Ley de Propagación del Error - Ejemplos -

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(1)Ley de Propagación del Error - Ejemplos -.

(2) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Planteo del problema: Medida Directa. E. I. A • Se mide I directamente:. I = I m ± ElimA. Medida Indirecta. E. I. R V A. • Se miden U e I de forma directa y con ellos se saca R:. I = I m ± ElimA U = Um ± ElimV. 𝑈𝑚 𝑅= 𝐼𝑚. ¿Cual será el error máximo en la medida de R?. 2.

(3) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Ley de propagación del error (Permite estimar el error de una medida indirecta). • La deducción de la ley de propagación del error esta basada en la serie de Taylor. • La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto “x” en términos del valor de la función en otro punto “a” cercano a “x”, y sus derivadas en ese punto “a”.. Ejemplo: Serie de Taylor para una función f(x) entorno a un punto “a”. 𝑑𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑎 + 𝑑𝑥. 𝑎. 1 𝑑𝑓 2 𝑥 𝑥−𝑎 + 2 𝑑𝑥 2. 𝑛 1 𝑑𝑓 𝑥 (𝑥 − 𝑎)2 + ⋯ + 𝑛 𝑛! 𝑑𝑥 𝑎. 𝑎. Ejemplo: Función exponencial. Donde : n! es el factorial de n 𝑑𝑓 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 𝑛. (𝑥 − 𝑎)𝑛. es la enésima derivada de f en el punto a. 𝑎. Valores de la serie de Taylor para valores de “a” entorno al punto x=0, con n=3. 3.

(4) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Ley de propagación del error (Permite estimar el error de una medida indirecta). Supóngase que se tiene una función w = f(u). Considere que la variable “u” se mide y se obtiene un valor medido “um” que es una aproximación del verdadero valor de u (“uv”). Por lo tanto, como um y uv son valores próximos se podría aplicar la serie de Taylor, entonces: 𝑓 𝑢𝑣 = 𝑓 𝑢𝑚. Luego, si. 𝑑𝑓 𝑢 + 𝑑𝑢. 𝑢𝑣 − 𝑢𝑚. 𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 𝑢𝑚. 1 𝑑𝑓 2 𝑢 + 2 𝑑𝑢2. 1 𝑑𝑓 𝑛 𝑢 (𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 ) + ⋯ + 𝑛! 𝑑𝑢𝑛 2. 𝑢𝑚. es pequeño, entonces. 𝑢𝑣 − 𝑢𝑚. 2. 𝑚. 𝐸𝑎𝑏𝑠. 𝑤. 𝑢𝑚. es aún más pequeño.. Si se desprecian los términos de 2do orden y superior se tendría: 𝑑𝑓 𝑢 𝑑𝑓 𝑢 𝑓 𝑢𝑚 − 𝑓 𝑢𝑣 = 𝑓 𝑢𝑣 = 𝑓 𝑢𝑚 + 𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑢 Expresión general de la ley de propagación del error para una función de una variable. (𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 )𝑛. 𝑑𝑓 𝑢 = 𝑑𝑢. 𝑢𝑚 − 𝑢𝑣 𝑢𝑚. 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑢 𝑢𝑚. 4.

(5) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Ley de propagación del error De manera similar, si W es función de dos variables:. w  f ( u ,v ) La serie de Taylor sería: 𝑓 𝑢𝑣 , 𝑣𝑣 = 𝑓 𝑢𝑚 , 𝑣𝑚 +. 𝑑𝑓 𝑢, 𝑣 𝑑𝑢. 𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 + 𝑢𝑚. 2. 1 𝑑𝑓 𝑢, 𝑣 + 2 𝑑𝑢2. 𝑑𝑓 𝑢, 𝑣 𝑑𝑣. 𝑑𝑓 𝑢, 𝑣 (𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 ) + 𝑑𝑢. 𝑣𝑣 − 𝑣𝑚 𝑣𝑚. 2. 𝑢𝑚. 𝑢𝑚. 𝑑𝑓 𝑢, 𝑣 𝑑𝑣. 𝑣𝑚. 𝑑𝑓 2 𝑢, 𝑣 (𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 )(𝑣𝑣 − 𝑣𝑚 ) + 𝑑𝑣 2. (𝑣𝑣 − 𝑣𝑚 )2 + ⋯ 𝑢𝑚. Y despreciando los términos de segundo orden y superior se tiene:. 𝐸𝑎𝑏𝑠. 𝑊. 𝜕𝑊 = 𝜕𝑢. 𝑢 𝑚 ,𝑣𝑚. 𝐸𝑎𝑏𝑠. 𝑢. 𝜕𝑊 + 𝜕𝑣. 𝑢 𝑚 ,𝑣𝑚. 𝐸𝑎𝑏𝑠. 𝑣. Expresión general de la ley de propagación del error para funciones de dos variables 5.

(6) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Ley de propagación del error  Si se aplica para propagar errores donde se conozca el signo de cada uno de ellos, tanto los errores como las derivadas parciales se escriben con el signo correspondiente. (Tal cual la expresión general de la transparencia anterior). 𝐸𝑎𝑏𝑠. 𝑊. 𝜕𝑊 = 𝜕𝑢. 𝑢 𝑚 ,𝑣𝑚. 𝐸𝑎𝑏𝑠. 𝑢. 𝜕𝑊 + 𝜕𝑣. 𝑢 𝑚 ,𝑣𝑚. 𝐸𝑎𝑏𝑠. 𝑣.  Si se aplica para propagar errores donde no se conozca su signo (por ejemplo para propagar errores límite de instrumentos), se puede adoptar un criterio pesimista usando las derivadas y los errores en módulo, quedando la expresión de la siguiente forma:. ±𝐸𝑎𝑏𝑠. 𝑊. 𝜕𝑊 =± 𝜕𝑢. 𝑢 𝑚 ,𝑣𝑚. 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑢. 𝜕𝑊 + 𝜕𝑣. 𝑢 𝑚 ,𝑣𝑚. 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑣. 6.

(7) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Ley de propagación del error Ejemplo 1:. Se quiere medir la superficie “S” de una placa calefactora cuyas dimensiones verdaderas son 200 mm de ancho y 100 mm de largo. Un operario usa una regla y obtiene un valor medido para el ancho de 201 mm y para el largo de 99 mm. ¿Cuál sería el error en la medida de la superficie? 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜: 𝑙𝑣 = 100 𝑚𝑚. Largo (l). 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑙𝑚 = 99 𝑚𝑚. S. 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑙 = 𝑙𝑚 − 𝑙𝑣 = −1 𝑚𝑚. Ancho (a) 𝑎𝑛𝑐𝑕𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜: 𝑎𝑣 = 200 𝑚𝑚 𝑎𝑛𝑐𝑕𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑎𝑚 = 201 𝑚𝑚. 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑎 = 𝑎𝑚 − 𝑎𝑣 = +1 𝑚𝑚. Solución sin usar la ley de propagación del error. 𝑆𝑣 = 𝑎𝑣 . 𝑙𝑣 = 20000 𝑚𝑚2 𝑆𝑚 = 𝑎𝑚 . 𝑙𝑚 = 19899 𝑚𝑚2. 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑆 = 𝑆𝑚 − 𝑆𝑣 = −101 𝑚𝑚2 Veamos si llegamos a este mismo resultado aplicando la ley de propagación 7.

(8) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Ley de propagación del error Ejemplo 1: 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜: 𝑙𝑣 = 100 𝑚𝑚. Largo (l). 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑙𝑚 = 99 𝑚𝑚. S. 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑙 = 𝑙𝑚 − 𝑙𝑣 = −1 𝑚𝑚. Ancho (a) 𝑎𝑛𝑐𝑕𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜: 𝑎𝑣 = 200 𝑚𝑚 𝑎𝑛𝑐𝑕𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑎𝑚 = 201 𝑚𝑚. Solución usando la ley de propagación del error. 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑎 = 𝑎𝑚 − 𝑎𝑣 = +1 𝑚𝑚. Comentario: En lugar de dar -101mm2 dio -102mm2 La diferencia se debe a que en la deducción de la ley de propagación del error se despreciaron términos de la serie de Taylor. La diferencia es mínima por lo que no invalida su uso.. 𝑆 = 𝑎 .𝑙 𝐸𝑎𝑏𝑠. 𝑆. =. 𝜕𝑆 𝜕𝑎. 𝑎 𝑚 ,𝑙𝑚. 𝐸𝑎𝑏𝑠. 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑠 = 𝑙𝑚 . 𝐸𝑎𝑏𝑠. 𝑎. 𝑎. +. 𝜕𝑆 𝜕𝑙. 𝑎 𝑚 ,𝑙𝑚. 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑙. + 𝑎𝑚 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑙. 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑠 = 99𝑚𝑚 . +1𝑚𝑚 + 201𝑚𝑚 . (−1𝑚𝑚). 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑠 = −102 𝑚𝑚2 8.

(9) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Ley de propagación del error Ejemplo 2:. Se quiere medir la misma superficie “S” de una placa calefactora pero ahora los datos son: Ancho medido 201 mm ± 1 mm Largo medido 99 mm ± 1 mm ¿Cuál sería la superficie y el error en la medida de la superficie?. Largo (l) 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑙𝑚 = (99 ± 1) 𝑚𝑚. S. Solución usando la ley de propagación del error. 𝑆 = 𝑎 .𝑙. Ancho (a). 𝑎𝑛𝑐𝑕𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑎𝑚 = (201 ± 1)𝑚𝑚. ±𝐸𝑎𝑏𝑠. 𝑆. =±. 𝜕𝑆 𝜕𝑎. 𝑎 𝑚 ,𝑙𝑚. 𝐸𝑎𝑏𝑠. 𝑎. +. 𝜕𝑆 𝜕𝑙. 𝑎 𝑚 ,𝑙𝑚. 𝐸𝑎𝑏𝑠. 𝑙. ±𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑠 = ± 99𝑚𝑚 . 1𝑚𝑚 + 201𝑚𝑚 . 1𝑚𝑚. 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑠 = ±300 𝑚𝑚2 𝑆 = (19899 ± 300) 𝑚𝑚2 9.

(10) Clasificación de los Errores - Ejemplos -.

(11) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Clasificación de los Errores Clasificación de los errores. Groseros. Sistemáticos. Accidentales o fortuitos.  Errores Groseros: Son aquellos que por una cuestión inadvertida llevan a una evaluación fallida de la medición.  Errores Sistemáticos: Son aquellos que se repiten en magnitud y signo en una serie de mediciones equivalentes (en igualdad de condiciones). Son desafectables del resultado, bajo ciertas condiciones.  Errores Accidentales: Son aquellos que no se repiten siempre con la misma intensidad y signo sino que siguen leyes del azar. Se los suele llamar residuales. No se 11 pueden desafectar del resultado..

(12) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Resumen de cómo tratar errores Clasificación de los errores. Groseros. Sistemáticos. Se deben detectar y eliminar. De ser posible se deben determinar y desafectar de la medida usando alguna corrección. De no ser posible desafectarlos contribuirán a la incertidumbre.. Accidentales o fortuitos. Se deben estimar y considerar en la incertidumbre.. Entonces una medición tendrá esta forma general:. Valor medido + Corrección ± Incertidumbre (por errores sistemáticos). (por errores fortuitos o sistemáticos no corregidos por falta de alguna información). 12.

(13) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Clasificación de los Errores Ejemplos: Clasificación de los errores. Groseros •Transposición de cifras: 21.5  25.1 •Leer en escalas incorrectas •Utilizar fórmula inapropiada •No efectuar el ajuste del cero mecánico o infinito previo a la medición. Sistemáticos. Inserción. Accidentales o fortuitos. Paralaje. Método. Poder separador del ojo. Instrumento. Apreciación. Tendencia del Operador. Condiciones ambientales 13.

(14) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Error sistemático de inserción  Es el error que se produce al incorporar un instrumento en un circuito, producto de su resistencia interna (o impedancia), que modifica el circuito original que se quiso medir. Veamos un ejemplo: Se quiere medir la caída de tensión en R2. 𝐸 𝑉2 = 𝐼 𝑅2 = 𝑅 = 150 𝑉 (𝑅1 + 𝑅2 ) 2. I R1. R1=2000  Podríamos decir que V2 es el valor verdadero. E=300V. de la magnitud que queremos medir.. R2. R2=2000 . 𝑉𝑣 = 𝑉2 = 150 𝑉. 14.

(15) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Error sistemático de inserción I. R1=2000 . Supongamos que usamos un voltímetro cuya resistencia interna (Rv) es 2000 Ω. Entonces (si el instrumento fuera exacto) la tensión medida será:. E=300V. Vmed. V. R2=2000 . Eabs e. Eabs inserción VV. E  1000   100 V 3000 . Rv=2000 .  Vmed  Vv  100 V  150V  50V. inserción.  50V   0,33 150V. e. Eabs inserción VV. .100  33%. Cuanto más resistencia interna tenga el voltímetro menos error de inserción. 15.

(16) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Error sistemático de inserción Veamos otro ejemplo: Se quiere medir la corriente en el siguiente circuito:. I E=300V. 𝐸 300𝑉 𝐼= = = 3𝐴 𝑅 100Ω. R=100 . Podríamos decir que el valor verdadero de la magnitud que queremos medir es 3A.. 16.

(17) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Error sistemático de inserción Supongamos que usamos un amperímetro cuya resistencia interna (RA) es 0,5 Ω. Entonces (si el instrumento fuera exacto) la corriente medida será:. I E=300V. R=100 . A e. Eabs inserción IV. 𝐸 300𝑉 𝐼= = = 2,985𝐴 𝑅 + 𝑅𝐴 100Ω + 0,5Ω. Eabs  I med  I v  2,985 A  3 A  0,0149 A.  0,0149 A   0,0049 3A. e. Eabs inserción IV. .100  0,49%. Cuanto menos resistencia interna tenga el amperímetro menos error de inserción. 17.

(18) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Error sistemático de inserción ¿Cómo determinar las resistencias internas de los instrumentos a partir de los consumos específicos?. A. Potencia p Alcance Consumo específico. V. PA R A I 2A pA    R A IA IA IA 2 V. PV U UV pV    2 UV UVR V R V Rv  1 S     V  pv U v 18.

(19) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Error sistemático de inserción Existen técnicas para “eliminar” el error de inserción: LA TECNICA DE OPOSICION. La técnica de oposición permite construir, por ejemplo un voltímetro, de resistencia interna “infinita” R1=2000 . I. Ig = 0. E=300V A. R2=2000 . • Se varía la resistencia variable hasta lograr que el galvanómetro indique cero.. R variable B. G. +. V -. Iaux. • Cuando eso ocurra el potencial del punto A es igual al potencial del punto B.. •Entonces, el voltímetro indica la tensión en R2 pero sin tomar corriente del circuito que se quiere medir sino de la fuente auxiliar, no Fuente cometiendo error de inserción. auxiliar +. 19.

(20) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Error sistemático de inserción Existen técnicas para “eliminar” el error de inserción: LA TECNICA DE OPOSICION. La técnica de oposición permite construir por ejemplo un amperímetro de resistencia interna “nula” I E=300V. R=100 . Ig = 0. A. B. G. I. RA A. I. RP. Iaux +. -. Fuente auxiliar. I. R variable. • Se varía la resistencia variable hasta lograr que el galvanómetro indique cero. • Cuando eso ocurra el punto A está al mismo potencial que B (como si no se hubiese conectado ningún amperímetro allí). Entonces:. 𝐼 𝑅𝐴 + 𝐼𝑅𝑝 − 𝐼𝑎𝑢𝑥 𝑅𝑝 = 0𝑉 • Esto quiere decir que la caída de tensión en el amperímetro (I x RA) se igualó a una subida de tensión en Rp producto de la presencia de Iaux. • Entonces la corriente I se mide en el amperímetro sin cometer error de inserción. 20.

(21) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Error sistemático de método  Es el error que se produce de acuerdo a donde se conecten los instrumentos que se usen. Veamos un ejemplo: Se quiere medir la resistencia Rx con un voltímetro y un amperímetro. Existen dos alternativas:. a) Método Corto. b)Método Largo. 21.

(22) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Error sistemático de método 𝑈𝑟 𝑅= 𝐼𝑟. a) Método Corto. E. Iv. V. Ur. R Ir. mA Im. Es el valor verdadero. Im  Iv  Ir 𝑈𝑚 = 𝑈𝑟 𝑈𝑚 𝑈𝑟 𝑅𝑚 = = 𝐼𝑚 𝐼𝑟 + 𝐼𝑣. Es el valor medido. Rm  R 22.

(23) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Error sistemático de método a) Método Largo. E. Iv. V. 𝑈𝑟 𝑅= 𝐼𝑟 Ur Ir. R. Es el valor verdadero. Im  Ir U m  U r  Im Ra. mA Im. 𝑈𝑚 𝑈𝑟 + 𝑈𝑎 𝑅𝑚 = = 𝐼𝑚 𝐼𝑟. Es el valor medido. Rm  R 23.

(24) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Error sistemático de método a) Método Corto Ur Rm  Ir  Iv. E. Iv. Ir. V. R. mA. Ur R Ir. Im. Eabs método corto  Rm  R . Ur U I U  U r Ir  U r Iv UI I  r  r r   r v  R v I r  Iv Ir Ir (Ir  Iv ) Ir Im Im. Eabs método corto. Eabs método corto. e. R O bien:. e. Iv R Iv   Im R Im Eabs método corto Rm. e. R. Iv U r Rm   Im Ur Rv 2. R  Eabs método corto  e Rm   m Rv. Rv = Resistencia del voltímetro 24.

(25) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Error sistemático de método a) Método Largo E. Ur  Ua Rm   R  Ra Ir. 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜. 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜. = 𝑅 + 𝑅𝑎 − 𝑅 = 𝑅𝑎. 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑒= 𝑅. 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜. Iv. V. Ir. R. mA Im. 𝑅𝑎 1 = = 𝑅𝑚 − 𝑅𝑎 𝑅𝑚 − 1 𝑅𝑎 25.

(26) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. ¿Que método conviene? e. e sc  . e sl . Ro. Ro . Rm Rv. 1 Rm 1 Ra Rm. Ra Rv 26.

(27) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. .. Error del instrumento  Es el error del propio instrumento (también se lo llama intrínseco).. Se puede estimar el error de un instrumento con un gráfico llamado “quebrada de calibración” que surge de un ensayo en el cual se compararon las lecturas de ese instrumento con otro que actúa como elemento patrón.. Circuito para estimar el error de un amperímetro: Condiciones:. R U. • • • •. Ac. Ap. 𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝐴𝑐 𝑅𝐸 = 𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝐴𝑝. • • •. Temperatura ambiente constante, llamada de calibración (20 a 25ºC) Reducción de campos magnéticos externos Posición normal de trabajo cc ó c.a (sinusoidal, 50 Hz) según corresponda. Permanencia de las lecturas Constancia del cero Relación de exactitud (RE) > 3:1 27.

(28) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. .. Error del instrumento Se puede estimar el error de un instrumento con un gráfico llamado “quebrada de calibración” que surge de un ensayo en el cual se compararon las lecturas de ese instrumento con otro que actúa como elemento patrón.. Circuito para estimar el error de un voltímetro: Condiciones:. R. •. U Vp. Vc. • • •. 𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑉𝑐 𝑅𝐸 = 𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑉𝑝. • • •. Temperatura ambiente constante, llamada de calibración (20 a 25ºC). Reducción de campos magnéticos externos. Posición normal de trabajo. cc ó c.a (sinusoidal, 50 Hz) según corresponda. Permanencia de las lecturas Constancia del cero Relación de exactitud (RE) > 3:1 28.

(29) MEDICIONES ELÉCTRICAS I .. Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Error del instrumento Construcción de la quebrada de calibración. Se toman valores de Vp y Vc y se los compara: Vc [V]. Ejemplo: Vc es un IPBM de alcance 150V. Vp [V]. Eabs inst [V]. Cr [V]. 10. 9,98. 0,02. -0,02. 20. 20,05. -0,05. 0,05. 30. 31,02. -1,02. 1,02. 40. 39,50. 0,50. -0,50. 50. 51,80. -1,80. 1,80. 60. 59,00. 1,00. -1,00. 70. 69,70. 0,30. -0,30. 80. 81,10. -1,10. 1,10. 90. 89,50. 0,50. -0,50. 100. 99,60. 0,40. -0,40. 110. 110,95. -0,95. 0,95. 120. 119,95. 0,05. -0,05. 130. 129,20. 0,80. -0,80. 140. 140,80. -0,80. 0,80. 150. 148,75. 1,25. -1,25. 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑖𝑛𝑠𝑡 = 𝑉𝑐 − 𝑉𝑝 Se obtiene así una corrección que se puede aplicar a cada valor medido. 𝐶𝑟 = − 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑖𝑛𝑠𝑡. corrección 29.

(30) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. .. Error del instrumento Quebrada de Calibración. Cr [V]. 10. -0,02. 20. 0,05. 30. 1,02. 40. -0,50. 50. 1,80. 60. -1,00. 70. -0,30. 80. 1,10. 90. -0,50. 100. -0,40. 110. 0,95. 120. -0,05. 130. -0,80. 140. 0,80. 150. -1,25. 2,00 1,50 1,00 Corrección. Vc [V]. 0,50 145. 0,00 -0.25. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80. V. 90 100 110 120 130 140 150. -0,50 -1,00 -1,50 Valor Medido. El objetivo de una quebrada de calibración sería poder saber que error se comete en cada punto de la escala, para poder así hacer una corrección sobre un valor medido cualquiera:. Ejemplo: si con Vc mido 145V lo corrijo a: 145V  0,25V  144,75V.

(31) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Error del instrumento La quebrada de calibración también sirve para detectar el error máximo cometido por Vc y con él la clase. Vc [V]. Cr [V]. 10. -0,02. 20. 0,05. 30. 1,02. 40. -0,50. 50. 1,80. 2,00 1,50. -1,00. 70. -0,30. 80. 1,10. 90. -0,50. 100. -0,40. 110. 0,95. 120. -0,05. 130. -0,80. 140. 0,80. 150. -1,25. Corrección. 60. 1,00 0,50 145. 0,00 -0.25. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80. 90 100 110 120 130 140 150. -0,50 -1,00 -1,50. clase . (Vm  V p ) máximo Alcance. Valor Medido. .100. Para el ejemplo: Vc era un IPBM de alcance 150V. 1.8V .100  1,2% 150V. clase  1,5 31. V.

(32) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Error del instrumento 1. Sin embargo, hay algunas consideraciones sobre todo lo anterior que convendría aclarar ahora…  Se consideró que el instrumento patrón indica el valor verdadero (y eso sabemos que puede no ser cierto).  Tampoco se consideró ningún error de lectura, en ningún instrumento.  No sabemos que si al repetir la experiencia obtendríamos los mismos valores. Todo ello hace que tengamos que considerar también otros aspectos como veremos más adelante, para mejorar nuestras conclusiones respecto del error del instrumento. 2. Si el ensayo realizado que determinó la quebrada de calibración tuvo por objetivo calcular la clase del instrumento, entonces el ensayo se llama de “calibración” o de “contraste”. En cambio, si tuvo por objetivo determinar si el error máximo del instrumento está dentro del margen especificado por la clase que declaró un fabricante por ejemplo, se denomina ensayo de “verificación”. 32.

(33) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Error del instrumento 3. No siempre para calcular la clase se usa el alcance. En realidad, la clase se calcula como:. Emáximo clase  .100 Valor Fiduciario. donde: Valor fiduciario: es el valor que por convención se toma en un instrumento para especificar su exactitud. Ejemplos de valores fiduciarios: • El límite superior del campo de medida (el alcance), en aparatos con „0‟ en un extremo no fuera de escala. • La suma absoluta de los valores extremos de la escala, en aparatos con „0‟ dentro de la escala. • 90° eléctricos para cofímetros y fasímetros. • La longitud total de la escala para aparatos con escala no lineal contraída. 33.

(34) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Error del instrumento Ejemplos de valores fiduciarios:. Valor fiduciario: 240V Valor fiduciario: 1 A y 100 V respectivamente. -15. 0. +35. mV Valor fiduciario: 50mV. Valor fiduciario: 53Hz 34.

(35) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Error por tendencia del observador Se refiere a la técnica experimental que posee el operador que se repite siempre con la misma intensidad y signo.. Error por efectos circundantes Se refiere a los errores que se repiten en magnitud y signo al repetirse las mismas condiciones experimentales ajenas al instrumento.. Ejemplos: Modificación de una resistencia interna de un instrumento al cambiar la temperatura. Modificación de una impedancia interna de un instrumento al cambiar la frecuencia.  Presencia de vibraciones, presión, humedad, etc.  Formas de onda de tensión o corriente. 35.

(36) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Volviendo a la Clasificación de los Errores Clasificación de los errores. Groseros. Sistemáticos. Accidentales o fortuitos.  Errores Groseros: Son aquellos que por una cuestión inadvertida llevan a una evaluación fallida de la medición.  Errores Sistemáticos: Son aquellos que se repiten en magnitud y signo en una serie de mediciones equivalentes (en igualdad de condiciones). Son desafectables del resultado, bajo ciertas condiciones.  Errores Accidentales: Son aquellos que no se repiten siempre con la misma intensidad y signo sino que siguen leyes del azar. Se los suele llamar residuales. No se 36 pueden desafectar del resultado. Se tratan estadísticamente..

(37) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Errores accidentales o fortuitos Se refiere a los errores que inevitablemente están presentes, pero que siguen las leyes del azar. No se los puede eliminar por eso se los llama “residuales”.. Estos errores no se repiten ni en magnitud ni en signo aunque se repitan las condiciones experimentales, entonces solo un estudio estadístico puede caracterizarlos. Si se tiene información sobre mediciones repetidas se podrá conocer la distribución de frecuencia de ocurrencia de esas mediciones. En general, dentro de las mediciones eléctricas hay tres distribuciones que se usan comúnmente:. La distribución de Gauss. La distribución rectangular o uniforme. La distribución triangular. 37.

(38) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Errores accidentales o fortuitos Al no repetirse en magnitud y signo no se puede hacer ninguna corrección, pero sí, gracias a la teoría estadística, se puede encontrar algún índice de dispersión, que con alguna probabilidad, (también llamado nivel de confianza), defina un intervalo dentro del cual se encuentre el valor verdadero de la medición, y usar ese índice de dispersión para calcular una incertidumbre como veremos más adelante. Valor verdadero Índice de dispersión (con bajo nivel de confianza) Índice de dispersión (con medio nivel de confianza). Índice de dispersión (con alto nivel de confianza). 38.

(39) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Recordando lo visto… Clasificación de los errores. Groseros. Sistemáticos. Se deben detectar y eliminar. De ser posible se deben determinar y desafectar de la medida usando alguna corrección. De no ser posible desafectarlos contribuirán a la incertidumbre.. Accidentales o fortuitos. Se deben estimar y considerar en la incertidumbre.. Entonces una medición tendrá esta forma general:. Valor medido + Corrección ± Incertidumbre (por errores sistemáticos). (por errores fortuitos o sistemáticos no corregidos por falta de alguna información). 39.

(40) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Ejemplo integrador Ejemplo: Se mide una resistencia por el método corto con voltímetro y amperímetro. El voltímetro indica 22,3 V es de clase 0,5 y alcance 25 V. El amperímetro indica 145,5 mA es de clase 0,2 y alcance 150mA. La resistencia interna del voltímetro es 100 kΩ con un error límite de 0.5 kΩ. Suponga además que no se comete error de lectura en ningún instrumento. Determine el valor de la resistencia y su error límite.. Solución: En este caso tendremos las siguientes fuentes de error relevantes: 1. El método empleado (error sistemático) 2. Inexactitud en la medida de V (lo vamos a tratar como si fuese accidental porque no tenemos la quebrada de calibración) 3. Inexactitud en la medida de I (lo vamos a tratar como si fuese accidental porque no tenemos la quebrada de calibración) 40.

(41) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Ejemplo integrador Solución: 1. Ya vimos que para este caso:. Um Rm  Im. 2. Vimos que se comete un error sistemático de método ya que:. Im  Iv  Ir. 𝑈𝑚 = 𝑈𝑟. Por ende. Rm  R. 3. Necesitamos calcular la corrección por método para aplicarla al valor medido. Podemos usar la expresión del error sistemático de método deducida en la transparencia 24 o deducirla nuevamente usando esta vez la ley de propagación del error. En ese caso seria:. 𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝑈𝑚 = 𝑈𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 − 𝑈𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 = 𝑈𝑚 − 𝑈𝑟 = 𝑈𝑟 − 𝑈𝑟 = 0 𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝐼𝑚 = 𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 − 𝐼𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 = 𝐼𝑚 − 𝐼𝑟 = (𝐼𝑣 + 𝐼𝑟 ) − 𝐼𝑟 = 𝐼𝑣 Aplicamos la ley de propagación: (con signo en este caso). 𝐸𝑎𝑏𝑠 método corto. 𝜕𝑅𝑚 𝜕𝑅𝑚 = 𝐸 + 𝐸 𝜕𝑈𝑚 𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝑈𝑚 𝜕𝐼𝑚 𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝐼𝑚 41.

(42) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Ejemplo integrador Solución: Calculamos las derivadas parciales de. 𝜕𝑅𝑚 1 = 𝜕𝑈𝑚 𝐼𝑚 Entonces:. 𝐸𝑎𝑏𝑠 método corto 𝐸𝑎𝑏𝑠. método corto. 𝜕𝑅𝑚 𝑈𝑚 =− 2 𝜕𝐼𝑚 𝐼𝑚. Rm . Um Im. 𝜕𝑅𝑚 𝜕𝑅𝑚 = 𝐸 + 𝐸 𝜕𝑈𝑚 𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝑈𝑚 𝜕𝐼𝑚 𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝐼𝑚 =. 𝐸𝑎𝑏𝑠 método corto. 1 0+ 𝐼𝑚. −. 𝑈𝑚 𝐼𝑚. 2. 𝐼v. 𝑈𝑚 𝑈𝑚 𝑅𝑚 2 = − 2 =− 𝑅 𝑅𝑣 𝐼𝑚 𝑣. 𝐸𝑎𝑏𝑠 método corto. 22,3 𝑉 145,5 𝑚𝐴 =− 100 𝑘Ω. 2. = −0,236692 Ω. (expresión que ya habíamos obtenido en la transparencia 24 por otro camino, lo que muestra que la ley funciona…) 42.

(43) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Solución:. Ejemplo integrador. 4. Nos queda por considerar los errores propios del voltímetro y del amperímetro. • Como no tenemos sus quebradas de calibración como para corregir los valores medidos, calculamos el error límite de cada medida (un valor ±). • Al ser ± los trataremos como errores accidentales, del que solo conocemos sus valores máximos. • Usando la ley de propagación del error nuevamente podemos determinar ahora como influyen los errores límite de cada uno de los instrumentos en el resultado, calculando el error límite de Rm. 𝐸𝑙í𝑚 𝑈𝑚 =. 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑒𝑉 𝐴𝑙𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒𝑉 0,5 25𝑉 = = 0,125𝑉 100 100. 𝐸𝑙í𝑚 𝐼𝑚 =. 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑒𝐼 𝐴𝑙𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒𝐼 0,2 150 𝑚𝐴 = = 0,3 𝑚𝐴 100 100. Aplicamos la ley de propagación: (sin signo definido en este caso). ±𝐸𝑙í𝑚 𝑅𝑚. 𝜕𝑅𝑚 𝜕𝑅𝑚 =± 𝐸𝑙í𝑚 𝑈𝑚 + 𝐸𝑙í𝑚 𝐼𝑚 𝜕𝑈𝑚 𝜕𝐼𝑚. 43.

(44) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Ejemplo integrador Solución: Entonces:. 𝐸lím 𝑅𝑚. 1 𝑈𝑚 =± 𝐸 + − 2 𝐸𝑙í𝑚 𝐼𝑚 𝐼𝑚 𝑙í𝑚 𝑈𝑚 𝐼𝑚. 𝐸lím 𝑅𝑚 = ±. 1 22,3 𝑉 0,125 𝑉 + 0,3𝑚𝐴 145,5 𝑚𝐴 (145,5𝑚𝐴)2. 𝐸lím 𝑅𝑚 = ± 0,859106 Ω + 0,316009 Ω = ± 1,175115 Ω Finalmente, la resistencia R valdría:. 𝑈𝑚 𝑅= + 𝐶𝑜𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 sistemática de método 𝑅𝑚 ± 𝐸lím 𝑅𝑚 𝐼𝑚 (Es el error de método cambiado de signo). 44.

(45) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Ejemplo integrador Solución:. 𝑈𝑚 𝑅= + 𝐶sistemática 𝑅𝑚 ± 𝐸lím 𝑅𝑚 𝐼𝑚 22,3𝑉 𝑅= + 0,236692 Ω ± 1,175115 Ω 145,5𝑚𝐴. 𝑅 = 153,264604 Ω + 0,236692 Ω ± 1,175115 Ω. 𝑅 = 153,501296 Ω ± 1,175115 Ω. 𝑅 = 153,5 ± 1,2 Ω ¿Pero la corrección sistemática por el método es a su vez exacta? : Respuesta: No. ¿Entonces como se tendría que haber resuelto realmente?. 45.

(46) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Ejemplo integrador Solución considerando la influencia de la corrección: Función completa sería en realidad…:. Um R  Corrección sistemática de método Rm  Elím Rm  C Im Donde:. Rm 2. Um R  Im Rv  Elím Rm  C. Um    Um  Im    Im Rv. 2.  R  R R   Elím U m  Elím I m  Elím Rv  I m Rv  U m  46.

(47) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Ejemplo integrador Solución considerando la influencia de la corrección: Resolviendo:. Um    Um  Im  R  Im Rv. 2. 2 Um R 1 1   2  6,8939... U m I m I m Rv A. U m 2 U m2 R V  2  3  1056,5938... 2 I m I m I m Rv A Um R    Rv  Im. 2.  1  2  2,349 10 6  Rv 47.

(48) MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata. Ejemplo integrador Solución considerando la influencia de la corrección:.  Elím Rm  C  Elím Rm  C.  R  R R   Elím U m  Elím I m  Elím Rv  I m Rv  U m . 1 V     6,8939 0,125V  1056,59 2 0,3mA  2,349 10 6 500 A A  . Finalmente:.  Elím RmC  1,179889. 22,3V R  0,236692   1,179889 145,5mA (en este caso la respuesta es similar. 𝑅 = 153,5 ± 1,2 Ω. a la obtenida en la transparencia 45 porque la resistencia del voltímetro contribuye muy poco a Elim Rm+c, PERO EN OTROS CASOS PODRIA NO SER ASI). 48.

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