EJERCICIOS DE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS PUNTOS

(1)

1

EJERCICIOS DE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS PUNTOS

Ejercicio nº 1.-

Representa los puntos siguientes:

A(0, 5, 2), B(1, 3, 0) y C(2, −3, 1)

A(4, −1, 2), B(2, 3, 1) y C(0, 4, 0)

A(0, 0, 2), B(3, 2, 4) y C(4, −1, 3)

A(0, 3, 1), B(0, 3, 0) y C(1, −2, 4)

A(2, 3, −4), B(5, 3, 0) y C(0, 0, 4)

Halla las coordenadas de los puntos P y Q que dividen al segmento de extremos A(3, −1, 2) y B(−2, 2, 4) en tres partes iguales.

Halla el simétrico, P ', del punto P(2, 1, −3) respecto de Q(3, 5, 1).

(2)

2 Ejercicio nº 8.-

Calcula el valor de a para el cual los siguientes puntos están alineados:

A(2, a, 0), B(6, 5, 2), C(8, 7, 3)

Dos de los vértices de un paralelogramo son los puntos A(3, 0, −1) y B(2, −2, 3). El centro del paralelogramo está en el punto M(1, 2, −1).

Halla los otros dos vértices.

Los puntos A(3, 0, 2), B(5, −1, 1) y C(−2, 3, 1) son vértices consecutivos de un paralelogramo. Obten el cuarto vértice y el centro del paralelogramo.

RECTAS

a) Investiga la posición relativa de las dos rectas siguientes en el espacio:

La primera está dada por x − 5 = y − 7 = z, y la segunda, por los planos:

b) Halla si es posible, el punto de intersección.

Consideramos las dos rectas:

Halla el valor de d para que las rectas se corten. Halla el punto de intersección para el valor de d obtenido.

nto.

procedimie el

Explica 0

7 2

0 11 3

2 .





=

−

= +

− z y

y x





=

−

= + + +

0 1

0 3 z y x

z y r : x

1 2 2

1

−

= + +

+ = z d

x y s :

(3)

a) Estudia la posición relativa de las siguientes rectas:

b) Comprueba si los puntos A(1, 0, −2) y B(2, −10,−6) pertenecen a alguna de las rectas anteriores.

Estudia la posición relativa de las siguientes rectas según los valores de k:

Estudia la posición relativa de las rectas r1 y r2:

Razona la respuesta.

PLANOS

Halla la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de:

y es paralelo al plano que contiene a los puntos:

A(1, 0, −3), B(2, 1, 4) y C(0, 2, 3)

Determina, en función de a, la posición relativa de los siguientes planos:

6 10

1 2

y 2 2 2 2

4 2

= −

−

= +

−





= +

−

=

−

+ x y z

z s y x

z y

r: x :

3 2

y 3 5 4

3 2

1 z k

x y z s

y

r x− = − = − = = −

: :







λ

−

= λ +

= λ

−

=





=

− +

−

= +

− +

3 3 1

3 0

1 2

0 1 2

2 1

z y x z r

y x

z y

r : x :







= +

=

−

= +

−

1 5 3 2

0 2

y x

z x

z y x

( )

( ) ( )







= + +

−

= +

− +

−

=

− +

−

a z ay x

a z a y a ax

z y x a

2 1

2

1 2

(4)

Dados los planos:

π: 4x + my + mz = 6 y σ: mx + y + z + 3 = 0

estudia su posición relativa según los valores de m.

a) Halla los valores de m y n para que los siguientes planos sean paralelos:

π1: 2x − y + z − 5 = 0 y π2: mx + ny + 2z + 3 = 0

b) Obtén la ecuación de un plano paralelo a π1 que pase por el punto A(3, −2, 1).

Halla la posición relativa de los siguientes planos según el valor del parámetro a:

π2: 4x + ay − 2z = 5

RECTAS Y PLANOS

Explica cuál ha de ser el valor de m que hace que el tercer plano de la siguiente familia contenga a la recta definida por los dos primeros.

Los planos son:

Halla la ecuación del plano que contiene a la recta:

y al punto P(2, −3, 1). Explica el procedimiento.







µ +

= µ

− λ

=

µ + λ

−

= π

2 1

2 3

1

z y x :







= + +

11 4 10

3 3

2

z y mx

z y x





= +

− +

=

− +

−

0 4 3

0 2 2

z y x

z y r : x

(5)

Nos dan las rectas r, determinada por los puntos A(2, −1, 1), B(0, 1, −1), y s determinada por C(2, 0, −1) y D(2, 1, −1).

a) Escribe la ecuación general (o implícita) del plano paralelo a r y s que pasa por el origen de coordenadas.

b) Escribe la ecuación general del plano que pasa por B y es perpendicular a r.

Se consideran las rectas:

y el plano π, que pasa por los puntos A(1, 0, 2), B(2, 1, 2) y C(1, 0, 1).

a) Da la ecuación general o implícita de π.

b) Una de las dos rectas corta a π. Determínala.

c) Comprueba que la otra recta es paralela a π.

Halla la ecuación del plano π que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s, siendo:





=

−

=

−





=

− +

=

−

0 2

0 2 0

1 2

0 1

z y

z s x z

y

r: x , :

1 1 20 1

10 8

3 4

2 x y z

z s x

z

r y =

−

= −

−





−

=

−

= :

:

(6)

6

SOLUCIONES PUNTOS

A(0, 5, 2), B(1, 3, 0) y C(2, −3, 1) Solución:

A(4, −1, 2), B(2, 3, 1) y C(0, 4, 0) Solución:

A(0, 0, 2), B(3, 2, 4) y C(4, −1, 3)

(7)

7 Solución:

A(0, 3, 1), B(0, 3, 0) y C(1, −2, 4) Solución:

A(2, 3, −4), B(5, 3, 0) y C(0, 0, 4) Solución:

(8)

Halla las coordenadas de los puntos P y Q que dividen al segmento de extremos A(3, −1, 2) y B(−2, 2, 4) en tres partes iguales.

Solución:

Halla el simétrico, P ', del punto P(2, 1, −3) respecto de Q(3, 5, 1).

Solución:

Llamamos P '(α, β, γ), de manera que:

Calcula el valor de a para el cual los siguientes puntos están alineados:

A(2, a, 0), B(6, 5, 2), C(8, 7, 3)



 



=



 



 − − + +

= ,2

3 ,1 3 1 3

4 ,2 3

2 , 1 3

2 P 3

( ) ( ) ( ) _



 



=



 



 − − + +

= ,4

3 ,2 3 2 3

4 2 ,2 3

2 1 ,2 3

2 3 Q 2

(4,9,5)

'

5 2 1

3

9 2 5

1

4 2 3

2

P











= γ

→ γ =

+

−

= β

→ β=

+

= α

→ α =

+

(9)

9 Solución:

misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales:

Dos de los vértices de un paralelogramo son los puntos A(3, 0, −1) y B(2, −2, 3). El centro del paralelogramo está en el punto M(1, 2, −1).

Halla los otros dos vértices.

Solución:

Llamemos C = (x1, y1, z1) y D = (x2, y2, z2).

C es el simétrico de A respecto de M, por tanto:

Por otro lado, D es el simétrico de B respecto de M. Así:

Los puntos , y están alineados siempre que los vectores A B C AB y BC tengan la

2 3

0 2 5 7 5 6 8

2 6

−

= −

−

= −

−

− a

1 4

5 2 2

5− = → − = → =

a a a

( 1,4, 1)

1 2 1

1

4 2 2

0

1 2 1

3

1 1

−

=











−

=

→

− + =

−

=

→ + =

−

=

→ + =

C

z z y y x x

(0,6, 5)

5 2 1

3

6 2 2

2

0 2 1

2

2 2

−

=











−

=

→

− + =

=

→ + =

−

=

→ + =

D

z z y y x x

(10)

Los puntos A(3, 0, 2), B(5, −1, 1) y C(−2, 3, 1) son vértices consecutivos de un paralelogramo. Obten el cuarto vértice y el centro del paralelogramo.

Solución:

(2, −1, −1) = (−2 − x, 3 − y, 1 − z)

de donde: x = −4, y = 4, z = 2 → D(−4, 4, 2)

El centro del paralelogramo es el punto medio de una de las dos diagonales, así:

RECTAS

a) Investiga la posición relativa de las dos rectas siguientes en el espacio:

La primera está dada por x − 5 = y − 7 = z, y la segunda, por los planos:

b) Halla si es posible, el punto de intersección.

Solución:

( ^, ^, )^:

Si .

que tiene se amo, paralelogr un

de trata se

Como AB=DC D= x y z



 



=

2 ,3 2 ,3 2 M 1

nto.

procedimie el

Explica 0

7 2

0 11 3

2 .





=

−

= +

− z y

y x

( )





• =

1 , 1 , 1 d : dirección Vector

0 , 7 , 5 : Punto : recta, Primera a)

r

R  r

( )

( ) ( ) ( )





=

−

×

−

=

−

→

−

=

−

=

• =

2 , 4 , 6 2 , 1 , 0 0 , 3 , 2 d : dirección Vector

3 , 1 , 4 3

, 4 , 1 : Punto : recta, Segunda

s

 z S

x s y

cruzan.

se o cortan se y tanto, Por paralelos.

son no d y d dirección vectores

Los _r _s r s

(11)

11 se cortan.

Sustituimos en uno de los planos que definen a la segunda recta:

2(5 + λ) − 3(7 + λ) + 11 = 0 → λ = 0

Sustituimos este valor de λ y obtenemos P(5, 7, 0).

Consideramos las dos rectas:

Halla el valor de d para que las rectas se corten. Halla el punto de intersección para el valor de d obtenido.

Solución:

• Veamos cuáles son las ecuaciones paramétricas de r : Un punto de r: y = 0 → x = 1, z = −2 → R(−1, 0, −2) Vector dirección: (1, 1, 1) × (1, −1, −1) = (0, 2, −2) // (0, 1, −1)

• Ecuaciones paramétricas de s:

mismo el en no o está , vector el si vemos otro, lo o uno lo ocurre si averiguar

Para RS

las por formada matriz

la de te determinan el

os estudiarem ello

Para . d y d que

plano _r _s

. y d , d de s

coordenada _r _s RS

(−⁹^,−⁶^,−³)

= RS

0 1 2 3

1 2 3

1 1 1 6 3 6 9

2 4 6

1 1 1

=

−

=

−

s r s

r

RS estáenelmismoplanoque y , loqueimplicaquelasrectas y

tanto, Por







λ

= λ +

=

z 7 y

5 x : as paramétric en

recta primera la

Expresamos b)





=

−

= + + +

0 1

0 3 z y x

z y r : x

1 2 2

1

−

= + +

+ = z d

x y s :







λ

−

= λ

=

−

=

2 1 : de as paramétric Ecuaciones

z y x r

(12)

12 Un punto: (−1, −1, −d)

Vector dirección: (2, 1, −2)

Para que r y s se corten, el siguiente sistema ha de tener solución:

Si d = 1, las rectas se cortan en el punto (−1, −1, −1), (se obtiene al sustituir λ en las ecuaciones de r, o bien µ y d en las ecuaciones de s).

a) Estudia la posición relativa de las siguientes rectas:

b) Comprueba si los puntos A(1, 0, −2) y B(2, −10,−6) pertenecen a alguna de las rectas anteriores.

Solución:

nos informa sobre la posicioón relativa de r y s.

b) Ni A ni B pertenecen a las rectas r y s.







µ

−

= µ +

−

= µ +

−

=

2 1

2 1 : de as paramétric Ecuaciones

d z y x s

1 1

1 0

2 2

1 2 1 1

=

→

−

=

−

= λ

= µ







µ

−

= λ

−

µ +

−

= λ

µ +

−

=

−

d d d

6 10

1 2

y 2 2 2 2

4 2

= −

−

= +

−





= +

−

=

−

+ x y z

z s y x

z y

r: x :

( ) ( ) ( )

( )

Vector dirección: d1 2, 1, 1 1, 2, 2 0, 5, 5 a) :

Un punto: si 0 0, 2 2, 0, 0

r z y x P

 = − × − = − −

 = → = = →





( )







−

= 0 , 1 , 2 : punto Un

: ²

Q s



(0,−1,0)

= PQ

PQ y d , d vectores los

de s coordenada las

por formada matriz

la de rango

El ₁ ₂

0 6 10 2

5 1 0

0 1 0

6 10 2

5 5 0

≠

− =

⋅ −

=

−

(^d^,^d ^, )^es^tres.^Por^tanto,^las^rectas^se^cruzan.

de rango

El ₁ ₂ PQ

(13)

Estudia la posición relativa de las siguientes rectas según los valores de k:

Solución:

Estudia la posición relativa de las rectas r1 y r2:

Razona la respuesta.

Solución:

3 2

y 3 5 4

3 2

1 z k

x y z s

y

r x− = − = − = = −

: :

( ) ( )

( ) ( ) RS ( k)

k S

s

R r

s r

, 3 , 2 ,

0 , 3 3

, 1 , 2 d :

0 , 3 , 1 5

, 4 , 2 d

: = −







=

→

=

→

=



: y d , d de s coordenada las

por formada matriz

la de rango el os

Estudiarem _r _s RS

3 0 1

2 6

; 2 6 3

2

3 1 2

5 4 2

=

→

= +

− +

−

=

−

k k

se rectas las tanto por es, dependient e

linealment son

y d , d vectores los

3 1

Si k _r _s RS

=

cruzan.

se rectas las 3, 1 Si cortan. k ≠







λ

−

= λ +

= λ

−

=





=

− +

−

= +

− +

3 3 1

3 0

1 2

0 1 2

2 1

z y x z r

y x

z y

r : x :

( ) ( ) ( )

( )







−

→

−

=

→

=

−

=

−

×

−

=

0 , 1 , 0 1

, 0 0

si : punto Un

3 , 5 , 1 1 , 1 , 2 2 , 1 , 1 d : dirección de

Vector :

1 1

1 z x y R

r



(14)

14 sobre la posición relativa de r1 y r2:

PLANOS

Halla la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de:

y es paralelo al plano que contiene a los puntos:

A(1, 0, −3), B(2, 1, 4) y C(0, 2, 3)

Solución:

El sistema:

Obtenemos el plano que contiene a A, B y C:

−8(x − 1) − 13(y − 0) + 3 (z + 1) = 0 → −8x − 13y + 3z + 11 = 0

( )





 = − −

0 , 1 , 0 : punto Un

:

2 2

2 R

r



(⁰^,²^,⁰)

2 1R = R

informa nos

y d , d vectores los

de s coordenada las

por formada matriz

la de rango

El ₁ ₂ R₁R₂

( )6 12 0 3 2

3 3

· 1 2 0 2 0

3 3 3

3 5 1

≠

=

−

⋅

−

− =

−

− −

=

−

cruzan.

se rectas las tanto, Por 3.

es ) , d , d ( de rango

El ₁ ₂ R₁R₂







= +

=

−

= +

−

1 5 3 2

0 2

y x

z x

z y x

(^solución¹^,⁰^, ¹)^el^punto^:

como tiene 1 5 3 2

0 2

 −







= +

=

−

= +

− y P x

z x

z y x

( )

( ) n ( 8, 13,3)

6 , 2 , 1 7 , 1 ,

1 = × = − −







−

=

= AB AC

AC

AB 

( 8, 13,3) y pasapor (1,0, 1), así:

n normal vector como tiene buscado plano

El = − − P −

(15)

Determina, en función de a, la posición relativa de los siguientes planos:

Solución:

Estudiamos la posición relativa a partir de los determinantes:

• a = 1

• a = −1

Los tres planos se cortan en una recta.

• a ≠ 1 y a ≠ −1, los tres planos se cortan en un punto.

Dados los planos:

π: 4x + my + mz = 6 y σ: mx + y + z + 3 = 0

estudia su posición relativa según los valores de m.

Solución:

Las ecuaciones de los planos son:

• Los coeficientes de las incógnitas son proporcionales si m = 2.

( )

( ) ( )







= + +

−

= +

− +

−

=

− +

−

a z ay x

a z a y a ax

z y x a

2 1

2

1 2

( ¹) (^· ¹)

1 1

1

2 1

2

1 1

2

2 2

3− − + = − +

=

−

+

−

a a

a a a a

a a

corta.

los ) (1 otro el y

) 3 y (2 es coincident planos

dos Tenemos 1

1 1

o

o o







= + +

−

= + +

−

=

− +

−

z y x

















−

 →















−

 →















−

+

⋅ +

0 0 0 0

1 0 0 2

1 1 1 3

2 0 0 4

4 0 0 8

1 1 1 3

1 1 1 1

1 3 3 1

1 1 1 3

) 1 ( ) 3 (

) 1 ( 3 ) 2 (

a a





−

= + +

3 6 4

z y mx

mz my x

(16)

16 En tal caso, las ecuaciones son:

Los planos son paralelos, pues sus términos independientes no siguen la misma relación de proporcionalidad que los coeficientes de las incógnitas.

• Si m ≠ 2, los planos se cortan en una recta, pues el sistema es compatible indeterminado de rango 2.

a) Halla los valores de m y n para que los siguientes planos sean paralelos:

π1: 2x − y + z − 5 = 0 y π2: mx + ny + 2z + 3 = 0

b) Obtén la ecuación de un plano paralelo a π1 que pase por el punto A(3, −2, 1).

Solución:

a) Si π1 y π2 han de ser paralelos, se tiene que:

b) El plano buscado ha de ser de la forma: 2x − y + z + D = 0 Si contiene al punto A, debe verificarse:

2 · 3 − 1(−2) + 1 + D = 0 → D = −9 El plano será: 2x − y + z −9 = 0

Halla la posición relativa de los siguientes planos según el valor del parámetro a:

π2: 4x + ay − 2z = 5





−

= + +

3 2

6 2 2 4

z y x

2 , 1 4

2 1

2 = → = =−

=−n m n

m







µ +

= µ

− λ

=

µ + λ

−

= π

2 1

2 3

1

z y x :

(17)

17 Solución:

π1, expresado de forma implícita, es:

2x + 2y − z = 5

Así, tenemos el sistema:

• Los coeficientes de las incógnitas son proporcionales si a = 4.

En tal caso, los planos son paralelos, pues sus términos independientes no siguen la misma relación de proporcionalidad que los coeficientes de las incógnitas.

• Si a ≠ 4, los planos se cortan en una recta, pues el sistema es compatible indeterminado de rango 2.

RECTAS Y PLANOS

Explica cuál ha de ser el valor de m que hace que el tercer plano de la siguiente familia contenga a la recta definida por los dos primeros.

Los planos son:

Solución:

Se trata de hallar el valor de m para que el sistema sea compatible indeterminado.

Matricialmente:

recta. Para que el 3er plano contenga a dicha recta, ha de ser ran(A) = ran(A') = 2.





=

− +

=

− +

5 2 4

5 2

2

z ay x

z y x







= + +

11 4 10

3 3

2

z y mx

z y x



 



 









' 11 4 10

3 2 1 3

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