Técnicas de Descomposición de Series Temporales

(1)

Miguel C´ardenas Montes

CIEMAT, Madrid (Spain)

Madrid, 2018

(CIEMAT) Madrid, 2018 1 / 45

(2)

Descomposici´ on de Series Temporales

(3)

La idea de la descomposici´on de las series temporales es que ´esta puede ser separada en tres componentes fundamentales: una tendencia (Tt), una componente estacional (St) y un ruido o componente aleatoria (Rt),

de forma que la series se puede modelar como Yt = Tt+ St+ Rt

(4)

Descomposici´ on ST II

La tendencia es responsable del crecimiento o de la reducci´on de la serie a largo plazo.

La componente estacional es responsable de la influencia estacional debido al mes, al d´ıa de la semana; y tiene que tener media nula.

El ruido es el resultado de la substracci´on de las componentes anteriores: R_t = Y_t− (Tt+ S_t)

(5)

Producción mensual de cerveza en Australia

Año

Ml

1960 1970 1980 1990

100150200

(6)

Descomposici´ on ST III

Hay dos formas de descomposición clásica, dependiendo si el modelo final es aditivo (ecuación 1) o multiplicativo (ecuación 2).

Y_t= S_t+ T_t+ E_t (1)

Yt = St∗ Tt∗ Et (2)

En la descripci´on que se presenta a continuaci´on se supone que la serie temporal es estacional con un periodo cuatrimestral (m = 4), anual (m = 12), o semanal (m = 7). No admite otros valores.

(7)

Nacimientos mensuales en New York

año

Nacimientos

1946 1948 1950 1952 1954 1956 1958 1960

202224262830

(8)

Ejemplo ST

Time

Nacimientos NY

1946 1948 1950 1952 1954 1956 1958 1960

202224262830

(a) 6 meses

Time

Nacimientos NY

1946 1948 1950 1952 1954 1956 1958 1960

202224262830

(b) 12 Meses

MA 11 meses

Time

Nacimientos NY

1946 1948 1950 1952 1954 1956 1958 1960

202224262830

(c) 11 Meses

Time

Nacimientos NY

1946 1948 1950 1952 1954 1956 1958 1960

202224262830

(d) 12 y 24 Meses

(9)

Si la serie es aditiva hay que seguir los pasos que se detallan a continuaci´on:

1 Calcular la tendencia, ˆT_t, a trav´es de un modelo 2 × mMA (Moving Average), si m es par o mMA si m es impar.

2 Calcular la serie sin tendencia yt− ˆT_t.

3 Estimar la componente estacional de cada mes promediando los valores para cada mes de la serie sin tendencia (yt− ˆT_t). Los valores para todos los meses son ajustados para asegurar que su suma es cero,P

1≤t≤LS_t= 0, donde L es el periodo.

4 Calcular la componente resultante al restar a la serie temporal la tendencia y la parte estacional: ˆE_t = yt− ˆT_t− ˆS_t.

(10)

Ejemplo ST

Año

Ml

1960 1970 1980 1990

100150200

(11)

100150200

observed 100140

trend −2001030

seasonal −40−20020

1960 1970 1980 1990

random

Time

Decomposition of additive time series

(12)

Descomposici´ on ST IV

Esta forma de descomposici´on asume que la componente estacional se repite invariante en cada periodo. Esto puede ser no asumible en algunas series temporales.

Además la forma del cálculo de la tendencia no estima ni las primeras n observaciones ni las n últimas. En una serie ”corta” hay una pérdida de datos relevante.

Tiene dificultades con los datos ”extremos”.

(13)

Pasajeros (miles) en US

Año

Pasajeros (Miles)

1960 1965 1970 1975

5101520

(14)

Descomposici´ on Multiplicativa

Por el contrario si la serie es multiplicativa se siguen los pasos siguientes:

1 Calcular la tendencia a trav´es de un modelo 2 × mMA, si m es par o mMA si m es impar.

2 Calcular la serie sin tendencia ^y_ˆ^t

Tt.

3 Estimar la componente estacional de cada mes promediando los valores para cada mes de la serie sin tendencia (^y_ˆ^t

Tt). Los valores para todos los meses son ajustados para asegurar que su suma es m, P

1≤t≤LSt = m, donde L es el periodo.

4 Calcular los residuos a través de la división de los valores de la serie entre la tendencia y la componente estacional, Êt = ^y^t

( ˆTt·ˆSt).

(15)

(16)

Pr´ acticas

(17)

# Cargar librar´ıa library(forecast)

# Leer los datos setwd("./")

passangers <- read.csv("./monthly-us-air-passenger-miles-j.csv", header=F, dec=".", sep=";")

head(passangers) tail(passangers)

# Convertir la hoja de datos en una serie temporal

passangers.ts <- ts(passangers, frequency = 12, start = c(1960,1), end = c(1977,12))

plot(passangers.ts[,2], ylab="Pasajeros (Miles)", xlab="A~no")

(18)

Pr´ acticas II

# Descomposici\’on aditiva

report <- decompose(passangers.ts[,2], type="additive") plot(report)

# Descomposici\’on multiplicativa

report <- decompose(passangers.ts[,2], type="multiplicative") plot(report)

(19)

(20)

Descomposici´ on X-12 I

Este método se basa en la descomposición anterior añadidendo algunos pasos adicionales.

En estos pasos adicionales trata de superar las dificultades que plantea la descomposici´on cl´asica.

La descomposición X-12 ARIMA maneja descomposición aditiva y multiplicativa, perosolo está dispobible para series mensuales o cuatrimestrales de datos.

(21)

Entre otras las mejoras incluyen: que la tendencia es generada para todas las observaciones, y que se permite que la serie temporal var´ıe suavemente.

En general es más robusta a observaciones anómalas que la descomposición clásica. En el algoritmo anterior, la presencia de datos anómalos produce un fuerte impacto en el resultado.

(22)

Descomposici´ on X-12 III

La descomposici´on multiplicativa de datos mensuales sigue los siguientes pasos:

1 Calcular una media m´ovil 2 × 12 MA aplicado a los datos originales para obtener una estimaci´on de la tendencia en todos los periodos, ˆT_t.

2 Calcular los ratios de los datos a la tendencia, denominados ratios centrados, ^y_ˆ^t

Tt.

3 Aplicar separadamente 3 × 3 MA a cada mes de los ratios centrados obtenidos anteriormente (^y_ˆ^t

Tt) para obtener a estimaci´on inicial de ˆS_t.

4 Dividir los ratios centrados por ˆS_t para obtener una estimaci´on del residuo o resto, ˆEt

5 Reducir los valores extremos-an´omalos de Et por ˆS_t para obtener un Eˆt modificado.

Multiplicar el ˆE modificado por ˆS para obtener los ratios centrados

(23)

1 Repetir el paso 3 para obneter ˆSt revisado.

2 Dividir los datos originales por la nueva estimaci´on de ˆS_t para obtener una serie preliminar estacionalmente ajustada, ^y_ˆ^t

St

3 La tendencia es estimada aplicando una media m´ovil de Henderson pensada a la serie preliminar estacionalmente ajustada del paso anterior.

4 Repetir el paso 2 dividiendo por la nueva estimaci´on de ˆT_t, ^y_ˆ^t

Tt.

5 Repetir los pasos desde 3 al 6 con nuevos ratios y aplicando 3 × 5 MA en vez de 3 × 3 MA.

6 Repetir el paso 8.

7 Obtener el residuo dividiendo los datos de los pasos 13 y 9.

8 Los valores extremos del residuo se modifican como en el paso 5.

9 Una serie de datos modificados es obtenido multiplicando la tendencia, la componente estacional y el residuo.

(24)

Descomposici´ on X-12 V

El anterior proceso es repetido dos veces m´as usando los datos de paso 16 en cada vez. En el ciclo final el 3 × 5 MA de los pasos 11 y 12 es sustituido por algunos de los siguientes en funci´on de la variabilidad de los datos: 3 × 3 MA, 3 × 5 MA, 3 × 9 MA.

(25)

(26)

Descomposici´ on STL I

La descomposi´on STL, Seasonal and Trend decomposition using Loess, siendo Loess un m´etodo para estimar relaciones no lineales.

A diferencia de X-12-ARIMA, STL puede manejar cualquier tipo de estacionalidad, la componente estacional se extiende sobre el conjunto de las observaciones, el suavizado sobre la tendencia es controlado por el usuario y es robusto contra datos an´omalos.

(27)

Cuando se especifica el tama˜no de la ventana en STL, solo los datos de la ventana son utilizados en el an´alisis de la tendencia y la estacionalidad.

Por lo tanto, el tamaño de la ventana dará lugar a curvas más o menos suaves, en función del uso de ventana mayores o más pequeñas.

Además las observaciones situadas dentro de la ventana son pesadas, de forma que aquella más centrales tienen más relevancia para el cálculo que la de los extremos.

(28)

Descomposici´ on STL III

Ejemplo de descomposici´on STL.

100150200

data −2001030

seasonal 100140

trend

(29)

La descomposición STL presenta dos parámetros que permiten el control sobre como de rápido se permite a la tendencia y a la

componente estacional cambiar: par´ametros trend window (t.window) y seasonal window (s.window).

Valores pequeños de estos parámetros permite cambios más rápidos en las componentes.

Se puede forzar que la componente estacional se puramente peri´odica.

Finalmente la descomposici´on STL presenta la desventaja que solo es posible la descomposici´on en modo de series aditivas.

(30)

Pr´ acticas

(31)

beer.stl <- stl(beer.ts[,2], t.window=15,

s.window="periodic", robust=TRUE) plot(beer.stl)

100150200

data −2001030

seasonal 100140

trend

(32)

Pr´ acticas

beer.stl <- stl(beer.ts[,2], t.window=15, s.window=3, robust=TRUE)

100150200

data −4002060

seasonal 80100140

trend 010

remainder

(33)

beer.stl <- stl(beer.ts[,2], t.window=15, s.window=7, robust=TRUE)

(34)

Pr´ acticas

beer.stl <- stl(beer.ts[,2], t.window=7,

s.window="periodic", robust=TRUE)

100150200

data −2001030

seasonal 80120160

trend 020

remainder

(35)

(36)

Descomposici´ on STL VI: significado de la barra gris

(37)

(38)

Predicci´ on

(39)

Aunque la descomposici´on tiene como objetivo primario el estudio de la serie, puede ser utilizado para hacer predicciones de futuros valores.

Independientemente si la descomposición es aditiva o multiplicativa, la predicción para la serie descompuesta puede hacerse atendiendo a futuros valores siguiendo la tendencia y la componente estacional (método ingenuo estacional).

(40)

Predicci´ on II

En estos casos se separa la componente estacional ˆSt y la componente estacionalmente ajustada: Â_t= ˆT_t+ ˆR_t = Yt− ˆS_t. Se estima que la componente estacional no cambia o lo hace muy poco, y se proyecta los valores futuros de la serie simplemente estimando la componente estacionalmente ajustada del último año.

Para proyectar los valores de la componente estacionalmente ajustada se puede utilizar cualquier m´etodo no estacional como el m´etodo de Holt.

(41)

# Naive forecast

fcast <- forecast(beer.stl, method="ets")

plot(fcast, main = "Producci´on mensual de cerveza en Australia", xlab

Año

Ml

1960 1970 1980 1990

100150200

(42)

Separaci´on de Series Temporales

con Fuerte Tendencia o con Fuerte Estacionalidad

(43)

En datos con una fuerte tendencia, los datos estacionalmente ajustados, y − Sl = Tl+ Rl, deben tene una varianza mayor que la varianza del ruido o resto R_l, y por lo tanto el cociente

Var(Rl)

Var(Tl+Rl) tiene que ser peque˜no, y FT

cercano a la unidad.

Por el contrario, para series temporales con poca o nula tendencia, la varianza del resto y del resto m´as la tendencia deben ser casi iguales, y por lo tanto, el cociente _Var(T^Var^(R^l⁾

l+Rl) cercano a la unidad, y F_T casi nulo.

F_T = max(0,1− Var(R_l) Var(T_l + R_l))

(44)

Tendencia o Estacionalidad

En las series que no exhiben estacionalidad, la varianza de la componente sin tendencia

y − Tl = Sl+ Rl y del resto Rl deben ser casi iguales y, por lo tanto, FS

cercano a cero.

Por el contrario, si la series tiene una fuerte estacionalidad, el cociente

Var(Rl)

Var(Sl+Rl) debe ser cercano a cero y FS

cercano a la unidad.

F_S = max(0,1− Var(Rl) Var(Sl+ Rl))

(45)

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