Una formulacin para la optimizacin de funciones de membresa en sistemas de control difuso

(1)

ANALES

L.J

de la Universidad Metropolitana

71 Una formulación para la optimización de funciones

de membresía en sistemas de control difuso

PEDRO A. TEPPA G. (1), JosÉ D. LUIS (2) Y JOSÉ J. FERRER S. (3)

(' ) Escuela de Ingeniería Eléctrica. Universidad Metropolitana

Departamento de Procesos y Sistemas. Universidad Simón Bolívar

(2)Grupo de Visión y Robótica. Universidad de Murcia. España

mDepartamento de Procesos y Sistemas. Universidad Simón Bolívar

La asignación de funciones de membresía es un asunto crucial en el dise-ño de controladores difusos. En el presente trabajo se resuelve el proble-ma en cuestión de una proble-manera novedosa; a ese fin, se transforproble-ma un problema de control óptimo en otro de optimización paramétrica, donde los parámetros que intervienen definen la forma de los conjuntos difusos en el sistema de control, la formulación lograda permite sintonizar los mis-mos, a través de la minimización fuera de línea de un funcional vinculado al comportamiento del sistema. Se asume en todo momento que la base de reglas del controlador es fija (invariable) y se dispone de un modelo lineal en variables de estado para la planta o proceso a controlar.

Introducción

Un controlador difuso está basado generalmente en el conocimiento que un experto posee sobre el proceso a controlar, lo que impone que su diseño requiera de una alta dosis de heurística; ahora bien, adicionalmente al conoci-miento del proceso es vital determinar el efecto de las funciones de membresía en el desempeño del controlador. Sin embargo, hasta el presente no se cono-ce un procono-cedimiento sistemático para el diseño de un controlador difuso. Aún más, en los momentos actuales tampoco se conoce un procedimiento de optimización general para la determinación de las funciones de membresía de conjuntos difusos que sea apropiado para cada sistema, por tal razón, la ma-yoría de los ejemplos de sistemas de control difuso, están desviados de su desempeño óptimo. Esta coyuntura obliga a dar respuestas al problema de optimización de conjuntos difusos (asignación de funciones de membresía) en sistemas de control, pues resulta impostergable proponer una metodología que erradique la asignación ad hoc de funciones de membresía. El trabajo actual consigue una formulación precisa del problema, para eso, convierte un problema de control óptimo en otro de optimización paramétrica, donde los parámetros que intervienen son los que definen la forma de los conjuntos difusos a la entrada y salida del controlador. En todo momento se asume que

(2)

L.J

_ANALES

71

se dispone de la base de reglas del controlador difuso y de un modelo mate-mático lineal en variables de estado de la planta o proceso a controlar.

El artículo está organizado de la siguiente manera: inicialmente, se formula el problema general de control óptimo (PGCO) para un sistema genérico per-teneciente a la clase lineal, escalar e invariante en el tiempo representado en variables de estado. Posteriormente, el PGCO es reformulado cuando el con-trolador pertenece a la clase de concon-troladores difusos, adquiriendo en este caso la forma de un problema de optimización paramétrica, donde los parámetros que intervienen son los conjuntos difusos a la entrada y salida del controlador difuso, a este nuevo problema se le denominará problema de optimización de conjuntos difusos (POCD).

Problema General de Control Óptimo

Dado:

(i) La planta

P

descrita por

x(t) = Ax(t) + Bu(t),

(1)

dt

y(t) = Cx(t),

(2)

x(0) = xo,

₍₃₎

donde

y t > O, x(t)

E 91 11 es el vector de estado de la planta

P,

u(t) E

3i es

la entrada (control) de la planta

P,

y(t) E

Tes la salida de la planta

P,

y A, B, C

son matrices reales constantes de dimensiones adecuadas.

(ii) Un índice de desempeño

J(u)

especificado a través de

t

J(u) = JL(x(t), u(t))dt

(4)

o

donde

L :

9in x

11 3 91+

tal que L( • , •) es continua y derivable en los argumentos indicados

(3)

ANALES

7-1

(iii) La señal de referencia r(t) = ro (fija).

Encuentre el controlador E E

E.

(conjunto de controladores causales) que mini- mice el índice de desempeño, esto es:

t f

J(u) = J (E) = f L(x(t), E(z(t), t))dt t o

sujeto a y = P(u),

u = E(z).

En la próxima sección el controlador E pertenecerá a la clase de controladores difusos y será denotado por

F. Sistema de Control Difuso

Topología

Considere el esquema de la Fig. 1. El bloque

F

representa un controlador perteneciente a la clase de controladores difusos. El bloque

P

representa la planta definida a través de las Ec-s (1-3) y finalmente el bloque @ tiene por propósito suministrar al controlador

F,

la entrada vectorial z, a ese fin efectúa la operación matemática de derivación y una concatenación, a través del bloque M, del vector de estado. El sistema de control difuso es un sistema de datos muestreados, por tal razón es necesario incorporar en el esquema, muestreadores y dispositivos de retención (Z.O.H.), Ástriim et al (1997).

Discretización de la planta

Como se destacó, el sistema de control difuso es un sistema de datos muestreados, es por eso que el sistema de control puede analizarse desde dos perspectivas: la de la planta; en este caso todo lo vería continuo y la del controlador, que todo lo ve discreto, nosotros adoptaremos el punto de vista del controlador debido a que el problema que surge, aunque de dimensión infinita, resulta menos complejo que el otro, a ese fin se hace necesaria la discretización de la planta.

Teorema 1. Ástrtim et al (1997). Si la planta

P

es modelada en variables de estado a través de la terna (A, B, C), entonces la discretización de la ecuacion de estado (1)

es:

Minimizar E c E ea

(4)

x)T

z=(e, d/dt{e}, x].. xr,) 1- T _{X = (XI}

e(t) T

d/dt

u F -->

z _ZOH

ANALES

I I de la Universidad Metropolitana

x[(k + 01= e ATx(kT) +

rT feAwdy

Bu(kT)

y la discretización de la ecuación de salida (2) es

y(kT) = Cx(kT)

donde T E

91+

representa el período de muestreo.

Figura 1. Diagrama esquemático del sistema de control difuso.

Descripción del Controlador Difuso

F

Caso general: Suponga un controlador difuso

F

con una entrada x y una saliday tal quey=F(x); cuyos componentes principales se destacan en la Fig. 2. Es posible asociar cada componente del controlador difuso con una trans-formación según se establece en la Fig. 3. Donde 'PF consiste en una colec-ción de conjuntos difusos (valores lingüísticos) Al, i = 1, 2, ..., n. kFF toma la variable de entrada x y determina el grado de membresía que ésta tiene aso-ciado a cada Al , i = 1, 2, ..., n, esto es:

x -->N = [

11

xl , µ x2 , • • ..] (8)

donde 1.1, : U c i —> [0, 1] son las funciones de membresía con U denotando el universo de discurso. La transformación 1 -2 de la base de reglas consiste de un grupo de reglas del tipo IF – THEN que enlazarán los conjuntos difusos de la entrada del controlador (A, i = 1, 2, ..., n) con los de su salida, estos últimos serán denotados como Bi , i = 1, 2, ..., m, entonces:

N –[µxl ,

1-

1

x2' • • •' xn] —3> M yl' I/ y2' • • " yini• (9)

donde 1.151, i = 1, 2, ..., m representan los grados de membresía asociados a cada 13, , i = 1, 2, ..., m. Finalmente, la transformación 1JD produce un valor

r(t) y(t)

(5)

ANALES

L.J

71

numérico y dado por:

Y = 1D (N, M) ,

(1 O)

como puede apreciarse en la Ec. (10) la salida del controlador

F

depende de las funciones de membresía asociadas a los conjuntos difusos de su entrada y de su salida.

Fuzzificador

Entrada

Base de Reglas

Salida

Defuzzificador

Figura 2. Componentes de un Controlador Difuso

kpF

Pn

►

Figura 3. Representación del controlador difuso mediante transformaciones.

Caso particular: Inmediatamente particularizaremos a

F

postulando los si-guientes hechos: (1) la base de reglas Q es dada (inalterable); (2) se asumirán formas lineales para los conjuntos difusos a la entrada y la salida, y (3) se fijará el mecanismo de defuzzification. Considere que el controlador difuso

F,

es de-finido por un conjunto de n F reglas IF-THEN tal que la i-ésima regla tiene la forma:

(6)

m

ANALES

I I I de la Universidad Metropolitana

donde, z : j = 1, . . p, son las entradas del controlador

_F,

_{up. es la salida del}

controlador difuso. TZ;') , TZ(pi) son los valores lingüísticos del antece-

dente de la regla i-ésima y TU(i)es el valor lingüístico de la consecuencia.

Además, z is 171) se interpreta como

(i)

TZ = jp1.1(z)

z

(12)

siendo _{Z el dominio físico de las ent radas z.. No existen restricciones en la}

(i)

definición de las funciones de membresía, „ Tz _{(0 () = TZ « 'd j = 1,...., p, sin}

embargo, con el objeto de disminuir el número de parámetros involucrados en el proceso de optimización se emplearán formas triangulares descritas por un valor pico a. j y _{un soporte f3 j en el dominio Z. tal cual ilustra la Fig. 4.}

a" lj

•

Pi‘j

Figura 4. Conjunto difuso triangular

La función de membresía es modelada como:

(i) 2. z i• -a • (i) _{Tz ; =1}

1 j

, _{i =1,}_{2, ...,}_nF ₌_{1,...., p,} ₍₁₃₎ (3

11 TZ

114

(7)

ANALES

de la Universidad Metropolitana r

1

Y en el caso de los conjuntos difusos localizados en los extremos izquier-do y derecho del intervalo definiizquier-do por el izquier-dominio Z se usarán L(zi ;ocii p, j) y

r(zi ;

cchi (3,), definidas de la manera siguiente:

Definición 1. La función F: U —) [0,1] es una función con dos parámetros

(a, (3)

definida como:

(14)

O; u < a,

u-

a

a u p,

P -

a

1; u >

p.

F(u; a, (3)

Definición 2. La función L:U ---> [0,1] es una función con dos parámetros

(a,

(3)

definida como:

L(u; a, (3) =

1; u < a,

- u

a u P,

(15)

13 - a

O; u > P.

La función de membresía de la salida del controlador difuso, u y es modela-da como un singleton Driankov et al (1996), esto es:

(i)

11 Tu =TU

=1/u F ; i=

1,. .,nF .

(16)

Proposición 1. Un controlador difuso

F,

tal que:

(i) Su base de reglas 52 es dada y consta de

nF

reglas IF — THEN siendo la i-ésima

IF _{z 1 is TZ (1) and} z is TZ (i) THEN uF is TU (1) donde: j = 1, .

p,

son las entradas del controlador

F, uF

es la salida del controlador

F, TZ') , .

,

TZ

(i)

son los valores lingüísticos del antecedente, y

TI.P')

es el valor lingüístico de

(8)

71 ANALE S

(ii) La función de membresía

(Z j

(i

Z ) = TZ j vi = 1..., p, se define como:

T

(i)

(z ) = TZ j =

2

J •1 , J

si z.

no está al inicio o al final

del dominio Z j

(b) L(z ; a ,

si z está al inicio del dominio Z j

(c)

si z está al final del dominio Z j (a ) 1

con i =1, 2, ... , nF ; _{y los parámetros a ii ,}

pii

_{tal cual se ha discutido Ec. (13, 14,} 15).

(iii) La función membresía de la salida es tipo singleton definida como:

„ (i)

r' TU TU =1/uF

; i = 1,

2, ... , nF

(iv) Se emplea composición max — product. Driankov et al (1996), Lee (1990) (y) _{Se utiliza como mecanismo de defuzzification el centro del área}_{Driankov et al} (1996), Lee (1990).

Entonces, la salida no difusa u, puede representarse mediante

ATx

u = F(z) = ATe

(1 7)

(9)

n F

i=1

U = =1

n F

IMi

1=1

u

F.

=F(z)

ñ

_{11 (}

ii?z . Gi ) j=1 J

nF P _(i)

I I TZ .

i=i J.1 n F

i=1

(20)

ANALES

71

donde:

„ (1 )

11 1

TZ (zi

)

j=1

A

=

P F

n µ

TZ

kz

i) j=1

U F1

x

=

e = [1, (18)

UF_ F _ nF

Demostración:

Por (iv) es posible combinar las funciones de pertenencia pt T(iz) (z j ) de la i-ésima regla a través de la operación matemática de multiplicación resultando:

Mi = (Z i )4.11 (zp (19)

Por (v), la señal de control u, no difusa, resulta

Si definimos los vectores

A,

x y e como específica la Ec. (18) es posible reescribir la Ec. (20) como:

A

T

Z u=

(10)

71 ANALES

Problema de Optimización de Conjuntos Difusos Discretización del índice de desempeño

El PGCO es un problema de dimensión infinita, por tal razón es necesaria su discretización con el objeto de que una solución computacional sea plausi-ble, a tal fin, se discretiza el índice de desempeño. (En el Teorema 1 se esta-bleció el modelo discreto de la planta).

Teorema 2 . Ástrom et al (1997), Tabak et al (1971). Si la integral del índice de desempeño continuo

tf

J(u) = fL(x(t), u(t))dt

se aproxima a través de la técnica de Euler entonces se obtendrá el siguiente índice de desempeño discreto

k=N-1

J(u) = IL[x(kT),u(kT)1T

₍₂₁₎

k=0

donde T E + es el período de muestreo tal que NT = tf

Planteamiento del POCD

En esta sección se mostrará cómo se convierte el PGCO en el POCD.

Definición 3. Los parámetros del controlador difuso F son las componentes del vector

O

definido como

( T

= q _{= 11 11"}_••" a nFP13 11”•••43 n F p , I-1 F1 , •••• ,1-1 F (22)

n F

donde q = 2nFp + nF, es la dimensión del POCD.

(11)

ANALES

de la Universidad Metropolitana 71

Definición 4.

El espacio restringido donde se efectuará la optimización es el

conjun-to S definido como

S=O q

)T

/ O mini

0i .0 maxi ,i =

1,2,...,q c

919,

(23)

donde e min _{Y °}

max.

representan los valores mínimos y máximos que pueden asumir los parámetros Oi , respectivamente,

y q

es la dimensión del problema.

Proposición 2.

Dada una planta

P,

un controlador

F,

una señal de referencia fi ja

ro = 1V

t > O y el

PGCO

con índice de desempeño

(ISE).

je

(t)dt

(24)

entonces tal problema puede convertirse en el siguiente problema de optimización paramétrica de conjuntos difusos

2 AT _I) (z,0)X (k -1) T

1 — Ce AT x [(k - 1)1]+ CK j e —11' dyj13 (k

T „,

o _lt(k-1)

—

T

(25)

k =N —1

Minimizar

OeSc91q k"

donde

A0(.1) (z,e) ,

representa el vector

A

definido en la Ec.

(18)

destacando su dependencia explícita de los vectores

z y

®

así como su evaluación en el instante

(k-1)T.

Demostración

La señal de error de seguimiento es:

e(kT) = r(kT) — y(kT) = r o — y(kT) = 1

—y(kT), además del teorema 1 se desprende:

7 T = ce AT 40(

y(kT) — 1)T}+ C j e Alif Bukk — 1)T O

(12)

ü

_{ANALE S}

de

y(kT)

por lo que:

e(kT) =

adicionalmente,

la Universidad Metropolitana

por la proposición

ce AT x k k

C

AT

1— Ce xl(k —1)1+ (T

f e O

C

1 se tiene que:

\ T

Ay d

A(ki)(z,0)x (k _ i)

B (26)

(27) y

r

f

e "s1V

A _{(k-1) ,}(z Che

Aoc _ i) (z,0)x ( k_ i) B

A(k_ i )(z,0)e

Finalmente, empleando el Teorema 2 resulta evidente que se tiene el pro-blema de optimización paramétrica indicado.

En la proposición 2 se contempla el caso particular del criterio ISE, Brogan (1991) como funcional de costo. La extensión a cualesquiera de los otros empleados en Ingeniería (ITSE, IAE, ITAE, Energía mínima, LQR, etc.) es inmediata,Teppa (1999). La solución del problema planteado se ha implementado utilizando el algoritmo annealing simulado adaptativo (ASA) for-mulado por Ingber (1989), resultados pueden apreciarse en Teppa (1999).

Conclusiones y Recomendaciones

Se logró una formulación novedosa del problema de optimización de fun-ciones de membresía, en sistemas de control difuso, para esto se vinculó un problema general de control óptimo con los parámetros que definen los con-juntos difusos del controlador. Lo anterior permite sintonizarlos fuera de línea, minimizando un funcional vinculado al comportamiento del sistema.

El trabajo efectuado debe consolidarse a través del desarrollo de cuatro líneas: (i) selección de algoritmos de optimización diferentes al ASA, ya que el mismo es lento y el ajuste de ciertos parámetros del algoritmo requiere de experimentación, (ii) implementación de diferentes técnicas de discretización del funcional de costo, (iii) extensión al caso multivariable, y (iv) explotación inteligente de la estructura particular del problema.

(13)

ANALES

L.J

de la Universidad Metropolitana r

1

Referencias bibliográficas

ÁSTROM K. and Wittenmark B., Computer Controlled Systems, Prentice-Hall, New Jersey, (1997).

BROGAN W., Modern Control Theory, Prentice-Hall, New Jersey, (1991). DRIANKOV D., Hellendoorn H. and Reinfrank M., An Introduction to Fuzzy Control, Springer-Verlag, Germany, (1996).

INGBER L., "Very Fast Simulated Re-Annealing," Mathematical and Computer Modelling, Vol. 12, N 2 8, 967-973, (1989).

LEE C.C., "Fuzzy Logic in Control Systems: Fuzzy Logic Controller-Parts 1-11," IEEETransactions on Systems Man and Cybernetics, Vol. 20, N 2 2, 404-435,

(1990).

TABAK D. and Kuo B., Optima! Control by Mathematical Programming,

Prentice-Hall, New Jersey, (1971).

TEPPA P., Optimización de Conjuntos Difusos en Sistemas de Control,