Fundamentos
Administración Financiera
MDF. David A. Robalino Ch.
VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO:
VALOR PRESENTE Y FUTURO
MDF. David A. Robalino Ch.
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
• Analizar el papel del valor del tiempo en las finanzas, el uso de herramientas computacionales y los patrones básicos del flujo de efectivo.
• Entender los conceptos de valor futuro y valor presente, su cálculo para montos únicos y la relación entre ellos.
• Calcular el valor futuro y el valor presente tanto de una anualidad ordinaria como de una anualidad anticipada, y calcular el valor presente de una perpetuidad.
• Calcular tanto el valor futuro como el valor presente de un ingreso mixto de flujos de efectivo.
• Comprender el efecto que produce la capitalización de los intereses, con una frecuencia mayor que la anual, sobre el valor futuro y sobre la tasa de interés efectiva anual.
La Matemática Financiera es el campo de las matemáticas aplicadas, que analiza, valora y calcula materias relacionadas con los mercados financieros, y especialmente, el valor del dinero en el tiempo.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
El VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
• Es un concepto basado en la premisa de que un inversor prefiere recibir un pago de una suma fija de dinero hoy, en lugar de recibir el mismo a una fecha futura que quedare igual si se usa o no se usa.
• En particular, si se recibe hoy una suma de dinero, se puede obtener interés sobre ese dinero. Adicionalmente, debido al efecto de inflación, en el futuro esa misma suma de dinero perderá poder de compra.
• INTERÉS.- El rendimiento que proporciona el enajenamiento temporal del dinero, es decir, el importe del alquiler del dinero.
• Como importe de alquiler que es, el interés debe referirse a períodos de tiempo y según el capital comprometido.
• La tasa de interés es el rendimiento producido por la unidad de capital en la unidad de tiempo.
TIPOS DE INTERESES Y FÓRMULAS
P = valor o suma de dinero en tiempo presente [unidades monetarias]
F = valor o suma de dinero en algún tiempo futuro [unidades monetarias]
A = serie consecutiva de cantidades iguales de dinero al final de cada período [unidades monetarias por unidad de tiempo]
n ó t = número de períodos [unidades de tiempo]
r ó i= tasa de interés por período [porcentaje por unidad de tiempo]
I = interés producido por el préstamo o la inversión [unidades monetarias]
Terminología básica
INTERÉS SIMPLE
Cuando una persona (prestamista) le presta a otra (prestatario) un dinero hoy, espera que en un futuro el prestatario se lo devuelva, pero que además le dé una cantidad adicional en contraprestación, esto es el interés.
Fórmula Interés Simple 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒆𝒔: 𝑰 = 𝑷 ∗ 𝒓 ∗ 𝒕
𝑪𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒂𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒅𝒂: 𝑭 ó 𝑨 = 𝑷 𝟏 + 𝒓𝒕
Interés = Cantidad x Tipo de Interés x Plazo
Interés (I).- Como el importe que se percibirá o pagará en contraprestación.
Cantidad (P).- Como el importe sobre el que se pagará o cobrará intereses.
Tipo de interés (r).- Como la tasa o porcentaje que se cobrará o pagará si la operación dura un año.
Plazo (t).- Como la duración de la operación, expresado en cantidad de años.
Cantidad Acumulada (A).- Cantidad acumulada o Futuro (F)
F = ? i %
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 meses
P
Otras Fórmulas despejando Interés Simple:
INTERÉS SIMPLE
Plazo (t).- Como la duración de la operación, expresado en cantidad de años Cantidad (P).- Como el importe sobre el que se pagará o cobrará intereses
Tipo de interés (r).- Como la tasa o porcentaje que se cobrará o pagará si la operación dura un año.
NOTA. Para aplicar las fórmulas anteriores, es preciso que los datos de la tasa de interés y el tiempo se refieran a la misma unidad de medida, es decir, si el interés es anual, el tiempo se expresará anualmente; si el tiempo se encuentra expresado mensualmente, habrá que obtener el interés por mes.
𝑷 = 𝐼 𝑟𝑡
𝒕 = 𝐼 𝑃𝑟 𝒓 = 𝐼
𝑃𝑡
Fórmula Monto ó Futuro Simple El monto es el valor que adquiere una cantidad invertida, a lo largo de un tiempo y es denominado como valor futuro o monto.
Fórmula Valor Presente Simple Es la cantidad inicial con la que se realiza una inversión ó préstamo, misma que representa la base sobre la cual se generan los intereses
INTERÉS SIMPLE
𝐼 = 𝑃 ∗ 𝑟 ∗ 𝑡 2.1
𝐹 = 𝑃 + 𝐼 2.2
𝐹 = 𝑃 ( 1 + 𝑟𝑡)
𝐹 = 𝑃 + 𝑃 ∗ 𝑟 ∗ 𝑡 Reemplazar 2.1 en 2.2
𝑃 = 𝐹
1 + 𝑟𝑡
Nota.- Monto (M) ó Futuro (F).
EJERCICIO / INTERÉS SIMPLE
Juan David tiene un capital de $ 2.000.000. Invierte el 60% de este capital a una tasa del 36% anual simple y el capital restante al 2.0%
mensual simple. Calcular el valor de los intereses mensuales
simples.
Juan David tiene un capital de $ 2.000.000. Invierte el 60% de este capital a una tasa del 36% anual simple y el capital restante al 2.0% mensual simple. Calcular el valor de los intereses mensuales simples.
El 60% de $ 2.000.000 = $ 1.200.000
Juan David invierte su capital de la siguiente forma:
• $ 1.200.000 a una tasa del 36% anual simple.
• $ 800.000 a una tasa del 2.0% mensual simple.
Cálculo del interés mensual simple de $ 1.2000.000.
Cálculo del interés mensual simple de $ 800.000.
El interés total recibido cada mes es igual a la suma de los intereses parciales:
El tiempo es 1/12 porque se solicita el cálculo de un mes por intereses simples.
EJERCICIO / INTERÉS SIMPLE
𝑰 = 1.200.000 ∗ 0.3612 ∗ 1 = $36.000 𝑰 = 800.000 ∗ 0.02 ∗ 1 = $16.000
𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒆𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍 = $36.000 + $16.000 = $52.000
Si usted desea invertir sus ahorros de $10.000 a 10 meses, a una tasa de interés simple del 5%, a cuánto ascendería el monto de interés ganado y cuánto sería el monto que recibiría al término de la inversión?
EJERCICIO / INTERÉS SIMPLE
Si usted desea invertir sus ahorros de $10.000 a 10 meses, a una tasa de interés simple del 5%, a cuánto ascendería el monto de interés ganado y cuánto sería el monto que recibiría al término de la inversión?
P = $10.000 I = $416,67
i = (5%/12)*10 M = P + I = $10.416,67 n = 10 meses
EJERCICIO / INTERÉS SIMPLE
EJERCICIO / INTERÉS SIMPLE Y APLICACIÓN DEL VALOR PRESENTE
Qué oferta es más conveniente para el comprador de un activo fijo:
$4.000 iniciales y $6.000 después de seis meses ó $6.000 iniciales y
$4.000 después de un año? Suponer un interés simple del 6%.
EJERCICIO / INTERÉS SIMPLE Y APLICACIÓN DEL VALOR PRESENTE
Qué oferta es más conveniente para el comprador de un activo fijo:
$4.000 iniciales y $6.000 después de seis meses ó $6.000 iniciales y
$4.000 después de un año? Suponer un interés simple del 6%.
Trabajo en Clase
EJERCICIO / INTERÉS SIMPLE
Una recién graduada de la universidad trabaja en Boeing Aerospace.
Tiene planes de solicitar un préstamo de $10 000 ahora para adquirir
un automóvil. Decide que reembolsará todo el principal más 8% de
intereses anuales después de 5 años. Identifique los símbolos de
ingeniería económica necesarios para resolver el problema, así como
los valores que tienen para el adeudo total después de 5 años.
EJERCICIO / INTERÉS SIMPLE
Una recién graduada de la universidad trabaja en Boeing Aerospace. Tiene planes de solicitar un préstamo de $10 000 ahora para adquirir un automóvil. Decide que reembolsará todo el principal más 8% de intereses anuales después de 5 años. Identifique los símbolos de ingeniería económica necesarios para resolver el problema, así como los valores que tienen para el adeudo total después de 5 años.
Solución
En este caso, están involucradas P y F, ya que todas las cantidades son pagos únicos, así como i y n. El tiempo está expresado en años.
P = $10 000 i = 8% anual n = 5 años I = $4000
Se desconoce la cantidad futura F=? F(ó M)=14 000
EJERCICIO / INTERÉS SIMPLE
El año pasado la abuela de Jane ofreció depositar suficiente dinero en
una cuenta de ahorros que generará $1 000 este año para ayudar a
Jane con los gastos de la universidad. Calcule la cantidad que se
depositó hace exactamente un año para ganar $1 000 de intereses
ahora, si la tasa de retorno es de 6% anual.
EJERCICIO / INTERÉS SIMPLE
El año pasado la abuela de Jane ofreció depositar suficiente dinero en una cuenta de ahorros que generará $1 000 este año para ayudar a Jane con los gastos de la universidad. Calcule la cantidad que se depositó hace exactamente un año para ganar $1 000 de intereses ahora, si la tasa de retorno es de 6% anual.
Remitiéndose a las ecuaciones F = monto total hoy y P = cantidad original.
Sabemos que F – P = $1 000 es el interés acumulado.
Ahora se determina P para Jane y su abuela.
F = P + P(tasa de interés)
Los $1 000 de interés pueden expresarse de la siguiente manera:
Interés = F – P = [P + P(tasa de interés)] – P
= P(tasa de interés)
$1 000 = P(0.06) P = $1000/0.06 = 16,666.67
INTERÉS COMPUESTO
INTERÉS COMPUESTO
Con la aplicación del interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la capitalización del dinero en el tiempo.
Es el monto sobre la base inicial
Intereses
acumulados en periodos anteriores
El interés compuesto (llamado también interés sobre intereses), es aquel que al final del período capitaliza los intereses causados en el período inmediatamente anterior.
En el interés compuesto el capital cambia al final de cada periodo, debido a que los intereses se adicionan al capital para formar un nuevo capital sobre el cual se calculan los intereses.
CAPITALIZACIÓN
Es el proceso de ir del valor actual
Al Valor Futuro
La capitalización proceso mediante el cual los intereses que se van causando periódicamente se suman al capital anterior.
Periodo de Capitalización (n).- Período pactado para convertir el interés en capital;
puede ser anual, semestral, trimestral, mensual, etc.
Frecuencia de Capitalización ó conversión (fc).- Número de veces que, en un año, el interés se suma al capital.
Tasa de interés por periodo (r).-
CAPITALIZACIÓN
Periodo de Conversión de Tasa Nominal.
Fórmula Interés Compuesto
CAPITALIZACIÓN
EJEMPLO: ¿Cuál es la frecuencia de conversión y la tasa interés por periodo (r) al 60% anual capitalizable mensualmente, de una operación cualesquiera?
EJEMPLO: ¿Cuál es la frecuencia de conversión (fc) para un depósito bancario que paga el 5%
de interés capitalizable trimestralmente?
EJEMPLO: Si un documento ofrece pagos semestrales y tiene una duración de 3 años.
¿Cuánto vale m y n?
fc= 12/6 n= m x t
fc= 2 semestres en 1 año n= 2 * 3 Años = 6 periodos
CAPITALIZACIÓN
CAPITALIZACIÓN
NOTA:
Es muy importante que para la solución de problemas de interés compuesto, el interés anual sea convertido a la tasa que corresponda de acuerdo al periodo de capitalización que se establezca.
Al realizar un cálculo de interés compuesto es necesario que la tasa de interés esté expresada en la misma unidad de tiempo que el periodo de capitalización; Si no se especifica el periodo de referencia, éste se debe entender en forma anual.
VALOR PRESENTE (VP)
El valor presente del dinero es el valor actual neto de una cantidad que recibiremos en el futuro y está dado por:
VALOR PRESENTE A INTERÉS COMPUESTO
El señor Pedro Picapiedra necesita disponer de $ 300.000 dentro de 6 meses para el pago de la matrícula de su hijo. Si una corporación le ofrece el 3.5% mensual, ¿cuánto deberá depositar hoy para lograr su objetivo?
EJERCICIO
El señor Pedro Picapiedra necesita disponer de $ 300.000 dentro de 6 meses para el pago de la matrícula de su hijo. Si una corporación le ofrece el 3.5% mensual,
¿cuánto deberá depositar hoy para lograr su objetivo?
EJERCICIO
Aplicando la fórmula:
VALOR PRESENTE A INTERÉS COMPUESTO
EJERCICIO VALOR FUTURO INTERÉS COMPUESTO
Cuánto recibirá luego de 6 meses si se depositó $ 1000 en una cuenta de ahorros con una tasa de 1.35% capitalizable mensualmente.
EJERCICIO
EJERCICIO VALOR FUTURO INTERÉS COMPUESTO
Cuánto recibirá luego de 6 meses si se depositó $ 1000 en una cuenta de ahorros con una tasa de 1.35% capitalizable mensualmente.
F = 1,083.78
EJERCICIO
VALOR FUTURO A INTERÉS COMPUESTO
Se invierten $ 1.000.000 durante 6 meses en una corporación que reconoce una tasa de interés del 3% mensual. Se desea saber, ¿cuánto dinero se tendrá acumulado al final del sexto mes?
EJERCICIO
Se invierten $ 1.000.000 durante 6 meses en una corporación que reconoce una tasa de interés del 3% mensual. Se desea saber, ¿cuánto dinero se tendrá acumulado al final del sexto mes?
El valor acumulado al final del sexto mes también se lo puede calcular con la siguiente fórmula de valor Futuro:
VALOR FUTURO A INTERÉS COMPUESTO
EJERCICIO
INTERÉS DE UN CAPITAL A INTERÉS COMPUESTO
INTERÉS DE UN CAPITAL A INTERÉS COMPUESTO
FÓRMULAS DE INTERÉS COMPUESTO
CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERIODOS
VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO:
ANUALIDADES
Anualidades o series uniformes
DEFINICIÓN
Las anualidades son una serie de pagos iguales, realizados en forma periódica, es decir, a intervalos de tiempo iguales.
TÉRMINOS:
• Renta o pago.- Es el pago periódico y de igual valor.
• Período de Renta.- Es el tiempo que transcurre entre
dos pagos.
Anualidades o series uniformes
CONDICIONES PARA QUE UNA SERIE DE PAGOS SEA UNA ANUALIDAD Para que un conjunto de pagos se considere una anualidad debe cumplir con las siguientes condiciones:
• Todos los pagos (rentas) deben ser iguales.
• Todos los pagos deben ser periódicos.
• A todos los pagos (rentas) se les aplica la misma tasa de interés
• El número de pagos debe ser igual al número de períodos.
Anualidades o series uniformes
es aquella en que los pagos se hacen al final del período.
es la suma de los valores presentes de todos los pagos.
EJEMPLO
Se calcula el valor presente de las 12 cuotas iguales, que quedará ubicado al principio del período en el que se hace el primer pago.
EJEMPLO
El valor del vehículo será igual al valor presente de los 12 pagos iguales más la cuota inicial.
Es un valor ubicado en la fecha del último pago, equivalente a toda la serie de pagos
EJEMPLO
Otras Fórmulas de anualidades vencidas:
Es el número de cuotas necesarias para amortizar una obligación. Dependiendo de que valores durante la operación se conozca, ya sea valor presente ó futuro se utiliza las siguientes fórmulas:
Es aquella en la cual los pagos se hacen al principio de cada período.
El valor presente de una serie de pagos iguales anticipados será el valor, que en el momento de realizada la operación financiera sea equivalente a toda la serie.
EJEMPLO
Ejercicios
1. Un bono hipotecario con valor nominal de $10 000 tiene una tasa de interés de 6% anual que se paga en forma trimestral. ¿Cuáles son el monto y la frecuencia de los pagos del interés?
2. ¿Cuál es el valor nominal de un bono municipal que tiene una tasa de interés de 4% anual, con el pago de intereses por $800 semestralmente?
3. ¿Cuál es la tasa de interés de un bono de $20 000 que tiene pagos de los intereses de $1 500 semestrales y una fecha de vencimiento de 20 años?
4. ¿Cuál es el valor presente de un bono de $50 000 cuyo interés es de 10%
anual, pagadero en forma trimestral? El bono vence en 20 años. La tasa de interés en el mercado es de 10% anual, compuesto trimestralmente.
Ejercicios
5. ¿Qué valor presente tiene un bono municipal de $50 000, con una tasa de interés de 4% anual, con pagos trimestrales? El bono vence en 15 años y la tasa de interés en el mercado es de 8% anual, compuesta trimestralmente.
6. General Electric emitió 100 bonos certificados hace tres años con valor nominal de $5 000 cada uno e intereses de 8% anual pagaderos en forma semestral. Los bonos tienen una fecha de vencimiento de 20 años a partir de la fecha en que se emitieron. Si la tasa de interés en el mercado es de 10% anual, compuesta semestralmente, ¿cuál sería el valor presente de un bono para un inversionista que quisiera comprarlo hoy?
