FUNCIÓN POLINOMIAL

FUNCIÓN POLINOMIAL

OBJETIVOS

 Definir una función polinomial.

 Reconocer la función constante, lineal y cuadrática como casos particulares de una función polinomial

 Identificar el coeficiente principal de una función polinomial.

 Explorar mediante el uso de recursos tecnológicos un conjunto de gráficas de

funciones polinomiales de grado diferente par e impar, donde se relacione su regla de correspondencia con su comportamiento cuando:



 el número de intersecciones con el eje x

 intersección con el eje y





x

FUNCIÓN POLINOMIAL

FUNCIÓN POLINOMIAL

𝑓 𝑥 = 3𝑥 ⁵ + 𝑥 ⁴ − 4𝑥 ³ + 6𝑥 − 2

GRADO DE UN POLINOMIO: es igual al exponente de la máxima potencia con coeficiente distinto de cero

COEFICIENTE PRINCPAL DE UN POLINOMIO: es el coeficiente (diferente de cero) de la máxima potencia que aparece en el

polinomio.

TERMINO CONSTANTE:

corresponde a la constante que

DETERMINA:

FUNCIÓN LINEAL

FUNCIÓN CUADRÁTICA

FUNCIÓN LINEAL

En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏

 El conocimiento de que cualquier ecuación de la forma 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 𝐶, produce una gráfica en línea recta, junto con el hecho de que dos puntos determinan una línea recta, hace que la graficación de ecuaciones lineales sea un proceso sencillo.

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

Forma General 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎

Forma Pendiente – intersección al origen 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Forma Punto Pendiente 𝑦 − 𝑦₁ = 𝑚(𝑥 − 𝑥₁)

Recta Vertical 𝑥 = 𝑎

Recta Horizontal 𝑦 = 𝑏

GRAFIQUE:

 𝑦 = −4𝑥 + 1

 𝑥 + 2𝑦 = 4

 𝑦 = 𝑥 + 3

 𝑦 = 𝑥

 𝑥 = 5

 𝑦 = 0

FUNCIÓN CUADRÁTICA

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como:

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 ² + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑥 ² = 36

𝑦 ² + 4𝑦 = 0

3𝑛 ² + 2𝑛 − 1 = 0

FUNCIÓN CUADRÁTICA

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐

 La gráfica de una función cuadrática corresponde a una parábola vertical con vértice en

El punto de intersección con el eje y se obtienen haciendo x = 0.

Los puntos de intersección con el eje x, se obtienen haciendo y = 0, quedando ^𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.

Las raíces de la ecuación polinomial se determinan ya sea por factorización o aplicando la formula general

𝑟_1,2 = −𝑏 ± 𝑏² − 4𝑎𝑐 2𝑎

Estos puntos de intersección vendrían siendo 𝐴₁ = 𝑟₁, 0 𝑦 𝐴₂ = (𝑟₂, 0), a estos puntos se le llaman los

“ceros de la función”

FUNCIÓN CUADRÁTICA

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐

 De acuerdo al estudio del tipo de raíces de la ecuación de segundo grado, estas pueden ser:

Reales distintas Raíces Reales iguales

Complejas (imaginarias)

Esta información la obtendremos analizando el radicando de 𝑟_1,2 = ^{−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐}

2𝑎

𝑏² − 4𝑎𝑐 > 0 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠

FUNCIÓN CUADRÁTICA

GRAFIQUEMOS LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

 Grafique las siguientes funciones cuadráticas. Encuentre los ceros de las funciones:

 𝑓 𝑥 = 2𝑥² − 2𝑥 − 12

1. 𝑓 𝑥 = 3𝑥² + 9𝑥 + 12 2. 𝑓 𝑥 = −𝑥² − 2𝑥 − 3 3. 𝑓 𝑥 = −7𝑥² − 4𝑥 + 5 4. 𝑓 𝑥 = −5𝑥² + 6𝑥 − 10

FUNCIÓN POTENCIA

GRÁFICAS DE FUNCIONES POLINOMIALES DESPLAZADAS

 Un caso especial de la función polinomial es la función polinomial de un solo término o monomial.

*𝒇 𝒙 = 𝒙^𝒏, 𝒄𝒐𝒏 𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐

FUNCIÓN POTENCIA

GRÁFICAS DE FUNCIONES POLINOMIALES DESPLAZADAS

Para graficar una función polinomial podemos recordar como se transforma la función básica:

𝒚 = 𝒂𝒙^𝒏 + 𝒄 𝒚 = 𝒂𝒙^𝒏 − 𝒄 𝒚 = 𝒂(𝒙 + 𝒄)^𝒏

Desplazamiento hacia arriba

Desplazamiento hacia abajo

Desplazamiento a la izquierda

FUNCIONES POLINOMIALES MAYORES QUE 2

 𝑓 𝑥 = 5𝑥

− 2𝑥

+ 𝑥 − 4 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 3

 𝑓 𝑥 = −2𝑥

− 5𝑥

+ 3𝑥

+ 4𝑥 − 1 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 4

 𝑓 𝑥 = 3𝑥

+ 2𝑥

− 3 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 5

GRÁFICAS DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL

 PRUEBA DEL COEFICIENTE PRINCIPAL:

Cuando x mueve sin límite a la izquierda o a la derecha, la gráfica de la función

polinomial sube o baja de la siguiente manera:

Si n es impar:

GRÁFICAS DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL

 PRUEBA DEL COEFICIENTE PRINCIPAL:

Cuando x mueve sin límite a la izquierda o a la derecha, la gráfica de la función

polinomial sube o baja de la siguiente manera:

Si n es par:

Si el coeficiente principal 𝑎_𝑛 > 0 el gráfico se eleva de izquierda a derecha

Si el coeficiente principal 𝑎_𝑛 < 0 el gráfico cae de izquierda a derecha

EJEMPLOS

 Describe el comportamiento de las siguientes funciones polinómicas:

 Debido a que el grado es impar y el coeficiente principal es negativo, el gráfico se eleva a la izquierda y cae a la derecha.

 Debido a que el grado es par y el coeficiente principal es positivo, el gráfico se eleva a la izquierda y derecha.

 Debido a que el grado es impar y el coeficiente principal es positivo, el gráfico cae a la izquierda y se eleva hacia la derecha.

ACTIVIDAD EN CLASES

 Encuentra el grado y coeficiente principal. A continuación, defina el

comportamiento de él es gráfico usando la prueba coeficiente principal: