Elementos de Teoría de la Medida, Análisis Funcional y Teoría de Distribuciones

Análisis Funcional y Teoría de

Distribuciones

Thelma: Mr. Dodd, how do you occupy your leisure?

Dodd: Mrs. Cherie, all the excitement, the romance, the adventure that I want I find in my own way.

Thelma: Your own way?

Dodd: Well, if you must know, in the science of mathematics. Thelma: Wow, fascinating.

(Stand–in, Tay Garnett, 1937).

La Teoría de la Medida, el Análisis Funcional y la Teoría de Distribu-ciones proporcionan los cimientos necesarios para diseñar el marco fun-cional apropiado bajo el que se desarrolla la teoría débil de las ecuaciones en derivadas parciales. A lo largo de éste y de los siguientes capítulos se-rán extensamente discutidos los aspectos más relevantes que estas teorías aportan al estudio de los espacios de Lebesgue y de Sobolev, así como a la construcción y al sentido matemático de las soluciones de diversos pro-blemas de valores iniciales y de contorno.

Medibilidad

Comenzamos revisando algunas propiedades básicas relacionadas con la medibilidad de conjuntos y funciones.

Definición1. SeaΣuna familia de subconjuntos de un conjuntoΩ. Deci-mos queΣes unaσ–álgebrasobreΩsi satisface las siguientes propiedades:

(a) Ω∈ Σ.

(b) Si A∈ Σentonces Ac ∈Σ, dondeAc denota el conjunto complemen-tario deAenΩ.

(c) Si An ∈ Σ para todo n ∈ N, entonces S∞n=1An ∈ Σ; es decir,Σ es

cerrada para uniones infinitas numerables.

Las propiedades (a), (b) y (c) conducen inmediatamente al hecho de que

(d) ∅ =Ωc ∈ Σ

y

(e) Σes también cerrada para intersecciones infinitas numerables, es de-cir: siAn ∈ Σpara todon ∈N, entonces

∞ \ n=1 An = _[∞ n=1 Ac_nc ∈ Σ.

Ejemplo1. SeanΩun conjunto cualquiera yXun espacio topológico. (a) El ejemplo más elemental deσ–álgebra sobreΩesΣ ={∅,Ω}. (b) Otro ejemplo obvio deσ–álgebra sobreΩes el conjuntoP(Ω)de las

partes deΩ, cuyos elementos son todos los subconjuntos deΩ. (c) Cualquier familia F de subconjuntos deΩ puede extenderse a una

σ–álgebra (por ejemplo, a P(Ω)). De entre todas estas extensiones hay una distinguida, a la que denotaremosΣF, que se construye to-mando la intersección de todas las σ–álgebras construidas sobre Ω que contienen aF. ΣF recibe el nombre deσ–álgebra generada porF, la cual es de hecho laσ–álgebra sobre Ωmás pequeña que contiene aF.

(d) Un ejemplo relevante deσ–álgebra sobre un conjuntoXlo constituye la llamadaσ–álgebra de Borel, a la que denotaremosBX, generada por

las bolas abiertas deX. Sus elementos reciben el nombre de conjuntos de Borel. En particular,

B_Rd =ΣF con F =

dondeBR(x) = {y∈ Rd : ky−xk <R}. Por supuesto y mientras no

se indique lo contrario, estamos asumiendo que el espacio X = Rd está dotado de la topología usual.

Definición2. SeaΣunaσ–álgebra sobreΩ.

(a) El par(Ω,Σ)recibe el nombre deespacio medible(oespacio muestralen el lenguaje de la Teoría de Probabilidades) y los subconjuntos deΩ pertenecientes aΣson losconjuntos mediblesdeΩ(también llamados

sucesosen el lenguaje de la Teoría de Probabilidades).

(b) Si(Ω,Σ),(X,Υ)son dos espacios medibles y f : Ω →X una aplica-ción deΩenX, decimos que f es unaaplicación medible(con respecto a las σ–álgebras Σ y Υ) si f−1(A) ∈ Σ para todo conjunto A ∈ Υ. Un caso particular que reviste especial interés es aquél en queX es un espacio topológico y Υ = B_X es la σ–álgebra de Borel sobre X. En estas condiciones f se dice medible si f−1(O) es un subconjunto medible deΩ(es decir, f−1(O) ∈ Σ) para todo abiertoO deX. Las

funciones medibles(entendiendo ahora que X = [−∞,+∞] al hablar de funciones, toda vez que permitimos que f pueda tomar los valo-res−∞ y +∞) reciben el nombre devariables aleatorias en Teoría de Probabilidades. Destacamos asimismo como una familia importan-te de funciones medibles la constituida por aquéllas en las queΩes también un espacio topológico y la σ–álgebra asociada al mismo es la de Borel:Σ=B_Ω. Se trata de lasfunciones de Borel.

Observación 1. La topología considerada en [−∞,+∞] es de ahora en adelante la del orden a menos que se especifique lo contrario, entendién-dose ésta como la constituida por los conjuntos (abiertos) que resultan de efectuar intersecciones finitas de uniones numerables de intervalos de la forma(a,+∞] y[−∞,b), cona,b ∈ [−∞,+∞]. Para evitar ambigüedades aritméticas y garantizar la coherencia de las operaciones funcionales bási-cas (cf. Proposición 2) adoptaremos de antemano aquellos convenios que permitan resolver todas las situaciones eventuales de indeterminación, a saber: x±∞=±∞ ∀x ∈R, ∞−∞ =0 , ±∞±∞ =±∞, x·(±∞) = (±∞)·x = ±∞six >0 ∓∞six <0 , 0·(±∞) = (±∞)·0=0 .

Proposición 1 (Caracterización de las funciones medibles). Sean (Ω,Σ) un espacio medible y f : Ω → [−∞,+∞] una función. Las siguientes propiedades son equivalentes:

(a) f es medible. (b) f−1((a,+∞]) ∈Σ ∀a∈ [−∞,+∞]. (c) f−1([a,+∞])∈ Σ ∀a∈ [−∞,+∞]. (d) f−1([−∞,b)) ∈Σ ∀b∈ [−∞,+∞]. (e) f−1([−∞,b]) ∈Σ ∀b∈ [−∞,+∞]. (f) f−1((a,b)), f−1(−∞), f−1(+∞) ∈Σ ∀a,b∈ [−∞,+∞].

Demostración. Probaremos en primer lugar la cadena de equivalencias (a)⇔(b)⇔(c)⇔(d)⇔(e) y finalmente (a)⇔(f).

(a) implica (b) por definición de función medible. Que (b) implica (c) es una consecuencia de la identidad

f−1([a,+∞]) = ∞ \ n=1 f−1a− 1 n,+∞ i . Para comprobar que (c) implica (d) basta con escribir

f−1([−∞,a)) =f−1([a,+∞])c.

La implicación (d) ⇒(e) se obtiene como consecuencia de la propiedad

f−1([−∞,b]) = ∞ \ n=1 f−1h−∞,b+1 n .

Para concluir con el primer ciclo de equivalencias comprobamos que (e) implica la medibilidad de f. Para ello hay que demostrar que f−1(O) ∈ Σ

para todo abiertoOde[−∞,+∞]. Como f−1respeta uniones e interseccio-nes, podemos restringirnos al caso en que Oes de una de las tres formas siguientes: (a,b), [−∞,b)o bien (a,+∞], con a,b ∈ [−∞,+∞] (cf. Obser-vación 1). Por hipótesis f−1([−∞,a])∈ Σ, de donde se deduce inmediata-mente que f−1((a,+∞]) ∈ Σpor paso al complementario. Por otra parte, podemos expresar [−∞,b) = ∞ [ n=1 [−∞,bn], bn <b ∀n ∈N, l´ım n→∞{bn} =b,

de donde se desprende que f−1([−∞,b)) = f−1 ∞ [ n=1 [−∞,bn] = ∞ [ n=1 f−1([−∞,bn])∈ Σ,

ya que f−1([−∞,bn]) ∈ Σ para todo n ∈ N por hipótesis. Para acabar,

basta con tener en cuenta que(a,b) = [−∞,b)∩(a,+∞], de modo que

f−1((a,b)) = f−1 [−∞,b)∩(a,+∞]

= f−1([−∞,b))∩ f−1((a,+∞])∈ Σ. (1) Estudiamos en último lugar la equivalencia (a) ⇔ (f). El enunciado (a) ⇒(f) es evidente por definición de función medible, sin más que con-siderar (1), escribir

{−∞} = [−∞,+∞]\(−∞,+∞],

{+∞} = [−∞,+∞]\[−∞,+∞),

y tener en cuenta que f−1respeta pasos al complementario. Para verificar (f)⇒(a) es suficiente con demostrar que las preimágenes por f de interva-los de la forma(a,+∞]y[−∞,b), cona,b ∈ [−∞,+∞], son elementos de

Σ, basándonos nuevamente en que f−1respeta uniones e intersecciones y en la Observación 1. En efecto:

f−1((a,+∞]) = f−1((a,+∞))∪ f−1(+∞) ∈ Σ,

f−1([−∞,b)) = f−1((−∞,b))∪ f−1(−∞) ∈ Σ.

Ejemplo2. SeanΩun conjunto cualquiera yXun espacio topológico.

(a) Toda función f : (X,B_X) → [−∞,+∞]continua es una función de Borel. En efecto: si f es continua satisface por definición que f−1(O)es un conjunto abierto en X, luego (BX–)medible, para cualquier abierto O en [−∞,+∞].

(b) SeanΣunaσ–álgebra sobreΩy A ∈ Σ. Entonces lafunción

caracte-rísticadel conjuntoA(también llamadafunción indicatriz), definida como χA: Ω →[−∞,+∞], χA(x) =

1 si x∈ A

es medible. Podemos verificar la medibilidad deχA aplicando, por

ejem-plo, la caracterización (b) de la Proposición 1:

χ−_A1((a,+∞]) =    ∅ ∈ Σ sia≥1 Ω∈ Σ sia<0 A∈ Σ si 0≤a <1 . El siguiente resultado expresa la gran estabilidad de que goza el con-cepto de medibilidad funcional frente a operaciones aritméticas, conjun-tistas y de paso al límite, entre otras. La prueba del mismo se deja al lector como ejercicio (cf. Ejercicio 2).

Proposición 2 (Propiedades de las funciones medibles). Sean (Ω,Σ) y (Γ,Υ)dos espacios medibles.

(a) Si f,g : (Ω,Σ) → [−∞,+∞]son funciones medibles, entonces las funciones αf +βg, f g y _gf (si g 6= 0 en Ω) son también medibles para cualesquieraα,β∈ R.

(b) Si f : (Ω,Σ) → (Γ,Υ) y g : (Γ,Υ) → [−∞,+∞] son medibles, entoncesg◦ f : (Ω,Σ) →[−∞,+∞]es también una función medible.

(c) Si f : (Ω,Σ) → [−∞,+∞] es una función medible, entonces las funciones f+ = m´ax{f, 0} y f− = m´ax{−f, 0} también lo son. Como consecuencia,|f| = f++ f−es una función medible.

(d) Si {fn : Ω → [−∞,+∞]} es una sucesión de funciones medibles,

entonces sup_n∈N{fn}, ´ınfn∈N{fn}, l´ım sup_n∈N{fn} y l´ım infn∈N{fn} son

también funciones medibles. Además, el conjunto

L =nx ∈ Ω: ∃ l´ım

n→∞{fn(x)}= f(x)

o

es medible y la función límite f es medible enL(respecto de la σ–álgebra

Σ∩L; véase la Definición 3 (b)).

Enumeramos a renglón seguido algunas nociones importantes relacio-nadas con el concepto de medida así como algunas de sus propiedades más interesantes de cara a futuros usos.

(a) La función de conjuntosµ : Σ →[0,+∞]es unamedida(positiva) si satisface la propiedad deaditividad numerable(oσ–aditividad), es decir: da-da una familia numerable y disjunta{An}∞_n=1de elementos deΣ, entonces

µ _[∞ n=1 An = ∞

∑

n=1 µ(An).

(b) Unespacio de medida(Ω,Σ,µ)es un espacio medible(Ω,Σ)en el que se ha definido una medidaµsobre laσ–álgebraΣ. SiΩ =Rd yΣ = B_Rd,

µ : B_Rd → [0,+∞] recibe el nombre de medida de Borel. Además, dado

A∈ Σse puede definir el subespacio de medida(A,ΣA,µ|A), donde ΣA :=Σ∩A={E∩ A: E ∈Σ}

es laσ–álgebra (compruébese) formada por los subconjuntos medibles de

Ayµ|A : ΣA →[0,+∞]es larestricción deµa A.

Ejemplo3. Algunos ejemplos de espacios de medida son los siguientes: (a) SeaΩun conjunto cualquiera yΣ =P(Ω)el conjunto de las partes deΩ. Para cada subconjuntoAdeΩ(en particular, A∈ Σ) se defineµ(A) como el número de elementos deAsiAtiene cardinal finito yµ(A) = +∞ siAes un conjunto con cardinal infinito. La medidaµasí construida recibe el nombre demedida discretasobreΩ.

(b) Sea Ω un conjunto cualquiera, Σ = P(Ω) y x ∈ Ω. Se define µx : Σ→[0,+∞]como

µx(A) =

1 si x∈ A

0 si x∈/ A ,

para cualquier A ⊆ Ω. Esta medida recibe el nombre demasa unidad con-centrada en x omasa de Dirac. Nótese que la función medible χA : Ω → {0, 1} definida como χA(x) = µx(A) es la función característica del

con-juntoA, como se estudió en el Ejemplo 2 (b).

(c) Sean(Ω,Σ) un espacio medible y P : Σ → [0, 1]una medida. Si la propiedad P(Ω) = 1 es satisfecha, entonces P recibe el nombre de medi-da de probabilimedi-dady el espacio de medida (Ω,Σ,P) se denominaespacio de probabilidad.

Finalmente establecemos algunas propiedades elementales de las me-didas que serán empleadas más adelante.

Proposición3 (Propiedades de las medidas). SeanΣunaσ–álgebra yµ :

Σ → [0,+∞] una medida sobre Σ. Entonces se verifican las siguientes propiedades:

(a) µ(∅) = 0.

(b) [Aditividad finita] Para toda familia finita y disjunta {A_i}n

i=1 de ele-mentos deΣse tiene µ _[n i=1 Ai = n

∑

i=1 µ(Ai).

(c) [Monotonía] Si A,B ∈ Σcon A⊂ B, entoncesµ(A)≤µ(B).

(d) [Subaditividad finita] Para toda familia finita{Ai}n_i=1de elementos de

Σse tiene µ _[n i=1 Ai ≤ n

∑

i=1 µ(Ai).

(e) Si{An}∞_n=1es una familia numerable de elementos deΣtales que

A1 ⊂ A2 ⊂A3⊂. . . yA =S∞

n=1An, entonces{µ(An)} → µ(A)cuandon→∞. (f) Si{An}∞_n=1es una familia numerable de elementos deΣtales que

A1 ⊃A2⊃ A3 ⊃. . . ,

µ(A1) < +∞ y A = T∞n=1An, entonces{µ(An)} → µ(A) cuando

n→ ∞.

(g) [σ–subaditividad] Para toda familia numerable{An}∞_n=1de elementos deΣse tiene µ _[∞ n=1 An ≤ ∞

∑

n=1 µ(An).

Demostración.(a) Sea A ∈ Σconµ(A) <+∞y tomemos

Entonces, dado que tales conjuntos son disjuntos entre sí, de laσ–aditividad deµse deduce +∞ >µ(A) = µ _[∞ n=1 An =µ(A) + ∞

∑

n=2 µ(∅), por lo que ha de serµ(∅) =0.

(b) es también una consecuencia de la σ–aditividad de µ, pues basta con elegir An+1 = An+2 = . . . = ∅ y aplicar el resultado establecido en (a).

(c) se demuestra a partir de (b) sin más que considerar la descomposi-ción B = (B∩ A)∪(B\A) = A∪(B\ A). Claramente A∩(B\A) = ∅, por lo que la propiedad de aditividad demostrada en (b) implica

µ(B) = µ(A) +µ(B\A) ≥µ(A).

La propiedad (d) se obtiene como consecuencia de (b) sin más que es-cribir µ _[n i=1 Ai =µ A1∪ A2\A1∪ · · · ∪An\(An−1∪ · · · ∪A1) =µ(A1) +µ(A2\A1) +· · ·+µ An\(An−1∪ · · · ∪A1) ≤ n

∑

i=1 µ(Ai),

donde la última desigualdad resulta de haber aplicado la propiedad (c). Para demostrar (e) tomamos B1 = A1 y Bn = An \ An−1 para n ≥ 2. EntoncesBn ∈ Σpara todon ∈ N(nótese queBn = An ∩Ac_n−1∀n ≥2) y Bi∩Bj =∅sii 6= j. Además,Sin=1Bi =AnyA=S∞i=1Bi. Por consiguiente

{µ(An)} = n n

∑

i=1 µ(Bi) o −→ ∞

∑

i=1 µ(Bi) = µ(A) cuandon→∞,

donde se ha usado nuevamente la propiedad (b) y laσ–aditividad deµ. Para probar (f) definimosBn = A1\An, de modo que

(i) B1 ⊂B2⊂ B3 ⊂. . . ⊂Bn ⊂. . . ,

(ii) A1 =An∪Bn (b)

⇒µ(Bn) =µ(A1)−µ(An),

Teniendo en cuenta nuevamente que

A1 = (A1\A)∪A⇒µ(A1) =µ(A1\A) +µ(A)

gracias a la propiedad de aditividad finita expresada en (b), podemos apli-car (e) a la familia{Bn}(en virtud de (i)) y obtener

µ(A1)−µ(A) (iii) = µ _[∞ n=1 Bn = l´ım n→∞{µ(Bn)} (ii) = µ(A1)− l´ım n→∞{µ(An)},

de donde se concluye que{µ(An)} → µ(A)cuandon→∞.

Finalmente, para demostrar (g) se emplean las propiedades (d) y (e): µ _[∞ n=1 An = µ _[∞ n=1 n [ k=1 Ak = l´ım n→∞ n µ _[n k=1 Ak o ≤ l´ım n→∞ n n

∑

k=1 µ(Ak) o = ∞

∑

k=1 µ(Ak).

Tres propiedades básicas de la medida de Lebesgue

La construcción de la medida de Lebesgue es una tarea ardua que es-capa a los propósitos de este compendio. Sin embargo su estudio es una inversión de alta rentabilidad, pues constituye una herramienta matemá-tica tan potente que a la postre permite calcular correctamente el volumen euclídeo deuna gran cantidadde conjuntos. Por ejemplo, la medida de Le-besgue de cualquier bola euclídea de radio Res (como se comprobará en la Proposición 5) |B_R(x)|= R d d |S d−1_{|, (2)} donde |Sd−1| = 2π d 2 Γ d 2 (3)

es la superficie de la esfera unidad enRdyΓ(λ)es la función Gamma (cf. Observación 4).

La σ–álgebra a considerar en este ámbito es la de Lebesgue, a la que denotaremosL_Rd, formada por todos los subconjuntos deRdmedibles en

modo que el espacio de medida asociado es(Rd,L_Rd,λ), dondeλ :L_Rd →

[0,+∞]es la llamada medida de Lebesgue. Describamos brevemente cómo funciona esta medida. Actuando sobre conjuntos abiertos, la medida de Lebesgue se define como la suma de los volúmenes de laspiezas elementales

que los componen:

λ(O) =

∞

∑

j=1

vol(Ij), (4)

donde{Ij}∞_j=1es una familia numerable de intervalos deRddisjuntos dos a dos tales queO =S∞

j=1Ij(cf. Lema 1) y donde

vol(I) = (b1−a1)× · · · ×(bd−ad)

es el volumen del intervaloI = [a1,b1]× · · · ×[ad,bd]

(independientemen-te de que se tra(independientemen-te de un in(independientemen-tervalo cerrado, abierto o semiabierto). Para el resto de conjuntos medibles, la medida de Lebesgue es la restricción aL_Rd

de la medida exteriorλ? : P(Rd) →[0,+∞]definida como

λ?(A) =´ınf{λ(O) : A⊂ O, O abierto}. (5) Llegado este punto, conviene recordar que unamedida exteriores una fun-ción de conjuntos µ? : P(Rd) → [0,+∞] monótona y σ–subaditiva (cf. Proposición 3 (c) y (g)) que asigna el valor cero al conjunto vacío (cf. Pro-posición 3 (a)).1 Sobre esta base podemos destacar que la σ–álgebra L_Rd

está formada por todos los subconjuntos deRdque satisfacen la siguiente propiedad.

Definición4 (Conjunto medible en el sentido de Lebesgue). Decimos que

A ⊂ Rd _{es un conjunto medible en el sentido de Lebesgue (es decir, A ∈} L_Rd) si para todoε>0 existen un cerradoFy un abiertoGenRdtales que

F ⊆ A⊆Gyλ(G\F) <ε.2

Recordemos algunas de las propiedades más relevantes de la medida de Lebesgue. En lo que sigue usaremos frecuentemente la notación|A|en lugar deλ(A)para hacer referencia a la medida de Lebesgue del conjunto

A∈ L_Rd. La antedicha medida es

(a) invariante por traslaciones,

1_{Nótese que, a pesar del nombre, una medida exterior no es en general una medida} 2_{Nótese queG\F es un conjunto abierto, luego medible en el sentido de Lebesgue}

es decir: para todo conjuntoA ∈ L_Rd y para todov∈ Rdfijo,

|A|=|A+v| =|{x+v : x∈ A}|.

Una prueba palpable de la relevancia de esta propiedad la encontramos en la fórmula clásica (2) , en la que se pone de manifiesto que la medida de Lebesgue de cualesquiera dos bolas enRdcon igual radio es invariante (es decir, no depende de dónde estén centradas). De hecho, ésta es (salvo constantes) la única medida invariante por traslaciones enRd.

Otras dos propiedades esenciales de la medida de Lebesgue son las siguientes:

(b) regularidad interior:

|A| =sup{|C| : C ⊆A, Ccompacto} ∀A∈ L_Rd (6)

y

(c) regularidad exterior(cf. (5)):

|A|=´ınf{|O| : A⊆ O, Oabierto} ∀A ∈ L_Rd. (7)

Esta última propiedad desempeñará un papel esencial en el siguiente ca-pítulo, a la hora de aproximar funciones que solo satisfacen una propiedad de integrabilidad por medio de funciones regulares.

Ejemplo4. Para no llevarnos a engaños, a lo largo de este ejemplo ilustra-remos, en particular, la existencia deconjuntos no mediblesen el sentido de Lebesgue. Además, construiremos algunos conjuntos medibles que revis-ten especial interés.

(a) Los conjuntos de Borel son medibles en el sentido de Lebesgue (jus-tifíquese). De hecho, se dispone del siguiente

Corolario 1. Todo conjunto A ⊂ Rd _{medible en el sentido de}

Le-besgue se puede descomponer como una unión disjunta de la forma

A= B∪N, dondeB⊆ Aes un conjunto de Borel yNes un subcon-junto de Aque tiene medida nula.

En efecto, en virtud de la Definición 4 basta con elegir B = F y

N =A\F. Claramente B∈ B_Rd y|N| =|A\F| ≤ |G\F| <εsegún dicta la Proposición 3 (c), luego ha de ser |N| = 0. Una lectura ade-cuada del resultado anterior permite argumentar que los conjuntos medibles en el sentido de Lebesgue están completamente determi-nados a partir de la σ–álgebra de Borel o, dicho de otro modo, que

(b) Q ⊂ R es medible en el sentido de Lebesgue, ya que el conjunto unitario {q} es medible para cada q ∈ Q y la unión numerable de conjuntos medibles es medible (recuérdese la propiedad (c) de las σ–álgebras). En efecto:

q =(−∞,q)∪(q,+∞)c ∈ B_R ⊂ L_R.

Además, como|{q}| = 0 (en virtud de la propiedad de regularidad exterior (7)) para todo q ∈ Q, la propiedad de σ–aditividad de las medidas (cf. Proposición 3 (g)) establece que|Q|=0.

(c) Consideremos ahora el conjunto de números irracionales contenidos en un intervalo[a,b]: A = [a,b]\([a,b]∩Q). Argumentando como en el ejemplo anterior se tiene que [a,b]∩Q ∈ L_R, por lo que A

es también medible en [a,b] en el sentido de Lebesgue por paso al complementario (propiedad (b) de lasσ–álgebras). Además se puede escribir[a,b] = A∪([a,b]∩Q), por lo que

b−a =|[a,b]| =|A|+|[a,b]∩Q| ≤ |A|+|Q|=|A|,

en virtud de la aditividad finita y la monotonía de las medidas (cf. Proposición 3 (b) y (c)). Por otro lado se tiene que |A| ≤ |[a,b]| = b−a(cf. Proposición 3 (c)), luego|A| =b−a.

(d) El siguiente ejemplo ilustra la existencia de conjuntos no numera-bles que también tienen medida nula. Consideramos para ello el in-tervalo I = [0, 1] y lo dividimos en tres partes iguales. Si tras es-ta división se prescinde del interior del subintervalo central se ob-tiene I1 =

0,1₃∪₂ 3, 1

. A continuación repetimos el proceso con cada uno de los dos intervalos que componen I1, obteniéndose así

I2 = 0,1₉∪2₉, 1₃∪2₃,7₉∪8₉, 1. Supongamos construido In, que

estaría formado por la unión de 2n intervalos cerrados y disjuntos, cada uno de ellos de longitud (1/3)n. Procediendo del mismo mo-do sucesivamente encontramos que In+1 ⊂ In para todon ∈ N. Se

define entonces C= ∞ \ n=1 In,

que recibe el nombre deconjunto ternario de Cantor.

ClaramenteCes no vacío, pues contiene al menos a los extremos de cada uno de los intervalos cerrados de cuya unión resultan los con-juntosIn; y es cerrado, porque se obtiene como una intersección

de fácil comprobación, pues (cf. Proposición 3 (f)) |C| = l´ım n→∞{|In|}=nl´ım→∞ 2 3 n =0 .

Estudiemos finalmente la no numerabilidad deC. Para ello observa-mos en primer lugar que, según la construcción llevada a cabo, todos sus elementos pueden escribirse de la siguiente forma:

C 3 x= a1 3 + a2 32 + a3 33 +· · ·+ an 3n +. . . ,

dondeaj =0 o bienaj =2 para todoj ∈ N. Es decir, cada elemento x ∈ Cadmite una expresión en base tres del tipo

x =0.a1a2a3. . .an. . .

y, recíprocamente, cada expresión de la forma anterior representa un elemento de C. Razonamos entonces por reducción al absurdo, ad-mitiendo para ello queCfuese numerable. En ese caso debería poder escribirse como

C ={xn}n∈N,

donde cada uno de los elementosxn adoptaría la siguiente forma: x1 = 0.a11a21a13. . .a1n. . . x2 = 0.a21a22a23. . .a2n. . . .. . xn = 0.an1a2nan3. . .ann. . . .. . Consideremos ahora el elemento

y =0.b1b2b3. . .bn. . .

construido de acuerdo al siguiente convenio: si an_n = 0 entonces

bn =2, mientras que siann =2 entoncesbn =0. Dicho de otro modo,

la representación en base tres del elementoytiene por mantisa el re-sultado de cambiar ceros por doses y viceversa, de forma ordenada, en cada una de las posiciones diagonales de las mantisas de los ele-mentosxn. Claramentey 6=xnpara todon∈ Ny sin embargoy∈ C,

lo cual nos conduce a una contradicción. Por tanto, Cno puede ser numerable.

Desde que los conjuntos de Cantor vieron la luz en 1883 y a raíz del impulso experimentado por la geometría fractal de la mano de a Be-noît Mandelbrot, éstos han sido utilizados como modelo en diversas aplicaciones, como por ejemplo en fenómenos de turbulencia, distri-buciones de galaxias en el universo, fluctuaciones de precios en un mercado o control de ruidos en procesos de transmisión digital. (e) Finalmente ilustramos la existencia de conjuntos no medibles en el

sentido de Lebesgue. Diremos para ello que dos elementos x,y ∈ [0, 1] están relacionados entre sí si x−y ∈ Q (compruébese que se trata de una relación de equivalencia). Consideremos entonces un conjunto A que contenga solamente un elemento de cada clase de equivalencia.3 Un conjunto de este tipo recibe el nombre de conjun-to de Vitali. Si A fuese medible en el sentido de Lebesgue, podría-mos considerar también la siguiente familia de conjuntos medibles:

{An = A+qn}, n ∈ N, donde {qn} representa aquí el conjunto

formado por los números racionales del intervalo [−1, 1]. Obsérve-se que (i) cada An sería medible en el sentido de Lebesgue por ser

el trasladado de un conjunto medible y, además, tendría la misma medida que A.

Claramente (ii) los conjuntos An son disjuntos dos a dos. En efecto:

si para n 6= m se considera x ∈ An ∩ Am, entonces habría de ser x = a1+qn = a2+qm con a1,a2 ∈ A, de donde se concluye que

a2−a1 ∈ Q. Finalmente, como por construcción el conjunto Asolo contiene un elemento de cada clase de equivalencia habría de ser

a1 =a2, luegoqn =qm.

Comprobemos que además (iii) [0, 1]⊂S∞

n=1An ⊂[−1, 2].

Para ello, sea en primer lugar x ∈ [0, 1] y consideremos el (único) elementoxA de su clase de equivalencia que (por construcción)

for-ma parte de A, de modo tal quex y xA están relacionados, es decir, x−xA = qj ∈ Q∩[−1, 1]. Entonces se tiene que x = xA+qj ∈ Aj,

lo que demuestra la primera de las relaciones de inclusión. Por otra parte, six ∈ S∞

n=1An entonces ha de pertenecer a alguno de losAn,

luego x = a+qn con a ∈ A(⊂ [0, 1]) yqn ∈ Q∩[−1, 1]. Por

consi-guiente,x∈ [−1, 2].

Para concluir, de la σ–aditividad (cf. (ii)) y la monotonía de las me-didas (cf. Proposición 3 (c)) se deduce que

∞

∑

n=1 |A| (=i) ∞

∑

n=1 |An| = ∞ [ n=1 An ≤ |[−1, 2]|=3 ,

por lo que necesariamente ha de ser|A| = 0. En particular se tiene S∞ n=1An

=0, lo cual contradice (iii).

El lector interesado en un estudio profundo y elegante de la medida de Lebesgue y de la Teoría de la Medida en general puede acudir, por ejemplo, a los textos [Rud1] y [Cohn] .

Integración y conjuntos de medida nula

Indudablemente, la teoría de la integración de Lebesgue es uno de los paradigmas de la matemática del siglo XX y la culminación del largo via-je iniciado por Riemann hasta encontrar la perspectiva adecuada desde la que ha de contemplarse la teoría general de la integración. La idea que subyace a la extensión que la integral de Lebesgue supuso de la integral de Riemann reside, junto a la reparación de algunas limitaciones del teore-ma fundamental del cálculo, en el hecho de que las funciones integrables en el sentido de Riemann adquieren estructura de espacio métrico con la distancia

d(f,g) = Z b

a |f(x)−g(x)|dx,

si bien ésta no es completa. Uno de los ejemplos clásicos que sirven para ilustrar esta situación es el siguiente: considérese la sucesión fn : [0, 1] → Rdefinida por

fn(x) =

1 six ∈ {r₁, . . . ,rn}

0 en otro caso ,

donde rn denota el n–ésimo número racional del intervalo [0, 1]. Es

cla-ro que cada elemento de la sucesión anterior es una función integrable en el sentido de Riemann, pues presenta un número finito de puntos de discontinuidad. Sin embargo, su límite puntual es la función de Dirichlet

f : R→Rdefinida como

f(x) =

1 six ∈ Q

que es discontinua en todos los puntos de [0, 1] y, por consiguiente, no integrable en el sentido de Riemann.

Es precisamente la completación de este espacio el proceso que con-duce hacia las funciones de módulo integrable en el sentido de Lebesgue (L1(Ω) en la notación del capítulo siguiente). El propósito de esta sección es hacer un breve recorrido por algunos de los resultados más útiles re-lacionados con la integración de funciones medibles, fundamentalmente aquéllos que permiten entender cómo y cuándo está permitido intercam-biar límite e integral. Para llevar a cabo un estudio detallado de la teoría de integración de Lebesgue remitimos al lector a [Rud1] y [HS]. Comenza-mos introduciendo algunas nociones y propiedades fundamentales de la antedicha teoría.

Definición 5 (Función simple e integral de Lebesgue). Sea (Ω,Σ,µ) un espacio de medida.

(a) Decimos que una funcións: (Ω,Σ,µ)→ [0,+∞]essimplesi su ima-gen consiste en un número finito de puntos de[0,+∞]. De hecho, si

{α1, . . . ,αn} es el conjunto discreto de valores que toma dicha

fun-ción y si denotamos Ai = {x ∈ Ω : s(x) = αi}, entonces s(x) se

puede expresar de la siguiente forma:

s(x) = n

∑

i=1

αiχAi(x), (9)

dondeχAi es la función característica del conjunto Ai. Claramente,

la función s es medible si y solamente si cada uno de los conjuntos

Aies medible (cf. Ejemplo 2 (b)). (b) Si A1, . . . ,An,E ∈ Σ y s : (Ω,Σ,µ) → [0,+∞] es la función simple descrita en (9), se define Z Es dµ : = n

∑

i=1 αiµ(Ai∩E), (10)

donde dado el caso se establecerá el convenio 0·∞ = 0. Obsérvese que en particular se dispone de la siguiente identidad:

Z

EχAdµ=µ(A) ∀A⊆E, (11)

la cual pone de manifiesto la siguiente máxima que se erige como uno de los pilares de la teoría de la medida:medir un conjunto es inte-grar su función característica. Por otro lado, si f : (Ω,Σ,µ) → [0,+∞]

es una función medible yE∈ Σ, se define Z E f dµ :=sup nZ Es dµ o , (12)

donde el supremo se toma sobre todas las funciones simples y medi-blesstales que 0 ≤s(x) ≤ f(x)∀x ∈ E. El primer miembro de (12) es la conocidaintegral de Lebesgue.

El siguiente resultado de aproximación es crucial para la construcción de la integral de Lebesgue a partir de funciones simples y, en general, muy útil en toda la teoría de integración.

Teorema1 (Aproximación de funciones medibles por funciones simples). Sean (Ω,Σ) un espacio medible y f : (Ω,Σ) → [0,+∞] una función me-dible. Entonces existe una sucesión creciente {sn} de funciones simples,

medibles y no negativas enΩtal que l´ım

n→∞{sn(x)} = f(x) ∀x∈ Ω.

Demostración.Se define la siguientepartición de la imagen de f:

Ai_n = x ∈ Ω: i 2n ≤ f(x) < i+1 2n , i∈ [0,n2n)∩(N∪ {0}), Bn ={x ∈ Ω: f(x) ≥n}.

Es inmediato comprobar que ambas familias de conjuntos son medibles a la luz de la Proposición 1, luego las funciones simples de la forma

sn = n2n₋₁

∑

i=1 i 2n χAin+nχBn, n ∈N,

también lo son. Además, es evidente que 0≤sn ≤ f.

Comprobemos ahora que l´ımn→∞{sn(x)} = f(x) para todo x ∈ Ω.

Para ello consideremos en primer lugar aquellos x ∈ Ω para los que

f(x) 6= ∞, los cuales permiten seleccionar, para valores suficientemente grandes den, un valor adecuado deital quex ∈ Ain. En consecuencia

0≤ f(x)−sn(x) < i +1 2n − i 2n = 1 2n ,

de donde se concluye la convergencia esperada. Por el contrario, six ∈ Ω

es tal que f(x) = ∞, entonces{sn(x)} ={n} → ∞ = f(x)cuandon→ ∞.

Únicamente falta por comprobar la monotonía de {sn}. Observamos

en primer lugar que, dado i < n2n, se verifica Ain = A2ni+1∪ A2i

+1

n+1

(ve-rifíquese). Las tres posibilidades que se pueden presentar son, pues, las siguientes: Six ∈ A2_ni₊₁, entonces sn+1(x) = 2i 2n+1 = i 2n =sn(x). Six ∈ A2_ni₊+₁1, entonces sn+1(x) = 2i +1 2n+1 > 2i 2n+1 = i 2n =sn(x). Six ∈ Bn entonces f(x)≥n, luego x ∈   [ n2n+1_{≤i≤(n+1)2}n+1₋₁ Ai_n+1  ∪B_n+1. Por consiguiente,sn+1(x) ≥n=sn(x). La construcción de la integral de Lebesgue es, por tanto, sutilmente di-ferente a la que culmina con la integral de Riemann. En efecto, el concepto de integral de Riemann se fundamenta en la partición sucesiva del domi-nio de la función, mientras que la idea que sustenta el concepto de integral de Lebesgue se basa en la partición de la imagen de la función (obsérvese el aspecto que adoptan los conjuntosAn_i yBnen la demostración anterior). De este modo es como la integral de Lebesgue extiende a la de Riemann, coincidiendo ambas siempre que esta última existe, con la ventaja de que la integral de Lebesgue hace integrables a muchas más funciones (incluso no acotadas) que la de Riemann, generaliza los intervalos –vistos como re-cintos de integración– a conjuntos medibles cualesquiera y supera algunas de las limitaciones que la integral de Riemann exhibe frente al intercambio con respecto al proceso de paso al límite.

En el siguiente resultado se recogen algunas de las propiedades más importantes de la integral de Lebesgue.

Proposición 4 (Propiedades de la integral de Lebesgue). Sea Ω ⊆ Rd_.

Dadas dos funciones f y g medibles en (Ω,Σ,µ) y dados cualesquiera

E,F∈ Σ, la integral de Lebesgue satisface las siguientes propiedades: (a) [Linealidad]R_E(αf +βg)dµ =αR_E f dµ+βR_Eg dµ ∀α,β∈ R. (b) [Monotonía] Si f ≤g, entoncesR E f dµ ≤ R Eg dµ. En particular, Z E f dµ ≤ Z E |f|dµ.

(c) [Aditividad del dominio] SiE∩F =∅, entonces Z E∪F f dµ = Z E f dµ + Z F f dµ.

Demostración.Haremos la prueba para el caso en que f ygson funciones simples. La extensión al caso general es consecuencia del argumento de aproximación establecido en el Teorema 1. Sean por tanto

f = n

∑

i=1 αiχAi, g= m

∑

j=1 βjχBj, conE=Sn i=1Ai =Smj=1Bj. Entonces Z E (αf +βg)dµ = Z E α n

∑

i=1 αiχAi +β m

∑

j=1 βjχBj dµ = Z E α n

∑

i=1 αi m

∑

j=1 χAi∩Bj+β m

∑

j=1 βj n

∑

i=1 χAi∩Bj dµ = Z E n

∑

i=1 m

∑

j=1 (ααi+ββj)χAi∩Bjdµ = n

∑

i=1 m

∑

j=1 (ααi+ββj)µ(Ai∩Bj) =α n

∑

i=1 m

∑

j=1 αiµ(Ai∩Bj) +β n

∑

i=1 m

∑

j=1 βjµ(Ai∩Bj) =α n

∑

i=1 αiµ(Ai) +β m

∑

j=1 βjµ(Bj) =α Z E f dµ+β Z Eg dµ,

Para demostrar (b) basta con tener en cuenta que g− f = n

∑

i=1 m

∑

j=1 (βj−αi)χAi∩Bj

es una función simple no negativa (por hipótesis), luego su integral de Lebesgue también ha de ser no negativa (cf. (10)), lo que combinado con (a) permite concluir que

0≤ Z E (g− f)dµ = Z Eg dµ − Z E f dµ.

Supongamos finalmente queE∪F =Sn

i=1AiconE∩F=∅. Se tiene Z E∪F f dµ = n

∑

i=1 αiµ (Ai∩E)∪(Ai∩F) = n

∑

i=1 αi µ(Ai∩E) +µ(Ai∩F) = n

∑

i=1 αiµ(Ai∩E) + n

∑

i=1 αiµ(Ai∩F) = Z E f dµ+ Z F f dµ,

lo que demuestra (c). Obsérvese que se ha utilizado la propiedad de aditi-vidad finita de las medidas (cf. Proposición 3 (b)) para escribir

µ (Ai∩E)∪(Ai∩F)

=µ(Ai∩E) +µ(Ai∩F).

Definición6 (Igualdad casi por doquier). Si f y gson dos funciones me-dibles en(Ω,Σ,µ)que difieren en un conjunto que tiene medida nula, esto es,

µ({x ∈Ω : f(x) 6=g(x)}) = 0 ,

decimos que f = g casi por doquier(c.p.d.) enΩcon respecto a la medidaµ. Este concepto depende, por supuesto, de la medida empleada y exclusiva-mente en el caso en que se utilice la medida de Lebesgue nos referiremos a esta propiedad sin hacer mención a la misma: f =gc.p.d. enΩ.

La igualdad c. p. d. constituye una relación de equivalencia (comprué-bese) cuya repercusión en la teoría de integración es fundamental. Nótese que si f = gc.p.d. enΩcon respecto aµ, entonces

Z E f dµ = Z Eg dµ para todoE ∈ Σ.

En efecto: sea N el subconjunto medible de Ω para el que µ(N) = 0 y

f(x) = g(x) en Ω\ N. Entonces cualquier conjunto medible E ∈ Σ se puede escribir como la unión disjuntaE= (E\N)∪(E∩N)y se tiene (cf. Proposición 4 (c)) Z E f dµ = Z E\N f dµ + Z E∩N f dµ = Z E\Ng dµ+ Z E∩Ng dµ = Z Eg dµ, (13)

ya que f = genE\Nyµ(E∩N) = 0, en cuyo caso (12) y (10) se aplican para deducir (13). Por tanto, se puede afirmar que los conjuntos de medida nula sondespreciablescon respecto a la integración.

A la luz de estas disquisiciones es natural establecer la siguiente Definición 7 (Convergencia casi por doquier). Sea {fn : Ω → R} una

sucesión de funciones medibles. Decimos que la sucesión {fn} converge c.p.d.enΩhacia una función f : Ω→Rsi{fn(x)} → f(x)cuandon→∞

salvo quizá en un conjunto de medida nula deΩ.

El siguiente resultado expone en qué sentido y bajo qué (extremada-mente flexibles) condiciones se puede afirmar que la convergencia c.p.d. es casi uniforme.

Teorema2 (Egoroff). Sean(Rd,Σ,µ)un espacio de medida y{fn : Rd → R}una sucesión de funciones medibles. Supongamos también queA ∈ Σ

conµ(A) <∞y que{fn} → gc.p.d. enAcuandon→ ∞. Entonces, para

todoε>0 existe un conjunto medibleB⊂ Atal que (i) µ(A\B) <ε,

(ii) {fn} → guniformemente enBcuandon →∞.

Demostración.Se definen los conjuntos

Xi,j = ∞ [ n=j n x∈ Rd : |fn(x)−g(x)| > 1 2i o , i,j ∈ N.

ClaramenteXi,j+1 ⊂Xi,jpara cualesquierai,j ∈N, luego para cadai ∈N

(fijo) la sucesión {Xi,j}j∈N es decreciente (en sentido conjuntista). Como

ademásµ(A) <∞, se tiene que (cf. Proposición 3 (f) y (a)) l´ım j→∞{µ(A∩Xi,j)} =µ A∩ ∞ \ j=1 Xi,j =µ(∅) =0 .

Por tanto, para cualesquierai ∈ Nyε >0 existeni ∈Ntal que µ(A∩Xi,ni)< ε 2i. Definimos ahoraB = A\S∞ i=1Xi,ni. Gracias a laσ–subaditividad deµ(cf.

Proposición 3 (g)) obtenemos (i), ya que µ(A\B)≤

∞

∑

i=1

µ(A∩Xi,ni) <ε.

Por consiguiente, para cualesquierai ∈N,x ∈ Byn ≥nise tiene |fn(x)−g(x)| ≤ 1

2i ,

de donde se desprende que{fn} → guniformemente enBcuandon→ ∞.

Esto concluye la prueba de (ii).

Los teoremas que exponemos a continuación son piedras angulares de la teoría de integración y, en general, del análisis matemático.

Teorema3 (de la convergencia monótona). Sean (Ω,Σ,µ) un espacio de medida y{fn}una sucesión de funciones medibles en(Ω,Σ,µ)tales que

0≤ fn(x) ≤ fn+1(x) ∀n∈ N, ∀x ∈Ω

y{fn(x)} → f(x)para todo x ∈ Ωcuandon → ∞. Entonces f : Ω → R

es medible y l´ım n→∞ nZ Ω fndµ o = Z Ωnl´ım→∞{fn}dµ= Z Ω f dµ.

Demostración[W. Rudin]. Comprobamos en primer lugar que f es medi-ble. Para ello basta con observar que

f−1((a,b)) = [ n∈N

f_n−1((a,b)) ∀a,b ∈R.

Entonces, como por hipótesis fn es medible para cadan ∈ Nse concluye

fácilmente que f es medible (cf. Proposición 1 (f)).

Por otro lado, como consecuencia de la monotonía de la integral de Lebesgue (Proposición 4 (b)) se tiene

0≤ Z Ω f1dµ ≤ · · · ≤ Z Ω fndµ ≤ Z Ω fn+1dµ≤ · · · ≤ Z Ω f dµ,

por lo que la sucesión R

Ω fndµ se revela monótona y acotada, luego puede garantizarse la existencia de

0 ≤L≤ Z Ω f dµ (14) tal que l´ım n→∞ nZ Ω fndµ o =L. (15)

Demostramos ahora la desigualdad contraria:L≥R

Ω f dµ, con lo que con-cluiría la prueba del teorema. Sea para ello

s(x) = k

∑

i=1

αiχAi(x)

una función simple y medible cualquiera que satisfaga 0 ≤ s(x) ≤ f(x) (cf. Teorema 1). Sea también 0 < λ < 1 una constante y consideremos la familia de conjuntos

En =x∈ Ω : fn(x) ≥λs(x) , n∈ N.

Es evidente que cada En es medible y que E1 ⊂ · · · ⊂ En ⊂ En+1 ⊂ . . . AdemásΩ=S∞

n=1En, ya que

(i) six∈ Ωes tal que f(x) =0, entoncess(x) = 0 yx ∈T∞

n=1En;

(ii) y, por otra parte, si f(x) > 0 entonces se cumple λs(x) < s(x) ≤

f(x), por lo quexha de pertenecer aEn para algúnn ∈N.4

Consecuentemente, la siguiente cadena de desigualdades es satisfecha para todon ∈N: Z Ω fndµ ≥ Z En fndµ ≥λ Z En s dµ =λ k

∑

i=1 αiµ(En∩ Ai). (16)

Como los conjuntosEn son todos medibles yΩ=S∞n=1En, se deduce que

(cf. Proposición 3 (e)) l´ım

n→∞{µ(En∩Ai)} =µ(Ω∩Ai) = µ(Ai),

4_{Es éste el momento en que se aprecia la necesidad de introducir el parámetro 0 <}

luegoR

Ens dµ →

R

Ωs dµcuandon→∞conforme a la Definición 5 (b). De este modo, pasando al límite en la expresión (16) se tiene que

L ≥λ Z

Ωs dµ. (17)

Como la desigualdad (17) se verifica cualquiera que sea 0 < λ < 1, tam-bién se tiene

L ≥

Z

Ωs dµ

para toda función simple y medible stal que 0 ≤ s ≤ f, de modo que al tomar supremos sobresse obtiene

L ≥

Z

Ω f dµ, (18)

nuevamente en virtud de la Definición 5 (b). La prueba concluye al com-binar (15), (14) y (18).

Teorema4 (Lema de Fatou). Sean(Ω,Σ,µ) un espacio de medida y{fn}

una sucesión de funciones medibles en(Ω,Σ,µ)tales que

fn(x) ≥0 ∀x∈ Ω y f(x) = l´ım inf n→∞ {fn(x)}. Entonces _Z Ω f dµ ≤l´ım infn→∞ nZ Ω fndµ o .

Demostración.Definimosgn(x) =´ınfi≥n{fi(x)}. Entonces, conforme a la

definición de límite inferior se verifica l´ım

n→∞{gn(x)} = f(x).

Además, 0≤gn(x)≤ gn+1(x)ygn(x) ≤ fn(x)enΩ. Finalmente,

aplican-do el teorema de la convergencia monótona (Teorema 3) y la propiedad de monotonía de la integral de Lebesgue (Proposición 4 (b)) se deduce

Z Ω f dµ =nl´ım→∞ nZ Ωgndµ o =l´ım inf n→∞ nZ Ωgndµ o ≤l´ım inf n→∞ nZ Ω fndµ o .

Teorema5 (de la convergencia dominada). Sean (Ω,Σ,µ) un espacio de medida y{fn} una sucesión de funciones medibles en(Ω,Σ,µ) tales que

{fn(x)} → f(x) para todo x ∈ Ω cuando n → ∞. Supongamos además

que existe una función integrableg, esto es Z

Ωg dµ<∞, tal que|fn(x)| ≤ g(x)para todon∈ Ny para todox ∈ Ω. Entonces f es integrable enΩy

l´ım n→∞ nZ Ω fndµ o = Z Ωnl´ım→∞{fn}dµ = Z Ω f dµ. En particular, la propiedad l´ım n→∞ nZ Ω|fn− f|dµ o =0 es satisfecha.

Demostración. La condición |fn(x)| ≤ g(x) expresa el hecho de que las

funciones|fn|son todas integrables (cf. Proposición 4 (b)). Como también

sucede que fn+g ≥ 0 y f +g ≥ 0 en Ω, del Lema de Fatou (Teorema 4)

se desprende que Z Ω(f +g)dµ ≤l´ım infn→∞ nZ Ω(fn+g)dµ o , luego Z Ω f dµ ≤l´ım infn→∞ nZ Ω fndµ o . Análogamente, comog− fn ≥0, se tiene

Z Ω(g−f)dµ ≤l´ım infn→∞ nZ Ω(g− fn)dµ o , de modo que − Z Ω f dµ≤l´ım infn→∞ n − Z Ω fndµ o o, equivalentemente, Z Ω f dµ ≥l´ım supn→∞ nZ Ω fndµ o

en virtud de la conocida relación l´ım sup_n→∞{xn} =−l´ım infn→∞{−xn}.

Con esto finaliza la primera parte de la prueba, ya que ha de ser l´ım n→∞ nZ Ω fndµ o =l´ım inf n→∞ nZ Ω fndµ o =l´ım sup n→∞ nZ Ω fndµ o = Z Ω f dµ.

Concluimos aplicando lo ya demostrado a la sucesión{|fn − f|}. Esta

sucesión converge a cero c.p.d. enΩ y es tal que |fn− f| ≤ g+|f| para

todon∈ N. Además,g+|f|es claramente integrable (glo es por hipótesis y para comprobar que|f|lo es basta con repetir los argumentos anteriores para la sucesión {|fn|}), por lo que todas las hipótesis del teorema son

satisfechas.

Una aplicación importante del teorema de la convergencia dominada que resulta de gran utilidad en la práctica es la siguiente.

Corolario2 (Derivación bajo el signo integral). Sea f : Ω×(a,b)→Runa función integrable enΩ⊂Rd_{y derivable en(a,b). Sea tambiénF : Ω→R}

una función integrable que verifica ∂f ∂t(x,t) ≤F(x) ∀(x,t) ∈ Ω×(a,b). Entonces d dt Z Ω f(x,t)dx = Z Ω ∂f ∂t(x,t)dx.

Demostración. Sea {hn} ⊂ R una sucesión tal que {hn} → 0 cuando n → ∞. Por el teorema del valor medio, es bien sabido que para cada

n∈ Nexisteξn ∈ (a,b)tal que

f(x,t+hn)− f(x,t) hn = ∂f ∂t(x,ξn). Por tanto, f(x,t+hn)−f(x,t) hn ≤F(x).

Del teorema de la convergencia dominada (Teorema 5) se desprende final-mente que d dt Z Ω f(x,t)dx = l´ım n→∞ Z Ω f(x,t+hn)− f(x,t) hn dx = Z Ωnl´ım→∞ f(x,t+hn)−f(x,t) hn dx= Z Ω ∂f ∂t(x,t)dx.

Observación2. Tanto en el teorema de la convergencia monótona como en el lema de Fatou y en el teorema de la convergencia dominada las hi-pótesis de monotonía, no negatividad y acotación uniforme, respectiva-mente, que fueron supuestas ciertas en todo punto, pueden debilitarse y considerarse solamente satisfechas c.p.d. sin que las conclusiones de estos resultados experimenten alteración alguna.

Seguidamente exponemos dos de los resultados más provechosos tan-to para el estudio de la integrabilidad de una función como para la eva-luación de integrales múltiples sobre un recinto. Para ello necesitamos de algunos conceptos preliminares que no serán debatidos con profundidad aquí, aunque los detalles pueden encontrarse en cualquier texto básico de teoría de la medida.

Consideremos (X,A,µ) e(Y,B,ν) dos espacios de medida y denote-mos A × B a la σ–álgebra generada por los rectángulos A×B, donde

A ∈ A y B ∈ B. Si E es un subconjunto del producto cartesiano X×Y, se pueden definir las secciones transversales

Ex ={y ∈Y : (x,y) ∈ E}, Ey={x ∈ X : (x,y) ∈ E}.

Si además E ∈ A × B es un subconjunto medible de X×Y, entonces se puede demostrar queEx ∈ B yEy ∈ A. Las siguientes propiedades

(con-súltese, por ejemplo, [Che])

(P1) la funcióny7→ µ(Ey)es medible; (P2) la funciónx 7→ν(Ex)es medible;

(P3) R_Xν(Ex)dµ =R_Yµ(Ey)dν;

permiten definir la llamadamedida productoµ⊗νsobreA × B, que actúa de la siguiente forma: (µ⊗ν)(E) = Z Yµ (Ey)dν = Z Xν (Ex)dµ, o equivalentemente5 (µ⊗ν)(E) = Z Y Z XχE yd_µ dν= Z X Z YχExdν dµ.

De este modo,(X×Y,A × B,µ⊗ν) es un espacio de medida. Así las co-sas, ya podemos demostrar uno de los resultados fundamentales de toda la teoría de integración.

Teorema6 (Fubini). Sean(X,A,µ),(Y,B,ν)dos espacios de medida y sea

f : X×Y → [0,+∞] una función medible definida sobre el producto cartesiano deXeY. Entonces ϕ(x) = Z Y f(x,y)dν, ψ(y) = Z X f(x,y)dµ

son funciones medibles y positivas. Además, se verifica Z Xϕ(x)dµ = Z Yψ(y)dν= Z X×Y f(x,y)d(µ⊗ν). (19)

Demostración.Si f es la función característica de un conjuntoE ∈ A × B, entonces la funcióny7→ f(x,y) =χE(x,y) = χEx(y)es medible para todo

x ∈ Xy, análogamente,x7→ χEy(x)es medible para todoy∈ Y, dado que

Ex ∈ AyEy ∈ B. Por tanto ϕ(x) = Z YχE (x,y)dν= Z YχEx (y)dν =ν(Ex)

es medible en virtud de la propiedad (P2), al igual que ψ(y) (cf. (P1)). La positividad de ambas funciones deriva de la propiedad de monotonía de la integral de Lebesgue establecida en la Proposición 4 (b), toda vez que

f ≥0. Finalmente, se tiene Z X×Y f (x,y)d(µ⊗ν) = (µ⊗ν)(E) = Z Yµ(E y_)d ν= Z Yψ(y)dν = Z Xν (Ex)dµ = Z Xϕ (x)dµ.

Por consiguiente, el teorema es cierto para funciones características de subconjuntos medibles deX×Yy, a su vez, para funciones simples gracias a la linealidad de la integral (Proposición 4 (a)). Si f : X×Y → [0,+∞] es ahora cualquier función medible, se puede garantizar la existencia de una sucesión de funciones simples, medibles y no negativas que converge monótonamente hacia f gracias al Teorema 1. Como el límite puntual de funciones medibles es medible (compruébese), se deduce fácilmente que ϕ(x)yψ(y)son funciones medibles. Finalmente, (19) es una consecuencia inmediata del teorema de la convergencia monótona (Teorema 3).

Observación 3. La extensión del teorema de Fubini al caso en que f :

X×Y → R toma valores reales (no necesariamente positivos) pasa sim-plemente por descomponer la función en sus partes positiva y negativa, en tanto que para funciones con valores complejos se procede tratando se-paradamente sus partes real e imaginaria. Esta última versión del teorema de Fubini adquirirá especial relevancia en el ámbito de la transformada de Fourier, a la que se dedica el Capítulo 3.

Corolario3 (Tonelli–Hobson). Sean(X,A,µ),(Y,B,ν)dos espacios de me-dida y f : X×Y → Runa función medible definida sobre el producto cartesiano deX eY. Entonces f es absolutamente integrable con respecto a la medida producto, es decir

Z X×Y |f(x,y)|d(µ⊗ν)<∞, si y solamente si Z X Z Y|f(x,y)|dν dµ <∞ o bien Z Y Z X |f(x,y)|dµ dν <∞.

Concluimos esta sección con uno de los resultados más frecuentemente empleados en las aplicaciones: el teorema de cambio de variable. Comen-zamos para ello recordando el concepto de difeomorfismo.

Definición8 (Difeomorfismo C1 regular). Sea Ω ⊆ Rd _{un abierto.}

Deci-mos que una aplicación ϕ: Ω→ Rdes un difeomorfismoC1regular si es inyectiva,ϕ∈ C1(Ω)y ϕ−1∈ C1(ϕ(Ω)).

El siguiente lema recoge algunas propiedades topológicas del espacio euclídeo (e incluso en algunos casos válidas en espacios más generales, aunque aquí nos limitaremos a Rd por simplicidad) de uso frecuente en las aplicaciones analíticas.

Lema1. Las siguientes afirmaciones son satisfechas:

(a) [Descomposición de un abierto en intervalos diádicos] Todo abierto enRdpuede expresarse como una unión numerable de intervalos de

Rd_{. Es más, eligiendo intervalos de la formaI = I}k

1× · · · ×Idk con Ik_j = _a j 2k, aj+1 2k , aj ∈ Z, k ∈N∪ {0}, 1≤j ≤d, (20)

puede conseguirse que la unión sea disjunta. Además, cada uno de losI_jk –y por tanto cualquier abierto enRd– puede expresarse como una unión numerable de intervalos cerrados con interiores disjuntos. (b) Para cualquier compacto K ⊂ Rd y cualquier abierto O ⊂ Rd tales que K ⊂ O, existe un abierto U relativamente compacto6 que satis-faceK ⊂ U ⊂ U ⊂ O.

(c) SeanΩ⊆Rd_{un abierto,E⊂Ωun subconjunto medible en el}

senti-do de Lebesgue y ϕ : Ω → Rdun difeomorfismo C1 regular. Enton-cesϕ(E)es medible y |ϕ(E)| ≤ Z E |det(Jϕ(x))|dx, donde Jϕ(x) = ∂ ∂xiϕj(x) , 1 ≤ i,j ≤ d, es la matriz jacobiana de ϕ enxy|ϕ(E)|denota la medida de Lebesgue del conjuntoϕ(E).

Demostración. Comprobamos en primer lugar que todo abierto en Rd puede expresarse como una unión numerable de intervalos de Rd de la forma I₁k × · · · ×I_dk, con I_jk como en (22). Es evidente que, para cada k ∈ N∪ {0}, los intervalos de la forma

Ik = d

∏

j=1 I_jk = d

∏

j=1 _a j 2k, aj+1 2k , aj ∈Z, k∈ N∪ {0},

constituyen un recubrimiento deRd. Sea entoncesΩ⊆Rd_{un abierto}

cual-quiera. Consideramos en primer lugar la familiaΛ0formada por todos los intervalos de la forma anterior con k = 0, es decir I0 = ∏d_j=1(aj,aj+1],

contenidos enΩ. Seguidamente consideramos la familia Λ1 formada por todos los intervalos de la forma I1=∏d_j=1a₂j, aj+₂1icontenidos enΩy no contenidos en ninguno de los anteriores. Continuando con este proceso se obtiene un conjunto numerable{Λ_i}_i∈N∪{0}de familias de intervalos dis-juntos dos a dos cuya unión está contenida enΩ. Para concluir la prueba de (a) basta con observar que se satisface también la inclusión contraria, a saber,Ω ⊆ ∪∞_i=0Λ_i. Sean para elloε>0, x ∈ Ω,Bε(x) ⊂ Ωyk ∈ N∪ {0}

suficientemente grande para que los intervalos Iktengan diámetro menor queε. Entoncesxha de pertenecer a alguno de losIkque, obviamente, ha

de estar contenido en Ω. Como consecuencia,x o bien forma parte de al-guno de los intervalos que conformanΛko bien de alguno de los deΛrcon r < k, con lo que la primera parte del enunciado (a) queda demostrada. Para concluir la prueba de lo expuesto en (a) observamos que

_a j 2k, aj+1 2k = ∞ [ n=1 _a j 2k + 1 2k+n, aj 2k + 1 2k+n−1 , (21)

intervalos estos últimos con interiores disjuntos.

La prueba de (b) la llevaremos a cabo en dos etapas.

Primera etapa: Si x ∈ O ⊂ Rd, entonces existe un abiertoU ⊂ Rd relativa-mente compacto tal que x∈ U ⊂ U ⊂ O.

Como Rd es localmente compacto, cualquier x ∈ Rd _{debe admitir un}

entornoV relativamente compacto. En esta situación, se tiene queO ∩ Ves un abierto enRdrelativo aV que contiene ax. EntoncesV \(O ∩ V)es, por paso al complementario, un cerrado relativo aV que no contiene ax, luego la regularidad deRd (como espacio topológico)7 implica la existencia de abiertosO₁yO2relativos aV para los que

(i)x ∈ O1, (ii)V \(O ∩ V) ⊂ O2, (iii)O1∩ O2 =∅. En particular, se tiene que

A ∩ V =O₁⊂ O₁ (⊂ V \ Oiii) 2

(ii)

⊂ O ∩ V,

para algún abiertoAenRd. Definimos finalmenteU := A ∩ V, que satis-face claramente la propiedad del enunciado.

Segunda etapa: Prueba de la propiedad enunciada en(b).

Sean K ⊂ Rd _{un compacto y O ⊂ R}d _{un abierto tales que x ∈ K ⊂} O. Según lo demostrado en la etapa anterior, ha de existir un abierto re-lativamente compacto (al que denotaremos Ux) que cumpla x ∈ Ux ⊂ Ux ⊂ O. En particular, la familia {Ux}x∈K constituye un recubrimiento

por abiertos de K, del que se ha de poder extraer un subrecubrimiento finito {Ux1, . . . ,Uxn} en virtud de la compacidad de K. Definimos

enton-ces U := Ux1 ∪ · · · ∪ Uxn, que se trata de un abierto en Rd relativamente

compacto que cumple trivialmente lo deseado.

7_{Un espacio topológicoXse diceregularsi pueden separarse puntos y cerrados por}

medio de abiertos disjuntos, esto es: Dadosx∈XyC ⊂Xun cerrado cualquiera que no contenga ax, existenUyVabiertos disjuntos tales quex∈ UyC ⊂ V

La prueba de (c) la efectuaremos también en varias etapas.

Primera etapa: Si ϕ : Rd → Rd es un isomorfismo lineal y Ω ⊆ Rd es un

abierto, entonces8

|ϕ(Ω)|=|det(ϕ)||Ω|.

En efecto: observamos en primer lugar que podemos reducirnos al caso en queΩes un intervalo deRdde la forma

(a1,b1]× · · · ×(ad,bd], (22)

yϕresponde a uno de los tres modelos siguientes: (i) ϕ(x1, . . . ,xd) = (λx1,x2, . . . ,xd), λ∈ R\ {0},

(ii) ϕ(x1, . . . ,xi, . . . ,xj, . . . ,xd) = (x1, . . . ,xj, . . . ,xi, . . . ,xd),

(iii) ϕ(x1, . . . ,xd) = (x1+x2,x2, . . . ,xd),

pues

(I) siΩ ⊆Rd_{fuese un abierto arbitrario podría descomponerse (cf. ítem}

(a) del lema) como unión numerable de intervalos disjuntos de la forma (22), por lo que sería suficiente con usar laσ–aditividad de la medida de Lebesgue para concluir el razonamiento;

(II) siϕfuese un isomorfismo lineal arbitrario podría escribirse

ϕ= ϕn◦ϕn−1◦ · · · ◦ϕ1,

donde cada una de las aplicaciones ϕj, 1 ≤ j ≤ n, son como en (i),

(ii) o bien (iii). En ese caso se tendría

|ϕ(Ω)| =|det(ϕn)| · · · |det(ϕ1)||Ω|=|det(ϕ)||Ω|, y con ello el resultado esperado.

Basta entonces con verificar el resultado para los conjuntos de la forma (22) y las aplicaciones lineales establecidas en (i), (ii) y (iii).

Para el caso (i) se tiene

ϕ(Ω) = (λa1,λb1]×(a2,b2]× · · · ×(ad,bd],

8_{Obsérvese que a lo largo de la prueba identificaremos tácitamente cada isomorfismo}

linealϕcon su matriz asociada según convenga, de ahí que tengan sentido las expresio-nes del tipo det(ϕ)

de donde se concluye queϕ(Ω)es medible y

|ϕ(Ω)| =λ|Ω| siλ>0 , |ϕ(Ω)|=−λ|Ω| siλ <0 , luego

|ϕ(Ω)|=|λ||Ω|=|det(ϕ)||Ω| ∀λ6=0 .

Por tanto, el resultado es trivialmente satisfecho para la clase de isomor-fismos lineales especificada en (i). Para el caso de (ii) se tiene claramente

|ϕ(Ω)| = |Ω|, que a su vez coincide con |det(ϕ)||Ω| pues |det(ϕ)| = 1, luego el resultado es nuevamente satisfecho. Finalmente, para el caso (iii) se tiene

ϕ(Ω) = (x1, . . . ,xd)∈ Rdtales que

a1+x2 <x1 ≤b1+x2,a2 <x2 ≤b2, . . . ,ad <xd≤bd ,

por lo que, en virtud del teorema de Fubini (Teorema 6),

|ϕ(Ω)| = Z Rd χϕ(Ω)dx= Z ϕ(Ω) dxddxd−1 . . .dx1 = Z b_d ad Z b_d−1 ad−1 · · · Z b₃ a3 Z b₂ a2 Z b₁+x₂ a1+x2 dx1 dx2. . .dxd = Z b_d ad Z b_d−1 ad−1 · · · Z b₂ a2 Z b₁ a1 dx1. . .dxd =|Ω| =|det(ϕ)||Ω|

toda vez que|det(ϕ)|=1.

Segunda etapa: Si ϕ : Rd → Rd es un isomorfismo lineal y E ⊂ Rd un

conjunto medible, entoncesϕ(E)es un conjunto medible y

|ϕ(E)| =|det(ϕ)||E|.

En efecto: fijado ε>0, existen un abiertoGy un cerradoFque satisfa-cen

F ⊆E ⊆G, |G\F| < ε

|det(ϕ)|

gracias a la medibilidad deE(cf. Definición 4). Claramente ϕ(G)es abier-to, ϕ(F)es cerrado y ϕ(F) ⊆ ϕ(E) ⊆ ϕ(G). Además, usando lo demostra-do en la primera etapa de la prueba se tiene

luego ϕ(E)es medible en el sentido de Lebesgue. Por otro lado, en virtud de la regularidad exterior de la medida de Lebesgue (cf. (7)),

|ϕ(E)| = ´ınf{|O| : ϕ(E) ⊂ O,Oabierto}

= ´ınf{|ϕ(G)|: E ⊂G,Gabierto}

= ´ınf{|det(ϕ)||G| : E⊂ G,Gabierto}

= |det(ϕ)|´ınf{|G| : E⊂ G,Gabierto} =|det(ϕ)||E|, con lo que concluye la prueba de esta etapa.

Tercera etapa: Si Ω ⊆ Rd _{es un abierto, I un intervalo compacto deR}d con-tenido enΩy ϕun difeomorfismo C1regular, entonces se verifica

|ϕ(I)| ≤ Z

I|det(Jϕ(x))|dx.

La prueba de esta parte de la demostración es algo más laboriosa. Co-menzamos destacando que el conjuntoϕ(I)es claramente medible por ser compacto y que la función x ∈ I 7→ |det(Jϕ(x))| es integrable por ser

continua (e I compacto). Denotemos a = (a1, . . .ad) el centro de I y r su

semiarista, es decir,9

I =x ∈Rd : kx−ak ≤ r .

Aplicando el teorema del valor medio para cualquierx ∈ Ise obtiene

kϕ(x)−ϕ(a)k ≤ sup λ∈(0,1) kJϕ(a+λ(x−a))k kx−ak ≤ sup z∈I kJϕ(z)k kx−ak ≤ sup z∈I kJϕ(z)k r.

Dicho de otro modo, ϕ(I)está contenido en el intervalo cerrado centrado enϕ(a)con semiarista igual a sup_z∈IkJϕ(z)k r. Por tanto,

|ϕ(I)| ≤ sup z∈I kJϕ(z)k !d |I|. (23)

Fijadox ∈ I, se defineψ:= Jϕ(x)−1◦ϕ. Aplicando aψla desigualdad (23)

se obtiene |ψ(I)| ≤ sup z∈I kJϕ(x) −1_◦J ϕ(z)k !d |I|. (24)

9_{A lo largo de la prueba de este resultado usaremos siempre, por comodidad, la norma}

Es evidente que este supremo se alcanza, puesz 7→ kJϕ(x)−1◦ Jϕ(z)k es

una función continua en I. Por otra parte, según lo demostrado en la se-gunda etapa de la prueba se sabe que

|ψ(I)| =|det(Jϕ(x)

−1_)||

ϕ(I)| = |ϕ(I)|

|det(Jϕ(x))|

. (25)

Combinando ahora (24) y (25) se llega a que

|ϕ(I)| ≤ |det(Jϕ(x))| sup z∈I kJϕ(x) −1_◦J ϕ(z)k !d |I|. (26) Por consiguiente, podemos concluir que para cada x ∈ I existez0 ∈ I tal que |ϕ(I)| ≤ |det(Jϕ(x))|kJϕ(x) −1_◦J ϕ(z0)k d_|I| . (27)

No es menos cierto que la función (x,z) ∈ I×I 7→ kJϕ(x)−1◦ Jϕ(z)k es

continua en el compacto I×I, luego uniformemente continua. Por tanto, fijado ε > 0 podemos considerar, en virtud de la compacidad de I y del Lema 1 (a), la descomposición finita

I = n

[

k=1

Ik, Ikintervalos cerrados y disjuntos dos a dos ,

de modo que six,z∈ Ikpara algún 1≤k ≤n, entonces se verifica |kJ_ϕ(x)−1◦ Jϕ(z)k − kJϕ(x) −1_◦J ϕ(x)k|<ε y, consecuentemente, kJϕ(x) −1_◦J ϕ(z)k<1+ε en Ik.

Para cada intervaloIk, sea ahoraxk ∈ Ik tal que |det(Jϕ(xk))| = ´ınf

z∈Ik

|det(Jϕ(z))| .

Entonces existe zk ∈ Ik tal que la fórmula (27) puede aplicarse en Ik para

determinar que |ϕ(Ik)| ≤ |det(Jϕ(xk))|kJϕ(xk) −1_{◦ J} ϕ(zk)k d_|I k| < |det(Jϕ(xk))|(1+ε) d_|I k| ≤ (1+ε)d Z Ik |det(Jϕ(z))|dz,

luego |ϕ(I)| = n

∑

k=1 |ϕ(Ik)| < (1+ε)d n

∑

k=1 Z Ik |det(Jϕ(z))|dz = (1+ε)d Z I|det(Jϕ(z))|dz

en virtud de las Proposiciones 3 (b) y 4 (c). Haciendo finalmente ε → 0 concluye esta etapa de la demostración.

Cuarta etapa: SiOes un abierto enRdcontenido enΩy ϕun difeomorfismo

C1regular, entonces ϕ(O)es medible y

|ϕ(O)| ≤ Z

O|det(Jϕ(x))|dx.

En efecto: ϕ(O)es claramente abierto y, por consiguiente, un conjunto medible. Basta entonces con considerar (cf. (a) del Lema 1)

O = ∞ [

n=1

In, In intervalos cerrados y disjuntos dos a dos ,

en cuyo caso se tiene (nuevamente en virtud de las Proposiciones 3 (b) y 4 (c)) |ϕ(O)|= ∞

∑

n=1 |ϕ(In)| ≤ ∞

∑

n=1 Z In |det(Jϕ(x))|dx= Z O|det(Jϕ(x))|dx,

para lo que se ha usado el resultado demostrado en la tercera etapa de la prueba.10

Quinta etapa: Si E es un subconjunto medible deΩyϕun difeomorfismo C1

regular, entonces ϕ(E)es medible y

|ϕ(E)| ≤ Z

E|det(Jϕ(x))|dx.

Para probar este resultado podemos reducirnos al caso en que la fun-ción x 7→ |det(Jϕ(x))| es acotada en Ω. En efecto, de no ser así bastaría

con considerar Ω = ∞ [ n=1 Ωn, con Ωn ={x ∈ Ω: |det(Jϕ(x))| <n},

10_{Nótese que losI}

y argumentar sobre cadaΩn. Supongamos entonces que |det(Jϕ(x))| ≤ M ∀x∈ Ω

y seaε>0. ComoEes medible, ha de cumplirse la consabida propiedad

F ⊆E⊆G ⊆Ω, |G\F|< ε

M,

para algún abierto G y algún cerrado F en Ω. Entonces ϕ(G) es abierto, ϕ(F) es cerrado y ϕ(F) ⊆ ϕ(E) ⊆ ϕ(G). Además, gracias al resultado demostrado en la cuarta etapa de la prueba se tiene

|ϕ(G)\ϕ(F)|=|ϕ(G\F)| ≤ Z

G\F

|det(Jϕ(x))|dx ≤M|G\F| <ε,

de donde se sigue que ϕ(E)es medible. Finalmente

|ϕ(E)| ≤ |ϕ(G)| ≤ Z G|det(Jϕ(x))|dx = Z F |det(Jϕ(x))|dx+ Z G\F |det(Jϕ(x))|dx ≤ Z E |det(Jϕ(x))|dx+M|G\F| < Z E |det(Jϕ(x))|dx+ε

como consecuencia de las Proposiciones 3 (c), 4 (b) y (c) y la etapa anterior de la demostración. Al hacer ahoraε→0 se obtiene

|ϕ(E)| ≤ Z

E|det(Jϕ(x))|dx,

con lo que concluye la prueba de esta etapa y, con ella, la del lema.

Teorema 7 (Teorema del cambio de variable). Sean Ω ⊆ Rd _{un abierto,}

ϕ : Ω → Rd un difeomorfismo C1 regular y f : ϕ(Ω) → Runa función integrable en el sentido de Lebesgue. Entonces

Z

ϕ(Ω)

f(x)dx = Z

Ω(f ◦ϕ)(x)|det(Jϕ(x))|dx.

Demostración.Observamos en primer lugar que si se prueba la

desigual-dad _Z

ϕ(Ω)

f(x)dx≤

Z

para cualquier difeomorfismo C1 regular ϕ : Ω → Rd, entonces la de-sigualdad contraria se demuestra de forma inmediata sin más que aplicar (28) a ϕ−1. En efecto: si definimos g(x) := (f ◦ϕ)(x)|det(Jϕ(x))|se

obtie-ne Z Ω(f ◦ϕ)(x)|det(Jϕ(x))|dx = Z ϕ−1(ϕ(Ω)) g(x)dx ≤ Z ϕ(Ω) (g◦ϕ−1)(x)|det(J_ϕ−1(x))|dx = Z ϕ(Ω) f(x)dx.

Por consiguiente, es suficiente con demostrar que la desigualdad (28) es satisfecha. Supongamos inicialmente que f ≥ 0 en ϕ(Ω) y demostremos en primera instancia la desigualdad (28) para funciones simples de la for-ma s(x) = n

∑

i=1 αiχAi(x), 0≤s(x) ≤ f(x),

donde los conjuntosAi⊂ ϕ(Ω)son medibles para todo 1 ≤i≤n, disjun-tos dos a dos y tales que su unión coincide conϕ(Ω). En ese caso

Z ϕ(Ω) s(x)dx = n

∑

i=1 αi|Ai| ≤ n

∑

i=1 αi Z ϕ−1(Ai) |det(Jϕ(x))|dx ≤ n

∑

i=1 Z ϕ−1(Ai) (f ◦ϕ)(x)|det(Jϕ(x))|dx = Z Ω(f ◦ϕ)(x)|det(Jϕ(x))|dx

gracias al Lema 1 (c) y a la Proposición 4 (b) y (c). Tomando ahora supre-mos sobre el conjunto {ssimple : 0 ≤ s ≤ f} se obtiene (recuérdese la Definición 5 (b) de la integral de Lebesgue)

Z

ϕ(Ω)

f(x)dx≤

Z

Ω(f ◦ϕ)(x)|det(Jϕ(x))|dx.

Finalmente, si no fuese f ≥ 0 bastaría con considerar la descompo-sición f = f+− f−, donde f+ y f− denotan respectivamente las partes positiva y negativa de f (cf. Proposición 2 (c)).