Medida generada por una funci´ on medible positiva

(1)

Integral de Lebesgue

Problemas para examen

Casi en todos los problemas de esta lista se supone que (X,F, µ) es un espacio de medida.

Primero definimos la integral para funciones simples medibles positivas, luego para funciones medibles positivas, luego para funciones medibles reales (pidiendo que la integral del valor absoluto sea finita) y para funciones medibles complejas (pidiendo que la integral del valor absoluto sea finita).

Integraci´ on de funciones simples medibles positivas

1. La representación canónica de una función simple positiva (repaso). Sea X un conjunto y sea f : X → [0, +∞) una función simple. Lo último significa que el conjunto de los valores de f es finito. Numeramos los valores de f en el orden estrictamente creciente:

im(f ) = {v₁, . . . , v_m}, 0 ≤ v₁ < v₂ < . . . < v_m < +∞, y para cada j definimos el conjunto P_j como la preimagen de {v_j} bajo f :

P_j := f⁻¹[{v_j}].

Entonces los conjuntos P₁, . . . , P_m son no vac´ıos y disjuntos a pares, Sm

j=1P_j = X, y f =

n

X

j=1

v_j1Pj.

2. Funciones simples medibles positivas (repaso). Sea (X,F) un espacio medible y sea f : X → [0, +∞) una función simple, dada por su representación canónica, está escrito arriba. Demostrar que f ∈M(X, F, [0, +∞)) si, y solo si,

∀j ∈ {1, . . . , m} P_j ∈F.

Denotamos por SM(X, F, [0, +∞)) el conjunto de todas las funciones X → [0, +∞) que son simples y F-medibles.

3. Recordar la definición de la integral de Lebesgue de una función simple medible positiva dada por su representación canónica.

4. La integral de una funci´on simple medible positiva dada por una representaci´on generalizada. Sea (X,F, µ) un espacio de medida, sean Q1, . . . , Q_n ∈F conjuntos disjuntos tales que X =

n

[

k=1

Q_k y sean w₁, . . . , w_n ∈ [0, +∞). Algunos de los n´umeros

(2)

w1, . . . , wn pueden coincidir, y algunos de los conjuntos Q1, . . . , Qm pueden ser vac´ıos.

Consideremos la funci´on f : X → [0, +∞), f :=

n

X

k=1

w_k1Qk.

Construir la representaci´on can´onica de f y demostrar que Z

X

f dµ =

n

X

k=1

w_kµ(Q_k).

5. Integración de una función simple medible positiva sobre un conjunto medible. Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea A ∈ F. Denotamos F ∩ 2Â por FA y denotamos µ|_F_A por µ_A. Sabemos que (A,FA, µ_A) es un espacio de medida. Dada una función f en SM(X, F, [0, +∞)), pongamos

Z

A

f dµ :=

Z

A

f |AdµA.

Demostrar que si f tiene representaci´on can´onica f =Pn

j=1v_j1Pj, entonces Z

A

f dµ =

m

X

j=1

v_jµ(P_j).

Demostrar que

Z

A

f dµ = Z

X

f1Adµ.

6. La integral de una función simple medible positiva, considerada como una función del conjunto de integración, es una medida. Sea f : X → [0, +∞) una fun- ción simpleF-medible positiva. Se considera la función ϕ: F → [0, +∞] definida mediante la fórmula

ϕ(Y ) :=

Z

Y

f dµ (Y ∈F).

Bas´andose solamente en la definici´on de la integral para funciones simples medibles positivas, demostrar que ϕ es una medida.

7. La integral de una función simple que toma sólo un valor en el conjunto de integración. Sea f : X → [0, +∞) una función simple F-medible positiva y sea Y ∈ F un conjunto tal que f toma sólo un valor w ∈ [0, +∞) en todos los puntos de Y :

∀x ∈ Y f (x) = w.

Basándose sólo en la definición de la integral para funciones simples medibles positivas, demostrar que

Z

Y

f dµ = w µ(Y ).

(3)

8. Ejemplo, cuando la integral de una función simple medible positiva es cero, aunque el conjunto de integración tiene medida no nula y la función es no nula en algunos puntos del conjunto de integración. Dar un ejemplo de un espacio de medida (X,F, µ), una función medible positiva simple f ∈ SM(X, F, [0, +∞)) y un conjunto medible Y ∈F tales que

Z

Y

f dµ = 0 ∧ µ(Y ) > 0 ∧ (∃x ∈ Y f (x) > 0) .

Integraci´ on de funciones medibles positivas

9. Escribir la definici´on de la integral de Lebesgue de una funci´on medible positiva.

10. Enunciar y demostrar propiedades elementales de funciones medibles positivas.

11. Desigualdad de M´arkov. Sean f ∈M(X, F, [0, +∞]), v > 0. Demostrar que µ ({x ∈ X : f (x) ≥ v}) ≤ 1

v Z

X

f dµ.

12. Sean f ∈M(X, F, [0, +∞]), Y ∈ F tales que Z

Y

f dµ < +∞.

Demostrar que

µ ({x ∈ Y : f (x) = +∞}) = 0.

13. ¿Cuándo la integral de una función medible positiva es nula? Sea f ∈ M(X, µ, [0, +∞]) una función tal que

Z

X

f dµ = 0.

Demostrar que f =====^µ-c.t.p.= 0.

14. Criterio de que la integral de una funci´on medible positiva sobre un conjunto medible es igual a cero. Sea f ∈M(X, F, [0, +∞]) y sea Y ∈ F. Encontrar una condici´on necesaria y suficiente para que

Z

Y

f dµ = 0.

Demostrar que la condici´on encontrada es necesaria y suficiente.

(4)

15. Desigualdad de Márkov–Chebyshov para una composición de funciones positivas. Sean f ∈M(X, F, [0, +∞]), Y ∈ F, g : [0, +∞] → [0, +∞] una función creciente, v ≥ 0 tal que g(v) > 0. Demostrar que

µ ({x ∈ X : f (x) ≥ v}) ≤ 1 g(v)

Z

X

g ◦ f dµ.

Convergencia de integrales de funciones medibles positivas

16. Ejemplos cuando no tiene caso la convergencia de las integrales. Dé un ejemplo de un espacio de medida finita (X,F, µ) y una sucesión de funciones F-medibles f_n: X → [0, +∞) tales que f_n converge puntualmente a una función g : X → [0, +∞), pero

Z

X

f_ndµ 6→

Z

X

g dµ.

Se recomienda construir varios ejemplos cuando la sucesi´on de las integrales R

Xf_ndµ no tiene l´ımite y otros ejemplos cuando esta sucesi´on tiene l´ımite, pero el l´ımite no coincide con la integralR

Xg dµ.

17. Una parte de la demostraci´on del teorema de la convergencia mon´otona.

Sea (f_n)_n∈N una sucesi´on creciente de funciones F-medibles, fn: X → [0, +∞), y sea s : X → [0, +∞) una funci´on simple F-medible positiva tal que

∀x ∈ X lim

n→∞f_n(x) ≥ s(x).

Demuestre que para todo c ∈ (0, 1)

n→∞lim Z

X

f_ndµ ≥ c Z

X

s dµ.

18. Teorema de la convergencia monótona (creciente). Enuncie el teorema y escriba y complete su demostración basándose en el resultado del problema anterior.

19. Teorema de la convergencia decreciente. Enuncie y demuestre el teorema de la convergencia decreciente.

20. Demuestre con un ejemplo que en el teorema de la convergencia decreciente la condici´on “f₁ ∈ L₁(µ)” no se puede omitir. En otras palabras, construya una sucesi´on de funciones (f_n)_n∈N que decrece en cada punto y

Z

X

n→∞lim fn

dµ 6= lim

n→∞

Z

X

fndµ.

(5)

21. Propiedad aditiva de la integral en el caso de funciones positivas. Sean f, g : X → [0, +∞] funciones F-medibles positivas. Demuestre que

Z

X

(f + g) dµ = Z

X

f dµ + Z

X

g dµ.

22. Propiedad σ-aditiva de la integral en el caso de funciones positivas. Sean f_n: X → [0, +∞] funciones F-medibles positivas. Denotemos por g la suma de la serie P∞

n=1f_n:

g(x) :=

∞

X

n=1

f_n(x) (x ∈ X).

Demuestre que

Z

X

g dµ =

∞

X

n=1

Z

X

f_ndµ.

23. Sea (Yn)^∞_n=1 una sucesi´on en F tal que (Yn)^∞_n=1 es creciente y S∞

n=1Yn = X, y sea f ∈M(X, F, [0, +∞]). Demuestre que

n→∞lim Z

Yn

f dµ = Z

X

f dµ.

24. Cada serie numérica de números positivos se puede considerar como una integral de Lebesgue. Sea (a_n)_n∈N una sucesión en [0, +∞], es decir, a : N → [0, +∞].

Consideremos N como un espacio de medida: (N, 2^N, ν), donde ν es la medida de conteo:

ν(A) :=

(|A|, si A es finito;

+∞, si A es infinito.

Recordamos que la suma de la serie se define como el l´ımite de las sumas parciales:

X

n∈N

a_n:= lim

k→∞

X

n∈Nn≤k

a_n.

Demuestre que

X

n∈N

a_n= Z

N

a dν.

25. Intercambio de sumas de n´umeros positivos. Sean a_j,k ∈ [0, +∞] para todos j, k ∈ N. Demuestre que

X

j∈N

X

k∈N

a_j.k =X

k∈N

X

j∈N

a_j,k.

(6)

Medida generada por una funci´ on medible positiva

26. Medida generada por una función medible positiva. Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea f ∈M(X, F, [0, +∞]). Demuestre que la función ϕ: F → [0, +∞], definida mediante la siguiente fórmula, es una medida:

ϕ(Y ) :=

Z

Y

f dµ (Y ∈F).

27. Sean X,F, µ, f, ϕ los mismos que en el ejercicio anterior. Demuestre que para toda g enM(X, F, [0, +∞]),

Z

X

g dϕ = Z

X

f g dµ.

28. Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea f ∈ M(X, F, [0, +∞]) una funci´on cuyo conjunto de valores es numerable:

R(f) = {vk}_k∈N.

Para todo k en N denotemos por Ak a la preimagen del conjunto {v_k} bajo la funci´on f : A_k := f⁻¹[{v_k}].

Demuestre que

Z

X

f dµ =X

k∈N

v_kµ(A_k).

29. Demuestre que

1

Z

0

1 +₁

x

₁

x

dx =

∞

X

n=1

1 n².

(7)

Integral de Lebesgue de funciones reales y complejas

30. Sea f ∈M(X, F, R). Muestre que Z

X

|f | dµ < +∞ ⇐⇒

Z

X

f₊dµ < +∞ ∧ Z

X

f₋dµ < +∞.

31. Recordar la definici´on del conjunto L¹(X,F, µ, R). Sean f ∈ L¹(X,F, µ, R), Y ∈ F.

Recuerde la definici´on de R

Y f dµ.

32. La parte positiva de la suma no necesariamente coincide con la suma de las partes positivas. D´e un ejemplo de funciones f, g : X → R tales que (f + g)+6= f₊+ g₊. 33. La integral de la suma de funciones reales. Sean f, g ∈L¹(X,F, µ, R). Demuestre que

Z

X

(f + g) dµ = Z

X

f dµ + Z

X

g dµ.

Puede usar propiedades de la integral de Lebesgue de funciones positivas.

34. La integral del producto de un número negativo por una función real. Sea f ∈L¹(X,F, µ, R) una función integrable con valores reales y sea α < 0. Demuestre que

Z

X

(αf ) dµ = α Z

X

f dµ.

Sugerencia: usar propiedades de la integral de Lebesgue de funciones positivas.

35. Integral del producto de un n´umero complejo por una funci´on compleja.

Sea f ∈L¹(X, µ, R) y sea α ∈ R. Demuestre que Z

X

(αf ) dµ = α Z

X

f dµ.

36. Transformación de un número complejo en un número positivo por medio de una rotación. Este ejercicio sirve como un lema para el siguiente teorema. Sea z ∈ R.

Construya un n´umero α ∈ R tal que |α| = 1 y αz ≥ 0.

37. Teorema sobre el valor absoluto de la integral. Sea f ∈ L¹(X,F, µ, C). De- muestre que

Z

X

f dµ

≤ Z

X

|f | dµ.

(8)

Teorema de convergencia dominada

38. Teorema de la convergencia dominada. Enunciar y demostrar el teorema de la convergencia dominada (de Lebesgue).

39. Teorema de la convergencia uniforme. Sea (X,F, µ) un espacio de medida finita (µ(X) < +∞) y sea (f_n)_n∈N una sucesi´on de funciones tales que:

i) f_n ∈M(X, F, C) para todo n ∈ N;

ii) fn

=X

=⇒ g;

iii) g ∈ L¹(X,F, µ, C).

Demostrar que

n→∞lim Z

X

f_ndµ = Z

X

g dµ.

40. En el conjunto R con la medida de Lebesgue se considera la sucesi´on de funciones f_n: R → [0, +∞) definida mediante la regla fn =1[n,n+1), esto es,

f_n(x) =

(1, n ≤ x < n + 1;

0, x < n ∨ x ≥ n + 1.

Demostrar que f_n converge a la funci´on g = 0_R, pero

n→∞lim Z

f_ndµ = 1.

Explicar por qu´e no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello, calcule la funci´on

h(x) = sup

n∈N

|f_n(x)|.

41. En el intervalo (0, 1] con la medida de Lebesgue se considera la sucesi´on de funciones f_n: (0, 1] → [0, +∞) definida mediante la regla f_n= n1(0,1/n], esto es,

f_n(x) =

(n, 0 < x ≤ ¹_n; 0, ¹_n < x ≤ 1.

Demuestre que f_n converge a la funci´on g = 0 pero

n→∞lim Z

fndµ = 1.

Explique por qu´e no se puede aplicar el teorema de convergencia dominada. Para ello, calcule la funci´on

h(x) = sup

n∈N

|f_n(x)|.

(9)

42. Criterio de la convergencia en medida (en el caso de medida finita).

Sean (X,F, µ) un espacio de medida finita, (fn)_n∈N una sucesi´on en M(X, F, R) y g ∈ M(X, F, R). Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) f_n −+ g;^µ (b) lim

n→∞

Z

X

|f_n− g|

|f_n− g| + 1dµ = 0.

43. Sea (X,F, µ) un espacio de medida infinita. Definimos las funciones fn, g ∈M(X, F, R) de la siguiente manera:

f_n= 1

n, g = 0.

Demuestre que en este ejemplo f_n−+ g, pero^µ Z

X

|f_n− g|

|f_n− g| + 1dµ 6→ 0.

Continuidad de la integral con respecto al conjunto de integraci´ on

44. Lema. Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea f ∈ L¹(X, µ, [0, +∞]). Definamos los conjuntos Un (n ∈ {0, 1, 2, . . .}):

U_n:=x ∈ X : f (x) ≥ n . Demostrar que

n→∞lim µ(U_n) = 0.

45. Lema. Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea f ∈ L¹(X, µ, [0, +∞]). Definamos los conjuntos U_n (n ∈ {0, 1, 2, . . .}):

U_n:=x ∈ X : f (x) ≥ n . Demostrar que

n→∞lim Z

Un

f dµ = 0.

Sugerencia: usar la desigualdad de M´arkov del Problema 11.

46. Continuidad de la integral respecto al conjunto de integraci´on, primera versi´on. Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea f ∈ L¹(X, µ, [0, +∞]). Demostrar que para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si E ∈ F y µ(E) < δ, entonces Z

E

f dµ < ε.

Sugerencia: usar el lema anterior.

(10)

47. Continuidad de la integral respecto al conjunto de integración, segunda versión. Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea f ∈ L¹(X, µ, C). Dotamos F de la pseudométrica

ρ(A, B) := µ(A 4 B).

Ya sabemos que (F, ρ) es un espacio pseudom´etrico. Definimos J : F → C, J (A) :=

Z

A

f dµ.

Demostrar que la funci´on J es uniformemente continua.

Integrales impropias

48. Sea µ la medida de Lebesgue en R, sea a ∈ R y sea f ∈ L¹([a, +∞), µ, C). Demostrar que para toda sucesi´on (b_n)_n∈N ⊂ R que tiende a +∞,

n→∞lim Z

[a,bn]

f dµ = Z

[a,+∞)

f dµ.

49. Sea µ la medida de Lebesgue en R, sea a ∈ R y sea f ∈ L¹([a, +∞), µ, C). Demostrar que

b→+∞lim Z

[a,b]

f dµ = Z

[a,+∞)

f dµ.

Sugerencia: utilizar el resultado del problema anterior y el criterio del l´ımite en t´erminos de sucesiones (el criterio de Heine).

50. Consideremos la funci´on f : [1, +∞) → R definida mediante la siguiente f´ormula:

f (x) = sen(x) x . Demostrar que

+∞

Z

1

|f (x)| dx = +∞,

pero existe y es finito el l´ımite

lim

b→+∞

b

Z

1

f (x) dx.

(11)

Integraci´ on y conjuntos de medida cero

En los siguientes problemas se supone que (X,F, µ) es un conjunto de medida. La medida puede ser finita o infinita.

51. Igualdad casi en todas partes es una relaci´on de equivalencia. Consideremos el conjunto de funciones complejasF-medibles con la relaci´on binaria ∼ definida mediante^µ la siguiente regla:

f ∼ g^µ ⇐⇒ µ x ∈ X : f (x) 6= g(x) = 0.

52. Sucesi´on de conjuntos cuyas medidas forman una serie convergente. Sea (E_n)_n∈N una sucesi´on de conjuntos F-medibles tal que

∞

X

n=1

µ(E_n) < +∞, y sea

A =x ∈ X : {n ∈ N: x ∈ En} es infinito . Demuestre que µ(A) = 0.

53. La integral de una funci´on real no nula puede ser cero. Encuentre un espacio de medida (X,F, µ) y una funci´on f ∈ L¹(X,F, µ, R) tal que

µ({x ∈ X : f (x) 6= 0}) > 0, Z

X

f dµ = 0.

54. Funci´on real tal que su integral son cero para cualquier conjunto de integraci´on. Sea f ∈ L¹(X,F, µ, R) tal que para cada A en F

Z

A

f dµ = 0.

Demuestre que f es cero µ-c.t.p.

55. Funci´on compleja tal que su integral es igual a la integral de su valor absoluto. Sea f ∈L¹(X,F, µ, C) tal que

Z

X

f dµ = Z

X

|f | dµ.

Demostrar que f =====^µ-c.t.p.= |f |.

56. Funci´on compleja tal que el valos absoluto de su integral es igual a la integral del valor absoluto. Sea f ∈L¹(X,F, µ, C) tal que

Z

X

f dµ

= Z

X

|f | dµ.

Encontrar α en C tal que αf =====^µ-c.t.p.= |f |.

(12)

La convergencia de integrales y otros modos de la convergencia

57. ¿La convergencia en medida implica la convergencia de integrales? Consi- deramos la recta real R con la medida de Lebesgue µ. Supongamos que (fn)_n∈N es una sucesi´on en L¹(R, µ, [0, +∞)) que converge en medida a la funci´on constante cero 0R:

f_n−+ 0^µ _R. Determinar si podemos hacer la siguiente conclusi´on:

n→∞lim Z

R

f_ndµ = 0.

En caso de una respuesta positiva, hay que dar una demostraci´on. En caso de una respuesta negativa, hay que construir un contraejemplo y justificarlo.

58. ¿La convergencia de las integrales implica la convergencia en medida?

Consideramos la recta real R con la medida de Lebesgue µ. Supongamos que (fn)_n∈N es una sucesi´on en L¹(R, µ, [0, +∞)) tal que

n→∞lim Z

R

f_ndµ = 0.

Determinar si podemos hacer la siguiente conclusi´on:

f_n−+ 0^µ _R,

donde 0_R es la función constante cero. En caso de una respuesta positiva, hay que dar una demostración. En caso de una respuesta negativa, hay que construir un contraejemplo y justificarlo. Sugerencia: puede ser útil la desigualdad de Márkov.

59. ¿La convergencia uniforme implica la convergencia de integrales, en el caso de medida finita? Consideramos el segmento [0, 1] con la medida restringida de Lebesgue µ. Supongamos que (f_n)_n∈Nes una sucesi´on enL¹([0, 1], µ, [0, +∞)) que converge de manera uniforme a la funci´on constante cero 0_[0,1]:

f_n ==⇒ g.^[0,1]

Determinar si podemos hacer la siguiente conclusi´on:

n→∞lim Z

[0,1]

f_ndµ = 0.

(13)

60. ¿La convergencia uniforme implica la convergencia de integrales, en el caso de medida infinita? Consideramos la recta real R con la medida de Lebesgue µ.

Supongamos que (f_n)_n∈N es una sucesi´on en L¹(R, µ, [0, +∞)) que converge de manera uniforme a la funci´on constante cero 0_R:

f_n==⇒ g.^R Determinar si podemos hacer la siguiente conclusi´on:

n→∞lim Z

R

f_ndµ = 0.