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2 MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO

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(1)

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 1 2 MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO

2.1. Modelado Matemático.

2.2. Descripción Externa/Interna.

2.3. Modelado de Sistemas.

2.4. No linealidades, linealización.

2.1.- MODELADO MATEMÁTICO 2.1.1.- Objetivo

Caracterizar las relaciones existentes entre las magnitudes asociadas al sistema, con el fin de estudiar su evolución temporal (análisis), o reproducir su comportamiento bajo ciertas condiciones (simulación)

(2)

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 2 2.1.2.- Parámetros concentrados y Distribuidos

-Entidades ideales (masa puntual, carga concentrada en un punto del espacio etc...) no tienen existencia real, estos elementos idealizados reciben el nombre de elementos de parámetros concentrados.

-En el mundo real, las masas no son puntuales, las resistencias eléctricas presentan un efecto capacitivo e inductivo distribuido a lo largo del componente etc...los modelos que tienen en cuenta este tipo de características se denominan modelos de parámetros distribuidos.

-Los modelos para representar elementos de parámetros distribuidos son complejos, por tanto suelen utilizarse modelos de parámetros concentrados que presenten comportamientos similares a los de parámetros distribuidos.

(3)

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 3 2.1.3.- Modelos determistas y no deterministas

-Modelo determinista: Conocido el modelo, el comportamiento del sistema queda determinado por la especificación de las condiciones iniciales y la evolución de las magnitudes de entrada.

-Modelo no determista: Intervienen fenómenos aleatorios, imposibles de modelar y predecir. Se modelan las evoluciones estadísticas de las magnitudes fundamentales del sistema.

2.1.4.- Sistemas variantes o invariantes

Los términos que multiplican a las derivadas pueden o no variar con el tiempo:

t

2

d

d x 2 t d

dx x

+ + = 0 Ec. Inv.

t

2

d

d x + (sint)x = 0 Ec. Variante.

(4)

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 4 2.1.5.- Sistema Lineales y No lineales

Sistema lineal: La ecuación diferencial que lo modela es lineal

Ecuación diferencial Lineal: Suma de términos lineales, es decir, términos de primer grado en las variables dependientes y sus derivadas.

2.1.6.- Sistemas L.T.I.

Son Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo, su forma general es:

t

2

d

d x 2 t d

dx x

+ + = 0 Ec. Lineal

t

2

d

d x + x2 = sin( )x Ec. No Lineal

ai t

i

d

d x

i = 0 n

bi t

j

dd u t( )

j = 0 m

=

(5)

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 5 2.2.- DESCRIPCIÓN EXTERNA/INTERNA

-Representaciones que consideran la evolución de las variables de estado: descripciones internas.

-Las ecuaciones que componen una representación interna suelen llamarse modelos de estado.

-Un mismo sistema se puede modelar de diferentes modos.

-Representaciones que únicamente consideran las variables de entrada y salida: descripciones externas.

-Las ecuaciones de las descripciones externas se obtienen eliminando las variables de estado de las ecuaciones diferenciales del sistema.

(6)

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 6 Ejemplo

S0

S1

S2 h1

h2 C1

C2

t d dV1

S0S1

=

t d dV2

S1S2

=

V1 C1 h1= V2 = C2 h2

S1 h1

R1---

= S2 h2

R2---

=

(7)

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 7 2.2.1.- Representación externa

La descripción externa de un sistema LTI suele presentar un aspecto del tipo:

donde la variable dependiente coincide con la variable de salida que se desea estudiar y u(t) representa las señales de entrada.

Si la interacción con el exterior no involucra términos con derivadas la ecuación suele tener el aspecto:

ai t

i

d

d x

i = 0 n

bi t

j

dd u t( )

j = 0 m

=

ai t

i

d

d x

i = 0 n

= b u ( )t

(8)

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 8 2.2.2.- Representación interna: modelo de estado

Usualmente, se utiliza la representación por modelo de estado cuando:

- Interesa conocer la evolución global del sistema.

- Se pretenda trabajar con ecuaciones de primer orden.

- En general para trabajar con sistema MIMO.

Expresión General de un modelo de estado lineal

Un modelo de estado lineal para un sistema LTI adquiere la forma:

-Si se desea asociar un vector salida al modelo, se añade la expresión [ ]x = [ ]A ⋅ [ ]x + [ ]B ⋅ [ ]u

[ ]Y = [ ]C ⋅ [ ]x + [ ]D ⋅ [ ]u

(9)

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 9 Conversión de representación externa a modelo de estado

Considerando la ecuación:

Puede definirse un vector de estado de n componentes

en la forma: .

La ecuación diferencial puede escribirse en forma matricial:

Esta forma particular de escribir el modelo de estado se conoce como:

forma canónica de control ai t

i

d

d y

i = 0 n

= b u ( )t

x = [x1, ,… xn]T x1 = y ; x2

t

ddy ; x3

t

2

d

d y; x n

t

n 1

dd y ; x·n

t

n

d

= d y

=

=

=

[ ]

0 1 0

0 0 1

0 0 1

a0

an --- a1

an

--- a1n 1 an ---

[ ]x

0 0 0 b an ---

u

+

= y = [1 0 0, , , ,… 0] ⋅ [ ]x + [ ]0 ⋅ u

(10)

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 10 2.3.- MODELADO DE SISTEMAS

2.3.1.- Generalidades

Variables de Acumulación: variables cuyo valor actual es la suma de un valor anterior mas los incrementos debido a ciertas Variables de Flujo.

Variables de Flujo: Representan el incremento de una variable de acumulación por unidad de tiempo.

Ecuación General

-Capital (dinero) -Nº de habitantes

-Productos almacenados -Habitantes infectados

-Pedidos -Ventas

-Ingresos -Gastos

-Nacimiento -Muertes

t d

dx = ∑F p( 1p2) x : variable de acumulación

F : variable de flujo

pi: variables auxiliares -T. nacimiento

-Intereses bancarios -Discrepancias

(11)

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 11 2.3.2.- Evolución de una Población

N = Número de habitantes: Variable de acumulación

F1 = Número de nacimientos/unidad de tiempo: Variable de Flujo F2= Número de muertes/unidad de tiempo: Variable de Flujo

µ = Tasa de nacimiento (Nacimiento/habitante): Variable Auxiliar

β = Tasa de mortandad (Muerte/por habitante): Variable Auxiliar

µ = cte; β = cte; dt

dN– (µ β– ) ⋅ N = 0 Modelado de distintas situaciones

a) Recursos ilimitados:

β = cte; µ = µ0 - 1 · N); dt

dN = ((µ0 – β) µ– 1N) ⋅ N b) Recursos limitados:

F2(β) -

+ F1(µ)

+ N

+

+ -

(12)

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 12 2.3.3.- Gestión de un Almacén

x = Cantidad almacenada de un producto: Variable de acumulación F1 = Pedidos al distribuidor/unidad de tiempo: Variable de Flujo F2= Ventas realizadas/unidad de tiempo: Variable de Flujo

xd= valor deseado para x: Variable Auxiliar D(t) = xd - x(t): Variable Auxiliar

Modelado de distintas políticas de pedidos a) F1= cte.

t d

dx = F1 F2( )t b) F1= k·D.

t d

dx + k x⋅ = k xd F2( )t c) F1= k1·D(t)+k2·

t

2

d

d x k1

t d

dx +k2x

+ k2xd

t d dF2

=

x F2 +

_ + _ D F1

xd -

+

D dt

(13)

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 13 2.3.4.- Sistemas eléctricos

Ecuación de flujo:

q = Carga: Variable de acumulación I = Intensidad: Variable de Flujo

Resistencia:

Elemento por el que circula una corriente eléctrica proporcional a la diferencia de potencial existente en sus extremos. Como consecuencia de ello disipa energía calorífica.

t d

dq = I

v2 v1

v1v2

( ) R IR

t d

dq

= =

Ecuación: Ley de Ohm

v2 v1

v1-v2 > 0; I > 0

v1-v2 < 0; I < 0

(14)

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 14 Condensador:

Elemento que acumula carga eléctrica. Dicha carga es proporcional a la diferencia de potencial existente en sus extremos.

Ejemplo

C (v1v2) q

C---- Ecuación: =

v2 v1

(15)

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 15 2.3.5.- Sistemas mecánicos translacionales

Ecuación de flujo: Ley de Newton

Muelle con un solo extremo móvil

Rozamiento viscoso y amortiguador

M x (posición)

v (velocidad) a (aceleración)

F ΣF M aM

t d

dv M

t

2

d

d x

= = =

k

x

F

0

F2 = kx Ecuación:

F Ecuación:

F = µ ⋅ F

(16)

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 16 2.3.6.- Sistemas mecánicos rotacionales

Se considerará la mecánica que describe los giros realizados por los sólidos rígidos alrededor de su eje principal de inercia.

θ(t) ángulo girado; ω(t) velocidad angular

τ par aplicado; Ι Momento de Inercia respecto al eje Ecuación de flujo:

Εje θ

ω

F F r

F

τ = F r

I θ (ángulo)

ω (velocidad) α (aceleración)

τ Στ I ⋅ α I

t d dω

I

t

2

d d θ

= = =

(17)

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 17 Engranajes y cajas de reducción

- Un conjunto de engranajes se representa por una ganancia que es igual a la proporción entre los radios de los engranajes:

τ1

τ2

--- k r1 r2

---

θ2

θ1

= = = ----

τ

1

k τ

2

τ

1r

1/k τ

2r

= - τ

2

τ1 τ2

τ1r τ2r

Sitema 1 Sitema 2

Sitema 2 Sitema 1

(18)

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 18 2.3.7.- Sistemas electromecánicos

Motores:

Elementos que transforman energía eléctrica en energía mecánica.

V1

V2

R L

i

ω, τ

kp kc Vce

µ LJ J

---kp t

2 d d ω

Lµ

---kp RJ ---kp

+

t d

d ω Rµ

--- kckp +

ω

+

+ = V

Motor

ω

V

(19)

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 19 2.3.8.- Sistemas Hidráulicos

Ecuación de flujo

Tuberías: Circula líquido debido a una diferencia de presión; pueden asociarse con válvulas o con grifos

Qi

C Qo

t d

dV = QiQo V = C h

C dt

d ( )h = QiQo

}

P

P1 P2

K1 Q t( ) = kp P1P2

Q(t): Flujo de líquido en el instante t

P1,P2: Presión en cada uno de los extremos Ecuación de regimen turbulento:

(20)

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 20 Ecuación en régimen turbulento

2.4.- No linealidades, linealización

-La mayoría de los fenómenos del mundo real presentan características no lineales.

-Los sistemas lineales resultan convenientes por la sencillez en su tratamiento y análisis. Las ecuaciones con no linealidades son de difícil tratamiento.

Qi

S Qo

C dt

dH = QiQo = Qik2p H

P C

t d

dH+ k2p H = Qi

H Ecuación no lineal

(21)

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 21 -Los sistemas suelen evolucionar entorno a un punto de trabajo

punto de trabajo

-Una función no lineal puede aproximarse en un determinado rango por una función no lineal. A este procedimiento se le llama linealización.

-El modelo linealizado:

* Mantiene las características del sistema en el entorno del punto de trabajo.

* Es posible tratarlo con la facilidad de los sistemas lineales.

* Tiene asociado un error que será mayor cuanto mas se aleje el sistema del punto de trabajo.

(22)

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 22

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