Un Curso de Análisis Funcional. Demetrio Stojanoff

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Un Curso de An´ alisis Funcional

Demetrio Stojanoff

October 17, 2011

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´ Indice

I An´ alisis funcional b´ asico 5

1 Espacios normados 6

1.1 Normas de vectores, funcionales y operadores. . . 6

1.2 Ejemplos m´as famosos. . . 14

1.3 C´alculo de algunos duales. . . 21

1.4 El lema de Riesz. . . 24

1.5 Isomorfismos. . . 26

1.6 Subespacios finitodimensionales. . . 28

1.7 Cocientes. . . 30

1.8 Algunos ejemplos de operadores. . . 33

1.9 Ejercicios del Cap. 1 - Espacios Normados . . . 37

2 Funcionales y Operadores 46 2.1 Hahn Banach: El dual es grande. . . 46

2.2 Recordando Baires. . . 52

2.3 Teorema de la imagen abierta. . . 54

2.4 Teorema del gr´afico cerrado. . . 57

2.5 Principio de acotaci´on uniforme. . . 59

2.6 Dualidad y adjuntos. . . 63

2.7 Proyectores y subespacios complementados . . . 69

2.8 Ejercicios del Cap. 2 - Funcionales y Operadores . . . 75

3 Espacios de Hilbert 83 3.1 Preliminares. . . 83

3.2 Ortogonalidad. . . 85

3.3 Teorema de representaci´on de Riesz. . . 89

3.4 P i∈I . . . 90

3.5 Bases ortonormales. . . 94

3.6 Stone-Weierstrass . . . 99

3.7 Series de Fourier. . . 102

3.8 Ejercicios del Cap. 3 - Espacio de Hibert . . . 105

(3)

4 Operadores en espacios de Hilbert 109

4.1 El adjunto. . . 109

4.2 Clases de operadores. . . 113

4.3 Positivos. . . 117

4.4 La ra´ız cuadrada . . . 118

4.5 Descomposici´on polar. . . 123

4.6 Subespacios invariantes y matrices . . . 128

4.7 Operadores de rango finito. . . 132

4.8 Ejercicios del Cap 4: Operadores en EH’s . . . 136

5 Espacios localmente convexos 143 5.1 Seminormas . . . 143

5.2 Espacios localmente convexos. . . 148

5.3 Hahn Banach versi´on separaci´on . . . 150

5.4 Krein-Milman . . . 151

5.5 Topolog´ıas d´ebiles en espacios normados y ELC’s . . . 154

5.6 Alaoglu . . . 159

5.7 Una caracterizaci´on de la reflexividad . . . 162

5.8 Miscel´anea . . . 163

5.9 Ejercicios del Cap 5: ELC’s . . . 165

II Teor´ıa espectral. 169

6 Espectro 170 6.1 Algebras de Banach . . . 170´

6.2 Ejemplos y ejercicios . . . 177

6.2.1 El espectro depende del ´algebra . . . 179

6.2.2 Gelfand . . . 180

6.3 Espectro de operadores . . . 183

6.4 Espectro de autoadjuntos . . . 185

6.5 C´alculo funcional continuo . . . 189

6.6 Espectro dividido . . . 194

6.7 Propiedades de la ra´ız cuadrada positiva . . . 197

6.8 Ejercicios del Cap. 6 - Espectro . . . 201

7 Operadores compactos 209 7.1 Definiciones y equivalencias . . . 209

7.2 Fredholm inicia . . . 214

7.3 Espectro de compactos . . . 216

7.4 Representaciones espectrales . . . 219

7.5 Fredholm sigue . . . 226

7.6 Ejercicios del Cap. 7 - Operadores compactos . . . 230

(4)

8 La traza 235

8.1 Traza no acotada para positivos . . . 235

8.2 La traza como funcional lineal . . . 237

8.3 Los Hilbert Schmit son un Hilbert . . . 240

8.4 Los operadores traza son un Banach . . . 243

8.5 Los preduales de L(H) . . . 245

8.6 Ejercicios del Cap. 8 - La traza . . . 249

9 C^∗-´algebras 250 9.1 C^∗-´algebras de operadores . . . 250

9.2 Algebras de Banach . . . 253´

9.2.1 Repaso . . . 253

9.2.2 Ejemplos . . . 258

9.2.3 El espectro depende del ´algebra . . . 260

9.2.4 Transformada de Gelfand . . . 262

9.3 C^∗-´algebras, propiedades b´asicas . . . 265

9.4 C´alculo funcional continuo en una CA . . . 268

9.5 Estados y la construcci´on GNS . . . 270

III Resultados Preliminares 276

A Topolog´ıa 277 A.1 Definiciones b´asicas . . . 277

A.2 Cerrados, l´ımites y clausuras . . . 279

A.3 Bases y sub-bases . . . 281

A.3.1 Topolog´ıa inducida . . . 283

A.4 Clases de ET’s . . . 284

A.4.1 Numerabilidad . . . 284

A.4.2 Separaci´on . . . 285

A.4.3 Herencias . . . 289

A.5 Continuidad b´asica . . . 289

A.6 Redes y subredes . . . 292

A.7 Convergencia . . . 295

A.8 Sucesiones en espacios N₁ . . . 298

A.9 Conexos . . . 300

A.10 Productos y cocientes . . . 301

A.10.1 Topolog´ıa inicial . . . 301

A.10.2 Topolog´ıa producto . . . 302

A.10.3 Topolog´ıa final . . . 307

A.10.4 Cocientes . . . 308

A.11 Espacios m´etricos completos . . . 310

A.12 Compactos . . . 312

(5)

A.13 Compactos en EM’s . . . 316

A.14 Compactificaci´on de Alexandrov: Un punto . . . 317

A.15 Espacios localmente compactos . . . 319

A.16 Stone ˇCech . . . 320

A.17 M´etricas uniformes en C(X, Y ), con Y un EM . . . 323

A.18 Teoremas de Baire . . . 325

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Parte I

An´ alisis funcional b´ asico

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Cap´ıtulo 1

Espacios normados

Llamemos K = R o C. Un espacio vectorial topológico(EVT) es un espacio topológico (E, τ ) en el que E es un K-espacio vectorial, y además

1. La topolog´ıa τ es de Hausdorff.

2. Las operaciones vectoriales

E × E ∋ (x, y) 7→ x + y ∈ E y K× E ∋ (λ , x) 7→ λ x ∈ E (1.1) son continuas, cuando en E × E y en K × E se usan las topolog´ıas producto.

En particular esto hace que, para cada x ∈ E fijo, las aplicaciones Tx : E → E dada por Tx(y) = x + y and Mx : K → E dada por Mx(λ) = λ x

(1.2)

sean continuas. Observar que cada traslaci´on T^x es un h´omeo, con inversa T−x. Esto dice que, fijado un x ∈ E, podemos calcular siempre los entornos de x como

O^τ(x) = x + O^τ(0) ^def= x + U = T^x(U ) : U ∈ O^τ(0) .

O sea que para caracterizar una topolog´ıa de EVT en E, basta con conocer una base (o incluso una sub-base) de entornos del cero de E.

1.1 Normas de vectores, funcionales y operadores.

Veremos en principio los ejemplos de EVT’s dados por una métrica. En el contexto de espacios vectoriales, interesan particularmante las métricas d que cumplen dos condiciones de compatibilidad con la estructura: Fijado el par (E, d), donde E es un K-EV y d una métrica en E, se pide que para todo λ ∈ K y todos los vectores x, y, z ∈ E se cumpla

• Que d sea invariante por translaciones, o sea que d(x + z , y + z) = d(x , y) .

(8)

• Que sea homog´enea: d(λ x , λ y) = |λ| d(x , y) .

Estas m´etricas se definen a traves de la noci´on de norma en el espacio vectorial.

1.1.1. Fijemos un K-espacio vectorial E. Diremos que una funci´on k · k : E → R⁺ es 1. Una norma, si cumple que para todo λ ∈ K y todo par x , y ∈ E,

(a) kλ xk = |λ| kxk.

(b) kx + yk ≤ kxk + kyk.

(c) Se tiene que kxk = 0 si y s´olo si x = 0.

La m´etrica resultante se define como d (x, y) = kx − yk, para x, y ∈ E.

2. En tal caso, el par (E, k · k) pasa a llamarse una espacio normado (shortly: EN).

3. El par (E, k · k) se llamar´a espacio de Banach (adivinen: EB) si la m´etrica d hace de E un EM completo (mirar antes la Prop. 1.1.2 de abajo).

4. Si (E, k · k) es un espacio normado, denotaremos por B^E = {x ∈ E : kxk ≤ 1} a su bola cerrada de radio uno.

5. Diremos que la funci´on k · k de arriba es una seminorma, si cumple (a) y (b) pero no

necesariamente (c). △

Proposici´on 1.1.2. Sea (E, k · k) un EN. Luego:

1. La d (x, y) = kx − yk (para x, y ∈ E) es, efectivamente, una m´etrica en E.

2. Con la topolog´ıa asociada a d, E nos queda un EVT. En particular las translaciones E ∋ y 7→ y + x y las flechas K ∋ λ 7→ λ x (con x fijo) son continuas.

3. La función norma es continua. Más aún, vale la desigualdad

kxk − kyk

≤ kx − yk = d (x, y) , para todo par x, y ∈ E . (1.3) Demostración. En principio podemos observar que d (x, y) = kx − yk = 0 ⇐⇒ x = y, por la condición (c) de la definición de normas. La d es simétrica porque | − 1| = 1. Además, una desigualdad triangular se deduce fácilmente de la otra. Con eso d ya es una métrica.

Para ver que (E, τ^d) es un EVT, basta mencionar que la continuidad en la Ec. (1.1) se deduce directamente de las condiciones (a) y (b) de la definici´on de norma. Por ejemplo

kλ x − µ yk ≤ kλ x − µ xk + kµ x − µ yk = |λ − µ| kxk + |µ| kx − yk ,

para x, y ∈ E y λ, µ ∈ K cualesquiera, por lo que K × E ∋ (λ, x) 7→ λ x es continua. La

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El hecho de que toda norma defina una métrica sobre un espacio vectorial dado, nos permite hablar de los conceptos topológicos habituales como abiertos y cerrados; junto con ellos aparecen en forma natural otros algo más complejos, como por ejemplo el borde de un conjunto, un conjunto nunca denso (magro) o un conjunto denso en todo el espacio.

Como en ET’s generales, diremos que un EN es separable si tiene un denso numerable.

También se puede “completar” un normado, obteniendo un Banach que tiene al anterior como subespacio denso. Esto se puede hacer a mano, pero será más fácil un poco más adelante (ver Obs. 2.1.14). Además tiene sentido definir funciones continuas en un EN. La cosa se pone interesante cuando uno se cuestiona la continuidad de las funciones K-lineales.

Ahora daremos las notaciones sobre este tema:

Notaciones 1.1.3. Sean E y F dos K-EV’s.

1. Denotaremos por E^′ ^def= {ϕ : E → K : ϕ es lineal } al espacio dual algebr´aico de E.

2. Llamaremos Hom (E, F ) ^def= {T : E → F : T es K-lineal } al espacio de transforma- ciones lineales (se abrevia TL) entre E y F .

3. Si T ∈ Hom (E, F ) y x ∈ E, escribiremos T x en lugar de T (x) cuando sea posible.

Esto se hace por analog´ıa con las matrices, y para ahorrar par´entises. Llamaremos (a) ker T ^def= T⁻¹({0}) = {x ∈ E : T x = 0} ⊆ E, al n´ucleo de T .

(b) R(T ) ^def= T (E) = {T x : x ∈ E} ⊆ F , al rango (o imagen) de T . Observar que tanto ker T ⊆ E como R(T ) ⊆ F son subespacios.

4. Si ahora pensamos que (E, k·k ) es un EN, no siempre vale que toda ϕ ∈ E^′ es continua respecto de k · k. Lo mismo si F es tambi´en normado y T ∈ Hom (E, F ).

5. Por ello de denomina dual “topol´ogico” de E al K-EV

E^∗ ^def= {ϕ ∈ E^′ : ϕ es k · k-continua } = E^′∩ C

(E, k · k), K

. (1.4) 6. Si E era un C-EV, denotaremos por ER^′ y ER^∗ a sus duales pens´andolo como R-EV (o

sea las funcionales ϕ : E → R que son R-lineales). △

1.1.4. El hecho de pedirle a una TL que sea continua suena raro. De hecho en Kⁿson mucho más que continuas, son las cosas por las que uno quiere aproximar otras funciones para que sean “suaves”. Sin embargo, al subir a dimensión infinita la “mayor´ıa” de las funcionales no son continuas. Antes de seguir mostremos un ejemplo para convencer al lector incrédulo:

Llamemos S^F = K^(N)al subespacio de K^N (todas las sucesiones en K) generado por la “base canónica” infinita E = {eⁿ : n ∈ N}. Obviamente cada eⁿ es la sucesión que tiene todos ceros salvo un uno en el lugar n-ésimo. El espacio S^F consta de las “sucesiones finitas”, en el sentido de que a partir de un momento todas sus entradas se anulan.

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Pongamos en S^F la norma supremo kxk∞ = supn∈N|xⁿ| , para x = (xⁿ)ⁿ∈ N ∈ S^F . Defi- namos ahora una funcional no continua: Sea ϕ ∈ S^F^′ dada por la f´ormula

ϕ(x) =X

n∈N

n²· xⁿ para cada x= (xⁿ)ⁿ∈ N ∈ S^F .

Cada tal suma es en realidad finita, por lo que est´a bien definida. La linealidad es clara.

Ahora bien, si tomamos la sucesión (ê_nⁿ) de puntos de S^F , vemos que kê_nⁿk∞= ¹_n −−−→

n→∞ 0, por lo que ^enⁿ

k · k^∞

−−−→n→∞ 0SF en el espacio normado S^F. Sin embargo, ϕ( ênⁿ ) = n para todo n ∈ N, que no converge a ϕ(0SF) = 0 . Luego esta ϕ es una funcional lineal y no es continua ni en el cero de S^F . Veamos, ahora s´ı, una caracterización de la continuidad de las funcionales. △ Proposición 1.1.5. Sea (E, k · k) un EN y sea ϕ ∈ E^′. Entonces

ϕ∈ E^∗ ⇐⇒ kϕk = kϕk^E^∗ ^def= sup

x∈ BE

|ϕ(x)| < ∞ . (1.5) En tal caso, se tiene la siguiente igualdad:

kϕk = sup

kxk=1

|ϕ(x)| = m´ınn

M ∈ R : |ϕ(x)| ≤ M kxk para todo x ∈ Eo

. (1.6)

Adem´as, ϕ 7→ kϕk es una norma en E^∗, con la que resulta ser un espacio normado.

Demostración. Supongamos que kϕk = +∞. Luego para todo n ∈ N debe existir un xn∈ BÊ tal que |ϕ(xⁿ)| ≥ n². Si ahora consideramos la sucesión yⁿ = ^x_nⁿ , tendremos que

kyⁿk = kxⁿk n −−−→

n→∞ 0 pero |ϕ(yⁿ)| = |ϕ(xⁿ)|

n ≥ n para todo n ∈ N .

O sea que una tal ϕ no podr´ıa ser continua ni en cero (recordar que ϕ(0) = 0). Esto prueba la flecha =⇒ de la Ec. (1.5). Para ver la rec´ıproca observemos que si kϕk < ∞, entonces

|ϕ(x)| ≤ kϕk kxk para todo x∈ E . (1.7)

En efecto, si x 6= 0, tomemos y = _kxk^x . Entonces, como kyk = 1, tenemos que

|ϕ(x)|

kxk = |ϕ(y)| ≤ sup

z∈BE

|ϕ(z)| = kϕk =⇒ |ϕ(x)| ≤ kϕk kxk .

De (1.7) deducimos que |ϕ(x) − ϕ(y)| = |ϕ(x − y)| ≤ kϕk kx − yk para todo par x, y ∈ E.

Esto muestra que una tal ϕ es re-continua.

Sea ahora M0 el m´ınimo de la Ec. (1.6) (en principio digamos que es el ´ınfimo). Por la (1.7), es claro que M0 ≤ kϕk. La otra desigualdad surge de la definici´on de kϕk. En particular hay m´ınimo y vale la Ec. (1.6). Finalmente, el hecho de que ϕ 7→ kϕk define una norma en E^∗ es de verificaci´on inmediata, y se deja como ejercicio.