IVÁN ATIENZA SÁNCHEZ
1. FUNDAMENTOS DE TEORÍA DE LA MEDIDA. INTEGRAL DE LEBESGUE.
1.1- HACIA LA CONSTRUCCIÓN DEL ESPACIO DE MEDIDA
En este primer apartado se proporcionará una breve caracterización de los rudimentos esenciales de teoría de la medida para más tarde construir y entender la integral de Lebesgue, que es en resumidas cuentas nuestro objetivo en estas páginas.
El elemento más básico, conocido por todos aquellos que hayan cursado probabilidad en algún momento de su vida, es el espacio muestral, generalmente denotado por Ω. El espacio muestral tiene una interpretación bastante sencilla: no representa ni más ni menos que el conjunto de posibles resultados que puede arrojar un experimento. Un ejemplo bastante manido es el de un experimento probabilístico consistente en arrojar un dado y ver cuál es el número que sale. ¿Cuáles son los posibles resultados de este experimento? Obviamente el 1,2,3,4,5 y 6. No hay más opciones. A cada uno de estos resultados se les conoce por el nombre de sucesos simples en probabilidad, pues cada uno de ellos engloba un solo elemento del espacio muestral. Hay también sucesos compuestos, sucesos formados por más de un suceso simple. Por ejemplo, el suceso “sacar un número par” en este caso estaría representado por un conjunto de tres elementos (sacar un número par = {2,4,6}). En forma abstracta, un espacio muestral con un número finito de elementos podría ser definido como sigue:
Ω = {𝜔*, 𝜔+, … , 𝜔-}
siendo cada 𝜔. un suceso simple. Sin embargo, este espacio muestral no tiene por qué ser finito; de hecho, no tiene por qué ser ni siquiera discreto. Puede contener un conjunto infinito no numerable de elementos, es decir, un infinito “más grande” (con más cardinalidad) que el de los números naturales.
Por ejemplo, pensemos en un experimento aleatorio consistente en medir la rentabilidad de un determinado activo. Esa rentabilidad, a priori, puede tomar cualquier valor real. Es posible que nos encontremos tanto una rentabilidad del 2% como una rentabilidad de −𝜋 %. Obviamente, será mucho más probable obtener rentabilidades entorno al cero por ciento que rentabilidades cercanas a infinito o menos infinito; de modelizar este hecho se encargarán las funciones de distribución utilizadas para tal cometido y, sobre todo, el grosor de las colas de la distribución. Cuanto más ligeras sean las colas, menos probabilidad acumularán valores extremos. En todo caso, eso poco afecta al espacio muestral. En este caso, nuestro espacio muestral es toda la recta real, Ω = ℝ, por lo que uno puede suponer rápidamente que la cosa se complica. Necesitaremos herramientas más potentes que la simple cuenta de la vieja para este tipo de experimentos. No obstante, el espacio muestral debe venir acompañado de una cierta estructura algebraica sobre los elementos de dicho espacio.
Una sigma-álgebra sobre Ω, denotada usualmente por Σ, es una familia de subconjuntos de Ω que es cerrada bajo complementos, uniones e intersecciones no necesariamente finitas (pero sí numerables).
Esta estructura es esencial a la hora de construir un espacio de medida sobre el que aplicar las herramientas fundamentales que necesitará un probabilista o un estadístico para el diseño y el estudio de experimentos aleatorios. Definámosla más rigurosamente.
Def (𝜎-álgebra sobre Ω): se dice que Σ es una 𝜎-álgebra sobre Ω si es una clase formada por subconjuntos de Ω, verificando estos las siguientes condiciones:
a) Ω ∈ Σ
b) ∀𝐴 ∈ Σ se verifica que 𝐴9∈ Σ
c) Dada cualquier sucesión de conjuntos {𝐴-}-∈ℕ∈ Σ se tiene que ⋃-∈ℕ𝐴-∈ Σ
De esta definición se pueden probar otras muchas propiedades que necesariamente verificarán las sigma-álgebras de conjuntos, como por ejemplo que el conjunto vacío estará incluido en la sigma-
álgebra o que también será una estructura cerrada para intersecciones numerables. Demostremos estas dos propiedades y veamos un ejemplo muy simple y concreto de lo que es una sigma-álgebra.
Proposición 1.1: si Σ es una 𝜎-álgebra sobre Ω, se verifica también que:
a) ∅ ∈ Σ
b) Dada cualquier sucesión de conjuntos {𝐴-}-∈ℕ∈ Σ se tiene que ⋂-∈ℕ𝐴-∈ Σ Dem:
d) Como Ω ∈ Σ por definición, también pertenecerá a la sigma-álgebra su complementario, Ω9 ∈ Σ. ¿Quién es el complementario del espacio muestral? El conjunto vacío. Por tanto, Ω9= ∅ ∈ Σ a) Tomemos una sucesión de conjuntos de Σ, por ejemplo, {𝐴-}-∈ℕ. Obsérvese que esta sucesión de conjuntos puede ser perfectamente infinita. Entonces, por la propia definición de sigma- álgebra, sus complementarios también pertenecerán a Σ, es decir, 𝐴-9∈ Σ Por las leyes de De Morgan, se tiene que podemos expresar la intersección numerable en términos de la unión de la siguiente forma
> 𝐴- -∈ℕ
= ?@ 𝐴-9 -∈ℕ
A
9
Los 𝐴-9∈ Σ , por tanto su unión numerable también. Finalmente, el complementario de esa unión ídem, resultando en que la intersección pertenece a la sigma-álgebra.
*Recordar (Leyes de De Morgan)
B@ 𝐴-C9= > 𝐴-9 B> 𝐴-C9= @ 𝐴-9 Por tanto, en el ejemplo anterior
?@ 𝐴-9
-∈ℕ
A
9
= >(𝐴-9)9= > 𝐴- -∈ℕ
Pues el complementario del complementario de un conjunto es el mismo conjunto.
QED
Veamos un ejemplo sencillo. Imaginemos que nuestro espacio muestral toma la siguiente forma:
Ω = {1,2}
Una posible sigma-álgebra sobre Ω podría ser Σ = {∅, {1,2}, {1}, {2} }. Nótese que se trata de una familia de conjuntos; sus elementos son conjuntos, que a la vez son subconjuntos del propio espacio muestral (o hasta él mismo). Veamos si se verifican las propiedades anteriormente enunciadas:
a) Obviamente Ω ∈ Σ, pues {1,2} ∈ Σ, como podemos ver más arriba.
b) El complementario de todos los elementos de Σ está en Σ.
∅9 = Ω ∈ Σ ({1,2})9= Ω9= ∅ ∈ Σ
{1}9= {2} ∈ Σ {2}9= {1} ∈ Σ c) También es cerrada para uniones, tomemos algunos ejemplos:
{1} ∪ {2} = {1,2} ∈ Σ
∅ ∪ {2} = {2} ∈ Σ
*Recordar que el complementario de un conjunto se define como el conjunto resultante de quitarle al espacio muestral ese conjunto, por ejemplo, {1}9 = Ω − {1} = {1,2} − {1} = {2}. En este caso hablamos de conjuntos unipuntuales.
De esta forma, ya estamos en disposición de definir la noción de espacio medible. Se le denomina espacio medible a la pareja formada por el espacio muestral y su sigma-álgebra asociada, es decir, a (Ω, Σ). ¿La sigma-álgebra ha de ser única? No tiene por qué. Podemos encontrar de hecho infinitas sigmas-álgebras asociadas a un espacio muestral dado, con lo que tendríamos infinitos espacios medibles posibles. Cuando Ω = ℝ (Ω = ℝH) se suele tomar la sigma-álgebra de Borel unidimensional (multidimensional), que se simboliza por la letra 𝛽 (𝛽H). ¿Qué es la sigma-álgebra de Borel? No es otra cosa que la mínima sigma-álgebra que contiene a los abiertos de la topología. Pongamos que Ω = ℝ. La sigma-álgebra de Borel contiene intervalos de muchos tipos, de tal forma que al complementar o unir intervalos abiertos entre sí los resultados de estas operaciones queden dentro de la propia clase de conjuntos definida por 𝛽. A estos elementos de la sigma-álgebra de Borel se les conoce por el nombre de borelianos. De hecho, el espacio medible (ℝ, 𝛽) será de suma importancia a la hora de definir más tarde la noción de variable aleatoria.
Sin embargo, nos falta un elemento más para conseguir hablar de un espacio de medida propiamente dicho, pues hasta ahora solo hemos llegado a construir espacios medibles. ¿Qué elemento falta? Nos falta una medida. Los conjuntos de un espacio medible por definición son conjuntos medibles, sin embargo, nos falta una herramienta con la que medirlos, con la que asignarle a cada conjunto de la sigma-álgebra un número concreto, representando este número desde una medida de longitud hasta una medida de incertidumbre, como es el caso de la probabilidad. Esta herramienta será un tipo de funciones de conjunto bastante especiales, funciones de conjunto llamadas medidas, que verifican una serie de propiedades bastante específicas. Pasamos a definir las medidas a continuación:
Def (medida): se dice que una función de conjunto 𝜇: Σ → ℝ∗ (recta real extendida – contando menos infinito e infinito) es una medida si verifica dos propiedades:
a) Es sigma-aditiva, es decir, dada una sucesión (tal vez infinita) de conjuntos disjuntos dos a dos, es decir, {𝐴-}-∈ℕ con 𝐴.∩ 𝐴O= ∅, se tiene que la medida de la unión de todos ellos coincide con la suma de las medidas de cada uno de los conjuntos de la sucesión, es decir,
𝜇 ?@ 𝐴- -∈ℕ
A = P 𝜇 (
Q
-R*
𝐴-)
La interpretación de esta propiedad es bastante intuitiva: si queremos calcular la medida total de un conjunto de “pedazos” que no se solapan nos basta con calcular la medida de cada uno de ellos y sumarlas.
b) La medida de cualquier conjunto de la sigma-álgebra, sea este cual sea, es como mínimo nula;
es decir, no puede ser negativa (𝜇(𝐴) ≥ 0 ∀𝐴 ∈ Σ. Esta propiedad también es bastante intuitiva.
Hay veces que no disponemos de funciones tan buenas. Por el contrario, disponemos de funciones algo peores, funciones que no tienen por qué verificar algunas de las propiedades de las medidas. Estas funciones suelen ser conocidas por el nombre de medidas exteriores. No obstante, aunque estas funciones no sean medidas y estén definidas muchas veces sobre estructuras algebraicamente más pobres que las sigmas-álgebras (semianillos, la mayor parte de las veces), existe la posibilidad de, bajo una serie de supuestos específicos, “completarlas” y considerarlas como medidas sobre la mínima sigma-álgebra que recubre a esas estructuras. Estas condiciones vienen dadas por el teorema tal vez más importante de la teoría de la medida, el Teorema de Extensión de Caratheodory, y nos permiten construir medidas tan importantes como la medida de Lebesgue a partir de funciones más simples y sencillas.
De hecho, la medida de Lebesgue es conocida por todo el mundo, a pesar de que muchos no la conozcam por ese nombre. ¿Cuál es la medida de un intervalo? Pues un extremo menos el otro. ¿Y la medida de un rectángulo? Pues su área. Así sucesivamente. Es decir, si tenemos un conjunto A definido como un producto cartesiano de n intervalos de la siguiente forma 𝐼*𝑥 … 𝑥 𝐼-, la medida de Lebesgue de A, denotada por 𝜆, es la siguiente
𝜆 (A) = long (𝐼*) 𝑥 … 𝑥 𝑙𝑜𝑛𝑔 (𝐼-)
De esta forma, ya tenemos construido el espacio de medida; este no es otro que la tripleta (Ω, Σ, 𝜇). A partir de aquí ya podemos empezar el estudio de la integral de Lebesgue.
1.2- FUNCIONES MEDIBLES Y FUNCIONES SIMPLES: LA ANTESALA DE LA INTEGRAL DE LEBESGUE
La probabilidad, y más en general la Teoría de la Medida, no se interesa por el concepto de continuidad, tan común y crucial en análisis matemático. La idea de continuidad queda englobada bajo otro concepto mucho más genérico y a la vez más potente: la medibilidad. No nos interesaremos por la continuidad, por la sencilla razón de que las funciones continuas no son más que un caso particular de funciones medibles. ¿Qué es una función medible? Pues bien, supongamos dos espacios medibles, (Ω*, Σ*) y (Ω+, Σ+), y 𝑓 una función que esté definida en (Ω*, Σ*) y tome valores en (Ω+, Σ+), 𝑓: (Ω*, Σ*) → (Ω+, Σ+), es decir, la función relaciona conjuntos de la primera sigma-álgebra con conjuntos de la segunda. La condición de medibilidad se traduce en que la imagen inversa de cualquier conjunto de la sigma-álgebra Σ+ tiene que estar dentro de la sigma-álgebra de partida, Σ*, es decir
∀𝐵 ∈ Σ+ 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑓i*(𝐵) ∈ Σ*
Además, se puede demostrar que la suma de funciones medibles es una función medible, al igual que su composición, su producto o su cociente. Incluso el máximo y el mínimo de funciones medibles son funciones medibles.
A partir de aquí llegamos directamente a la noción de variable aleatoria. ¿Qué es una variable aleatoria?
Una variable aleatoria no es otra cosa que una función medible cuyo espacio de medida original es un espacio de probabilidad, es decir, una función medible probabilística
𝑋: (Ω*, Σ*, P) → (Ω+, Σ+, 𝜇)
Donde P es la medida de probabilidad. El espacio medible de llegada se suele corresponder con (ℝ, 𝛽), y la medida en este último espacio suele ser (aunque no necesariamente) la medida de Lebesgue. Será sobre estas funciones, las funciones medibles, sobre las cuales definiremos la integral de Lebesgue, integral mucho más potente y genérica que la de Riemann, pues a diferencia de esta última, la integral de Lebesgue puede llevar asociada cualquier medida. Por último, antes de pasar al último apartado, daremos una breve definición de lo que es una función simple.
Def (función simple): Sean 𝐴*, … , 𝐴- conjuntos que forman una partición del espacio muestral Ω (es decir, son disjuntos dos a dos y su unión es el propio Ω) y f una función medible de la siguiente forma
𝑓: (Ω, Σ) → (ℝ, 𝛽)
Se dice que f es simple si toma un número finito de valores, uno en cada conjunto de la partición de Ω.
De una forma rigurosa, se dice que una función f es una función simple si existe una partición de Ω, llamémosla 𝐴*, … , 𝐴-, de tal forma que
𝑓(𝜔) = P 𝑥.𝐼lm(𝜔)
-
.R*
donde 𝑥. es el valor que toma f en el conjunto de la partición 𝐴. y 𝐼lm(𝜔) representa la función indicatriz en ese conjunto. Abajo hay dos ejemplos gráficos de este tipo de funciones
Este concepto de función simple es clave a la hora de aproximarnos a la integral de Lebesgue.
1.3- CONSTRUCCIÓN DE LA INTEGRAL DE LEBESGUE. DIFERENCIAS RESPECTO A LA INTEGRAL DE RIEMANN.
En el apartado anterior se ha afirmado que las funciones simples son esenciales a la hora de concebir la integral de Lebesgue. Esto no es casual, y es que como veremos, toda función medible no negativa puede expresarse como límite de una sucesión no decreciente de funciones simples. Una vez tengamos definida la integral de Lebesgue de una función simple, ya tenemos definida la integral de Lebesgue para esa función medible. Resolver el caso de no negatividad es trivial. En todo caso, recordemos brevemente cómo funcionaba la integral de Riemann, aquella integral que se enseña por primera vez en Bachillerato y más tarde en casi todos los estudios universitarios, y comparémosla luego con la integral de Lebesgue.
La integral de Riemann pivota sobre un concepto clave, que es el de sumas de Riemann. La idea es la siguiente: formaremos cada vez particiones más y más finas del dominio de la función donde queremos integrarla, por ejemplo, un intervalo [a,b]. A raíz de estas particiones y de ciertos valores de la función en los intervalos definidos por ellas (ínfimos y supremos) se desprenderán un conjunto de rectángulos cuya área suma aproximará el área que encierra la función bajo la curva. Es decir, nos acercaremos con rectángulos al contorno de la función “por arriba y por abajo”. Al área que suman los rectángulos “por arriba” se la denomina suma superior de Riemann, y “por abajo”, suma inferior de Riemann. La función será integrable siempre en cuando el límite de las sumas superiores coincida con el de las sumas inferiores. En el límite, los rectángulos ya habrán aproximado relativamente bien el contorno de la función. Veamos un ejemplo gráfico.
Sumas inferiores de Riemann:
Sumas superiores de Riemann:
Se puede apreciar que a medida que hacemos más fina la partición, a medida que añadimos rectángulos y las bases se hacen más y más pequeñas, la suma consigue aproximar razonablemente bien el área que encierra la función bajo la curva. De hecho, añadiendo puntos a la partición del intervalo [a,b] podemos hacer que la diferencia entre la aproximación y el verdadero valor sea todo lo pequeña que nosotros queramos (menor que un épsilon arbitrario). De esta forma, ¿cuándo existe la integral de Riemann?
Cuando ambas sumas de Riemann en el límite (integrales superiores e inferiores) coincidan. Sin embargo, no siempre estas sumas coinciden. Para funciones relativamente buenas, funciones cuya frontera no sea muy enrevesada (discontinuidades con medida nula) la integral de Riemann es una herramienta suficiente. ¿Qué ocurre con aquellas cuya frontera es tan caótica que no pueden ser integradas por medio de la integral de Riemann, como por ejemplo, la función de Dirichlet? Además, la integral de Riemann exhibe comportamientos bastante malos a la hora de investigar propiedades de sucesiones de funciones en el paso al límite. Necesitamos definir una nueva integral, una integral que sea lo suficientemente potente como para atajar estas complicaciones. Esta integral es la integral de Lebesgue, nombrada en honor a quien primero la formuló, un matemático francés llamado Henri Lebesgue, cumbre de las matemáticas del siglo XIX y XX. La idea de Lebesgue era muy simple: ¿y si en vez de particionar el dominio de la función particionamos el rango? Es decir, ¿por qué no ver el área que encierra la función como una suma de capas que se disponen horizontalmente unas sobre otras, en vez de como rectángulos? En la siguiente fotografía, en azul, tenemos graficado el funcionamiento de la integral de Riemann; en rojo, el funcionamiento de la integral de Lebesgue.
de integral de Lebesgue, como veremos ahora. No obstante, aún queda por ver cómo construimos esas
“lonchas”. Para ello, primero tenemos que definir qué es la integral de Lebesgue de una función simple.
Def (integral de Lebesgue de una función simple): sea s una función simple que toma un conjunto de valores 𝑥*, … , 𝑥- en cada uno de los conjuntos de la partición 𝐴*, … , 𝐴-. Sea 𝜇 la medida de Lebesgue.
Entonces, la integral de la función simple se define como sigue:
n 𝑠 𝑑𝜇
p
= P 𝑥.𝜇(𝐴.)
-
.R*
Es decir, tomamos la medida de Lebesgue de cada uno de los conjuntos de la partición y las multiplicamos por los valores que toman en esos conjuntos. La idea es muy parecida a la de la integral de Riemann en un aspecto: para calcular las áreas de los rectángulos y después sumarlas, uno lo que debe hacer es multiplicar la base por la altura. En este caso es igual, solo que la base está ponderada por la medida que lleva asociada la integral. Lebesgue en un principio concibió su integral con la medida de La diferencia es bastante clara: ahora sumaremos “lonchas” en vez de rectángulos.
El procedimiento recuerda bastante al de Cavalieri. Sin embargo, esa no es la única diferencia. La integral de Lebesgue llevará asociada una medida, una medida de Lebesgue que servirá para ponderar a aquellos conjuntos que forman la partición del e. muestral. De esta forma, la integral de Riemann no es más que un caso particular
Lebesgue asociada a ella, pero Radon fue capaz de extender este concepto a las medidas de Lebesgue- Stieltjes (las de las distribuciones de probabilidad) y Fréchet a cualquier medida en general. En todo caso, utilizaremos estas funciones simples para aproximar cualquier función medible no negativa. Una vez aproximada, la integral de Lebesgue de esta función medible se corresponderá con el límite de las integrales de estas funciones simples. Veamos por qué.
Sabemos que existe una sucesión de funciones simples que aproximará a nuestra función medible f, que es la que queremos integrar. A esta sucesión de funciones medibles la denotaremos {𝑠-: 𝑛 ∈ ℕ}, y verificarán que lim
-→Q𝑠-=f. Ahora bien, por el teorema de la convergencia monótona, que rige para la integral de Lebesgue, podemos intercambiar límite e integral y tenemos que
-→Qlimn 𝑠- 𝑑𝜇
p = n lim
-→Q𝑠-= n 𝑓
p p
En el libro de Teoría de la Probabilidad, de Ibarrola, Pardo y Quesada, puede verse que una posible sucesión de funciones simples que aproximan cualquier función medible es
𝑠-(𝜔) = s 𝑘 − 1
2- 𝑠𝑖 𝑘 − 1
2- ≤ 𝑓(𝜔) < 𝑘
2- 𝑘 = 1, . . , 𝑛2- 𝑛 𝑠𝑖 𝑓(𝜔) ≥ 𝑛
Como puede apreciarse, a la hora de definir las funciones simples lo que se subdivide es el rango de f, no el dominio. Esas integrales de esas funciones simples, integrales que convergerán a la integral de la función f buscada, están representadas por esas “lonchas” que hemos mencionado antes, lonchas que cada vez se harán más y más finas a medida que las funciones simples añadan más y más valores. Aquí abajo podemos ver un ejemplo
Es decir, a través de las integrales de esas funciones simples, que no serían más que la suma de las áreas de esas capas horizontales, podemos acceder a la integral de la función medible que estamos estudiando.
Formalmente,
n 𝑓 𝑑𝜇
p = lim
-→Qn 𝑠- 𝑑𝜇
p
Si esta tomara valores negativos, se puede definir la integral de Lebesgue como la diferencia de dos funciones medibles positivas, la parte positiva y la parte negativa de la función, a saber, 𝑓x 𝑦 𝑓i, que se definen como el 𝑚á𝑥 |0, 𝑓(𝑥)} 𝑦 𝑚á𝑥 |0, −𝑓(𝑥)}, respectivamente. De esta forma, siendo f una función medible arbitraria,
n 𝑓 𝑑𝜇 = n 𝑓x𝑑𝜇
p
− n 𝑓i𝑑𝜇
p
p
Queda de esta forma construida la integral de Lebesgue. La integral de Riemann no es más que un caso específico de integral de Lebesgue para funciones acotadas y Riemann integrables.
A partir de esta integral, como ya se ha mencionado anteriormente, han surgido numerosas generalizaciones. Una de ellas, la más importante para los probabilistas y los estadísticos, sin duda, la
integral de Lebesgue-Stieltjes. Esta integral lleva adosada una medida, como su propio nombre indica, de Lebesgue-Stieltjes. Estas medidas son extremadamente importantes porque, entre otras cosas, llevan aparejadas funciones de distribución de forma única salvo constante aditiva. Es decir, la medida de Lebesgue-Stieltjes y las funciones de distribución en teoría de la medida representan dos caras de la misma moneda. Cuando esas funciones de distribución son probabilísticas (𝐹(∞) = 1), por medio de esta integral se definen los distintos momentos de una variable aleatoria, el más importante de los cuales es la esperanza, la cual queda perfectamente descrita por medio de esta integral de Lebesgue-Stieltjes
𝐸(𝑋) = n 𝑋
p 𝑑𝑃
una integral de la variable aleatoria en cuestión (que recordemos, es una función medible) respecto de la medida de probabilidad. Si tenemos en cuenta que esa medida de probabilidad lleva una distribución asociada y empleamos el teorema de cambio de espacio de integración llegamos a la expresión conocida por todos del operador esperanza, en términos de la integral de Riemann
𝐸(𝑋) = n 𝑥
ℝ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 donde f(x) representa la función de densidad.
BIBLIOGRAFÍA:
1. Elementos de Teoría de la Medida, Análisis Funcional y Teoría de Distribuciones, apuntes UGR.
2. Teoría de la Probabilidad, de Pilar Ibarrola, Leandro Pardo y Vicente Quesada.
3. La integral de Lebesgue, un poco más de cien años después, Diomedes Bárcenas
