetros concentrados que presenten comportamientos similares a los de parámetros distribuidos.

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 3 2.1.3.- Modelos determistas y no deterministas

-Modelo determinista: Conocido el modelo, el comportamiento del sistema queda determinado por la especificación de las condiciones iniciales y la evolución de las magnitudes de entrada.

-Modelo no determista: Intervienen fenómenos aleatorios, imposibles de modelar y predecir. Se modelan las evoluciones estadísticas de las magnitudes fundamentales del sistema.

2.1.4.- Sistemas variantes o invariantes

Los términos que multiplican a las derivadas pueden o no variar con el tiempo:

t

2

d

d x 2 t d

dx x

+ + = 0 Ec. Inv.

t

2

d

d x + (sint)x = 0 Ec. Variante.

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 4 2.1.5.- Sistema Lineales y No lineales

Sistema lineal: La ecuación diferencial que lo modela es lineal

Ecuación diferencial Lineal: Suma de términos lineales, es decir, términos de primer grado en las variables dependientes y sus derivadas.

2.1.6.- Sistemas L.T.I.

Son Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo, su forma general es:

t

2

d

d x 2 t d

dx x

+ + = 0 Ec. Lineal

t

2

d

d x + x² = sin( )x Ec. No Lineal

ai t

i

d

⋅ d x

i = 0 n

∑ bi t

j

dd u t( )

⋅

j = 0 m

∑

=

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 5 2.2.- DESCRIPCIÓN EXTERNA/INTERNA

-Representaciones que consideran la evolución de las variables de estado: descripciones internas.

-Las ecuaciones que componen una representación interna suelen llamarse modelos de estado.

-Un mismo sistema se puede modelar de diferentes modos.

-Representaciones que únicamente consideran las variables de entrada y salida: descripciones externas.

-Las ecuaciones de las descripciones externas se obtienen eliminando las variables de estado de las ecuaciones diferenciales del sistema.

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 6 Ejemplo

S₀

S₁

S₂ h₁

h₂ C₁

C₂

t d dV₁

S₀ – S₁

=

t d dV₂

S1 – S2

=

V1 C1 h1= ⋅ V2 = C2 h2⋅

S1 h1

R1---

= S2 h2

R2---

=

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 7 2.2.1.- Representación externa

La descripción externa de un sistema LTI suele presentar un aspecto del tipo:

donde la variable dependiente coincide con la variable de salida que se desea estudiar y u(t) representa las señales de entrada.

Si la interacción con el exterior no involucra términos con derivadas la ecuación suele tener el aspecto:

ai t

i

d

⋅ d x

i = 0 n

∑ bi t

j

dd u t( )

⋅

j = 0 m

∑

=

ai t

i

d

⋅d x

i = 0 n

∑ ⁼ b u⋅ ( )t

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 8 2.2.2.- Representación interna: modelo de estado

Usualmente, se utiliza la representación por modelo de estado cuando:

- Interesa conocer la evolución global del sistema.

- Se pretenda trabajar con ecuaciones de primer orden.

- En general para trabajar con sistema MIMO.

Expresión General de un modelo de estado lineal

Un modelo de estado lineal para un sistema LTI adquiere la forma:

-Si se desea asociar un vector salida al modelo, se añade la expresión [ ]x = [ ]A ⋅ [ ]x + [ ]B ⋅ [ ]u

[ ]Y = [ ]C ⋅ [ ]x + [ ]D ⋅ [ ]u

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 9 Conversión de representación externa a modelo de estado

Considerando la ecuación:

Puede definirse un vector de estado de n componentes

en la forma: .

La ecuación diferencial puede escribirse en forma matricial:

Esta forma particular de escribir el modelo de estado se conoce como:

forma canónica de control ai t

i

d

⋅ d y

i = 0 n

∑ ⁼ b u⋅ ( )t

x = [x1, ,… xn]^T x1 ⁼ y ^; x2

t

ddy ; x3

t

2

d

d y…; x n

t

n 1–

dd y ; x·n

t

n

d

= d y

=

=

=

[ ]x·

0 1 0 …

0 0 1 …

0 0 … 1

a₀ –

a_n --- –a₁

a_n

--- … –a_{1n 1–} a_n ---

[ ]x

⋅

0 0 0 b a_n ---

u

⋅ +

= y = [1 0 0, , , ,… 0] ⋅ [ ]x + [ ]0 ⋅ u

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 10 2.3.- MODELADO DE SISTEMAS

2.3.1.- Generalidades

Variables de Acumulación: variables cuyo valor actual es la suma de un valor anterior mas los incrementos debido a ciertas Variables de Flujo.

Variables de Flujo: Representan el incremento de una variable de acumulación por unidad de tiempo.

Ecuación General

-Capital (dinero) -Nº de habitantes

-Productos almacenados -Habitantes infectados

-Pedidos -Ventas

-Ingresos -Gastos

-Nacimiento -Muertes

t d

dx = ∑F p( 1…p2) x : variable de acumulación

F : variable de flujo

p_i: variables auxiliares -T. nacimiento

-Intereses bancarios -Discrepancias

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 11 2.3.2.- Evolución de una Población

N = Número de habitantes: Variable de acumulación

F₁ = Número de nacimientos/unidad de tiempo: Variable de Flujo F₂= Número de muertes/unidad de tiempo: Variable de Flujo

µ = Tasa de nacimiento (Nacimiento/habitante): Variable Auxiliar

β = Tasa de mortandad (Muerte/por habitante): Variable Auxiliar

µ = cte; β = cte; dt

dN– (µ β– ) ⋅ ^N = 0 Modelado de distintas situaciones

a) Recursos ilimitados:

β = cte; µ = µ₀ - (µ₁ · N); dt

dN = ((µ0 – β) µ– 1 ⋅ N) ⋅ N b) Recursos limitados:

F₂(β) -

+ F₁(µ)

+ N

+

+ -

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 12 2.3.3.- Gestión de un Almacén

x = Cantidad almacenada de un producto: Variable de acumulación F₁ = Pedidos al distribuidor/unidad de tiempo: Variable de Flujo F₂= Ventas realizadas/unidad de tiempo: Variable de Flujo

x_d= valor deseado para x: Variable Auxiliar D(t) = xd - x(t): Variable Auxiliar

Modelado de distintas políticas de pedidos a) F₁= cte.

t d

dx = F1 ^– F2( )t b) F₁= k·D.

t d

dx + k x⋅ = k x⋅ ^{d –}F₂( )t c) F₁= k₁·D(t)+k₂·

t

2

d

d x k1

t d

⋅ dx +k2 ⋅ x

+ k2 ⋅ xd

t d dF₂

= –

x F₂ +

_ + _ D F₁

x_d -

+

D dt⋅

∫

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 13 2.3.4.- Sistemas eléctricos

Ecuación de flujo:

q = Carga: Variable de acumulación I = Intensidad: Variable de Flujo

Resistencia:

Elemento por el que circula una corriente eléctrica proporcional a la diferencia de potencial existente en sus extremos. Como consecuencia de ello disipa energía calorífica.

t d

dq = I

v₂ v₁

v1 – v2

( ) R I⋅ R

t d

⋅ dq

= =

Ecuación: Ley de Ohm

v₂ v₁

v₁-v₂ > 0; I > 0

v₁-v₂ < 0; I < 0

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 14 Condensador:

Elemento que acumula carga eléctrica. Dicha carga es proporcional a la diferencia de potencial existente en sus extremos.

Ejemplo

C (v1 – v2) q

C---- Ecuación: =

v₂ v₁

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 15 2.3.5.- Sistemas mecánicos translacionales

Ecuación de flujo: Ley de Newton

Muelle con un solo extremo móvil

Rozamiento viscoso y amortiguador

M x (posición)

v (velocidad) a (aceleración)

F ΣF M a⋅ M

t d

⋅ dv M

t

2

d

⋅ d x

= = =

k

x

F

0

F2 = ^–k ⋅ x Ecuación:

F x· Ecuación:

F = ^–µ ⋅ x· x· F

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 16 2.3.6.- Sistemas mecánicos rotacionales

Se considerará la mecánica que describe los giros realizados por los sólidos rígidos alrededor de su eje principal de inercia.

θ(t) ángulo girado; ω(t) velocidad angular

τ par aplicado; Ι Momento de Inercia respecto al eje Ecuación de flujo:

Εje θ

ω

F F r

F

τ = F r⋅

I θ (ángulo)

ω (velocidad) α (aceleración)

τ Στ I ⋅ α I

t d dω

⋅ I

t

2

d d θ

⋅

= = =

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 17 Engranajes y cajas de reducción

- Un conjunto de engranajes se representa por una ganancia que es igual a la proporción entre los radios de los engranajes:

τ1

τ²

--- k r₁ r2

---

– θ2

θ¹

= = = ----

τ

k τ

τ

1/k τ

= - τ

τ₁ τ₂

τ_1r τ_2r

Sitema 1 Sitema 2

Sitema 2 Sitema 1

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 18 2.3.7.- Sistemas electromecánicos

Motores:

Elementos que transforman energía eléctrica en energía mecánica.

V₁

V₂

R L

i

ω, τ

k_p k_c V_ce

µ LJ J

---kp t

2 d d ω

⋅ Lµ

---kp RJ ---kp

 + 

 

t d

d ω Rµ

--- kckp +

 

 ω

+

+ = ∆V

Motor

ω

∆^V

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 19 2.3.8.- Sistemas Hidráulicos

Ecuación de flujo

Tuberías: Circula líquido debido a una diferencia de presión; pueden asociarse con válvulas o con grifos

Qi

C Qo

t d

dV = Q_i – Q_o V = C h⋅

C dt

⋅ d ( )h = Q_i – Q_o

}

P

P₁ P₂

K₁ Q t( ) = kp ⋅ P₁ – P₂

Q(t): Flujo de líquido en el instante t

P₁,P₂: Presión en cada uno de los extremos Ecuación de regimen turbulento:

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 20 Ecuación en régimen turbulento

2.4.- No linealidades, linealización

-La mayoría de los fenómenos del mundo real presentan características no lineales.

-Los sistemas lineales resultan convenientes por la sencillez en su tratamiento y análisis. Las ecuaciones con no linealidades son de difícil tratamiento.

Qi

S Qo

C dt

⋅ dH = Q_i – Q_o = Q_i – k2p ⋅ H

P C

t d

⋅ dH+ k2p⋅ H = Q_i

H Ecuación no lineal

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 21 -Los sistemas suelen evolucionar entorno a un punto de trabajo

punto de trabajo

-Una función no lineal puede aproximarse en un determinado rango por una función no lineal. A este procedimiento se le llama linealización.

-El modelo linealizado:

* Mantiene las características del sistema en el entorno del punto de trabajo.

* Es posible tratarlo con la facilidad de los sistemas lineales.

* Tiene asociado un error que será mayor cuanto mas se aleje el sistema del punto de trabajo.

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 22