El teorema del cambio de variable, sin demostraci´on (un tema de an´alisis real)

El teorema del cambio de variable, sin demostraci´ on (un tema de an´ alisis real)

Egor Maximenko

http://www.egormaximenko.com

Instituto Polit´ecnico Nacional Escuela Superior de F´ısica y Matem´aticas

M´exico

2021-11-07

La matriz jacobiana

Sean X , Y subconjuntos abiertos de Rⁿ y sea g ∈ C¹(X , Y ).

Esta notaci´on significa que g : X → Y es continuamente diferenciable.

Para cada x en X , denotamos por g⁰(x ) la matriz jacobiana de la funci´on g en el punto x :

g⁰(x ) :=

h

(D_kg_j)(x ) in

j ,k=1=









(D1g1)(x ) . . . (Dng1)(x ) ... . .. ... (D1gn)(x ) . . . (Dngn)(x )







 .

Difeomorfismos

Sean X , Y subconjuntos abiertos de Rⁿ y sea g : X → Y . Se dice que g es un difeomorfismo de clase C¹,

si g es biyectiva, g ∈ C¹(X , Y ) y g⁻¹ ∈ C¹(X , Y ).

Si g es un difeomorfismo, entonces g⁻¹◦ g = id_X y por la regla de la cadena

(g⁻¹)⁰(g (x )) g⁰(x ) = I_n,

as´ı que para cada x en X la matriz g⁰(x ) es invertible:

det(g⁰(x )) 6= 0.

Al rev´es, si g ∈ C¹(X , Y ), g es biyectiva y det g⁰ no se anula, entonces g es un difeomorfismo.

Denotamos por F la sigma-´algebra de Lebesgue en Rⁿ y por µ la medida de Lebesgue en Rⁿ.

Teorema (del cambio de variable en las integrales de funciones positivas)

Sean X , Y subconjuntos abiertos de Rⁿ y sea g : X → Y un difeomorfismo de clase C¹, es decir, una funci´on biyectiva tal que g ∈ C¹(X , Y ) y g⁻¹ ∈ C¹(Y , X ).

Adem´as, sea f ∈ M(Y , µ, [0, +∞]).

Entonces

Z

Y

f dµ = Z

X

(f ◦ g ) | det g⁰| dµ.

X g Y f [0, +∞]

(f ◦ g ) | det g⁰|

Z

Y

f = Z

X

(f ◦ g ) | det g⁰|.

Teorema (del cambio de variable en las integrales de funciones complejas)

Sean X , Y subconjuntos abiertos de Rⁿ y sea g : X → Y un difeomorfismo de clase C¹. Adem´as, sea f ∈ L¹(Y , µ, C).

Entonces (f ◦ g ) | det g⁰| ∈ L¹(X , µ, C) y Z

Y

f = Z

X

(f ◦ g ) | det g⁰|.

X Y C

g f

(f ◦ g ) | det g⁰|

Z

Y

f = Z

X

(f ◦ g ) | det g⁰|.

Ejemplo: coordenadas polares

0 α

0 R

R X

α g Y

g (ϕ, r ) =

"

r cos(ϕ) r sen(ϕ)

#

, g⁰(ϕ, r ) =

"

−r sen(ϕ) cos(ϕ) r cos(ϕ) sen(ϕ)

#

, | det g⁰(ϕ, r )| = r .

Z

Y

f (x , y ) dx dy = Z α

0

Z R 0

f (r cos(ϕ), r sen(ϕ)) r dr dϕ.

Problema

Demostrar el teorema del cambio de variable para la integral de Lebesgue, utilizando su versi´on para la integral de Riemann

y la aproximaci´on de funciones medibles por funciones continuas de soporte compacto.

Bibliograf´ıa

J. Schwartz,

The formula for change in variables in a multiple integral.

The American Mathematical Monthly, Vol. 61 (1954), pp. 81–85, http://www.jstor.org/stable/2307790.

M. Spivak,

Calculus on Manifolds. A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus.

Addison-Wesley, 1965.