La corrupción como un equilibrio institucional

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(1)LA CORRUPCIÓN COMO UN EQUILIBRIO INSTITUCIONAL. FERNANDO TORRES JIMÉNEZ. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL BOGOTA D. C. 2003. 1.

(2) LA CORRUPCIÓN COMO UN EQUILIBRIO INSTITUCIONAL. FERNANDO TORRES JIMÉNEZ. Trabajo de grado para optar al título de INGENIERO INDUSTRIAL. Asesor MAURICIO DANIELS Ingeniero Eléctrico Ingeniero de Sistemas y Computación. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL BOGOTÁ D. C. 2003. 2.

(3) DEDICATORIA A mis padres, Luisa y Eduardo. Mis hermanas, Luisa y Paula, por aguantarme tanto. Familia.... 3.

(4) CONTENIDO Página INTRODUCCIÓN 1. ANTECEDENTES TEÓRICOS 2. EL MODELO GENERAL 2.1. Obtención de los niveles de esfuerzo óptimos. 2.2. Equilibrios de Nash en estrategias puras. 2.3. Funciones de mejor respuesta. 3. ANÁLISIS DE CASOS PARTICULARES 3.1. Caso del sistema judicial equitativo. 3.1.1. Costos lineales. 3.1.2. Costos cuadráticos. 3.2. Caso del Gobierno autoritario. 3.2.1. Costos lineales. 3.2.2. Costos cuadráticos. 3.3. Caso del sistema judicial corrupto. 3.3.1. Costos lineales. 3.3.2. Costos cuadráticos. 4. SIMULACIONES 4.1. Introducción de la racionalidad acotada 4.2. Parámetros de la simulación. 4.3 Análisis de los distintos sistemas judiciales 4.4. Análisis del comportamiento de las estrategias puras bajo racionalidad acotada. 4.5. Análisis de sensibilidad del equilibrio del juego cuando no hay equilibrios en estrategias puras. 4.6. Análisis de sensibilidad del caso de un equilibrio en estrategias puras con los parámetros de la racionalidad acotada. 4.6.1. Análisis de sensibilidad con la probabilidad de error. 4.6.2. Análisis de sensibilidad con el tamaño de la memoria. 4.6.2. Análisis de sensibilidad con el tamaño de la muestra.. 4. 9 10 14 16 17 18 21 21 22 26 28 29 32 34 35 38 40 40 40 41 48 52 53 54 56 57.

(5) 4.7. Análisis de sensibilidad del caso de que no existe un equilibrio en estrategias puras con los parámetros de la racionalidad acotada. 4.7.1. Análisis de sensibilidad con la probabilidad de error. 4.7.2. Análisis de sensibilidad con el tamaño de la memoria. 4.7.3. Análisis de sensibilidad con el tamaño de la muestra. 5. ANÁLISIS DE RESULTADOS 5.1. Análisis de resultados del modelo general. 5.2. Análisis de resultados de los casos particulares. 5.3. Análisis de resultados de las simulaciones. 6. CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA. 5. 58 58 60 61 63 63 63 66 68 70.

(6) LISTA DE FIGURAS Página Figura 3.1: Figura 3.2: Figura 3.3: Figura 3.4: Figura 3.5: Figura 3.6: Figura 3.7: Figura 3.8: Figura 3.9: Figura 3.10: Figura 3.11: Figura 3.12: Figura 3.13: Figura 3.14:. Curvas de nivel de Π(s , z) del sistema judicial equitativo. Sensibilidad de los esfuerzos óptimos del caso del sistema judicial equitativo con costos lineales. Curvas de nivel de las funciones que describen las estrategias dominantes del caso del sistema judicial equitativo con costos lineales. Sensibilidad de los esfuerzos óptimos del caso del sistema judicial equitativo con costos cuadráticos. Curvas de nivel de las funciones que describen las estrategias dominantes del caso del sistema judicial equitativo con costos cuadráticos. Curvas de nivel de Π(s , z) del Gobierno autoritario. Sensibilidad de los esfuerzos óptimos del caso del Gobierno autoritario con costos lineales. Curvas de nivel de las funciones que describen las estrategias dominantes del caso del Gobierno autoritario con costos lineales. Sensibilidad de los esfuerzos óptimos del caso del Gobierno autoritario con costos cuadráticos. Curvas de nivel de las funciones que describen las estrategias dominantes del caso del Gobierno autoritario con costos cuadráticos. Curvas de nivel de Π(s , z) del sistema judicial corrupto. Sensibilidad de los esfuerzos óptimos del caso del sistema judicial corrupto con costos lineales. Curvas de nivel de las funciones que describen las estrategias dominantes del caso del sistema judicial corrupto con costos lineales. Sensibilidad de los esfuerzos óptimos del caso del sistema judicial corrupto con costos cuadráticos.. 6. 22 24 26 27 28 29 30 32 33 34 35 36 37 38.

(7) Figura 3.15: Curvas de nivel de las funciones que describen las estrategias dominantes del caso del sistema judicial corrupto con costos cuadráticos. Figura 5.1: Comparación de los valores de Π(s* , z*) de cada caso.. 7. 39 65.

(8) LISTA DE TABLAS Página Tabla 2.1 Tabla 2.2 Tabla 2.3 Tabla 4.1. 14 15 18 41. 8.

(9) INTRODUCCIÓN En la situación actual del país, lo que se puede esclarecer es que nos vemos enfrentados a muchos problemas del orden social y económico, siendo el oportunismo en las diferentes entidades públicas y privadas cómo uno de los aspectos que la mayoría de las personas perciben como uno de los principales generadores de desigualdades. Siendo este un problema importante se puede hacer la pregunta de por qué existe el oportunismo en una organización y por qué este se mantiene y cómo puede ser evitado. El presente documento propone una forma de modelar el oportunismo por medio de teoría de juegos. Los jugadores son el gobierno y una población de firmas que interactúan una sola vez. Se mostrará bajo qué condiciones el oportunismo es un equilibrio del juego y cuáles políticas gubernamentales pueden ser aplicables para evitar que se dé.. 9.

(10) 1. ANTECEDENTES TEÓRICOS El problema de la corrupción ha sido abordado por la literatura desde distintos enfoques. Algunos de ellos modelan la corrupción como una variable que puede ser cuantificada como una perdida de eficiencia o costo, mientras que en otros se tiene que la corrupción es un estado del modelo descrito por varios parámetros. A continuación se presentan los principales enfoques que se encuentran en la literatura. Modelos de cazadores de rentas: En este modelo se plantea que las burocracias crean monopolios en los sectores a los que pertenecen para poder obtener rentas económicas a partir de sobornos. Este modelo concluye que el estado mínimo mejora el desempeño del mismo, a manera que a entre menos burocracia representa menor oportunismo. Modelos basados en el paradigma principal agente: En estos modelos se tienen dos clases de jugadores, el principal y los agentes. El principal generalmente es el jugador que ofrece una tarea, mientras que el agente es el jugador que acepta la tarea, pero espera una pago por ella. En el modelo principal – agente se tienen dos casos: Con robo o sin robo. En el modelo principal – agente sin robo el funcionario entrega el precio total del bien al estado, pero acepta un soborno para agilizarlo, ya sea pasando por alto supervisiones o saltándose procesos. En el modelo principal – agente con robo el funcionario ofrece el bien a un precio menor que el oficial y se queda con la renta del mismo sin aportar nada al estado. Como se puede notar, este último caso de oportunismo es mucho más atractivo por que el precio es menor, lo cual incrementa la demanda. Cuando a este modelo se le añade un tercer jugador que hace de regulador se tiene el modelo principal – supervisor – agente. Este modelo se basa en la relación. 10.

(11) triangular entre el principal (Gobierno), un supervisor (Funcionario) y el agente (Ciudadano), en el cual el principal tiene un mayor interés por el bien común que el supervisor. El supervisor puede mantenerse fiel a la misión o no seguir los objetivos del principal para obtener mayor beneficio propio. Modelos que involucran la debilidad institucional: En estos modelos se trabaja la corrupción como un caso de imposición imperfecta y asimetría de la información que dan la oportunidad de lograr una renegociación, todo esto siendo un resultado de la debilidad institucional1 . Modelos de reputación: Estos modelos fueron la base teórica con la que se desarrollo este proyecto. En la mayoría de los artículos consultados se encuentra que la reputación se entiende como un resultado de las asimetrías de la información entre los jugadores. Kreps2 propone que se puede crear un efecto de reputación por medio de incertidumbre tanto del tipo del jugador como los pagos de las estrategias. Esto puede ser importante para el modelo gobierno – firma ya que podría ser conveniente para el gobierno dar la impresión de una reputación (Y lo mismo para la firma), lo cual se vería reflejado en comportamientos “irracionales” en ambos jugadores. Una forma de crear la incertidumbre sobre el tipo de principal que le toco al agente es jugar la estrategia de “no amenazar mientras no te portes mal”, o sea, que el gobierno remede lo que hace la firma: Si esta se porta bien el gobierno se porta bien y viceversa; de esta forma puede que, tal como le demuestran los autores del artículo, las firmas que se enfrentan al gobierno jueguen “limpio” en las primeras rondas. Kreps y Wilson3 observan que la clave para poder crear un efecto de reputación es mantener información oculta, de tal forma que los jugadores puedan dar amenazas creíbles (Que al cumplirla sea óptimo para el amenazante) y solo puede suceder. Guasch, Laffont. 2002. Kreps. 1982. 3 Kreps, Wilson. 1982. 1 2. 11.

(12) que o los pagos sustenten la amenaza o que exista un efecto reputación del jugador. La manera de crear esta asimetría de información puede ser por medio de que el gobierno siempre juegue con la estrategia de ser fuerte en las primeras rondas (O sea, invertir en el sistema judicial, no ser condescendiente, cosas por el estilo) haciéndole creer al agente de turno que es óptimo para el jugar esta estrategia aunque en realidad esta estrategia conlleve un costo. Debido a esta incertidumbre sobre el pago del gobierno puede llevar a que los agentes crean que él es fuerte. Celentani 4 trabaja la construcción de creencias a partir de la explotación de la asimetría de la información. En este caso, la información del principal es privada pero él mismo no puede comprobar las acciones de los agentes sino hasta cuando ocurra el pago al final de la ronda del juego. En este caso el autor propone que si el principal (En este caso, el gobierno) es suficientemente paciente puede crear una reputación, aunque no menciona como logra construirla. Esta garantía de que el gobierno lograra tener un pago casi igual al mejor del juego haría pensar que el gobierno siempre juegue una estrategia de ser fuerte, pero sobre todo, que el gobierno dure mucho tiempo. Esto último podría traducirse en una ampliación del periodo de gobierno. Tadelis5 propone que el nombre de una firma es un bien que puede ser transado; por lo que el gobierno puede jugar varias veces contra el mismo agente y no saberlo, ya que una firma puede comprar un nombre y cambiarse la identidad. Debido a esto el gobierno no sabrá si la nueva firma es en realidad nueva o manejada por el mismo agente corrupto pero que se hace pasar por uno nuevo. Para evitar esto el gobierno tiene dos opciones. Una es jugar siempre fuerte ó informarse mejor en el mercado de nombres. De esta manera el nombre como bien debería aumentar de precio hasta que sea más barato para los agentes “malos” convertirse en “buenos”. Tirole6 en su artículo se basa en que el principal no puede observar perfectamente el tipo de agente con el que esta jugando (lo cual es una asimetría de información), Celentani. 1996. Tadelis. 1999. 6 Tirole. 1996. 4 5. 12.

(13) de tal forma que puede ver que todas las firmas o son buenas o son malas. También se tiene el supuesto de que los agentes corruptos supervivientes corrompen a las nuevas generaciones de agentes, por lo que se pueden desencadenar dos estados: Uno de baja corrupción y otro de alta corrupción. Como lo que se desea es pasar de un estado de alta a baja corrupción la única forma de las que propone el autor que podría funcionar en esta caso es la de una campaña anticorrupción por parte del gobierno, debido a la ausencia de un choque que haya vuelto “malos” a los agentes. Para lograr esto el gobierno tiene que invertir en informarse (Y en mantenerse informado), ya que el autor menciona claramente que el estado de baja corrupción se caracteriza por un principal bien informado, lo que se puede traducir en una alta inversión en el sistema judicial para hacerlo más competente en la detección y sanción de los agentes corruptos. Esto visto desde las estrategias del juego es que el gobierno siempre tiene que estar dispuesto a invertir en el sistema judicial (O sea, jugar la estrategia fuerte). Valimaki7 considera que existe una perdida de ganancia promedio en los agentes debido al deseo de los agentes buenos por “distinguirse” de los malos. Esto hace que a veces jueguen con estrategias que hagan pensar al gobierno que son honestas, como es el caso de que no renegocien aunque sea necesario; lo que se puede ver como una jugada irracional si el gobierno es débil, o sea que no invertirá en un sistema judicial y en informarse mejor. Modelos de convenciones: Estos modelos se basan en la racionalidad acotada8 de los jugadores, o sea, que los jugadores tienen memoria finita, de tal forma que se generan creencias por el simple hecho de que se crean las convenciones de que todo siempre ha sido así. En este caso lo que debe hacer los jugadores es tratar de crear nuevas convenciones, por ejemplo que en una ronda en la que la firma juega limpio sea bastante publicado para que las siguientes firmas tengan en su memoria acotada de que una firma juego limpio y se vaya cambiando la convención de que siempre se debe ser corrupto. De esta manera el gobierno podría también adoptar la estrategia de no invertir tanto en el sistema judicial.. 7 8. VALIMAKI, ELY. 2003. YOUNG. 1996. 13.

(14) 2. El MODELO GENERAL La problemática del oportunismo de las compañías contratistas se modeló por medio de un juego donde un jugador (el gobierno) tiene la posibilidad de invertir previamente en litigación (estrategia I) o no (estrategia NI), y una firma la cual puede buscar ser oportunista y buscar renegociar el contrato (estrategia O) o no (estrategia NO). Suponemos que se enfrentan una sola vez pero que tienen acceso a información histórica de cuáles estrategias han usado en el pasado sus antecesores. Si el gobierno decide invertir previamente en litigación (contratando buenos abogados, por ejemplo) incurre en un costo fijo denominado Fo independiente de sí habrá o no litigación. Asimismo, en caso de presentarse una litigación, si el gobierno realiza un esfuerzo s (que está en relación con los gastos del proceso legal) incurre en un costo de c(s), donde c es una función creciente y convexa. La firma, por su parte, incurre en un costo de c(z), si decide litigar y realizar un esfuerzo z. Ambos esfuerzos son no observables por el otro jugador. Si la firma gana la litigación recibe un porcentaje adicional φ sobre el valor del contrato (que lo pierde el gobierno). Se supone que el contrato tiene un valor inicial para la firma de Uo. Si la firma pierde la litigación incurre en una pérdida de P (que tiene en cuenta el costo de perder reputación y posibles sanciones que estipule la ley). El bienestar social inicial (la utilidad inicial del gobierno) es Wo. Si el gobierno no invierte previamente en litigación, y esta se produce, el contrato es renegociado y la firma recibe el porcentaje adicional. Si el gobierno invierte y la firma litiga, el gobierno ganará el pleito (no habrá renegociación) dependiendo del esfuerzo hecho por el gobierno y por la firma. Concretamente, la probabilidad de que el gobierno gane el pleito viene dada por Π(s , z). La tabla 1 resume los pagos del gobierno y de la firma dependiendo del resultado de la litigación. Evento. Probabilidad Pago del Gobierno del evento Gana el Gobierno Π(s , z) Wo – (1 + λ)(c(s) + Fo) Gana la firma 1 - Π(s , z) Wo – (1 + λ)[c(s) + Fo + Uoφ] Tabla 2.1: Pagos de la casilla IO de la matriz de pagos.. 14. Pago de la firma Uo – c(z) – P Uo[1 + φ] – c(z).

(15) El pago esperado para el Gobierno, cuando decidió invertir previamente y la firma litiga, viene dado por la ecuación siguiente: Π(s , z){Wo – (1 + λ)[c(s) + Fo]} + [1 - Π(s , z)]{Wo – (1 + λ)[c(s) + Fo + Uoφ]} [2.1] Asimismo, el pago para la firma en este caso viene dado por: Π(s , z)[Uo – c(z) – P] + [1 - Π(s , z)]{Uo[1 + φ] – c(z)}. [2.2]. El juego en forma normal se presenta en la tabla 2.2. Gobierno V. S. Firma (O) (NO) (I) Ecuación 2.2.1 , Ecuación 2.2.2 Wo – [1 + λ]Fo , Uo (NI) Wo , Uo Wo – Uoφ(1 + λ) , Uo(1 + φ) Tabla 2.2: Matriz de pagos para el juego del Gobierno contra la firma. Es importante anotar que en esta matriz de pagos todos los parámetros son positivos. El objetivo de cada jugador en cada ronda del juego es maximizar su utilidad, la cual dependerá de las estrategias que tome él mismo y su contrincante. Se supone que tanto las firmas como el Gobierno son neutrales al riesgo y que tienen una función de utilidad del tipo von Neumann - Morgenstern. Cuando se produce la litigación cada jugador realizará un esfuerzo que maximice su utilidad en caso de que haya conflicto (dichos esfuerzos se denominan s* para el Gobierno y z* para la firma). Estos valores son la solución de los dos siguientes problemas: El Gobierno debe encontrar el nivel de esfuerzo óptimo s* maximizando la siguiente función: max {U = Wo − [1 − Π ( s, z )](1 + λ)Uoφ − (1 + λ)[c( s ) + Fo]} s≥ 0. [2.3]. Del mismo modo las firmas deberán encontrar el nivel de esfuerzo óptimo z* maximizando la siguiente función: max {V = Uo − c − PΠ ( s, z ) + [1 − Π ( s , z ) ]Uoφ} z ≥0. 15. [2.4].

(16) Para facilitar la notación se utilizaran las siguientes convenciones para las derivadas totales y parciales de la siguiente manera: f ' (x ) =. df dx. g i (i, j ,..., k ) =. ∂g ∂i. 2.1. Obtención de los niveles de esfuerzo óptimos. Los esfuerzos óptimos se obtienen al derivar las expresiones para U y V (Ecuaciones 2.3 y 2.4) para obtener las condiciones de primer y segundo orden que deben cumplir los esfuerzos s* y z*. Al derivar U con respecto al esfuerzo del Gobierno s se obtiene la condición de primer orden: U ' = −c ' ( s ) + UoφΠ s ( s , z ) = 0. [2.5]. Al derivar por segunda vez se obtienen las condiciones de segundo orden: U ' ' = −c ' ' ( s ) + UoφΠ ss ( s , z ) ≤ 0. [2.6]. Ahora, al derivar V con respecto al esfuerzo de la firma z se obtiene la condición de primer orden: V ' = −c' ( z ) − (Uoφ + P)Π z ( s , z ) = 0. [2.7]. Al derivar por segunda vez se obtienen las condiciones de segundo orden: V ' ' = −c' ' ( z ) − (Uoφ + P )Π zz ( s, z ) ≤ 0. [2.8]. Para poder obtener los esfuerzos óptimos se debe asumir que los jugadores poseen racionalidad perfecta, de esta manera el Gobierno sabe que la firma realizará su esfuerzo óptimo y viceversa. Mediante este supuesto a partir de las ecuaciones 2.5 y 2.7 se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones simultaneas:. 16.

(17) − c ' ( s*) + UoφΠ s ( s*, z*) = 0 − c ' ( z *) − (Uoφ + P )Π z ( s*, z*) = 0 Donde s* es el esfuerzo óptimo del Gobierno y z* el esfuerzo óptimo de la firma. 2.2. Equilibrios de Nash en estrategias puras. Una vez obtenidos los esfuerzos óptimos del Gobierno y la firma se puede hallar tanto el valor de la probabilidad Π(s* , z*) y de los costos c(s*) y c(z*), los cuales serán constantes una vez se definan los parámetros del juego. Cuando se obtienen estos valores la matriz de pagos del juego es establecida y se pueden hallar los equilibrios del juego. Para hallar los equilibrios del juego se realiza un análisis de estrategias dominadas en cada uno de los jugadores. En el caso del Gobierno se tiene que la estrategia I esta dominada por la estrategia NI si se cumplen las siguientes condiciones: i ) − Fo − c( s*) − Uoφ[1 − Π ( s*, z *)] ≤ −Uoφ ii ) − Fo ≤ 0 Pero como Fo siempre es un valor positivo se tiene que la segunda condición siempre se cumple por lo que la única condición relevante que queda es la primera, por lo tanto para que I este dominada por NI es necesario que: UoφΠ ( s*, z*) − Fo − c ( s*) ≤ 0. [2.9]. En el caso de la firma se tiene que la estrategia NO esta dominada por la estrategia O si se cumplen las siguientes condiciones: i ) − c ( z*) − PΠ ( s*, z*) + Uoφ[1 − Π ( s*, z*)] ≥ 0 ii ) Uoφ ≥ 0 Pero como Uoφ siempre es un valor positivo se tiene que la estrategia NO sea dominada por O se debe satisfacer la siguiente condición: Uoφ[1 − Π ( s*, z*) ] − c ( z*) − PΠ ( s*, z*) ≥ 0. [2.10]. 17.

(18) Si la desigualdad es estricta se tiene que la estrategia NO esta fuertemente dominada por la estrategia O. Si se tiene una igualdad NO esta débilmente dominada por O. Como s* y z* son funciones de los parámetros del juego y la forma de las funciones Π(s , z) y c(x) dependen del caso que se esté manejando puede ocurrir que solo exista un equilibrio de Nash en estrategias puras, que hayan dos equilibrios o que no exista ningún equilibrio en estrategias puras. Para encontrar las condiciones en las que se presentan estos equilibrios se tomaron todas los posibles combinaciones entre las inecuaciones 2.3.1 y 2.3.2, de esta manera se obtiene la siguiente tabla: Estrategias: O es dominante. NI es dominante Equilibrio único en (NI , O) O no es dominante Equilibrio único en (NI , O) Tabla 2.3: Equilibrios de Nash en estrategias puras.. NI no es dominante Equilibrio único en (I , O) No hay equilibrios en estrategias puras. Existen equilibrios múltiples en (NI , O) e (I , O) si I esta débilmente dominada por NI y si NO es dominada por O, pero este equilibrio no es común debido a que es necesario que en la inecuación 2.9 la expresión sea una igualdad estricta. Como se puede observar la existencia de los equilibrios y cual es el que se presenta dependerá fundamentalmente de los valores del los parámetros del modelo ya que tanto s* y z* son funciones de Uoφ y P. 2.3.Funciones de mejor respuesta. Como se mencionó anteriormente los jugadores deben decidir entre realizar o no esfuerzo dependiendo de la estrategia que juegue el otro jugador, pero debido a que las decisiones se toman de manera simultanea (O sea, el jugador sabe que estrategia tomó el contrincante solo hasta el final de la ronda) el jugador estima la probabilidad con la que el contrincante hace esfuerzo usando la información disponible de los juegos anteriores. La función de mejor respuesta del Gobierno se puede deducir a partir de cuando él elige jugar la estrategia I. El Gobierno decidirá jugar la estrategia I si: B(I , O)P(O) + B(I , NO)P(NO) > B(NI , O)P(O) + B(NI , NO)P(O) 18.

(19) Donde B(X , Y) es el pago que recibe el Gobierno si él jugar la estrategia X y la firma juega la estrategia Y de acuerdo a la matriz de pagos (Tabla 2). P(O) es la probabilidad de que la firma juegue la estrategia O y P(NO) es la probabilidad de que la firma juegue la estrategia NO. Si se denotan estas probabilidades de la siguiente manera: P(O) = α ⇒ P ( NO) = 1 − P(O) = 1 − α Se tiene que el Gobierno juega I si se cumple la siguiente condición: α[UoφΠ ( s , z ) − c ( s )] > Fo. [2.11]. En esta desigualdad se puede presentar dos casos, que [UoφΠ(s* , z*) – c(s*)] sea positivo o no positivo. Si no es positivo la condición anterior no puede ser satisfecha por una probabilidad α positiva. Pero si [UoφΠ(s* , z*) – c(s*)] es positiva la condición puede ser satisfecha por una probabilidad α tal que:  Fo  α > min  , 1 UoφΠ (s*, z*) − c( s*)  Por lo tanto el Gobierno decide jugar la estrategia I si se cumplen las siguientes condiciones: i ) UoφΠ ( s*, z *) − c( s*) > 0 [2.12].  Fo  ii ) α > min  , 1 UoφΠ ( s*, z*) − c( s*)  De lo contrario juega NI.. De la misma manera se puede deducir la función de mejor respuesta de la firma. La firma decidirá jugar O si: B( I , O)P(I) + B(NI , O)P(NI) > B( I , NO)P(I) + B(NI , NO)P(NI) Donde B(X , Y) es el pago que recibe la firma. P(I) es la probabilidad de que el Gobierno juegue la estrategia I y P(NI) es la probabilidad de que el Gobierno juegue la estrategia NI. Si se denotan estas probabilidades de la siguiente manera: 19.

(20) P( I ) = β ⇒. P( NI ) = 1 − P( I ) = 1 − β. Se tiene que la firma juega O si se cumple que:  Uoφ  β < min  , 1  c ( z*) + ( P + Uoφ )Π ( s*, z*) . [2.13]. De lo contrario juega NO.. 20.

(21) 3. ANÁLISIS DE CASOS PARTICULARES Ahora se van a analizar tres casos distintos: El caso del sistema social equitativo, el del estado autoritario y del sistema judicial corrupto. En el caso del sistema judicial equitativo el sistema judicial es valora imparcialmente los esfuerzos de los jugadores. En el caso del Gobierno autoritario se tiene un sistema judicial que es más sensible a los esfuerzos del Gobierno. En el caso del sistema judicial corrupto el sistema judicial es más sensible a los esfuerzos de la firma. 3.1. Caso del sistema judicial equitativo: Este caso es aquel en que el sistema judicial no favorece en especial a ninguna de las dos partes, por lo que el mismo nivel de esfuerzo que realiza el Gobierno es contrarrestado por un mismo nivel de esfuerzo de la firma. En este caso la función de probabilidad que se propone es la siguiente:. Π (s , z ) =. s z. [3.1]. s 1+ z. Como se puede observar esta función tiende a uno cuando s tiende a infinito y tiende a cero cuando s tiende a cero; por otra parte, esta función tiende a cero cuando z tiende a infinito y tiende a uno cuando z tiende a cero. Las derivadas de esta función con respecto a s y z son las siguientes:. 21.

(22) −s (s + z )2 2s Π zz ( s, z ) = ( s + z )3. z ( s + z )2 − 2z Π ss ( s , z ) = (s + z )3 Π s ( s, z ) =. Π z ( s, z ) =. Como se puede observar esta función de probabilidad es creciente en función de s pero presenta concavidad negativa. A su vez esta función es decreciente en función de z y presenta concavidad positiva. Esto se puede apreciar fácilmente por medio de la siguiente gráfica: Curvas de nivel de Π (s , z) para el sistema judicial equitativo. (s , z). 1 0,9. z=0,5. 0,8. z=1. 0,7. z=1,5. 0,6. z=2. 0,5. z=3. 0,4. z=4. 0,3. z=5. 0,2. z=10. 0,1. z=20 z=30. 0 0. 10. 20. 30. 40. 50. z=50. s. Figura 3.1: Curvas de nivel de Π(s , z) del sistema judicial equitativo. Ahora se va a analizar dos casos del sistema judicial equitativo, los cuales son con costos lineales y con costos cuadráticos. 3.1.1. Costos lineales: En este caso se hace el análisis asumiendo que el costo por realizar el esfuerzo de los jugadores son lineales: c(x) = cox Donde co es una constante y x el nivel de esfuerzo realizado por el jugador. Se va a suponer que a forma de la función de costo es la misma tanto para la firma como el Gobierno. 22.

(23) Por lo tanto los esfuerzos óptimos que satisfacen las condiciones de primer orden para el Gobierno y la firma, respectivamente, son las siguientes: s* =. Uoφ + P c o (1 + ρ) 2. [3.2]. z* = ρs *. [3.3]. Donde la razón de proporcionalidad ρ esta definida de la siguiente manera: ρ = 1+. P Uoφ. [3.4]. Como esta variable es mayor o igual a 1 para valores positivos de P y Uoφ se deduce que la firma siempre hará un esfuerzo mayor que el Gobierno. Esto implica que la probabilidad Π de que gane el Gobierno siempre será menor o igual a 0.5 por lo que puede deducir que la firma en el caso del sistema judicial equitativo realiza un mayor esfuerzo para inclinar la probabilidad de éxito en el pleito a su favor. También se puede observar que ρ es creciente en función de P por lo que si la penalidad por perdida de reputación de la firma es muy alta la firma hará aún mayor esfuerzo para ganar la renegociación, debido a que su utilidad disminuye por la penalidad debido a la perdida de la renegociación. De igual manera si la ganancia de renegociación Uoφ disminuye la firma también aumentara su nivel de esfuerzo debido a que ρ es decreciente en función de Uoφ. Esto al parecer indica que en un sistema judicial equitativo la firma siempre deseará disminuir sus perdidas esforzándose más que el Gobierno. La sensibilidad de los esfuerzos óptimos s* y z* que tienen los niveles de P y φ se puede hallar derivando s* y z* con respecto a estos parámetros, pero como las funciones que describen estas relaciones son muy complejas es muy complicado hallar relaciones evidentes entre las variables, por lo tanto se realizó un análisis gráfico para analizar la sensibilidad. 23.

(24) Sensibilidad de s*. Sensibilidad de z*. 14 14 12. 12. 10. 10. s*. 8 6. z*. φ=0,1 φ=0,2 φ=0,3 φ=0,4. 6. φ=0,5. 4. φ=0,1 φ=0,2 φ=0,3 φ=0,4 φ=0,5. 8. 4 2. 2. 0. 0 0. 50. 100. 150. 0. 200. 50. 100. 150. 200. P. P. (a) (b) Figura 3.2: Sensibilidad de los esfuerzos óptimos del caso del sistema judicial equitativo con costos lineales. (a) Sensibilidad de s*. (b) Sensibilidad de z*. Como se puede observar en la figura 3.2 s* es monótonamente decreciente en función de P con concavidad positiva y monótonamente creciente en función de φ con una leve concavidad positiva. Esto al indica que el Gobierno se esfuerza menos a medida que la penalización aumenta ya que este es un factor disuasivo para que se presente oportunismo en las firma, pero el incremento de la penalización implica decrecimientos cada vez más bajos de s* debido a que cada vez se necesita más nivel de penalización para disuadir a las firmas. A su vez debe realizar un esfuerzo cada vez mayor a medida que la ganancia por renegociación aumenta ya que este es un factor persuasivo para que se presente oportunismo en las firmas. En cuanto a la sensibilidad de z* se observa que es una función creciente tanto para P y φ, e incluso se observa que la concavidad para ambos casos es negativa; por lo que se concluye que tanto la penalización como la ganancia de renegociación son factores que persuaden a la firma para que realice mayor esfuerzo en la renegociación ya que por un lado a la firma observa que si la ganancia es grande tendrá mayor incentivo para ser oportunista, y si observa que la penalidad es grande se esforzará aún más para evitar tener que pagarla. Las condiciones de segundo orden que se obtienen son las siguientes: U ''= −. V '' = −. 2z (Uoφ) ≤ 0 ( s + z )3. 2s (Uoφ + P ) ≤ 0 (s + z )3. 24.

(25) Como las segundas derivadas son siempre negativas, cualquier punto que satisfaga las condiciones de primer orden es un máximo local. El punto (s* , z*) distinto a (0 , 0) se denominó equilibrio de baja calidad ya que la firma siempre renegocia y el Gobierno siempre debe asumir un costo social para prepararse para la litigación. Como se tiene un sistema no lineal de dos ecuaciones y dos incógnitas con un punto fijo en (s , z) = (0 , 0), el cual corresponde a las estrategias (NI , NO) del Gobierno y la firma respectivamente. A este punto se le denomina el equilibrio ideal social debido a que no hay un costo social por litigación y que la firma no renegocia, pero este equilibrio es poco creíble debido a que cualquier esfuerzo arbitrariamente pequeño hace que se salga del equilibrio. Ahora se realizó una serie de gráficas en las que se muestra bajo que condiciones existen equilibrios en estrategias puras graficando las ecuaciones 2.1 y 2.2 las cuales son las que determinan si una estrategia domina a otra por medio del análisis de las curvas de nivel. Los resultados se ven en la figura 3.3. Como se puede observar en la figura 3.3 la estrategia O casi siempre domina a la estrategia NO, a excepción de los valores muy grandes de ρ. Por otro lado se tiene que para valores grandes de P la estrategia NI domina a I. Si NI domina a I se tiene un equilibrio en estrategias puras en (NI , O). Pero si NI no domina a I se puede obtener un equilibrio en (I , O) si O es dominante. Esto ocurre cuando: Fo ≥ UoφΠ 2. [3.5]. Cuando esta expresión se vuelve una igualdad estricta se tiene el caso de múltiples equilibrios en (NI , O) e (I , O), pero como se menciono anteriormente esta situación no se encuentra muy comúnmente ya que se cualquier desviación de estos valores conduce a otro equilibrio.. 25.

(26) Domina NI si Uo φφ Π Π (s*,z*)-c(s*)-Fo < 0. Domina O si Uo φφ [1- Π Π (s*,z*)]-c(z*)-P Π Π (s*,z*) > 0 10. (s*,z*). 5. 3 2 1 0 -1 0. 200. 400. 600. -2. 800. 1000. Uo [1- (s*,z*)]-c(z*)-P. Uo. (s*,z*)-c(s*)-Fo. 4. φ=0,1 φ=0,2 φ=0,3 φ=0,4 φ=0,5. -3 -4 -5. 8. 6. φ=0,1 φ=0,2 φ=0,3 φ=0,4 φ=0,5. 4 2 0 0. 2. 4. 6. 8. 10. -2. P. P. (a) (b) Figura 3.3: Curvas de nivel de las funciones que describen las estrategias dominantes del caso del sistema judicial equitativo con costos lineales. (a) NI domina a I. (b) O domina a NO. 3.1.2. Costos cuadráticos: En este caso se tiene que la función de costo para los jugadores es la siguiente: c(x) = cox2 Donde co es una constante y x el nivel de esfuerzo realizado por el jugador. Ahora que los jugadores tienen un costo marginal cada vez mayor al incrementar el esfuerzo. Al plantear las condiciones de primer orden el Gobierno y las firmas de la siguiente manera: s* =. z* =. Uoφ + P. (. 2c o 1 + ρ. ). 2. [3.6]. ρ. ( ρ )s *. [3.7]. Como se puede apreciar la razón de proporcionalidad de s* y z* es ahora la raíz cuadrada de la razón que existía en el caso de los costos lineales lo que indica que en este caso la firma hará mayor esfuerzo que el Gobierno para disminuir su perdida por las mismas razones del caso lineal, pero como ahora los costos son cuadráticos cada nivel de esfuerzo es cada vez es más “caro” para la firma (Y para el Gobierno), por lo que no podrá realizar tanto esfuerzo como en el caso lineal.. 26.

(27) Sensibilidad de s*. Sensibilidad de z*. 2. 5. 1,8. 4,5 4. 1,6. 0,8. φ=0,1 φ=0,2 φ=0,3 φ=0,4. 0,6. φ=0,5. s*. 1,2 1. 3,5. φ=0,1 φ=0,2 φ=0,3 φ=0,4 φ=0,5. 3. z*. 1,4. 2,5 2 1,5. 0,4. 1. 0,2. 0,5 0. 0 0. 50. 100. 150. 0. 200. 50. 100. 150. 200. P. P. (a) (b) Figura 3.4: Sensibilidad de los esfuerzos óptimos del caso del sistema judicial equitativo con costos cuadráticos. (a) Sensibilidad de s*. (b) Sensibilidad de z*. En la figura 3.4 se observa que s* se comporta de manera semejante al caso de costos lineales pero pierde sensibilidad a los parámetros debido a que los costos son cuadráticos, lo cual causa que los esfuerzos tengan un costo marginal cada vez mayor. En el caso de z* la perdida de sensibilidad es menor que el caso de s*, incluso se ve que la sensibilidad con φ aumenta; ya que z* siempre es mayor que s* por que la razón de proporcionalidad es la raíz de ρ, la cual es también es función de P y φ. Por esta razón la sensibilidad de z* es aún mayor que la de s* porque al efecto de sensibilidad de s* se le suma el de ρ. Las condiciones de segundo orden de este caso son las siguientes: U ' ' = −2k. V ' ' = −2k −.  2z  −  Uoφ ≤ 0 3  ( ) s + z    2s  (Uoφ + P ) ≤ 0  3 ( ) s + z  . Como se puede observar cualquier punto que satisfaga las condiciones de primer orden es un máximo local ya que las segundas derivadas siempre son negativas. En la figura 3.5 se observa que NI no domina a I cuando hay valores muy pequeños de P y de valores grandes de φ, mientras que la estrategia O es dominante para valores pequeños de P y φ. Como en este caso si puede ocurrir que la estrategia O no domine puede presentarse todos los posibles equilibrios. 27.

(28) dependiendo de los valores de P y f, pero se puede observar que si ni P ni f son muy grande se tiene la situación de que no existen equilibrios en estrategias puras.. Domina NI si Uo φφ Π Π (s*,z*)-c(s*)-Fo < 0. Domina O si Uo φφ [1- Π Π (s*,z*)]-c(z*)-P Π Π (s*,z*) > 0. (s*,z*). 5. 3. Uo [1- (s*,z*)]-c(z*)-P. (s*,z*)-c(s*)-Fo. 4. φ=0,1 φ=0,2 φ=0,3 φ=0,4 φ=0,5. 2. Uo. 1 0 0. 200. 400. 600. 800. 1000. -1. 9 7 φ=0,1 φ=0,2 φ=0,3 φ=0,4 φ=0,5. 5 3 1 -1 0. 2. 4. 6. 8. 10. -3. P. P. (a) (b) Figura 3.5: Curvas de nivel de las funciones que describen las estrategias dominantes del caso del sistema judicial equitativo con costos cuadráticos. (a) NI domina a I. (b) O domina a NO. 3.2. Caso del Gobierno autoritario: En esta situación se tiene un sistema judicial que favorece al Gobierno, o sea, que es más sensible al nivel de esfuerzo que realiza el Gobierno. En este caso la función de probabilidad propuesta sería la siguiente: s2 Π(s, z) = z 2 s 1+ z. [3.8]. Esta función tiene los mismos valores al límite que la del caso del sistema judicial equitativo, pero es mucho más sensible a los cambios de s. Un inconveniente que presenta esta función es que si s < 1 la función “favorece” más a la firma que al Gobierno, por lo que es necesario que s > 1 para que la función propuesta cumpla los objetivos establecidos. Las derivadas de esta función son las siguientes:. 28.

(29) Π s ( s, z ) =. 2sz (s + z )2. Π z (s, z) =. − s2 ( s + z )2. Π ss ( s , z ) =. 2z 2 − 6s2 z (s + z )3. Π zz ( s, z ) =. 2s2 ( s + z )3. Esta función es creciente en función de s y decreciente en función de z, pero la concavidad puede ser positiva o negativa dependiendo de la combinación de los valores de s y z. Para apreciar mejor su comportamiento se realizó la siguiente gráfica: Curvas de nivel de Π (s , z) para el Gobierno autoritario. (s , z). 1 0,9. z=0,5. 0,8. z=1. 0,7. z=1,5. 0,6. z=2. 0,5. z=3. 0,4. z=4. 0,3. z=5. 0,2. z=10. 0,1. z=20 z=30. 0 1. 11. 21. 31. 41. z=50. s. Figura 3.6: Curvas de nivel de Π(s , z) del Gobierno autoritario. En la figura 3.6 se observa que cuando los valores de s son pequeños la función de probabilidad tiene un crecimiento muy rápido pero luego el crecimiento se desacelera hasta la convergencia. 3.2.1. Costos lineales: En esta circunstancia las condiciones de primer orden se puede expresar por medio del siguiente sistema de ecuaciones:. 29.

(30) ρ Uoφ + P + 2 co ρ z* = s * 2 s* = −. [3.9] [3.10]. En este caso la razón de proporcionalidad es mayor o igual a 0.5, por lo que no se puede deducir que la firma siempre hará un esfuerzo mayor que el Gobierno, pero se puede observar que esta razón de proporcionalidad disminuyó debido a que si la firma desea lograr que la probabilidad Π la favorezca deberá realizar más esfuerzo que en el caso del sistema judicial equitativo, lo cual le implica un costo mayor que se ve reflejado en que la razón de proporcionalidad sea menor que la del sistema judicial justo. Sensibilidad de s*. Sensibilidad de z*. 14. 14. 12. 12 10. φ=0,1 φ=0,2 φ=0,3 φ=0,4. 8 6. z*. s*. 10. 6. φ=0,5. 4. φ=0,1 φ=0,2 φ=0,3 φ=0,4 φ=0,5. 8. 4 2. 2. 0. 0 0. 20. 40. 60. 80. 0. 100. 20. 40. 60. 80. 100. P. P. (a) (b) Figura 3.7: Sensibilidad de los esfuerzos óptimos del caso del Gobierno autoritario con costos lineales. (a) Sensibilidad de s*. (b) Sensibilidad de z*. En la figura 3.7 (a) se observa que el comportamiento de s* respecto a P es que conserva la concavidad negativa pero presenta un máximo, lo que indica que para cada valor de φ se tiene una penalidad crítica en la cual el esfuerzo del Gobierno se vuelve decreciente e incluso volverse 0. Además se tiene que s* es creciente en función de φ. En la figura 3.7 (b) se observa que z* es creciente en función de P, pero al igual que s* existe un valor de P en el cual z* se vuelve decreciente. En cuanto a su comportamiento frente a φ se tiene que es creciente hasta cierto rango y luego decrece, lo cual también no se observa en la sensibilidad de s*. Esto se debe a que también para un valor de φ s* se vuelve decreciente.. 30.

(31) Este caso posee las siguientes condiciones de segundo orden:  2 z 2 − 6s 2 z  U ' ' = Uoφ  2 3  z + s . (. ).  − 2s2 V ' ' = (Uoφ + P)  z + s 2. (. ). 3.   . En este caso se tiene que si U’’ < 0 si y solo si z < 3s2 . Si esto no se cumple U’’ nunca será menor o igual a 0 a menos que tanto z y s sean iguales a 0, el cual es el equilibrio ideal social. Por otro lado, para que s* sea mayor que 1 es necesario la siguiente condición: ρ Uoφ + P +1≤ 2 co Para encontrar el valor de ρ en el que se igualan ambas expresiones se obtiene lo siguiente:  Uoφ  ρ =  − 1 + c  o . 2.  Uoφ   − 1 − 2 c  o . Cuando r es menor a esta expresión se tiene que s* es menor a 1 y por la función de probabilidad no cumple los objetivos planteados, por lo que si ocurre este caso se puede repetir el análisis cambiando el exponente de s por 0.5 en la función de probabilidad. Este recurso también se puede utilizar también para el caso de los costos cuadráticos. En cuanto la condición de segundo orden V’’, esta siempre será menor que 0 para cualquier punto que cumpla las condiciones de primer orden. Se observa en la figura 3.8 que la estrategia O solo es dominante para valores muy pequeños de P mientras que la estrategia NI es dominante solo para valores muy grandes de P, por lo que solo habrá equilibrio en estrategias puras en (NI , O) para valores muy pequeños de P, sino no existirán equilibrios.. 31.

(32) Domina NI si Uo φφ Π Π (s*,z*)-c(s*)-Fo < 0. Domina O si Uo φφ [1- Π Π (s*,z*)]-c(z*)-P Π Π (s*,z*) > 0. (s*,z*)-c(s*)-Fo. 10. φ=0,1 φ=0,2 φ=0,3 φ=0,4 φ=0,5. 5 0. Uo. 0. 10. 20. 30. 40. 50. -5. -10. (s*,z*). 5. 15. 4. Uo [1- (s*,z*)]-c(z*)-P. 20. 2. 3. 1 0 -1 0. 2. 4. 6. 8. 10. -2. φ=0,1 φ=0,2 φ=0,3 φ=0,4 φ=0,5. -3 -4 -5. P. P. (a) (b) Figura 3.8: Curvas de nivel de las funciones que describen las estrategias dominantes del caso del Gobierno autoritario con costos lineales. (a) NI domina a I. (b) O domina a NO. 3.2.2. Costos cuadráticos. Ya en este caso la condición de primer orden del Gobierno sería cumplida por el nivel de esfuerzo s*, el cual es la menor raíz real positiva del siguiente polinomio: s3 +. (. ). ρ   Uoφ + P  2   2 ρ s 2 +  2co s −  =0 2   2co  ρ . [3.11]. Aquí se observa que s* no tiene solución analítica, por lo que las raíces de este polinomio se obtienen mediante el método de Newton9 . La condición de primer orden de la firma se cumple con el siguiente nivel de esfuerzo:  ρ s * z* =   2  . [3.12]. En este caso se tiene que la razón de proporcionalidad entre s* y z* disminuye por que la función de probabilidad favorece los esfuerzos del Gobierno, pero en el caso de costos cuadráticos es aún es más pequeña la razón debido a que el costo aumenta para la firma reflejándose en que la razón ahora es la raíz cuadrada de la razón anterior (Costos lineales). 9. Burden. ANÁLISIS NUMÉRICO.. 32.

(33) Sensibilidad de s*. Sensibilidad de z*. 5. 5. 4,5. 4,5 4. 4 3,5. 2,5 2 1,5. φ=0,1 φ=0,2 φ=0,3 φ=0,4 φ=0,5. 3. z*. 3. s*. 3,5. φ=0,1 φ=0,2 φ=0,3 φ=0,4 φ=0,5. 2,5 2 1,5. 1. 1. 0,5. 0,5 0. 0 0. 50. 100. 150. 0. 200. 50. 100. 150. 200. P. P. (a) (b) Figura 3.9: Sensibilidad de los esfuerzos óptimos del caso del Gobierno autoritario con costos cuadráticos. (a) Sensibilidad de s*. (b) Sensibilidad de z*. En la figura 3.9 (a) se puede observar s* tiene un comportamiento semejante al caso lineal, ya que se observa que la sensibilidad disminuye debido a la presencia de costos cuadráticos. El efecto de que el costo marginal aumente cada vez que se realiza un mayor esfuerzo causa que los esfuerzos no sean tan grandes como en el caso lineal. Este mismo efecto se encuentra en la sensibilidad de z* (Figura 3.9 (b)), ya que en las gráficas se observa que tienen un comportamiento semejante al caso lineal pero la sensibilidad a los parámetros P y φ se conserva debido a la presencia de la raíz en la razón entre s* y z*. Las condiciones de segundo orden serían así:  2 z 2 − 6 zs 2  U ' ' = −2c o + Uoφ  2   z + s 2   2s 2 V ' ' = −2co − (Uoφ + P )  z + s 2. (. ). (. ).  2 . Este caso es más complejo debido a que existe la posibilidad de tener hasta tres equilibrios al tener un polinomio cúbico en las condiciones de primer orden. Aún así se observa que si solo se obtienen raíces reales negativas no habrá ningún equilibrio a excepción del equilibrio social proveniente del polinomio bicuadrático de donde se obtiene la primera ecuación.. 33.

(34) Domina NI si Uo φφ Π Π (s*,z*)-c(s*)-Fo < 0. Domina O si Uo φφ [1- Π Π (s*,z*)]-c(z*)-P Π Π (s*,z*) > 0 5. (s*,z*). 13. 9 φ=0,1 φ=0,2 φ=0,3 φ=0,4 φ=0,5. 5 3 1. Uo. 0 0. 7. -1 0. Uo [1- (s*,z*)]-c(z*)-P. (s*,z*)-c(s*)-Fo. 11. 50. 100. 150. 200. -3 -5. 50. 100. 150. 200 φ=0,1 φ=0,2 φ=0,3 φ=0,4 φ=0,5. -5. -10. -15. -20. P. P. (a) (b) Figura 3.10: Curvas de nivel de las funciones que describen las estrategias dominantes del caso del Gobierno autoritario con costos cuadráticos. (a) NI domina a I. (b) O domina a NO. En la figura 3.10 se observa que NI domina a I si presenta valores muy grandes de P o valores muy pequeños de φ (O sea, valores muy grandes de ρ), mientras que O domina a NO con valores pequeños de φ o valores de P muy grandes, por lo que la situación predominante es que no se existan equilibrios en estrategias puras. 3.3. El caso de un sistema judicial corrupto: En este caso se tiene que el sistema judicial es fácilmente influenciado por el esfuerzo del sector privado representado por las firmas, inclinándose a su favor a medida que el mismo hace mayor esfuerzo. La función de probabilidad que se propone es la siguiente:. Π(s, z) =. s z2. [3.13]. s 1+ 2 z. Esta función tiene los mismos valores al límite que la del caso del sistema judicial equitativo pero es mucho más sensible a los cambios de z. Un inconveniente que presenta esta función es que si z < 1 la función “favorece” más al Gobierno que a la firma, por lo que es necesario que z > 1 para que la función propuesta cumpla los objetivos establecidos. Las derivadas de esta función son las siguientes:. 34.

(35) Π s ( s, z ) =. z2 ( s + z )2. Π z (s, z) =. − 2 sz (s + z )2. Π ss ( s , z ) =. − 2z 2 (s + z )3. Π zz ( s, z ) =. 6 sz 2 − 2 s 2 (s + z )3. Al realizar las curvas de nivel para esta función de probabilidad se obtiene la siguiente gráfica: Curvas de nivel de Π (s , z) para el Gobierno autoritario 1. z=1. 0,9. z=1,5. 0,8. z=2. (s , z). 0,7. z=3. 0,6. z=4. 0,5. z=5. 0,4. z=10. 0,3. z=20. 0,2. z=30 0,1. z=50. 0 1. 11. 21. 31. 41. s. Figura 3.11: Curvas de nivel de Π(s , z) de un sistema judicial corrupto. En la figura 3.11 puede observar en la forma de las curvas de nivel se tiene que Π es creciente en función de s y decreciente en función de z, además que presenta la misma concavidad que los casos anteriores; pero debido a la presencia del exponente en z se tienen valores de Π aumenta muy lentamente en función de s. 3.3.1. Costos lineales: En este caso las condiciones de primer orden serían las siguientes: s* = −. Uoφ 1 + 2 4ρ 2 ρ co. [3.14]. z* = 2 ρs. [3.15]. 35.

(36) En este caso la razón de proporcionalidad es mayor o igual a 2, por lo que se puede deducir que la firma siempre hará un esfuerzo mayor que el doble del esfuerzo que realiza el Gobierno, ya que la firma logra que la probabilidad Π la favorezca con menos esfuerzo que el realizado en el caso del sistema judicial equitativo, lo cual le implica un costo menor que se ve reflejado en que la razón de proporcionalidad sea mayor que la del sistema judicial justo. Sensibilidad de z*. Sensibilidad de s* 5. 5. 4,5. 4,5. 4. 4. 3,5. 3,5. 1,5. φ=0,5. s*. 2,5. φ=0,1 φ=0,2. 3. z*. 2. φ=0,1 φ=0,2 φ=0,3 φ=0,4. 3. 2,5. φ=0,3 φ=0,4 φ=0,5. 2 1,5 1. 1. 0,5. 0,5. 0. 0 0. 50. 100. 150. 0. 200. 50. 100. 150. 200. P. P. (a) (b) Figura 3.12: Sensibilidad de los esfuerzos óptimos del caso de un sistema judicial corrupto con costos lineales. (a) Sensibilidad de s*. (b) Sensibilidad de z*. En la figura 3.9 se tiene que s* tiene un comportamiento respecto a P similar al observado en el caso del sistema judicial equitativo, ya que es decreciente y posee concavidad negativa; pero con respecto a φ presenta un comportamiento creciente con concavidad negativa lo que implica que cada vez el Gobierno realiza un esfuerzo marginal menor a medida que aumenta la ganancia de renegociación. También se puede observar que z* es monótonamente creciente tanto en función de P como en defunción de φ. En ambos casos se presenta concavidad negativa lo que implica que z* tiene incrementos decrecientes a mediada que aumentan estos parámetros. Este comportamiento afecta también el comportamiento de s* ya que presenta concavidad positiva en función de P. Las condiciones de segundo orden para este caso serían las siguientes:  2z 2  U ' ' = −Uoφ  2 3  s + z   2 s 2 − 6 sz 2  V ' ' = (Uoφ + P ) 3   s + z 2 . (. ). (. 36. ).

(37) Se tiene que U’’ siempre es negativa pero para que V’’ sea negativa es necesario que se cumpla que s < 3z2 . Si esto no se cumple V’’ nunca será menor o igual a 0 a menos que tanto z y s sean iguales a 0, el cual es el equilibrio ideal social. Por otro lado, para que z* sea mayor que 1 es necesario la siguiente condición: 1+. 1 Uoφ ≤ 2ρ co. Manipulando esta expresión puede expresar esta relación de la siguiente manera: . 1 1  1 − ≤  coUoφ Uoφ  2. ( P + Uoφ). Esta relación se cumple siempre para valores mayores de 1 de Uoφ y co. Los equilibrios que se pueden presentar son los siguientes: Domina NI si Uo φφ Π Π (s*,z*)-c(s*)-Fo < 0 20 100. 150. 200. (s*,z*). 50. -0,2 -0,3 φ=0,1 φ=0,2 φ=0,3 φ=0,4 φ=0,5. -0,4 -0,5 -0,6 -0,7 -0,8 -0,9. Uo [1- (s*,z*)]-c(z*)-P. Uo. (s*,z*)-c(s*)-Fo. 0 -0,1 0. Domina O si Uo φφ [1- Π Π (s*,z*)]-c(z*)-P Π Π (s*,z*) > 0. -1. 15 10 φ=0,1 φ=0,2 φ=0,3. 5 0 -5. 0. 50. 100. 150. 200. φ=0,4 φ=0,5. -10 -15 -20. P. P. (a) (b) Figura 3.13: Curvas de nivel de las funciones que describen las estrategias dominantes del caso de un sistema judicial corrupto con costos lineales. (a) NI domina a I. (b) O domina a NO. En la figura 3.13 se observa que O siempre es domina a NO, mientras que NI nunca domina a I por lo que se concluye que solo se presenta el equilibrio (I , O).. 37.

(38) 3.3.2. Costos cuadráticos: Ya en este caso la condición de primer orden del Gobierno sería cumplida por el nivel de esfuerzo s*, el cual es la menor raíz real positiva del siguiente polinomio: s3 +. s2 s Uoφ + − =0 2 ρ 4ρ 4c o ρ. [3.16]. Nuevamente se usa el método de Newton para hallar las raíces de este polinomio. La condición de primer orden de la firma se cumple con el siguiente nivel de esfuerzo: z* =. (. ). 2ρ s *. [3.17]. Observando la razón de proporcionalidad entre s* y z* se deduce que ocurre el mismo efecto observado en los casos con costos cuadráticos debido a que realizar esfuerzo cada vez es más costoso para los jugadores, lo cual se ve reflejado en la aparición del radical. Sensibilidad de s*. Sensibilidad de z*. 3. 5 4,5. 2,5. 4 φ=0,1 φ=0,2 φ=0,3 φ=0,4. 1,5. φ=0,5. 1. 3,5. φ=0,1 φ=0,2 φ=0,3 φ=0,4 φ=0,5. 3. z*. s*. 2. 2,5 2 1,5 1. 0,5. 0,5 0. 0 0. 50. 100. 150. 0. 200. 50. 100. 150. 200. P. P. (a) (b) Figura 3.14: Sensibilidad de los esfuerzos óptimos del caso de un sistema judicial corrupto con costos cuadráticos. (a) Sensibilidad de s*. (b) Sensibilidad de z*. En la figura 3.14 se observa que tanto s* como z* presentan comportamientos similares al caso anterior, pero la sensibilidad se ve disminuida por la presencia de costos cuadráticos. Las de segundo orden de este caso son las siguientes: 38.

(39)  2z 2  U ' ' = −2c o − Uoφ  2 3  s + z   2 s 2 − 6 sz 2  V ' ' = −2co + (Uoφ + P )  2 3  s + z . (. ). (. ). En este caso se tiene una situación similar en la situación de costos lineales, ya que se vuelve a tener una ecuación cúbica y condiciones similares de segundo orden, pero para poder cumplir las condiciones de segundo orden hay una relajación debido a la presencia del –2co. Domina NI si Uo φφΠ Π(s*,z*)-c(s*)-Fo < 0. Domina O si Uo φφ [1- Π Π(s*,z*)]-c(z*)-PΠ Π (s*,z*) > 0 15. (s*,z*)-c(s*)-Fo Uo. 2 1,5. φ=0,1 φ=0,2. 1. φ=0,3 φ=0,4. 0,5. φ=0,5. 0 0. 50. 100. -0,5. 150. 200. Uo [1- (s*,z*)]-c(z*)-P. (s*,z*). 3 2,5. -1. 10. 5. φ=0,1 φ=0,2 φ=0,3. 0 0. 50. 100. -5. 150. 200. φ=0,4 φ=0,5. -10. -15. P. P. (a) (b) Figura 3.15: Curvas de nivel de las funciones que describen las estrategias dominantes del caso de un sistema judicial corrupto con costos cuadráticos. (a) NI domina a I. (b) O domina a NO. En la figura 3.13 se observa que NI es dominante para valores pequeños de φ y grandes de P (O sea, que ρ es grande) mientras que O es dominante si ocurre lo contrario, lo cual indica que pueden ocurrir solo dos equilibrios, el (I , O) y el (NI , O). El equilibrio (NI ,O) ocurre para valores pequeños de P mientras que el equilibrio (I , O) ocurre para valores grandes.. 39.

(40) 4. SIMULACIONES La simulación se usó tanto para observar el comportamiento del juego cuando no hay existencia de equilibrios en estrategias puras como cuando se levanta el supuesto de racionalidad perfecta de los jugadores, por lo que se tiene que tener en cuanta ahora el enfoque de la racionalidad acotada10 . 4.1. Introducción de la racionalidad acotada: Este enfoque se basa en la memoria limitada de los jugadores con respecto a las estrategias que han jugado durante todas las rondas del juego, de tal forma que se generan creencias por el simple hecho de que se crean las convenciones de que todo siempre ha sido así. En este caso, lo que debe hacer los jugadores es tratar de crear nuevas convenciones, por ejemplo que en una ronda en la que la firma juega limpio este hecho sea bastante publicado para que las siguientes firmas tengan en su memoria acotada de que una firma no renegocie y se vaya cambiando la creencia de que siempre se debe ser oportunista. De esta manera el gobierno podría también adoptar la estrategia de no invertir tanto en el sistema judicial. La racionalidad acotada consta de tres aspectos: La memoria finita de los jugadores, o sea, que los jugadores solo “recuerdan” un número finito de rondas antes de la ronda en que van a jugar. El segundo aspecto es que poseen racionalidad acotada lo que hace que de su memoria solo tomen una muestra pequeña para analizar el comportamiento de los otros jugadores. El tercer aspecto es que existe una probabilidad de error en la que el jugador decide usar otra forma de decidir que estrategia jugar sin tener en cuenta el resultado de la función de mejor respuesta. 4.2. Parámetros de la simulación: Para poder comparar los resultados de las simulaciones se utilizaron los parámetros consignados en la tabla 4.1. Estos parámetros se escogieron para asegurar que los esfuerzos s* y z* sean mayores que 1 en los casos en que la función de probabilidad presenta inconvenientes a esfuerzos menores a la unidad.. 10. YOUNG. 1996. 40.

(41) En todas las simulaciones a continuación se conservaron los valores de los parámetros a excepción que se mencione los parámetros que se hayan cambiado. Wo 0 εg 0,03 Uo 50 Mg 15 λ 0 Ng 3 φ 0,3 εf 0,01 P 25 Mf 10 co 1 Nf 5 Fo 1 # Rondas 1000 Tabla 4.1: Parámetros de simulación de los juegos. Donde mg es el tamaño de la memoria del Gobierno, mf el tamaño de la memoria de la firma, ng el tamaño de la muestra que toma el Gobierno, nf el tamaño de la muestra que toma la firma, ε g la probabilidad de error del Gobierno y ε f la probabilidad de error de la firma. 4.3. Análisis de los distintos sistemas judiciales. Primera simulación: El caso del sistema judicial justo con costos lineales. Con los parámetros consignados en la tabla 4.1 se tiene la siguiente matriz de pagos: Gobierno V. S. Firma (I) (NI). (O) -16 , 46 -15 , 65. (NO) -1 , 50 0 , 50. En esta matriz se observa la presencia de un equilibrio de Nash en estrategias puras (NI , O). También se tiene que los valores críticos en los cuales los jugadores son indiferentes en la función de mejor respuesta son los siguientes: α = 0.896. y. β = 0.796. Los siguientes son los resultados de la simulación: Valores de convergencia:. 41.

(42) s* 2,975. z* Π(s*,z*) ρ 7,934 0,273 2,667. s*/z* 2,667. C(s*) 2,975. c(z*) 7,934. αlim 0,743. βlim 0,448. Donde αlim es el valor al que converge el promedio de los valores de α estimados por el Gobierno cuando el número de rondas tiende a infinito y βlim es el valor al que converge el promedio de los valores de β estimados por las firmas cuando el número de rondas tiende a infinito. En la tabla anterior se puede observar que los valores de convergencia de α y de β son menores a los valores de la función de mejor respuesta. También se tiene que el valor de Π* es pequeño debido al que el valor de la razón s*/z* es alto. Estadísticas temporales: Fracción de tiempo promedio en la casilla (I , O) (I , NO) (NI , O) (NI , NO) 38% 7% 41% 14% Tiempo promedio de duración en casilla (I , O) (I , NO) (NI , O) (NI , NO) 1,563 0,231 1,208 1,016 En estas tablas se observa que el estado en el se permaneció más tiempo fue el estado (NI , O), pero el que tuvo un periodo de permanencia más largo fue el estado (I , O). Esto indica que en este caso el nivel de oportunismo es alto. Segunda simulación: El caso del sistema judicial justo con costos cuadráticos. La matriz de pago en este caso es la siguiente: Gobierno V. S. Firma (I) (NI). (O) -12 , 45 -15 , 65. (NO) -1 , 50 0 , 50. En este caso no existe ningún equilibrio de Nash en estrategias puras. Los valores críticos en los cuales los jugadores son indiferentes en la función de mejor respuesta son los siguientes:. 42.

(43) α = 0.254. y. β = 0.754. Los siguientes son los resultados de la simulación: Valores de convergencia: s* 1,329. z* Π(s*,z*) ρ 2,170 0,380 2,667. s*/z* 1,633. C(s*) 1,767. c(z*) 4,711. αlim 0,349. βlim 0,635. En esta tabla se puede observar que los valores de convergencia de α y de β son más cercanos a los valores de la función de mejor respuesta que en el caso anterior. También se tiene que el valor de Π es mayor que en el caso anterior debido al valor de la razón s*/z* es la raíz cuadrada de ρ. Estadísticas temporales: Fracción de tiempo promedio en la casilla (I , O) (I , NO) (NI , O) (NI , NO) 39% 24% 13% 24% Tiempo promedio de duración en casilla (I , O) (I , NO) (NI , O) (NI , NO) 2,990 1,213 0,414 1,714 En estas tablas se observa que el estado en el se permaneció más tiempo fue el estado (I , O) además de que tuvo un periodo el permanencia más largo de todos los estados lo cual indica que el Gobierno no es débil, pero aún así la firma es bastante oportunista. Tercera simulación: El caso del Gobierno autoritario con costos lineales. La matriz de pago en este caso es la siguiente: Gobierno V. S. Firma (I) (NI). (O) -9 , 27 -15 , 65. 43. (NO) -1 , 50 0 , 50.

(44) En este caso no existe ningún equilibrio de Nash en estrategias puras. los valores críticos en los cuales los jugadores son indiferentes en la función de mejor respuesta son los siguientes: α = 0.146. y. β = 0.392. Los siguientes son los resultados de la simulación: Valores de convergencia: s* 4,991. z* Π(s*,z*) ρ 6,655 0,789 2,667. s*/z* 1,333. C(s*) 4,991. c(z*) 6,655. αlim 0,241. βlim 0,482. En esta tabla se puede observar que los valores de convergencia de α y de β están bastante cerca de los valores de la función de mejor respuesta. También se tiene que el valor de Π es mucho mayor que en el caso del sistema judicial equitativo, tanto así que favorece bastante al Gobierno. Estadísticas temporales: Fracción de tiempo promedio en la casilla (I , O) (I , NO) (NI , O) (NI , NO) 23% 25% 12% 40% Tiempo promedio de duración en casilla (I , O) (I , NO) (NI , O) (NI , NO) 1,794 1,205 0,430 3,083 En estas tablas se observa que el estado en el se permaneció más tiempo fue el estado (NI , NO) además de que tuvo un periodo el permanencia más largo de todos los estados, lo cual indica que las firmas no tienen muchos incentivos para ser oportunistas y logra crear una reputación de fortaleza del Gobierno. Cuarta simulación: El caso del Gobierno autoritario con costos cuadráticos. La matriz de pago en este caso es la siguiente:. 44.

(45) Gobierno V. S. Firma (I) (NI). (O) -10 , 36 -15 , 65. (NO) -1 , 50 0 , 50. En este caso no existe ningún equilibrio de Nash en estrategias puras. los valores críticos en los cuales los jugadores son indiferentes en la función de mejor respuesta son los siguientes: α = 0.174. y. β = 0.509. Los siguientes son los resultados de la simulación: Los valores de convergencia son los siguientes: s* 1,880. z* Π(s*,z*) ρ 2,171 0,620 2,667. s*/z* 1,155. c(s*) 3,536. c(z*) 4,714. αlim 0,296. βlim 0,559. En esta tabla se puede observar que los valores de convergencia de α y de β están bastante cerca de los valores de la función de mejor respuesta. También se tiene que el valor de Π no es tan grande como en el caso anterior por el aumento de los costos, pero aún así favorece al Gobierno. Las estadísticas temporales son las siguientes: Fracción de tiempo promedio en la casilla (I , O) (I , NO) (NI , O) (NI , NO) 31% 25% 12% 32% Tiempo promedio de duración en casilla (I , O) (I , NO) (NI , O) (NI , NO) 2,474 1,263 0,430 2,472 En estas tablas se observa que el juego permaneció casi igual tiempo en el estado (NI , NO) como en el estado (I , O) además de que tuvieron un tiempo promedio de permanencia similar, esto se debe a que al Gobierno le cuesta más pelear lo que hace que se pierda un poco la reputación de fortaleza del Gobierno ante la firma.. 45.

(46) Quinta simulación: El caso de un sistema judicial corrupto con costos lineales. La matriz de pago en este caso es la siguiente: Gobierno V. S. Firma (I) (NI). (O) -16 , 59 -15 , 65. (NO) -1 , 50 0 , 50. En este caso se presenta un equilibrio de Nash en estrategias puras en (NI , O). Los valores críticos en los cuales los jugadores son indiferentes en la función de mejor respuesta son los siguientes: α=1 y. β=1. Los siguientes son los resultados de la simulación: Valores de convergencia: s* z* Π(s*,z*) ρ s*/z* c(s*) c(z*) αlim βlim 0,691 3,685 0,048 2,667 5,333 0,691 3,685 0,999 0,015 En este caso se tiene un nivel de esfuerzo del Gobierno muy pequeño, lo que hace que Π sea casi 0 y por lo tanto β sea cercano a 0 también. Estadísticas temporales: Fracción de tiempo promedio en la casilla (I , O) (I , NO) (NI , O) (NI , NO) 1% 0% 99% 0% Tiempo promedio de duración en casilla (I , O) (I , NO) (NI , O) (NI , NO) 0,016 0,000 71,497 0,000 Aquí se tiene que se permanece casi exclusivamente en el estado (NI , O), el cual es el que el Gobierno es débil y por lo tanto hay un nivel grande de oportunismo en las firmas.. 46.

(47) Sexta simulación: El caso de un sistema judicial corrupto con costos cuadráticos. La matriz de pago en este caso es la siguiente: Gobierno V. S. Firma (I) (NI). (O) -15 , 53 -15 , 65. (NO) -1 , 50 0 , 50. En este caso se presenta un equilibrio múltiple en estrategias puras en (I , O) y (NI , O). Los valores críticos en los cuales los jugadores son indiferentes en la función de mejor respuesta son los siguientes: α = 0.729. y. β=1. Los siguientes son los resultados de la simulación: Valores de convergencia: s* 0,999. z* Π(s*,z*) ρ 2,307 0,158 2,667. s*/z* 2,309. C(s*) 0,998. c(z*) 5,322. αlim 0,999. βlim 0,983. A diferencia del caso anterior el valor al que converge el promedio de b es casi 1, lo que indica que el Gobierno prefiere litigar debido a la posibilidad de ganar alguna renegociación. Estadísticos temporales: Fracción de tiempo promedio en la casilla (I , O) (I , NO) (NI , O) (NI , NO) 98% 0% 2% 0% Tiempo promedio de duración en casilla (I , O) (I , NO) (NI , O) (NI , NO) 71,275 0,000 0,084 0,000 Aquí se vuelve a observar que el estado en el que más se está es el estado (I , O) a diferencia del caso anterior, lo cual indica que debido a que se tienen costos 47.

(48) cuadráticos el Gobierno prefiere siempre litigar sabiendo que la firma no puede hacer mucho esfuerzo sin que esto le repercute un mayor costo. 4.4. Análisis del comportamiento de las estrategias puras bajo racionalidad acotada. Ahora se va a analizar el comportamiento de los equilibrios en estrategias puras bajo racionalidad acotada simulando el caso del sistema judicial equitativo con costos cuadráticos, el cual es el modelo más general que se puede considerar. En la sección 2.4 se dedujo las condiciones para la presencia de equilibrios de Nash en estrategias puras, por lo que se va a simular con distintos valores de los parámetros P y φ para los cuales se producen uno, dos o ningún equilibrio. Primera simulación: El caso de equilibrios múltiples en (NI , O) e (I , O): Este equilibrio se presenta cuando φ = 0,03 y P = 0,35; dejando los demás parámetros de la tabla 4.1 constantes. La matriz de pagos en este caso es la siguiente: Gobierno V. S. Firma (I) (NI). (O) -2 , 50 -2 , 52. (NO) -1 , 50 0 , 50. Los valores críticos en los cuales los jugadores son indiferentes en sus funciones de mejor respuesta son los siguientes: α=1 y. β=1. Los valores de convergencia son los siguientes: s* 0,432. z* Π(s*,z*) ρ 0,480 0,474 1,233. s*/z* 1,111. c(s*) 0,187. Las siguientes son las estadísticas temporales:. 48. c(z*) 0,231. αlim 0,999. βlim 0,015.

(49) Fracción de tiempo promedio en la casilla (I , O) (I , NO) (NI , O) (NI , NO) 1% 0% 99% 0% Tiempo promedio de duración en casilla (I , O) (I , NO) (NI , O) (NI , NO) 0,016 0,000 71,437 0,000 Aquí se observa que la racionalidad influye en que solo se presente un equilibrio, el cual es (NI , O). Segunda simulación: El caso de un equilibrio en (NI , O): Este es el caso del equilibrio en que el Gobierno tiene la reputación de ser débil y las firmas siempre son oportunistas. Este equilibrio se presenta para los siguientes valores: P = 500. φ = 0,1. y. La matriz de pagos para este caso es el siguiente: Gobierno V. S. Firma (I) (NI). (O) -6 , -11 -5 , 55. (NO) -1 , 50 0 , 50. Los valores críticos en los cuales los jugadores son indiferentes en sus funciones de mejor respuesta son los siguientes: α=1 y. β = 0,075. Los valores de convergencia son los siguientes: s* 0,454. z* Π(s*,z*) ρ s*/z* c(s*) c(z*) αlim 4,559 0,090 101,00 10,050 0,206 20,783 0,998. Las estadísticas temporales son:. 49. βlim 0,015.

(50) Fracción de tiempo promedio en la casilla (I , O) (I , NO) (NI , O) (NI , NO) 1% 0% 99% 0% Tiempo promedio de duración en casilla (I , O) (I , NO) (NI , O) (NI , NO) 0,001 0,000 80,001 0,000 En esta caso se mantiene el equilibrio en estrategias puras aún bajo racionalidad acotada. Tercera simulación: El caso de un equilibrio (I , O): Este es el caso en el que el Gobierno no es débil pero no crea reputación de fuerza, lo que causa que las firmas sigan siendo oportunistas. Este equilibrio se presenta para los siguientes valores: P = 0,1. y. φ = 0,1. La matriz de pagos para este caso es el siguiente: Gobierno V. S. Firma (I) (NI). (O) -4 , 52 -5 , 55. (NO) -1 , 50 0 , 50. Los valores críticos en los cuales los jugadores son indiferentes en sus funciones de mejor respuesta son los siguientes: α = 0,537. y. β=1. Los valores de convergencia son los siguientes: s* 0,791. z* Π(s*,z*) ρ 0,798 0,498 1,020. s*/z* 1,010. c(s*) 0,625. Las estadísticas temporales:. 50. c(z*) 0,637. αlim 0,999. βlim 0,983.

(51) Fracción de tiempo promedio en la casilla (I , O) (I , NO) (NI , O) (NI , NO) 98% 0% 2% 0% Tiempo promedio de duración en casilla (I , O) (I , NO) (NI , O) (NI , NO) 71,357 0,000 0,085 0,000 En este caso se tiene que el equilibrio se mantiene aún bajo racionalidad acotada. Cuarta simulación: No existe equilibrio de Nash en estrategias puras: Este equilibrio se presenta para los siguientes valores: P = 10. y. φ = 0,2. La matriz de pagos para este caso es el siguiente: Gobierno V. S. Firma (I) (NI). (O) -8 , 49 -10 , 60. (NO) -1 , 50 0 , 50. Los valores críticos en los cuales los jugadores son indiferentes en sus funciones de mejor respuesta son los siguientes: α = 0,341. y. β = 0,934. Los valores de convergencia son los siguientes: s* 1,101. z* Π(s*,z*) ρ 1,558 0,414 2,00. s*/z* 1,414. c(s*) 1,213. Las estadísticas temporales son las siguientes: Fracción de tiempo promedio en la casilla (I , O) (I , NO) (NI , O) (NI , NO) 54% 13% 23% 9%. 51. c(z*) 2,426. αlim 0,628. βlim 0,675.

(52) Tiempo promedio de duración en casilla (I , O) (I , NO) (NI , O) (NI , NO) 2,388 0,463 0,502 0,615 Aquí se observa que el tiempo en las casillas se distribuye entre cada uno de los estados (Casillas), pero se tiene un que más de la mitad del tiempo se encuentra en la casilla ( I , O). Este resultado es comparable con el resultado de la segunda simulación (Caso del sistema judicial justo con costos cuadráticos) en cual también hay ausencia de equilibrios en estrategias puras. En ese caso los valores de la penalidad y el porcentaje de renegociación son mayores (P = 25 y φ = 0,3), por lo que las fracciones de tiempo cambian en cada casilla. Lo más interesante de esta comparación es que en el caso de la P y φ son mayores se tiene que la fracción de tiempo en los estados donde la firma es no oportunista (I , NO) e (I , O) aumenta. Esto es importante ya que estos estados nunca forman parte de un equilibrio en estrategias puras por lo que su permanencia en el tiempo se debe a que se crea alguna reputación de fortaleza del Gobierno. 4.5. Análisis de sensibilidad del equilibrio del juego cuando no hay equilibrios en estrategias puras. Para estudiar más el efecto que tiene P y φ sobre el comportamiento del juego sin equilibrio se simuló nuevamente este caso cambiando solo P y φ. Primera simulación: P = 30 y φ = 0,25 Valores de convergencia: s* 1,194. z* Π(s*,z*) ρ 2,201 0,352 3,40. s*/z* 1,844. c(s*) 1,425. Estadísticas temporales: Fracción de tiempo promedio en la casilla (I , O) (I , NO) (NI , O) (NI , NO) 39% 21% 17% 22%. 52. c(z*) 4,845. αlim 0,588. βlim 0,608.