Tensor de inercia. Tensor de inercia. I pzx. I pxx. I pxy. = I pyz. I pxz. I. Leyes de Newton. II. Cinemática

(1)

44

Tensor de inercia

Momentos de inercia:

( )

( ) ^⎥

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

+

−

− +

−

− +

=

∫

Ω Ω

Ω

Ω Ω

Ω

Ω Ω

Ω

pZZ pYZ pXZ

pZY pYY

pXY

pZX pYX

pXX

pXYZ

I I I

I I

I

I I

I

dm Y X dm

YZ dm

XZ

dm ZY dm

Z X dm

XY

dm ZX dm

YX dm

Z Y

2 2 2

2 2

2

I

(Siempre positivos)

I

pYY

I

pXX

I

pZZ

Productos de inercia:

I

_pYX

I

pXY

I

pZX

I

pXZ

I

pYZ

I

pZY

Propiedades del tensor de inercia:

1- El valor de las componentes del tensor de inercia depende de la ubicación y orientación del sistema de coordenadas usado para expresarlo

2- El tensor de inercia es simétrico

I

_pXYZ

= I

^T_pXYZ

I

_pXZ

= I

_pZX

pYX

pXY

I

I =

pZY

pYZ

I

I =

3- Los momentos de inercia nunca son negativos

I. Leyes de Newton

II. Cinemática III. Dinámica

Sist. de partículas Cuerpo rígido

Definiciones 1

^ra

ley 2

^da

ley

Tensor de inercia 3

^ra

ley

Ecs. de Lagrange Choque

Universidad Simón Bolívar

MC-2431 Dinámica I & II Euro Casanova, 2011

Tensor de inercia

Para todo valor de Y existe un diferencial de masa con X positiva y una imagen de ese diferencial con X negativa, por lo tanto:

4- Si un cuerpo admite un eje de simetría material y geométrico, entonces los productos de inercia asociados a ese eje son nulos

= 0

=

_pZY

pXY

I

I Z

X

Y

X Z

− x x

= 0

= ∫

Ω

dm XY I

_pXY

5- Si un cuerpo admite un plano de simetría material y geométrico, entonces los productos de inercia asociados al eje normal de ese plano son nulos

Z

X Y

= 0

=

_pYZ

pXZ

I

Para todo diferencial de masa con Z positiva existe una imagen de ese diferencial con Z negativa, por lo tanto:

= 0

= ∫

∫ ^XZ ^dm ^YZ ^dm

I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica

Sist. de partículas Cuerpo rígido

Definiciones 1

^ra

ley 2

^da

ley

Tensor de inercia 3

^ra

ley

Ecs. de Lagrange

Choque

(2)

46 Conocida la inercia en el centro de

masas ( ) , se desea calcular la inercia en el punto p ( )

Tensor de inercia

6- Cálculo de la inercia en un sistema de referencia paralelo (Teorema de los ejes paralelos o Teorema de Steiner ).

x y

z o

dm

Ω R r

Z

X

p

Y

c

Y

Z

X

R r

c

ρ ^r

ρ ^r r r = R

_c

+ R

x

X

c

X = + ρ

y

Y

c

Y = + ρ

z

Z

c

Z = + ρ

( ) ( ( ) ( ) )

( ) ( )

(

² ²

)

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2

c c cXX

z y z

c y

c c

c

z y z

c y

c c

c

z c y c pXX

Z Y M I

dm dm

Z dm Y

dm Z Y

dm dm

Z dm Y dm Z Y

dm Z

Y dm Z Y I

+ +

=

+ + +

+ +

=

+ + +

+ +

=

+ + +

= +

=

∫

Ω Ω

ρ ρ ρ

ρ

ρ ρ ρ

ρ

ρ ρ

(

c² c²

)

cYY

pYY

I M X Z

I = + +

(

c² c²

)

cZZ

pZZ

I M X Y

I = + +

I

pXYZ

I

cXYZ

I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica

Sist. de partículas Cuerpo rígido

Definiciones 1

^ra

ley 2

^da

ley

Tensor de inercia 3

^ra

ley

Ecs. de Lagrange Choque

47 Universidad Simón Bolívar

Tensor de inercia

( )( )

[ ]

c c cXZ

z x z

c x

c c

c

z x z

c x

c c

c

z c x c pXZ

Z MX I

dm dm

X dm Z

dm Z X

dm dm

X dm Z dm Z X

dm Z

X dm XZ I

+

=

+ +

+

=

+ +

+

=

+ +

=

∫

Ω Ω

ρ ρ ρ

ρ

ρ ρ ρ

ρ

ρ ρ

c c cXY

pXY

I MX Y

I = +

c c cYZ

pYZ

I MY Z

I = +

pXYZ c cXYZ

pXYZ

I I

/

I = +

( )

( ) ^⎥ ^⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

+

−

− +

−

− +

=

2 2 2 2 2 2

/

c c c c c

c

c c c c c c

c c c

c c

c pXYZ

c

Y X Y Z X

Z

Z Y Z

X X Y

Z X Y

X Z

Y M I

Note que los valores mínimos de los momentos de inercia se obtienen para el centro de masas del cuerpo. En cualquier otro punto del cuerpo, los momentos de inercia son mayores, lo que implica que respecto al centro de masas el cuerpo ofrece la menor resistencia a la rotación !

I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica

Sist. de partículas Cuerpo rígido

Definiciones 1

^ra

ley 2

^da

ley

Tensor de inercia 3

^ra

ley

Ecs. de Lagrange

Choque

(3)

48

Tensor de inercia

7- Cálculo de la inercia en un sistema de referencia con orientación diferente (Expresión del tensor de inercia en una base diferente).

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

′

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

⎪ =

⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

k j i

ˆ ˆ ˆ

) cos(

ˆ ˆ ˆ

33 32

31

23 22

21

13 12

11

θ θ

θ

θ θ

θ

θ θ

θ

Conocida la inercia en el sistema de referencia pXYZ ( ), se desea calcular la inercia en el sistema pX’Y’Z’ ( )

I

_p_X_′_Y_′_Z^pXYZ_′

I

Ω Z

X

Y

p

θ11

Z ′

X ′

Y ′

θ12

θ13

θ

ij ángulo entre el eje i de la base pXYZ y el eje j de la base pX’Y’Z’ (medido en el plano que forman los ejes i y j)

A r A′ r

vector expresado en la base pXYZ vector expresado en la base pX’Y’Z’

A A r = r ′

L A A r

^T

r

= L

′ k j

i

i ˆ = cos( ) ˆ ′ + cos( ) ˆ ′ + cos( ) ˆ ′

13 12

11

θ θ

θ

Definiendo los ángulos entre los ejes de ambas bases se puede escribir:

L

Matriz de rotación formada por los cosenos directores.

Es una matriz “ortogonal”

L

T

L

⁻¹

= L

Un vector puede expresarse en una u otra base usando las expresiones:

ω ^r r

pXYZ

H

p

= I

ω ′

′ = r

r I L

L H

_p _pXYZ

I

_p_X_Y_′_′_Z_′

= L

^T

I

_pXYZ

L

( ) ^ω ^′

′ = r

r

_p

L

^T

I

_pXYZ

L H

base pXYZ

base pX’Y’Z’

I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica

Sist. de partículas Cuerpo rígido

Definiciones 1

^ra

ley 2

^da

ley

Tensor de inercia 3

^ra

ley

Ecs. de Lagrange Choque

Tensor de inercia

8- Cálculo de los ejes principales de inercia para un punto p del rígido

Ω Z

X

Y

p

3

1 2 ω ^r

r

pXYZ

H

p

= I I. Leyes de Newton

II. Cinemática III. Dinámica

Sist. de partículas Cuerpo rígido

Definiciones 1

^ra

ley 2

^da

ley

Tensor de inercia 3

^ra

ley

Ecs. de Lagrange Choque

Dado que:

¿ Es posible encontrar un sistema de coordenadas con origen en p, en el cual se cumpla que la cantidad angular de movimiento del sistema ( ) tenga la misma dirección y sentido que el vector velocidad angular ( ) ?

H r

p

ω ^r ω

λ ω ^r ^r r

_p

= I

_pXYZ

= I H

[ ^I

pXYZ

⁻ ^λ ^I ] ^ω ^{r =} ⁰ ^r

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1 λ

escalar ,

I

[ ] ⁰

det I

_pXYZ

− I λ = 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

det =

⎟⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

−

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

λ

pZZ pYZ pXZ

pYZ pYY pXY

pXZ pXY pXX

I I I

Problema de autovalores (

λ

) y autovectores ( )

ω ^r

Esta ecuación genera un polinomio cúbico en , cuyas raíces ( ) son los autovalores, llamados momentos principales de inercia ( ).

Cada uno de esos autovalores tiene asociado un autovector ( ). Estos tres autovectores definen los ejes de una base, llamada sistema de coordenadas principales de inercia en el punto p, en la

3 2 1

, λ , λ λ

33 22 11

,

_p

,

_p

p

I I

I

λ

3 2 1

, ω , ω

ω ^r ^r ^r _⎥ ^⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

=

33 22 11

123

0 0

p p p

p

I

(4)

50

Tensor de inercia

8- Principio de superposición

I. Leyes de Newton

II. Cinemática III. Dinámica

Sist. de partículas Cuerpo rígido

Definiciones 1

^ra

ley 2

^da

ley

Tensor de inercia 3

^ra

ley

Ecs. de Lagrange Choque

Si un cuerpo está formado por la unión de 2 o más cuerpos rígidos, su inercia se puede calcular como la suma de las inercias de cada cuerpo respecto al mismo punto p y en el mismo sistema de coordenadas

∑

^Ω

Ω

=

i pXYZ pXYZ

I

i

I

Usando el Teorema de Steiner

3 2

1

Ω Ω

Ω

=

Ω U U

[ ]

∑

^Ω ^Ω

Ω

= +

i

pXYZ c cXYZ pXYZ

i i

I

/

I I

i i i

pXYZ c cXYZ pXYZ

Ω Ω

Ω

= I + I

_/

I Ω

3

Z X

Y

p

Ω

3

Ω

1

Z X

Y

c3

Z X

Y

c2

Z X

Y

c1

51 Universidad Simón Bolívar

Tensor de inercia

Inercia de un cilindro respecto a su centro de masa

I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica

Sist. de partículas Cuerpo rígido

Definiciones 1

^ra

ley 2

^da

ley

Tensor de inercia 3

^ra

ley

Ecs. de Lagrange Choque

Z

X

c

Y R

H

Cilindro de radio R, altura H y densidad uniforme ρ

( ) [ ( ) ]

( )

[ ]

( )

(

² ²

)

3 2 4

2

2 2 4 2

2 2

0

2 2 4

2

2 2

0

2 2 2 4

2

2 2

0 0

2 2

2 2 2

2

12 3 12

4 4

2 2

) 2 cos(

1 4

) 2 4 sin(

) sin(

H M R

H H R R

dz Z

R R

dz d R Z

R

dz d R Z

R

dz d dr r Z r

dv Z r

dm Z Y I

H

H H

H R cXX

+

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

=

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ −

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

=

+

=

+

= +

=

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

−

Ω Ω

ρ π

θ θ ρ

θ ρ θ

ρ θ

π π π

H R

M π

2

ρ =

) sin(

) cos(

θ θ r Y

r X

=

dz d dr r dv = θ

θ X

r Y

(5)

52

Tensor de inercia

I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica

Sist. de partículas Cuerpo rígido

Definiciones 1

^ra

ley 2

^da

ley

Tensor de inercia 3

^ra

ley

Ecs. de Lagrange Choque

( ) [ ( ) ] [ ⁽ ⁾ ]

( )

(

² ²

)

3 2 2 4

2

2 2 4

2

2 2

0

2 2 4

2

2 2

0

2 2 2 4

2

2 2

0 0

2 2 2 2

2 2

12 3 12

4 4

2 2

1 ) 2 cos(

4 ) 2

4 cos(

) cos(

H M R

H H R dz R

Z R R

dz d R Z

dz R d R Z

R

dz d dr r Z r

dv Z r

dm Z X I

H

H H

H

H R cYY

+

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

=

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

=

+

= +

=

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

−

Ω − Ω

ρ π ρ π

θ θ ρ

θ ρ θ

ρ θ

π π

π

( ) [ ( ) ( ) ]

2 2 2

4 ) sin(

) cos(

2 4 2

2 2

0 4

2

2 2

0 0 2 2

2 2 2

MR H R

R dz dz

R d

dz d dr r r dv

r r

dm Y X I

H

H H

H

H R cZZ

=

= +

=

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

−

Ω − Ω

ρ π ρ π θ

ρ

θ ρ ρ

θ θ

π

( ) ( )

( ) ( sin( ) ) 0

) 4 sin(

) 4 cos(

) sin(

) cos(

) sin(

) cos(

2

0 2 4

2

2 2

0 4

2

2 2

0 0 2

=

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

−

Ω − Ω

R dz dz

R d

dz d dr r r

dv r

r dm XY I

H

H H

H

H R cXY

ρ θ θ

θ ρ θ θ ρ

θ θ

π π

π

Tensor de inercia

I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica

Sist. de partículas Cuerpo rígido

Definiciones 1

^ra

ley 2

^da

ley

Tensor de inercia 3

^ra

ley

Ecs. de Lagrange Choque

( ) ( )

0 )

3 sin(

) 3 cos(

) cos(

2

0 3

2

2 2

0 3

2

2 2

0 0

=

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

−

Ω − Ω

R dz dz

R d

dz d dr r Z r

dv Z r

dm XZ I

H

H H

H

H R cXZ

ρ θ θ

ρ θ

θ ρ θ ρ

θ

π π

π

( ) ( )

0 )

3 cos(

) 3 sin(

) sin(

2

0 3

2

2 2

0 3

2

2 2

0 0

=

−

=

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

−

Ω − Ω

R dz dz

R d

dz d dr r Z r

dv Z r

dm XZ I

H

H H

H

H R cYZ

ρ θ θ

ρ θ

θ ρ θ ρ

θ

π π

π

( )

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

+ +

=

2 2 1 2 2 12

1 2 2 12

1

0 0

0 3

0 0 0

3 MR H

R M H R M

I

cXYZ

Z

X

c

Y R

H

(6)

54

Tensor de inercia

Inercia de una barra y un disco

I. Leyes de Newton II. Cinemática III. Dinámica

Sist. de partículas Cuerpo rígido

Definiciones 1

^ra

ley 2

^da

ley

Tensor de inercia 3

^ra

ley

Ecs. de Lagrange Choque

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

=

1 0 0

0 0

2

²

1 2 1

MR

2

I

cXYZ

Inercia de una barra

Inercia de una disco

Una barra ideal es un cilindro de radio nulo (R=0)

Un disco es un cilindro de altura nula (H=0)

( ^{M ,} ^R )

X Y

R Z

c

( M , L )

Barra

X Y

Z

L c

Disco

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

=

0 0 0

0 1 0

0 0 1 12 ML

2

I

cXYZ