Rentas Ejemplo:

snakes

Rentas

Ejemplo: Se obtiene de un banco un préstamo por $ 125.000 a pagar en

10 años, en cuotas mesuales consecutivas e iguales, pagando la primera

dentro de un mes. Si el banco nos cobra una TEM del 0,34 %, ¿cuál es el

monto de la cuota mensual que debemos pagar?

Rentas

Ejemplo: Se obtiene de un banco un préstamo por $ 125.000 a pagar en

10 años, en cuotas mesuales consecutivas e iguales, pagando la primera

dentro de un mes. Si el banco nos cobra una TEM del 0,34 %, ¿cuál es el

monto de la cuota mensual que debemos pagar?

Rentas

$ 125.000 = ^C

( 1 + 0, 0034 ) + ^C

( 1 + 0, 0034 ) ² + + ^C

( 1 + 0, 0034 ) ¹²⁰

C = ^125.000

1

( 1 + 0, 0034 ) + ¹

( 1 + 0, 0034 ) ² + + ¹

( 1 + 0, 0034 ) ¹²⁰

...

Rentas

$ 125.000 = ^C

( 1 + 0, 0034 ) + ^C

( 1 + 0, 0034 ) ² + + ^C

( 1 + 0, 0034 ) ¹²⁰

125.000

Rentas

De…nición

Una renta (…nita) es una sucesión de n capitales C 1 , C 2 , . . . , C n , llamados

términos, disponibles a los momentos t ₁ < t ₂ < < t _n (estamos

asumiendo que n es un entero positivo).

Rentas

De…nición

Una renta (…nita) es una sucesión de n capitales C 1 , C 2 , . . . , C n , llamados

términos, disponibles a los momentos t ₁ < t ₂ < < t _n (estamos

asumiendo que n es un entero positivo).

Rentas

Dada una renta. Denotaremos por VA ( t _o ) el valor actual a un momento t _o dado, y VF ( t _f ) , su valor …nal a un momento t _f dado, con

t _o t ₁ < < t _n t _f

Rentas

Dada una tasa de interés p-períodica i ^{( p )} , el valor actual (al momento t _o ), es igual a la suma de los valores actuales al momento t _o de cada uno de los términos que componen la renta

VA ( t o ) =

∑ n k = 1

C k 1 + i ^{( p ) t}

^t

(1)

=

∑ n k = 1

C _k

1 + i ^{( p ) t}

^t

(2) (usando p-períodos para medir los tiempos)

Todas las diferencias t _o t _k , con k 2 f 1, . . . , n g , son no positivas. El valor …nal de la renta al momento t _f

VF ( t _f ) =

∑ n k = 1

C _k 1 + i ^{( p ) t}

^t

(3)

en este caso todas las diferencias t _f t _k , con k 2 f 1, . . . , n g ^{, son no}

negativas.

Rentas

Dada una tasa de interés p-períodica i ^{( p )} , el valor actual (al momento t _o ), es igual a la suma de los valores actuales al momento t _o de cada uno de los términos que componen la renta

VA ( t o ) =

∑ n k = 1

C k 1 + i ^{( p ) t}

^t

(1)

=

∑ n k = 1

C _k

1 + i ^{( p ) t}

^t

(2) (usando p-períodos para medir los tiempos)

Todas las diferencias t _o t _k , con k 2 f 1, . . . , n g , son no positivas. El valor …nal de la renta al momento t _f

VF ( t _f ) =

∑ n k = 1

C _k 1 + i ^{( p ) t}

^t

(3)

en este caso todas las diferencias t _f t _k , con k 2 f 1, . . . , n g ^{, son no}

negativas.

Rentas

Dada una tasa de interés p-períodica i ^{( p )} , el valor actual (al momento t _o ), es igual a la suma de los valores actuales al momento t _o de cada uno de los términos que componen la renta

VA ( t o ) =

∑ n k = 1

C k 1 + i ^{( p ) t}

^t

(1)

=

∑ n k = 1

C _k

1 + i ^{( p ) t}

^t

(2) (usando p-períodos para medir los tiempos)

Todas las diferencias t _o t _k , con k 2 f 1, . . . , n g , son no positivas. El valor …nal de la renta al momento t _f

VF ( t _f ) =

∑ n k = 1

C _k 1 + i ^{( p ) t}

^t

(3)

en este caso todas las diferencias t _f t _k , con k 2 f 1, . . . , n g ^{, son no}

negativas.

Rentas

Dada una tasa de interés p-períodica i ^{( p )} , el valor actual (al momento t _o ), es igual a la suma de los valores actuales al momento t _o de cada uno de los términos que componen la renta

VA ( t o ) =

∑ n k = 1

C k 1 + i ^{( p ) t}

^t

(1)

=

∑ n k = 1

C _k

1 + i ^{( p ) t}

^t

(2) (usando p-períodos para medir los tiempos)

Todas las diferencias t _o t _k , con k 2 f 1, . . . , n g , son no positivas.

El valor …nal de la renta al momento t _f VF ( t _f ) =

∑ n k = 1

C _k 1 + i ^{( p ) t}

^t

(3)

en este caso todas las diferencias t _f t _k , con k 2 f 1, . . . , n g ^{, son no}

negativas.

Rentas

Dada una tasa de interés p-períodica i ^{( p )} , el valor actual (al momento t _o ), es igual a la suma de los valores actuales al momento t _o de cada uno de los términos que componen la renta

VA ( t o ) =

∑ n k = 1

C k 1 + i ^{( p ) t}

^t

(1)

=

∑ n k = 1

C _k

1 + i ^{( p ) t}

^t

(2) (usando p-períodos para medir los tiempos)

Todas las diferencias t _o t _k , con k 2 f 1, . . . , n g , son no positivas.

El valor …nal de la renta al momento t _f VF ( t ) =

∑ n ^{C 1 + i ( p ) t}

^t

⁽³⁾

Rentas

Al capitalizar el valor actual VA ( t _o ) de la renta al momento t _o durante t _f t _o p-períodos a la tasa p-períodica i ^{( p )} obtenemos el valor …nal VF ( t _f ) de la renta

VA ( t _o ) 1 + i ^{( p ) t}

^t

=

∑ n k = 1

C _k 1 + i ^{( p ) t}

^t

!

1 + i ^{( p ) t}

^t

=

∑ n k = 1

C _k 1 + i ^{( p ) t}

^t

1 + i ^{( p ) t}

^t

=

∑ n k = 1

C k 1 + i ^{( p ) t}

^t

= VF ( t _f )

Si actualizamos VF ( t _f ) unos t _f t _o p-períodos obtenemos el valor actual VF ( t _f )

1 + i ^{( p ) t}

^t

= VA ( t o )

Rentas

Al capitalizar el valor actual VA ( t _o ) de la renta al momento t _o durante t _f t _o p-períodos a la tasa p-períodica i ^{( p )} obtenemos el valor …nal VF ( t _f ) de la renta

VA ( t _o ) 1 + i ^{( p ) t}

^t

=

∑ n k = 1

C _k 1 + i ^{( p ) t}

^t

!

1 + i ^{( p ) t}

^t

=

∑ n k = 1

C _k 1 + i ^{( p ) t}

^t

1 + i ^{( p ) t}

^t

=

∑ n k = 1

C k 1 + i ^{( p ) t}

^t

= VF ( t _f )

Si actualizamos VF ( t _f ) unos t _f t _o p-períodos obtenemos el valor actual VF ( t _f )

1 + i ^{( p ) t}

^t

= VA ( t o )

Rentas

Al capitalizar el valor actual VA ( t _o ) de la renta al momento t _o durante t _f t _o p-períodos a la tasa p-períodica i ^{( p )} obtenemos el valor …nal VF ( t _f ) de la renta

VA ( t _o ) 1 + i ^{( p ) t}

^t

=

∑ n k = 1

C _k 1 + i ^{( p ) t}

^t

!

1 + i ^{( p ) t}

^t

=

∑ n k = 1

C _k 1 + i ^{( p ) t}

^t

1 + i ^{( p ) t}

^t

=

∑ n k = 1

C k 1 + i ^{( p ) t}

^t

= VF ( t _f )

Si actualizamos VF ( t _f ) unos t _f t _o p-períodos obtenemos el valor actual VF ( t _f )

1 + i ^{( p ) t}

^t

= VA ( t o )

Rentas

Al capitalizar el valor actual VA ( t _o ) de la renta al momento t _o durante t _f t _o p-períodos a la tasa p-períodica i ^{( p )} obtenemos el valor …nal VF ( t _f ) de la renta

VA ( t _o ) 1 + i ^{( p ) t}

^t

=

∑ n k = 1

C _k 1 + i ^{( p ) t}

^t

!

1 + i ^{( p ) t}

^t

=

∑ n k = 1

C _k 1 + i ^{( p ) t}

^t

1 + i ^{( p ) t}

^t

=

∑ n k = 1

C k 1 + i ^{( p ) t}

^t

= VF ( t _f )

Si actualizamos VF ( t _f ) unos t _f t _o p-períodos obtenemos el valor actual VF ( t _f )

1 + i ^{( p ) t}

^t

= VA ( t o )

Rentas

Al capitalizar el valor actual VA ( t _o ) de la renta al momento t _o durante t _f t _o p-períodos a la tasa p-períodica i ^{( p )} obtenemos el valor …nal VF ( t _f ) de la renta

VA ( t _o ) 1 + i ^{( p ) t}

^t

=

∑ n k = 1

C _k 1 + i ^{( p ) t}

^t

!

1 + i ^{( p ) t}

^t

=

∑ n k = 1

C _k 1 + i ^{( p ) t}

^t

1 + i ^{( p ) t}

^t

=

∑ n k = 1

C _k 1 + i ^{( p ) t}

^t

=

VF ( t _f )

Si actualizamos VF ( t _f ) unos t _f t _o p-períodos obtenemos el valor actual VF ( t _f )

1 + i ^{( p ) t}

^t

= VA ( t o )

Rentas

Al capitalizar el valor actual VA ( t _o ) de la renta al momento t _o durante t _f t _o p-períodos a la tasa p-períodica i ^{( p )} obtenemos el valor …nal VF ( t _f ) de la renta

VA ( t _o ) 1 + i ^{( p ) t}

^t

=

∑ n k = 1

C _k 1 + i ^{( p ) t}

^t

!

1 + i ^{( p ) t}

^t

=

∑ n k = 1

C _k 1 + i ^{( p ) t}

^t

1 + i ^{( p ) t}

^t

=

∑ n k = 1

C _k 1 + i ^{( p ) t}

^t

= VF ( t _f )

Si actualizamos VF ( t _f ) unos t _f t _o p-períodos obtenemos el valor actual VF ( t _f )

1 + i ^{( p ) t}

^t

= VA ( t o )

Rentas

Al capitalizar el valor actual VA ( t _o ) de la renta al momento t _o durante t _f t _o p-períodos a la tasa p-períodica i ^{( p )} obtenemos el valor …nal VF ( t _f ) de la renta

VA ( t _o ) 1 + i ^{( p ) t}

^t

=

∑ n k = 1

C _k 1 + i ^{( p ) t}

^t

!

1 + i ^{( p ) t}

^t

=

∑ n k = 1

C _k 1 + i ^{( p ) t}

^t

1 + i ^{( p ) t}

^t

=

∑ n k = 1

C _k 1 + i ^{( p ) t}

^t

= VF ( t _f )

Si actualizamos VF ( t _f ) unos t _f t _o p-períodos obtenemos el valor actual VF ( t _f )

1 + i ^{( p ) t}

^t

= VA ( t o )

Rentas Cosntantes

Consideremos una renta de n términos a una tasa p-períodica i ^{( p )} . Analizaremos el caso donde todos los términos (capitales) de la renta son iguales

C 1 = C 2 = = C n = C

de ahi el nombre de rentas constantes.

Rentas Cosntantes

VA ( t o ) =

∑ n k = 1

C _k

1 + i ^{( p ) t}

^t

(4) C ₁ = C ₂ = = C _n = C

VA ( t o ) = C

∑ n k = 1

1

1 + i ^{( p ) t}

^t

(5)

Rentas Cosntantes

VA ( t o ) =

∑ n k = 1

C _k

1 + i ^{( p ) t}

^t

(4) C ₁ = C ₂ = = C _n = C

VA ( t o ) = C

∑ n k = 1

1

1 + i ^{( p ) t}

^t

(5)

Rentas Cosntantes

VA ( t _o ) = C

∑ n k = 1

1

1 + i ^{( p ) t}

^t

(6)

Si consideremos que la sucesión temporal de las imposiciones tiene un paso constante unitario de un p-período

t _{k + 1} t _k = 1 p-período, para 1 k n 1

t _k = t ₁ + ( k 1 ) para 1 k n 1

VA ( t o ) = C

∑ n k = 1

1

1 + i ^{( p ) t}

^{+ k t}

¹

(Recordar que t o y t 1 están medido en p-períodos).

Rentas Cosntantes

VA ( t _o ) = C

∑ n k = 1

1

1 + i ^{( p ) t}

^t

(6) Si consideremos que la sucesión temporal de las imposiciones tiene un paso constante unitario de un p-período

t _{k + 1} t _k = 1 p-período, para 1 k n 1

t _k = t ₁ + ( k 1 ) para 1 k n 1

VA ( t o ) = C

∑ n k = 1

1

1 + i ^{( p ) t}

^{+ k t}

¹

(Recordar que t o y t 1 están medido en p-períodos).

Rentas Cosntantes

VA ( t _o ) = C

∑ n k = 1

1

1 + i ^{( p ) t}

^t

(6) Si consideremos que la sucesión temporal de las imposiciones tiene un paso constante unitario de un p-período

t _{k + 1} t _k = 1 p-período, para 1 k n 1

t _k = t ₁ + ( k 1 ) para 1 k n 1

VA ( t o ) = C

∑ n k = 1

1

1 + i ^{( p ) t}

^{+ k t}

¹

(Recordar que t o y t 1 están medido en p-períodos).

Rentas Cosntantes

VA ( t _o ) = C

∑ n k = 1

1

1 + i ^{( p ) t}

^t

(6) Si consideremos que la sucesión temporal de las imposiciones tiene un paso constante unitario de un p-período

t _{k + 1} t _k = 1 p-período, para 1 k n 1

t _k = t ₁ + ( k 1 ) para 1 k n 1

VA ( t o ) = C

∑ n ^{1 t + k t 1}

Rentas Vencidas o postpagables

El modelo de rentas que vamos a estudiar ahora se corresponde

perfectamente con situaciones tales como el cobro de un sueldo, o el pago de algunos servicios (luz, gas, etc.). Primero se trabaja o brinda el

servicio, y luego se realizan las imposiciones correspondientes (pagos o cobros). Es decir, las imposiciones se hacen al …nal del cada período

El valor actual corresponde calcularlo un período de tiempo antes de la imposición del primer capital:

t o = t 1 1

Es claro a partir del ejemplo del cobro de un sueldo: uno comienza a trabajar en el momento t o y recién recibe el primer pago en el momento

t 1 = t o + 1

El valor …nal, corresponde calcularlo al mismo momento de la imposición del último capital, ya que en ese momento términa el compromiso asumido:

t _f = t _n

Rentas Vencidas o postpagables

El modelo de rentas que vamos a estudiar ahora se corresponde

perfectamente con situaciones tales como el cobro de un sueldo, o el pago de algunos servicios (luz, gas, etc.). Primero se trabaja o brinda el

servicio, y luego se realizan las imposiciones correspondientes (pagos o cobros). Es decir, las imposiciones se hacen al …nal del cada período El valor actual corresponde calcularlo un período de tiempo antes de la imposición del primer capital:

t o = t 1 1

Es claro a partir del ejemplo del cobro de un sueldo: uno comienza a trabajar en el momento t o y recién recibe el primer pago en el momento

t 1 = t o + 1

El valor …nal, corresponde calcularlo al mismo momento de la imposición del último capital, ya que en ese momento términa el compromiso asumido:

t _f = t _n

Rentas Vencidas o postpagables

El modelo de rentas que vamos a estudiar ahora se corresponde

perfectamente con situaciones tales como el cobro de un sueldo, o el pago de algunos servicios (luz, gas, etc.). Primero se trabaja o brinda el

servicio, y luego se realizan las imposiciones correspondientes (pagos o cobros). Es decir, las imposiciones se hacen al …nal del cada período El valor actual corresponde calcularlo un período de tiempo antes de la imposición del primer capital:

t o = t 1 1

Es claro a partir del ejemplo del cobro de un sueldo: uno comienza a trabajar en el momento t o y recién recibe el primer pago en el momento

t 1 = t o + 1

El valor …nal, corresponde calcularlo al mismo momento de la imposición del último capital, ya que en ese momento términa el compromiso asumido:

t _f = t _n

Rentas Vencidas o postpagables

El modelo de rentas que vamos a estudiar ahora se corresponde

perfectamente con situaciones tales como el cobro de un sueldo, o el pago de algunos servicios (luz, gas, etc.). Primero se trabaja o brinda el

servicio, y luego se realizan las imposiciones correspondientes (pagos o cobros). Es decir, las imposiciones se hacen al …nal del cada período El valor actual corresponde calcularlo un período de tiempo antes de la imposición del primer capital:

t o = t 1 1

Es claro a partir del ejemplo del cobro de un sueldo: uno comienza a trabajar en el momento t o y recién recibe el primer pago en el momento

t 1 = t o + 1

Rentas Vencidas o postpagables

Comenzaremos analizando la situación t o = 0 y por lo tanto

t ₁ = 1, t ₂ = 2, . . . , t n = n

Rentas Vencidas o postpagables

VA ( t o ) = C

∑ n k = 1

1

( ^{1 + i}

)

^{y t o} = 0, t 1 = 1, t 2 = 2, . . . , t n = n

VA ( 0 ) = C

∑ n k = 1

1 1 + i ^{( p ) k}

.

Rentas Vencidas o postpagables

VA ( t o ) = C

∑ n k = 1

1

( ^{1 + i}

)

^{y t o} = 0, t 1 = 1, t 2 = 2, . . . , t n = n VA ( 0 ) = C

∑ n k = 1

1 1 + i ^{( p ) k}

.

Rentas Vencidas o postpagables

VA ( 0 ) = C

∑ n k = 1

1 1 + i ^{( p ) k}

.

∑ n k = 1

1

1 + i ^{( p ) k} = ¹ 1 + i ^{( p )}

n 1 ∑

k = 0

1 1 + i ^{( p ) k}

= ¹

1 + i ^{( p )}

1 1

1 + i ^{( p ) n}

1 1

1 + i ^{( p )}

=

1 1 + i ^{( p ) n}

i ^{( p )}

Rentas Vencidas o postpagables

VA ( 0 ) = C

∑ n k = 1

1 1 + i ^{( p ) k}

.

∑ n k = 1

1 1 + i ^{( p ) k}

= ¹

1 + i ^{( p )}

n 1 ∑

k = 0

1 1 + i ^{( p ) k}

= ¹

1 + i ^{( p )}

1 1

1 + i ^{( p ) n}

1 1

1 + i ^{( p )}

=

1 1 + i ^{( p ) n}

i ^{( p )}

Rentas Vencidas o postpagables

VA ( 0 ) = C

∑ n k = 1

1 1 + i ^{( p ) k}

.

∑ n k = 1

1

1 + i ^{( p ) k} = ¹ 1 + i ^{( p )}

n 1 ∑

k = 0

1 1 + i ^{( p ) k}

= ¹

1 + i ^{( p )}

1 1

1 + i ^{( p ) n}

1 1

1 + i ^{( p )}

=

1 1 + i ^{( p ) n}

i ^{( p )}

Rentas Vencidas o postpagables

VA ( 0 ) = C

∑ n k = 1

1 1 + i ^{( p ) k}

.

∑ n k = 1

1

1 + i ^{( p ) k} = ¹ 1 + i ^{( p )}

n 1 ∑

k = 0

1 1 + i ^{( p ) k}

= ¹

1 + i ^{( p )}

1 1

1 + i ^{( p ) n}

1 1

1 + i ^{( p )}

=

1 1 + i ^{( p ) n}

i ^{( p )}

Rentas Vencidas o postpagables

VA ( 0 ) = C

∑ n k = 1

1 1 + i ^{( p ) k}

.

∑ n k = 1

1

1 + i ^{( p ) k} = ¹ 1 + i ^{( p )}

n 1 ∑

k = 0

1 1 + i ^{( p ) k}

= ¹

1 + i ^{( p )}

1 1

1 + i ^{( p ) n}

1 1

1 + i ^{( p )}

n

Rentas Vencidas o postpagables

Rentas Vencidas o postpagables

VA ( 0 ) = C

∑ n k = 1

1

( ^{1 + i}

)

^y

∑ n k = 1

1

( ^{1 + i}

)

=

1 1 + i ^{( p ) n} i ^{( p )}

.

VA ( 0 ) = C

1 1 + i ^{( p ) n}

i ^{( p )} (7)

Podemos obtener, una expresión para el valor …nal de una renta vencida al momento t _f = t _n = n

VF ( n ) = VA ( 0 ) 1 + i ^{( p ) n} = C

1 + i ^{( p ) n} 1

i ^{( p )} (8)

Rentas Vencidas o postpagables

VA ( 0 ) = C

∑ n k = 1

1

( ^{1 + i}

)

^y

∑ n k = 1

1

( ^{1 + i}

)

=

1 1 + i ^{( p ) n} i ^{( p )}

.

VA ( 0 ) = C

1 1 + i ^{( p ) n}

i ^{( p )} (7)

Podemos obtener, una expresión para el valor …nal de una renta vencida al momento t _f = t _n = n

VF ( n ) = VA ( 0 ) 1 + i ^{( p ) n} = C

1 + i ^{( p ) n} 1

i ^{( p )} (8)

Rentas Vencidas o postpagables

VA ( 0 ) = C

∑ n k = 1

1

( ^{1 + i}

)

^y

∑ n k = 1

1

( ^{1 + i}

)

=

1 1 + i ^{( p ) n} i ^{( p )}

.

VA ( 0 ) = C

1 1 + i ^{( p ) n}

i ^{( p )} (7)

Podemos obtener, una expresión para el valor …nal de una renta vencida al momento t _f = t _n = n

( p ) ⁿ 1 + i ^{( p ) n} 1

Rentas Vencidas o postpagables

Ejemplo: Un programa de televisión anuncia un premio $ 300.000, consistente un sueldo …jo a mes vencido de $ 2.500 mensuales durante 10 años. Si la tasa que ud. puede conseguir es del 0,85% mensual, que pre…ere, el esquema de sueldos o $ 200.000 en efectivo (en caso de ganar el concurso correspondiente).

Tenemso que C = 2.500, i ^{( p )} = 0.0085, n = 120, VA ( 0 ) = ?

VA ( 0 ) = 2.500 1 ( 1 + 0, 0085 ) ¹²⁰

0, 0085 = 187.602, 16

Esto nos dice que el premio de “$ 300.000” en realidad hoy vale $

187.602,16, y por lo tanto si hoy nos ofrecen $ 200.000 en efectivo

deberíamos aceptarlos

Rentas Vencidas o postpagables

Ejemplo: Un programa de televisión anuncia un premio $ 300.000, consistente un sueldo …jo a mes vencido de $ 2.500 mensuales durante 10 años. Si la tasa que ud. puede conseguir es del 0,85% mensual, que pre…ere, el esquema de sueldos o $ 200.000 en efectivo (en caso de ganar el concurso correspondiente).

Tenemso que C = 2.500, i ^{( p )} = 0.0085, n = 120, VA ( 0 ) = ?

VA ( 0 ) = 2.500 1 ( 1 + 0, 0085 ) ¹²⁰

0, 0085 = 187.602, 16

Esto nos dice que el premio de “$ 300.000” en realidad hoy vale $

187.602,16, y por lo tanto si hoy nos ofrecen $ 200.000 en efectivo

deberíamos aceptarlos

Rentas Vencidas o postpagables

Ejemplo: Un programa de televisión anuncia un premio $ 300.000, consistente un sueldo …jo a mes vencido de $ 2.500 mensuales durante 10 años. Si la tasa que ud. puede conseguir es del 0,85% mensual, que pre…ere, el esquema de sueldos o $ 200.000 en efectivo (en caso de ganar el concurso correspondiente).

Tenemso que C = 2.500, i ^{( p )} = 0.0085, n = 120, VA ( 0 ) = ?

VA ( 0 ) = 2.500 1 ( 1 + 0, 0085 ) ¹²⁰

0, 0085 = 187.602, 16

Esto nos dice que el premio de “$ 300.000” en realidad hoy vale $

187.602,16, y por lo tanto si hoy nos ofrecen $ 200.000 en efectivo

deberíamos aceptarlos

Rentas Vencidas o postpagables

Ejemplo: Si ud. toma los $ 200.000 del premio y los depósita al 0,85%

mensual, ¿Cuál es el monto que puede retirar del banco mes a mes por los próximos 10 años? GRAFICAR

VA ( 0 ) = C

1 1 + i ^{( p ) n} i ^{( p )}

donde VA ( 0 ) = 200000, i ^{( p )} = 0.0085, n = 120, C = ? C = ^VA ( 0 ) i ^{( p )}

1 1 + i ^{( p ) n} (9)

C = 200.000 0.0085

1 ( 1 + 0.0085 ) ¹²⁰ = 2665.21458

Rentas Vencidas o postpagables

Ejemplo: Si ud. toma los $ 200.000 del premio y los depósita al 0,85%

mensual, ¿Cuál es el monto que puede retirar del banco mes a mes por los próximos 10 años? GRAFICAR

VA ( 0 ) = C

1 1 + i ^{( p ) n} i ^{( p )}

donde VA ( 0 ) = 200000, i ^{( p )} = 0.0085, n = 120, C = ?

C = ^VA ( 0 ) i ^{( p )}

1 1 + i ^{( p ) n} (9)

C = 200.000 0.0085

1 ( 1 + 0.0085 ) ¹²⁰ = 2665.21458

Rentas Vencidas o postpagables

Ejemplo: Si ud. toma los $ 200.000 del premio y los depósita al 0,85%

mensual, ¿Cuál es el monto que puede retirar del banco mes a mes por los próximos 10 años? GRAFICAR

VA ( 0 ) = C

1 1 + i ^{( p ) n} i ^{( p )}

donde VA ( 0 ) = 200000, i ^{( p )} = 0.0085, n = 120, C = ? C = ^VA ( 0 ) i ^{( p )}

1 1 + i ^{( p ) n} (9)

C = 200.000 0.0085

1 ( 1 + 0.0085 ) ¹²⁰ = 2665.21458

Rentas Vencidas o postpagables

Ejemplo: Si ud. toma los $ 200.000 del premio y los depósita al 0,85%

mensual, ¿Cuál es el monto que puede retirar del banco mes a mes por los próximos 10 años? GRAFICAR

VA ( 0 ) = C

1 1 + i ^{( p ) n} i ^{( p )}

donde VA ( 0 ) = 200000, i ^{( p )} = 0.0085, n = 120, C = ? C = ^VA ( 0 ) i ^{( p )}

1 1 + i ^{( p ) n} (9)

C = 200.000 0.0085

1 ( 1 + 0.0085 ) ¹²⁰ = 2665.21458

Rentas Vencidas o postpagables

Ejemplo: Si ud. toma los $ 200.000 del premio y los depósita al 0,85% mensual,

¿Durante cuánto tiempo podrá extraer mensualmente $ 2.500? GRAFICAR

VA ( 0 ) = C

1 1 + i ^{( p ) n} i ^{( p )}

donde VA ( 0 ) = 200000, i ^{( p )} = 0.0085, C = 2500, n = ?

C VA ( 0 ) i ^{( p )} = C 1 + i ^{( p ) n} C VA ( 0 ) i ^{( p )}

C = 1 + i ^{( p ) n}

log C VA ( 0 ) i ^{( p )} log C = n log 1 + i ^{( p )} Luego,

n =

log C log C VA ( 0 ) i ^{( p )}

log 1 + i ^{( p )} (10)

n = ^{log 2.500 log} ( 2.500 200.000 0, 0085 )

log ( 1 + 0, 0085 ) = 134.62001

Rentas Vencidas o postpagables

Ejemplo: Si ud. toma los $ 200.000 del premio y los depósita al 0,85% mensual,

¿Durante cuánto tiempo podrá extraer mensualmente $ 2.500? GRAFICAR

VA ( 0 ) = C

1 1 + i ^{( p ) n} i ^{( p )}

donde VA ( 0 ) = 200000, i ^{( p )} = 0.0085, C = 2500, n = ?

C VA ( 0 ) i ^{( p )} = C 1 + i ^{( p ) n} C VA ( 0 ) i ^{( p )}

C = 1 + i ^{( p ) n}

log C VA ( 0 ) i ^{( p )} log C = n log 1 + i ^{( p )} Luego,

n =

log C log C VA ( 0 ) i ^{( p )}

log 1 + i ^{( p )} (10)

n = ^{log 2.500 log} ( 2.500 200.000 0, 0085 )

log ( 1 + 0, 0085 ) = 134.62001

Rentas Vencidas o postpagables

Ejemplo: Si ud. toma los $ 200.000 del premio y los depósita al 0,85% mensual,

¿Durante cuánto tiempo podrá extraer mensualmente $ 2.500? GRAFICAR

VA ( 0 ) = C

1 1 + i ^{( p ) n} i ^{( p )}

donde VA ( 0 ) = 200000, i ^{( p )} = 0.0085, C = 2500, n = ?

C VA ( 0 ) i ^{( p )} = C 1 + i ^{( p ) n}

C VA ( 0 ) i ^{( p )}

C = 1 + i ^{( p ) n}

log C VA ( 0 ) i ^{( p )} log C = n log 1 + i ^{( p )} Luego,

n =

log C log C VA ( 0 ) i ^{( p )}

log 1 + i ^{( p )} (10)

n = ^{log 2.500 log} ( 2.500 200.000 0, 0085 )

log ( 1 + 0, 0085 ) = 134.62001

Rentas Vencidas o postpagables

Ejemplo: Si ud. toma los $ 200.000 del premio y los depósita al 0,85% mensual,

¿Durante cuánto tiempo podrá extraer mensualmente $ 2.500? GRAFICAR

VA ( 0 ) = C

1 1 + i ^{( p ) n} i ^{( p )}

donde VA ( 0 ) = 200000, i ^{( p )} = 0.0085, C = 2500, n = ?

C VA ( 0 ) i ^{( p )} = C 1 + i ^{( p ) n} C VA ( 0 ) i ^{( p )}

C = 1 + i ^{( p ) n}

log C VA ( 0 ) i ^{( p )} log C = n log 1 + i ^{( p )} Luego,

n =

log C log C VA ( 0 ) i ^{( p )}

log 1 + i ^{( p )} (10)

n = ^{log 2.500 log} ( 2.500 200.000 0, 0085 )

log ( 1 + 0, 0085 ) = 134.62001

Rentas Vencidas o postpagables

Ejemplo: Si ud. toma los $ 200.000 del premio y los depósita al 0,85% mensual,

¿Durante cuánto tiempo podrá extraer mensualmente $ 2.500? GRAFICAR

VA ( 0 ) = C

1 1 + i ^{( p ) n} i ^{( p )}

donde VA ( 0 ) = 200000, i ^{( p )} = 0.0085, C = 2500, n = ?

C VA ( 0 ) i ^{( p )} = C 1 + i ^{( p ) n} C VA ( 0 ) i ^{( p )}

C = 1 + i ^{( p ) n}

log C VA ( 0 ) i ^{( p )} log C = n log 1 + i ^{( p )}

Luego,

n =

log C log C VA ( 0 ) i ^{( p )}

log 1 + i ^{( p )} (10)

n = ^{log 2.500 log} ( 2.500 200.000 0, 0085 )

log ( 1 + 0, 0085 ) = 134.62001

Rentas Vencidas o postpagables

Ejemplo: Si ud. toma los $ 200.000 del premio y los depósita al 0,85% mensual,

¿Durante cuánto tiempo podrá extraer mensualmente $ 2.500? GRAFICAR

VA ( 0 ) = C

1 1 + i ^{( p ) n} i ^{( p )}

donde VA ( 0 ) = 200000, i ^{( p )} = 0.0085, C = 2500, n = ?

C VA ( 0 ) i ^{( p )} = C 1 + i ^{( p ) n} C VA ( 0 ) i ^{( p )}

C = 1 + i ^{( p ) n}

log C VA ( 0 ) i ^{( p )} log C = n log 1 + i ^{( p )} Luego,

n =

log C log C VA ( 0 ) i ^{( p )}

log 1 + i ^{( p )} (10)

n = ^{log 2.500 log} ( 2.500 200.000 0, 0085 )

log ( 1 + 0, 0085 ) = 134.62001

Rentas Vencidas o postpagables

Ejemplo: Si ud. toma los $ 200.000 del premio y los depósita al 0,85% mensual,

¿Durante cuánto tiempo podrá extraer mensualmente $ 2.500? GRAFICAR

VA ( 0 ) = C

1 1 + i ^{( p ) n} i ^{( p )}

donde VA ( 0 ) = 200000, i ^{( p )} = 0.0085, C = 2500, n = ?

C VA ( 0 ) i ^{( p )} = C 1 + i ^{( p ) n} C VA ( 0 ) i ^{( p )}

C = 1 + i ^{( p ) n}

log C VA ( 0 ) i ^{( p )} log C = n log 1 + i ^{( p )} Luego,

log C log C VA ( 0 ) i ^{( p )}

Rentas Vencidas o postpagables

VF ( n ) = VA ( 0 ) 1 + i ^{( p ) n} = C

1 + i ^{( p ) n} 1

i ^{( p )} (11)

Ejemplo:. Don Máximo puede ahorrar al …nal de cada mes $700. La tasa que puede conseguir es del 0,75% mensual. ¿Cuál es el monto acumulado del que dispondrá Don Máximo al cabo de 5 años? GRAFICAR

Tenemos que C = 700, i ^{( p )} = 0.0075, n = 36, VF ( 60 ) = ?

VF ( 60 ) = 700 ( 1 + 0.0075 ) ⁶⁰ 1

0.0075 = 700 75, 4241369253 = 52.796, 89585

Rentas Vencidas o postpagables

VF ( n ) = VA ( 0 ) 1 + i ^{( p ) n} = C

1 + i ^{( p ) n} 1

i ^{( p )} (11)

Ejemplo:. Don Máximo puede ahorrar al …nal de cada mes $700. La tasa que puede conseguir es del 0,75% mensual. ¿Cuál es el monto acumulado del que dispondrá Don Máximo al cabo de 5 años? GRAFICAR

Tenemos que C = 700, i ^{( p )} = 0.0075, n = 36, VF ( 60 ) = ?

VF ( 60 ) = 700 ( 1 + 0.0075 ) ⁶⁰ 1

0.0075 = 700 75, 4241369253 = 52.796, 89585

Rentas Vencidas o postpagables

VF ( n ) = VA ( 0 ) 1 + i ^{( p ) n} = C

1 + i ^{( p ) n} 1

i ^{( p )} (11)

Ejemplo:. Don Máximo puede ahorrar al …nal de cada mes $700. La tasa que puede conseguir es del 0,75% mensual. ¿Cuál es el monto acumulado del que dispondrá Don Máximo al cabo de 5 años? GRAFICAR

Tenemos que C = 700, i ^{( p )} = 0.0075, n = 36, VF ( 60 ) = ?

VF ( 60 ) = 700 ( 1 + 0.0075 ) ⁶⁰ 1

0.0075 = 700 75, 4241369253 = 52.796, 89585

Rentas Vencidas o postpagables

Observación:

Los factores

1 1 + i ^{( p ) n} i ^{( p )} y

1 + i ^{( p ) n} 1 i ^{( p )}

suelen ser llamados multiplicadores. Ellos dan el valor actual (al momento 0 ) y el valor …nal (al momento n ), respectivamente, de una renta unitaria ( C = $ 1 ), de n términos consecutivos con paso unitario p -períodico (iniciada al momento 1 y …nalizada al momento n ) a una tasa p -períodica i .

Las formulas presentadas calculan el valor actual de la renta dada un p -período antes de la imposición del primer capital. Por ejemplo si tenemos un renta bimestral cuyo primer término esta disponible en el mes 5 y nos da el valor actual de la renta (una cantidad de dinero) al mes 3.

El n que aparece en las fórmulas anteriores coincide siempre con el número

de términos de la renta, y como veremos más adelante no tiene porque

coincidir con el período al que es impuesto el último término.

Rentas Vencidas o postpagables

Observación:

Los factores

1 1 + i ^{( p ) n} i ^{( p )} y

1 + i ^{( p ) n} 1 i ^{( p )}

suelen ser llamados multiplicadores. Ellos dan el valor actual (al momento 0 ) y el valor …nal (al momento n ), respectivamente, de una renta unitaria ( C = $ 1 ), de n términos consecutivos con paso unitario p -períodico (iniciada al momento 1 y …nalizada al momento n ) a una tasa p -períodica i . Las formulas presentadas calculan el valor actual de la renta dada un p -período antes de la imposición del primer capital. Por ejemplo si tenemos un renta bimestral cuyo primer término esta disponible en el mes 5 y nos da el valor actual de la renta (una cantidad de dinero) al mes 3.

El n que aparece en las fórmulas anteriores coincide siempre con el número

de términos de la renta, y como veremos más adelante no tiene porque

coincidir con el período al que es impuesto el último término.

Rentas Vencidas o postpagables

Observación:

Los factores

1 1 + i ^{( p ) n} i ^{( p )} y

1 + i ^{( p ) n} 1 i ^{( p )}

suelen ser llamados multiplicadores. Ellos dan el valor actual (al momento

0 ) y el valor …nal (al momento n ), respectivamente, de una renta unitaria

( C = $ 1 ), de n términos consecutivos con paso unitario p -períodico

(iniciada al momento 1 y …nalizada al momento n ) a una tasa p -períodica i .

Las formulas presentadas calculan el valor actual de la renta dada un

p -período antes de la imposición del primer capital. Por ejemplo si tenemos

un renta bimestral cuyo primer término esta disponible en el mes 5 y nos da

el valor actual de la renta (una cantidad de dinero) al mes 3.

Rentas Vencidas o postpagables

Ejemplo:. Ud. esta ahorrando $ 250 al …nal de cada mes para su

jubilación. En este momento tiene 30 años y espera jubilarse a los 65 años.

Después de retirarse espera vivir hasta los 85 años. ¿Cuánto podrá retirar mes a mes del banco una vez que se jubile si este le paga una TNA del 6.2%?

En este problema tenemos dos rentas relacionadas: el valor …nal de la

primera es el valor actual de la segunda. GRAFICAR

Rentas Vencidas o postpagables

Ejemplo:. Ud. esta ahorrando $ 250 al …nal de cada mes para su

jubilación. En este momento tiene 30 años y espera jubilarse a los 65 años.

Después de retirarse espera vivir hasta los 85 años. ¿Cuánto podrá retirar mes a mes del banco una vez que se jubile si este le paga una TNA del 6.2%?

En este problema tenemos dos rentas relacionadas: el valor …nal de la

primera es el valor actual de la segunda. GRAFICAR

Rentas Vencidas o postpagables

Comenzaremos calculando el valor …nal de la primer renta o renta de ahorro

VF _ahorro = 250

1 + ^0.062 12

35 12

1 0.062

12

= 373039.91

Esta cantidad de dinero es el valor actual de la renta de jubilación VF _ahorro = VA _jubilación

donde esta igualdad se da a los 420 meses (dentro de 35 años, es decir cuando tenga 75 años).

La segunda renta comienza en el período 421 y términa en el período 660 por lo que el número de términos es

660 421 + 1 = 240 = 20 12 Ahora

373039.91 = VA _jubilación = C _jubilación

1 1 + ^0.062 12

20 12

0.062 12 de donde

C _jubilación = $ 2 715.79

Rentas Vencidas o postpagables

Comenzaremos calculando el valor …nal de la primer renta o renta de ahorro

VF _ahorro = 250

1 + ^0.062 12

35 12

1 0.062

12

= 373039.91

Esta cantidad de dinero es el valor actual de la renta de jubilación VF _ahorro = VA _jubilación

donde esta igualdad se da a los 420 meses (dentro de 35 años, es decir cuando tenga 75 años).

La segunda renta comienza en el período 421 y términa en el período 660 por lo que el número de términos es

660 421 + 1 = 240 = 20 12 Ahora

373039.91 = VA _jubilación = C _jubilación

1 1 + ^0.062 12

20 12

0.062 12 de donde

C _jubilación = $ 2 715.79

Rentas Vencidas o postpagables

Comenzaremos calculando el valor …nal de la primer renta o renta de ahorro

VF _ahorro = 250

1 + ^0.062 12

35 12

1 0.062

12

= 373039.91

Esta cantidad de dinero es el valor actual de la renta de jubilación VF _ahorro = VA _jubilación

donde esta igualdad se da a los 420 meses (dentro de 35 años, es decir cuando tenga 75 años).

La segunda renta comienza en el período 421 y términa en el período 660 por lo que el número de términos es

660 421 + 1 = 240 = 20 12 Ahora

373039.91 = VA _jubilación = C _jubilación

1 1 + ^0.062 12

20 12

0.062 12 de donde

C _jubilación = $ 2 715.79

Rentas Vencidas o postpagables

Comenzaremos calculando el valor …nal de la primer renta o renta de ahorro

VF _ahorro = 250

1 + ^0.062 12

35 12

1 0.062

12

= 373039.91

Esta cantidad de dinero es el valor actual de la renta de jubilación VF _ahorro = VA _jubilación

donde esta igualdad se da a los 420 meses (dentro de 35 años, es decir cuando tenga 75 años).

La segunda renta comienza en el período 421 y términa en el período 660 por lo que el número de términos es

Ahora

373039.91 = VA _jubilación = C _jubilación

1 1 + ^0.062 12

20 12

0.062 12 de donde

C _jubilación = $ 2 715.79

Rentas Vencidas o postpagables

Comenzaremos calculando el valor …nal de la primer renta o renta de ahorro

VF _ahorro = 250

1 + ^0.062 12

35 12

1 0.062

12

= 373039.91

Esta cantidad de dinero es el valor actual de la renta de jubilación VF _ahorro = VA _jubilación

donde esta igualdad se da a los 420 meses (dentro de 35 años, es decir cuando tenga 75 años).

La segunda renta comienza en el período 421 y términa en el período 660 por lo que el número de términos es

660 421 + 1 = 240 = 20 12 Ahora

373039.91 = VA _jubilación = C _jubilación

1 1 + ^0.062 12

20 12

0.062

de donde

C _jubilación = $ 2 715.79

() October 6, 2014 22 / 22

Rentas Vencidas o postpagables

Comenzaremos calculando el valor …nal de la primer renta o renta de ahorro

VF _ahorro = 250

1 + ^0.062 12

35 12

1 0.062

12

= 373039.91

Esta cantidad de dinero es el valor actual de la renta de jubilación VF _ahorro = VA _jubilación

donde esta igualdad se da a los 420 meses (dentro de 35 años, es decir cuando tenga 75 años).

La segunda renta comienza en el período 421 y términa en el período 660 por lo que el número de términos es

660 421 + 1 = 240 = 20 12 Ahora

373039.91 = VA = C

1 1 + ^0.062 12

20 12

() October 6, 2014 22 / 22