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GUÍA DE ESTUDIO PARA EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICAS II 2015 – 2016
Nombre del alumno (a)
_______________________________________________________GRUPO:_____
INSTRUCCIONES: Responde esta guía siguiendo las indicaciones de tu profesor. Todos los ejercicios tienen el mismo valor. Es decir un acierto
1. Cuál será el signo del producto, si se multiplican:
a) Cuatro factores negativos:_______________ b) Siete factores negativos:_____________ c) Quince factores negativos:_____________ d) 450 factores negativos:______________
2. Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones:
a) ( – 9 ) ( – 8 ) = e) ( 78 ) ( – 6 ) = i) ( – 5 ) ( 0 ) =
b) ( – 63 ) ( – 9 ) = f) ( 16.8 ) (– 4.1 ) = j) ( –104 ) ( 8 ) = c) ( 7 ) ( – 4 ) = g) ( 72 ) ( 9 ) = k) ( –7.8 ) ( + 7.8 ) = d) ( – 42 ) ( 0 ) = h) ( 8 ) (–5 ) ( 9 ) = l) ( – 7 ) ( 7 ) =
3. Encuentra el número que falta en cada caso.
a) ( – 9 ) ( ) = 54 c) ( ) ÷ ( -1 ) = – 8.2 b) ( ) (– 1 ) = – 19 d) ( 99 ) ÷ ( ) = – 9 1.- Resuelve las siguientes operaciones
a – 7 = b -5 b 7 b -3 = m6 m4 m2 = m – 4 = ( 55 ) ( 53 ) = x – 4 y7 z – 3 = ( a4 b8 c3 )-2 = ( – 6a4 b-5 c6 )0 = (– 6x4y7 ) ÷ (3xy3) = (3x4y) (– 2y3) (– x2y) = ( 8xyz )0 = ( x2y3 ) ( y3 ) ( – xy6 ) = ( 2m4 n3 p-2 )3= ( a-5 )( a3 ) ( 3-2 ) ( 35 ) = ( x3 )4 ( a6 ) ( a3 ) ( a-1 ) = (a-1b)7 = ( c2 b5 ) – 4 = ( 23 ) ( 3 ) ( 23 ) = 0 3 9 6
b
a
ab
= x 7 x3 3 7b
b
= 8x 9 2x6Responde el ejercicio empleando el esquema.
Si l1 ll l2
a) cuatro ángulos internos 2, 3, 6 y 7 b) cuatro ángulos externos 1, 5, 4, 8
m 1 2 c) por su posición 1 es opuesto por el vértice de 6 3 4 d) por su posición 1 es correspondiente de 3 5 6 7 8 e) 5 es alterno externo de 4
f) 6 es colateral interno de 7 l1 l2 g) 2 es alterno interno de 7
Ángulos Ángulos Ángulos Ángulos Ángulos correspondientes alternos alternos colaterales colaterales internos externos internos externo
1 = 3 2 = 7 1 = 8 2 + 3 = 180° 1 + 4 = 180° 2 = 4 6 = 3 5 = 4 6 + 7 = 180° 5 + 8 = 180° 5 = 7 6 = 8
=
=
=
=
2
Ejercicio
Considera que las rectas PQ y RS son paralelas, calcula y anota las medidas de ángulos que hacen falta.
112º 47º 115º
¿Cuánto miden los ángulos internos a, c y e del triángulo que aparece en la siguiente ilustración, si el ángulo b’ mide 45° y el ángulo d’ mide 60°?
Ejercicio
Di qué triángulos son congruentes, indicando el criterio.
Ejercicio
En cada caso obtén la moda, mediana y media
1, 1, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 8, 8 Mo = Me = x = 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 12, 13, 14, 15, 15, 15, 17, 17, 18 Mo = Me = x =
a
e
c
b
a
d
e’
a’
d’
∢
a = __________
∢
b = __________
∢
c = __________
∢
d = __________
∢
e = __________
∢
f = ___________
∢
g =___________
∢
h = __________
Q
S
a = __________
c = __________
e = __________
R
3
5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 108 Mo =
Me =
x =
Indica en lenguaje algebraico cada uno de los siguientes casos:
El cubo de un número: _______________________
El triple de un número: _______________________________
El cubo de la quinta parte de un número: _______________________ El precio de un artículo más $ 100: ______________________
El doble de una distancia menos 100 kilómetros: ______________________ La mitad de un número aumentado en 4: ____________________
El doble de x aumentado en y: _______________________________ El producto entre un número y su sucesor: _______________
La semisuma entre a y b: _________________
La división de un número entre su antecesor:___________
Reduce los siguientes términos semejantes:
1. Resuelve las siguientes adiciones:
a) ( 16m6 - 7n5 ) + ( -8m6 – 3n5 ) + ( 7m6 – 4n5 ) = b) (-2ab + 16c – 3 ) + ( 34ab – 18c + 52d – 97) c) (3x + 7) + ( 2x + 3) +( 3x + 7) + (2x + 3) = d) ( -33d+15a + 7a – 9b) – ( 2a + a – 39b)= e) (5 2a – 8b ) – ( 11a + 5b – 22c) = f) ( a2 – 8ab + 5b2 ) + ( – 2a2 – 9ab – 7b3 ) + (3 2a 2 + 9ab – 2b2 ) = g) ( 2x 2 – 4 3xy + 4y 2 ) + ( 3y 2 + x2 – 3xy) + ( – 6xy – 7 3x 2 + y2 ) =
2. Relaciona las dos columnas anotando dentro del paréntesis la letra que corresponda a la respuesta. ( ) -4x - 4x A) 5x2 + 3x3 ( ) -6x + 2x – 5x B) 8.5x ( ) 6x – 1 2x + 3x C) No reducible ( ) 4x2 + 3x3+ x2 D) -8x ( ) 27yx2 + 5y2x2 E) 2xy2 -7x2y ( ) – 4.5x8 + 9 2x 8 = F) -9x ( ) 7x3y + 3xy3 – 6x3y G) 12zyx ( ) 1 2x 2 + x3 + 7 2x 2 + 2x3 H) 0 ( ) 4yxz + 8xyz I) 4x2+3x3 ( ) -9xy2 – 7x2y - 5y2x + 16y2x J) x3y+3xy3
3. Obtén el perímetro de las siguientes figuras a – 8a = – 19m – 5m = 12x + 9x = – 6b – 6b = 5 2a – 34a = – 2.5m –6.4m = -4x - 8 3x = 4b – 5.3b = 9ab – 4ab = –xy – 4xy = –5c – 5c2 = – 3z2 + 3z2 = 19ab + 12ba = – 5xy – 7xy = 3 2 n 2m – 9n2m = - 11mn – 1 2mn = 67vyx + 10vyx = – 13xyz – 24xy2z = 3 4a 3b5 – 1 4a 3b5 = – 9x6y2 – 9x2y6 = – 33x8y3 – 33 x8y3 = 68d2e6f - 68d2e6f = 79x8z y3 + 9.8 x8y3z = – 5.4abc – 1 3abc = 1 1 5a – 4a = – 22f8 + 22f8 = – 4.5x8 + 9 2x 8 = – 7ec9d – 8c9de = 4.9zx2y – 1 3zx 2y – 4m7n5 – 3m5n7 =
4
a) b) 4b 2x + 1 2x + 1 2 5 a 5 4x + 4 c) d) 2p 2p a 3p + 5 b 5x – 2y 2x – y 2y 5x + y1. Relaciona las dos columnas anotando dentro del paréntesis la letra que corresponda a la respuesta. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9m – ( – 12m ) = -14m – ( 6m ) = ( 21m + 7n ) – ( 8m + 4n ) = ( 2m + n ) – ( 5m – 4n ) = ( 7mn – 9n ) – ( – 31n + mn ) = ( 10m2 – 3n ) – ( -5m2 – 4n ) = ( 2m3 + 3n2 ) – ( 3m2 + 4n3 ) = ( -17m – 1 3 n ) – ( – 4m + 5 3n ) = (25m – 6.3n) – (12m – 3.3n)= A ) B) C) D) E) F) G) H) I) J) –20m 15m2 + n No realizable 13m – 3n –13m – 2n -15m2 - n 3m – 3m - 3n 13m + 3n 6mn + 22n
2. Resuelve las siguientes sustracciones:
a) ( 8m2 – 17mn + 6n2 ) – ( – 2m2 – 3mn – 5n2 ) = b) ( -a 2 + 2ab + 2b2 ) – ( b 2 + 2a2 – 3ab ) = c) ( y2 – 6z2 + yz ) – ( 4y2 – 9yz – 2z2 ) = d) ( 4a2 – 7ab + 3b2 ) – ( 5a2 – 2b2 ) = e) ( x2 – 2xzy + 4y2 ) – ( 2y 2 – 3xy + x2 ) = f) (2 3c 2 – 3d2 + cd ) – ( 3c2 – 2d2 – 2cd ) = g) ( 7.3ab + 18c – 3.2 ) – ( 18ab – 8.1c + 7e – 12) h) ( 3.3x + 7m + 2.4z + 1) – ( 3x + 2z + 5m + 4y - 9 ) = i) (2 5a + 1 2a 3 – 2b) – (3 4a + 5 2a 3 – 1 2b)= j) ( 3y2x + 2yx2 + 5z ) – ( 3z + 4x2y + 6xy2) =
Calcula el término desconocido de las siguientes proporciones:
P =
P =
P =
P =
P =
10p
3p + 1
2x
P =
5x + 2
2x
7x - 2
5
10
4
=60
x
12
9
=12
x
32
8
=x
2
6
x
=24
8
9
3
=12
x
x = _________ x = __________ x = __________ x = ___________ x = ___________Ejercicio
1. Una familia de 6 personas ha pagado por 7 días de vacaciones $ 15 540. Si una familia ha estado de vacaciones 5 días y pagado $ 5 550. ¿ Cuántas personas tiene la familia ?
Personas Dinero Días
x
6
550
5
540
15
5
7
x
6
=15
540
x7
x
6
=77
700
700
77
x
6
=6
233
100
=La familia consta de personas
2. Si para transportar 1 480 toneladas de tierra hacen falta 4 camiones durante 10 días. Si tenemos que transportar 2 368 toneladas de tierra, durante 8 días. ¿ Cuántos camiones necesitamos ?
Camiones Días Toneladas
x
4
8
10
368
2
480
1
Cuerpo Nombre Aristas Vértices Fórmula del volumen Desarrollo plano
Cubo 12 8 V = ℓ Lado = ℓ Prisma rectangular 12 8 V = b a h b = Largo de la base a = Ancho de la base
h = altura del prisma
Prisma triangular 9 6 V = ( a ) b = base h = altura de la base a = altura del prisma
Directa Inversa
3
2
bh
6
Prisma hexagonal 18 12 V =P
2
ap
( a ) P = perímetro ap = apotema a = alturaGeneralizando el volumen de los prismas es: Superficie de la base por altura
Pirámide triangular 6 4 V =
3
h
x
base
la
de
área
Área de la base =2
bh
h = altura de la pirámide Pirámide hexagonal 12 7 V =3
h
x
base
la
de
área
Área de la base =2
ap
P
h = altura de la pirámide Pirámide cuadrangular 8 5 V =3
h
x
base
la
de
área
Área de la base = ℓ h = altura de la pirámideGeneralizando el volumen de las pirámides es: Superficie de la base por altura entre tres
Completa la tabla siguiente.
Cuerpo
Datos de la base Altura del
cuerpo (cm) Volumen (cm3) Largo (cm) Ancho (cm) Prisma cuadrangular 9 10 Prisma cuadrangular 4 240 Prisma rectangular 8 2 5 Prisma rectangular 2 20 180 Pirámide rectangular 5 3 180 Pirámide cuadrangular 5 10 Cuerpo Datos de la base Altura del cuerpo (cm) Volumen (cm3) Lado (cm) Apotema (cm) Prisma pentagonal 5 3 12 Pirámide hexagonal 6 4 360 Prisma octagonal 6 20 240 Cuerpo
Datos de la base Altura del
cuerpo (cm) Volumen (cm3) Base (cm) Altura (cm) Prisma triangular 4 12 168 Pirámide triangular 5 9 10 Pirámide triangular 4 6 40 TÉCNICAS DE CONTEO Ejercicio 2
7
Contesta lo que se te pide
1. Con las letras de la palabra libro, ¿ cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal ?
De cuántas maneras se pueden combinar los siguientes platillos y construye un diagrama de árbol y un arreglo rectangular
Sopa: lentejas, arroz y fideo Guisado: carne, pollo y pescado Postre: gelatina, flan y pastel
2. Toño tiene 4 chamarras y 3 pantalones. ¿ De cuántas maneras puede combinar su vestuario ? 3. Construye un diagrama de árbol y un arreglo rectangular sobre el siguiente problema.
Lupita va a la nevería a comprar un helado de tres sabores diferentes. ¿ De cuántas formas diferentes puede combinar los 3 sabores ?.
4. Un lugar turístico tiene 6 ríos. Si en cada río navegan 4 lanchas y en cada lancha viajan 10 pasajeros, ¿ cuál es el total de pasajeros que transportan en su primer viaje ?
5. De cuántas maneras se pueden combinar los números 1, 2, y 3 con las letras A, B, C
Ejercicio
1.- Resuelve las siguientes operaciones:
a) 20 + 5( -38 ) = b) 240 – 72 4 = c) 1275 5( -85 ) = d) 160 + 84 – 3( 20 ) = e) 330 – 4(- 53 ) + 14 = f ) ( - 3 2 + 4 ) 5 = g) ( 5 – 7 2 ) ( 1 3 - 3 2 ) = h) 2 5 ( 3 + 4 – 5 ) = i) ( 5 • 4 )
34 + 4 = k) 1 2 [ – ( 7 • 3 ) ] = l)
1 4 – ( 8 – 2 5 )
– ( 9 – 4 ) = m)
( 3 - 4 ) 7
– 9 + ( 11 • 5 ) = n) [ ( – 5 ) ( 1 4 ) ] [ ( – 6 ) ( 2 ) ] = ñ) – 3[ – 8 – 3( 70 – 3 ) ] [ 2( 5 – 4 ) ] = o) – { – 7 + 7 2 – [ – 5 – ( – 2 + 2 3 – 5 + 4) ] } = p) – 4 – 3 – { – 6 + 4 +[ – ( – 3 + 5 ) ] } + 3 – 2 = q) – 4 – 5 – { – 3 2 + 6 + 7 – [ – 8 + 3 - ( 3 – 8 3 + 8 ) – 1 3 ] + 5 + 7 + 4 } =2.- Coloca en cada caso, los paréntesis en los lugares adecuados para que se cumplan las siguientes igualdades:
a)
3 • 4 + 5 + 6 = 23 d) 3 + 9 • 2 – 5 = 19b)
16 – 8 – 3 = 11 e) -23 + 7 + 5 2 - 3 2 = -1c)
6² – 5 – 2² = 35 f) ( 23 – 5 ) 4 = 4.5 3.- Resuelve las siguientes operaciones:4a + ( 8b – 3a ) = 9x – ( 2y – 9x ) + 7y = ( 4x + 6y – 5z ) + 8x – ( 11x – 2y + 3z ) = – ( 8m + 3n ) – (1 2m – 2n ) + ( 5 2m – 5n ) – 3n = 6m + 5 2m – ( 3m + 4n ) + ( 5m – 7n ) – 3n – 1 3n = – 5x + ( 3x + 1 3y ) – ( 1 2x – 3y ) + 7y – 8x = 2c + ( 10c + 3d ) – 3d + 35c – – 6c – (-5 2c + 3d ) + 7d = 1.- Resuelve las siguientes multiplicaciones algebraicas:
8
( 2x2 ) ( – 5xy ) = ( 6x3 ) ( 3x5 ) = ( – 4m2n ) ( –3m-5 ) ( – 6mn3 ) = ( 3cx6 –11c + 5c-2x2 ) ( – 2cx3 ) = ( – 0.7 x2 ) ( – 4.1xy 2 ) ( – 2.2xy3 ) = ( 12w – 3qw4 + 7q2r3 ) ( 4qwr – q2r6w3 ) = ( a2 + 3b + 2ab3 ) ( 2a + b4 – 14 ) = ( 6d3 – 2 3f 2 + 2d3 ) ( 5d3 – 3f2 + 9d4 ) = ( – x2 + 9x3 – 1 )( x2 + 2x – 5 3 ) = ( – 3 2x 2 + 6x – 9 ) ( – 4 3x 3 ) = (- 1 3df – 5f 2 + 3d)(3 4d – 2f ) = ( – 7d + 1 5e 2 – 6f3 )( 2 3d 2 + 4e - 8f3 ) =( 4.6ab2 – 9a8c + 8ad3 ) ( – 6.3ab + 2a-1c – 1 3ad
3 ) =
1.- Resuelve las siguientes divisiones:
5h5 5 m – 30h8 + 85a3 h7 – 4x4 2x5 – 28x7 + 52x4
13m5 -91m9 + 104m6 – 78m5 9x2 y5 – 81x3 y6 z9 + 54x2 y10 – 18x2 y5
9
Ejercicio
Contesta las siguientes preguntas sobre los ángulos internos de distintos polígonos convexos
Polígono Fígura Número de lados
del polígono
Número de triángulos en los que quedó dividido
Suma de los ángulos internos del polígono
Triángulo 3 1 180° Cuadrilátero 4 Pentágono 5 Hexágono 6 Heptágono 7 5 900° Octágono 8 Eneágono 9 Decágono 10 Endecágono 11 Dodecágono 12 Icoságono 20 Ejercicio: 1) 6x + 8x + 30 = 20 + x + 3x 4) 8 + 3x – 4x = – x – 3x + 29 2) – 4y – 3 = – x + 5 5) 2 3m +10 = - 4 3m + 2 3) 25x + 8 = 3x -3 6) 1 2 + 5x = 1 3 x – 5 2
10
Ejercicio: 1) x + 3(-9x + 3) = -4 4) x + 4(x + 3) = 28 2) 6( x – 8 ) = 24 ( x + 5 ) 5) 12z – ( 3z – 1 ) – (1 2 z – 35 ) = z + 58 3) 3 + 7( x – 5 ) = -3( x + 19 ) 6) 4 ( b + 1 2 ) + 9 = 2( 3b – 4 ) + b EjercicioEncuentra la generalización de cada una de las siguientes sucesiones.
Sucesión Generalización 1) – 6, – 9, – 12, – 15, – 18, … 2) 4, 2, 0, – 2, – 4, – 6, … 3) 36, 31, 26, 21, 16, 11, … 4) – 7, – 1, 5, 11, 17, 23, 29, … 5) – 13, – 19, – 25, – 31, – 37, – 43, – 49,,… 6) – 3.5, – 7.5, – 11.5, – 15.5, – 19.5, – 23.5, – 27.5, … 7) – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, … 8) 20, 18, 16, 14, 12, 10, …
Encuentra los 8 primeros términos de la sucesión de cada una de las siguientes generalizaciones:
1) 4n – 7 2) n – 13 3) 2n – 2 4) – 3n + 15 5) 2n – 7 6) – 5n + 1 7) 3n – 6 8) 12n – 4 Ejercicio
1) La siguiente gráfica registra las temperaturas de un día en dos ciudades diferentes, denominadas A y B, analízalas y responde a lo que se indica.
11
a) ¿En qué ciudad se registro la mayor temperatura del día?, ¿De cuántos grados fue? b) ¿Cuál fue la temperatura más baja del día en la ciudad A?
c) ¿En qué ciudad hacia más calor a las 9 a.m.
2) Los alumnos de segundo A fueron de paseo a las Lagunas de Zempoala y el recorrido que hicieron en el autobús se puede representar en la siguiente gráfica.
Paseo a Zempoala
a) ¿Cuánto tiempo tardaron en llegar? _______________________________________
b) ¿Cuántos kilómetros recorrieron?____________________________________________
c) Antes de llegar pararon a desayunar, ¿cuánto tiempo se tardaron?___________________
d) Después del desayuno ¿qué distancia les faltaba por recorrer?______________________
e) ¿Cómo identificas en la gráfica el tiempo que utilizaron para desayunar?_____________
3) Analiza la información de las siguientes gráficas: 100 120 140 160 180 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 K I ó m e t r o s
12
Responde las siguientes preguntas:
a) ¿En qué año se incrementó más el número de bibliotecas? ______________ b) ¿En qué año el incremento de libros fue menor? ___________________ c) ¿Cuál fue el promedio de libros por biblioteca en el año 2000? __________ d) ¿En qué año el incremento de bibliotecas fue menor?______________ e) ¿Cuántas bibliotecas se abrieron en el periodo 2000 – 2005? ____________
f) ¿Cuál es el promedio de libros en las bibliotecas en el periodo 2000 – 2005? _______
Ejercicio: a) 3x - 4y = - 6 b) 2x + 3y = -1 c) x + y = 60 d) 𝑥 5 = 𝑦 4 2x + 4y = 16 3x + 4y = 0 16x +20y = 1100 𝑦 3 = 𝑥 3 - 1 e) 𝑥 7 + 𝑦 8 = 0 𝑥 7 - 3𝑦 4 = 7 Ejercicios
Ahora desarrolla y comprueba los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de reducción:
a) 3x + 2y = 24 b) x + y = 58 c) 3𝑥 2 + y = 11 d) 15x - y = 40 x + 3y = 3 2x +4y = 168 x + 𝑦 2 = 7 19x + 8y = 236 e) 5𝑥 12 – y = 9 10 841 11 493 11 723 11 952 12 311 12 549 9500 10000 10500 11000 11500 12000 12500 13000 _2000 _2001 _2002 _2003 _2004 _2005
Bibliotecas
58.4 55.1 55.4 56.4 64.7 65.8 45 50 55 60 65 70 _2000 _2001 _2002 _2003 _2004 _2005Acervo bibliotecario
(millones de volúmenes)
B
i
b
l
i
o
t
e
c
a
s
V
o
l
ú
m
e
n
e
s
Años Años13
x - 3𝑦 4 = 15
Ejercicio
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas.
a) x - 5y = –14 b) 6x – 18y = – 85 c) 14x – 11y = –29 d) 2𝑥 3 – 3𝑦 4 = 1 x + 2y = 7 24x – 5y = –5 13y – 8x = 30 𝑦 8 – 5𝑥 6 = 2 e) 2𝑥+1 5 = 𝑦 4 2x – 3y = –8 Ejercicios
Ahora grafica los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) x - y = 1 b) x - 2y = 10 c) 5x –3 y = 0 d) x + y = – 5 x + y = 7 2x +3y = -8 7x - y = -16 3x + y = 1
Ejercicios:
1) Encuentra la función de las siguientes gráficas:
y R1 y - x x - x x R1 - y - y y = y = y = y = - x x - x x
3) En la siguiente gráfica, elige la opción que corresponda a la familia de rectas representada.
R3
R3
R1
R2
R1
R2
y
y
- y
- y
R2
Y=
Y=
Y=
Y=
y
14
a) y = – x + 2 b) y = 2x + 2 c) y = 2x + 1 d) y = 2x – 1 y = –2
1
x + 2 y = x + 2 y = 2x + 2 y = 2x – y =2
1
x + 2 y = – x + 2 y = 2x – 1 y = 2x +2
1
4) Relaciona las gráficas siguientes con sus respectivas ecuaciones:a) y = 3x – 4 b) y = 2x c) y = x d) y = – 3x – 4 e) y = – 2x f) y = 3x + 4 Ejercicio
