MONOGRAFÍAS MATEM ÁTICAS ( Última actualización: 6/4/2019)

(1)

( ´Ultima actualizaci´on: 6/4/2019)

Fernando Revilla Jim´enez http://www.fernandorevilla.es

(2)

Monograf´ıas matem´c aticas por Fernando Revilla Jim´enez se distribuye bajo la licencia:

Creative Commons Atribuci´on-NoComercial-SinDerivar 4.0 Internacional.

ii

(3)

Cada fasc´ıculo de estas Monograf´ıas matemáticas consta de 25 monograf´ıas. Pueden considerarse como anexos a mis libros Problemas resueltos de álgebrayProblemas resueltos de análisis matemático. Se irá actualizando con la inclusión de nuevos fasc´ıculos.

Espero que pueda ser de inter´es para estudiantes de Ciencias e Inge- nier´ıas.

iii

(4)

iv

(5)

1. Monograf´ıas 1-25 1 1. Diferencias de orden k y monomios generalizados . . . 1 2. Funciones cumpliendo f (x) − f (y) ≤ k_f|sen x − sen y| . . . . 6 3. Distancia d(x, y) = |f (x) − f (y)| en los reales . . . 8 4. Curvatura, torsión y ecuaciones intr´ınsecas . . . 9 5. Esquema de urnas de Poisson. Función generatriz . . . 11 6. Cálculo de√

A, A⁻¹ y e^Apor matrices componentes . . . 13 7. Cociente de factores integrantes . . . 14 8. Los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo no son iso-

morfos . . . 15 9. Desarrollo de Taylor de orden n de f (x, y) = log(x + y) . . . 16 10. Polinomio de Z[x] con ra´ız α = 2 +√³

3 . . . 17 11. Configuración de centro en un sistema autónomo . . . 18 12. Matrices cuadradas invertibles con coeficientes enteros . . . . 20 13. Cálculo de l´ımx→+∞e^x²R_x

x−^{log x}_2x e^−t²dt . . . 20 14. Inversa de A ∈ R^3×3 e interpretaci´on geom´etrica . . . 22 15. IntegralR+∞

0

log(x²+1)

x²+1 dx por residuos . . . 22 16. Estudio de la biyectividad de f (X) = (A ∩ X, B ∩ X) . . . . 24 17. Extremos de f : (R⁺)³ → R, f(x, y, z) = x^myⁿz^p sobre un

plano . . . 25 18. L = l´ımx→0 x²e^x

5x−5e^x+5 sin usar la regla de L’Hôpital . . . 26 19. Diagonalización de A ∈ R^2×2 con funciones hiperbólicas . . . 27 20. Infinitud de los números primos, demostración topológica . . 28 21. A y B matrices reales y semejantes como complejas, lo son

como reales . . . 29 22. El conjunto de las fracciones di´adicas en [0, 1] es denso . . . . 30 23. Integral tripleRRR

T x^myⁿz^p(1 − x − y − z)^qdxdydz . . . 30 24. M´aximo de f (x₁, . . . , x_n) =Pn

i=1log(1 + x_i) con Pn

i=1x_i= a 32 25. Ideal maximal en el anillo de las funciones de clase infinito . . 33

v

(6)

2. Monograf´ıas 26-50 35 26. SumaP∞

k=0(I − A)^k en un espacio de matrices . . . 35

27. Caracterizaci´on de una topolog´ıa por axiomas de clausura de Kuratowski . . . 36

28. Acotaci´on por e^αt de las soluciones de un sistema diferencial . 37 29. Generatrices rectil´ıneas de un hiperboloide de una hoja . . . 38

30. Semianillo tropical . . . 40

31. Seminorma del supremo en el anillo de las funciones continuas 42 32. A = (x, y) ∈ R²: y = sin(1/x) ∪{(0, 0)} conexo, pero no por caminos . . . 43

33. L´ımite L = l´ım_x→0 ^{x−sin x}_x3 por tres m´etodos . . . 44

34. Teorema de Casorati-Weierstrass: singularidades de 1/f . . . 44

35. M´ınimo de L(f ) =Rb af (x) dx·Rb a dx f (x) mediante la desigualdad de Schwarz . . . 45

36. Polinomios de Legendre y operador sim´etrico . . . 46

37. Forma bilineal a partir de una suma directa . . . 48

38. Un operador autoadjunto y unitario . . . 49

39. M´etrica producto d(x, y) =P+∞ n=1 1 2ⁿ dn(xn,yn) 1+dn(xn,yn) . . . 50

40. N´umero combinatorio ²ⁿ_n e integral . . . 52

41. Igualdad integralR+∞ π sin t t log²tdt =R+∞ π cos t log tdt . . . 52

42. Ordinales racionales y norma p-´adica . . . 53

43. Familia de rectas 6px − 2y + x + p²= 0 . . . 55

44. Principio del triángulo isósceles en normas no arquimedianas 56 45. Hélice circular: longitud, curvatura y torsión . . . 57

46. Una curva no rectificable . . . 59

47. Funci´on entera que es polin´omica . . . 60

48. Dos parametrizaciones de la elipse . . . 61

49. Dos parametrizaciones de la hip´erbola . . . 62

50. Factor integrante de la forma µ = µ(xy²) . . . 63

3. Monograf´ıas 51-75 67 51. La rosa de cuatro p´etalos es un conjunto algebraico . . . 67

52. Im´agenes inversas de conjuntos compactos . . . 68

53. Derivabilidad de una funci´on compleja como suma de dos series 68 54. Existencia de ceros en el disco unidad . . . 69

55. Unidades en el anillo de las series formales A[[X]] . . . 70

56. Producto de Cauchy de series igual a la unidad . . . 70

57. El anillo de las funciones continuas no es noetheriano . . . 71

58. X = {(t, t) : t ∈ R \ {1}} no es cerrado con la topolog´ıa de Zariski . . . 72

59. Ecuaci´on f⁰(λx) = f⁰(x) sin x + f (x) cos x . . . 72 vi

(7)

62. Todo grupo de orden 4 es abeliano . . . 75

63. Wronskiano . . . 75

64. Iteraciones de Picard . . . 76

65. Afijos formando un triángulo rectángulo isósceles . . . 78

66. La funci´on de Thomae es integrable Riemann en [0, 1] . . . . 79

67. Ideal generado por un subconjunto de un anillo . . . 80

68. Caracterizaci´on de anillos noetherianos . . . 81

69. Polinomio de Motzkin . . . 82

70. Rec´ıproco del teorema del valor medio . . . 83

71. R dominio de integridad y no cuerpo, implica R[x] no es D.I.P. 83 72. n⁵− n es divisible por 30 . . . 84

73. Matriz de Gram y dependencia lineal . . . 84

74. Generador de la extensi´on Q(√ 2,√ 3) . . . 85

75. Cardinal de un cuerpo finito . . . 85

4. Monograf´ıas 76-100 87 76. Funciones mon´otonas, crecientes y decrecientes . . . 87

77. Funciones de variaci´on acotada . . . 89

78. Variaci´on total de una funci´on . . . 92

79. Diferencia de funciones crecientes . . . 95

80. Funciones holomorfas en un disco . . . 95

81. Ecuaci´on diferencial de la ley de absorci´on de Lambert . . . . 96

82. Derivada de un determinante . . . 97

83. Cambio de referencia en el espacio af´ın . . . 99

84. Cardinales infinitos: elementos no regulares . . . 101

85. Distancia de un plano y de una curva al origen . . . 102

86. Grupo de Klein y sus automorfismos . . . 104

87. Singularidades y residuos de f (z) = _z3+z^{sin z}²−z−1 . . . 105

88. Singularidades y residuos de f (z) = ^e_z−1^1/z . . . 106

89. Singularidad y residuo en el origen de f (z) = _2+z2−2 cosh z¹ . . 106

90. IntegralR2π 0 dθ a+b cos θ+c sin θ . . . 107

91. Suma de la serieP∞ n=1 n 2ⁿ(n+1) . . . 109

92. Cuerpo Q(√ 5, i) . . . 110

93. Puntos de inflexi´on de una familia de curvas . . . 112

94. Menor subanillo que contiene a un conjunto . . . 113

95. Ecuación diferencial transformable en exacta por simplificación114 96. Sensibilidad a condiciones iniciales en métricas equivalentes . 115 97. Factorización en C[x] de p(x) = (x + 1)ⁿ+ (x − 1)ⁿ . . . 116

98. Grupos topol´ogicos . . . 117 vii

(8)

99. Convergencia de una serie seg´un par´ametro . . . 118

100. L´ımite de una sucesi´on recurrente aplicando el criterio de Stolz119 5. Monograf´ıas 101-125 121 101. Serie de los inversos de los n´umeros primos . . . 121

102. Los complejos no pueden ser un cuerpo ordenado . . . 122

103. L´ımite usando la f´ormula de Taylor . . . 123

104. Condici´on necesaria y suficiente para que A ∪ B^c= B . . . . 123

105. Condiciones suficientes para la irreducibilidad en K[x] . . . . 124

106. Teorema de los c´ırculos de Gershgorin . . . 125

107. Derivada f⁽²⁰¹⁶⁾(0) para f (x) = x²log(x + 1) . . . 126

108. Factorizaci´on de un polinomio homog´eneo en R[x, y] . . . 127

109. Rango de una funci´on definida en [0, 1] . . . 129

110. Topolog´ıa cociente en X/R . . . 129

111. Acotaci´on del rango del producto de dos matrices . . . 131

112. Espacio vectorial como suma directa de dos n´ucleos . . . 132

113. Desigualdad de Schwarz y norma en los espacios prehilbertianos132 114. Espacio prehilbertiano de las sucesiones finitamente no nulas 134 115. h2, xi no es ideal principal en Z[x] . . . 135

116. Teorema de la buena ordenaci´on de Zermelo. . . 135

117. Teorema de los valores extremos sobre un compacto . . . 138

118. M´etodos de Jacobi y Gauss-Seidel . . . 138

119. Triedro de Frenet, rectas y planos asociados . . . 141

120. Caracterizaciones de la continuidad en espacios topológicos . 143 121. Números armónicos y constante de Euler Mascheroni . . . 144

122. Determinante de una matriz soluci´on de un S.D.L.H. . . 146

123. Variaci´on de las constantes . . . 148

124. Caracterizaciones de cuerpos . . . 149

125. Norma en un anillo unitario . . . 150

6. Monograf´ıas 126-150 153 126. Una sucesi´on de Cauchy con la distancia p-´adica . . . 153

127. Anillo de las sucesiones de Cauchy en un anillo normado . . . 154

128. Ideal en el anillo de las sucesiones de Cauchy . . . 156

129. Norma en el anillo cociente bR de las sucesiones de Cauchy sobre el ideal de las nulas . . . 156

130. R como subanillo de bR . . . 158

131. Completaci´on de todo anillo normado . . . 158

132. Conservación de normas no arquimediadas por completación . 160 133. Cuerpo Qp de los números p-ádicos y subanillo Zp . . . 161

134. Sucesiones eventualmente constantes con normas no arquimedianas . . . 162

viii

(9)

137. Matriz equivalente en forma can´onica . . . 170

138. Representaci´on param´etrica regular . . . 172

139. F´ormula de Bayes . . . 173

140. Distribuci´on de Poisson . . . 174

141. Cambio admisible de par´ametro . . . 176

142. Curvas regulares . . . 177

143. EDO homog´enea con coeficiente anal´ıticos . . . 178

144. L´ımite de una sucesi´on por la definici´on . . . 183

145. Inverso de un elemento en Q/hx²+ x + 1i . . . 183

146. Caracterizaci´on de a ker f para un homomorfismo de grupos . 184 147. L´ımite de una sucesi´on de conjuntos . . . 184

148. Ecuaciones param´etricas de la intersecci´on de una esfera y un plano . . . 187

149. Cuerpo primo . . . 189

150. Cuerpo de ruptura de un polinomio . . . 190

7. Monograf´ıas 151-175 193 151. Completaci´on de todo espacio m´etrico . . . 193

152. ´Algebras uniformemente densas, teorema Stone-Weierstrass . 197 153. Teorema de Wedderburn . . . 199

154. Un espacio vectorial no usual . . . 204

155. Espacio vectorial de las matrices circulantes . . . 206

156. Probabilidad de la uni´on de n sucesos . . . 207

157. Cardinal de la uni´on de n conjuntos . . . 209

158. Valores propios y determinante de una matriz circulante . . . 211

159. Teorema de reordenaci´on de Riemann . . . 214

160. Derivada aritm´etica natural . . . 217

161. Propiedades de la derivada aritm´etica natural . . . 218

162. Cotas para la derivada aritm´etica natural . . . 220

163. Primeras ecuaciones diferenciales aritm´eticas . . . 221

164. Conjetura de Goldbach y derivada aritm´etica . . . 221

165. Conjetura de los primos gemelos y derivada aritm´etica . . . . 222

166. Conjetura de Sophie Germain . . . 222

167. La ecuaci´on diferencial aritm´etica n⁰ = n . . . 223

168. Derivada aritm´etica entera . . . 224

169. Derivada aritm´etica racional . . . 225

170. Derivada aritmética en dominios de factorización única . . . . 226

171. Derivada aritm´etica y anillo Z[√ 5i] . . . 228

172. Ecuación diofántica lineal en dos incógnitas . . . 230

173. Teorema del valor medio escalar . . . 232 ix

(10)

174. El n´umero e es trascendente . . . 233

175. Desigualdad de Jensen . . . 236

8. Monograf´ıas 176-200 239 176. Topolog´ıa final . . . 239

177. Operador de Sturm-Liouville . . . 240

178. Ecuaci´on de Legendre . . . 242

179. Iteraci´on de punto fijo . . . 245

180. Polinomios de Bernstein . . . 248

181. Espacios l_p . . . 252

182. Concepto de aplicaci´on multilineal . . . 255

183. Espacio vectorial de las aplicaciones multilineales . . . 257

184. Problema de la aplicaci´on universal . . . 258

185. Espacio vectorial producto . . . 260

186. Espacio suma directa externa . . . 261

187. Base del espacio suma directa externa . . . 262

188. Soluci´on al problema de la aplicaci´on universal . . . 263

189. Concepto de espacio topol´ogico (I) . . . 264

190. Concepto de espacio topol´ogico (II) . . . 265

191. Concepto de espacio topol´ogico (III) . . . 267

192. Punto de acumulaci´on (I) . . . 268

193. Punto de acumulaci´on (II) . . . 269

194. Los grupos R^× y C^× no son isomorfos . . . 271

195. Extensi´on finita y algebraica . . . 271

196. Unicidad del cuerpo de ruptura . . . 272

197. Un cuerpo de matrices isomorfo al de los complejos . . . 272

198. Inverso en un cuerpo de ruptura . . . 273

199. El conjunto de los n´umeros algebraicos es contable . . . 274

200. Anillos Z[√ d] . . . 274

9. Monograf´ıas 201-225 277 201. Teorema de la base de Hilbert . . . 278

202. Separaci´on de puntos y espacio de Hausdorff . . . 279

203. Caracterizaci´on de conjuntos algebraicos irreducibles . . . 279

204. Descomposici´on de un conjunto algebraico en uni´on de irreducibles . . . 280

205. Matrices idempotentes sobre un cuerpo . . . 282

206. Permutaci´on de ra´ıces y automorfismos de cuerpos . . . 283

207. Cuerpo fijo . . . 284

208. Isomorfismo C^∗ ∼= R>0× R/Z . . . 285

209. Regiones determinadas por n rectas del plano . . . 286

210. Subespacios invariantes (I) . . . 286 x

(11)

213. Todo grupo de orden primo es c´ıclico . . . 292

214. Grupos de orden 4 . . . 292

215. Grupos de orden n = 6 . . . 294

216. Derivada de un campo escalar respecto de uno vectorial . . . 296

217. Conjunto ordenado de las cortaduras de Dedekind . . . 298

218. Suma de cortaduras de Dedekind . . . 299

219. Ecuaci´on c´ubica . . . 302

220. Ecuaci´on cu´artica . . . 306

221. Orden lexicogr´afico . . . 308

222. Topolog´ıa del orden . . . 309

223. Regla y comp´as . . . 311

224. Duplicaci´on del cubo . . . 314

225. Cuadratura del c´ırculo . . . 315

10.Monograf´ıas 226-250 317 226. EDO por cambio de variable independiente . . . 317

227. Topolog´ıas de Zariski y usual en kⁿ . . . 318

228. Polinomio que se anula en kⁿ . . . 320

229. Conjuntos equivalentes . . . 321

230. Conjuntos numerables y contables . . . 322

231. Potencia del continuo . . . 324

232. Teorema de Cantor . . . 325

233. Teorema de Cantor-Bernstein . . . 325

xi

(12)

xii

(13)

Monograf´ıas 1-25

1. Diferencias de orden k y monomios generaliza- dos

(a) Si a1, a2, a3, . . . , am, . . . es una sucesión de números reales, se definen las diferencias de órdenes 1, 2, 3, . . . , k . . . de la forma

∆a_m= a_m+1− a_m

∆^ka_m= ∆

∆^k−1a_m

si k > 1.

Determinar expl´ıcitamente ∆²a_m y ∆³a_m. (b) Demostrar que ∆^ka_m=

k

X

j=0

(−1)^jk j

a_m+k−j. (c) Calcular expl´ıcitamente ∆⁴a_m, y ∆⁵a_m.

(d) Sea S el espacio vectorial real de las sucesiones reales. Demostrar que la aplicaci´on ∆ : S → S es lineal. ¿Es ∆^k: S → S lineal?

(e) Se llaman monomios generalizados a los polinomios en n :

n⁽⁰⁾ = 1, n⁽¹⁾= n, n⁽²⁾= n(n − 1), n⁽³⁾= n(n − 1)(n − 2), . . . , n^(k)= n(n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k + 1).

N´otese que n^(k)= V_n,k es decir, son las variaciones de n elementos tomados de k en k. Demostrar que B = . . . {n⁽⁰⁾, n⁽¹⁾, n⁽²⁾, . . . , n^(k)} es base de Rk[n].

(f) Se considera el polinomio p(n) = n⁴− 3n³+ 7n²+ n − 5 ∈ R4[n]. Expre- sarlo como combinaci´on lineal de la base B = {n⁽⁰⁾, n⁽¹⁾, n⁽²⁾, n⁽³⁾, n⁽⁴⁾}.

(g) Demostrar que para k ≥ 1 el operador ∆ act´ua sobre los monomios generalizados, como el operador derivaci´on. Es decir, demostrar que se verifica

∆n^(k)= kn^(k−1).

1

(14)

2 1 Diferencias de orden k y monomios generalizados

(h) Supongamos que se verifica a_k= ∆A_kpara k = 0, 1, . . . , n+1. Demostrar que

a₀+ a₁+ a₂+ · · · + a_n= A_n+1− A₀. (i) Demostrar que una soluci´on de n^(k)= ∆A_k es A_k= n^(k+1)

k + 1.

Nota. Denotamos a A_k por Int n^(k) por analog´ıa con el operador integral.

Quedar´ıa por tanto

Int

n^(k)

= n^(k+1) k + 1.

(j) Usando los dos apartados anteriores, dar un procedimiento para calcular sumas del tipo

Sk= 1^k+ 2^k+ 3^k+ · · · + n^k (k entero positivo).

(k) Aplicar dicho procedimiento al c´alculo de las sumas a) S₂ = 1²+ 2²+ 3²+ · · · + n². b) S3 = 1³+ 2³+ 3³+ · · · + n³. c) S₄ = 1⁴+ 2⁴+ 3⁴+ · · · + n⁴. Soluci´on. (a) Tenemos

∆²am = ∆ (∆am) = ∆ (am+1− a_m)

= am+2− a_m+1− (a_m+1− a_m) = am+2− 2a_m+1+ am.

∆³am = ∆ ∆²am = ∆ (a_m+2− 2a_m+1+ am)

= a_m+3− 2a_m+2+ a_m+1− (a_m+2− 2a_m+1+ a_m)

= a_m+3− 3a_m+2+ 3a_m+1− a_m.

(b) Veamos (por ejemplo), que la f´ormula es cierta para k = 1 y k = 2.

Desarrollando el segundo miembro,

1

X

j=0

(−1)^j1 j

a_m+1−j = (−1)⁰1 0

a_m+1+(−1)¹1 1

a_m = a_m+1−a_m = ∆¹a_m,

2

X

j=0

(−1)^j2 j

a_m+2−j = (−1)⁰2 0

a_m+2+ (−1)¹2 1

a_m+1+ (−1)²2 2

a_m

= a_m+2− 2a_m+1+ a_m= ∆²a_m.

(15)

Suponiendo que la f´ormula dada es cierta, veamos que es cierta para k + 1.

Tenemos

∆^k+1am = ∆

∆^kam

= ∆

k

X

j=0

(−1)^jk j

a_m+k−j

=

k

X

j=0

(−1)^jk j

a_m+k+1−j−

k

X

j=0

(−1)^jk j

a_m+k−j (∗) El primer sumando de la l´ınea (∗) lo podemos escribir en forma

k

X

j=0

(−1)^jk j

a_m+k+1−j = a_m+k+1+

k

X

j=1

(−1)^jk j

a_m+k+1−j

=k + 1 0

(−1)⁰a_m+k+1+

k

X

j=1

(−1)^jk j

a_m+k+1−j. El sustraendo de la linea (∗) lo podemos escribir en forma

k

X

j=0

(−1)^jk j

a_m+k−j =

k−1

X

j=0

(−1)^jk j

a_m+k−j+ (−1)^ka_m

=

|{z}

j=i−1 k

X

i=1

(−1)ⁱ⁻¹

k i − 1

am+k+1−i+k + 1 k + 1

(−1)^kam. En consecuencia,

∆^k+1am =k + 1 0

(−1)⁰am+k+1+

k

X

j=1

(−1)^jk j

am+k+1−j.

+

k

X

j=1

(−1)^j

k j − 1

a_m+k+1−j+k + 1 k + 1

(−1)^k+1am =k + 1 0

(−1)⁰a_m+k+1

+

k

X

j=1

(−1)^jk j

+

k j − 1

a_m+k+1−j+k + 1 k + 1

(−1)^k+1a_m.

Usando la conocida f´ormula de combinatoria k j

+

k j − 1

= k + 1 j

queda

∆^k+1a_m =k + 1 0

(−1)⁰a_m+k+1+

k

X

j=1

(−1)^jk + 1 j

a_m+k+1−j

(16)

4 1 Diferencias de orden k y monomios generalizados

+k + 1 k + 1

(−1)^k+1am=

k+1

X

j=0

(−1)^jk + 1 j

a_m+(k+1)−j y la f´ormula es por tanto cierta para k + 1.

(c) Usando la obvia analog´ıa de la f´ormula del apartado anterior con la del binomio de Newton,

(a − b)⁴ = a⁴− 4a³b + 6a²b²− 4ab³+ b⁴

⇒ ∆⁴am = am+4− 4a_m+3+ 6am+2− 4a_m+1+ am. (a − b)⁵ = a⁵− 5a⁴b + 10a³b²− 10a²b³+ 5ab⁴− b⁵

⇒ ∆⁵am = am+5− 5a_m+4+ 10am+3− 10a_m+2+ 5am+1− a_m. (d) Para todo α, β ∈ R y am, b_n∈ S,

∆ (αam+ βbm) = (αam+1+ βbm+1) − (αam+ βbm)

= α (am+1− a_m) + β (bm+1− b_m) = α∆am+ β∆bm,

luego ∆ es lineal. Dado que ∆^k = ∆ ◦ ∆ ◦ . . . ◦ ∆ (k veces) y que la composi- ci´on de aplicaciones lineales es lineal, concluimos que ∆^k tambi´en es lineal.

(e) Los k + 1 polinomios de B son de distinto grado y por tanto linealmente independientes. Por otra parte, dim Rk[n] = k + 1 lo cual implica que B es base de Rk[n].

(f) Expresando p(n) =P4

i=0α_in⁽ⁱ⁾, operando el segundo miembro, identifi- cando coeficientes y resolviendo el sistema lineal en las inc´ognitas αi obtenemos

α₀ = −5, α₁ = 6, α₂ = 5, α₃= 3, α₄= 1, es decir p(n) = −5n⁽⁰⁾+ 6n⁽¹⁾+ 5n⁽²⁾+ 3n⁽³⁾+ n⁽⁴⁾.

Nota. Se demuestra que se pueden hallar los coeficientes αiusando de forma general el siguiente algoritmo:

1 −3 7 1 −5

1 1 −2 5

1 −2 5 6

α0 = −5,

1 −2 5 6

2 2 0

1 0 5

α1= 6,

1 0 5

3 3

1 3

α2= 5, α3 = 3, α4= 1.

(17)

(g) Tenemos

∆n^(k)= (n + 1)^(k)− n^(k)= (n + 1)n(n − 1) · . . . · (n − k + 2)

−n(n − 1)(n − 2) · . . . · (n − k + 2)(n − k + 1)

= [n(n − 1)(n − 2) · . . . · (n − k + 2)] (n + 1 − n + k − 1)

= kn(n − 1)(n − 2) · . . . · (n − k + 2) = k∆n^(k−1). (h) Dado que ak= ∆Ak= Ak+1− A_k tenemos

k = 0, a₀ = A₁− A₀ k = 1, a₁ = A₂− A₁ k = 2, a₂ = A₃− A₂

. . .

k = n, an= An+1− A_n. Sumando y cancelando, obtenemos

a₀+ a₁+ a₂+ · · · + a_n= A_n+1− A₀. (i) Tenemos

∆ n^(k+1) k + 1

!

=

|{z}

∆ lineal

1

k + 1∆n^(k+1) = 1

k + 1(k + 1)n^(k)= n^(k). (j) Por el apartado 5, podemos expresar n^k en la forma

n^k = α₀n⁽⁰⁾+ α₁n⁽¹⁾+ α₂n⁽²⁾+ · · · + α_kn^(k). Debido a la linealidad de ∆, y usando el apartado 9,

Int n^k

= α₀Int n⁽⁰⁾

+ α₁Int n⁽¹⁾

+ α₂Int n⁽²⁾

+ · · · + α_kInt n^(k)

= α₀n⁽¹⁾

1 + α₁n⁽²⁾

2 + α₂n⁽³⁾

3 + · · · + α_kn^(k+1) k + 1. Por el apartado 8, y teniendo en cuenta que ∆0 = 0,

S_k= 0^k+ 1^k+ 2^k+ 3^k+ · · · + n^k= Int

(n + 1)^k

− 0

= α₀(n + 1)⁽¹⁾

1 + α₁(n + 1)⁽²⁾

2 + α₂(n + 1)⁽³⁾

3 + · · · + α_k(n + 1)^(k+1) k + 1 .

(18)

6 2 Funciones cumpliendo f (x) − f (y) ≤ k_f|sen x − sen y|

(k) a) Expresando n²en funci´on de monomios generalizados obtenemos n² = n⁽¹⁾+ n⁽²⁾. Usando el apartado anterior,

S2 = (n + 1)⁽²⁾

2 +(n + 1)⁽³⁾

3 = (n + 1)n

2 + (n + 1)n(n − 1) 3

= . . . = n(n + 1)(2n + 1)

6 .

b) Expresando n³ en funci´on de monomios generalizados obtenemos n³ = n⁽¹⁾+ 3n⁽²⁾+ n⁽³⁾. Por tanto,

S3 = (n + 1)⁽²⁾

2 + 3(n + 1)⁽³⁾

3 + (n + 1)⁽⁴⁾ 4

= (n + 1)n

2 + (n + 1)n(n − 1) + (n + 1)n(n − 1)(n − 2) 4

= . . . = n(n + 1) 2

2

.

c) Expresando n⁴ en funci´on de monomios generalizados obtenemos n⁴ = n⁽¹⁾+ 7n⁽²⁾+ 6n⁽³⁾+ n⁽⁴⁾. Por tanto,

S3 = (n + 1)⁽²⁾

2 + 7(n + 1)⁽³⁾

3 + 6(n + 1)⁽⁴⁾

4 +(n + 1)⁽⁵⁾ 5

= (n + 1)n

2 + 7(n + 1)n(n − 1)

3 +3(n + 1)n(n − 1)(n − 2) 2

+(n + 1)n(n − 1)(n − 2)(n − 3)

5 = . . . = 6n⁵+ 15n⁴+ 10n³− n

30 .

2. Funciones cumpliendo f (x)−f (y) ≤ k

_f

|sen x − sen y|

Sea E el conjunto de las funciones f : R → R verificando que existe una constante k_f ≤ 0 tal que

f (x) − f (y) ≤ k_f|sen x − sen y| ∀x, y ∈ R.

(a) Demostrar que si f ∈ E, f es peri´odica de periodo 2π, continua y acotada.

(b) Sea f ∈ E tal que f es derivable en R. Estudiar si f⁰∈ E.

(c) Demostrar que para todo f ∈ E se verifica f⁰(π/2) = 0.

(d) Estudiar si puede pertenecer E una funci´on h verificando h(t) = t para todo t ∈ [0, π/2].

(19)

Soluci´on. (a) Tenemos las siguientes implicaciones para todo x, y ∈ R f (x) − f (y) ≤ k_f|sen x − sen y| ⇒ f (y) − f (x) ≤ k_f|sen y − sen x|

= k_f|sen x − sen y| ⇒

( − k_f|sen x − sen y| ≤ f (x) − f (y) f (x) − f (y) ≤ kf|sen x − sen y|

⇒ 0 ≤ |f (x) − f (y)| ≤ k_f|sen x − sen y| . (1) Sea y ∈ R y llamemos x = y + 2π. De la relaci´on (1), obtenemos

0 ≤ |f (y + 2π) − f (y)| ≤ k_f|sen(y + 2π) − sen y| = 0.

Es decir, f (y + 2π) − f (y) = 0 para todo y ∈ R luego f es peri´odica de periodo 2π. Tomando x = y + h,

0 ≤ |f (y + h) − f (y)| ≤ k_f|sen(y + h) − sen y| .

El tercer miembro tiende a 0 cuando h → 0, por tanto |f (y + h) − f (y)| → 0 es decir, l´ımh→0f (y + h) = f (y), lo cual implica que f es continua para todo y ∈ R. Veamos que f est´a acotada. En efecto, tomando y = 0,

|f (x)| − |f (0)| ≤ |f (x) − f (0)| ≤ k_f|sen x| ≤ k_f.

Es decir |f (x)| ≤ |f (0)| + kf para todo x ∈ R, luego f est´a acotada en R.

(b) Consideremos la funci´on f (x) = sen x. Esta funci´on es derivable en R.

Por otra parte, sen x − sen y ≤ |sen x − sen y| lo cual implica que f ∈ E.

Veamos que la funci´on f⁰(x) = cos x no pertenece a E. En efecto, haciendo y = π − x,

cos x − cos y = cos x − cos(π − x) = 2 cos x,

|sen x − sen y| = |sen x − sen(π − x)| = 0.

No existe por tanto constante k_f⁰ cumpliendo cos x−cos y ≤ k_f⁰|sen x − sen y|

para todo x, y ∈ R, luego f⁰ ∈ E./

(c) Haciendo y = π/2, tenemos las implicaciones

0 ≤ |f (x) − f (π/2)| ≤ k_f|sen x − sen(π/2)|

⇒

|{z}

si 6=π/2

0 ≤

f (x) − f (π/2) x − π/2

≤ k_f

sen x − sen(π/2) x − π/2

= k_f

2 cosx + π/2

2 · senx − π/2

2 ·

1

x − π/2

. Se verifica

l´ım

x→π/2cosx + π/2

2 cos(π/2) = 0, l´ım

x→π/2senx − π/2

2 ·

1

x − π/2

(20)

8 3 Distancia d(x, y) = |f (x) − f (y)| en los reales

= l´ım

x→π/2

x − π/2

2 · 1

x − π/2 = 1 2. En consecuencia

f (x) − f (π/2) x − π/2

→ 0 si x → π/2, y por tanto

f⁰(π/2) = l´ım

x→π/2

f (x) − f (π/2) x − π/2 = 0 . (d) La derivada por la izquierda de h en π/2 es h⁰(π/2−) = l´ım

h→0⁻

f (π/2 + h) − f (π/2)

h = l´ım

h→0⁻

π/2 + h − π/2

h = l´ım

h→0⁻1 = 1.

La funci´on h no puede pertenecer a E pues seg´un el apartado anterior, se deber´ıa verificar h⁰(π/2−) = 0.

3. Distancia d(x, y) = |f (x) − f (y)| en los reales

Sea f : R → R una funci´on estrictamente creciente.

(a) Demostrar que d(x, y) = |f (x) − f (y)| es una distancia en R.

(b) Demostrar que si f no es continua, la distancia d no es equivalente a la distancia usual du(x, y) = |x − y| .

(c) Demostrar que si f es continua, la distancia d es equivalente a la distancia usual du.

(d) Demostrar que si f es lineal, d puede definirse mediante una norma.

Soluci´on. (a) Se cumplen los axiomas de distancia. En efecto,

(i) d(x, y) = 0 ⇔ |f (x) − f (y)| = 0 ⇔ f (x) − f (y) = 0 ⇔ f (x) = f (y). Co- mo f es estrictamente creciente, es inyectiva, luego x = y. (ii) d(x, y) =

|f (x) − f (z) + f (z) − f (y)|

≤ |f (x) − f (z)| + |f (z) − f (y)| = d(x, y) + d(y, z).

(b) Si f no es continua en alg´un punto x0, entonces existe un > 0 tal que para todo δ > 0 existe al menos un y ∈ R tal que |x0− y| < δ y

|f (x₀) − f (y)| ≥ . Consideremos la bola con la distancia d B_d(x0, ) = {y ∈ R : d(x0, y) = |f (x0) − f (y)| < } . Entonces, toda bola

Bdu(x0, δ) = {y ∈ R : d(x0, y) = |x0− y| < δ}

(21)

con la distancia usual no est´a contenida en Bd(x0, ), lo cual implica que d y du no son equivalentes de acuerdo con un conocido teorema de caracterizaci´on.

(c) Consideremos cualquier bola Bd(x, ) = {y ∈ R : d(x, y) = |f (x) − f (y)| < } . Veamos que existe B_d_u(x, δ) tal que B_d_u(x, δ) ⊂ B_d(x, ). En efecto, como f es continua en x, dado > 0 existe δ > 0 tal que para todo y que satisface |x − y| < δ se verifica |f (x) − f (y)| < . Esto prueba que B_d_u(x, δ) ⊂ B_d(x, ).

Rec´ıprocamente, veamos que dada cualquier bola B_d_u(x, ) existe una bola B_d(x, δ) tal que B_d(x, δ) ⊂ B_d_u(x, ). En efecto, al ser f estrictamente creciente y continua, existe y es continua la funci´on f⁻¹ : f (R) → R. Por tanto, dado > 0 existe δ > 0 tal que

|f (x) − f (y)| < δ ⇒

f⁻¹(f (x)) − f⁻¹(f (y))

= |x − y| < ,

es derir, d(x, y) < δ ⇒ d_u(x, y) < lo cual prueba que B_d(x, δ) ⊂ B_d_u(x, ).

De acuerdo con un conocido teorema de caracterizaci´on, concluimos que d y d_u son equivalentes.

(d) Veamos que la aplicaci´on

k k : R → R, kxk = |f (x)| , es una norma. En efecto,

(i) kxk = 0 ⇔ |f (x)| = 0 ⇔ f (x) = 0. Por ser f lineal y estrictamente creciente, f (x) = 0 ⇔ x = 0.

(ii) kλxk = |f (λx)| = |λf (x)| = |λ| |f (x)| = |λ| kxk .

(iii) kx + yk = |f (x + y)| = |f (x) + f (y)| ≤ |f (x)| + |f (y)| = kxk + kyk . La distancia inducida por esta norma es

d(x, y) = kx − yk = |f (x − y)| = |f (x) − f (y)| , que es la distancia dada.

4. Curvatura, torsi´ on y ecuaciones intr´ınsecas

(a) Determ´ınese en t = 1 la curvatura y la torsi´on de la curva x = 3t − t³, y = 3t², z = 3t + t³.

(b) Determ´ınense las ecuaciones intr´ınsecas de la catenaria de ecuaci´on x = a coshx

a, y = t.

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. Industriales, UNED).

(22)

10 4 Curvatura, torsi´on y ecuaciones intr´ınsecas

Soluci´on. (a) Representamos la curva en forma vectorial ~r = (3t−t³, 3t², 3t+

t³). Tenemos d~r

dt = (3 − 3t², 6t, 3 + 3t²) ⇒ d~r

dt(1) = (0, 6, 6), d²~r

dt² = (−6t, 6, 6t) ⇒ d²~r

dt²(1) = (−6, 6, 6), d³~r

dt³ = (−6, 0, 6) ⇒ d³~r

dt³(1) = (−6, 0, 6), d~r

dt(1) × d²~r dt²(1) =

~i ~j ~k 0 6 6

−6 6 6

= −36~j + 36~k,

d~r dt(1)

= 6√ 2 ,

d~r

dt(1) × d²~r dt²(1)

= 36√ 2,

d~r

dt(1) × d²~r dt²(1)

2

= 7,

d~r

dt(1),d²~r

dt²(1),d³~r dt³(1)

=

0 6 6

−6 6 6

−6 0 6

= 216.

La curvatura κ(1) y torsi´on τ (1) de la curva en t = 1 son por tanto

κ(1) =

d~r

dt(1) × d²~r dt²(1)

d~r dt(1)

3 = 36√

2 (6√

2)³ = 1 12,

τ (1) =

d~r

dt(1),d²~r

dt²(1),d³~r dt³(1)

d~r

dt(1) × d²~r dt²(1)

2 = 216 72 = 3.

(b) Las ecuaciones intr´ınsecas de una curva vienen dadas por κ = κ(s), τ = τ (s) siendo κ la curvatura, τ la torsi´on y s el par´ametro arco. Tenemos

κ²=

x⁰ y⁰ x⁰⁰ y⁰⁰

2

(x^{0 2}+ y^{0 2})³ =

sinh_a^t 1

1

acosh_a^t 0

2

sinh^{2 t}_a+ 13 =

1

a² cosh^{2 t}_a

cosh^{2 t}_a3 = 1

a²cosh^{4 t}_a. (1)

(23)

La longitud del arco es s =

Z t 0

p(x⁰(u))²+ (y⁰(u))²du = Z t

0

r

sinh² u

a+ 1 du

= Z t

0

coshu a du =

h

a sinhu a

it

0 = a sinht a. Por otra parte

s²+ a²= a²sinh² t

a+ a² = a²cosh² t

a . (2).

Eliminando t de las relaciones (1) y (2) obtenemos κ = a

s²+ a². Dado que la curva es plana, su torsi´on es 0, por tanto las ecuaciones intr´ınsecas de la catenaria son

(κ = a

s²+ a²

τ = 0.

5. Esquema de urnas de Poisson. Funci´ on genera- triz

(a) Supongamos que realizamos n experimentos aleatorios y que en el expe- rimento r-ésimo la probabilidad del suceso A (éxito) es p_r y la del comple- mentario (fracaso) es qr= 1−pr. Llamemos prna la probabilidad de obtener r éxitos en las n pruebas. Denotemos

α_n(ξ) = p_0n+ p_1nξ + p_2nξ²+ . . . + p_rnξ^r+ . . .

(suma con un n´umero finito de t´erminos pues prn= 0 si r > n ). Demostrar que se verifica

α_n(ξ) = (p₁ξ + q₁)(p₂ξ + q₂) . . . (p_nξ + q_n).

Nota: como consecuencia, la identificaci´on de los coeficientes de ξ^r en la igualdad anterior permite calcular p_rn en funci´on de las probabilidades p_i y q_j.

(b) Tres urnas U1, U2, U3 tienen las siguientes composiciones U1: 2 bolas blancas y 3 negras, U₂: 1 blanca y 2 negras, U₃: 3 blancas y 3 negras.

Se extrae una bola de cada urna. Usar la funci´on generatriz para hallar la probabilidad de obtener exactamente dos bolas blancas.

(24)

12 5 Esquema de urnas de Poisson. Funci´on generatriz

Solución. (a) Consideremos los sucesos: C ≡ éxito en la prueba n), D ≡ r − 1 éxitos en las n − 1 primeras pruebas, E ≡ fracaso en la prueba n y F ≡ r éxitos en las n − 1 primeras pruebas. Entonces, el suceso B ≡ r éxitos en las n pruebas es B = (C ∩ D) ∪ (E ∩ F ) y por tanto

prn= pnqr−1,n−1+ qnpr,n−1. Adem´as tenemos las condiciones l´ımites:

(i) pr0 = 0 si r > 1.

(ii) p00= 1.

(iii) p_0n= q₁q₂. . . q_n si n > 0.

Introducimos ahora la llamada funci´on generatriz αn(ξ) =P∞

r=0prnξ^r, suma esta que ya hemos comentado que tiene un n´umero finito de t´erminos.

Tenemos las siguientes igualdades q_nα_n−1(ξ) = q_n

∞

X

r=0

p_r,n−1ξ^r = q_np_0,n−1+

∞

X

r=1

q_np_r,n−1ξ^r. [1]

ξp_nα_n−1(ξ) =

∞

X

r=0

ξp_np_r,n−1ξ^r=

∞

X

r=1

p_np_r,n−1ξ^r. [2]

Sumando las dos igualdades anteriores obtenemos (p_nξ + q_n)α_n−1(ξ) = q_np_0,n−1+

∞

X

r=1

(q_np_r,n−1+ p_np_r−1,n−1)ξ^r

= q_nq₁q₂. . . q_n−1+

∞

X

r=1

p_rnξ^r= p_0n+

∞

X

r=1

p_rnξ^r =

∞

X

r=0

p_rnξ^r= α_n(ξ).

Tenemos

αn(ξ) = (pnξ + qn)αn−1(ξ) = (pnξ + qn)(pn−1ξ + qn−1)αn−2(ξ)

= . . . = (p_nξ + q_n)(p_n−1ξ + q_n−1) . . . (p₂ξ + q₂)α₁(ξ).

Pero α₁(ξ) = p₀₁+ p₁₁ξ = p₁ξ + q₁, de lo que concluimos αn(ξ) = (p1ξ + q1)(p2ξ + q2) . . . (pnξ + qn).

(b) Tenemos

α₃(ξ) = p₀₃+ p₁₃ξ + p₂₃ξ²+ p₃₃ξ² = (p₁ξ + q₁)(p₂ξ + q₂)(p₃ξ + q₃).

Igualando los coeficientes de ξ²: p23= p1p2q3+ q1p2p3+ p1q2p3, con lo cual la probabilidad de obtener exactamente dos bolas blancas es

p₂₃= 2 5 ·1

3·1 2 +3

5 ·1 3·1

2 +2 5 ·2

3·1

2 = . . . = 3 10.

(25)

6. C´ alculo de √

A, A

⁻¹

y e

^A

por matrices compo- nentes

Se considera la matriz real: A =5 −1

1 3

. (a) Calcular sus matrices componentes.

(b) Como aplicaci´on, calcular√

A, A⁻¹ y e^A. Soluci´on. Recordamos el siguiente teorema:

Sea A ∈ K^n×n con K = C o K = R de polinomio m´ınimo µ(λ) = (λ − λ₁)^m¹. . . (λ − λ_s)^m^s.

Entonces, existen matrices Aik con i = 1, 2 . . . , s, k = 0, 1, . . . , mi− 1 tales que para toda funci´on f : Ω ⊂ K → K tal que existe f (A) es decir ∃f^(k)(λi) con i = 1, 2 . . . , s, k = 0, 1, . . . , m_i− 1 se verifica

f (A) =

s

X

i=0 mi−1

X

k=0

f^(k)(λ_i)A_ik.

A las matrices A_ik se las llama matrices componentes de A.

(a) El polinomio m´ınimo de la matriz A es µ(λ) = (λ − 4)². Es decir λ₁ = 4 es el ´unico valor propio de A, las matrices componentes de A son A₁₀, A₁₁y para toda funci´on f para la cual exista f (A) (es decir, existen f (4) y f⁰(4)) se verifica:

f (A) = f (4)A₁₀+ f⁰(4)A₁₁. (∗)

Para hallar las matrices componentes elegimos las funciones polinómicas (siempre están definidas) f (λ) = 1, f (λ) = λ y aplicamos la fórmula (∗) lo cual nos conduce al sistema matricial:

I = A10

A = 4A₁₀+ A₁₁ que resuelto proporciona

A₁₀= I , A₁₁=1 −1 1 −1

.

(b) Aplicando (∗) a la funci´on f (λ) =√

λ y usando f⁰(λ) = 1/(2√

λ) obtenemos:

f (A) =

√

A = 2A10+1

4A11= 1 4

9 −1

1 7

.

(26)

14 7 Cociente de factores integrantes

Aplicando (∗) a la funci´on f (λ) = 1/λ y usando f⁰(λ) = −1/λ² obtenemos:

f (A) = 1

A = A⁻¹ = 1

4A10− 1

16A11= 1 16

3 1

−1 5

. Aplicando (∗) a la funci´on f (λ) = e^λ y usando f⁰(λ) = e^λ obtenemos:

f (A) = e^A= e⁴A₁₀+ e⁴A₁₁= e⁴2 −1

1 0

.

7. Cociente de factores integrantes

Demostrar que si µ1y µ2 son factores integrantes de la ecuaci´on diferencial

P dx + Qdy = 0 (1) entonces µ₂

µ₁ = C con C constante es soluci´on de (1).

Soluci´on. Diferenciando µ₂ µ1

= C :

d µ2

µ₁

= dC, ∂

∂x

µ₂· 1

µ₁

dx + ∂

∂y

µ₂· 1

µ₁

dy = 0,

∂µ₂

∂x 1 µ1

+ µ2

− 1 µ²₁

∂µ₁

∂x

dx + ∂µ₂

∂y 1 µ1

+ µ2

− 1 µ²₁

∂µ₁

∂y

dy = 0.

Multiplicando por µ²₁ :

µ1

∂µ2

∂x − µ₂∂µ1

∂x

dx +

µ1

∂µ2

∂y − µ₂∂µ1

∂y

dy = 0. (2) Por ser µ1 factor integrante de (1),

∂

∂y(µ1P ) − ∂

∂x(µ1Q) = 0, P∂µ₁

∂y − Q∂µ₁

∂x + µ₁ ∂P

∂y −∂Q

∂x

= 0. (3) Por ser µ2 factor integrante de (1),

∂

∂y(µ2P ) − ∂

∂x(µ2Q) = 0, P∂µ₂

∂y − Q∂µ₂

∂x + µ₂ ∂P

∂y −∂Q

∂x

= 0. (4)

(27)

De (3) y (4) µ₂

P∂µ₁

∂y − Q∂µ₁

∂x

− µ₁

P∂µ₂

∂y − Q∂µ₂

∂x

= 0, es decir

µ1

∂µ₂

∂x − µ₂∂µ₁

∂x

dx +

µ1

∂µ₂

∂y − µ₂∂µ₁

∂y

dy = 0,

que es justamente la expresi´on (2) lo cual reduce (2) a (1), y queda demos- trado que µ2

µ₁ = C es soluci´on de (1).

8. Los grupos aditivo y multiplicativo de un cuer- po no son isomorfos

Demostrar que los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo nunca son isomorfos.

Soluci´on. Sea K un cuerpo y sean K⁺ y K^× los grupos aditivo y multiplicativo de K respectivamente. Si K⁺ es finito, entonces |F^×| = |F⁺| − 1, por tanto no existe biyecci´on Φ : K⁺ → K^× lo cual implica que K⁺ y K^× no son isomorfos.

Supongamos ahora que K es infinito y que Φ : K⁺→ K^×es isomorfismo de grupos, con lo cual ser´a Φ(0) = 1.

Si 1 = −1, sea Φ(1) = a. Entonces, Φ(−1) = a⁻¹ y tambi´en Φ(1) = Φ(−1) = a. Por tanto

a² = Φ(1)Φ(−1) = Φ(1 − 1) = Φ(0) = 1 ⇒ a²= 1 ⇒ a = 1 ∨ a = −1

⇒ a = 1 ⇒







Φ(0) = 1 y

Φ(1) = a = 1

⇒ Φ no es inyectiva,

lo cual es absurdo.

Si 1 6= −1, sea b ∈ K tal que Φ(b) = −1. Entonces Φ(2b) = Φ(b + b) = Φ(b)² = 1.

Como Φ es inyectiva, 2b = 0, es decir b = 0 (pues 1 + 1 6= 0). Por tanto 1 = Φ(0) = −1, lo cual es absurdo.

(28)

16 9 Desarrollo de Taylor de orden n de f (x, y) = log(x + y)

9. Desarrollo de Taylor de orden n de f (x, y) = log(x + y)

Desarrollar la funci´on f (x, y) = log(x + y) por la f´ormula de Taylor de orden n en un entorno de (1, 1).

Soluci´on. Hallemos las primeras derivadas parciales de f :

∂f

∂x = ∂f

∂y = 1 x + y,

∂²f

∂x² = ∂²f

∂x∂y = ∂²f

∂y² = − 1 (x + y)². Demostremos por inducci´on que en general se verifica

∂ⁿf

∂x^α∂y^β = (−1)ⁿ⁺¹(n − 1)!(x + y)⁻ⁿ, (α + β = n).

La f´ormula es claramente cierta para n = 1. Supongamos que es cierta para n − 1 y veamos que tambi´en es cierta para n. En efecto,

∂ⁿf

∂x^α∂y^β = ∂

∂x

∂ⁿ⁻¹f

∂x^α−1∂y^β

= ∂

∂x (−1)ⁿ(n − 2)!(x + y)⁻ⁿ⁺¹

= (−1)ⁿ(n − 2)! · (−n + 1)(x + y)⁻ⁿ= (−1)ⁿ⁺¹(n − 1)!(x + y)⁻ⁿ.

∂ⁿf

∂x^α∂y^β = ∂

∂y

∂ⁿ⁻¹f

∂x^α∂y^β−1

= ∂

∂x (−1)ⁿ(n − 2)!(x + y)⁻ⁿ⁺¹

= (−1)ⁿ(n − 2)! · (−n + 1)(x + y)⁻ⁿ= (−1)ⁿ⁺¹(n − 1)!(x + y)⁻ⁿ. Nota. Estamos usando el que f es de clase infinito en un entorno de (1, 1) es consecuencia, las parciales sucesivas no dependen del orden de drivaci´on.

Se verifica f (1, 1) = log 2. Por otra parte

(x − 1) ∂

∂x + (y − 1) ∂

∂y

1

f (1, 1) = (x − 1)∂f

∂x(1, 1) + (y − 1)∂f

∂y(1, 1)

= 1

2[(x − 1) + (y − 1)] .

(x − 1) ∂

∂x+ (y − 1) ∂

∂y

2

f (1, 1) = (x − 1)²∂²f

∂x²(1, 1) +2(x − 1)(y − 1) ∂²f

∂x∂y(1, 1) + (y − 1)²∂²f

∂y²(1, 1)

(29)

= −1

2² [(x − 1) + (y − 1)]². En general,

(x − 1) ∂

∂x + (y − 1) ∂

∂y

n

f (1, 1) = (−1)ⁿ⁺¹(n−1)! 1

2ⁿ[(x − 1) + (y − 1)]ⁿ. El desarrollo pedido es por tanto

log(x + y) = log 2 + 1

2[(x − 1) + (y − 1)] − 1 2 · 1

2²[(x − 1) + (y − 1)]² + · · · + (−1)ⁿ⁺¹· 1

n· 1

2ⁿ[(x − 1) + (y − 1)]ⁿ +(−1)ⁿ⁺²· 1

n + 1 · 1

(ξ + η)ⁿ⁺¹[(x − 1) + (y − 1)]ⁿ⁺¹, con (ξ, η) en el segmento que une los puntos (1, 1) y (x, y).

10. Polinomio de Z[x] con ra´ız α = 2 + √

³

3

(a) Encontrar un polinomio p(x) de tercer grado de Z[x] admitiendo como ra´ız α = 2 +√³

3.

(b) Descomponer p(x) en producto de factores irreducibles en R[x].

Soluci´on. (a) Sea p(x) = c3x³+ c2x²+ c1x + c0 ∈ Z[x] con c3 6= 0. Si tiene como ra´ız a α,

c3α³+ c2α²+ c1α + c0 = 0, α³= −c2

c₃α²− c1

c₃α −c0

c₃ = b2α²+ b1α + b0, (b_k∈ Q).

Es decir, necesariamente α³ ha de ser combinaci´on lineal racional de α², α, 1.

Tenemos

α² = 2 +√³

32

= 4 + 4 · 3^1/3+ 3^2/3, α³ =

2 + ³

√ 3

3

= 11 + 12 · 3^1/3+ 6 · 3^2/3. La igualdad α³ = b2α²+ b1α + b0 equivale a

11 + 12 · 3^1/3+ 6 · 3^2/3= b2

4 + 4 · 3^1/3+ 3^2/3

+b₁

2 + 3^1/3 + b₀.

(30)

18 11 Configuraci´on de centro en un sistema aut´onomo

La igualdad anterior se verifica si





 b2= 6

b1+ 4b2 = 12 b₀+ 2b₁+ 4b₂ = 11.

Resolviendo el sistema anterior obtenemos b2 = 6, b1 = −12, b0 = 11.

Obtenemos el polinomio p(x) = x³− 6x²+ 12x − 11.

(b) Aplicando la regla de Ruffini,

1 −6 12 −11

2 + 3^1/3 2 + 3^1/3 −8 − 2 · 3^1/3+ 3^2/3 11 1 −4 + 3^1/3 4 − 2 · 3^1/3+ 3^2/3 0 El polinomio p(x) lo podemos por tanto expresar en la forma

p(x) = (x − α) q(x), con q(x) = x²+

−4 + 3^1/3

x + 4 − 2 · 3^1/3+ 3^2/3. El discriminante de q(x) es

D =

−4 + 3^1/32

− 4

4 − 2 · 3^1/3+ 3^2/3

= −3 · 3^2/3< 0,

luego q(x) es irreducible en R[x] y la descomposici´on pedida es p(x) = (x − α) q(x).

11. Configuraci´ on de centro en un sistema aut´ ono- mo

Se considera el sistema diferencial X⁰ = AX, con A =1 −2 1 −1

. Se pide:

(a) Escribir la forma general de la soluci´on para resolver el sistema con la condici´on inicial X(0) = (1, 0)^t.

(b) Dibujar la ´orbita que pasa por el punto (1, 0).

(c) Calcular la matriz exponencial exp (tA).

Soluci´on. (a) El polinomio caracter´ıstico de A es λ²+ 1 = 0 y por tanto los valores propios son λ = α ± βi = ±i. El subespacio propio asociado al valor propio i, y una base del mismo son:

Vi ≡ (1 − i)x₁− 2x₂ = 0

x1+ (−1 − i)x2 = 0, Bi= {(1 + i, 1)^t}.

(31)

Como A es real, una base de V−i es B−i = {(1 − i, 1)^t}. Este vector lo podemos expresar en la forma (1 − i, 1)^t = U + iV con U = (1, 1)^t y V = (−1, 0)^t. Por un conocido teorema, si P = [U , V ], entonces:

P⁻¹AP =α −β

β α

=0 −1

1 0

.

y el cambio X = P X^∗ proporciona las soluciones:

x^∗₁ x^∗₂

= e^αtcos βt − sin βt sin βt cos βt

b1

b₂

=cos t − sin t sin t cos t

b1

b₂

.

Para X = (1, 0)^t tenemos:

X = P X^∗ ⇔1 0

=1 −1

1 0

x^∗₁ x^∗₂

⇔x^∗₁ x^∗₂

=

0

−1

.

Es decir, la soluci´on que cumple que cumple la condici´on inicial X(0) = (1, 0)^tes:

x^∗₁ x^∗₂

=

sin t

− cos t

(t ∈ R).

(b) La ´orbita que pasa por (1, 0) es una circunferencia de centro el origen y radio 1 en el plano x^∗₁x^∗₂ recorrida en sentido antihorario:

x^∗₂

x^∗₁

El cambio X = P X^∗ proporciona la correspondiente elipse en el plano x₁x₂. x2

x₁ 1