INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR

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INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR Guía de Aprendizaje Grado 9º

1 MATEMÁTICAS

INSTITUCIÓN EDUCATIVA

CIUDADELA DEL SUR

MODELO PEDAGÓGICO

“ESCUELA ACTIVA URBANA”

EDUCACIÓN BÁSICA SECUNDARIA

GRADO 9º

AREA MATEMÁTICAS

ELABORADO POR:

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2 MATEMÁTICAS

GRAFIQUEMOS FUNCIONES LINEALES

LOGRO

COMPETENCIAS

 INTERPRETATIVA: Identifica las relaciones que son funciones, también las características de la función lineal.

 ARGUMENTATIVA: Sustenta y explica resultados por medio de la verificación de datos.

 PROPOSITIVA: Propone métodos de solución diferentes al propuesto por el docente.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Momento A: Apropiación de conceptos

Momento B: Análisis y propuesta de solución de problemas Momento C: Práctica en el contexto

Momento D: capacidad de hacer nuevas propuestas e inventiva.  Cumplimiento y responsabilidad con trabajos y tareas

 Participación activa  Puntualidad

 Asistencia

 Cumplimiento del convenio de convivencia pacífica del colegio.

Identifica la función lineal y la forma general de la recta, desarrolla ejercicios de aplicación con dos ecuaciones lineales y argumenta los resultados por medio de la verificación de los datos, de tal forma que sean coherentes con la situación dada. Demuestra interés por proponer otros métodos de solución.

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3 MATEMÁTICAS

CONTENIDOS

UNIDAD DIDÁCTICA: Grafiquemos funciones lineales

Guía Tema Subtemas Logros Estándares Tiempo

Nº 1 Concepto de función  Dominio, codominio, rango y grafo de una función  Formas para representar una función.  Reconoce el concepto de función y lo relaciona con situaciones de la vida real.  Usar procesos inductivos y lenguaje algebraico para verificar conjeturas. 2 semanas Nº 2 Función lineal  Representación gráfica.  Función afín.  Identifica las características de la función lineal y de la función afín.  Interpretar la relación entre el parámetro de funciones con la familia de funciones que genera. 2 semanas Nº 3 La recta  Pendiente de la recta.  Ecuación explícita de la recta.  Ecuación general de la recta.  Halla la ecuación explícita y la ecuación general de una recta.  Establece la posición relativa de dos rectas en un mismo plano  Identificar relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas 2 semanas Nº 4 Sistema de ecuaciones lineales con 2 incógnitas  Método gráfico.  Método de Sustitución.  Método de Igualación.  Método de Reducción.  Método de determinantes.  Problemas de aplicación.  Determina la solución de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, utilizando diferentes métodos de solución.  Plantea y resuelve problemas que conducen a sistemas de ecuaciones 2 x 2.  Identificar diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. 2 semanas

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4 MATEMÁTICAS

GUIA No. 01 (2 SEMANAS)

PRESABERES. Trabajo Individual.

Intenta resolver los siguientes ejercicios relacionados con el tema que vamos a trabajar:

I. Dados

{ }

y

{ }

, escribir por extensión cada uno de

los siguientes conjuntos.

a.

{( ) }

b.

{( ) }

c.

{( ) }

II. Ubicar las siguientes parejas ordenadas en el plano cartesiano.

a.

( )

c.        3 7 , 0 b.       3 5 , 2 1 d.       ,0 2 5

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5 MATEMÁTICAS

III. Identificar las rectas paralelas.

a. b.

c. d.

IV. Trazar una recta perpendicular a cada recta dada.

a. l b.

c. l d.

PARA REALIZAR EN EL AULA. Escribe en tu cuaderno la siguiente

definición

Sean A y B conjuntos. Una función definida del conjunto A en

el conjunto B, es una correspondencia que asigna a cada

elemento de A un único elemento de B.

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6 MATEMÁTICAS

Las funciones se simbolizan por letras tales como

entre otras. Así, para notar la función definida de A (conjunto de salida) en B (conjunto de llegada), se escribe

y se lee “efe” de A en B.

Supóngase que

{ }

y

{ }

y es la correspondencia mediante la cual cada elemento de A debe ser asociado con su anterior en B. Entonces, es una función de A en B, pues a cada elemento del conjunto de salida le corresponde sólo un elemento del conjunto de llegada.

Una forma de representar esta función, se muestra en el siguiente diagrama sagital.

En general, si es cualquier elemento del conjunto de salida y es el elemento del conjunto de llegada que le corresponde a mediante la función , se dice que es la

imagen de a través de .

Esto se simboliza por ( )_{y se lee} igual a “efe” de .

En el diagrama se tiene que _{( )} ( ) ( ) ( )

EJEMPLO: A continuación se han representado cuatro correspondencias

entre los conjuntos { }_y { }. Determinar cuáles de estas correspondencias son funciones y cuáles no.

1 2 3 a b c d M N

f

1 2 3 4 0 1 2 3 4 A B

f

1 2 3 a b c d M N g

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7 MATEMÁTICAS

SOLUCIÓN:

 y sí son funciones porque en cada caso cada elemento de está relacionado con un único elemento de .

 e no son funciones, pues en la correspondencia , 1 tiene dos imágenes, y en la correspondencia , 3 no tiene imagen.

Dada una función establecida entre dos conjuntos, se identifican los siguientes elementos:

 Dominio: es el conjunto de salida o conjunto de pre imágenes. Se nota Dom .

 Codominio: es el conjunto de llegada.

 Rango: es el subconjunto del codominio, formado por las imágenes de los elementos del dominio. Se nota Ran

.

 Grafo: es el conjunto formado por todas las parejas ordenadas en las cuales la primera componente es un elemento del dominio y la segunda componente es un elemento del rango. Esto es {( ) ( )}.

1 2 3 a b c d M N h 1 2 3 a b c d M _N i

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8 MATEMÁTICAS

EJEMPLO: Determinar el dominio, el codominio, el rango y el grafo de la

función representada en el siguiente diagrama sagital.

SOLUCIÓN

 { }

 { }  { }

 {( ) ( ) ( )}

Además del diagrama sagital, para representar una función se utilizan otras formas, tales como el diagrama cartesiano, la fórmula o la tabla de valores.  Diagrama Cartesiano: el eje horizontal representa el dominio y el eje

vertical, el codominio. En este diagrama se representan las parejas ordenadas que pertenecen al grafo de la función.

 La Fórmula: es la expresión algebraica de la función, en la cual los elementos de los conjuntos se simbolizan, de manera general, mediante variables. Las fórmulas de las funciones son de la forma ( ), en la cual ( ) es una expresión en términos de ; es la variable

independiente y representa los elementos de ; es la variable

dependiente y representa los elementos de Ran .

 La Tabla de Valores: está formada por dos filas de casillas. En la fila superior se ubican los valores que toma la variable independiente y en la fila inferior se ubican los valores que se obtienen para la variable dependiente. a e i k m n o p R S

h

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9 MATEMÁTICAS

EJEMPLO: Dados los conjuntos { } y { }, y la función

tal que a cada elemento de x le asigna su doble en , representar

la función mediante:

a. La fórmula b. La tabla de valores

c. El diagrama sagital d. El diagrama cartesiano SOLUCIÓN

a. La fórmula b. La tabla de valores

( ) ó

c. El diagrama sagital d. El diagrama cartesiano

X 0 1 2 3 y 0 2 4 6 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 X Y

f

1 2 3 4 -1 1 2 3 4 5 6 -1

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10 MATEMÁTICAS

ACTIVIDADES PARA REALIZAR EN CLASE. Trabajo Colectivo.

Reúnete con tus compañeros de mesa para desarrollar los siguientes ejercicios de aplicación del tema visto.

I. Indicar cuáles de los diagramas sagitales representan funciones.

Justificar cada respuesta.

a. b. c.

II. Escribir en el cuaderno el dominio, codominio, rango y grafo de cada

una de las siguientes funciones.

a. a e i m n o p A B f 1 0 2 A B f 4 8 12 r s t M N h m n o p q C D g 2 3 4 5 1 O P i 4 2 3 4 5 R T h 1 -1 0 2 1 0 4 M N g b. c. d.

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11 MATEMÁTICAS

III. El grafo de cierta función f es {( ) ( ) ( ) ( ) ( )}. Responder

las siguientes preguntas:

a. ¿Qué elementos pertenecen al dominio de la función?

b. ¿Cuáles números forman el rango de la función?

c. ¿5 pertenece al codominio de la función?

d. ¿Cuántos elementos tiene el dominio de la función?

e. ¿Se podría representar el grafo anterior en un diagrama sagital? ¿Cómo?

IV. Definir cada una de las siguientes funciones mediante un diagrama

cartesiano y una tabla de valores.

a.

V. Sean los conjuntos { } y { } y la función tal

que a cada elemento de se asocia su doble en . Definir la función mediante. b. Diagrama sagital c. Diagrama cartesiano d. Fórmula e. Tabla de valores 2 3 4 1 2 3 4 M N h 4 5 6 2 3 4 5 A B f 1 2 3 2 4 6 A B f 1 3 5 7 6 2 4 8 E F h b. c. d.

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12 MATEMÁTICAS

TRABAJO COLECTIVO PARA REALIZAR EN EL AULA. Observa el ejemplo y construya una gráfica similar, donde sea representada una función lineal. La siguiente situación no representa una línea recta, pero muestra por tramos una línea que cambia de dirección.

a. Un vehículo se mueve uniformemente si recorre distancias iguales en

tiempos iguales. La velocidad en el movimiento uniforme es el espacio recorrido entre la unidad de tiempo.

b. En este caso, intenta graficar los siguientes datos sobre un plano

cartesiano, hasta obtener una línea recta.

La empresa de libros “el pensamiento” vende la siguiente cantidad de libros, representados de la siguiente forma:

 Durante el mes 1, vende 15 libros.

 Para el mes 2, ya tiene vendidos 30 libros.

 En el mes 3, vuelve a vender otros 15 libros, alcanzando una venta de 45 libros y así sucesivamente durante los meses siguientes.

 Durante las primeras 8 horas, el vehículo avanza 40 Kms.

 Entre las 8 – 16 horas, merma su velocidad de 40 a 20 Kms.

 Entre las 16 – 24 horas, aumenta su velocidad de 20 a 60 Kms. 20 km 40 km 60 km Espacio en km 8 h 16 h 24 h Tiempo en horas 0

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13 MATEMÁTICAS

definición

Ejemplos: ( ) , ( ) , _y

La función lineal es una función real cuya principal característica consiste en que su representación gráfica es una recta que pasa por el origen del plano cartesiano.             -      

Toda función de la forma

donde es una constante diferente de cero, es una función lineal.

EJEMPLO: Construir la gráfica de

la función ( )

SOLUCIÓN:

La tabla de valores para la función ( ) es:

-2 -1 0 1 2 -6 -3 0 3 6

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14 MATEMÁTICAS

Se denomina función afín a toda función de la forma

donde y son constantes no nulas.

Este tipo de funciones tienen como representación gráfica una recta que no pasa por el origen del plano cartesiano.

Por ejemplo, la gráfica de la función es una recta que corta el eje y en el punto (0, -1)

( )

x -2 -1 0 1 2 y -7 -4 -1 2 5

Es posible encontrar los puntos de corte de la recta correspondiente a la gráfica de una función afín, con los ejes coordenados, mediante una sencilla sustitución algebraica.

 Para hallar el punto ( , 0) o punto de corte de la recta con el eje , en la expresión

( )

se hace

y se despeja .

 Para hallar el punto (0,

) o punto de corte de la recta con el eje , se hace

y se despeja .

EJEMPLO: Hallar los puntos de corte de la gráfica

con los ejes coordenados.            -       

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15 MATEMÁTICAS

SOLUCIÓN:

 Para hallar ( , 0) se hace

Luego

. Así, ( , 0) =       0 , 2 1 es el Punto de corte con el eje .  Para hallar (0,y) se hace

( )

es decir

Por tanto, (0,

) = (0, -1) es el punto de corte con el eje .

ACTIVIDADES PARA REALIZAR EN CLASE. Trabajo Individual.

Este momento se desarrollará proponiendo ejercicios de aplicación del tema visto. Estos ejercicios contienen el desarrollo de competencias y transversalidad con otras áreas del conocimiento:

I. Graficar cada tabla de valores en el plano cartesiano. Escoger una

escala apropiada para el eje y.

a. b.       -    Número de libros Costo en $ 1 10.500 4 52.500 3 2 5 21.000 31.500 42.000 Número de manzanas Precio en gramos 1 400 2.5 2.000 2 1.5 3 800 1.200 1.600

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16 MATEMÁTICAS

c. d.

II. Indicar cuáles de las siguientes relaciones representan funciones

lineales o afines. Justificar la respuesta.

a. Cierta población de bacterias se duplica en cada minuto.

Relación: Crecimiento de una población de bacterias y el tiempo.

b. Para reparar la instalación de una casa, el servicio técnico cobra

$25.000 más $10.000 por hora. Relación: Tiempo trabajado y costo.

c. Una empresa fabrica cajas de zapatos. Por cada caja vendida recibe

$5.000 de ganancia.

Relación: Cantidad de cajas vendidas y ganancias.

III. Realizar la gráfica de las siguientes funciones. a.

f

(

x

)



2 x

b.

f

(

x

)



3 x

c. f (x)  5x d.

f

(

x

)



x



5

e.

f

(

x

)



2 x



3

f. 2 2 1 ) (x  x f

IV. Hallar los puntos de corte de la gráfica de cada función, con los ejes

coordenados, sin representarlo en el plano.

a.

f

(

x

)



5 x

b.

f

(

x

)





3 x



2

c.

f

(

x

)



5 x



1

d.

2

4

3 )

(

x



x



f

Número de horas Cantidad de minutos 1 400 4 2.000 3 2 5 800 1.200 1.600 Núm. de art. vendidos Comisión por ventas en $ 1 400 4 2.000 3 2 5 800 1.200 1.600

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17 MATEMÁTICAS

definición

La siguiente gráfica representa el crecimiento de un árbol durante un año.

De acuerdo con el gráfico:

 ¿En qué mes se produjo el mayor crecimiento del árbol?

 ¿El crecimiento del árbol fue uniforme?

 ¿En qué mes se produjo el menor crecimiento del árbol?

 Seleccione uno de los segmentos de recta pertenecientes a la gráfica y encuentre la pendiente y la ecuación de la recta que la determina.

 Seleccione dos segmentos de la gráfica distintos y demuestre según los criterios de la pendiente, si estos son paralelos o simplemente secantes.

E F M A M J J A S O N D

10 20 30

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18 MATEMÁTICAS

definición

En la expresión , el valor de es una constante diferente de cero, denominada pendiente.

La pendiente está directamente relacionada con la inclinación de la recta cuya ecuación es

.

Si

(

)

y

(

)

son dos puntos distintos de dicha recta, la pendiente se calcula mediante las igualdades:

2 1 2 1 x x y y m    ó 1 2 1 2 x x y y m   

EJEMPLO: Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos

A

(

3 ,

5 )

y

)

3 ,

2 (

B

. SOLUCIÓN: Si se consideran

A

(

3 ,

5 )



(

x

₁

,

y

₁

)

y

B

(

2 ,

3 )



(

x

₂

,

y

₂

)

al remplazar en la fórmula anterior, se obtiene:

       

2

1

2

3

5 _

_





m

2

1

2

3

2

5

3 _









m

ó

las cuales se interpretan como la razón de incremento vertical con respecto al incremento horizontal en la recta.

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19 MATEMÁTICAS

El signo de la pendiente de una recta depende del ángulo de inclinación de dicha recta con respecto al eje .

Se pueden distinguir cuatro casos:  Caso 1:

 Caso 2:

 Caso 3:  Caso 4:

Caso 1: Si la recta forma un

ángulo agudo con el eje , la pendiente es positiva.

Caso 2: Si la recta forma un

ángulo obtuso con el eje , la pendiente es negativa.

Caso 3: Si la recta es vertical

(paralela al eje ), se dice que la pendiente no está definida.

Caso 4: Si la recta es horizontal

(paralela el eje ), la pendiente es cero. 0 r 𝑚 r 𝑚 0 r 𝑚 r 𝑚 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎

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20 MATEMÁTICAS

Así como aprendimos a graficar funciones lineales o de primer grado, donde siempre resultaba una línea recta en el plano cartesiano, podemos también encontrar la Ecuación Explícita de la Recta y la Ecuación

General de la Recta donde solo necesitas conocer algunos datos de la

gráfica para luego proceder a encontrarlos.

Pues bien, recordemos que la Ecuación Explícita de la Recta es aquella que tiene la forma , donde m es la Pendiente y b es el Punto de corte de la recta con el eje y. Para poder determinarla,

se pueden presentar 2 casos.

 CUANDO SE CONOCE LA PENDIENTE Y UN PUNTO

Cuando se conoce la Pendiente y un Punto de la Recta, basta remplazar dichos valores en la expresión general con el fin de encontrar el valor de de manera algebraica.

EJEMPLO: Encontrar la ecuación explícita de la recta que pasa por el

punto (3, 2) y cuya pendiente es 4.

SOLUCIÓN: Dado que

m



4

y

(

x

,

y

)



(

3 ,

2 )

al remplazar dichos valores en la expresión se obtiene:

b





4 .(

3 )

2

Por tanto, la ecuación pedida es:

b





12

2 y



4 x



10

2 

12 

b

10 



b

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21 MATEMÁTICAS

 CUANDO SE CONOCEN LOS DOS PUNTOS

Cuando se conocen los dos Puntos que pertenecen a la recta, primero se halla su pendiente mediante la expresión

1 2 1 2 x x y y m   

Luego, se remplazan m y las coordenadas de cualquiera de los puntos conocidos en la expresión

y



m

.

x



b

y se procede como en el caso anterior.

EJEMPLO: Hallar la ecuación explícita de la recta que pasa por los

puntos

(

2 ,

3 )

y

(

3 ,

5 )

.

SOLUCIÓN: se determina la pendiente de la recta según la fórmula

1 2 1 2 x x y y m    = 2 3 3 5   ₌ 1 2_{= 2}

Luego, se toma la pendiente y la coordenada de cualquiera de los puntos conocidos.

2 

m

y

(

3 ,

5 )

. Estos valores se remplazan en la expresión

b





2 .(

3 )

5

ym.xb como en el caso anterior

b





6

5

5 

6 

b

Por tanto, la ecuación pedida es:

b





1

La expresión donde

y

(es decir, no son ceros simultáneamente) es llamada Ecuación General de la Recta. Esta ecuación está definida de la forma .

(22)

22 MATEMÁTICAS

Si la ecuación de una recta está dada en forma explícita, basta realizar algunas operaciones algebraicas para obtener la forma general.

EJEMPLO: expresar la ecuación

en forma general.

SOLUCIÓN: Se multiplica ambos miembros de la igualdad por el ( ) ( )

Luego, es la forma general de la ecuación dada.

a. Dada la ecuación explícita

,

1

4 



x

y

obtener la ecuación general de la recta.

y



4 x



1

0

1

4 







x

y

la expresión se iguala a 0.

b. Dada la ecuación general

,

0

5

2

3 x



y





hallar la

ecuación explícita de la recta. 2y3x5 se despeja y así 2 5 3     x y 2 3    x y 2 5   2 3x y  + 2 5

Representar gráficamente la recta cuya ecuación es

6 x



3 y



12 

0 .

SOLUCIÓN

Para encontrar el punto de corte con el eje ,x hacemos que x0y

lo reemplazamos en la ecuación general hasta encontrar el valor de

y .

Para encontrar el punto de corte con el eje ,y hacemos que y0y lo

reemplazamos en la ecuación general hasta encontrar el valor de

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23 MATEMÁTICAS

 

0

3

12

0

6 

y





03y120 3y 12 3 12    y 3 12    y 3 12  y y4 Así el

y

intersecto es (0, 4)

 

0

12

0

3

6 x







6x0120 6x12 6 12   x x2 Así el

x

intersecto es (-2, 0) -                

Gráficamente se puede observar que la

recta corta el eje x en el valor de -2 y

que corta el eje y en el valor de 4.

Lo que significa que al hacer que cada

variable se convierta en cero,

encontramos el punto de corte con el

eje coordenado de manera algebraica.

Además, estos valores también se

pueden reemplazar sobre la ecuación

general de la recta.

(24)

24 MATEMÁTICAS

definición

I. Hallar la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos. a.

(

5 ,

5 )

y

(

6 ,

6 )

b.

(

4 ,

3 )

y

(

5 ,

3 )

c.

(



2 ,



3 )

y

(

6 ,

5 )

d.

(



3 ,



5 )

y

(



2 ,



5 )

II. Indicar la pendiente y el intercepto con el eje y de cada una de las

siguientes rectas.

a.

y



3 x



5

b.

5 x



y



2

c.

3 x



y



4

d.

9 x



y



6

III. Encontrar la ecuación explícita de la recta que tiene el punto y la

pendiente indicados.

a. Punto

(

1 ,

4 )

m



2

b. Punto

(

3 ,

2 )

m





3

c. Punto

(

5 ,

6 )

m



0

d. Punto

(



3 ,



1 )

m





2

IV. Escribir V en cada afirmación se es verdadera, o F si es falsa. Justificar

la respuesta.

a. La ecuación explícita de la recta que pasa por los puntos

(

1 ,

2 )

y

)

3 ,

2 (

es

y



x



2

.

b. La recta cuya ecuación es

3 x



y



2

contiene el punto

(

0 ,



2 )

y su pendiente es 3.

(25)

25 MATEMÁTICAS

d. La ecuación

x



5

corresponde a una recta cuya intersección con el

eje

y

es 5 y su pendiente es nula.

e. La recta que pasa por los puntos

(

1 ,

1 )

y

(

4 ,

4 )

tiene la misma pendiente que la recta que pasa por los puntos

(

7 ,

7 )

y

(

10 ,

10 )

.

f. La ecuación de la recta

y



3 x



5

corta el eje

y

en 5.

g. La expresión

5

1

4

3 _





x

y

corresponde a una recta cuya

pendiente es

5

1

.

V. Escribir cada ecuación en su forma general. a.

9 

x



y

b.

3 x



4 

y

c.



2 y



5 x



1

d.

3

4

2

3 x



y



e.

6

3

5

9 y

x





f.

12 x



3 y



8

g.

5

2

1 _

_

x

y

h.

3 x



y



2 x



1

i.

4 x



2 y





3 x



6

j.

x

4 y

3

1

2

3

5 





VI. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y es

perpendicular a la recta dada.

a.

y





9 x



6

punto (0,0)

b. y  8x2 punto (1,1)

c.

5 x



y



1

punto (2,3)

(26)

26 MATEMÁTICAS

VII. Escribir V si la afirmación se es verdadera, o F si es falsa. Justificar

la respuesta.

Sean

l

y s dos rectas cuyas pendientes son

m

1 y

m

2

respectivamente.

a. Si

l

y s son paralelas, entonces sus pendientes cumplen:

1 2 1

m

2m

m





b. Si

l

y s son perpendiculares: 2 1 1 m m 

c. Si

l

y s son paralelas, se cumple:

m

₁



m

₂



0

d. Si

l

tiene pendiente

,

3

1 

m

_{entonces una recta perpendicular a}

ella debe tener pendiente positiva.

ACTUALIDAD

Las funciones constituyen una poderosa herramienta para describir

fenómenos. Son usadas por biólogos, físicos, ingenieros y

economistas para analizar, por ejemplo, la variación del precio de

un producto a través de los años, el crecimiento de la población en

un periodo de tiempo y la resistencia de un material a distintas

temperaturas, entre otras.

(27)

27 MATEMÁTICAS

MOTIVACION. Trabajo cooperativo para realizar en el aula.

Realiza la lectura del siguiente fragmento y luego responde las preguntas en tu cuaderno:

CONVERSATORIO

Responde las siguientes preguntas sobre la lectura anterior

 ¿Qué hecho aporta la época babilónica al desarrollo de las siguientes ecuaciones lineales?  ¿Qué contribución algebraica hizo la cultura China al desarrollo de sistemas de ecuaciones

lineales?

 ¿En qué siglo la teoría de los sistemas lineales dio origen al álgebra lineal?

HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

Desde la antigüedad el problema de resolver ecuaciones lineales simultáneas ya era objeto de interés entre los matemáticos.

Por ejemplo, en un texto de la época babilónica antigua se encuentra un sistema de dos ecuaciones lineales simultáneas con dos incógnitas, llamadas respectivamente el primer anillo de plata y el segundo anillo de plata.

En la cultura china, la contribución algebraica más importante fue, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en la regla de resolución se sistemas de ecuaciones lineales, según consta en el libro de Los nueve capítulos sobre el arte matemático (año 250 a. de C.). En esta obra, se establece un método genérico de resolución para todos los sistemas, muy similar al que hoy conocemos como método de Gauss, expresando los coeficientes en forma matricial y transformándolos en ceros de manera escalonada.

En el siglo XIX, la teoría de los sistemas de ecuaciones lineales dio origen a lo que hoy se conoce como el álgebra lineal, la cual está relacionada con la teoría de los determinantes y las matrices.

(28)

28 MATEMÁTICAS

definición

Toda igualdad de la forma

donde

es una ecuación lineal con dos incógnitas. Cada pareja ordenada de números reales que satisface esta ecuación es una solución de ella. Por ejemplo, para encontrar las soluciones de la ecuación

se despeja

luego se asignan valores arbitrarios a

De esta forma, dando valores a

se pueden obtener infinitos valores para

Así, se dice que la ecuación lineal

es una ecuación indeterminada.

Toda ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación indeterminada. Un conjunto formado por dos o más ecuaciones lineales es llamado

sistema de ecuaciones lineales o sistema de ecuaciones simultáneas.

Por ejemplo, el conjunto















8

2

7

3 y

x

y

x

Es un sistema 2 X 2, pues está formado por dos ecuaciones con dos incógnitas. La solución de este sistema es la pareja (3, 2) ya que satisface las dos ecuaciones simultáneamente.

Existen cinco métodos para resolver o solucionar un sistema de ecuaciones lineales 2 X 2. Estos métodos son: el gráfico, el de sustitución, igualación, reducción y determinantes. A continuación, veremos únicamente los cuatro

primeros casos, dado que el caso de determinantes será visto en clase con ayuda del docente.

(29)

29 MATEMÁTICAS

Para determinar la solución o soluciones de un sistema 2 X 2 se emplean varios métodos, entre los cuales tenemos el método gráfico. Este consiste en graficar las rectas que corresponden a las ecuaciones que forman el sistema, despejando en cada una de las ecuaciones la variable para que la ecuación tome forma de función y posteriormente construir ambas gráficas sobre un mismo plano cartesiano, para determinar las coordenadas del punto (

)

en el que se cortan dichas rectas.

Cuando se utiliza el método gráfico para resolver un sistema 2 X 2, se pueden presentar tres casos:

CASO 1: Las rectas se cortan en un solo punto (

)

. Esto significa que el sistema tiene una única solución, dada por los valores

que son coordenadas del punto de corte.

CASO 2: Las rectas coinciden en todos sus puntos. Por lo tanto, el sistema

tiene infinitas soluciones, es decir, es indeterminado.

CASO 3: Las rectas son paralelas. Luego no tienen puntos en común. Es

decir, el sistema no tiene solución.

EJEMPLO: Encontrar la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones

lineales, por el método gráfico.

a.















3

1

3 x

y

x

y

b.















4

3

2

3 x

y

x

y

c.















2

4

2

1

2 y

x

y

x

SOLUCIÓN: Al graficar las rectas de cada sistema en un plano cartesiano,

se obtiene: a.        3 1 3 x y x y b.          4 3 2 3 x y x y

(30)

30 MATEMÁTICAS 1 3   x y yx3 y 3x2 y3x4 c.             4 2 4 2 2 1 2 1 x y x y 2 1 2 1 _   x y 4 2 4 2 _   x y

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de

sustitución, se despeja una de las variables en cualquiera de las

ecuaciones dadas. Luego se remplaza dicho valor en la otra ecuación y se 0 1 3 4 0 1 1 4 0 1 2 -1 0 1 4 1 0 1 2 1 0 0 1 4 2 0 Masa (Kg)           - Sol:(1,4)             -       

(31)

31 MATEMÁTICAS

despeja nuevamente la otra variable. Este valor se remplaza en cualquiera de las ecuaciones del sistema para hallar la variable inicial.

EJEMPLO: Resolver por el método de sustitución el sistema de ecuaciones

lineales.























2

8

2

1

11

2

3 y

x

y

x

SOLUCIÓN: En la ecuación 1 se despeja la variable x.

3x2y11 3x112y 3 2 11 y x 

Luego, se remplaza dicho valor en la ecuación 2 y se despeja la variable .

2 8 3 2 11 2          y y 2 8 3 4 3 22      y y 3 22 8 2 3 4      y y 3 22 24 3 6 4      y y 2y2 y1

El valor encontrado se remplaza en la ecuación 1 y luego se despeja 3x2y11

3x2(1)11

(32)

32 MATEMÁTICAS 3 2 11  x 3 9  x Luego, x3

Así, la solución del sistema es la pareja ordenada: ( 3, -1)

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de

igualación, se despeja la misma variable en las dos ecuaciones dadas.

Luego se igualan las expresiones obtenidas y se despeja la otra variable. Este valor se remplaza en cualquiera de las ecuaciones del sistema para encontrar el valor faltante.

EJEMPLO: Resolver por el método de igualación el sistema de ecuaciones

lineales.         10 5 3 2 4 y x y x

SOLUCIÓN: Se despeja la variable en las dos ecuaciones y se igualan las expresiones obtenidas.

2 4xy 3x5y10 4x2y 3x105y 4 2 y x  3 5 10 y x   3 5 10 4 2 y   y   12 20 40 12 3 6 y   y  

(33)

33 MATEMÁTICAS 63y4020y 3y20y 406 23y46 23 46   y y2

Este valor se remplaza en cualquiera de las ecuaciones del sistema. 4xy2

4x

 

2 2 4x22 4x22

4x0 Luego, x0

Por lo tanto, la solución del sistema es la pareja ordenada: (0, -2)

En la solución de un sistema de ecuaciones por el método de reducción, se reducen las dos ecuaciones del sistema a una sola sumándolas. Para esto, es necesario amplificar convenientemente una de las dos, de modo que los coeficientes en una de las variables sean opuestos. Al sumar las ecuaciones transformadas, la variable se elimina y es posible despejar la otra. Luego se procede como en los métodos anteriores.

EJEMPLO: Resolver por el método de reducción el sistema de ecuaciones

lineales.          1 2 3 2 3 4 y x y x

(34)

34 MATEMÁTICAS

SOLUCIÓN: Al multiplicar por 3 la primera ecuación y por 4 la segunda

ecuación, se puede cancelar la variable

.

           4 . 2 1 2 3 3 . 1 2 3 4 por mult y x por mult y x                  4 8 12 6 9 12 y x y x y2

Posteriormente, dicho valor de y se remplaza en cualquiera de las dos ecuaciones lineales y se despeja la variable .

2 3 4x y  4x3(2)2 2 6 4x  4x26 4x4 4 4   x x1

Cuando se resuelve un sistema por el método de reducción, al transformar las dos ecuaciones en una sola se presentan dos casos especiales.

CASO 1: Se obtiene la expresión 0 = constante (diferente de cero). En

este caso el sistema no tiene solución y se denomina inconsistente.

CASO 2: Se obtiene la expresión 0 = 0. Significa que el sistema tiene

infinitas soluciones y es llamado dependiente o indeterminado. Luego, el conjunto

(35)

35 MATEMÁTICAS

CASO 1 CASO 2 CASO 3

Gráfica

Número de

soluciones Una solución Infinitas soluciones No tiene solución Clase de

sistema Consistente Indeterminado-consistente Inconsistente

Un determinante es un número asociado a un arreglo de números reales en igual cantidad de filas y de columnas.

Por ejemplo, la notación

d c

b a

Corresponde a la determinante 2 X 2 o de orden dos, asociado a un arreglo de dos filas y dos columnas.

En esta determinante, a y d forman diagonal principal y c y b forman la

diagonal secundaria

(36)

36 MATEMÁTICAS d c b a d c b a

Al producto de los números de la diagonal principal se le resta el producto de los números en la diagonal secundaria.

d c b a = a.d - b.c

EJEMPLO: evaluar los siguientes determinantes: a. 9 6 2 3 b. 0 1 2 1 5    SOLUCIÓN a. 9 6 2 3 = 3(9) – 2(6) = 27 – 12 = 15 b. 0 1 2 1 5    = (-5)(0)-       2 1 (-1) = 0 - 2 1 = 2 1  columna fila diagonal

secundaria diagonal principal

HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

Cardán, en “Ars Magna” (1545), da una regla para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales que llama regla de modo. Esta regla corresponde en esencia a la conocida Regla de Crámer para la resolución de un sistema 2 X 2.

(37)

37 MATEMÁTICAS

Es posible resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando determinantes, mediante un método denominado Regla de Crámer. Este método se resume de la siguiente forma.

Sea

_













f

ey

dx

c

by

ax

un sistema de ecuaciones Se cumple que:

e

d

b

a

e

f

b

c

x



₌

bd

ae

bf

ce



y

e

d

b

a

f

d

c

a

y



₌

bd

ae

cd

af



EJEMPLO: resolver mediante la Regla de Crámer el siguiente sistema de

ecuaciones lineales



















2

9

5

4

3 y

x

y

x















f

ey

dx

c

by

ax

SOLUCIÓN

Se organizan los determinantes necesarios y se resuelven.

Determinante del sistema Determinante del sistema

e d b a e f b c x 9 1 4 3 9 2 4 5      =



  

4 27 8 45     = 23 37 

(38)

38 MATEMÁTICAS

Luego, la solución del sistema es       23 1 , 23 37

En el proceso de resolución de problemas se deben realizar los siguientes pasos.

PASO 1. COMPRENDER EL PROBLEMA:

 Leer con atención el problema, primero en forma general y luego parte por parte.

 Realizar un dibujo, esquema o tabla que facilite la comprensión del problema.

 Identificar los datos necesarios para aplicar la mejor estrategia a utilizar.

PASO 2. PLANEAR LA SOLUCIÓN:

 Adecuar un plan de trabajo que permita anticipar una respuesta razonable.

 Escoger las operaciones a realizar.

PASO 3. DESARROLLAR EL PLAN:

 Resolver las operaciones en el orden establecido.

e d b a f d c a y 9 1 4 3 2 1 5 3      = 4 27 5 6   = 231

(39)

39 MATEMÁTICAS

 Verificar si todas las preguntas han sido resueltas.

PASO 4. REVISAR Y REFLEXIONAR SOBRE LA SOLUCIÓN:

 Verificar si la solución encontrada es válida.

 Reflexionar sobre el proceso seguido para hallar la solución.  Analizar si existen otras maneras de solucionar el problema.

EJEMPLO: Resolver el problema.

La suma de las cifras de un número es 7. Si al número se le resta 9, las cifras se invierten. Hallar el número.

SOLUCIÓN

 Una vez realizada la lectura atenta, se determinan las incógnitas.

x: cifra de las decenas. y: cifra de las unidades.

 Se plantean dos ecuaciones, según las condiciones del problema.

         x y y x y x 10 9 10 7

 Se resuelve el sistema por cualquier método. En este caso se ha elegido el método de reducción.        9 9 9 7 y x y x

Para sumar las dos ecuaciones se ha transformado la primera ecuación

(40)

40 MATEMÁTICAS        9 9 9 63 9 9 y x y x x 18 = 72 18 72  x x4

Luego, si x = 4 entonces reemplazamos este mismo valor en la 1ª ecuación del sistema.

7  y x (4) y7 y74 y3

Por lo tanto, se tiene que y = 3. Entonces el número pedido es 43.

VERIFICACIÓN: Comprobamos la solución de acuerdo con las

condiciones dadas en el problema. 4 + 3 = 7 y 43 – 9 = 34

(41)

41 MATEMÁTICAS

I. Hallar la solución a los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, por el método gráfico.

a.          3 1 3 y x y x b.        7 2 5 4 y x y x

II. Resolver los siguientes sistemas por el método de sustitución.

a.          8 2 2 11 2 3 y x y x b.        9 2 12 y x y x

III. Resolver por el método de reducción. a.          1 2 3 2 3 4 y x y x b.        9 3 12 4 6 y x y x

IV. Resolver por el método de igualación. a.         10 5 3 2 4 y x y x b.          2 4 0 4 y x y x

V. Resolver por el método de determinantes o Regla de Crámer.

a.         25 8 7 8 5 y x y x b.        3 4 2 13 2 3 y x y x

VI. Resolver los problemas de aplicación utilizando un método distinto

para cada uno de ellos.

a. La suma de dos números es 38 y su diferencia es 8. Hallar los

números.

b. El perímetro de una sala rectangular es 18 metros y 4 veces el

largo equivale a 5 veces el ancho. Hallar las dimensiones de la sala.

c. En un teatro, 10 entradas de adulto y 9 de niños cuestan

(42)

42 MATEMÁTICAS

$134.500. Hallar el precio de una entrada de adulto y de una de niño.

d. La diferencia entre dos números es 17. Si el mayor se divide

entre el menor, el cociente es 2 y el residuo es 4. Hallar los números.

PARA REALIZAR EN EL AULA. Trabajo cooperativo

Reúnete con tus compañeros de grupo y resuelve el siguiente Crucigrama.

HORIZONTAL

1. Conjunto formado por los primeros componentes de las parejas de una función.

2. Clase de ángulo que se forma entre una recta con pendiente negativas y el eje x. 3. Nombre que recibe la ecuación de la recta

.

b

mx

y





4. Nombre que reciben dos rectas cuyo producto de las pendientes es –1.

5. Nombre que recibe un sistema de ecuaciones lineales con infinitas soluciones.

VERTICAL

1. Nombre que recibe la constante m en la expresión ymxb.

2. Clases de rectas que se tienen cuando ambas poseen la misma pendiente. 3. Cantidad de soluciones que hay en un

sistema de ecuaciones lineales cuya gráfica representa dos rectas secantes. 4. Nombre de uno de los métodos de

solución de un sistema de ecuaciones lineales.

5. Nombre que recibe un sistema de ecuaciones lineales que no tiene solución.

(43)

43 MATEMÁTICAS

CONCEPTUALIZACIÓN DEL TEMA. Trabajo Individual.

Teniendo en cuenta el siguiente mapa conceptual, escribe un párrafo donde expliques con tus propias palabras lo que aprendiste acerca de los sistemas de ecuaciones lineales.

1 3 1 2 2 2 4 3 4 5 5

(44)

44 MATEMÁTICAS

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Son

Conjunto formado por dos o más ecuaciones lineales

cada ecuación representa una Línea recta de la forma y = mx + b en la cual m es la pendiente b es el punto de corte con el eje y

y se expresan

En forma general como: Ax + By + C = 0

En forma explícita como: y = mx + b

Pueden ser

2 x 2 3 x 3

se define como se define como Un conjunto formado por dos

ecuaciones con dos incógnitas

Un conjunto formado por tres ecuaciones con tres incógnitas

y se resuelve por los

Métodos

y se resuelve por los

Métodos de de Sustitución Igualación Reducción Determinantes de segundo orden Reducción Determinantes de tercer orden

(45)

45 MATEMÁTICAS

Las siguientes son preguntas de selección múltiple con única respuesta.

I. Si { } y { } una de las siguientes relaciones no corresponde a una función.

a. {( ) ( ) ( ) ( )}

b. {( ) ( ) ( ) ( )}

c. {( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

d. {( ) ( ) ( ) ( )}

II. El grupo de parejas ordenadas que corresponde a la fórmula ( ) es:

a. {( ) ( ) ( )} b. {( ) ( ) ( )}

c. {( ) ( ) ( )} d. {( ) ( ) ( )}

III. La función

y



f

(

x

)



x

2



2

tiene como dominio, codominio y rango:

a. Dom:R; Cod:R; Ran:R.

b. Dom:_{R ; Cod:} _{R ; Ran:} 

R .

c. Dom:R; Cod:R; Ran: x0.

d. Dom:R; Cod:R; Ran: x2.

IV. La pendiente m de la recta es:

a. m3 b. m2 c. 3 2  m d. 3 2   m

V. La ecuación explícita de la recta que pasa por los puntos (5,1) y ) 1 , 8 (  es: a. 3 16 3 2   x y b. 5 3 2 _  x y c. 3 13 3 2   x y d. 3 13 13 2 _  x y

(46)

46 MATEMÁTICAS

VI. Una recta perpendicular a la recta 3x5y4 es:

a. 3 16 3 2   x y b. 5 3 2 _  x y c. 3 13 3 2   x y d. 3 13 13 2 _  x y

VII. La solución del sistema de ecuaciones lineales          14 5 2 14 3 4 y x y x

utilizando cualquier método es:

a. (0,0) b. (2,2) c. (1,6) d. (5,2) VIII. En el sistema         4 3 1 3 2 y x y x

el determinante para hallar x es:

a. 3 1 3 2 3 1 3 2   b. 4 1 3 2 3 4 3 1    c. 3 1 3 2 3 1 1 2    d. 3 4 3 1 3 1 3 2   

IX. Cuatro personas van al circo. Por las entradas pagan $9.000. El precio por adulto es $3.500 y por niño $1.000. La distribución de personas era:

a. 3 niños y 1 adulto. b. 2 niños y 2 adultos.

c. 1 niño y 3 adultos. d. 4 adultos.

(47)

47 MATEMÁTICAS

Resuelve los ejercicios propuestos en cada numeral.

VII. Construye la gráfica de las siguientes funciones lineales. a. ( )

b. ( )

VIII. Hallar los puntos de corte de la gráfica de cada función, con los ejes

coordenados, sin representarlo en el plano.

a. ( )

b. ( )

IX. Hallar la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos.

a. (3, 4) y (2, 1) b. (-2, -3) y (6, 5)

X. Encontrar la ecuación explícita de la recta a partir de los datos que se dan a continuación:

a. Punto (-2, 3) m = -1 b. P1 (-1, 0) P2 (0, -4)

XI. Escribir cada ecuación en su forma general.

a.

b.

XII. Hallar la solución a los siguientes sistemas de ecuaciones lineales,

por el método gráfico.

c.          3 1 3 y x y x d.        7 2 5 4 y x y x

XIII. Resolver los siguientes sistemas por el método de sustitución. a.          8 2 2 11 2 3 y x y x b.        9 2 12 y x y x

(48)

48 MATEMÁTICAS

XIV. Resolver por el método de reducción. a.          1 2 3 2 3 4 y x y x b.        9 3 12 4 6 y x y x

XV. Resolver por el método de igualación. a.         10 5 3 2 4 y x y x b.          2 4 0 4 y x y x

XVI. Resolver por el método de determinantes o Regla de Crámer. a.         25 8 7 8 5 y x y x b.        3 4 2 13 2 3 y x y x

XVII. Resolver los problemas de aplicación utilizando un método distinto para

cada uno de ellos.

a. La suma de dos números es 38 y su diferencia es 8. Hallar los

números.

b. El perímetro de una sala rectangular es 18 metros y 4 veces el largo

equivale a 5 veces el ancho. Hallar las dimensiones de la sala.

c. En un teatro, 10 entradas de adulto y 9 de niños cuestan $81.500;

17 entradas de niños y 14 de adultos cuestan $134.500. Hallar el precio de una entrada de adulto y de una de niño.

d. La diferencia entre dos números es 17. Si el mayor se divide entre

(49)

49 MATEMÁTICAS

GRAFIQUEMOS FUNCIONES CUADRÁTICAS

LOGRO

COMPETENCIAS

 INTERPRETATIVA: Identifica las propiedades de la función cuadrática y construye su gráfica apoyado en tales propiedades.

 ARGUMENTATIVA: Justificar el planteamiento y desarrollo de conjeturas.  PROPOSITIVA: Propone métodos de solución diferentes al propuesto por

el docente.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Momento A: Apropiación de conceptos

Momento B: Análisis y propuesta de solución de problemas Momento C: Práctica en el contexto

Momento D: capacidad de hacer nuevas propuestas e inventiva.  Cumplimiento y responsabilidad con trabajos y tareas

 Participación activa  Puntualidad  Asistencia

I PERIODO

II PERIODO

Construir la grafica de una función cuadrática identificando en ella sus características principales de desplazamiento, eje de simetría, puntos de corte con el eje y posición.

(50)

50 MATEMÁTICAS

CONTENIDOS

UNIDAD DIDÁCTICA: Grafiquemos funciones cuadráticas

Guía Tema Subtemas Logros Estándares Tiempo

Nº 1 Función Cuadrática  Concepto.  Gráfica de una función cuadrática  Ceros, raíces o soluciones de una función cuadrática.  Comprende las características de la función cuadrática y su representación gráfica.  Halla e interpreta los ceros, raíces o soluciones de una función cuadrática.  Identificar relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas. 4 semanas Nº 2 Ecuación Cuadrática  Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas.  Solución de ecuaciones cuadráticas completas.  Identifica ecuaciones cuadráticas.  Resuelve ecuaciones cuadráticas por factorización y fórmula general.  Usar procesos inductivos y lenguaje algebraico para verificar conjeturas. 4 semanas

(51)

51 MATEMÁTICAS

PRESABERES. Trabajo Individual.

Intenta resolver los siguientes ejercicios relacionados con el tema que vamos a trabajar:

I. Resolver las siguientes ecuaciones. a. 4x60 b. 7 3 5  x c. 5x1565 d. 21 9 7 3   x

II. Marcar con una X la ecuación en la cual la pareja

   

x

,

y



2 ,

1

es

solución.

a. 2x20

b. xy0

c. 2x2y0

d. 2x4y0

III. Factorizar los siguientes polinomios. a. _x2 6_x16

b. 9_x237_x4

c. 6_x45_x26