Relación Entre Variables
M. González
Departamento de Matemáticas. Universidad de Extremadura
1. A fin de estudiar la evolución del ángulo de Clarke (en grados) con la edad del niño (sano) se obtuvieron ambos datos en un grupo de 16 niños (entre 3 y 10 años) elegidos al azar:
Edad (X) 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7
Ángulo (Y) 24 22 28 25 32 31 33 30 34 34
Edad (X) 8 8 9 9 10 10
Ángulo (Y) 36 39 39 41 46 44
Suponiendo que se dan las hipótesis de normalidad e igualdad de varianzas adecuadas, contesta las siguientes preguntas:
(a)¿Existe relación entre la edad y el ángulo de Clarke?. Si existe, ¿cómo podemos medir el grado de la relación?
REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN.RESUMEN XIX MODELO:Y = α + βX + ε, ε sigue distribución N(0,σ2)
H0: β = 0 vs. H1: β 6= 0
M. González Bioestadística: Inferencia Estadística. Relación Entre Variables
1.
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3 4 5 6 7 8 9 10
2530354045
X=Edad
Y=Angulo de Clark
1.
n = 16
P
ixi= 104,P
ix2i = 760,P
iyi= 538,P
iy2i = 18826,P
ixiyi= 3739
Sxx=P
i(xi− ¯x)2=P
ix2i − (P
ixi)2/n = 760 − 1042/16 = 84 Syy= 18826 − 5382/16 = 735.75
Sxy=P
ixiyi− (P
ixi)(P
iyi)/n = 3739 − 104 × 538/16 = 242
¯x = 6.5, ¯y = 33.625 b = Sxy
Sxx
= 242
84 = 2.88, a = 33.625 − 2.88 × 6.5 = 14.9 y = 14.9 + 2.88x
s2= 1
n − 2(Syy− bSxy) = 1
14(735.75 − 2.88 × 242) = 2.754
M. González Bioestadística: Inferencia Estadística. Relación Entre Variables
1.(a)¿Existe relación entre la edad y el ángulo de Clarke?. Si existe, ¿cómo podemos medir el grado de la relación?
REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN.RESUMEN XIX MODELO:Y = α + βX + ε, ε sigue distribución N(0,σ2)
H0: β = 0 vs. H1: β 6= 0
texp= |b|
s/√ Sxx
= 2.88
p2.754/84 = 15.91
Se rechaza H0al nivel de significación α si texp> tα(n − 2)
α = 0.001 t0.001(14) = 4.14 texp > t0.001(14) H1
p < 0.001
r = Sxy pSxxSyy
= 242
√84 × 735.75 = 0.973, y = 14.9 + 2.88x
1.(a)
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3 4 5 6 7 8 9 10
2530354045
X=Edad
Y=Angulo de Clark
M. González Bioestadística: Inferencia Estadística. Relación Entre Variables
1.(b)¿Qué porcentaje de la variabilidad del ángulo queda explicada por la relación que mantiene con la variable edad?
r2= 0.948
(c)¿Cuánto varía el ángulo por cada año que pasa de edad?
b = 2.88
Intervalo de confianza para β al nivel 1 − α:β ∈ b ± tα(n − 2) s pSxx 1 − α = 0.95
β ∈ 2.88 ± t0.05(14)r 2.754
84 = 2.88 ± 0.39 =[2.49, 3.27] CON UNA CONFIANZA DEL 95%
1.(d)¿Qué valor del ángulo tendría un niño con 12 años? ¿Y uno de 5 años?
PARA12NO SE PUEDE CALCULAR.
x0= 5
ˆy0= 14.9 + 2.88 × 5 =29.3
Intervalo de confianza para una predicción al nivel 1 − α:
y0∈ a + bx0± tα(n − 2)s r
1 + 1n + (x0− ¯x)2 Sxx
1 − α = 0.95 y0∈ 29.3 ± t0.05(14)
s 2.754 ×
1 + 1
16+(5 − 6.5)2 84
= 29.3 ± 3.7 = [25.6, 33.0] CON UNA CONFIANZA DEL 95%
M. González Bioestadística: Inferencia Estadística. Relación Entre Variables
1.(d)
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3 4 5 6 7 8 9 10
2530354045
X=Edad
Y=Angulo de Clark
1.(e)¿Qué podemos decir si no tenemos la hipótesis de normalidad?
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE SPEARMAN.
H0: X, Y independientes vs. H1: X, Y relación monótona
(1.5) (1.5) (3.5) (3.5) (5.5) (5.5) (7.5) (7.5) (9.5) (9.5)
X 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7
Y 24 22 28 25 32 31 33 30 34 34
(2) (1) (4) (3) (7) (6) (8) (5) (9.5) (9.5)
(11.5) (11.5) (13.5) (13.5) (15.5) (15.5)
X 8 8 9 9 10 10
Y 36 39 39 41 46 44
(11) (12.5) (12.5) (14) (16) (15)
Ri 1.5 1.5 3.5 3.5 5.5 5.5 7.5 7.5 9.5 9.5 11.5 11.5 13.5 13.5 15.5 15.5
R0i 2 1 4 3 7 6 8 5 9.5 9.5 11 12.5 12.5 14 16 15
Ri- R0i -0.5 0.5 -0.5 0.5 -1.5 -0.5 -0.5 2.5 0 0 0.5 -1 1 -0.5 -0.5 0.5
rs = 1 − 6 n(n2− 1)
n
X
i=1
(Ri− R0i)2
= 1 − 6
16(162− 1)((−0.5)2+ . . . + 0.52) =0.9809
M. González Bioestadística: Inferencia Estadística. Relación Entre Variables
1.(e)
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE SPEARMAN:rs= 0.9809 H0: X, Y independientes vs. H1: X, Y relación monótona
Se rechaza H0al nivel de significación α si |rs| > rα(n) rα(n) en la tabla deSpearman (XIII)
α = 0.001 r0.001(16) = 0.762 rs> r0.001(16) H1
p < 0.001
