ÁLGEBRA Docente: ALTAMIRANO ILMA Lucia M.

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2°

ÁLGEBRA

Docente: ALTAMIRANO ILMA Lucia M.

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ÍNDICE

I BIMESTRE ... 3

UNIDADI:LOSEXPONENTESENLAASTRONOMIA ... 3

SESIÓN 1 : TEORÍA DE EXPONENTES I ... 3

SESIÓN 2: TEORÍA DE EXPONENTES II ... 6

SESIÓN 3: TEORÍA DE EXPONENTES III ... 8

UNIDAD II: LOS TRENES DE ALTA VELOCIDAD ... 10

SESION 1: POLINOMIOS ESPECIALES ... 10

SESION 2: PRODUCTOS NOTABLES ... 13

II BIMESTRE ... 15

UNIDAD I: LOS PRODUCTOS NOTABLES EN LA GEOMETRIA ... 15

SESIÓN 1: PRODUCTOS NOTABLES II ... 15

SESIÓN 2 : PRODUCTOS NOTABLES III ... 16

SESIÓN 3: DIVISIÓN ALGEBRAICA ... 19

UNIDAD II: LA DIVISIÓN ALGEBRAICA EN LAS CIENCIAS ... 21

SESIÓN 1: DIVISIÓN ALGEBRAICA RUFFINI ... 21

SESIÓN 2: TEOREMA DEL RESTO ... 22

III BIMESTRE ... 24

UNIDAD I:

FACTORIZACION DE POLINOMIOS... 24

SESIÓN 1: FACTORIZACIÓN I ... 24

SESIÓN 2: AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS ... 26

SESIÓN 3: FACTORIZACIÓN II ... 27

UNIDAD II:

LA FACTORIZACIÓN EN LAS ÁREAS Y VOLUMENES .. 28

SESIÓN 1: DIFERENCIA Y SUMA DE CUBOS ... 28

SESIÓN 2: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO ... 28

SESIÓN 3: SISTEMA DE ECUACIONES IGUALACIÓN ... 29

IV BIMESTRE ... 30

UNIDAD I: LOS SISTEMAS DE ECUACIONES EN LA VIDA COTIDI

ANA

... 30

SESIÓN 1: SISTEMA DE ECUACIONES POR SUSTITUCIÓN ... 30

SESIÓN 2: SISTEMA DE ECUACIONES ... 31

POR ELIMINACIÓN O REDUCCIÓN ... 31

SESIÓN 3: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ... 31

UNIDAD II: LAS FUNCIONES EN LA VIDA CIENTÍFICA Y EN LA COTIDIANA. ... 33

SESIÓN 1: RELACIONES ... 33

SESIÓN 2: FUNCIÓN ... 35

BIBLIOGRAFÍA: ... 37

I BIMESTRE

UNIDAD I: LOS EXPONENTES EN LA ASTRONOMIA

Para los cientificos que se ocupan de estudiar fenómenos y objetos de

dimensiones muy grandes, como los que se estudian en astronomía, por ejemplo, es muy útil la potenciación, porque les permite trabajar y operar con números muy grandes con cierta facilidad.

La distancia que nos separa de la

nebulosa de Andrómeda, por ejemplo, es aproximadamente igual a:

95000000000000000000 km

La cual se puede escribir también como 95 10 18, pues hay 18 ceros a la derecha del 95. Más aún, este número se puede escribir como 0, 95 10 ²⁰ o 9,5 10 ¹⁹ o

950 10 17 .

Asi como los cientíicos usan números gigantescos, también utilizan números muy pequeños , como el que representa la masa de un protón, una de las

partículas del átomo:

0,00000000000000000000000165 gramos

Como las potencias con exponente negativo representan inversos de

potencias positivas, es decir, por ejemplo:

5 ^{20 1}₂₀ 5

− =

Y el inverso de 5²⁰ es un número muy pequeño, son las potencias con

exponente negativo precisamente las que permiten expresar números como la masa de un protón de manera más breve:

1, 65 10 ⁻²⁴gramos

El exponente -24 se obtiene contando los lugares a la derecha de la coma que tiene el número en cuestión hasta llegar al primer dígito distinto de cero (contando este dígito).

SESIÓN 1 : TEORÍA DE EXPONENTES I

Analizamos:

Situación 1:

Las figuras estan formadas por

cuadrados iguales.si se continúa con la regla de formación que va duplicando el lado de cada figura respecto de la

anterior,¿Cuántos cuadrados forman la figura 3?

➢ DEFINICIÓN

Son aquellas definiciones y teoremas que estudian a los exponentes a través de las operaciones de potenciación

y radicación.

La operación que da origen al exponente es la potenciación.

➢ CONCEPTO DE POTENCIACIÓN Operación matemática que consiste en hallar un número llamado potencia a partir de otros dos llamados base y exponente

según:

aⁿ =P a ,n ⁺ y P

Donde: a: base; n: exponente;

P: potencia

➢ PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES

1. De la expresión exponencial: an Si el exponente (n) es un entero positivo (Z+) puedes escribir la expresión en forma expandida.

Ejemplos:

• 5⁴= 5.5.5.5=

• (-7)3 = (-7)(-7)(-7) = -343;

4

(-)impar = (-)

• (-4)2 = (-4)(-4) = 16; (-)par = (+)

• ^{3 2 3 3 9}

5 5 5 25

  =  =

    

    

2. Producto de bases iguales:

suma los exponentes.

am . an = am +n

Ejemplos:

• 73 . 75 = 73 + 5 = 78

• x6 . x15 = x6 + 15 = x21 3. Cociente de bases iguales:

resta a los exponentes

. Analizamos:

Situación 2:

De acuerdo con la propiedad anterior, el cociente

( ) ( )

−^{5 6} −^{5 4}se puede calcular como se muestra:

( ) ( )

−^{5 6} −^{5 4}=

( )

^{−5 6 4− =}

( )

^{−5 2=25}

4. Exponente cero: es igual a uno.

5. Exponente negativo: invierte la base

6. Potencia de potencia:

multiplica los exponentes

Analizamos:

Situación 3:

Para comprender mejor la propiedad anterior, se puede analizar esta secuencia.

( )

^{7 2 3}

( ) ( ) ( ) ( )

^{7 . 7 . 72 2 2 7 2 2 2+ +}

( )

^{7 6}

 −  = − − − = − = −

 

7. Potencia de un producto: eleva cada factor a la potencia

8. Potencia de un cociente: eleva tanto el numerador como el denominador a la potencia

9. Exponentes sucesivos

La forma práctica de reducirlos es agrupándolos de dos en dos de arriba hacia abajo

5

EJERCICIOS PARA CLASE

1. Reduce:

M=

2014

2014

2014 2014 2014

. . ...

...

veces

veces

a a a a

a + a + a

a) 1 b) 2014 c) 4020 d) a²⁰¹⁰ e) a⁴⁰²⁰ 2. Efectúa:

120 80

110 70

a b a b

a) b¹⁰ b) a¹⁰ c) (ab)¹⁰ d) (ab)⁵ e) a⁵ 3. Calcula:

A=

5 4

4 4

15 .35 21 .25

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

4. Si: a^a= 7

Calcula : E=

( ) ( )

13

3 4 a

a

a a

a) 3 b)4 c)5 d) 7 e) 6 5. Si: xⁿ 5; n {1}

Reducir: x²ⁿ 25

6. Si: x³ 8donde x Calcular: (x² x ).x^{4 3}

7. Indicar el exponente final de “x” luego de reducir:

4 2 4 3

3 3 ( 2) ; 0

. x

x

x x x

8. Calcula:

15

2 2 2

2 2 2

7

2 .2 ...2 4 .4 ...4

veces

veces

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

9. Efectúa:

S=

6 200

3.3.3...3 3 3 3... 3

veces veces

− + + +

a) 28 b) 29 c) 128 d) 129 e) 126 10. Reducir:

^x_x ^x _x

a a a

a a a

2 1 4

1

1 3 4 2 1

. .

. .

+ +

−

− +

11. Calcula E=

7 12 10

20 4

4 .2 .4 2 .4

−

− 12. Efectúa:

R=

0 1 2 3

1 1 1 1

6 5 4 3

− − −

  +  +  + 

       

       

a) 49 b) 48 c) 47 d) 45 e) 50 13. Analiza los siguientes

procedimientos para calcular el valor de la expresión 3²⁰.

Primera opción 3²⁰ =3^{( )20} =3¹=3 Segunda opción ^{320 =}

( )

^{32 0 =30 =1}

¿Cuál opción consideras correcta?

Compara y argumenta tu respuesta

PARA CASA 1. Calcula:

4 3 3 4

2 2 3

x y x y x y + xy

a) xy² b)2x²y c)x²y d) 2xy² e) 2x²y² 2. Al resolver:

P=

2 3 1

1 1 1

2 3 4

− − −

  +  + 

     

     

6

Se obtiene un número que consta del producto de sus factores primos: P=ab Calcula a+b

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 3. Calcula:

A= 16.8^-1 + (-4)² + (-2)⁴

a) 30 b) 34 c) 35 d) 31 e) 37 4. Si:xⁿ 3; n {1}

Reducir: x³ⁿ 25

5. Calcula :

20090 0

3

2 5 1

5 2014

M 2

6. Una sustancia se desintegra a media hora que transcurre el tiempo. De este modo, luego de media hora queda la mitad de la cantidad inicial. En un comienzo se tiene 64g de la sustancia.

a) ¿Cuántos gramos quedaran después de una hora? expresa el resultado como una potencia b) ¿Cuánto tiempo debe

transcurrir para que quede solo 1g de sustancia?

SESIÓN 2: TEORÍA DE EXPONENTES II

Analizamos:

Situación 1:

El cubo de Astor Place es una escultura de Bernard Rosenthal situada en Astor Place en la isla de Manhatan en Nueva York.

La obra fue construida con 820kg de acero y se puede girar sobre su eje vertical.

• El cubo de Astor Place tiene un área aproximada de 57600_cm² en cada cara.¿Cómo calcularias la medida de la arista del cubo?

RADICACIÓN

La radicación es aquella operación matemática en la cual, dados dos números llamados cantidad subradical e índice, se requiere encontrar otro número llamado raíz.

➢ Exponente fraccionario

m

n m

an a

^{a ;m n; n 2} Ejemplos

1. 5^{32 2} 5³ 2. x^{45 5}x⁴

➢ Raíz de un producto ⁿab ⁿa.ⁿ b Ejemplo

^{a b c3. . 5 a3. b. c5}

➢ Raíz de raíz ^{n ma n m. a} Ejemplo

^{4 ma3 4.ma3}

7

➢ Raíz de una fracción

n n

n

a a

b b

; b 0 Ejemplo

3 3

6 3 6

x x

Analizamos Situación 2:

Mariana tiene un terreno de forma cuadrada, con un área de 169 𝑚², como desea cercarlo, necesita saber cuántos metros de malla metálica debe comprar.

Situación 3:

Un cuadro tiene un área de 400𝑐𝑚². Si se aumenta un centimetro por

lado,¿Cuál será el perímetro del nuevo cuadro?

EJERCICIOS PARA CLASE 1. Calcula: S=

1 1

3 3

8 +1000

a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 13 2. En un patio de forma rectangular se

instalan pastelones cuadrados de lado 1m. si en el patio caben 9 pastelones a lo largo y 4 a lo ancho, ¿Cuántos pastelones se deben poner a lo largo y a lo ancho de un patio de igual superficie, pero de forma cuadrada?

3. Calcula:

A=

18 15

13

2 2

2 +

a) 8 b)9 c)10 d) 7 e) 6

4. Reducir:

16

2 2

2 



 





5. Simplifica H=(√√3√3)

8

6. Hallar el valor de “M + 3”, si:

. . . . . . . . 7 7 7 M=

7. Luego de reducir el radical, indicar como respuesta, 6 + M



 27 27 M = 27

8. Simplificar:

. . . . . . . . 3 3 3 6 + K =

3 3 3 1

E= +

9. Indicar el valor de “K” si:

. . . . 8 8 8

. . . . . 5 5 5 20 K +

+

=

10. Simplificar:

. . . . . 5 5 5 4 + Q =

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 11. Luego de reducir el radical, indicar el

valor de M + 2:

^

 64 64

= 64 M

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

12. Demuestra que el exponente final de 5 en la expresión es 11.

16 4 3

25 5⁻ 5

 

 

 

8

13. La energía cinética de un móvil,

medida en joule (J), se puede calcular con la expresión ^{1 2}

c 2

E = mv , en la que m representa la masa del móvil en kg y su rapidez en m/s. si la energía cinética es de 225000J y la masa del móvil es de 500 kg. ¿Cuál es su rapidez?

PARA CASA 1. Calcula: M+ 2N

M=

( )

^{7 0+ −}

^{( )}

^{3 0}

N= ^{32+ −}

( )

^{2 0−20}

a) 25 b) 18 c) 15 d) 14 e) 20 2. Calcular el aproximado de:

−

−

−

= 20 20 20 B

4 2 4 2 F =

3 2 3 2 G =

3. Calcula: R=

1 1 1

3 3 2

27 +81 +16 a) 8 b) 9 c) 10 d) 15 e) 12 4. Hallar el valor de:

M=

1

3 2 2

1 1

3 3

− −

  +  

      

 

 

5. De las proposiciones determina cuales son verdaderas:

I.

5 5

55 =5 II.

2 1

222 =44 III.

2 2

2 2 =2

SESIÓN 3: TEORÍA DE EXPONENTES III

Analizamos:

Situación 1:

El calculador de arena

Arquímedes en su libro Psamite o Arenario demostró que en el

universo caben,

aproximadamente,10⁵³gramos de arena. Para ello creo un sistema de numeración basada en intervalos de 10⁸ en 10⁸ llamados octavas.

Llamo a 10⁴una miríada, y a 10⁸, una miríada de miríadas.

Si 10³= mil , 10⁴= miríada y 10⁵⁶=

número octavo, ¿Cómo

expresarías mil miríadas de números octavos?

ECUACIONES TRASCENDENTES

• Definición :

Son aquellas cuya incógnita figura en el exponente o en la base. Se estudian a quellos casos cuya solución es factible gracias a la utilización de las leyes de la teoría de exponentes.

• Casos

Primer caso: bases iguales

ax = an → x = n , donde: a ≠{- 1; 0; 1}

Ejemplos .

1. 6x + 2 = 620

A bases iguales entonces exponentes iguales.

X + 2 = 20 X = 20 – 2 X = 18 Ahora hazlo tú :

2. 8x - 4 = 87

3. 9x - 7 = 915

9

Segundo caso: analogía o semejanza

xx = aa → x = a , donde: x, a

≠ {0; 1}

Ejemplos

1. xx = 55

base y exponente igual entonces se iguala : x = 5

2. (2x - 1)2x- 1 = 2727 base y exponente igual entonces se iguala : 2x – 1 = 27

2x = 27 + 1 2x = 28 X = 28 /2 X=14 Ahora hazlo tú

3. xx = 88

4. (x - 1)x-1 = 77

5. (x + 4)x + 4 = 99 Tercer caso: exponentes iguales

xa = ya → x = y , donde: a ≠ {0}

Ejemplos

1. (x + 5)20 = 1020

A exponentes iguales entonces bases iguales

X + 5 = 10 X = 10 – 5 X = 5 Ahora hazlo tú

2. (2x - 3)7 = 177

3. (x 10)2011 82011

ATENCIÓN

A las ecuaciones trascendentes también se les llama ecuacines exponenciales.

EJERCICIOS PARA CLASE 1. Calcular x en:

a) x¹⁶ =( )16⁴

b) 16^8x =2³²⁷

c) ^{27x4 =924} d) ^{4x +4x+1 =40} e) ^{xx2 =16} f) x^x3 =3

g) x^x5 = 5

h) x 2

x2 xx =

2. Calcular el valor de:

21 2 4

81 A

− −

=

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3. Efectúa:

K= 16⁻⁴⁻²⁻¹

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6 4. Halla:

A= (¹

8)⁻³

−1

+ (¹

25)⁻²

−1

a) 2 b) 5 c) 7 d) 4 e) 3 5. Efectuar y reducir:

3 4

5 243⁻4⁻²⁻¹ . 27^{− −2−1}

a) 1/9 b) 1/3 c) 9 d) 3 e) 1 6. Resolver: 9^x−2 =3^x+1

a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 7. Resolver: ^{2x +2x+2 =40}

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8. Simplificar:

2 1 16 16

100 1

− −

− −



 





10

a)100 b) 10 c)

3

1 d) 1 e) N.A.

9. Calcular el valor de n en:

3875 5

5

5ⁿ⁺² + ⁿ⁺¹ + ⁿ =

a)1 b) 3 c) 2 d) 4 e) N.A.

10. Calcular:

12 / 6 1 2 3

a 























 − ^{− −}

a) 1/a b)

a2

1 c)

a3 1

d) 1a4 e)

a5 1

11. Halla n.

7

ⁿ⁺3

+ 7

ⁿ =16 856 12. Halla n.

2 1

4

ⁿ⁺

= 16

ⁿ⁻ 13. Calcula x en :

2 4 5 3

16

^x+

= 8

^x− 14. Calcula n.

2 1 2 1

27

ⁿ

81

ⁿ

15. Resuelve:

3125^x-2 = 625^{x + 1} 16. Halla x.

2 9

7^x 343

A A

PARA CASA 1. Calcula S=

1

2 2

3 1 1

27 10 8

− − −

    +   −  

2. Halla n.

3

ⁿ⁺3

+ = 3

ⁿ

756

3. Calcula n.

3 1

2

ⁿ⁻

= 512

4. Calcula x.

2 1 1

3 ^x 27^x

B

⁺

= B

⁻

5. Determina el valor de x:

x

256

x =

6. Si: A 7^{2 3} ; B 2⁴ y ¹ C 7 Calcular el valor de: A C^B.

7. Halla x.

Si: a^x . a^x+1 . a^x+2 = a¹⁸

UNIDAD II: LOS TRENES DE ALTA VELOCIDAD

SESION 1: POLINOMIOS ESPECIALES

Analizamos:

Situación 1:

Los trenes de alta velocidad los 200 km/h.

esto les permite competir con el

transporte aéreo para distancias medias del orden de cientos de kilometros. Son los vehículos más seguros del mundo, ya que la probabilidad de que choquen es minima.

e

v = t

_{, donde:}

v= velocidad e=distancia recorrida t= tiempo en que demora en recorrer dicha distancia.

El manejo de los polinomios es esencial no solo para cualquier rama de la matemática que se vaya a

estudiar sino para cualquier asignatura de carácter científico.

11

Resuelve las siguientes preguntas:

• La velocidad de un TAV es 280 km/h. ¿Cuánto tardaría uno de estos trenes en ir de Lima a Trujillo si la distancia entre estas ciudades es 557 km?

Recordar:

POLINOMIOS CONCEPTO

Es aquella expresión algebraica con 2 o más términos.

GRADO DE UN POLINOMIO 1. Grado Relativo (GR)

Es el mayor exponente de la variable en referencia.

Ejemplo:

( )x;y x y xy x y P =54 ^{4 5}− 2 ²+ ¹⁰

Luego:

GR(x) = 10 GR(y) = 7 2. Grado Absoluto (GA)

a) Para un Monomio: se obtiene sumando los grados relativos.

b) Para un Polinomio: se obtiene como el mayor grado absoluto de los monomios que lo conforman

POLINOMIOS ESPECIALES Son aquellos que tienen ciertas características y de acuerdo a ello son:

1. Polinomio Ordenado

Cuando el exponente aumenta o disminuye de manera ordenada:

Ejemplos:

1. P(x;y) = 5x + x²y + 4x⁵

Es ordenado creciente respecto a ( )a“x” ;b 2a⁵ 2a³b⁶ 8ab¹²

R = + +

2. Es ordenado y creciente respecto a

“b”

Es ordenado y creciente respecto a

“a”

2. Polinomio Completo

Si existen todos los grados incluyendo el término independiente, hasta un grado determinado

Ejemplos:

1. P(x) = 3x² – 5x + 7 – 2x³ Es completo de grado 3

2. Q(x;y) = 3x – 2y² + 5x²y + x³y⁴ – 2x⁴y³

Es completo respecto a “x” e “y”

y GR(y) = 4, GR(x) = 4 Propiedad:

En todo polinomio completo Número de términos = G.A. + 1 3. Polinomio Homogéneo

Es homogéneo si cada uno de los términos tiene el mismo G.A.

Ejemplo:

P(x;y) = 32x³y⁴ + 20x⁶y – 10x²y⁵ Propiedad:

Términos Semejantes:

Dos o más términos no nulos son semejante si solo difieren en los coeficientes.

Ejemplo:

T1(x,y) = 21x⁷y⁴ T2(x,y) = 5x⁷y⁴ T3(x,y) =

(

^{2 +1}

)

^x7y4

4. Polinomio Idénticos

Dos o más polinomios son idénticos cuando tienen los mismos valores numéricos para cualquier valor de la variable

Ejemplo:

P(x;y) = (x + y)² – 4xy Q(x;y) = (x – y)²

a) Polinomio Idénticamente Nulo Un polinomio es idénticamente nulo, si para cualquier valor de su variable el polinomio se anula.

b) Polinomio Mónico

Un polinomio es un monomio cuando el coeficiente principal es 1.

12

32

Ejemplo:

A(x) = 1 + x² + x³ B(x) = 9x⁴ + x³ + x⁵ Propiedad:

1. Cambio de Variable Ejemplo

Sea P(x)=3x + 1

 P(x + 1) =

P(x + 1) = 3 (x + 1) + 1 P(x + 1) = 3x + 3 + 1 P(x + 1) = 3x + 4 2. Suma de Coeficientes

. coef =P( )1 ^.

Ejemplo:

Sea: P(x) = 3x² + 6x + 1 ( ) ( )1 =31²+6( )1 +1



^coef =^P

^coef =^P( )1 =3+6+1=10

3. Término Independiente:

. T.I.=P( )0 . Ejemplo:

Sea: P(x) = (5X + 3)²

T.I. = P(0)= (0 + 3)² = 3² = 9

EJERCICIOS PARA CLASE 1. En el polinomio completo:

P(x) =

ax^a+3 + 3x^a+1 + 5x³ – 2ax + a² Calcule la suma de coeficientes:

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) N.A 2. Dado el polinomio completo y

ordenado.

P(x) = 2ax^a+3 + 5x³ – 7x² + ax + 3 Calcule la suma de coeficientes.

a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) N.A.

3. Dado el polinomio completo y ordenado:

P(x) =

3x^2a-1 + 4x⁴ + 2x^b+1 + 3x² – x + ab 4. Dado el polinomio homogéneo.

P(x, y) = 2x^ay³ + 3x⁵y⁷ – x^by⁸ Calcular: (a + b)

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 5. Hallar “ab”, sabiendo que: P(x;y)=

3x^a-2b y^a+b + 5x^by^a+2b – 8x^a-by⁸ Es un polinomio homogéneo.

a) 12 b) 10 c) 8 d) 16 e) 24 6. Dado el polinomio homogéneo.

P(x, y, z) = 5xyz – x²y^a + z^b + x^c Calcular: a + b + c

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 7. Si el polinomio es completo y

ordenado en forma ascendente.

P(x) = ax^c-1 + bx^b + cx^a

Calcular la suma de coeficientes.

a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) N.A.

8. Si P(x) y Q(x) son idénticos donde:

P(x) = ax⁵ + 3x² – 4

Q(x) = (2a - 3)x⁵ + (c + 2)x² + b Calcular : a + b + c

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) N.A.

9. Sabiendo que: 3(x² + 1) – 2(x+3) + 8=

Ax² + Bx + C ; calcular : “A + B + C”

a) 4 b) 6 c) 5 d) 7 e) 8 10. Sea el polinomio : P(x) = x³ + ax + b,

si la suma de coeficientes es 10 y su término independiente es 4. Halla : ab

a) 20 b) 30 c) 50 d) 40 e) 60 11. Si : R(x) = 2x² + 5x – 3

Es idéntica con :

S(x) = (a² - 2)x² + (b² + 1)x + c Calcular: a + b + c

13

12. Si :

m(x - 2) + n (x - 3) Ξ 5x + 7 Hallar : « m + n »

a) 3 b) 5 c) 9 d) 25 e) 15 PARA CASA

1. Si el polinomio:

P(x, y) = 3x³y^a + 2x²y⁷ – x⁹; es homogéneo

Calcular: a +3

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.

2. En el polinomio homogéneo:

P(x; y)= x^a-by^b+4 + x^2ay². El valor de

“a” es:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3. Dado el polinomio homogéneo

P(x, y) = 3x^ay² – x^by⁴ + 5x⁵y⁶ Calcular: a + b

a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) N.A.

4. Si: R(x) = 12x⁴ – 5x + 7 es idéntico con:

Q(x) = abx⁴ – 5x + a + b (Nota: a > b)

Calcular: a – b

5. Dados los polinomios idénticos:

P(x, y) = 5x⁵ – 2x³ + 4 R(x, y) = ax³ + c – bx⁵ Calcular: a . b . c

6. Hallar: a² – b³, sabiendo que:

P(x ; y)=

7x^2a y^a+5 + 3x^9by² – x^3a+by^4b Es un polinomio homogéneo.

a) -3 b) 2 c) 3 d) 4 e) -2 7. En el polinomio completo:

P(x) = 2x + 4a - x^3a+1 + 5x² – x³ Calcular el término independiente.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 8. Dado el polinomio completo:

P(x) = 5x + 2x² – 3a + 4x^2a – x³ Calcular la suma de coeficientes.

9. Dados los polinomios idénticos:

P(x) = (a² - 1)x² + (b - 1)x + c + 2 Q(x) = 8x² + 7 + 5x

Calcular: a + b + c 10. Si el polinomio:

P(x) = abx^c + cax^b + bcx^a + abc Es completo y ordenado:

Calcular: a + b + c

a) 1 b) 6 c) 5 d) 4 e) N.A.

SESION 2: PRODUCTOS NOTABLES

Analizamos:

Situación 1:

En una carpintería, José debe elaborar unas repisas a partir de un retazo cuadrado de madera. José pensó que al marcar la madera en la esquina se formaba un cuadradito y la madera se dividía en cuatro partes.

A partir de lo anterior y la imagen presentada, determina las expresiones algebraicas correspondientes para:

• Las longitudes de los lados de la madera original y de las cuatro partes.

• El área de la madera original y de las cuatro partes

CONCEPTO

Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa.

PRODUCTOS NOTABLES I

1. Binomio Suma al Cuadrado (T.C.P.)

14

2. Binomio Diferencia al Cuadrado

(T.C.P.)

Tener en cuenta

Identidades de Legendre

• (a + b)² + (a – b)² = 2(a² + b²)

• (a + b)² – (a – b)² = 4ab

• (a + b)⁴ – (a – b)⁴ = 8ab (a2 + b²) Ejemplos:

• (a + 5)² – (a – 5)² = 4a . 5 = 20ª

• (m+2)² + (m-2)² = 2 ( m² + 2²) = 2(m² + 4)

EJERCICIOS PARA CLASE 1. Desarrolla por simple inspección:

a) (2a + 5)² b) (x + 4y)² c) (8ab - 3)²

d) (7x² - 1)² e) (1 – 4x²y³)² f) (-12a³+ b⁴) ² g)

3 1 2

5w 2b

 + 

 

 

h)

3 1 2

7m 5

 + 

 

 

i) (0,3ab – 1,2) ² j)

(

^{5− 3}

)

²

k)

(

^{2 7+3 5}

)

²

2) Realiza las siguientes operaciones combinadas

a) (x + 2)² -



^{(x+1)2 −3}



b) 3(x + 2)² – 2(x – 1)²

3) Calcula 101² aplicando el cuadrado de la suma de dos términos.

4) Calcula 32² aplicando el cuadrado de la suma de dos términos.

5) Calcula 97² aplicando el cuadrado de la diferencia.

6) Calcula 98² aplicando el cuadrado de la diferencia.

7) Si a + b = 6, además: ab = 3; halla el valor de : R= a² + b²

a) 20 b) 30 c) 34 d) 18 e) 36 8) Si a – b = 17 y ab= 60, calcula a² + b²

9) Antonio dibujo la siguiente figura y calculó el área coloreada que es 39cm²

15

a) Exprese algebraicamente el área de

la región coloreada.

b) ¿Cuál es el área del cuadrado mayor?

Tarea domiciliaria 1) Halla por simple inspección

a) (x + 4y)²

b) (1,5b³c² – 0,2b)² c)

(

^{5ym+3 −2ym−1}

)

²

d)

(

^{8a b ab3 +}

)

²

e) (5x – 2y²)²

f)

(

^{1 3 6a+}

)

²

g)

1 2

6 3

n n

x y xy

 − 

 

 

h)

2 3

3 1 



 



 + x x

i)

2

3 5 5

3











 −

a b b a

2) Halla a² + b² , si . a + b = 5 Λ ab = 6

3) Si : x + y = √5 , xy = 2 halla : x² + y²

4) Si a²+ b²= 58 y ab=21 , calcula el valor de (a + b)²

5) Calcule m + n, si 2(m² + n²) = 58 y mn= 10

II BIMESTRE

UNIDAD I: LOS PRODUCTOS NOTABLES EN LA GEOMETRIA SESIÓN 1: PRODUCTOS NOTABLES II

Analizamos:

Situación 1:

El señor Campos compró un terreno y dialoga con un arquitecto sobre las zonas del interior. El arquitecto muestra un plano en el cual representa las

dimensiones de la casa y uno de sus ambientes.

¿Cuál es la expresión que

representa el área total del terreno?

¿Cuál es la que representa el área de la sala?

BINOMIO SUMA POR BINOMIO DIFERENCIA (DIFERENCIA DE CUADRADOS)

16

EJERCICIOS PARA CLASE

1) Desarrolla por simple inspección:

a) (n + 3m) (n – 3m) b)

(

^{x+ 5}

)(

^{x− 5}

)

c) (9 – 3x) (9 + 3x) d)

(

^{3 1−}

)(

^{3 1+}

)

e) (2x y² +3 )(2z x y² −3 )z

f) _



 



 +



 



 x^m− yⁿ x^m yⁿ 2 5 4 3 2 5 4 3

g) (a³ – 1) (a³ + 1)

2) Un pintor cobra s/. 30 por cada metro cuadrado de pared que pinta. Si pinta una pared de (2x + 7) metros de largo por (2x - 7) metros de ancho, exprese algebraicamente por pintar (4x² + 49) paredes iguales.

2) En cada ejercicio siguiente escribe los dos factores, cuyo producto es el que se indica

(a + b) (a – b) = a² - b² ( ) ( ) = x² – 64 ( ) ( ) = 1 – m² ( ) ( ) = a⁴ -b⁶ ( ) ( ) = ^{81 2 25}

16b −36

3) Halla el resultado numérico de las siguientes operaciones aplicando los productos notables.

a)

(

^{2 5−3 2}

)(

^{2 5+3 2}

)

⁼

b) ^{112 −}

(

^{13− 69}

)(

^{13+ 69}

)

c)

(

⁴

^{13 −}

⁴

³ )(

⁴

^{13 +}

⁴

³ )( ^{13 + 3} )

d) (y + 1)(y - 1)(y² + 1)(y⁴ + 1) + 1 4) Halla el valor de “a”:

(2x + 1)(2x - 1)(4x² + 1)(16x⁴ + 1) + 1= ax⁸ 5) Copia y completa en tu cuaderno las

casillas para que se cumplan las igualdades.

(3x + ___)(___ - 2) = 9x² - 4 Tarea domiciliaria

1) Resuelve los siguientes ejercicios por simple inspección

a)

(

^{xn ++3}

)(

^{xn −3}

)

b)

(

^{2x2 −1}

)(

^{2x2 +1}

)

c)

(

^{5− 2x}

)(

^{5+ 2x}

)

d)

(

^{7 + 5}

)(

^{7− 5}

)

e) (2x²+3y) (2x² – 3y)

f) _



 



 − 2

5 2 3

x 



 



 + 2

5 2 3

x

2) Indicar cuales son los factores que originan el producto indicado.

(a + b) (a – b) a² - b² b² - 169 9a² - 25

0,09 x⁴ - 64

3) Hallar el resultado numérico al aplicar productos notables

a) ⁴⁺

(

^{2 3+ 10}

) (

^{2 3− 10}

)

b) ³

(

³⁻¹

)(

³⁺¹

)

c)

(

^{4 28−1}

) (

^{4 28+1}

) (

^{28 +1}

)

f) (x + 2) (x² + 4) (x - 2) (x⁴ + 16) 4) Calcula aplicando productos notables.

a) 73² b) 198² c) 2 999² d) 95 . 105 e) 18 . 22 f) 39 . 49 g) 99 . 101

SESIÓN 2 : PRODUCTOS NOTABLES III

Te has dado cuenta que existen

situaciones de la vida real que se

relacionan con cuerpos geométricos en particular una piedra como se muestra a continuación.

17

Puedes representar gráficamente

un producto notable a partir de un cubo de arista (a + b)

Al descomponerlos en cubos y prismas más pequeños, se

obtienen los siguientes cuerpos con sus respectivos volúmenes.

Al sumar los volúmenes de cada cuerpo se obtiene el volumen del cubo original:

Binomio al cubo

Identidades de Cauchy (otras formas de expresar un binomio al cubo)

18

EJERCICIOS PARA CLASE

1. Expresa el volumen de cada cubo.

¿se cumple la relación V2 = V1 – V3?

2. Si: (x + 1)³  ax³ + bx² + cx + b Hallar:

d a

c b

+ +

a) 1 b) 3 c) 4 d) 1/3 e) 2/3 3. Si: (x - 2)³  mx³ + nx² + px + q

Hallar:

n m

q p m

+ + +

a) 2 b) -2 c) 1 d) -1 e) 0

4. Santiago le dice a Melissa: “si sumas los números de las dos tarjetas que tengo ,el resultado es 8 y si lo multiplicas, el resultado es 15”.¿Cuánto suman los cubos de dichos números?

5. La diferencia de dos números es 5.

Si el producto de dichos números es 36.¿Cuánto es el valor de la diferencia de los cubos de esos números?

6. Si a - b = 3 y ab=28 , calcula el valor de a³ - b³.

7. Si a - b = 2 y ab=80 , calcula el valor de a³ - b³.

8. Si a-b=6 y ab= 4 , halla

3 3

2 a b

a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 9. SI + 1 =3

a a , hallar ^{3 1}₃

a +a

10. Tamara modificó el dibujo de un rectángulo de 7cm por 4cm, aumentando su largo y ancho en x

cm. expresa en función de x el área del nuevo rectángulo.

11. Si: a + b = 3 y ab = 1

Hallar: a³ + b³ en la siguiente expresión:

a³ + b³ + 3ab(a + b) a) 27 b) 18 c) 9 d) 3 e) 0 12. Halla la expresión que corresponde

al volumen de un cubo.

TAREA DOMICILIARIA

1. Si a + b = 5 y ab=6 , calcula el valor de a³ + b³.

2. Expresa el volumen total de la torre de cubos

3. Resolver:

2 4

(4 1)(4 1)(4 1)(4 1) 1

4. Efectuar:

2 2 4 4 8 8 16

44(6 2)(6 2 )(6 2 )(6 2 ) 2

19

5. Se restan los cubos de dos números

y se obtiene 335. Si la diferencia de dichos números es 5,¿Cuál es el producto de dichos números?

6. . Si (a + b) = 6 y ab = 8, hallar a³ + b³.

a) 36 b) 72 c)144 d) 216 e) 108 7.

8.

9.

SESIÓN 3: DIVISIÓN ALGEBRAICA

Raquel hizo un mantel rectagular cuya área se expresa como 4𝑥² y se sabe que el largo del rectngulo és 2x.

• ¿Cuál es el ancho del mantel?

➢ División de polinomios Es aquella operación inversa a la

multiplicación definida para polinomios en una sola variable cuyo objetivo es calcular dos expresiones llamadas cociente y residuo obtenidas de otras operaciones llamadas dividendo y divisor

➢ Técnicas para dividir I. HORNER

Válido para la división de polinomios de cualquier grado .considerando solo los coeficientes, veamos su ubicación en el esquema de Guillermo Horner.

PASOS:

P1: Dividir el primer coeficiente del dividendo por el primero del divisor, este es el primer término del cociente.

P2: El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los coeficientes del divisor, los resultados se colocan dejando una columna de lado

P3:Reducir la siguiente columna y repetir el paso anterior tantas veces hasta obtener el ultimo termino del cociente (término independiente del cociente)

P4: Toda suma de columnas que se realiza en la zona del residuo no se divide, se coloca directamente.

20

EJERCICIOS PARA CLASE

1) Efectuar la división:

1 2

1 4

4 2

2

2 3 4 5

+

−

−

−

− +

−

x x

x x x x x

e indicar el término independiente del cociente

2) Hallar m + n, sabiendo que el polinomio:

4x⁴ + 2x³ – mx² + 8x + n, es divisible por:(x – 1)²

3) Sabiendo que ^{x4+4x3+6x2+ax+b} es divisible por ^{x2 +3x+2}, hallar el valor de: “a + b”

4) Efectuar la división indicar la suma de coeficientes del residuo:

1 3 2

6 22 3

26 5

6

2

2 3 4

5

+

−

+

− +

− +

x x

x x

x x

x

5) Aplicando el método de Horner efectuar la división e indicar el resto

5 2

5 12

2

2 5

+

−

− +

x x

x x

x

6) Efectuar la siguiente división e indicar la suma de coeficientes del resto

1 3 2

7 4 6

8

2 2 4

+

−

+ +

−

x x

x x

x

7) Si el residuo de la división ) 4 x 2 x ( : ) b ax x 4 x 7 x 3 x

( ⁵− ⁴+ ³− ²+ + ²− + es cero, calcular el valor de “a.b”

TAREA DOMICILIARIA 1. Al efectuar la división

1 2

3 2

2

2 4 5

+

−

+ +

−

x x

x x x

Indicar la suma de coeficientes del residuo

2. Calcular la suma de los coeficientes del dividendo en la siguiente división:

3. Efectuar la división e indicar el término independiente del residuo

1 2

1 4

2

2

5 2 3

4

− +

− + +

−

x x

x x x

x

21

4. Calcular “a+b” si la división es

exacta:

5 4 2

13 6

2 2 4

+

−

− +

−

x x

b ax x x

5. Dividir:

6y⁵-5y⁴-6y³-13y²-4y+5 2y²-3y-2

UNIDAD II: LA DIVISIÓN ALGEBRAICA EN LAS CIENCIAS

SESIÓN 1: DIVISIÓN ALGEBRAICA RUFFINI

Situación 1

Determina si es posible afirmar que al dividir 𝑥²+3x+2 entre x + 2, se obtiene como cociente x + 1

II. RUFFINI

Aplicable cuando el divisor es de la forma ax ± b o cualquier otra expresión transformable a esta.

Para el caso general de solución veamos el esquema de Paolo Ruffini:

PASOS:

P1: El primer elemento del dividendo se baja, este corresponde al primer coeficiente del cociente.

P2:Se procede como en la división por Horner y el resultado de reducir la última columna es el resto de la división.

22

EJERCICIOS PARA CLASE

1. Al dividir:

x⁴-2x²-6 por x+3 ; el resto es:

2. Dividir:

3. Hallar el coeficiente del término cuadrático en:

3 2

3 7

2 ^{4 3}

+

−

−

− x

x x

x

4. Hallar “m” para que al dividir 3

4

6 5 12 9

4 ^{4 5 6 2 3}

+

− + + +

+

x

mx x

x x x

x

deje de residuo 3.

5. Determinar el valor de “a” para que el polinomio 2x³+9x²+ax−15 sea divisible por x + 3.

6. Indicar el residuo de la siguiente división

2

3 2 4

2 ^{7 6}

−

+ +

− x

x x

x

7. Efectuar la siguiente división:

1 2

2 6 ²

+

−

− x

x x

E indicar el cociente

8. Efectuar la siguiente división Indicar el residuo

1

4 4 5

6 ^{3 2}

−

+

−

− x

x x

x

TAREA DOMICILIARIA

1. Si el polinomio: 3x³ −8x² +ax+b es divisible por x – 2, calcular el valor de

2a + b.

2. Halla el cociente y el residuo.

(4x³ - 2x² + 2x -1) ÷ (2x + 1) 3. Al dividir el polinomio

x⁴ - 5x³ + 3x² + 2x + m entre x – 2, el residuo es 5. Calcula m.

4. Halla la suma del cociente y el residuo.

(a³ + a + 2a² -1) ÷ (a - 1)

5. Hallar el cociente aplicando Ruffini x⁴ – 3x³ + 5x – 8 entre x + 2

6. Calcular la suma de coeficientes del cociente, después de efectuar.

8

56

2 15

− +

− x

x x

SESIÓN 2: TEOREMA DEL RESTO

La división de polinomios es útil en diferentes ramas de la ciencia como la medicina, cuando se requiere dividir magnitudes que están expresadas, algebraicamente, la informática, cuando se utilizan en el lenguaje de sus sistemas o la economía, para los cálculos de intereses y duración de las hipotecas expresadas

polinómicamente, etc.

TENER EN CUENTA

Te permite encontrar el resto de la división sin efectuarla, siempre y cuando

el divisor sea un binomio.

Regla práctica:

1 el divisor se iguala a cero:

ax ± b = 0 2

2 2 3 12 2

3

2 ^{4 3 2}

−

− +

− +

x

x x

x x