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SISTEMAS DE CONTROL

DIGITAL

LUIS EDO GARCÍA JAIMES

SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL PROGRAMA

Luis Edo García Jaimes 1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL

1.1 Sistemas continuos, discretos e híbridos. Conceptos 1.2 Equivalente discreto de sistemas híbridos

1.3 Muestreadores y retenedores. Convertidores A/D y convertidores D/A 1.4 Selección del periodo de muestreo. Criterios.

2. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

2.1 Procedimiento para hallar la función de transferencia en sistemas discretos. 2.2 Función de transferencia de pulso para sistemas con retenedor de orden cero. 2.3 Función de transferencia para sistemas con elementos en cascada.

2.4 Función de transferencia para sistemas en lazo cerrado.

3. MÉTODOS DE ANÁLISIS PARA SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL 3.1 El plano z y su relación con el plano S

3.2 Análisis de estabilidad. Conceptos fundamentales

3.2.1 Criterios de estabilidad para sistemas discretos (Criterio de Jury y criterio de Routh-Hurtwist).

3.3 Análisis de respuesta transitoria y de estado estable

3.3.1 Especificaciones de respuesta transitoria. Análisis de error en estado estable. 3.3.2 Constantes de error de posición, de velocidad y de aceleración

3.3.3 Polos dominantes

3.4 Método de respuesta en frecuencia para sistemas discretos 3.4.1 Diagramas de Bode para sistemas discretos

3.4.2 Margen de fase y margen de ganancia. Estabilidad

3.5 El lugar geométrico de las raíces (LGR). Sistemas discretos. 3.5.1 Condición de ángulo y condición de módulo

3.5.2 Reglas para trazar el LGR

3.5.3 Análisis de estabilidad con el LGR 4. ALGORITMOS DE CONTROL DIGITAL

4.1 Consideraciones preliminares para el diseño de controladores 4.2 Aproximación discreta de los modos de control digital: P, PI, PID 4.3 Sintonía de controladores digitales P, PI y PID (Ajuste por tablas) 4.3.1 Método de Ziegler-Nichols

4.3.2 Método de ganancia límite

4.3.3 Ajuste mediante criterios de error mínimo: IAE, IAET, ICE 4.4 Diseño de controladores digitales

4.4.1 Diseño de controladores PI y PID por cancelación de ceros y polos 4.4.2 Diseño de controladores por cancelación de ceros y polos

4.4.3 Diseño de controladores por asignación de polos

4.4.4 Controladores Deadbeat de orden normal y de orden incrementado 4.4.5 Algoritmo de Dalhin

4.4.6 Realización de algoritmos de control digital utilizando diferentes plataformas de software

BIBLIOGRAFÍA

Astrom, K. Wittenmark, B. Computer controlled systems. Prentice Hall. Eronini, U. Dinámica de Sistemas y Control. Ed. Thomas Learning. México Franklin, Gene F.; Powell, David J.; Workman, Michael L.; Powell, Dave. Digital Control of Dynamic Systems. Addison-Wesley, 1997.

García, L. Control Digital. Teoría y práctica. Tercera Edición. 2012 Kuo, B. Sistemas de Control Digital. CECSA, México

Ogata, Katsuhiko. Sistemas de control tiempo discreto. Prentice Hall, 1996 D. F. México, 2a Edición

SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO

Los sistemas de tiempo discreto, son sistemas dinámicos en los

cuales una o más variables pueden variar únicamente en ciertos

instantes. Estos instantes, llamados de muestreo y que se indican por

𝑘𝑇 (𝑘 = 0, 1, 2. . . )

pueden especificar el momento en el cual se realiza

una medición física o el tiempo en el cual se lee la memoria del

computador.

Los sistemas de tiempo continuo, se describen o modelan mediante

un conjunto de ecuaciones diferenciales, los sistemas de tiempo

discreto se describen mediante un conjunto de ecuaciones de

diferencias.

SISTEMAS CONTINUOS VS SISTEMAS DISCRETOS

SISTEMAS CONTINUOS

SISTEMAS DISCRETOS



Señales continuas. (Analógicas)



Ecuaciones diferenciales



Transformada de Laplace



Función de transferencia



Variables de estado continuas



Señales discretas. (Digitales)



Ecuaciones en diferencias



Transformada z



Función de transferencia de pulso



Variables de estado discretas

LAZO DE CONTROL DIGITAL BÁSICO

1. Se mide la variable controlada mediante el sensor adecuado.

2. La salida del sensor se lleva al convertidor de análogo a digital (A/D)

3. La salida del convertidor A/D se compara con el valor del Set-Point (SP). 4. El computador establece la diferencia (error) entre éstos valores y ejecuta un

programa en el cual se ha establecido el algoritmo de control deseado.

5. El computador proporciona una señal de salida discreta que es convertida en una señal continua mediante un convertidor de digital a análogo (D/A). 6. La salida del convertidor D/A, previamente acondicionada es aplicada al

elemento final de control para corregir el error.

EJEMPLO: CONTROL DE PRESIÓN

Luis Edo García Jaimes

P: Variable controlada V1: Válvula de descarga manual PI: Indicador de presión V/P: Convertidor Voltaje a Presión PT: Transmisor de presión ∩

#: Convertidor Análogo a Digital

PCV: Válvula control de presión #

∩

DEFINICIÓN DE TÉRMINOS

Luis Edo García Jaimes

Planta:

es cualquier objeto físico que se va a controlar. Ejemplos de plantas: un

intercambiador de calor, un reactor químico, una caldera, una torre de destilación.

Proceso

: es una operación progresiva en la cual se presenta una serie de cambios

que se suceden uno a otro de manera relativamente fija y que conducen a un

resultado determinado. Los procesos pueden ser químicos, biológicos, económicos

Elemento sensor primario:

Es el elemento que está en contacto con la variable

que se mide y utiliza o absorbe energía de ella para dar al sistema de medición una

indicación que depende de la cantidad medida. La salida de este elemento es una

DEFINICIÓN DE TÉRMINOS (2)

Transmisor: Es un dispositivo que capta la variable del proceso a través del elemento sensor primario y la transmite en forma de señal estándar. Esta señal puede ser neumática (3 a 15 PSI) o electrónica (4 a 20 mA, 0 a 5 V).

Transductor: Convierte una señal de entrada en una señal de salida cuya naturaleza puede ser o no ser diferente de la correspondiente a la señal de entrada. Son transductores: un elemento sensor primario, un transmisor, un convertidor de PP/I (Presión de proceso a corriente).

Convertidor: Es un dispositivo que recibe una señal de entrada neumática (3-15 PSI) o electrónica (4-20 mA), procedente de un instrumento y, después de modificarla, genera una señal de salida estándar. Ejemplo: un convertidor P/I (Señal de entrada neumática a señal de salida electrónica).

DEFINICIÓN DE TÉRMINOS (3)

Luis Edo García Jaimes

Controlador:

Es el dispositivo que compara el valor de la variable controlada

(presión, temperatura, nivel, velocidad, pH) con el valor deseado (Set-Point) y

utiliza la diferencia entre ellos (error) para ejercer, automáticamente, la acción

correctiva con el fin de reducir el error a cero o a un valor mínimo aceptable.

Elemento final de control:

Recibe la señal del controlador y modifica el caudal

MUESTREADORES

El muestreador es el elemento fundamental en un sistema de control de tiempo

discreto. Consiste en un interruptor que se cierra cada T segundos para admitir

una señal de entrada.

La función del muestreador es convertir una señal

continua en el tiempo (análoga) en un tren de pulsos en los instantes de muestreo

0, T, 2T… en donde T es el periodo de muestreo. Entre dos instantes de muestreo

no se transmite información.

SEÑAL DE SALIDA DEL MUESTREADOR

Luis Edo García Jaimes

Si la señal continua es muestreada en forma periódica, la señal de salida del

muestreador se puede expresar como:

𝑥

𝑡 = 𝑥 𝑘𝑇 𝛿 𝑡 − 𝑘𝑇

∞

𝑘=0

𝑥

𝑡 = 𝑥 0 𝛿 𝑡 + 𝑥 𝑇 𝛿 𝑡 − 𝑇 + 𝑥 2𝑇 𝛿 𝑡 − 2𝑇 + ⋯

La transformada de Laplace de la ecuación anterior es:

𝑋

𝑆 = 𝑥 0 + 𝑥 𝑇 𝑒

+ 𝑥 2𝑇 𝑒

+ 𝑥 3𝑇 𝑒

+ ⋯

Es decir:

𝑋

𝑆 = 𝑥(𝑘𝑇)𝑒

∞

𝑘=0

RETENEDORES

Su finalidad es convertir la señal muestreada en una señal continua de tal forma

que sea igual o lo más aproximada posible a la señal aplicada al muestreador.

El retenedor más elemental convierte la señal muestreada en una señal que es

constante entre dos instantes de muestreo consecutivos, este tipo de retenedor

se conoce como

“retenedor de orden cero”

y es comúnmente el más utilizado.

La exactitud del retenedor de orden cero en la reconstrucción de la señal depende

de la magnitud del periodo de muestreo

𝑇

.

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL RETENEDOR DE

ORDEN CERO (ZOH)

Luis Edo García Jaimes La entrada al retenedor es el tren de pulsos:

𝑥∗ 𝑡 = 𝑥 𝑘𝑇 𝛿 𝑡 − 𝑘𝑇

∞

𝑘=0

La transformada de Laplace de la ecuación anterior es:

𝑋∗ 𝑆 = 𝑥(𝑘𝑇)𝑒−𝑘𝑇𝑆

∞

𝑘=0

La salida del muestreador se puede expresar como:

𝑚 𝑡 = 𝑥(𝑘𝑇) 𝑢 𝑡 − 𝑘𝑇 − 𝑢(𝑡 − 𝑘 + 1 𝑇

∞

𝑘=0

La transformada de Laplace de la ecuación anterior es:

𝐻 𝑆 = 𝑀 (𝑆) 𝑋∗_(𝑆) =

1 − 𝑒−𝑆𝑇

CIRCUITO BÁSICO PARA MUESTREO Y RETENCIÓN

Luis Edo García Jaimes

Cuando el interruptor de estado sólido (S) se cierra, C se carga al voltaje de

entrada V

. Cuando el interruptor de estado sólido se abre el condensador sigue

cargado al voltaje existente en el momento de la apertura puesto que la

impedancia de entrada al amplificador operacional A

es muy elevada. Como el

amplificador A

está configurado como un seguidor de voltaje, su tensión de salida

EJEMPLO

Luis Edo García Jaimes

La función

𝑥(𝑡) = 𝑒

+ 3

se muestrea cada

0.5 𝑠𝑒𝑔

. Calcular: a) La función

muestreada

𝑥

𝑡 .

b) La transformada de Laplace

𝑋

(𝑆)

de

𝑥

𝑡 .

c) Si

𝑥

(𝑡)

se

hace pasar por un retenedor de orden cero, obtenga una expresión para la señal

de salida del retenedor

𝑚

(𝑡)

.

SOLUCIÓN:

a) Utilizando la ecuación:

𝑓

𝑡 = 𝑓 𝑘𝑇 𝛿 𝑡 − 𝑘𝑇

∞

𝑘=0

Pero:

𝑥 𝑘𝑇 = 𝑒

+ 3 = 𝑒

+ 3

Por lo tanto:

𝑥

𝑡 =

𝑒

+ 3 𝛿 𝑡 − 𝑘𝑇

CONTINUACIÓN EJEMPLO

b) Tomando la transformada de Laplace a cada término de la ecuación anterior:

𝑋

𝑆 = 4 + 3.3678𝑒

+ 3.1353𝑒

+ 3.0497𝑒

+ 3.0183𝑒

+ ⋯

c) Utilizando la ecuación:

𝑚

𝑡 = 𝑥(𝑘𝑇) 𝑢 𝑡 − 𝑘𝑇 − 𝑢(𝑡 − 𝑘 + 1 𝑇

∞

𝑘=0

Se obtiene:

𝑚

𝑡 = 𝑒

+ 3 𝑢 𝑡 − 𝑢(𝑡 − 𝑇) + 𝑒

+ 3 𝑢 𝑡 − 𝑇 − 𝑢(𝑡 − 2𝑇)

+ 𝑒

+ 3 𝑢 𝑡 − 2𝑇 − 𝑢(𝑡 − 3𝑇) + ⋯

Simplificando resulta:

𝑚

𝑡 = 4𝑢 𝑡 − 0.632𝑢 𝑡 − 𝑇 − 0.2325𝑢 𝑡 − 2𝑇 − 0.0855𝑢 𝑡 − 3𝑇 − 0.0314𝑢(𝑡 − 4𝑇) ⋯

TRANSFORMADA Z Y TRANSFORMADA Z INVERSA EN MATLAB

TRANSFORMADA DE LAPLACE Y TRANSFORMADA INVERSA DE

LAPLACE CON MATLAB

SELECCIÓN DEL PERIODO DE MUESTREO

El periodo de muestreo

𝑇

es un parámetro de diseño muy importante que debe

seleccionarse en función de un compromiso entre varios factores:



El tiempo de cálculo del procesador:

Cuanto menor sea el periodo más

potente debe ser el procesador, y por lo tanto más caro.



Precisión numérica en la implementación:

Cuanto menor sea el periodo

más problemas de precisión y redondeo aparecen en la implementación,

especialmente si se utiliza un procesador de coma fija.



Pérdida de información en el muestreo:

Si el periodo es demasiado elevado

comparado con la dinámica del proceso, se pierde mucha información de la

señal muestreada.



Respuesta a perturbaciones:

Entre una medición de la salida y la siguiente

el proceso funciona en lazo abierto. Si actúa una perturbación su efecto no se

podrá compensar hasta que se vuelva a medir la salida.

CRITERIOS PARA SELECCIONAR EL PERIODO DE MUESTREO

Para estimar el periodo de muestreo se puede aplicar uno de los siguientes

criterios:



Si

𝑤

es el ancho de banda del sistema en lazo cerrado, la frecuencia de

muestreo se puede estimar dentro del intervalo:

8𝑤

≤ 𝑤

≤ 12𝑤

𝑇 =

2𝜋

𝑤



El periodo de muestreo se puede evaluar a partir de la constante de tiempo

equivalente del sistema en lazo cerrado

𝜏

tomando como base el criterio:

0.2 𝜏

+ 𝜃

≤ 𝑇 ≤ 0.6(𝜏

+ 𝜃

)



Si

𝑡

es el tiempo de establecimiento del sistema en lazo cerrado el periodo de

muestreo puede seleccionarse dentro del intervalo:

EJEMPLO

Luis Edo García Jaimes

Para el sistema de control de la figura con 𝐾 = 1, determine a) El ancho de banda del sistema en lazo cerrado b) El rango dentro del cual se puede seleccionar el periodo de muestreo utilizando dos métodos diferentes. Los tiempos en s.

k _zoh 8

S(S+10)

R(S) + _C(S)

- T

a) La función de transferencia del sistema continuo en lazo cerrado es:

𝐺_𝑤 𝑆 = 𝐺(𝑆)

1 + 𝐺(𝑆) 𝐺𝑤 𝑆 =

8

𝑆2 _{+ 10𝑆 + 8}

Haciendo 𝑆 = 𝑗𝑤 se obtiene, después de simplificar:

𝐺_𝑤 𝑗𝑤 = 8

8 − 𝑤2 _{+ 𝑗10𝑤} 𝐺𝑤(𝑗𝑤) =

8

(8 − 𝑤2)2 _{+ 100𝑤}2

Para 𝑤 = 0 se obtiene: 𝐺_𝑤(𝑗𝑤) = 1

CONTINUACIÓN EJEMPLO

Luis Edo García Jaimes

8

(8 − 𝑤_𝑐2₎2 _{+ 100𝑤} 𝑐2

= 0.707

𝑤_𝑐4 + 84𝑤_𝑐2 − 64 = 0 𝑤_𝑐 = 0.869 𝑟𝑎𝑑/𝑠

b) La frecuencia de muestreo 𝑤_𝑐 debe estar en el intervalo:

8𝑤_𝑐 ≤ 𝑤_𝑠 ≤ 12 6.95 ≤ 𝑤_𝑠 ≤ 10.42 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑇 = 2𝜋

𝑤_𝑠 0.602 ≤ 𝑇 ≤ 0.903 𝑠.

Utilizando el criterio de la constante de tiempo equivalente en lazo cerrado:

0.2(𝜏_𝑒𝑞 + 𝜃′) ≤ 𝑇 ≤ 0.6(𝜏_𝑒𝑞 + 𝜃′)

La función de transferencia del sistema en lazo es de segundo orden para el cual:

𝑤_𝑛2 = 8 𝑤_𝑛 = 2.82 𝑟𝑎𝑑/𝑠

2𝜉𝑤_𝑛 = 10 𝜉 = 1.77 𝜏_𝑒𝑞 = 2𝜉

𝑤_𝑛 = 1.25 𝑠.

PROGRAMA EN MATLAB PARA CALCULAR ANCHO DE BANDA

n=input('ENTRE EL NUMERADOR DEL SISTEMA=');

d=input('ENTRE EL DENOMINADOR DEL SISTEMA=');

[nw,dw]=cloop(n,d,-1); %Calcula FT en lazo cerrado

[mag,fase,w]=bode(nw,dw); %Calcula Magnitud, y fase

mag1=mag(1,1); % Magnitud a baja frecuencia

mag2=0.707*mag1; %Calcula el valor de la magnitud para wc

wc=interp1(mag,w,mag2,'spline'); %Interpolacion para cálculo exacto

wmin=8*wc;

wmax=12*wc;

Tmin=2*pi/wmax;

Tmax=2*pi/wmin;

fprintf(' RANGO PARA EL PERIODO : Tmin=%3.2f Tmax=%3.2f',Tmin, Tmax)

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE PULSO (FTP)

Para un sistema continuo,

la función de transferencia se define como la relación

entre la Transformada de Laplace de la salida y la Transformada de Laplace de la

entrada, asumiendo las condiciones iniciales iguales a cero.

Luis Edo García Jaimes

𝐺 𝑆 = 𝑌(𝑆) 𝑋(𝑆)

Para un sistema discreto

, la función de transferencia de pulso (FTP), se define

como la relación entre la Transformada z de la salida y la Transformada z de la

entrada, asumiendo las condiciones iniciales iguales a cero.

PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA FTP



Conocida la función

𝑓(𝑡)

, la

𝐹(𝑧)

se puede calcular utilizando tablas de

transformadas y las propiedades de la transformada



Conocida la función

𝐹(𝑆)

, la

𝐹(𝑧)

se puede calcular utilizando tablas de

transformadas, las propiedades de la transformada y expansión en fracciones

parciales



Método computacional, con un software especializado. En este caso pueden

EJEMPLO

Luis Edo García Jaimes

Hallar la función de transferencia de pulso del sistema mostrado en la figura

X(S) _Y(S) Sistema X*(S) T 6 (S+1)(S+4)

SOLUCIÓN: La función de transferencia para el sistema continuo es:

𝐺 𝑆 = 𝑌(𝑆) 𝑋(𝑆) =

6

𝑆 + 1 (𝑆 + 4)

Expandiendo en fracciones parciales resulta:

𝐺 𝑆 = 𝑌(𝑆) 𝑋(𝑆) =

2

𝑆 + 1 − 2 𝑆 + 4

De tablas se obtiene:

ℑ 2

𝑆 + 1 =

2𝑧

𝑧 − 0.60653 ℑ 2

𝑆 + 4 =

2𝑧

𝑧 − 0.13533 Así, la función de transferencia de pulso para el sistema es:

𝐺 𝑧 = 𝑌(𝑧) 𝑋(𝑧) =

2𝑧

𝑧 − 0.60653 −

2𝑧

𝑧 − 0.13533 =

0.94239𝑧

FTP PARA SISTEMAS CON RETENEDOR DE ORDEN CERO (ZOH)

Luis Edo García Jaimes La figura muestra un sistema en el cual se incluye, además del muestreador, un

retenedor de orden cero precediendo a la función continua 𝐺_𝑃(𝑆).

𝐻𝐺 𝑧 = 𝑌(𝑧)

𝑋(𝑧) = ℑ 𝐻 𝑆 𝐺𝑝(𝑆)

X(S) _Y(S)

H(S)

x(t) x*(t) y(t)

X*(S) T

Retenedor Planta G_P(S)

La función de transferencia del retenedor de orden cero es: 𝐻 𝑆 = 1−𝑒−𝑆𝑇

𝑆

𝐻𝐺 𝑧 = 𝑌(𝑧)

𝑋(𝑧) = ℑ

1 − 𝑒−𝑆𝑇

𝑆 𝐺𝑝(𝑆) = ℑ 1 − 𝑒

−𝑆𝑇 𝐺𝑝(𝑆)

𝑆

𝐻𝐺 𝑧 = ℑ 𝐺𝑝(𝑆)

𝑆 − ℑ

𝐺_𝑝(𝑆) 𝑆 𝑒

−𝑆𝑇 _{= ℑ} 𝐺𝑝(𝑆)

𝑆 − 𝑧

−1_ℑ 𝐺𝑝(𝑆)

𝑆

EJEMPLO

Hallar la función de transferencia de pulso para el sistema de la figura.

Asuma que el periodo de muestreo es

𝑇 = 1 𝑠

y que el retenedor

𝐻(𝑆)

es de orden cero.

X(S) _Y(S)

H(S)

x(t) x*(t) y(t)

X*(S) T

Retenedor Planta

3 S(S+2)

SOLUCIÓN:

La función de transferencia de pulso para un sistema con

ZOH es:

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧

ℑ

𝐺 𝑆

𝑆

con

𝐺 𝑆 =

3

𝑆(𝑆 + 2)

𝐻𝐺 𝑧 = (1 − 𝑧

)ℑ

3

𝑆

(𝑆 + 2)

EJEMPLO (CONTINUACIÓN)

Luis Edo García Jaimes

Utilizando tablas se obtiene:

ℑ 𝑎

2

𝑆2_{(𝑆 + 𝑎)} =

𝑎𝑇 − 1 + 𝑒−𝑎𝑇 _{𝑧 + 1 − 𝑒}−𝑎𝑇 _{− 𝑎𝑇𝑒}−𝑎𝑇

𝑧 − 1 2 _{𝑧 − 𝑒}−𝑎𝑇

Con 𝑎 = 2 y 𝑇 = 1 resulta:

𝐻𝐺 𝑧 = 3

4 1 − 𝑧

−1 _ℑ 4

𝑆2_{(𝑆 + 2)}

𝐻𝐺 𝑧 = 0.75 𝑧 − 1 𝑧 ℑ

4 𝑆2_{(𝑆 + 2)}

𝐻𝐺 𝑧 = 0.75 1.13533𝑧 + 0.594) (𝑧 − 1)(𝑧 − 0.1353) =

0.85149(𝑧 + 0.5232) (𝑧 − 1)(𝑧 − 0.1353)

%DISCRETIZACION

clc

n=input('Entre el numerador n='); d=input('Entre el denominador d=');

T=input('Entre el periodo de muestreo T='); G=tf(n,d)

FUNCIÓN DE TRANSFRENCIA DE PULSO PARA UN SISTEMA CON

ELEMENTOS EN CASCADA

Luis Edo García Jaimes Para el sistema de la figura en el cual cada una de las funciones 𝐺₁(𝑆) y 𝐺₂(𝑆)

están precedidas por un muestreador y con el mismo periodo de muestreo, resulta:

𝑈 𝑆 = 𝐺₁ 𝑆 𝑋∗(𝑆)

𝑌 𝑆 = 𝐺₂ 𝑆 𝑈∗(𝑆)

De las ecuaciones anteriores se obtiene:

𝑈∗ 𝑆 = 𝐺₁∗ 𝑆 𝑋∗(𝑆)

𝑌∗ 𝑆 = 𝐺₂∗ 𝑆 𝑈∗(𝑆)

𝑌∗ 𝑆 = 𝐺₂∗ 𝑆 𝐺₁∗ 𝑆 𝑋∗(𝑆)

La función de transferencia de pulso es, entonces:

𝐺 𝑧 = 𝑌(𝑧)

FUNCIÓN DE TRANSFRENCIA DE PULSO PARA UN SISTEMA CON

ELEMENTOS EN CASCADA (2)

Luis Edo García Jaimes Para el sistema de la figura en la cual los elementos en cascada 𝐺₁(𝑆) y 𝐺₂(𝑆) no

presentan muestreador entre ellos, se obtiene:

𝑌 𝑆 = 𝐺₁(𝑆)𝐺₂ 𝑆 𝑋∗ 𝑆 = 𝐺₁𝐺₂ 𝑆 𝑋∗(𝑆)

De la ecuación anterior se obtiene:

𝑌∗ 𝑆 = 𝐺₁𝐺₂ 𝑆 ∗𝑋∗(𝑆)

Escribiendo la última ecuación en términos de la transformada z resulta:

𝑌 𝑧 = 𝐺₁𝐺₂ 𝑧 𝑋(𝑧)

La función de transferencia de pulso es:

𝐺 𝑧 = 𝑌(𝑧)

𝑋(𝑧) = 𝐺1𝐺2 𝑧 = ℑ 𝐺1𝐺2 𝑆

EJEMPLO

Luis Edo García Jaimes

Determinar la respuesta 𝑏(𝑘𝑇) del sistema discreto de la figura. Asuma que 𝑚(𝑡)

es un escalón unitario y que el periodo de muestreo es 𝑇 = 0.5 𝑠. 𝐻(𝑆) es un retenedor de orden cero.

m(t) m*(t) c(t)

b(t) b*(t)

, 1.6

2S+1

0.5 4S+1

1.25 H(S)

SOLUCIÓN: Debido a la presencia del retenedor de orden cero, la función de transferencia de pulso del sistema está dada por:

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 ℑ 𝐺 𝑆

𝑆 𝐺 𝑆 =

1

2𝑆 + 1 (4𝑆 + 1) =

0.125

𝑠 + 0.5 (𝑆 + 0.25)

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 ℑ 0.125

CONTINUACIÓN EJEMPLO

Luis Edo García Jaimes

Expandiendo en fracciones parciales se obtiene:

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧

ℑ

1

𝑆

+

1

𝑆 + 0.5

−

2

𝑆 + 0.25

De tablas de transformada

𝑧

y con periodo de muestreo

𝑇 = 0.5 𝑠

, resulta:

𝐻𝐺 𝑧 =

𝑧 − 1

𝑧

𝑧

𝑧 − 1

+

𝑧

𝑧 − 0.7788

−

2𝑧

𝑧 − 0.8825

Pero:

𝐻𝐺 𝑧 =

𝐵(𝑧)

𝑀(𝑧)

𝐵 𝑧 = 𝐻𝐺 𝑧 . 𝑀(𝑧)

La entrada

𝑚(𝑡)

es un escalón unitario, entonces

𝑀(𝑧) = 𝑧/(𝑧 − 1)

, por lo tanto:

𝐵 𝑧 =

𝑧

𝑧 − 1

+

𝑧

𝑧 − 0.7788

−

2𝑧

𝑧 − 0.8825

Tomando la transformada inversa

𝑧

a la expresión anterior se obtiene:

EJEMPLO

Hallar la salida 𝑥(𝑘𝑇) para el sistema mostrado en la figura. Asuma un periodo de muestreo 𝑇 = 1 𝑠 y que la entrada 𝑒(𝑡) es un escalón unitario.

𝐺₁ 𝑆 = 8

5𝑆 + 1 𝐺2 𝑆 =

3 6𝑆 + 1

E(S) A(S) A*(S) X(S) X*(S)

G₁(S) G₂(S)

T T

SOLUCION: Para el sistema de la figura 3.8 se cumple:

𝑋 𝑆 = 𝐺₂ 𝑆 𝐴∗(𝑆)

𝐴 𝑆 = 𝐺₁ 𝑆 𝐸 𝑆 = 𝐺₁𝐸(𝑆)

𝐴∗ 𝑆 = 𝐺₁𝐸(𝑆) ∗

Por lo tanto:

𝑋 𝑆 = 𝐺₂(𝑆) 𝐺₁𝐸(𝑆) ∗

𝑋∗ 𝑆 = 𝐺₂∗(𝑆) 𝐺₁𝐸(𝑆) ∗

Es decir: 𝑋 𝑧 = 𝐺₂ 𝑧 𝐺₁𝐸(𝑧)

CONTINUACIÓN EJEMPLO

𝐺₁𝐸 𝑧 = ℑ 𝐺₁𝐸(𝑆) = ℑ 8

𝑆(5𝑆 + 1) =

1.45𝑧

𝑧 − 1 (𝑧 − 0.81873)

𝐺₂ 𝑧 = ℑ 𝐺₂(𝑆) = ℑ 3

6𝑆 + 1 =

0.5𝑧

𝑧 − 0.84648

𝑋 𝑧 = 0.5𝑧

𝑧 − 0.84648 ∗

1.45𝑧

𝑧 − 1 (𝑧 − 0.81873) =

0.725𝑧2

𝑧 − 1 𝑧 − 0.84648 (𝑧 − 0.81873)

Expandiendo 𝑋(𝑧)/𝑧 en fracciones parciales, se obtiene:

𝑋 𝑧 = 26.05𝑧 𝑧 − 1 +

118𝑧

𝑧 − 0.81873 −

144.05𝑧 𝑧 − 0.84648

Finalmente, la transformada inversa z, permite obtener la salida 𝑥(𝑘𝑇) del sistema:

𝑥 𝑘𝑇 = 26.05 + 118(0.81873)𝑘 − 144.05(0.84648)𝑘 𝑘 = 0, 1, 2, 3 …

Luis Edo García Jaimes 𝑥(0) = 0.00000 𝑥(5) = 6.85870 𝑥(10) = 14.81630

SISTEMAS DE LAZO ABIERTO CON FILTROS DIGITALES

Luis Edo García Jaimes

La figura 𝑎. representa un sistema de lazo abierto en el cual, el convertidor A/D convierte la señal de tiempo continuo 𝑒(𝑡) en un secuencia de números 𝑒(𝑘𝑇), el filtro digital procesa esa secuencia de números y genera otra secuencia de números 𝑚(𝑘𝑇), la cual es convertida en una señal continua 𝑚 (𝑡) en el convertidor D/A. La figura 𝑏. es el modelo equivalente de la figura 𝑎.

De la figura 𝑏. se obtiene:

𝑀 𝑧 = 𝐷 𝑧 . 𝐸 𝑧

𝐶 𝑧 = 𝐻𝐺 𝑧 . 𝑀 𝑧

𝐶 𝑧 = 𝐷 𝑧 . 𝐻𝐺 𝑧 . 𝐸 𝑧 𝐸𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: : 𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 ℑ 𝐺𝑝 𝑆

EJEMPLO

Luis Edo García Jaimes

Determinar la respuesta del sistema de la figura ante una entrada en escalón

unitario. Asumir que el periodo de muestreo es

𝑇 = 0.2 𝑠

, que el filtro digital está

descrito por la ecuación de diferencias:

𝑚 𝑘 = 2𝑒 𝑘 − 𝑒 𝑘 − 1

y que

𝐺

𝑆 =

1

𝑆 + 1

SOLUCIÓN:

De acuerdo con la figura

𝐷(𝑧) = 𝑀(𝑧)/𝐸(𝑧)

. Tomando la

transformada

𝑧

a la ecuación que describe el filtro:

𝑀 𝑧 = 2 − 𝑧

𝐸(𝑧)

𝐷 𝑧 =

𝑀(𝑧)

𝐸(𝑧)

= 2 − 𝑧

−1

₌

2𝑧 − 1

CONTINUACIÓN DEL EJEMPLO

Luis Edo García Jaimes

La función de transferencia para la planta es:

𝐻𝐺 𝑧 = (1 − 𝑧

)ℑ

𝐺

(𝑆)

𝑆

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧

ℑ

1

𝑆 𝑆 + 1

=

0.18127

𝑧 − 0.81873

Como la entrada es un escalón unitario:

𝐸 𝑧 =

𝑧

𝑧 − 1

𝐶 𝑧 = 𝐷 𝑧 . 𝐻𝐺 𝑧 . 𝐸 𝑧 =

2𝑧 − 𝑧

𝑧

∗

0.18127

𝑧 − 0.81873

∗

𝑧

𝑧 − 1

𝐶 𝑧 =

0.18127(2𝑧 − 1)

𝑧 − 1 (𝑧 − 0.81873)

Expandiendo

𝐶(𝑧)

en fracciones parciales resulta:

𝐶 𝑧 =

1

𝑧 − 1

−

CONTINUACIÓN DEL EJEMPLO

Tomando la transformada inversa z a la expresión anterior se obtiene:

𝑐 𝑘𝑇 = 1 − 0.6376(0.81873)

𝑘 = 1, 2, 3 …

0

𝑘 = 0

A continuación se presentan valores de

𝑐(𝑘𝑇)

para

0 ≤ 𝑘 ≤ 10

, obtenidos

utilizando MATLAB.

𝑐 0 = 0.0000 𝑐 3 = 0.6500 𝑐 6 = 0.8079 𝑐(9) = 0.8946

𝑐 1 = 0.4779 𝑐 4 = 0.7135 𝑐 7 = 0.8427 𝑐(10) = 0.9137

𝑐 2 = 0.5726 𝑐 5 = 0.7654 𝑐 8 = 0.8712 𝑐 ∞ = 1.000

La

ganancia DC del sistema está dada por:

𝐾

= lim

𝑧→1

𝐷 𝑧 ∗ lim

ℎ𝐺

(𝑆)

𝐾

= lim

𝑧→1

2𝑧 − 1

𝑧

∗ lim

1

𝑆 + 1

= 1

TRANSFORMADA Z MODIFICADA

Luis Edo García Jaimes

Se utiliza cuando el sistema presenta tiempo muerto o retardo 𝜃′. Sea la FT:

𝐺_𝑝𝑆) = 𝐺 𝑆 𝑒−𝜃′𝑆 𝐺(𝑆) no contiene tiempo muerto y  ' es el tiempo muerto. Sea:

𝜃′ = 𝑁𝑇 + 𝜃 𝑇 : es el periodo de muestreo y 𝑁 la parte entera del cociente: 𝑁 = 𝜃′

𝑇 entonces:

𝐺_𝑝𝑆) = 𝐺 𝑆 𝑒−(𝑁𝑇+𝜃 )𝑆

Tomando la transformada 𝑧 a la ecuación anterior:

𝐺_𝑝 𝑧 = ℑ 𝐺 𝑆 𝑒− 𝑁𝑇+𝜃 𝑆 𝐺_𝑝 𝑧 = 𝑧−𝑁ℑ 𝐺 𝑆 𝑒−𝜃𝑆

El término ℑ 𝐺 𝑆 𝑒−𝜃𝑆 se define como la transformada 𝑧 modificada de 𝐺(𝑆) y se denota por: ℑ_𝑚 𝐺(𝑆) = 𝐺(𝑧, 𝑚). Entonces:

𝐺_𝑝 𝑧 = 𝑧−𝑁ℑ_𝑚 𝐺 𝑆 = 𝑧−𝑁𝐺 𝑧, 𝑚

En donde: 𝑚 = 1 − 𝜃

𝑇

Si el sistema tiene retenedor de orden cero, la transformada z modificada es:

EJEMPLO

Luis Edo García Jaimes

Para el sistema de la figura hallar: a) La función de transferencia 𝑌(𝑧) 𝑅(𝑧). b) La

salida 𝑦(𝑘𝑇) si la entrada es 𝑟 𝑡 = 2𝑢(𝑡)

r(t) T=2 s H(S)

2e-3S

10S+1 _y(t)

HG(z)

a) La función de transferencia del sistema es: 𝐻𝐺 𝑧 = 𝑌(𝑧)

𝑅(𝑧)

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 𝑧−𝑁ℑ_𝑚 𝐺(𝑆)

𝑆

𝑁 = 𝜃 ′ 𝑇 =

3

2 = 1 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎 𝜃 = 𝜃′ − 𝑁𝑇 = 3 − 1 ∗ 2 𝜃 = 1 𝑚 = 1 − 𝜃

𝑇 = 1 − 1

2 𝑚 = 0.5

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 𝑧−1ℑ_𝑚 2

𝑆(10𝑆 + 1) =

2(𝑧 − 1) 𝑧2 ℑ𝑚

0.1 𝑆(𝑆 + 0.1)

ℑ_𝑚 𝑎

𝑆(𝑆 + 𝑎) = 1

𝑧 − 1 −

𝑒−𝑎𝑚𝑇

𝑧 − 𝑒𝑎𝑇 𝑒

−𝑎𝑚𝑇 _{= 0.9048} 𝑒−𝑎𝑇 = 0.8187

𝐻𝐺 𝑧 = 2(𝑧 − 1) 𝑧2

1

𝑧 − 1 −

0.9048

𝑧 − 0.8187 𝐻𝐺 𝑧 =

𝑌(𝑧) 𝑅(𝑧) =

CONTINUACIÓN EJEMPLO

Luis Edo García Jaimes

b) Si

𝑟(𝑡) = 2𝑢(𝑡)

entonces

𝑅 𝑧 =

𝑧−1

𝑌 𝑧 =

0.1904𝑧 + 0.1722

𝑧

_{𝑧 − 0.8187}

∗

2𝑧

𝑧 − 1

=

0.3808𝑧 + 0.3444

𝑧(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.8187)

Se expande

𝑌(𝑧)

en fracciones parciales y se obtiene:

𝑌 𝑧 =

0.42066

𝑧

+

4

𝑧 − 1

−

4.42066

𝑧 − 0.8187

ℑ

1

𝑧

= 𝛿(𝑘 − 1)

ℑ

1

𝑧 − 𝑎

= 𝑎

𝑘−1

Tomando la transformada

𝑧

inversa resulta:

𝑦 𝑘𝑇 = 0.42066𝛿 𝑘 − 1 + 4(1)

− 4.42066(0.8187)

𝑦 0 = 0 𝑦 3 = 1.03696 𝑦 6 = 2.3740

𝑦 1 = 0 𝑦 4 = 1.5741 ⋯ ⋯

TRANSFORMADA z MODIFICADA CON MATLAB

Luis Edo García Jaimes

%DISCRETIZACION

clc

n=input('Entre el numerador n='); d=input('Entre el denominador d=');

theta=input('Entre el retardo theta='); T=input('Entre el periodo de muestreo T='); G=tf(n,d,'iodelay',theta)

GD=c2d(G,T) %Otra forma % [a,b,c,d]=tf2ss(n,d); % [ad,bd,cd,dd]=c2dt(a,b,c,T,theta); % [nd1,dd1]=ss2tf(ad,bd,cd,dd); % printsys(nd1,dd1,'z') ////////////////////////////////// %Respuesta al escalon 2u(t)

y=2*step(GD) y = 0 0 0.38065 1.0367 1.5739 2.0137 2.3737 2.6685 2.9099 G = 2

exp(-3*s) * ---

10 s + 1

Continuous-time transfer function.

GD =

0.1903 z + 0.1722

z^(-2) * ---

z - 0.8187

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE PULSO DE UN

SISTEMA EN LAZO CERRADO

Luis Edo García Jaimes

La figura muestra el diagrama en bloques de un sistema de control digital en lazo

cerrado, en el cual se incluye la dinámica de todos los elementos. A éste sistema

se le pueden efectuar algunas simplificaciones. Por ejemplo, si el modelo del

sistema es obtenido experimentalmente, la función de transferencia del proceso

𝐺

(𝑆)

incluye la dinámica del elemento final de control y la del sistema de

medición. En este caso, el diagrama de la figura

𝑎

se reduce al de la figura

𝑏.

𝐺_𝑤 𝑧 = 𝐶 𝑧 𝑅 𝑧 =

𝐷 𝑧 𝐻𝐺 𝑧 1 + 𝐷 𝑧 𝐻𝐺 𝑧

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 ℑ 𝐺𝑝 𝑆 𝑆

EJEMPLO

Luis Edo García Jaimes

Para el sistema de control discreto mostrado en la figura, hallar a) La función de

transferencia de pulso en lazo cerrado. b) La respuesta 𝑐(𝑘𝑇) si 𝑟(𝑡) es un escalón

unitario. Asuma que el periodo de muestreo es 𝑇 = 1 𝑠 , que 𝐻(𝑆) es un retenedor

de orden cero y que 𝐷(𝑧) es un controlador digital con función de transferencia:

𝐷 𝑧 = 1.5𝑧 − 1.2 𝑧 − 1

Planta

r(t) c(t)

+

-H(S) T

HG(S) e(t) e(kT)

D(z) m(kT)

Retenedor

2 S(S+4)

SOLUCIÓN: a) La función de transferencia de pulso para el sistema planta-retenedor está dada por la ecuación:

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 ℑ 𝐺𝑝 𝑆 𝑆

𝐻𝐺 𝑧 = (1 − 𝑧−1)ℑ 2

CONTINUACIÓN EJEMPLO

De tablas se encuentra que:

ℑ

𝑎

2

𝑆

(𝑆 + 𝑎)

=

𝑎𝑇 − 1 + 𝑒

𝑧 + 1 − 𝑒

− 𝑎𝑇𝑒

𝑧

𝑧 − 1

_{(𝑧 − 𝑒}

₎

Con

𝑇 = 1 𝑠

y

𝑎 = 4

se obtiene, después de simplificar:

𝐻𝐺 𝑧 =

0.37728(𝑧 + 0.30096)

𝑧 − 1 (𝑧 − 0.01831)

La función de transferencia del sistema en lazo cerrado es:

𝐺

𝑧 =

𝐶(𝑧)

𝑅(𝑧)

=

𝐷 𝑧 𝐻𝐺(𝑧)

1 + 𝐷 𝑧 𝐻𝐺(𝑧)

𝐺

𝑧 =

𝐶(𝑧)

𝑅(𝑧)

=

0.37728(𝑧 + 0.30096)

𝑧 − 1 (𝑧 − 0.01831)

∗

(1.5𝑧 − 1.2)

𝑧 − 1

1 +

0.37728(𝑧 + 0.30096)

𝑧 − 1 (𝑧 − 0.01831)

∗

(1.5𝑧 − 1.2)

𝑧 − 1

CONTINUACIÓN EJEMPLO

𝐺

𝑧 =

𝐶(𝑧)

𝑅(𝑧)

=

0.37728 𝑧 + 0.30096 1.5𝑧 − 1.2

𝑧

_{− 1.45238𝑧}

_{+ 0.75421𝑧 − 0.15457}

𝐺

𝑧 =

𝐶(𝑧)

𝑅(𝑧)

=

0.37728 𝑧 + 0.30096 (1.5𝑧 − 1.2)

𝑧 − 0.67298 (𝑧

_{− 0.77939𝑧 + 0.22969)}

Si

𝑟(𝑡)

es un escalón unitario,

𝑅(𝑧) = 𝑧/(𝑧 − 1)

, por lo tanto:

𝐶 𝑧 = 𝐺

𝑧 𝑅(𝑧) =

0.37728𝑧 𝑧 + 0.30096 (1.5𝑧 − 1.2)

(𝑧 − 1) 𝑧 − 0.67298 (𝑧

− 0.77939𝑧 + 0.22969)

Al expandir

𝐶(𝑧)/𝑧

en fracciones parciales se obtiene:

𝐶(𝑧)

𝑧

=

1

𝑧 − 1

−

2.354𝑧 − 0.48948

𝑧

_{− 0.77939𝑧 + 0.22969}

+

1.3544

𝑧 − 0.67298

Utilizando tablas se obtiene la transformada inversa

𝑧

de

𝐶(𝑧

) así:

𝑐 𝑘𝑇 = 1 + 1.3544(0.67298)𝑘 − 2.3542 cos 0.621𝑘 + 1.5339 sin 0.621𝑘 (0.4792)𝑘

EJEMPLO

Luis Edo García Jaimes

La figura representa el diagrama en bloques de un sistema de calefacción de una habitación. La salida 𝑐(𝑡) es la temperatura de la habitación en grados centígrados y la señal de voltaje 𝑚(𝑡) es la salida del sensor de temperatura. La perturbación

𝑑(𝑡) se presenta cuando se abre la puerta de la habitación. Con la puerta cerrada

𝑑(𝑡) = 0 pero, si la puerta se abre en 𝑡 = 𝑡₀ entonces 𝑑(𝑡) = 𝑢(𝑡 − 𝑡₀). a) Deduzca la función de transferencia 𝐶(𝑧)/𝐸(𝑧). b) Si se aplica un voltaje constante

SOLUCIÓN EJEMPLO

a) La función de transferencia 𝐶(𝑧) 𝐸(𝑧) es:

𝐺 𝑧 = 𝐶(𝑧)

𝐸(𝑧) = 𝐻𝐺 𝑧 𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧

−1 _ℑ 𝐺 𝑆

𝑆 𝐺 𝑆 =

2 𝑆 + 0.5

𝐺 𝑧 = 𝐶(𝑧)

𝐸(𝑧) = 1 − 𝑧

−1 _ℑ 2

𝑆(𝑆 + 0.5) ℑ

𝑎

𝑆 𝑆 + 𝑎 =

1 − 𝑒−𝑎𝑇 𝑧 (𝑧 − 1)(𝑧 − 𝑒−𝑎𝑇)

𝐺 𝑧 = 𝐶(𝑧) 𝐸(𝑧) =

2(𝑧 − 1) 0.5𝑧 ℑ

0.5

𝑆(𝑆 + 0.5) 𝐺 𝑧 =

𝐶(𝑧) 𝐸(𝑧) =

0.8848

𝑧 − 0.7788

La entrada 𝑒(𝑡) es un escalón de valor 𝑒(𝑡) = 10, entonces 𝐸 𝑧 = 10𝑧 (𝑧 − 1)

La salida 𝐶(𝑧) es:𝐶 𝑧 = 𝐻𝐺 𝑧 . 𝐸(𝑧) 𝐶 𝑧 = 0.8848

𝑧 − 0.7788 ∗

10𝑧 𝑧 − 1 =

8.848𝑧

(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.7788)

Expandiendo en fracciones parciales 𝐶(𝑧) 𝑧 se obtiene:

𝐶 𝑧 = 40𝑧 𝑧 − 1 −

40𝑧

𝑧 − 0.7788 ℑ

−1 𝑧

𝑧 − 𝑎 = 𝑎

𝑘

SOLUCIÓN EJEMPLO, CONTINUACIÓN

Luis Edo García Jaimes

b) Al abrir la puerta aparece la perturbación y la salida correspondiente a ella es:

𝐶

𝑆 = 𝐺

𝑆 ∗ 𝐷 𝑆 𝐶

𝑆 =

2.5

𝑆 + 0.5

∗

2

𝑆

=

5

𝑆(𝑆 + 0.5)

𝐶

𝑧 = ℑ

5

𝑆(𝑆 + 0.5)

=

5

0.5

ℑ

0.5

𝑆(𝑆 + 0.5)

𝐶

𝑧 =

2.212𝑧

(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.7788)

Expandiendo

𝐶

(𝑧) 𝑧

en fracciones parciales y despejando

𝐶

𝑧

resulta:

𝐶

𝑧 =

10𝑧

𝑧 − 1

−

10𝑧

𝑧 − 0.7788

ℑ

−1

𝑧

𝑧 − 𝑎

= 𝑎

𝑘

Por tanto:

𝐶

𝑘𝑇 = 10 − 10 0.7788

𝐶

= 10 ℃

c) Si la puerta se deja largo tiempo abierta, la temperatura final será:

𝐶

= 40℃ − 10℃ = 30℃

EJEMPLO FTP EN LAZO CERRADO

La figura representa el sistema de control para una de las articulaciones de un robot. a) Si la entrada al sensor es el ángulo 𝜃_𝑎 en grados y el movimiento de la articulación está restringido de 0º a 270º, determinar el rango de la salida del sensor. b) Determinar la función de transferencia del sistema en lazo cerrado cuando 𝐾 = 2.4 𝑦 𝐷 𝑧 = 1 Asuma que 𝑇 = 0.1 𝑠. c) Obtener 𝜃_𝑎(𝑘𝑇) cuando la entrada es 𝜃_𝑐=5 𝑉. Cuál será el valor final de 𝜃_𝑎?

c

 _m a

T

Control Retenedor Servomotor Engranajes

Sensor

D(Z) H(S) K

0.07

200 S(0.5S+1)

1 100

V_S +

-E_a

a) Para 𝜃_𝑎 = 0° 𝑉_𝑆 = 0.07 ∗ 0 = 0 Para 𝜃_𝑎 = 270° 𝑉_𝑆 = 0.07 ∗ 270 = 18.9 𝑉

El rango de la salida del sensor es de 0 𝑎 18.9 𝑉

SOLUCIÓN DEL EJEMPLO

Luis Edo García Jaimes

b) La FTLC del sistema es:

𝐺_𝑤 𝑧 = 𝐷(𝑧) ∗ 𝐾 ∗ 𝐻𝐺 𝑧

1 + 𝐷(𝑧) ∗ 𝐾 ∗ 𝐻𝐺 𝑧 ∗ 0.07 𝐷 𝑧 = 1 𝐾 = 2.4

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 ℑ 𝐺(𝑆)

𝑆 𝐺 𝑆 =

200

𝑆(0.5𝑆 + 1) ∗ 1 100 =

2

𝑆(0.5𝑆 + 1)

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 ℑ 2

𝑆2 _{0.5𝑆 + 1}

ℑ 𝑎

2

𝑆2(𝑆 + 𝑎) =

𝑎𝑇 − 1 + 𝑒−𝑎𝑇 𝑧 + (1 − 𝑒−𝑎𝑇 − 𝑎𝑇𝑒−𝑎𝑇) 𝑧 𝑧 − 1 2_{(𝑧 − 𝑒}−𝑎𝑇₎

𝐻𝐺 𝑧 = 2 0.5

𝑧 − 1 𝑧 ℑ

4

𝑆2 _{𝑆 + 2} 𝐻𝐺 𝑧 =

0.01873𝑧 + 0.01752 (𝑧 − 1)(𝑧 − 0.8187)

𝐺_𝑤 𝑧 = 𝜃𝑎(𝑧) 𝜃_𝑐(𝑧) =

1 ∗ 2.4 ∗ 0.01873𝑧 + 0.01752_{(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.8187)}

1 + 1 ∗ 2.4 ∗ 0.01873𝑧 + 0.01752

𝑧 − 1 𝑧 − 0.8187 ∗ 0.07

𝐺_𝑤 𝑧 = 𝜃𝑎(𝑧) 𝜃_𝑐(𝑧) =

0.04495𝑧 + 0.04205 𝑧2 _{− 1.8155𝑧 + 0.8218} =

CONTINUACION DEL EJEMPLO

Luis Edo García Jaimes

Despendo

𝜃

𝑧

:

𝜃

𝑧 =

0.04495𝑧 + 0.04205

(𝑧 − 0.9569)(𝑧 − 0.8586)

∗ 𝜃

(𝑧)

Al aplicar un escalón con

𝜃

= 5 𝑉

resulta:

𝜃

𝑧 =

0.04495𝑧 + 0.04205

(𝑧 − 0.9569)(𝑧 − 0.8586)

∗

5𝑧

𝑧 − 1

Expandiendo

𝜃

𝑧 /𝑧

en fracciones parciales y despejando

𝜃

𝑧

se obtiene:

𝜃

𝑧 =

71.3777𝑧

𝑧 − 1

+

29.0095𝑧

𝑧 − 0.8586

−

100.387𝑧

𝑧 − 0.9569

Tomando la transformada inversa

𝑧

resulta:

𝜃

𝑘𝑇 = 71.3777 + 29.0095(0.8586)

− 100(0.9569)

c) El valor del ángulo en estado estable al aplicar el escalón de 5 V es:

EL PLANO Z Y SU RELACIÓN CON EL PLANO S

En los sistemas de control en tiempo continuo, la localización de los polos y de los

ceros en el plano

𝑆

permite establecer el comportamiento dinámico del sistema.

En los sistemas de control en tiempo discreto, la ubicación de los polos y de los

ceros en el plano

𝑧

posibilita analizar el desempeño del sistema discreto.

Luis Edo García Jaimes TRANSFORMADA DE LAPLACE TRANSFORMADA z

ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑆 = න

0 ∞

𝑓 𝑡 𝑒−𝑆𝑡𝑑𝑡

ℑ 𝑡 = ℑ 𝑘𝑇 = 𝐹 𝑧 =

0 ∞

𝑓 𝑘𝑇 𝑧−𝑘

𝑡 𝑘𝑇

𝑒−𝑆𝑡 _𝑧−𝑘

𝑒𝑆𝑇 𝑧

Cuando en el proceso se involucra un muestreo por impulsos, las variables

complejas

𝑧

y

𝑆

se relacionan, mediante la ecuación:

MAPEO DE POLOS Y CEROS EN EL PLANO S Y Z

Luis Edo García Jaimes Para un polo en el plano 𝑆 ubicado en 𝑆 = −4, y periodo de muestreo 𝑇 = 0.2 𝑠, la

ubicación del polo correspondiente en el plano 𝑧 es 𝑧 = 0.449 𝑧 = 𝑒𝑆𝑇 = 𝑒−4∗0.2 𝑧 = 0.449

Im

Re

Im

Re

Plano S Plano Z

x x

x x

x

-4 0.449

SISTEMA DE PRIMER ORDEN

La función de transferencia de un sistema de primer orden con retardo es:

𝐺

𝑆 =

𝐾𝑒

−𝜃𝑆

𝜏𝑆 + 1

𝐾 =

Ganancia del sistema

𝜏 =

Constante de tiempo

𝜃 =

Retardo o tiempo muerto

La ecuación característica es:

𝜏𝑆 + 1 = 0 𝑆 = −

1

𝜏

𝑧 = 𝑒

𝑆𝑇

Por lo tanto:

𝑧 = 𝑒

𝜏 = −

𝑇

𝑙𝑛 𝑧

SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

Luis Edo García Jaimes Para un sistema de segundo orden, con función de transferencia dada por:

𝐺 𝑆 = 𝐾𝑤𝑛

2

𝑆2 _{+ 2𝜉𝑤}

𝑛𝑆 + 𝑤𝑛2

𝑤_𝑛 = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝜉 = 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐾 = 𝐺𝑎𝑛𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

Las raíces de la ecuación característica: 𝑆2 + 2𝜉𝑤_𝑛𝑆 + 𝑤_𝑛2 = 0 son:

𝑆_1,2 = −𝜉𝑤_𝑛 ± 𝑗𝑤_𝑛 1 − 𝜉2

Utilizando la ecuación 𝑧 = 𝑒𝑆𝑇 y teniendo en cuenta que 𝑒±𝑗 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 ± 𝑗𝑠𝑒𝑛𝛼 :

𝑧 = 𝑒−𝜉𝑤𝑛𝑇∠ ± 𝑤

𝑛𝑇 1 − 𝜉2 = 𝑧 ∠ ± 𝜃

Haciendo 𝑤_𝑑 = 𝑤_𝑛 1 − 𝜉2_{, la ecuación anterior se transforma en:}

𝑧 = 𝑒−𝜉𝑤𝑛𝑇∠ ± 𝑤

𝑑𝑇

El ángulo 𝑤_𝑑𝑇 está dado en radianes. Para darlo en grados:

𝑧 = 𝑒−𝜉𝑤𝑛𝑇

EJEMPLO

Luis Edo García Jaimes

Para los sistemas de control de tiempo discreto, con periodo de muestreo 𝑇 = 1.5 𝑠

𝑎) 𝐺₁ 𝑧 = 2

𝑧 − 0.5 𝑏) 𝐺2 𝑧 =

0.6𝑧

𝑧2 _{− 1.2𝑧 + 0.4} 𝑐) 𝐺3(𝑧) =

0.2𝑧

(𝑧 − 0.6)(𝑧2 _{− 1.4𝑧 + 0.6)}

Determinar la constante de tiempo y la ganancia DC.

a) Para el sistema: 𝐺₁ 𝑧 = 2

𝑧−0.5

Ecuación característica: 𝑧 − 0.5 = 0 Raices de la ecuación característica: 𝑧 = 0.5

Constante de tiempo: 𝜏 = − 𝑇

𝑙𝑛 𝑧 𝜏 = − 1.5

𝑙𝑛 0.5 𝜏 = 2.16 𝑠.

Ganancia DC 𝐾_𝐷𝐶 = lim

𝑧→1 𝐺 𝑧 𝐾𝐷𝐶 = lim𝑧→1 2

𝑧−0.5 𝐾𝐷𝐶 = 4

b) Para el sistema: 𝐺₂ 𝑧 = 0.6𝑧

𝑧2−1.2𝑧+0.4

Ecuación Característica: 𝑧2 − 1.2𝑧 + 0.4 = 0 Raíces: 𝑧 = 0.6 ± 𝑗0.2 𝑧 = 𝑅𝑒2 _{+ 𝐼𝑚}2 _{𝑧 = 0.6}2 _{+ 0.2}2 _{𝑧 = 0.632}

Constante de tiempo: 𝜏 = − 𝑇

𝑙𝑛 𝑧 𝜏 = −

1.5

𝑙𝑛 0.632 𝜏 = 3.26 𝑠.

Ganancia DC 𝐾_𝐷𝐶 = lim

𝑧→1

0.6𝑧

CONTINUACIÓN EJEMPLO

Luis Edo García Jaimes c) Para el sistema: 𝐺₃(𝑧) = 0.2𝑧

(𝑧−0.6)(𝑧2−1.4𝑧+0.6)

Ecuación característica: 𝑧 − 0.6 𝑧2 − 1.4𝑧 + 0.6 = 0 Raíces: 𝑧 = 0.6 𝑧 = 0.7 ± 0.5567

Constante de tiempo: 𝜏 = − 1.5

𝑙𝑛 0.6 −

1.5

𝑙𝑛 0.8943 𝜏 = 16.36 𝑠

ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS

Luis Edo García Jaimes

Para el sistema de control en tiempo discreto de la figura, la función de transferencia

de pulso en lazo cerrado está dada por:

𝐺_𝑤 𝑧 = 𝐶(𝑧) 𝑅(𝑧) =

𝐺(𝑧)

1 + 𝐺𝐻(𝑧)

La ecuación característica del sistema es:

1 + 𝐺𝐻 𝑧 = 0

Si 𝑧 es una raíz de la ecuación característica y teniendo en cuenta que

𝑧 = 𝑒𝑆𝑇

Si 𝑆 < 0 Entonces: 𝑧 < 1 El sistema es estable

CONDICIONES DE ESTABILIDAD DE UN SISTEMA DISCRETO



El sistema es estable si todos sus polos de lazo cerrado están ubicados dentro

del círculo unitario del plano

𝑧

. Cualquier polo de lazo cerrado localizado fuera

del círculo unitario genera un sistema inestable.



Un polo simple o un solo par de polos complejos conjugados ubicados sobre el

círculo unitario

( 𝑧 = 1)

, hace que el sistema sea críticamente estable. Polos

múltiples ubicados sobre el círculo unitario hacen que el sistema sea inestable.



Los ceros de lazo cerrado no afectan la estabilidad del sistema.

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE JURY

Para aplicar esta prueba a la ecuación característica 𝑄(𝑧) = 0, se construye una tabla cuyos elementos están determinados por los coeficientes de 𝑄(𝑧).

Para construir la tabla la ecuación característica se debe escribir en la forma:

𝑄 𝑧 = 𝑎_𝑛𝑧𝑛 + 𝑎_𝑛−1𝑧𝑛−1 + 𝑎_𝑛−2𝑧𝑛−2 + ⋯ 𝑎₁𝑧 + 𝑎₀ = 0 𝑎_𝑛 > 0

El arreglo de Jury se construye como se indica en la tabla

CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA DE JURY

Luis Edo García Jaimes

Los coeficientes del arreglo de Jury se calculan así:

𝑏₀ = _𝑎𝑎0 𝑎𝑛

𝑛 𝑎0 𝑏1 =

𝑎₀ 𝑎_𝑛−1

𝑎_𝑛 𝑎₁ 𝑏2 =

𝑎₀ 𝑎_𝑛−2

𝑎_𝑛 𝑎₂ 𝑏𝑗 =

𝑎₀ 𝑎_𝑛−𝑗 𝑎_𝑛 𝑎_𝑗

𝑐₀ = 𝑏0 𝑏𝑛−1

𝑏_𝑛−1 𝑏₀ 𝑐1 =

𝑏₀ 𝑏_𝑛−2

𝑏_𝑛−1 𝑏₁ 𝑐𝑗 =

𝑏₀ 𝑏_{𝑛−1−𝑗}

𝑏_𝑛−1 𝑏_𝑗

𝑝_𝑗 = 𝑝_𝑝0 𝑝3−𝑗

3 𝑝𝑗

Para que el sistema sea estable, se requiere el cumplimiento de 𝑛 + 1 condiciones, en donde 𝑛 es el orden de la ecuación característica. Dichas condiciones son:

1.

2.

3.

4.

5.

. . . . .

PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR LA PRUEBA DE JURY

El procedimiento para efectuar la prueba es el siguiente:

Paso1:

Determinar si se cumplen las condiciones 1, 2 y 3. Si no se cumplen, el

sistema es inestable, si se cumplen se efectúa el paso 2

Paso 2:

Determinar el máximo valor de

𝑗

, así:

𝑗

= 𝑛 − 2

Si

𝑗

= 0

, no se continúa el procedimiento pues la información del paso 1 es

suficiente para determinar la estabilidad del sistema.

Paso 3:

El máximo número de filas que ha de tener el arreglo está dado por:

𝐹

= 2𝑗

+ 1 = 2𝑛 − 3

Paso 4:

Se completa el arreglo. A cada fila se le aplica la restricción. Si ésta no se

cumple, no se continúa y el sistema es inestable

EJEMPLO 1 CRITERIO DE JURY

Luis Edo García Jaimes

Determinar la estabilidad del sistema de control discreto cuya función de transferencia en lazo cerrado es:

𝐺_𝑤 𝑧 = 𝐶(𝑧) 𝑅(𝑧) =

𝑧2(𝑧 + 0.5)

𝑧4 − 0.8𝑧3 + 0.5𝑧2 + 0.2𝑧 − 0.1

SOLUCIÓN: La ecuación característica del sistema es:

𝑧4 − 0.8𝑧3 + 0.5𝑧2 + 0.2𝑧 − 0.1 = 0

𝑎₄ = 1 𝑎₃ = −0.8 𝑎₂ = 0.5 𝑎₁ = 0.2 𝑎₀ = −0.1

Para evaluar la estabilidad el procedimiento se inicia así: Número de condiciones: 𝑛 + 1 = 4 + 1 = 5

Paso 1: Verificación de las condiciones 1, 2 y 3.

1. 𝑄 1 > 0 𝑄 1 = 1 − 0.8 + 0.5 + 0.2 − 0.1 = 0.8 > 0

2. −1 4𝑄 −1 > 0 𝑄 −1 = 1 + 0.8 + 0.5 − 0.2 − 0.1 = 2 > 0

3. 𝑎₀ < 𝑎_𝑛 −0.1 < 1

CONTINUACIÓN EJEMPLO

Luis Edo García Jaimes Paso 2. Máximo valor de 𝑗

𝑗_𝑚𝑎𝑥 = 𝑛 − 2 = 4 − 2 = 2

Paso 3: Máximo número de filas del arreglo:

𝐹_𝑚𝑎𝑥 = 2𝑗_𝑚𝑎𝑥 + 1 = 2𝑛 − 3 = 5

Paso 4: Se completa el arreglo chequeando las condiciones respectivas.

𝒋 𝑭𝒊𝒍𝒂 𝒛𝟎 𝒛𝟏 𝒛𝟐 𝒛𝟑 𝒛𝟒

0 1 2 −0.1 1 0.2 −0.8 0.5 0.5 −0.8 0.2 1 −0.1 1 3 4 −0.99 −0.12 0.78 −0.55 −0.55 0.78 −0.12 −0.99

2 5 0.9657 −0.8382 0.6831

𝑏₀ = −0.1 1

1 −0.1 = −0.99 𝑏1 =

−0.1 −0.8

1 0.2 = 0.78

𝑏₂ = −0.1 0.5

1 0.5 = −0.55 𝑏3 =

−0.1 0.2

CONTINUACIÓN EJEMPLO

Luis Edo García Jaimes

𝑐₀ = −0.99 −0.12

−0.12 −0.99 = 0.9657 𝑐1 =

−0.99 −0.55

−0.12 0.78 = −0.8382 𝑐₂ = −0.99 0.78

−0.12 −0.55 = 0.6381

𝑐₀ > 𝑐₂ 0.9657 > 0.6381 Cumple Dado que se cumplen todas las condiciones el sistema es estable.

Utilizando el Matlab se obtienen las raíces de la ecuación característica:

𝑧4 − 0.8𝑧3 + 0.5𝑧2 + 0.2𝑧 − 0.1 = 0

Así

𝑧 = 0.4521 ± 𝑗0.7257 𝑧 = 0.855 𝑧 = −0.4256 𝑧 = 0.3213

EJEMPLO 2

Para el sistema de control discreto de la figura, determinar el valor o valores de la ganancia 𝐾 para los cuales el sistema es estable. Asumir como periodo de muestreo 𝑇 = 1 𝑠 y que 𝐻(𝑆) es un retenedor de orden cero.

Luis Edo García Jaimes

SOLUCIÓN: La función de transferencia de pulso para el sistema está dada por :

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 ℑ 𝐺 𝑆

𝑆 = 1 − 𝑧

−1 _ℑ 3

𝑆2_{(𝑆 + 5)} Con un periodo de muestreo 𝑇 = 1 𝑠 se obtiene:

𝐻𝐺 𝑧 = 0.4808(𝑧 + 0.2394) 𝑧 − 1 (𝑧 − 0.00673)

La función de transferencia en lazo cerrado es:

𝐺_𝑤 𝑧 = 𝐶(𝑧) 𝑅(𝑧) =

𝐾. 𝐻𝐺(𝑧) 1 + 𝐾. 𝐻𝐺(𝑧) 𝐺_𝑤 𝑧 = 𝐶(𝑧)

𝑅(𝑧) =

0.4808𝐾(𝑧 + 0.2394)

CONTINUACIÓN EJEMPLO

Luis Edo García Jaimes

La ecuación característica del sistema es:

𝑧 − 1 𝑧 − 0.00673 + 0.4808𝐾 𝑧 + 0.2394 = 0

Reorganizando términos:

𝑧

− 1.00673 − 0.4808𝐾 𝑧 + 0.00673 + 0.1151𝐾 = 0

Número de condiciones

: 𝑛 + 1 = 3

1.

𝑄 1 = 1 − 1.00673 − 0.4808𝐾 + 0.00673 + 0.1151𝐾 > 0

0.5959𝐾 > 0 𝐾 > 0

2.

−1

𝑄 −1 = 1 − 1.00673 − 0.4808𝐾 −1 + 0.00673 + 0.1151𝐾 > 0

2.01346 − 0.3657𝐾 > 0 𝐾 < 5.5

3.

𝑎

< 𝑎

0.00673 + 0.1151𝐾 < 1

−8.7446 < 𝐾 < 8.6296

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH PARA SISTEMAS DISCRETOS

Luis Edo García Jaimes

Un método muy utilizado en el análisis de estabilidad de sistemas discretos es el

uso de la transformación bilineal junto con el criterio de Routh. La transformación

bilineal permite transformar el plano 𝑧 en otro plano 𝑤 y está definida por:

𝑧 = 1 + 𝑇𝑤

2 1 − 𝑇𝑤₂

𝑤 = 2 𝑇

𝑧 − 1 𝑧 + 1

Lo cual posibilita transformar la ecuación característica:

𝑄 𝑧 = 𝑎_𝑛𝑧𝑛 + 𝑎_𝑛−1𝑧𝑛−1 + 𝑎_𝑛−2𝑧𝑛−2 + ⋯ 𝑎₁𝑧 + 𝑎₀ = 0 𝑎_𝑛 > 0

En otra ecuación característica de la forma:

𝑄 𝑤 = 𝛼_𝑛𝑤𝑛 + 𝛼_𝑛−1𝑤𝑛−1 + ⋯ 𝛼₁𝑤 + 𝛼₀

Así, el arreglo de Routh toma la forma:

𝑤𝑛 𝑤𝑛−1 𝑤𝑛−2 𝑤𝑛−3 ⋮ 𝑤2 𝑤1 𝑤0

𝛼_𝑛 𝛼_𝑛−2 𝛼_𝑛−4 ⋯

𝛼_{𝑛 −1} 𝛼_𝑛−3 𝛼_𝑛−5 ⋯

𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃ …

𝑐₁ 𝑐₂ 𝑐₃ ⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝑝₁ 𝑝₂

𝑞₁ 𝑟₁

COEFICIENTES DEL ARREGLO DE ROUTH

En donde:

𝑏

=

(𝛼

)(𝛼

) − 𝛼

(𝛼

)

𝛼

𝑐

=

𝑏

𝛼

− 𝑏

(𝛼

)

𝑏

𝑏

=

(𝛼

)(𝛼

) − 𝛼

(𝛼

)

𝛼

𝑐

=

𝑏

𝛼

− 𝑏

(𝛼

)

𝑏

𝑏

=

(𝛼

)(𝛼

) − 𝛼

(𝛼

)

𝛼

. . . .

El criterio de Routh-Hurwist establece que:

el sistema es estable sí y solo sí todos

los coeficientes de la primera columna del arreglo son positivos

.

“El número de raíces de la ecuación característica con parte real positiva es igual

al número de cambios de signo que se presentan en los coeficientes de la primera

columna del arreglo”.

EJEMPLO ESTABILIDAD SEGÚN CRITERIO DE ROUTH

Determinar el valor de

𝐾

para el cual el sistema de control discreto de la figura es

estable.

𝐻(𝑆)

es un retenedor de orden cero. Periodo de muestreo

𝑇 = 2 𝑠.

Luis Edo García Jaimes

SOLUCIÓN:

Como la función de transferencia del proceso presenta retardo, es

necesario trabajar con la transformada

𝑧

modificada. Por lo tanto:

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧

𝑧

ℑ

𝐺

𝑆

𝑆

𝐺

(𝑆) =

5𝑒

10𝑆 + 1

𝑁 =

𝜃

′

𝑇

=

3

2

= 1 (𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎)

𝜃 = 𝜃

− 𝑁𝑇 = 3 − 2 𝜃 = 1

𝑚 = 1 −

𝜃

𝑇

= 1 −

1

2

𝑚 = 0.5

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧

𝑧

ℑ

5

𝑆 10𝑆 + 1

=

5(𝑧 − 1)

𝑧

ℑ