Matemáticas I Tema 4. Trigonometría I

Tema 4. Trigonometr´ıa I

´ Indice

1. Introducci´on 2

2. Medida de un ´angulo 2

3. Razones trigonom´etricas 3

3.1. Funciones inversas. Obtenci´on del ´angulo . . . 4

3.2. Circunferencia goniom´etrica . . . 5

3.2.1. Signo de las razones trigonom´etricas . . . 6

3.2.2. Reducci´on de ´angulos al primer cuadrante . . . 7

3.2.3. Reducci´on de ´angulos al primer giro . . . 8

4. Relaciones entre las razones trigonom´etricas 8 4.1. Simplificar expresiones trigonom´etricas . . . 9

4.2. Demostraci´on de igualdades trigonom´etricas . . . 10

4.3. Resolver ecuaciones trigonom´etricas sencillas . . . 11

5. Resolver tri´angulos rect´angulos 13 6. Resolver tri´angulos cualesquiera 14 6.1. Teorema del seno . . . 14

6.2. Teorema del coseno . . . 14

7. Ejercicios del tema 14 7.1. Problemas de tri´angulos graduados de menor a mayor dificultad . . . 15

7.2. Problemas de tri´angulos rect´angulos y no rect´angulos . . . 16

1. Introducci´ on

La historia de la trigonometr´ıa comienza con los babilonios y los egipcios. Estos ´ultimos establecieron la medida de los ´angulos en grados, minutos y segundos. Llevaron registros de- tallados sobre la salida y puesta de las estrellas, el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares, todo lo cual requiere la familiaridad con la distancia angular medida sobre la esfera celeste. En el segundo milenio antes de Cristo, utilizaban una forma primitiva de la trigonometr´ıa para la construcci´on de las pir´amides

En los tiempos de la Grecia cl´asica, en el siglo II a.C. el astr´onomo Hiparco de Nicea construy´o una tabla de cuerdas para resolver tri´angulos sobre una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que utiliz´o para r.

Tres siglos despu´es, el astr´onomo Claudio Ptolomeo utiliz´o r = 60 pues los griegos adopta- ron el sistema num´erico base 60 de los babilonios. Durante muchos siglos, la trigonometr´ıa de Ptolomeo fue la introducci´on b´asica para los astr´onomos. En su libro de Astronom´ıa, el Alma- gesto, mostraba ejemplos de c´omo utilizar dicha tabla para calcular los elementos desconocidos de un tri´angulo a partir de los conocidos.

Al mismo tiempo, los astr´onomos de la India hab´ıan desarrollado tambi´en un sistema trigonom´etrico basado en la funci´on seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta funci´on seno, era la longitud del lado opuesto a un ´angulo en un tri´angulo rect´angulo de hipotenusa dada.

Los matem´aticos hind´ues utilizaron diversos valores para ´esta en sus tablas.

A finales del siglo V III los astr´onomos ´arabes trabajaron con la funci´on seno y a finales del siglo X ya hab´ıan completado la funci´on seno y las otras cinco funciones. Tambi´en descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometr´ıa, tanto para tri´angulos planos como esf´ericos. Los matem´aticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonom´etricas El Occidente latino se familiariz´o con la trigonometr´ıa ´arabe a trav´es de traducciones de libros de astronom´ıa ar´abigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matem´atico y astr´onomo alem´an Johann M¨uller K¨onigsberg, llamado Regiomontano.

A principios del siglo XV II, el matem´atico escoc´es John Napier descubri´o los logaritmos y, gracias a esto, los c´alculos trigonom´etricos recibieron un gran empuje.

A mediados del siglo XV II, los cient´ıficos Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron el C´alculo diferencial e integral. Por ´ultimo, en el siglo XV III, el matem´atico suizo Leonhard Euler demostr´o que las propiedades de la trigonometr´ıa eran producto de la aritm´etica de los n´umeros complejos y, adem´as, defini´o las funciones trigonom´etricas utilizando expresiones con exponenciales de n´umeros complejos.

2. Medida de un ´ angulo

Para indicar la medida de un ´angulo usaremos dos unidades:

Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ´angulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ´angulo de un grado 1^◦ sexagesimal.

Un grado tiene 60 minutos (⁰) y un minuto tiene 60 segundos (⁰⁰).

El ´angulo central, que se encuentra en una circunferencia, con un arco que tiene la misma longitud que el radio, decimos que mide 1 radi´an (1 rad). Una circunferencia completa mide 2π rad

La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes se deduce de la medida del ´angulo com- pleto en ambas unidades:

360^o ≡ 2π rad =⇒ 180^o ≡ π rad =⇒ α(^o)

α(rad) = 180^o π Ejercicio 1. Expresa en grados los siguientes radianes:

9π

10rad, 5π

2 rad, 4π

9 rad, 5π 3 rad

3. Razones trigonom´ etricas

Las razones trigonom´etricas de un ´angulo α son las relaciones matem´aticas que existan entre los lados de un tri´angulo rect´angulo en el que uno de sus ´angulos agudos es α.

Definici´on 1. Definimos las funciones seno, coseno, tangente y sus inversas; cosecante, secante y cotangente como sigue:

Funciones Inversas

sen α = Cateto opuesto Hipotenusa = a

c cosec α = 1

sen α = 1 a/c = c

a cos α = Cateto contiguo

Hipotenusa = b

c sec α = 1

cos α = 1 b/c = c

b tan α = Cateto Opuesto

Cateto contiguo = a

b cot α = 1

tan α = 1 b/a = a

b

Para recodar c´omo calcular las funciones anteriores, lo mejor, es practicar:

Ejercicio 2.

a) Calcula las razones trigonom´etricas de los ´angulos agudos de un tri´angulo rect´angulo cuyos catetos miden: a = 3 cm y b = 4 cm.

b) En un tri´angulo rect´angulo, uno de sus catetos mide a = 6 cm y la hipotenusa h = 10 cm.

Calcula las razones trigonom´etricas de los ´angulos agudos.

c) Compara los resultados de los anteriores apartados y obt´en conclusiones.

d) Halla las razones trigonom´etricas del ´angulo de la figura:

3.1. Funciones inversas. Obtenci´ on del ´ angulo

Las razones trigonom´etricas permiten tambi´en conocer:

• la medidad de alguno de los lados del tri´angulo rect´angulo.

• el valor de alguno de los ´angulos agudos del tri´angulo rect´angulo.

Ejemplo 1. Calcula la hipotenusa en un tri´angulo rect´angulo, con un ´angulo de 45^o y cateto opuesto de 10 cm.

Soluci´on: Usando la definici´on de seno:

sen 45^o = cateto opuesto a 45^o hipotenusa = 10

hipotenusa =⇒ hipotenusa = 10

sen 45^o = 10

√2 2

= 10√ 2 cm

Ejemplo 2. Halla la medida del ´angulo α en el tri´angulo de la imagen.

Soluci´on: Usando la definici´on de coseno:

cos α = cateto contiguo

hipotenusa = 3, 5

5, 2 = 0, 67307769 ' 0, 67 Como cos α = 0, 67, entonces α = arc cos 0, 67 ' 47, 695^o Ejercicio 3.

a) Calcula la hipotenusa en un tri´angulo rect´angulo con un ´angulo de 30^o y cateto contiguo de 10 cm.

b) Calcula el cateto contiguo en un tri´angulo rect´angulo con un ´angulo de 60^o y cateto opuesto de 20 cm.

3.2. Circunferencia goniom´ etrica

En una circunferencia de radio uno con su centro en el origen 0 = (0, 0) de un sistema de coordenadas cartesiano. Los ´angulos se sit´uan en la circunferencia del siguiente modo:

• Su v´ertice, en el centro.

• Uno de los lados, coincidiendo con el semieje positivo del eje OX.

• El otro lado, donde corresponda, abri´endose el ´angulo en el sentido opuesto a las agujas del reloj.

Se utiliza con el fin de poder estudiar f´acilmente las razones trigonom´etricas y funciones trigo- nom´etricas, mediante la representaci´on de tri´angulos rect´angulos auxiliar.

• Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad del primer cuadrante, entonces x e y son las longitudes de los catetos de un tri´angulo rect´angulo cuya hipotenusa tiene longitud 1. Aplicando el teorema de Pit´agoras, x e y satisfacen la ecuaci´on:

x²+ y² = 1 = radio = hipotenusa

Ejemplo 3. Con ayuda de la circunferencia goniom´etrica, podemos obtener de manera exacta las razones trigonom´etricas de algunos ´angulos (los m´as usuales) del primer cuadrante.

A continuaci´on, encontraremos los valores de sen 30^o, sen 60^o, cos 30^o y cos 60. Lo haremos con la ayuda de un tri´angulo equil´atero de lado 1 u.

Para el ´angulo de 60^o:

sen 60^o=

√3 2 1 =

√3

2 cosec 60^o= 1

√3 2

= 2√ 3 3

cos 60^o= 1 2 1 = 1

2 sec 60^o= 1

1 2

= 2

tg 60^o=

√3 2 1 2

= √

3 cotg 60^o = 1

√3

Para el ´angulo de 30^o:

sen 30^o=

√1 2 1 =

√1

2 cosec 30^o= 1

√1 2

= 2

cos 30^o=

√3 2 1 =

√3

2 sec 30^o= 1

√3 2

= 2√ 3 3

tg 30^o= 1

√3 =

√3

3 cotg 30^o =

√3 2 1 2

= √ 3

Ejercicio 4. Halla, de manera an´aloga, las razones trigonom´etricas de un ´angulo de 45^o. (In- dicaci´on: utiliza un tri´angulo rect´angulo e is´osceles).

3.2.1. Signo de las razones trigonom´etricas

Si hacemos la correspondencia de ´angulo-punto de la circunferencia, podemos deducir el signo de las razones trigonom´etricas del ´angulo, sin m´as que identificar el cuadrante en el que se encuentra dicho punto.

Ejercicio 5.

1. Indica el signo que tienen las razones trigonom´etricas de los siguientes ´angulos, identifi- cando el cuadrante en el que se encuentran:

a) 66^o b) 175^o c) 342^o d) −18^o e) 1215^o f ) −120^o 2. Si cos α = √

2, ¿qu´e podemos decir del ´angulo α?

3.2.2. Reducci´on de ´angulos al primer cuadrante

Angulos complementarios −→ α y 90´ ^o− α Angulos que difieren en 180´ ^o −→ 180^o+ α

Angulos suplementarios −→ α y 180´ ^o− α Angulos opuestos −→ α y −α´

Angulos que difieren en 90´ ^o −→ α y 90^o+ α

Ejercicio 6. Halla, sin usar la calculadora, las razones trigonom´etricas de los ´angulos siguien- tes:

a) −120^o d) 315^o b) 135^o e) −150^o c) 300^o f ) 2025

3.2.3. Reducci´on de ´angulos al primer giro

Como cualquier ´angulo α ≡ α + 360^o · n, las razones trigonom´etricas del ´angulo α + 360^o · n coinciden con las de α.

Ejemplo 4. Calcula el equivalente en el primer giro, del ´angulo 2 797^o

Para reducir al primer giro, el ´angulo 2 797^o, se realiza la divisi´on 2797^o : 360^o

=⇒ 2797^o = 360^o· 7 + 277^o

La razones trigonom´etricas de 2 797^o coinciden con las de 277^o ∈ [0, 360^o].

Ejercicio 7.

1. Reduce al primer giro los siguientes ´angulos como suma de un n´umero entero de vueltas y un ´angulo menor de 360^o:

a) 720^o c) 900^o b) 3000^o d) 7245^o

2. Expresa los siguientes ´angulos, expres´andolos como suma de un n´umero entero de vueltas y un ´angulo menor de 2πrad:

a) 13π

4 rad c) 60πrad b) 65π

4 rad d) 25π 2 rad

4. Relaciones entre las razones trigonom´ etricas

A veces se necesita obtener el valor de una raz´on trigonom´etrica de un ´angulo conociendo otra de sus razones. Por ello, es conveniente contar con expresiones que relacionen entre s´ı las razones de un ´angulo dado. Estas relaciones se pueden deducir de las propiedades de los tri´angulos rect´angulos. En la figura se representa en la circunferencia goniom´etrica un ´angulo α y sus razones trigonom´etricas.

• Aplicando el teorema de Pit´agoras al tri´angulo rect´angulo 4BOA se obtiene la F´ormula Funda- mental de la Trigonometr´ıa: sen²α + cos²α = 1² =⇒ sen²α + cos²α = 1

• Aplicando el teorema de Tales a los tri´angulos se- mejantes 4BOA y 4QOP se obtiene la relaci´on:

AB

OB = P Q

OQ =⇒ sen α

cos α = tg α

1 =⇒ tg α = sen α cos α

• Si dividimos los dos miembros de la primera rela- ci´on por cos²α, se obtiene:

sen²α + cos²α = 1 =⇒ sen²α

cos²α + cos²α

cos²α = 1 cos²α

=⇒ 1 + tg²α = sec²α

• An´alogamente, dividi´endolos por sen²α, se obtiene:

sen²α + cos²α = 1 =⇒ sen²α

sen²α + cos²α

sen²α = 1 sen²α

=⇒ 1 + cotg² α = cosec²α Ejercicio 8.

1. Si el sen α = −2

3 y α es un ´angulo del tercer cuadrante (α ∈ III) hallar el resto de razones trigonom´etricas.

2. Calcular sen α , sabiendo que tg α = 3

2 y que α es un ´angulo del tercer cuadrante (α ∈ III).

3. Calcular α sabiendo que sen α = 1

2 y 90^o < α < 270^o

4. Calcula las restantes razones trigonom´etricas, sabiendo que:

a) cos α = 4

5 y 0^o < α < 90^o c) sen α = 3

5 y 90^o < α < 180^o b) cotg α = 2 y 90^o < α < 180^o d) sec α = 1 y 270^o < α < 360^o 5. Si tg α = 3

4 y α ∈ I, halla razonadamente las siguientes razones trigonom´etricas:

a) tg (90^o− α) c) tg 3π 2 − α



b) tg (π − alpha) d) senπ 2 + α

6. Sabiendo que sen α = 0, 4, halla razonadamente las siguientes razones trigonom´etricas:

a) sen (90^o− α) c) tg 3π 2 − α



b) cos (π − α) d) sen

π 2 + α



7. ¿Cu´anto vale el coseno del ´angulo cuyo seno es igual a su tangente?

4.1. Simplificar expresiones trigonom´ etricas

Usando las relaciones entre las razones trigonom´etricas tenemos que ser capaces de escribir de manera m´as sencilla las expresiones que tengamos, intentando que aparezcan la menor cantidad de razones trigonom´etricas.

Ejemplo 5. Simplifica sen α · 1 tg α sen α · 1

tg α = sen α

tg α = sen α sen α cos α

= sen α · cos α

sen α = cos α

Ejercicio 9. Simplifica las siguientes expresiones:

a) cos²α

1 − sen α (Sol. 1 + sen α) d) (1 − cos x)(1 + cos x)

sen x (Sol. sen x) b) sen³α + sen α · cos²α (Sol. sen α) e) cos x − cos³x

sen x − sen³x (Sol. tg x) c) 1

cos x − cos x − tg²x cos x (Sol. 0) f ) (1 + cos x)²− 2(1 + cos x) + sen²x (Sol. 0)

4.2. Demostraci´ on de igualdades trigonom´ etricas

Para demostrar que una igualdad es cierta para cualquier ´angulo hay que utilizar las f´ormulas conocidas y seguir una de las siguientes estrategias:

• Desarrollar uno de los miembros hasta conseguir llegar al otro. Normalmente se hace con el m´as grande.

• Desarrollar ambos miembros hasta conseguir la misma expresi´on.

• Cambiar la igualdad por otra equivalente m´as sencilla o que se sepa ya que es cierta. Se hace despejando o utilizando f´ormulas conocidas.

Ejercicio 10. Demuestra las siguientes identidades:

a) sen α · 1

tg α = cos α b) cos²α

1 − sen²α = 1 c) cosec α

1 + cot²α = sen α d) sen³α + sen α cos²α = sen α e) sen α cos α



tg α + 1 tg α



= 1 f ) sen⁴α − cos⁴α = sen²α − cos²α g) cos²α − sen²α

cos⁴α − sen⁴α = 1 h) cos²α − sen²α sen²α − cos²α = −1 i) sen²α = 1

1 + cot²α j) (sen α + cos α)² = 1 + 2 tg α cos²α k) tg²α − sen²α = tg²α sen²α l) cos α + sen α = 1 + tg α

sec α m) sen α + cotg α

tg α + cosec α = cos α n) sec²α + cos²α

sec²α − cos²α = 1 + cos⁴α 1 − cos⁴α

Ejercicio 11. Demuestra que son ciertas las siguientes igualdades, para cualesquiera valores de los ´angulos que en ellas aparecen:

a) sec²α + cosec²α = sec²α · cosec²α d) sen α · cos α

cos²α − sen²α = tg α 1 − tg²α b) tg α + cot α = sec α · cosec α e) cot²α − cos²α = cot²α · cos²α

c) sen²α − cos²β = sen²β − cos²α f ) sen α · cos α · tg α · cotg α · sec α · cosec α = 1 Ejercicio 12. Demuestra que cualquiera que sea el ´angulo α se verifica la siguiente relaci´on:

tg α

1 − tg²α = sen α · cos α cos²α − sen²α

4.3. Resolver ecuaciones trigonom´ etricas sencillas

Ecuaciones trigonom´etricas son aquellas en las que aparecen las razones trigonom´etricas ac- tuando sobre un ´angulo que es la inc´ognita, y que hay que despejar. El valor de la inc´ognita puede darse en grados o radianes. Debemos comprobar las soluciones, por si nos aparece “alguna extra˜na” (no ser´ıa soluci´on).

Para resolver ecuaciones trigonom´etricas la ecuaci´on hay que transformarla en otra, de manera que obtengamos una sola raz´on trigonom´etrica (seno, coseno, tangente,...) de un ´unico

´

angulo, igualada a un n´umero. De ah´ı se deduce el valor del ´angulo.

Para ello si hay m´as de una raz´on trigonom´etrica, hay que conseguir una ´unica raz´on, usando las f´ormulas trigonom´etricas conocidas.

Habitualmente, tienen infinitas soluciones: todas las que se encuentren en la primera vuelta a la circunferencia, m´as, vueltas completas , que se indican sumando m´ultiplos de 360^o(+360^ok, k ∈ N, si respondemos en grados) o m´ultiplos de 2π ( +2πk, k ∈ N, si respondemos en radianes).

Suele ser suficiente con dar la soluci´on en [0^o, 360^o].

De ahora en adelante, la siguiente tabla nos ser´a de gran ayuda. Lejos de memorizarla, lo mejor es entender c´omo se construye utilizando la ra´ız cuadrada.

0^o = 0 rad 30^o = π/6 rad 45^o = π/4 rad 60^o = π/3 rad 90^o = π/2 rad sen √

0/2 = 0 √

1/2 = 1/2 √

2/2 √

3/2 √

4/2 = 1 cos √

4/2 = 1 √

3/2 √

2/2 √

1/2 = 1/2 √

0/2 = 0 tg 0/1 = 0 1/2

√3/2 =√ 3/3

√2/2

√2/2 = 1

√3/2 1/2 =√

3 ∞

Ejercicio 13. Partiendo de la circunferencia goniom´etrica, ¿puedes acotar las funciones seno y coseno?

Ejemplo 6. Resuelve las siguientes ecuaciones:

1. cos x = −1 2

Puesto que ya tenemos el coseno despejado, lo primero es averiguar qu´e ´angulo α ∈ I satisface cos α = 1

2.

Buscamos en nuestra tabla y encontramos que: α = 60^o = π/3. Ahora bien, si cos x ≤ 0 =⇒ x ∈ II, o x ∈ III. Puesto que se trata de buscar todas las soluciones posibles (de eso se trata cuando resolvemos una ecuaci´on), tomaremos primero x ∈ II y despu´es x ∈ III.

cos x = −1 2 =⇒







x ∈ II =⇒ x = π − π/3 = 2π/3 + 2πk

x ∈ III =⇒ x = π + π/3 = 4π/3 + 2πk con k ∈ Z 2. sen 2x = cos 60^o.

Como sen (90^o− α) = cos α y cos (90^o− α) = sen α, podemos tomar el que m´as nos interese. En este caso, podemos tomar 60^o = 90^o− 30^o y luego

cos 60^o = cos (90^o− 30^o) = sen 30^o = sen 2x =⇒ 2x = 30^o+ 360k

=⇒ x = 15^o+ 180^ok = π/12 + πk rad

Aunque parece que hemos encontrado la soluci´on, debemos preguntarnos si es posible que estemos pasando algo por alto. ¿C´omo podemos manipular sen 30^o para obtener m´as soluciones? Es decir, ¿podemos encontrar un ´angulo, que no est´e en el primer cuadrante, que cumpla sen α = sen 30^o? Es evidente que, si existe otro, ser´a en el segundo. Probemos:

sen 30^o = sen (180^o− 30^o) = sen 150^o = sen 2x =⇒ 2x = 150 + 360^ok

=⇒ x = 75^o+ 180^ok = 5π/12 + πk rad 3. cos²x − 3 sen²x = 0.

Puesto que aparece cos²x y sen²x, podemos usar sen²x + cos²x = 1 y despejar el que m´as nos interese. Por ejemplo, sen²x = 1 − cos²x. Si sustituimos en la ecuaci´on:

cos²x − 3sen²x = 0 =⇒ cos²x − 3(1 − cos²x) = 0 =⇒ 4 cos²x = 3 =⇒ cos x = 3 4

=⇒ cos x = ±

√3 2 =⇒



















cos x =√

3/2 =⇒ x₁ = ( 30^o+ 360^ok = π/6 + 2πk rad 330^o+ 360^ok = 11π/6 + 2πk rad

cos x = −√

3/2 =⇒ x₂ = ( 150^o+ 360^ok = 5π/6 + 2πk rad 210^o+ 360^ok = 7π/6 + 2πk rad

Si nos fijamos en la imagen, vemos que los ´angulos 30^o + 360^ok y 210^o + 360^ok est´an separados un ´angulo de 180 grados o π radianes. Luego, estas dos soluciones se pueden unir en una, quedando:

x₁ = 30^o+ 180^ok = π/6 + πk rad

Pasa lo mismo con la soluciones 150^o+360^ok y 330^o+360^ok. Podemos unirlas de la misma manera, quedando:

Ejercicio 14. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonom´etricas:

a) sen²x − cos²x = 1

2 Sol. ( 60^o+ 180^ok = 5π/3 + πk rad 120^o+ 180^ok = 2π/3 + πk rad

b) 2 tg x − 3 cotg x − 1 = 0 Sol. ( 56, 3^o+ 180^ok = 0, 313π + πk rad 135^o+ 180^ok = 3π/4 + πk rad c) sen²x + cos x = 1 Sol. ( 90^o+ 180^ok = π/2 + πk rad

0^o+ 180^ok = πk rad d) 2 sen x =√

3 Sol. ( 60^o+ 360^ok = π/3 + 2πk rad 120^o+ 360^ok = 2π/3 + 2πk rad

e) 2 cos²x + sen x = 1 Sol.











90^o+ 180^ok = π/2 + πk rad

( 210^o+ 360^ok = 7π/6 + 2πk rad 330^o+ 360^ok = 11π/6 + 2πk rad f ) 2 cos²x − sen²x + 1 = 0 Sol. ( 90^o+ 180^ok = π/2 + πk rad

· · · · g) tg²x − tg x = 0 Sol. ( 180^ok = πk rad

45^o+ 180^ok = π/4 + πk rad

h) cos²x − sen²x + 5 cos x + 3 = 0 Sol. ( 120^o+ 360^ok = 2π/3 + 2πk rad 240^o+ 360^ok = 4π/3 + 2πk rad

5. Resolver tri´ angulos rect´ angulos

Resolver un tri´angulo es hallar uno o m´as elementos desconocidos a partir de los elementos (lados y ´angulos) conocidos. Un tri´angulo rect´angulo cumple el teorema de Pit´agoras y siempre conocemos un ´angulo (el recto).

Las preguntas clave para resolver un tri´angulo:

• ¿Cu´ales son los datos?

• ¿Cu´al es el elemento desconocido?

• ¿Qu´e raz´on trigonom´etrica relaciona los elementos conocidos y desconocidos?

Ejercicio 15. Resuelve los siguientes tri´angulos rect´angulos, sabiendo:

a) La hipotenusa mide 8 cm y el ´angulo A = 47^o b) Los catetos b = 9, 3 cm y a = 4, 1 cm

c) La hipotenusa mide 6, 4 cm y el cateto b = 3, 8 cm d) Un cateto b = 10, 5 cm y el ´angulo B = 60^o

6. Resolver tri´ angulos cualesquiera

Existen unas f´ormulas que nos permiten resolver directamente tri´angulos cualesquiera, sin ne- cesidad de utilizar la estrategia de la altura para descomponerlos en dos tri´angulos rect´angulos.

A continuaci´on os enunciamos, dos teoremas, a modo de herramienta, para resolver tri´angulos que no podamos resolver mediante las herramientas b´asicas que nos proporcionan las razones trigonom´etricas.

6.1. Teorema del seno

En cualquier tri´angulo de ´angulos bA, bB y bC y lados a, b y c se cumple que:

a

sen bA = b

sen bB = c sen bC

¿Cu´ando podemos hacer uso del Teorema del seno? Cuando tengamos la situaci´on de la imagen, ya sea porque directamente nos piden resolver el tri´angulo, o porque sea el escenario de un problema en el que nos pidan calcular una distancia o un ´angulo.

6.2. Teorema del coseno

En cualquier tri´angulo de ´angulos bA, bB y bC y lados a, b y c se cumple que:

a² = b²+ c² − 2bc · cos bA b² = a²+ c² − 2ac · cos bB c² = a²+ b² − 2ab · cos bC

¿Cu´ando usaremos la herramienta que nos proporciona el Teorema del coseno? Si nos fijamos en la primera de las tres identidades, por ejemplo, vemos que, dados los tres lados, a, b y c, podemos sacar el ´angulo bA. De la misma manera podemos obtener el ´angulo bB. Para bC, hacemos uso de bA + bB + bC = 180^o.

Siempre que no podamos hacer uso del Teorema del seno, nos debemos preguntar si, el Teorema del coseno nos puede servir para resolver el tri´angulo o el problema de trigonometr´ıa.

7. Ejercicios del tema

1. Demuestra que son ciertas las siguientes igualdades, para cualesquiera valores de los ´angu- los que en ellas aparecen:

a) 1 + tg²α

cotg α = tg α

cos²α e) cos α

cos α − sen α = cos α(cos α − sen α) 1 − 2 sen α cos α b) 1 − sen α

cos α = cos α

1 + sen α f ) sen²α − cos²α = sen⁴α − cos⁴α c) tg α

1 + sec α − tg α

1 − sec α = 2

sen α g) cosec α − sen α

cot α − cot α cosec α = 0 d) sen α + cos α tg α

cos α = 2 tg α h) cos α − sen α

cos α = 1 − 2 sen α cos α cos α(cos α − sen α) 2. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonom´etricas:

a) sen 2x =

√3

2 b) cos 3x = 1

2 c) tgx

4



= 1 d) cos x = −

√3

e) cos 3x = sen 30^o f ) cos²x − sen2²x = sen x g) sen²x − cos²x = 1

2 h) sen x + cos²x = 5 4 i) tg x = 2 sen x j) cos x = −3

2 k) sen 3x = −1

2 l) cos²x − 3 sen²x = 0

m) tg²x − 3 tg x + 2 = 0 n) cos²x − sen²x + 5 cos x + 3 = 1

˜

n) sen x − 1

sen x = − 1 2√

3 o) tg xsec x =√ 2 p) cos (4x − π) = −1

2 q) sen x + 2 = 3 cos²x − sen²x

7.1. Problemas de tri´ angulos graduados de menor a mayor dificultad

1. Si tu sombra es la mitad de tu altura, ¿qu´e ´angulo forman los rayos de Sol con el horizonte?

[Soluci´on: 63, 46^o]

2. Queremos fijar un poste de 3, 5 m de altura, con un cable que va desde el extremo superior del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ´angulo de 40^◦.

a) ¿A qu´e distancia del poste sujetaremos el cable?

[Soluci´on: 4, 17 m]

b) ¿Cu´al es la longitud del cable?

[Soluci´on: 5, 45 m]

3. Los lados de un romboide miden 12 y 20 cm, respectivamente, y forman un ´angulo de 60^◦. ¿Cu´anto mide su altura? ¿Y su ´area?

[Soluci´on : alura = 10, 39 m y ´area = 207, 85 cm²]

4. Dado un trapecio is´osceles de base mayor 27 cm, base menor 18 cm y altura 18 cm.

Calcula el ´angulo que forma el lado oblicuo con la base mayor.

[Soluci´on: 75, 96^o]

5. Calcula el ´area de un pent´agono regular de 15 m de lado.

[Soluci´on: 387 m]

6. En una circunferencia de 9 cm de radio inscribimos y circunscribrimos sendos hex´agonos regulares. Calcula el ´area de la superficie comprendida entre ellos.

[Soluci´on: 32, 67 m]

7. El ´angulo de elevaci´on de una cometa sujeta con una cuerda de longitud 80 m es α = 30^o. El viento tensa la cuerda y la hace chocar con otra cometa cuyo ´angulo de elevaci´on es B = 60^o.

a) ¿Cu´al es la altura de las cometas en ese instante?

[Soluci´on: 40 m]

b) ¿Y la longitud de la cuerda que sujeta la segunda cometa?

[Soluci´on: 46, 19 m]

8. Desde el lugar donde me encuentro, la visual a la torre de una Iglesia forma un ´angulo de 52^o con la horizontal. Si me alejo 25 m m´as de la torre, el ´angulo es de 34^o. ¿Cu´al es la altura de la torre?

[Soluci´on: 35, 64 m]

9. Desde el lugar donde me encuentro la visual de una torre forma un ´angulo de 32^o con la horizontal. Si me acerco 15 m, el ´angulo es de 50^o. ¿Cu´al es la altura de la torre?

[Soluci´on: 19, 70 m]

10. Pablo y Luis est´an situados cada uno a un lado de un ´arbol, como indica la figura:

a) Calcula la altura del ´arbol.

[Soluci´on: 3, 09 m]

b) ¿A qu´e distancia est´a Pablo del ´arbol?

[Soluci´on: 3, 09 m]

11. Se desea calcular la altura de una torre de televisi´on. Para ello se hacen dos observaciones desde los puntos A y B, obteniendo como ´angulos de elevaci´on 60^o y 45^o respectivamente.

Sabiendo que la distancia AB es de 126 m y que la torre est´a situada entre los dos puntos, halla la altura de la torre.

[Soluci´on: 79, 88 m]

12. Dos edificios distan entre si 150 m. Desde un punto que est´a entre los dos edificios, vemos que las visuales a los puntos m´as altos de estos forman con la horizontal ´angulos de 35^o y 20^o. ¿Cu´al es la altura de los edificios, si sabemos que los dos miden lo mismo?

[Soluci´on: 98, 7 m]

13. Una escultura est´a colocada sobre un pedestal de 1, 5 m de altura. Desde un punto del suelo se ve la escultura bajo un ´angulo de 42^o y el pedestal bajo un ´angulo de 18^o. Calcula la altura de la escultura.

[Soluci´on: 2, 66 m]

14. Calcula el ´area de un rombo en funci´on del lado y de uno de sus ´angulos agudos.

7.2. Problemas de tri´ angulos rect´ angulos y no rect´ angulos

1. Calcula los ´angulos de un trapecio is´osceles cuyas bases miden 830 cm y 512 cm, y la altura 614 cm.

[Soluci´on: 75^o28⁰54⁰⁰ y 104^o31⁰5⁰⁰]

2. Resuelve un dec´agono regular cuyo radio mide 6⁰4 m.

3. Calcula el ´area de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ´angulo de 70^o.

[Soluci´on: 4886, 4 m²]

4. Calcula el ´area de un tri´angulo is´osceles del que se sabe que el lado desigual mide 4 m y el ´angulo desigual 45^o.

[Soluci´on: 9, 66 m²]

5. Sabiendo que dos lados consecutivos de un paralelogramo miden 4 cm y 6 cm y que forman un ´angulo de 45^o, halla su ´area. [Soluci´on: 16, 97 cm²]

6. La diagonal de un pent´agono regular mide 32 cm. ¿Cu´al es el radio de la circunferencia circunscrita.

[Soluci´on: 16, 82 cm]

7. Halla la diagonal de un pent´agono regular cuyo lado mide 63 cm.

[Soluci´on: 101, 94 cm]

8. En dos estaciones de radio, A y C, que distan entre s´ı 50 km, son recibidas se˜nales que manda un barco, B. Si consideramos el tri´angulo de v´ertices A, B y C, el ´angulo en A es de 65^o y el ´angulo en C es de 80^o ¿A qu´e distancia se encuentra el barco de cada una de las dos estaciones de radio?

[Soluci´on: a C 79 Km y a A 85, 84 km]

9. Halla la base de un tri´angulo is´osceles cuya altura mide 2√

2 cm, siendo el ´angulo opuesto a la base de 30^o. Calcula tambi´en el ´area.

[Soluci´on: Base = 1, 83 cm y ´Area = 3, 12 cm²]

10. Dos de los lados, a y b, de una finca de forma triangular miden 20 m y 15 m, respecti- vamente. El ´angulo comprendido entre estos dos lados es de 70^o. Si dese´aramos vallar la finca, ¿cu´antos metros de valla necesitar´ıamos?

[Soluci´on: 55, 49 m]

11. Las diagonales de un romboide miden 10 cm y 12 cm, y el ´angulo que forman es de 48^o15⁰. Calcula la medida de los lados:

[Soluci´on: 4, 59 cm y 10, 05 m]

12. Un foco sujeto en lo alto de un edificio ilumina una zona de la calle de 7 m de anchura bajo un ´angulo de 30^o. El rayo de luz m´as pr´oximo al muro forma con este un ´angulo de 10^o. Calcula la altura del edificio.

[Soluci´on: 10, 56 m]

13. Si el ´angulo A de un tri´angulo mide 45^o y el B mide

60^o, calcula la longitud del lado b, sabiendo que la del lado a, es 16

√6 cm.

[Soluci´on: 8 cm]

14. Calcula la distancia del punto A al punto inaccesible C, al otro lado del r´ıo.

[Soluci´on: 177, 07 m]