B B ú ú squeda de fuentes squeda de fuentes puntuales con el

(1)

B B ú ú squeda de fuentes squeda de fuentes puntuales con el

puntuales con el algoritmo EM en el algoritmo EM en el

telescopio de Neutrinos telescopio de Neutrinos

ANTARES ANTARES

Juan Antonio Aguilar S

Juan Antonio Aguilar Sáánchez, IFICnchez, IFIC

XXX Reuni

XXX Reuni ó ó n Bienal Real Sociedad n Bienal Real Sociedad Espa Espa ñ ñ ola de F ola de F í í sica sica

F F ísica de Altas Energ í sica de Altas Energí ías as

(2)

XXX Reunión Bienal de Física Juan Antonio Aguilar Sánchez

Motivaci

Motivaci ó ó n n

AGNs: Galaxias con un agujero negro supermasivo en su centro.

GRBs: Explosiones de rayos gamma.

Objetos más energéticos del Universo.

Microcuásares: Binarias de rayos X con radio jets relativistas.

SNRs: Restos de supernovas con una estrella de neutrones capaz de acelerar partículas

La detección de fuentes emisoras de neutrinos sería un evidencia de los modelos de aceleración hadrónica en los procesos de aceleración de rayos cósmicos (mecanismo Fermi).

ANTARESANTARES tiene una gran resolución angular por lo que tiene un gran potencial para la búsqueda de fuentes de neutrinos.

(3)

Principio de detección

-1 0 1cos θ 10^-8

10^-11

10^-14

10^-17

φ (cm^-2s^-1sr^-1)

p

ν

_atm

p

µ

ν

_µ

e e

K p

ν ν ν µ

π

µ µ

+ + +

→ +

→

+ + +

+

α ...)

(

e e

K n

ν ν ν µ

π

µ µ

+ + +

→ +

→

−

α ...)

(

ν

^µ

µ

N X

W

(4)

B B ú ú squeda de fuentes puntuales squeda de fuentes puntuales

Neutrinos atmosfé Neutrinos atmosf éricos ricos

constituyen el mayor fondo en un constituyen el mayor fondo en un telescopio de neutrinos.

telescopio de neutrinos.

El flujo de neutrinos có El flujo de neutrinos c ósmicos smicos es muy peque

es muy pequeñ ño, pero se o, pero se concentran en ciertas

concentran en ciertas direcciones.

direcciones.

Bú B úsqueda de fuentes puntuales: squeda de fuentes puntuales:

identificaci

identificació ón de agrupamientos n de agrupamientos de sucesos sobre un fondo de de sucesos sobre un fondo de neutrinos atmosf

neutrinos atmosfé éricos. ricos.

Fuente puntual:

- Agrupamiento en una cierta dirección

- Depende del índice espectral

~1832 atmospheric ν / year + 138 single µ / year

+ 98 multi-µ / year

= ~ 2068 bg. events

Algoritmo EM

– Búsqueda de clusters.

– Fuentes con distribuciones Gausianas sobre una distribución de fondo.

– Significancia basada en probabilidad del fondo para producir acumulación de

sucesos.

Fondo:

- Uniforme en AR

- Depende de la declinación

(5)

Algoritmo EM: Modelo de Mezcla Algoritmo EM: Modelo de Mezcla

∑

=

^g

j

j j

p

π p

1

)

; ( )

( x x θ

g es el nú g es el n úmero de componentes en el modelo mero de componentes en el modelo

π π

_j_j

≥ ≥ 0, proporciones de mezcla ( 0, proporciones de mezcla (Σ Σ π π

_j_j

= 1) = 1)

p(x p( x; ; θ θ

_j_j

), j=1,… ), j=1, …,g ,g funciones densidad funciones densidad de las componentes de las componentes

) 2

det(

)}

( )

2 ( exp{ 1 )

,

; (

1

j

j j

T j j

j Gauss

p Σ

µ x Σ µ

x Σ

µ

x π

−

=

−

Asumimos que las distribuciones de densidad de las fuentes son

Asumimos que las distribuciones de densidad de las fuentes son GausianasGausianas::

) ,

, (

) ,

(

)

,

(

_j _j _x _y _x _y _xy

j

= µ Σ µ = µ µ Σ = σ σ σ

θ

^donde

∑

= =

+

=

g

j

j j Gauss

j g

j

jp p

π

2

RA 7

1 1

) ,

| , ( )

( 2 P ) 1

;

(x θ δ π α δ µ Σ

π π

Fondo Fuentes

Nuestro caso:

Nuestro caso: 1) 1) Pdf Pdf = fondo + señ = fondo + se ñal al 2) 2) x = (α x = ( α

_RA_RA

, δ , δ) )

Posici

Posicióón de la fuenten de la fuente

Construimos la

Construimos la pdf pdf basá bas ándonos en ndonos en modelo de mezclas:

modelo de mezclas:

No se usa la energía de los sucesos!

(6)

Algoritmo EM: M

Algoritmo EM: M é é todo todo General

General

∏∑

= =

=

ⁿ

i

g

j

j i j

p π p

1 1

)

; ( )

}, ({

) (

L Ψ x Ψ x θ

– Donde Ψ es un vector que denota el conjunto de parámetros {π₁,…,π_g,θ₁,…,θ_g} – Esta verosimilitud en principio no es maximizable analíticamente!

z_ik

1 si x_i pertenece al grupo k 0 otros

∫ ∏

=

ⁿ

i

d

g p

1

)

; , ( )

}, ({

) (

L Ψ x Ψ x z Ψ z

Conjunto INCOMPLETO Conjunto INCOMPLETO

{x { x} = ( } = (α α

_RA_RA

, , δ) δ )

Conjunto COMPLETO Conjunto COMPLETO

{ { y} y }

^y^y_i_i^=(x⁼⁽^x_i_i^,z^,z_i_i⁾⁾

) }, ({

) ( '

L Ψ = g y Ψ

)

; ( ) ,

| ( )

; , ( )

;

( y Ψ g x z Ψ f x z Ψ p x θ

g = =

Dado un conjunto de n observaciones la verosimilutud es:

Las nuevas funciones de densidad:

Verosimilitud del conjunto completo:

La verosimilitud “incompleta” se obtiene integrando sobre los valores posibles de {y}

donde {x} está embebido:

(7)

E E - - Step Step and and M M - - Step Step

E-Step:

Empezamos con un conjunto inicial de parámetros Ψ

^(m)

Calculamos el valor esperado de la log-likelihood del

conjunto completo, condicionado en los datos observados {x}

)]

};

({

| )) };

({

[log(

E )

, (

Q Ψ Ψ

⁽^m⁾

= g y Ψ p x Ψ

⁽^m⁾

M-Step:

Encontrar que maximiza

Ψ = { Ψ

^{( +}^m ¹⁾

} Q ( Ψ , Ψ

^(m⁾

)

Dos pasos:

Dos pasos: ExpectationExpectation--stepstep y Maximizationy Maximization--stepstep::

)

Ψ( m

)) ( L log( Ψ

) 1 (m+

Ψ Ψ⁽^m⁺²⁾

1 ) 1

( )

, (

Q Ψ Ψ ^m⁺ +h_m₊

m m )+h ,

( Q Ψ Ψ⁽ ⁾

Ψ

Maximizaciones sucesivas de la función Q(Ψ,Ψ^(m)) llevan a un incremento en la log-likelihood

(8)

Selecci

Selecci ó ó n de modelo (BIC) n de modelo (BIC)

1. Conjunto de datos D

2. Varios modelos M₁, …, M_k

1. M₀ = fondo

2. M₁= fondo + señal

Necesitamos un parámetro λ(D) que nos diga si nuestros datos se ajustan mejor al modelo M

₀

o el modelo M

₁

k k

k

p D M p M d

M D

p ( | ) ⁼ ∫ ( | θ , ) ( θ | ) θ

Integraci

Integracióón sobre el espacio de n sobre el espacio de paráparámetros desconocidos θmetros desconocidos θ_k_k

Bayesian

Bayesian InformationInformation CriterionCriterion o BIC*:o BIC*:

k k

k

p D M v n

M D

p ( | )] 2 log ( | ˆ , ) log( ) BIC log[

2 ≈ θ − =

g.d.l (parámetros a ajustar)

* G. Schwarz. Estimating the dimension of a model. Ann. of Statist. 6, 461-464 (1978)

[ ⁽ ^, ⁾ ⁽ ⁾ ] ² ^log [ ⁽ ⁾ ] ⁶ ^log( ⁾

log 2

BIC p p p

_BG _i

n

n i n

n i

i BG i i

RA Gauss

k

= ∑ + − ∑ −

=

δ δ

δ

α ⁾ ⁾ ⁾ ⁾

Probabilidad de darse

Probabilidad de darse M M

_k_k

dado D dado D

Fondo + se

Fondo + señ ñal al Fondo Fondo 6 par 6 par ámetros á metros

(9)

Procedimiento

¿Converge?

Algoritmo sencillo Algoritmo sencillo que identifica cada que identifica cada cluster

cluster de la muestra de la muestra

Algoritmo EM:

Maximization Expectation

SI SI NO NO

Cada cluster se ajusta por el Cada cluster se ajusta por el algoritmo EM

algoritmo EM

Obtenemos un valor del BIC por cada Obtenemos un valor del BIC por cada cluster candidato de la muestra

cluster candidato de la muestra Realizamos 3000 experimentos

Realizamos 3000 experimentos cada uno equivalente a 1 a

cada uno equivalente a 1 añño de o de toma de datos

toma de datos

Fuente Fondo

(10)

Probabilidad de Probabilidad de

descubrimiento descubrimiento

Se calcula la funcióSe calcula la función n

acumulativa de la distribuci acumulativa de la distribucióón n de BIC en el caso de s

de BIC en el caso de sóólo fondolo fondo

Valores del BIC para distintos Valores del BIC para distintos niveles de confianza.

niveles de confianza.

exp

BIC

( BIC )

)

( N

f P _Ν _σ ₌ ∫

^∞ ^Ν^σ ^src

Definición de la probabilidad de descubrimiento es:

BIC at 3σ

BIC at 2σ

Donde

Donde NNσσ= 2= 2

σ σ

, 3, 3

σ σ

, 5, 5

σ σ

(11)

Probabilidad de Probabilidad de

descubrimiento: Resultados descubrimiento: Resultados

Probabilidad en funci

Probabilidad en funci ó ó n del n del

n n ú ú mero de sucesos para distintas mero de sucesos para distintas declinaciones (5

declinaciones (5 σ σ ) )

Nú N úmero de sucesos emitidos por mero de sucesos emitidos por la fuente que dan lugar a una la fuente que dan lugar a una probabilidad del 50% (3

probabilidad del 50% (3 σ σ y 5σ y 5 σ) )

(12)

Flujo de descubrimiento al 50%

live eff

i

events

i

A V T

N

) ( ) , (

) ) (

,

( γ δ δ

δ δ

γ =

Φ

– N_events(δ) Número de sucesos al 50%

– A^eff(γ,δ) Area efectiva (i = µ, ν) para γ = 2 – V(δ) Visibilidad

– T_live Tiempo de adquisición del detector

Effective area

(13)

Sensibilidad (flux

Sensibilidad (flux limit limit ) )

µ ν,

Φ

Discovery flux

Flux limit Fuente descubierta

Fuente descubierta Fuente candidata Fuente candidata

Fuente no visible Fuente no visible

Si no hemos visto ninguna fuente, podemos ser capaces de dar un flujo por debajo del cual no

podemos decir si existe o no una fuente

(14)

Conclusiones

Se ha estudiado el potencial de ANTARES para la búsqueda de fuentes puntuales usando para ello un algoritmo basado en la búsqueda de

clusters.

El método basado en el algoritmo EM presenta un mayor potencial de descubrimiento que los métodos basado en bines sin la necesidad de usar información estimada del Monte Carlo como otros métodos de búsqueda.

El flujo de descubrimiento al 50% (5σ):

La sensibilidad también se ha calculado en términos del flujo (90% CL):

1 2 15

10 2

) 0

( = ≈ ⋅

⁻ ⁻ ⁻

Φ

_µ

δ cm s

1 2 15

10 5

. 1 )

0 ( = ≈ ⋅

⁻ ⁻ ⁻

Φ

_µ

δ cm s

(1 año)

(15)

Plots

(16)

Selecci

Selecci ó ó n del modelo (BIC) n del modelo (BIC)

) (

)

| ( )

|

( M

_k

D p D M

_k

p M

_k

p ∝

1. Conjunto de datos D

2. Varios modelos M₁, …, M_k

Bayesian

Bayesian InformationInformation CriterionCriterion o BIC*:o BIC*:

k k

k

p D M v n

M D

p ( | )] 2 log ( | ˆ , ) log( ) BIC log[

2 ≈ θ − =

Si p(MSi p(M₁₁) = …) = … = = p(Mp(M_k_k) basta con p(D|M) basta con p(D|M_k_k) (factor de Bayes) (factor de Bayes))

k k

k

p D M p M d

M D

p ( | ) ⁼ ∫ ( | θ , ) ( θ | ) θ

g.d.l (parámetros a ajustar)

* G. Schwarz. Estimating the dimension of a model. Ann. of Statist. 6, 461-464 (1978)

Definici

Definició ó n general: n general:

Probabilidad de

Probabilidad de MM_k_k de reproducir D de reproducir D XX

Probabilidad darse

Probabilidad darse MM_k_kdado D =dado D =

Probabilidad a priori de Probabilidad a priori de MM_k_k Teorema de

Teorema de BayesBayes::

Integraci

Integracióón sobre el espacio de n sobre el espacio de paráparámetros desconocidos θmetros desconocidos θ_k_k

[ ⁽ ^, ⁾ ⁽ ⁾ ] ² ^log [ ⁽ ⁾ ] ⁶ ^log( ⁾

log 2

BIC p p p

_BG _i

n

n i n

n i

i BG i i

RA Gauss

k

= ∑ + − ∑ −

=

δ δ

δ

α ⁾ ⁾ ⁾ ⁾

(17)