2.FACTORIZACIÓN POLINOMIOS_SOLUCIONES_DE_ALGUNOS_EJERCICIOS
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(2) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO. 2. Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso: a). x 2 − 7 x + 10. 1º) Hallamos las raíces del polinomio. 7+3 x= ⇒ x=5 2 7 ± ( − 7 ) − 4 ⋅ 1 ⋅ 10 7 ± 49 − 40 7 ± 9 7 ± 3 2 2 x − 7 x + 10 = 0 ⇒ x = = = = = 2 ⋅1 2 2 2 x = 7 − 3 ⇒ x = 2 2 2º) Factorización: x 2 − 7 x + 10 = ( x − 5)( x − 2). Raíces = {5,2}. b) x 2 − 7 x − 18 1º) Hallamos las raíces del polinomio. 7 + 11 x= ⇒x=9 2 7 ± ( − 7 ) − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 18 ) 7 ± 49 + 72 7 ± 121 7 ± 11 2 2 x − 7 x − 18 = 0 ⇒ x = = = = = 2 ⋅1 2 2 2 x = 7 − 11 ⇒ x = −2 2 2º) Factorización: x 2 − 7 x − 18 = ( x − 9)( x + 2). Raíces = {9,−2}. c) 3x 2 − 6 x − 9 1º) Extraemos factor común 3 ⇒ 3x 2 − 6 x − 9 = 3( x 2 − 2 x − 3) 2º) Hallamos las raíces del polinomio ( x 2 − 2 x − 3). 2+4 x= ⇒ x=3 2 2 ± ( − 2 ) − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 3 ) 2 ± 4 + 12 2 ± 16 2 ± 4 2 2 x − 2x − 3 = 0 ⇒ x = = = = = ⇒ 2 ⋅1 2 2 2 x = 2 − 4 ⇒ x = −1 2 2 ⇒ x − 2 x − 3 = ( x − 3)( x + 1) 3º) Factorización: 3 x 2 − 6 x − 9 = 3( x − 3)( x + 1). Raíces = {3,−1}. d) 3x 2 − 5 x + 2 1º) Hallamos las raíces del polinomio. x= 5 ± (−5) − 4 ⋅ 3 ⋅ 2 5 ± 25 − 24 5 ± 1 5 ± 1 2 3x − 5 x + 2 = 0 ⇒ x = = = = = 2⋅3 6 6 6 x = 2. 2 2º) Factorización: 3x 2 − 5 x + 2 = 3( x − 1) x − 3 . 5 +1 ⇒ x =1 6 5 −1 4 2 = ⇒x= 6 6 3. 2 Raíces = 1 , 3 2.
(3) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. e). TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO. 2x 2 + x + 3. 1º) Hallamos las raíces del polinomio 2x 2 + x + 3 = 0 ⇒ x =. − 1 ± (1) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 − 1 ± 1 − 24 − 1 ± − 23 = = = no tiene solución real 4 4 2⋅2. 2º) Factorización: (2 x 2 + x + 3) es irreducible. f). x 2 + x − 20. 1º) Hallamos las raíces del polinomio. −1+ 9 x= ⇒x=4 2 − 1 ± ( 1 ) − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 20 ) − 1 ± 1 + 80 − 1 ± 81 − 1 ± 9 2 2 x + x − 20 = 0 ⇒ x = = = = = 2 ⋅1 2 2 2 x = − 1 − 9 ⇒ x = −5 2 2 Raíces = {4,−5} 2º) Factorización: x + x − 20 = ( x − 4)( x + 5) g) 6 x 2 + x − 1 1º) Hallamos las raíces del polinomio. 4 1 x= ⇒x= − 1 ± (1) − 4 ⋅ 6 ⋅ (−1) − 1 ± 1 + 24 − 1 ± 25 − 1 ± 5 12 3 6x 2 + x − 1 = 0 ⇒ x = = = = = 2⋅6 12 12 12 x = − 6 ⇒ x = − 1 12 2 2. 1 1 2º) Factorización: 6 x 2 + x − 1 = 6 x − x + 3 2 . 1 1 Raíces = , − 2 3. h) 2 x 2 − 7 x − 15 1º) Hallamos las raíces del polinomio. 7 ± (−7) − 4 ⋅ 2 ⋅ (−15) = 2⋅2 2. 2 x 2 − 7 x − 15 = 0 ⇒ x =. 3 2º) Factorización: 2 x 2 − 7 x − 15 = 2( x − 5) x + 2 . x= 7 ± 49 + 120 7 ± 169 7 ± 13 = = = 4 4 4 x = 3 Raíces = 5 , − 2 . 20 ⇒ x=5 4 −6 3 ⇒x=− 4 2. 3.
(4) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. i). TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO. − 2x 4 + 6 x 3 + 8x 2. 1º) Extraemos factor común − 2x 2 − 2 x 4 + 6 x 3 + 8 x 2 = − 2 x 2 ( x 2 − 3 x − 4) 2º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio ( x 2 − 3 x − 4). 3+5 x= ⇒x=4 2 ⋅ − 3 ± ( − 3 ) − 4 ⋅ 1 ( 4 ) ± + ± ± 3 9 16 3 25 3 5 2 x 2 − 3x − 4 = 0 ⇒ x = = = = = ⇒ 3 − 5 2 ⋅1 2 2 2 x = ⇒ x = −1 2 ⇒ x 2 − 3 x − 4 = ( x − 4)( x + 1) 3º) Factorización: − 2 x 4 + 6 x 3 + 8 x 2 = −2 x 2 ( x 2 − 3 x − 4) = −2 x 2 ( x − 4)( x + 1). j). Raíces = {0 (doble), 4,−1}. 3x 3 − 11x 2 − 4 x. 1º) Extraemos factor común “ x ” 3 x 3 − 11x 2 − 4 x = x(3 x 2 − 11x − 4) 2º)) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio (3 x 2 − 11x − 4). 3x 2 − 11x − 4 = 0 ⇒ x =. 11 ± (−11) 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−4) 11 ± 121 + 48 11 ± 169 = = = 2⋅3 6 6. 11 + 13 x= ⇒x=4 11 ± 13 1 6 ⇒ 3x 2 − 11x − 4 = 3( x − 4) x + = = 6 3 x = 11 − 13 ⇒ x = − 1 6 3. 1 1 3º) Factorización: 3x 3 − 11x 2 − 4 x = x(3x 2 − 11x − 4) = x ⋅ 3 ⋅ ( x − 4) x + = 3x( x − 4) x + 3 3 1 Raíces = 0,4 , − 3 . k) − 6 x 5 − 39x 4 − 45x 3 1º) Extraemos factor común “ − 3x 3 ” − 6 x 5 − 39 x 4 − 45 x 3 = −3 x 3 (2 x 2 + 13x + 15). 4.
(5) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO. 2º)) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio (2 x 2 + 13 x + 15). − 13 ± (13) 2 − 4 ⋅ (2) ⋅ (15) − 13 ± 169 − 120 − 13 ± 49 2 x + 13x + 15 = 0 ⇒ x = = = = 2⋅2 4 4 − 13 + 7 3 x= ⇒x=− − 13 ± 7 3 4 2 = = ⇒ 2 x 2 + 13x + 15 = 2( x + 5) x + 4 2 x = − 13 − 7 ⇒ x = −5 4 2. 3 3 3º) Factorización: − 6 x 5 − 39 x 4 − 45 x 3 = −3x 3 (2 x 2 + 13x + 15) = −3x 3 ⋅ 2 ⋅ ( x + 5) x + = −6 x 3 ( x + 5) x + 2 2 . 3 Raíces = 0 (triple), − 5 , − 2 . l). 1 3 1 2 6 x + x − x 7 7 7. 1 1º) Extraemos factor común “ x ” 7 1 3 1 2 6 1 x + x − x = x( x 2 + x − 6) 7 7 7 7 2º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio ( x 2 + x − 6). −1+ 5 x= ⇒x=2 − 1 ± (1) − 4 ⋅ 1 ⋅ (−6) − 1 ± 1 + 24 − 1 ± 25 − 1 ± 5 2 2 x + x−6 = 0⇒ x = = = = = ⇒ 2 ⋅1 2 2 2 x = − 1 − 5 ⇒ x = −3 2 2 ⇒ x + x − 6 = ( x − 2)( x + 3) 2. 3º) Factorización:. 1 3 1 2 6 1 1 x + x − x = x( x 2 + x − 6) = x( x − 2)( x + 3) 7 7 7 7 7. Raíces = {0, 2,−3}. 5.
(6) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO. 4. Factoriza los siguientes polinomios extrayendo factor común y/o y con ayuda de las identidades notables e indica las raíces en cada caso: a). x 2 − 16 x + 64 = ( x − 8) 2. Raíces = {8 (doble)}. b) 5 x 3 + 40 x 2 + 80 x = 5 x( x 2 + 8 x + 16) = 5 x( x + 4) 2 c). x2 −. Raíces = {0,−4 (doble)}. 16 4 4 2 2 = x − x + = x − x + 100 10 10 5 5. 2 2 Raíces = − , 5 5. 16 4 4 d) 9 x 2 − 16 = 9 x 2 − = 9 x − x + 9 3 3 . 4 4 Raíces = − , 3 3. e) 5 x 4 − 80 x 2 = 5 x 2 ( x 2 − 16) = 5 x 2 ( x − 4)( x + 4) f). Raíces = {0 (doble), 4,−4}. − 2 x 3 − 24 x 2 − 72 x = −2 x ( x 2 + 12 x + 36) = −2 x ( x + 6) 2. g) 2 x 5 − 12 x 4 + 18 x 3 = 2 x 3 ( x 2 − 6 x + 9) = 2 x 3 ( x − 3) 2. Raíces = {0 ,−6 (doble)} Raíces = {0 (triple),3 (doble)}. h). 1 5 6 4 9 3 1 3 2 1 x − x + x = x ( x − 6 x + 9) = x 3 ( x − 3) 2 7 7 7 7 7. i). x 4 − 4 = ( x 2 − 2)( x 2 + 2) = ( x − 2 )( x + 2 )( x 2 + 2). j). 9 x 6 − 225 x 2 = 9 x 2 ( x 4 − 25) = 9 x 2 ( x 2 − 5)( x 2 + 5) = 9 x 2 ( x − 5 )( x + 5 )( x 2 + 5). Raíces = {0 (triple),3 (doble)} Raíces = {− 2 , 2}. Raíces = {0 (doble), 5 ,− 5}. k) − 15 x 4 + 60 x 3 − 60 x 2 = −15 x 2 ( x 2 − 4 x + 4) = −15 x 2 ( x − 2) 2 l). 5 2 5 5 5 5 x − x + = ( x 2 − 2 x + 1) = ( x − 1) 2 4 2 4 4 4. m) 3 x 2 − 6 x + 3 = 3( x 2 − 2 x + 1) = 3( x − 1) 2. Raíces = {0 (doble), 2 (doble)}. Raíces = {1 (doble)} Raíces = {1 (doble)}. n) − 3 x 3 − 24 x 2 − 48 x = −3 x( x 2 + 8 x + 16) = −3 x( x + 4) 2. Raíces = {0 ,−4 (doble)}. o) − 5 x 5 + 405 x = −5 x( x 4 − 81) = −5 x( x 2 − 9)( x 2 + 9) = −5 x( x − 3)( x + 3)( x 2 + 9) p) x 4 − 16 = ( x 2 − 4)( x 2 + 4) = ( x − 2)( x + 2)( x 2 + 4). Raíces = {0 ,3,−3}. Raíces = {2,−2}. q). 3 4 12 3 4 3 3 x − = ( x − 4) = ( x 2 − 2)( x 2 + 2) = ( x − 2 )( x + 2 )( x 2 + 2) 5 5 5 5 5. r). − 5 x 5 + 320 x = −5 x ( x 4 − 64) = −5 x ( x 2 − 8)( x 2 + 8) = −5 x ( x − 8 )( x + 8 )( x 2 + 8) Raíces = {0, 8 ,− 8}. s). x 4 − 1 = ( x 2 − 1)( x 2 + 1) = ( x − 1)( x + 1)( x 2 + 1) Raíces = {1,−1}. t). x 8 − 256 = ( x 4 − 16)( x 4 + 16) = ( x 2 − 4)( x 2 + 4)( x 4 + 16) = ( x − 2)( x + 2)( x 2 + 4)( x 4 + 16) Raíces = {2,−2}. Raíces = {− 2 , 2}. u) 2 x 4 − 50 x 2 = 2 x 2 ( x 2 − 25) = 2 x 2 ( x − 5)( x + 5) Raíces = {0 (doble),5,−5} v) − 5 x 4 − 50 x 3 − 125x 2 = −5 x 2 ( x 2 + 10 x + 25) = −5 x 2 ( x + 5) 2. Raíces = {0 (doble), −5 (doble)}. w) 2 x 3 + 32 x = 2 x( x 2 + 16) Raíces = {0} 6.
(7) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO. 5. Factoriza completamente los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso: caso a) ( x 2 − 16) ⋅ ( x 2 − 10 x + 25) ⋅ ( x 2 + 1) = ( x − 4)( x + 4)( x − 5) 2 ( x 2 + 1) Los dos primeros polinomios son identidades notables y el tercero es irreducible Raíces = {4,−4,5(doble)}. b) ( x 2 − 5 x + 4) ⋅ (−2 x 3 + 2 x). 5+3 = =4 x 5 ± (5) − 4 ⋅ 1 ⋅ (4) 5 ± 25 − 16 5 ± 9 5 ± 3 2 2 = = = = ⇒ x − 5x + 4 = 0 ⇒ x = − 5 3 2 ⋅1 2 2 2 x = =1 2 2. ⇒ x 2 − 5 x + 4 = ( x − 4)( x − 1) − 2 x 3 + 2 x = −2 x( x 2 − 1) = −2 x( x − 1)( x + 1) Por tanto, ( x 2 − 5 x + 4) ⋅ (−2 x 3 + 2 x) = ( x − 4)( x − 1)(−2 x)( x − 1)( x + 1) = −2 x( x − 1) 2 ( x − 4)( x + 1) Raíces = {0, 1(doble), 4,−1}. c) ( x 2 − 1) ⋅ ( x 2 − 8 x + 16) ⋅ ( x 4 − 25) = ( x − 1)( x + 1)( x − 4) 2 ( x 2 − 5)( x 2 + 5) = = ( x − 1)( x + 1)( x − 4) 2 ( x − 5 )( x + 5 )( x 2 + 5). Para factorizar los tres polinomios utilizamos las identidades notables. Raíces = {1,−1,4 (doble), 5 ,− 5}. d) ( x 2 − 4) ⋅ ( x 2 + 4) ⋅ ( x 2 + 7 x − 8) x 2 − 4 = ( x − 2)( x + 2) x 2 + 4 Es irreducible − 7 ± (7) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−8) − 7 ± 49 + 32 − 7 ± 81 − 7 ± 9 x = 1 x + 7x − 8 = 0 ⇒ x = = = = = ⇒ 2 ⋅1 2 2 2 x = −8 2. ⇒ x 2 + 7 x − 8 = ( x − 1)( x + 8) Por tanto, ( x 2 − 4) ⋅ ( x 2 + 4) ⋅ ( x 2 + 7 x − 8) = ( x − 2)( x + 2)( x 2 + 4)( x − 1)( x + 8) Raíces = {2,−2,1,−8}. 7.
(8) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO. e) ( x 2 + 1) ⋅ ( x 2 − 6 x + 5) ⋅ ( x 2 − 6 x + 9) ( x 2 + 1) es irreducible 6 ± (−6) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 5 6 ± 36 − 20 6 ± 16 6 ± 4 x = 5 x − 6x + 5 = 0 ⇒ x = = = = = ⇒ 2 ⋅1 2 2 2 x = 1 2. ⇒ x 2 − 6 x + 5 = ( x − 1)( x − 5) x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3) 2 Identidad notable Por tanto, ( x 2 + 1) ⋅ ( x 2 − 6 x + 5) ⋅ ( x 2 − 6 x + 9) = ( x 2 + 1)( x − 1)( x − 5)( x − 3) 2 Raíces = {1 ,5,3 (doble)}. f) (−3 x 5 + 75 x 3 ) ⋅ ( x 4 − 49) − 3 x 5 + 75 x 3 = −3 x 3 ( x 2 − 25) = −3 x 3 ( x − 5)( x + 5) x 4 − 49 = ( x 2 − 7)( x 2 + 7) = ( x − 7 )( x + 7 )( x 2 + 7) Por tanto,. (−3x 5 + 75x 3 )( x 4 − 49) = −3x 3 ( x − 5)( x + 5)( x − 7 )( x + 7 )( x 2 + 7) Raíces = {0 (triple),5,−5, 7 ,− 7 }. g) (−4 x + 8) ⋅ ( x 2 + x + 1) ⋅ (25 − x 2 ) − 4 x + 8 = −4 ( x − 2 ) x 2 + x + 1 Es irreducible x2 + x +1 = 0 ⇒ x =. − 1 ± (1) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 − 1 ± 1 − 4 − 1 ± − 3 = = ⇒ no tiene solución real 2 ⋅1 2 2. 25 − x 2 = (5 − x)(5 + x) = −( x − 5)( x + 5) Por tanto, (−4 x + 8) ⋅ ( x 2 + x + 1) ⋅ (25 − x 2 ) = −4( x − 2)( x 2 + x + 1)[−( x − 5)( x + 5)] = 4( x − 2)( x 2 + x + 1)( x − 5)( x + 5) Raíces = {2,5,−5}. h) (16 − x 2 ) ⋅ ( x 4 − 16) ⋅ (5 − x 2 ) 16 − x 2 = (4 − x)(4 + x) = −( x − 4)( x + 4) x 4 − 16 = ( x 2 − 4)( x 2 + 4) = ( x − 2)( x + 2)( x 2 + 4) 8.
(9) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO. 5 − x 2 = ( 5 − x)( 5 + x) = −( x − 5 )( x + 5 ) Por tanto, (16 − x 2 ) ⋅ ( x 4 − 16) ⋅ (5 − x 2 ) = −( x − 4)( x + 4)( x − 2)( x + 2)( x 2 + 4)[−( x − 5 )( x + 5 )] = = ( x − 4)( x + 4)( x − 2)( x + 2)( x 2 + 4)( x − 5 )( x + 5 ) Raíces = {4,−4,2,−2, 5 ,− 5}. i). ( x 2 − 14 x + 49) ⋅ (−3 x 2 + 6 x − 3). x 2 − 14 x + 49 = ( x − 7) 2 − 3 x 2 + 6 x − 3 = −3( x 2 − 2 x + 1) = −3( x − 1) 2 Por tanto, ( x 2 − 14 x + 49) ⋅ (−3 x 2 + 6 x − 3) = ( x − 7) 2 (−3)( x − 1) 2 = −3( x − 7) 2 ( x − 1) 2 Raíces = {7 (doble),1(doble)}. j) ( x 2 − 5) ⋅ ( x 2 + 13x + 12) ⋅ (6 x + 6) x 2 − 5 = ( x − 5 )( x + 5 ). x = −1 2 − 13 ± ( 13 ) − 4 ⋅ 1 ⋅ 12 − 13 ± 169 − 48 − 13 ± 11 = = = ⇒ x 2 + 13x + 12 = 0 ⇒ x = 2 ⋅1 2 2 x = −12 ⇒ x 2 + 13 x + 12 = ( x + 1)( x + 12). 6 x + 6 = 6( x + 1) Por tanto, ( x 2 − 5) ⋅ ( x 2 + 13 x + 12) ⋅ (6 x + 6) = ( x − 5 )( x + 5 )( x + 1)( x + 12)6( x + 1) = 6( x − 5 )( x + 5 )( x + 1) 2 ( x + 12) Raíces = { 5 ,− 5 ,−1(doble),−12}. s) 2 x 4 + 250x = 2 x( x 3 + 125) = 2 x( x + 5)( x 2 − 5 x + 25). Raíces = {0,−5}. 9.
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