En el lenguaje algebraico podemos usar las letras que queramos, x, y, z, a, b, c, m, n, p, etc. , 5m2 + n 2 son expresiones algebraicas

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EL LENGUAJE DE LAS LETRAS Lenguaje algebraico

En matemáticas cuando tenemos que representar un número o una cantidad desconocida usamos una letra.

Ejemplos:

Lo que valen x kg de manzanas a 1,25 €/kg → 1,25x El número siguiente al triple de a → 3a + 1 La mitad del consecutivo de b → ^{b 1}

2

+ El anterior al número natural n → n – 1

Las expresiones que obtenemos cuando usamos letras y números relacionados por operaciones aritméticas (sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces) se llaman expresiones algebraicas.

Las letras que aparecen en una expresión algebraica se llaman variables.

En el lenguaje algebraico podemos usar las letras que queramos, x, y, z, a, b, c, m, n, p , etc.

Ejemplos: 3x² – x + 2 , 2a – 3b , 3x 1 2y 3

−

+ , 5m² + n² son expresiones algebraicas

Observa que para expresar la multiplicación de un número por una letra no se suele escribir el punto de multiplicar. Por ejemplo, 2.a se escribe simplemente 2a

Actividad resuelta Escribe en lenguaje algebraico:

a) El doble de un número menos cinco unidades Resolución 2x – 5 b) La tercera parte de un número Resolución x/3

c) El número consecutivo o siguiente de un número natural Resolución n + 1 d) La mitad de la edad de una persona Resolución x/2

e) El doble de un número “m” menos la tercera parte de su cuadrado Resolución 2m – m²/3 f) La mitad del cubo de un número “a” más el triple de su cuadrado Resolución a³/2 – 3a². g) La tercera parte de un número menos la raíz cuadrada de su consecutivo Resolución ^𝑛

3 − √𝑛 + 1 h) La distancia recorrida por un coche, que lleva una velocidad constante de 60, en un tiempo t

Resolución 60t

i) Si una camisa cuesta “m” euros y un pantalón “n” euros expresa el precio de 5 camisas y 7 pantalones Resolución 5m + 7p

j) La suma de las edades de Juan, Marisa y Rocío, sabiendo que Juan tiene x años, Rocío tiene 5 años más que Juan y Marisa tiene el doble de edad que Juan

Resolución

Juan: x Rocío: x + 5 Marisa: 2x Suma de las edades: x + x + 5 + 2x = 4x + 5

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Valor numérico

El valor numérico de una expresión algebraica es el valor que se obtiene cuando se sustituyen las letras por los números que nos dan y después se hacen las operaciones.

Ejemplos:

1) El valor numérico de –3x² + 2x + 6 para x = 2 es: –3.2² + 2. 2 + 6 = –3.4 + 4 + 6 = –12 + 4 + 6 = –2 2) El valor numérico de – m²n³ + mn + 2m³ – 3n² – 1 para m = 3, n = 2 es:

–3². 2³ + 3. 2 + 2. 3³ – 3. 3² – 1 = – 9. 8 + 6 + 2. 27 – 3. 9 – 1 = 72 + 6 + 54 – 27 – 1 = 104 Actividades resueltas

1) Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones:

a) 5x² – 1 para x = 3 Resolución Solución : 5.3²− =1 5.9 1 44− =

b) 7a + 3b para a = 2 , b = 5 Resolución Solución : 7.2 3.5 14 15 29+ = + =

2) Con la fórmula p = n² – n + 41 se obtienen muchos números primos.

¿Qué número primo se obtiene para n = 4? Resolución Soluc : 4² − +4 41 16 4 41= − + = 53

El valor numérico se puede usar para resolver problemas:

Por ejemplo, si la fórmula de la velocidad media es v = d

t y queremos hallar la velocidad media cuando recorremos 210 km en 3 h, sustituimos d = 200, t = 3 y obtenemos: v = 210=

3 70km/h Actividades resueltas

1) Halla los intereses que producen 6 500 € colocados a interés simple en un Banco al 3% de rédito durante 5 años sabiendo que la fórmula es = Crt

I 100 , siendo C el capital que se coloca en el Banco, r el rédito y t el tiempo en años Resolución I 6500.3.5 97500 975 €

100 100

= = =

2) La presión sanguínea normal P en una persona sana se puede estimar mediante la expresión P 11 E

= +20 , donde E representa la edad en años.

a) ¿Cuál será la presión sanguínea de una persona de 40 años? b) ¿Y una de 30? c) ¿Y una de 60?

Resolución a) P 11 ⁴⁰ 11 2 13

= +20 = + = b) P 11 ³⁰ 11 1,5 12,5

= +20= + = c) P 11 ⁶⁰ 11 3 14

= +20 = + =

3) En electricidad se utiliza la relación llamada ley de Ohm, R ^V

= I , donde R es la resistencia eléctrica, V el voltaje e I intensidad de corriente. Calcula la resistencia R sabiendo que V = 120 voltios y la intensidad de corriente es I = 8 amperios Resolución R 120 15

= 8 =

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MONOMIOS Y POLINOMIOS Monomios

Un monomio es una expresión algebraica que consta de una parte numérica llamada coeficiente seguida de una letra llamada parte literal. Por ejemplo, 3x es un monomio.

Los números se consideran monomios y se llaman monomios constantes.

Por ejemplo, el número –3 es un monomio constante, pues –3 = –3x⁰

Cuando el coeficiente es 1 no se suele escribir. Por ejemplo, 1x se escribe simplemente como x.

Cuando no aparece el exponente de una letra significa que vale 1.

Por ejemplo, 5x tiene grado 1, 3ab tiene grado 2, 7x²y tiene grado 3

El grado de un monomio es el exponente de la parte literal, si hay sólo una letra o la suma de los exponentes si hay varias letras.

Más ejemplos de monomios:

3x⁴ → El coeficiente es 3, la parte literal es x⁴ y el grado es 4

–ab³c → El coeficiente es –1, la parte literal es ab³c y el grado es 1+3+1 = 5 4m → El coeficiente es 4, la parte literal es m y el grado es 1

x³ → El coeficiente es 1, la parte literal es x³ y el grado es 3 Actividad resuelta Indica cuál es el coeficiente y el grado de los siguientes monomios:

a) 7xy²z ResoluciónSolución : coeficiente : 7 grado : 1 2 1+ + =4 b) 3m ResoluciónSolución : coeficiente : 3 grado : 1

c) a²b³ Resolución Solución : coeficiente : 1 grado : 2 3 5+ = d) 2z² ResoluciónSolución : coeficiente : 2 grado : 2

Monomios semejantes

Son los que tienen la misma parte literal. Por ejemplo, 3x, –5x son semejantes, pero 2x, 2y no lo son

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Suma y resta de monomios

Sólo se pueden sumar o restar monomios semejantes. Se hace sumando o restando los coeficientes y dejando la misma parte literal. Ejemplos: 3x + 5x = (3 + 5)x = 8x 9m – 7m = (9 – 7)m = 2m Cuando sumamos o restamos monomios semejantes se dice que estamos reduciendo los términos.

Si los monomios no son semejantes entonces NO se pueden sumar ni restar.

Por ejemplo, los monomios 3m y 2n no se pueden sumar ni restar porque no son semejantes.

La suma o resta de monomios no semejantes hay que dejarla indicada así, 3m + 2n ó 3m – 2n Actividad resuelta

Realiza las siguientes sumas y restas de monomios:

a) 7x³ + x³ + 3x³ Resolución 11x³ b) 7m – 3m Resolución 4m

c) 6a – a Resolución 5a

d) 3x + 2y Resolución No se puede porque no son semejantes e) 3x² – 5x² + x² – 7x² – (– 2x²) – x²

Resolución

2 2 2 2 2 2 2 2

Soluc : 3x −5x +x −7x +2x −x = − + − + −(3 5 1 7 2 1)x = −7x

Producto de un número por un monomio

Para multiplicar un número por un monomio se multiplica el número por el coeficiente y se deja la misma parte literal. Por ejemplo, 3.5x = 15x.

Actividades resueltas

1) Halla el monomio que resulta de calcular el perímetro de cada figura

a)

b) Un octógono de lado 3x

Resolución a) 4x + 2x + 2x + 2x + 6x + 4x = 18x b) 3x . 8 = 24x

2) Expresa en forma algebraica lo más reducida posible:

a) El perímetro y el área de un rectángulo de 2 unidades más de largo que de ancho

ResoluciónSolución : Ancho : x L argo : x 2 +  = + + + + + =P x x x 2 x 2 4x 4+ A=x(x 2)+

El perímetro de un rectángulo que mide el doble de largo que de ancho Resolución 2x . 2 + x . 2 = 6x

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Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma/resta de monomios no semejantes.

Cada monomio se llama término del polinomio.

Si en un polinomio hay algún término formado por un sólo número, este término se llama término independiente.

Según el número de términos de un polinomio, este se llama: binomio si tiene dos términos, trinomio, si tiene tres, etc.

Por ejemplo, 5x⁴ + 3x³ – 7 es un trinomio de grado 4 y el término independiente es – 7

2mn²p – m³p + np² + 7m²np³ es un polinomio de 4 términos (cuatrinomio), grado 6 y sin término independiente.

El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos.

Por ejemplo, 5x⁴ + 3x³ – 7 es un polinomio de grado 4 y 3abc⁴ + a²c³ – 7 es un polinomio de grado 6.

Un polinomio está ordenado si todos los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

Por ejemplo, p(x) = 2x³ + 5x – 3 es un polinomio ordenado en orden decreciente

Un polinomio es completo si escribiéndolo ordenado tiene todos los términos desde el término de mayor grado hasta el término independiente.

Por ejemplo, p(x) = 2x³ + 3x² + 5x – 3 es un polinomio completo

Dado un polinomio, el polinomio opuesto es el que se obtiene cambiándole de signo a todos los términos del polinomio.

Por ejemplo, el opuesto del polinomio 3x² – 5x + 9 es –3x² + 5x – 9

A modo de ejemplo el grado de –x³ + 3x² – 2x – 5 es 3, su término independiente es –5 y su opuesto es x³ – 3x² + 2x + 5

OPERACIONES CON POLINOMIOS Suma/ resta de polinomios

Para sumar o restar polinomios se reducen los términos semejantes realizando las sumas/restas de los mismos.

Ejemplo: (7x³– 3x – 6) – (2x³ + 10x²– 4) + (x² – 4x + 1) = 7x³– 3x – 6 – 2x³ – 10x²+ 4 + x² – 4x + 1 =

= (7x³ – 2x³) + (–10x² + x²) + (–3x – 4x) + (–6 + 4 + 1) = 5x³ – 9x² – 7x – 1

Se pueden sumar polinomios colocando uno debajo de otro haciendo coincidir los términos semejantes.

Ten en cuenta que para restar dos polinomios se le suma al primero el opuesto del segundo

Ejemplo: Si p(x) = x² – 1 , q(x) = –5x² – 2x + 9 , r(x) = 3x + 4. Entonces p(x) – q(x) + r(x) se puede efectuar así:

x² + 0x – 1 5x² + 2x – 9 3x + 4

__________________________________________

6x² + 5x – 6

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Actividad resuelta Calcula las siguientes sumas y restas de polinomios:

a) –x⁴ + 5x² – 8x + (–x³ + x² – 3x + 4) – (x⁴ – 5x² + 10)

ResoluciónSolución:−x⁴+5x² −8x x− ³+x²−3x+ −4 x⁴+5x²−10= −2x⁴−x³+11x²−11x+ −6 b) (7x² – 3x – 6) – (2x³ + 6x² – x – 5) + (3x – 8)

Resolución 7x² – 3x – 6 – 2x³ – 6x² + x + 5 + 3x – 8 = – 2x³ + x² + x – 9

Producto de monomios

Para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes por una parte y las partes literales por otra.

En las partes literales podemos aplicar la regla para multiplicar potencias de la misma base y sumar los exponentes

Ejemplos:

(6x⁴).(–5x⁷) = 6.(–5) x⁴⁺⁷ = –30x¹¹ –3a²bc.( –2ab³) . (–b²c) = –6a³b⁶c²

Siempre se puede efectuar la multiplicación de monomios sean o no semejantes

Actividades resueltas 1) Reduce los siguientes productos de monomios:

a) (5x³)(–3x) Resolución Solución:5.( 3)− x x³ = −15x⁴

b) (–2xyz³)(–x)(–7x²y) Resolución –14x⁴y²z³ c) (–3xy²z)(2x⁴z)(3t²)(y³z) Resolución –18x⁵y⁵z³t²

2) Obtén la expresión algebraica lo más reducida posible:

a) El área de este triángulo

Resolución

2 3

base . altura 4x.5x 20x 3

A 10x

2 2 2

= = = =

b) El perímetro de este rectángulo

ResoluciónP = 5x.2 + 2x.2 = 10x + 4x = 14x

c) El área de la zona sombreada:

Resolución x.x 2

A 2A(triángulo rectángulo) 2. x

= = 2 = x²

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Propiedad distributiva, producto de un monomio por un polinomio Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad distributiva.

Basándose en que el área de las dos figuras es la misma: a.(b + c) = a.b + a.c Esta es la propiedad distributiva del producto respecto de la suma

La propiedad distributiva se puede aplicar también cuando hay una resta: a.(b – c) = a.b – a.c Ejemplo: 2x(3x² – 5x + 2) = 2x.3x² – 2x.5x + 2x.2 = 6x³ – 10x² + 4x

Actividades resueltas

1) Calcula 3x³(–2x² + 5x – 1) Resolución Soluc : 3x ( 2x ) 3x (5x) 3x .1³ − ² + ³ − ³ = −6x⁵+15x⁴−3x³

2) Obtén la expresión algebraica lo más reducida posible que corresponde a la suma de las edades de Luís, Marisa y Sara, sabiendo que Marisa tiene x años, Sara tiene 7 años menos que Marisa y Luís tiene el triple de edad que Sara

Resolución

Marisa : x Sara : x 7 Luís : 3(x 7) 3x 21 Suma : x x 7 3x 21 5x 28− − = − + − + − = −

Producto de polinomios

Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva, multiplicando cada término de un polinomio por todos los términos del otro.

Ejemplos:

1) (5x² – 4x + 6).(3x – 7)

5x²(3x – 7) – 4x(3x – 7) + 6(3x – 7) = 15x³ – 35x² – 12x² + 28x + 18x – 42 = 15x³ – 47x² + 46x – 42

2) (–5x² + 3x – 9)(4x – 3)

2 3 2 2 3 2

Soluc : −5x (4x 3) 3x(4x 3) 9(4x 3)− + − − − = −20 x +15x +12x −9x 36x− +27= −20 x +27x −45x 27+

Se pueden realizar las multiplicaciones poniendo un factor debajo de otro.

Fíjate en los siguientes ejemplos:

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Para multiplicar tres polinomios se utiliza la propiedad asociativa: se multiplican dos de ellos y el resultado se multiplica por el tercero. Análogamente se haría con más de tres polinomios.

Ejemplos:

1) (3x² – 2x + 1)(5x – 3)(x³ – 4) = (15x³ – 9x² – 10x² + 6x + 5x – 3)(x³ – 4) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ se simplifica (15x³ – 19x² + 11x – 3)(x³ – 4) = 15x⁶ – 60x³ – 19x⁵ + 76x² + 11x⁴ – 44x – 3x³ + 12 =

= 15x⁶ – 19x⁵ + 11x⁴ – 63x³ + 76x² – 44x + 12

2) (2x² + x – 1)(x² – 3)(5 – x) = (2x⁴ – 6x² + x³ – 3x – x² + 3)(5 – x) =

= (2x⁴ + x³ – 7x² – 3x + 3)(5 – x) = 10x⁴ – 2x⁵ + 5x³ – x⁴ – 35x² + 7x³ – 15x + 3x² + 15 – 3x =

= –2x⁵+9x⁴+12x³ – 32x² – 18x + 15

Operaciones combinadas de suma, resta y producto de polinomios Para realizar operaciones combinadas con polinomios se sigue el siguiente orden:

1º) Se hacen las multiplicaciones 2º) Se reducen los términos semejantes Actividades resueltas

1) Realiza:

a) 2x.(5x – 3) – (3x + 5).(2x – 1)

Resolución

2 2

2 2 2

Solución :2x.5x 2x.( 3) [3x.2x 3x.( 1) 5.2x 5.( 1)] 10x 6x (6x 3x 10x 5)

10x 6x 6x 3x 10x 5 4x 13x 5

+ − − + − + + − = − − − + − =

= − − + − + = − +

b) 3x(x – x² + 1) – 2x + (3x – 1)(2x² + 5)

Resolución

3x² – 3x³ + 3x – 2x + 6x³ + 15x – 2x² – 5 = 3x³ + x² + 16x – 5

c) 3x²(x – 1) – (x + 3)(2x – 5) + x² Resolución 3x³ – 3x² – (2x² + x – 15) + x² = 3x³ – 4x² – x + 15

d) (2x + 1)(5x – 3) – 3x(2x – 1) Resolución 10x² – 6x + 5x – 3 – 6x² + 3x = 4x² + 2x – 3

e) (3x + 1)(x – 5) – x(4x + 1) + (x + 1)6x

Resolución

3x² – 15x + x – 5 – 4x² – x + 6x² + 6x = 5x² – 9x – 5

f) x + (x + 1)(x – 2) – 3(x – 1) – 2x(x – 3) + 4(x – 1) + 5 Resolución

x + x² – 2x + x – 2 – 3x + 3 – 2x² + 6x + 4x – 4 + 5 = –x² + 7x + 2

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2) Sabiendo que p(x) = –x²+ 3x – 2 q(x) = 5x – 1, efectúa: [ 2x . q(x) – p(x) ] . q(x) Resolución

2 2 2 2

3 2 2 3 2

Solución :[ 2x.(5x 1) ( x 3x 2) ].(5x 1) [10x 2x x 3x 2].(5x 1) (11x 5x 2).(5x 1)

55x 11x 25x 5x 10x 2 55x 36x 15x 2

− − − + − − = − + − + − = − + − =

= − − + + − = − + −

3) Dados los polinomios P(x) = 2x – 1 , Q(x) = –x² + 1 , R(x) = –3x + 2 Calcula [ Q(x) – 2 R(x) ] . [ P(x) + 3 Q(x) ]

Resolución [–x² + 1 – 2(–3x + 2)] . [2x – 1 + 3(–x² + 1)] =

= (–x² + 1 + 6x – 4)(2x – 1 – 3x² + 3) = (–x² + 6x – 3)(–3x² + 2x + 2) =

= 3x⁴ – 2x³ – 2x² – 18x³ + 12x² + 12x + 9x² – 6x – 6 = 3x⁴ – 20x³ + 19x² + 6x – 6

4) Considera las siguientes figuras geométricas

a) Halla la diferencia entre el área del rectángulo y el área del triángulo Resolución

b) Si x = 2, ¿qué área tiene cada figura?

Resolución

5) Calcula el polinomio que expresa la diferencia entre el área del rectángulo y la del triángulo

Resolución

2 3 2 2 2

3 2 2 2 3 2

(3x 8)(4x 14) 12x 42x 32x 112

(4x 2)(3x 11x 1) 12x 44x 4x 6x 22x 2

2 2

12x 44x 4x 6x 22x 2 6x 21x 16x 56 12x 44x 55x 54

+ + + + +

+ − + − = − + + − + − =

= − + + − + − − − − = − − −

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6) Calcula el polinomio que expresa el área de la zona sombreada, indica cuál es su grado y halla su área cuando x = 2

Resolución

(4x + 6)(x + 3) – 3x.x = 4x² + 12x + 6x + 18 – 3x² = x² + 18x + 18; grado 2 El área para x = 2 es 2² + 18.2 + 18 = 58

7) Calcula el polinomio que expresa el área de la zona sombreada, indica cuál es su grado y halla su área cuando x = 7

Resolución

2 2

2

A(sombreada) A(rectángulo grande) A(rectángulo pequeño) (x 5)(x 3) 2(x 1) x 3x 5x 15 2x 2 x 6x 17 Grado : 2

Si x 7 A 7 6.7 17 49 42 17 108

= − = + + − − =

= + + + − + = + +

= → = + + = + + =

Potencia de un monomio

Para calcular la potencia de un monomio se elevan al exponente el coeficiente y la parte literal.

La regla es (Ax )^{m n}=A x^{n mn} . Por ejemplo, (3x⁵)² = 3²(x⁵)² = 9x¹⁰

Identidades notables Cuadrado de una suma:

Observa:

Como BA AB

2 2 2 2 2 2 2 2

(A B)+ =(A B)(A B) A+ + = +AB BA B+ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⁼ →A +2AB B+  (A B)+ =A +2AB B+ Ejemplos:

(5x + 4)² = (5x)² + 2.5x.4 + 4² = 25x² + 40x + 16

(3y²z + 2xyz)² = (3y²z)² + 2.3y²z.2xyz + (2xyz)² = 9y⁴z² + 12xy³z² + 4x²y²z².

Cuadrado de una diferencia:

Observa:

Como BA AB

2 2 2 2 2 2 2 2

(A B)− =(A B)(A B) A− − = −AB BA B− + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⁼ →A −2AB B+  (A B)− =A −2AB B+ Ejemplos:

(2x – 7)² = (2x)² – 2.2x.7 + 7² = 4x² – 28x + 49

(ab²c – a²b)² = (ab²c)² – 2.ab²c.a²b + (a²b)² = a²b⁴c² – 2a³b³c + a⁴b².

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Suma por diferencia:

Observa: (A B)(A B) A+ − = ²−AB BA B+ − ²⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯^{Como BA=AB}→A²−B² (A B)(A B) A+ − = ²−B² Ejemplos:

(4x + 9)(4x – 9) = (4x)² – 9² = 16x² – 81

(3m + 2pq)(3m – 2pq) = (3m)² – (2pq)² = 9m² – 4p²q².

Actividades resueltas 1) Usando identidades notables, calcula:

a) (x³ + x²)² Resolución b) (a + 7)(a – 7) Resolución

2 2 2 3 2 3 2 6 4 2 2 2 2

) (3 ) 2.3 .5 5 9 30 25 ) ( ) 2. . 2 ) 7 49

a x − x + = x − x+ b x + x x x+ = x + x +x c a − = a −

Solución:

c) (x³ – 6xy)² Resolución Solución :(x ) ^{3 2}−2.x .6xy (6xy)³ + ² = x⁶−12x y 36x y⁴ + ^{2 2} d) (5a²b + 2b³).(5a²b – 2b³) Resolución Solución :(5a b)^{2 2}−(2b )^{3 2} = 25a b^{4 2}−4b⁶ e) (3x + 2xy²)² Resolución Solución :(3x)²+2.3x.2xy²+(2xy )^{2 2} = 9x²+12x y^{2 2} +4x y^{2 4}

2) Usando las identidades notables obtén el polinomio que expresa el área del cuadrado y luego calcula su superficie para x = 3 cm

Resolución

2 2 2

(A B) A 2AB B

2 2 2 2 2

A(cuadrado lado= =(5x 7)+ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯^{+ = + +} → (5x) +2.5x.7 7+ =25x +70x 49+ Para x = 3 cm, A = (5.3 + 7)² = 22² = 484 cm²

Para calcular la potencia de un polinomio se multiplica el polinomio tantas veces como indique el

exponente. Ejemplo: (x² – x + 5)² = (x² – x + 5)(x² – x + 5) = x⁴ – 2x³ + 11x² – 10x + 25 ¡Compruébalo!

Actividad resuelta Realiza:

a) (x⁵ – 3x² + 2)²

Resolución

(x⁵ – 3x² + 2)(x⁵ – 3x² + 2) = x¹⁰ – 3x⁷ + 2x⁵ – 3x⁷ + 9x⁴ – 6x² + 2x⁵ – 6x² + 4 =

= x¹⁰ – 6x⁷ + 4x⁵ + 9x⁴ – 12x² + 4 b) (2x – 1)³

Resolución

(2x – 1)(2x – 1)² = (2x – 1)(4x² – 4x + 1) = 8x³ – 8x² + 2x – 4x² + 4x – 1 = 8x³ – 12x² + 6x – 1

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Operaciones combinadas con polinomios con potencias Para realizar operaciones combinadas con polinomios se sigue el siguiente orden:

1º) Potencias, si las hubiera 2º) Multiplicaciones 3º) Se reducen los términos semejantes Ejemplo

(2x + 1)(3x² – 1) + (2x – 3)² – 3(x + 1)(x – 1) – (3x + 1)² =

= 6x³ – 2x + 3x² – 1 + 4x² – 12x + 9 – 3(x² – 1) – (9x² + 6x + 1) =

= 6x³ – 2x + 3x² – 1 + 4x² – 12x + 9 – 3x² + 3 – 9x² – 6x – 1 = 6x³ – 5x² – 20x + 10

Actividades resueltas 1) Realiza:

a) (3x² – x)² + (5x² + 2x)(5x² – 2x) – 7x³

Resolución

9x⁴ – 6x³ + x² + 25x⁴ – 4x² – 7x³ = 34x⁴ – 13x³ – 3x²

b) (7x² – 5x)² + (2x² + 3x)(2x² – 3x) – x³

Resolución

49x⁴ – 70x³ + 25x² + 4x⁴ – 9x² – x³ = 53x⁴ – 71x³ + 16x2

c) (x² – 3x)² + (7x² + x)(7x² – x) – 8x³

Resolución

x⁴ – 6x³ + 9x² + 49x⁴ – x² – 8x³ = 50x⁴ – 14x³ + 8x²

d) (2x + 1)(3x² – 1) + (2x – 3)² + 3(x + 1)(x – 1) + (3x + 1)² Resolución

6x³ – 2x + 3x² – 1 + 4x² – 12x + 9 + 3(x² – 1) + 9x² + 6x + 1 =

= 6x³ – 2x + 3x² – 1 + 4x² – 12x + 9 + 3x² – 3 + 9x² + 6x + 1 = 6x³ + 19x² – 8x + 6 e) (5x² – 2x)² + (3x² + x)(3x² – x) – 6x³

Resolución

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 3 4 3 2 4 2 3 4 3 2

Como (A B) A 2AB B y (A B)(A B) A B

(5x ) 2.5x .2x (2x) (3x ) x 6x 25x 20x 4x 9x x 6x 34x 26x 3x

− = − + + − = −

− + + − − = − + + − − = − +

f) 5x + 3 + (2x – 3)²

Resolución

2 2 2 2

Solución :5x 3 (2x)+ + −2.2x.3 3+ =5x 3 4x+ + −12x 9+ = 4x −7x 12+

g) 3x.(x + 1)² – x².(–5x + 3)

Resolución

2 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2

Solución :3x(x +2.x.1 1 ) 5x+ + −3x =3x(x +2x 1) 5x+ + −3x =3x +6x +3x 5x+ −3x = 8x +3x +3x

- Página 13 -

h) –3.(x + 5).(x – 5) – (2 – 3x)²

Resolución

2 2 2 2 2 2 2 2 2

Solución : 3(x− −5 ) [ 2− −2.2.3x (3x) ]+ = −3(x −25) (4 12x 9x )− − + = −3x +75 4 12x 9x− + − = −12x +12x 71+

i) (2x – 3)² + 2x(x + 5)(x – 5) – (x + 1)² – 3(2x – 5)(x² – x + 1) Resolución

4x² – 12x + 9 + 2x(x² – 25) – (x² + 2x + 1) – (6x – 15)(x² – x + 1) =

= 4x² – 12x + 9 + 2x³ – 50x – x² – 2x – 1 – (6x³ – 6x² + 6x – 15x² + 15x – 15) =

= 4x² – 12x + 9 + 2x³ – 50x – x² – 2x – 1 – 6x³ + 6x² – 6x + 15x² – 15x + 15 = –4x³ + 24x² – 85x + 23

j) –2x⁴(x – 1)² + (1+ x²)²(x² – x)

Resolución

–2x⁴(x² – 2x + 1) + (1 + 2x² + x⁴)(x² – x) = –2x⁶ + 4x⁵ – 2x⁴ + x² – x + 2x⁴ – 2x³ + x⁶ – x⁵ =

= –x⁶ + 3x⁵ – 2x³ + x² – x

k) (3x – 2)² + 5x(x + 2)(x – 2) – (x + 3)² + 2(3x – 1)(x² + x – 2) – (2x – 3)³. Resolución

2 2 2 2 2 2 2 2

2 3 2 3 2 2 2

3 2 3 2 2 3 2

(3x) 2.3x.2 2 5x(x 2 ) (x 2.x.3 3 ) (6x 2)(x x 2) (2x 3) (2x 3)

9x 12x 4 5x 20x x 6x 9 6x 6x 12x 2x 2x 4 (4x 12x 9)(2x 3) 11x 12x 52x 1 (8x 12x 24x 36x 18x 27) 3x 48x 106x 26

− + + − − + + + − + − − − − =

= − + + − − − − + + − − − + − − + − =

= + − − − − − + + − = + − +

l) 1 – x(x² – 2x)² + 2(x – 1)(x + 1) – (x + 1)⁵. (S: –2x⁵ – x⁴ – 14x³ – 8x² – 5x – 2) Resolución

4 3 2 2 2 2

5 4 3 2 2 2

5 4 3 2 4 3 2 3 2 2

5 4 3 2 4 3 2

5 4 3 2

1 x(x 4x 4x ) 2(x 1) (x 1) (x 1) (x 1) 1 x 4x 4x 2x 2 (x 2x 1)(x 2 x 1)(x 1)

x 4 x 4 x 2 x 1 (x 2 x x 2 x 4 x 2 x x 2 x 1)(x 1) x 4 x 4 x 2 x 1 (x 4 x 6 x 4 x 1)(x 1)

x 4 x 4 x 2 x

− − + + − − + + + =

= − + − + − − + + + + + =

= − + − + − − + + + + + + + + + =

= − + − + − − + + + + + =

= − + − + − ^{5 4 3 2 4 3 2}

5 4 3 2

1 (x 4 x 6 x 4 x x x 4 x 6 x 4 x 1) 2x x 14x 8x 5x 2

− + + + + + + + + + =

= − − − − − −

- Página 14 -

DIVISIÓN DE POLINOMIOS División entre dos monomios

− −

= = = =

5 5 m

5 3 2 m n

3 3 n

12x 12 x Ax A

Observa : 3x 3x En general, x

4 B

4x x Bx

Para dividir dos monomios de una sola variable, se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de la variable o variables.

Ejemplos:

−

= = = − = =

− −

=

7 3 3

3 2 2

4 3

2 1

3

3x 3 18a 18 3 m y

x a a 1 1

2 30a 30 5 y

2x m

z z (que no es un monomio porque el exponente es negativo) z

5₃ = 1₃ = ⁻³

5 5x (no es monomio)

x x

Si tienen dos o más variables se divide cada variable entre su correspondiente.

− −

= = −

− −

= = −

− −

3 2 3 2

2

2 2

3 3

2 1 1

2 2

12a b c 12 a b c

Observa : 4a c

3 a 1

3ab b

x y 1 x y 1 1x y z (no es un monomio) ¿porqué?

2 1 z 2

2y z y

División de un polinomio entre un monomio

− + = − + = − +

5 4 3 5 4 3

2

3 3 3 3

12x 8x 2x 12x 8x 2x

Observa : 6x 4x 1

2x 2x 2x 2x

Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio División entre polinomios

Para dividir un polinomio p(x) entre otro polinomio q(x) seguimos un método similar a la división entre números naturales.

p = Dividendo q = Divisor c = Cociente r = Resto

Para explicar los pasos a seguir en la regla de la división vamos a tomar como ejemplo la división (– x³ + 2x⁴ + x – 1) : (x² – x³ + 2)

1º) Colocamos en orden decreciente de grados los polinomios dividendo y divisor, completando con ceros los términos que falten en el dividendo:

4 3 2 3 2

2x −x +0x + −x 1 − +x x +2

2º) Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y colocamos el monomio obtenido en el cociente:

4 4 3 2 3 2

3

2x 2x 2x x 0x x 1 x x 2

x 2x

− + + − − + +

= − 

− −

p(x) q(x) r(x) c(x)

- Página 15 -

3º) Multiplicamos el monomio anterior por el divisor, el resultado lo colocamos debajo del dividendo, cada término debajo de su semejante, y se lo restamos al dividendo:

4 3 2 3 2

4 3

3 2

2x x 0x x 1 x x 2

2x 2x 4x 2x

x 0x 5x 1

− + + − − + +

− − − −

+ + −

4º) Repetimos los pasos 2º) y 3º) hasta que el grado del resto sea menor que el grado del divisor:

4 3 2 3 2

4 3

3 2

3 2

2

2x x 0x x 1 x x 2

2x 2x 4x 2x 1

x 0x 5x 1

x x 2

x 5x 1

− + + − − + +

− − − − −

+ + −

− − −

+ +

El cociente es c = –2x – 1 , el resto es r = x² + 5x +1

Una vez hecha la división, se cumple la regla de la división: “El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto”. Esta regla nos sirve para comprobar que la división está bien hecha.

Actividades resueltas 1) Realiza:

a) (x³ – x + 1)

:

(x² + x)

Resolución

3 2 2

3 2

2 3 2 2 3

2 2

0 1

1

: 1 Pr : ( ) ( 1) 1 1 1

1

+ − + +

− − − =

+ − + = − + − + = − +

− − + +

=

divisor cociente resto dividendo

x x x x x

x x x C

ueba x x x x x x x x x

x x x x

R Solución

b) (6x³ – 17x² + 7x) : (2x – 5)

Resolución

3 2

3 2 2

2 2

6x 17x 7x 0 2x 5

6x 15x 3x x 1 c

2x 7x 0 2x 5x

2x 0 2x 5

5 r

− + + −

− − + =

− + +

− +

+

−

=

- Página 16 -

c) (2x³ – 5x – 3x⁵ + 3) : (–3x + 1 – x² )

Resolución

5 4 3 2 2

5 4 3 3 2

4 3 2

4 3 2

3 2

3 2

2 2

3x 0x 2x 0x 5x 3 x 3x 1

3x 9x 3x 3x 9x 28x 93 c

9x x 0x 5x 3 9x 27x 9x

28x 9x 5x 3 28x 84x 28x

93x 33x 3 93x 279x 93

312x 96 r

− + + + − + − − +

− − + − + − =

− + − +

+ −

− + − +

− − +

− +

+ −

− + =

d) (2x⁴– x³ + 3x² + 1) : (x² – 2)

Resolución

4 3 2 2

4 2 2

3 2

3

2 2

2x x 3x 0x 1 x 2

2x 4x 2x x 7 cociente

x 7x 0x 1

x 2x

7x 2x 1

7x 14

2x 15 resto

− + + + −

− − + =

− + +

− +

− +

−

− + =

e) (2x³ – 5x – 3x⁵ + 3) : (–3x + 1 – x²)

Resolución

5 4 3 2 2

5 4 3 3 2

4 3 2

4 3 2

3 2

3 2

2 2

3x 0x 2x 0x 5x 3 x 3x 1

3x 9x 3x 3x 9x 28x 93 cociente

9x x 0x 5x 3

9x 27x 9x

28x 9x 5x 3

28x 84x 28x

93x 33x 3

93x 279x 93

312x 96 resto

− + + + − + − − +

− − + − + − =

− + − +

+ −

− + − +

− − +

− +

+ −

− + =

- Página 17 -

2) Halla “a” para que el resto de la división (x⁴ – 2x³ + 3x² + ax + 17) : (x³ + 3x – 6) sea 5.

Resolución

4 3 2 3

4 2

3 3

x 2x 3x ax 17 x 3x 6

x 3x 6x x 2 c

2x (a 6)x 17 2x 6x 12

(a 12)x 5 r Para que r 5, debe ser a 12 0 a 12

− + + + + −

+ + − − =

− + + +

− − +

+ + = = + =  = −

Regla de Ruffini

Es un método para dividir un polinomio entre un binomio del tipo (x + a) ó (x – a), siendo “a” un número cualquiera.

Para explicar los pasos a seguir en la regla de Ruffini vamos a tomar como ejemplo la división (−x³ + 2x⁴ + 70x + 15) : (x + 3)

1º) Colocamos en orden decreciente de grados el dividendo, completando con ceros los términos que falten y hacemos una tabla colocando:

- Los coeficientes del dividendo en la primera fila

- En la parte inferior izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor.

- Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente:

2 1 0 70 15

3 2

−

−

2º) Multiplicamos –3 . 2 = –6, lo colocamos debajo del siguiente término y sumamos.

2 1 0 70 15

3 6

2 7

−

− −

−

3º) Repetimos el proceso anterior hasta el final.

2 1 0 70 15

3 6 21 63 21

2 7 21 7 6

−

− − − −

− −

El último número obtenido, –6, es el resto de la división. Es decir, r = –6

El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los números de la última fila de la tabla. Por tanto, el cociente es c = 2x³ – 7x² + 21x + 7

Actividad resuelta Realiza por la regla de Ruffini:

a) (x² – 5x + 3) : (x + 2)

Resolución

2

1 5 3

2 14

1 7 17

−

−

−

− − − − − − − − −

− Solución:

cociente x: −7 resto:17

- Página 18 -

b) (−x³ + 2x⁴ + 70x + 15 ) : (x + 3)

Resolución

3 2

2 1 0 70 15

3 6 21 63 21 c 2x 7x 21x 7 2 7 21 7 6 r

−

− − − − = − + +

− − =

c) (x³ – x + 1)

:

(x + 1)

Resolución

2

1 0 1 1

: 1 1 1 0

1 1 0 1

−

−  − = −

− =

C x x

R Solución

d) (3x⁴ + x³ – x² + 5x – 2) : (x – 5)

Resolución

3 2

3 1 1 5 2

5 15 80 395 2000 cociente 3x 16x 79x 400 3 16 79 400 1998 resto

− −

= + + +

=

Teorema del resto

El resto de la división p(x) : (x – a) es igual a p(a), siendo p(a) el valor numérico del polinomio p(x) para x = a. Es decir, r = p(a).

Demostración: Al dividir p(x) entre (x – a) se obtendrá un cociente c(x) y un resto r. Aplicando la regla de la división: p(x) = (x – a) . c(x) + r. Sustituyendo x por a se obtiene p(a) = (a – a).c(a) + r = r

Ejemplos:

1) El resto de dividir p(x) = 5x³ + 3x – 1 entre (x – 2) es p(2) = 5.2³ + 3.2 – 1 = 45

2) El valor numérico del polinomio p(x) = x² – 5x + 7 para x = –1, p(–1), es igual al resto de la división (x² – 5x + 7) : (x + 1) (comprueba que vale 13)

Actividad resuelta Resuelve las siguientes cuestiones:

a) Usando el teorema del resto, sin hacer la división, calcula el resto de dividir (x²⁰²⁰+ 500) : (x + 1) Resolución resto = (–1)²⁰²⁰+ 500 = 1 + 500 = 501

b) Usando el teorema de resto, haciendo la división, calcula el valor numérico del polinomio p(x) = x² – 83x – 82 para x = 84

Resolución

Se pide p(84), que es el resto de la división p(x) : (x 84)

1 83 82

84 84 84 . Luego, p(84) 2 1 1 2 resto

−

− −

=

=

- Página 19 -

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de otros polinomios del menor grado posible.

Hay polinomios que no se pueden factorizar, por ejemplo, los de grado 1 y los que no tienen raíces reales.

Estos polinomios se llaman irreducibles.

Factorización usando la regla de sacar factor común

Basándose en que el área de las dos figuras es la misma: a.b + a.c = a.(b + c). El factor común es “a”

También se puede sacar factor común cuando hay una resta: a.b – a.c = a.(b – c) Ejemplos: x⁴ + 2x³ = x³(x + 2) 3x³ – x² = x²(3x – 1) 3x² – 5x = x(3x – 5)

Factorización usando las identidades notables

Se usa cuando el polinomio se puede expresar como cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia o suma por diferencia. Consiste en expresar el polinomio, si es posible, de la forma (A + B)² ó (A – B)² ó (A + B)(A – B).

Ejemplos:

x² + 8x + 16 = x² + 2.x.4 + 4² = (x + 4)²

x² – 14x + 49 = x² – 2.x.7 + 7² = (x – 7)². x² – 36 = x² – 6² = (x + 6)(x – 6) x² – 4x + 4 = x² – 2.x.2 + 2² = (x – 2)². 9x² + 6x + 1 = (3x)² + 2.3x.1 + 1² = (3x + 1)². 25x² – 9 = (5x)² – 3² = (5x + 3)(5x – 3)

4x² – 4x + 1 = (2x)² – 2.2x.1 + 1² = (2x – 1)².

Raíces de un polinomio

Se dice que un valor x = a es una raíz de un polinomio p(x), si p(a) = 0, es decir, si al sustituir la x por el valor nos da 0. Por ejemplo, x = –3 es una raíz del polinomio p(x) = 2x² + 5x – 3 porque

p(–3) = 2(–3)² + 5(–3) – 3 = 18 – 15 – 3 = 0

Las raíces de un polinomio p(x) son las soluciones de la ecuación p(x) = 0.

Por ejemplo, si p(x) = x² – 5x + 6, resolviendo la ecuación p(x) = 0 obtenemos x = 2 , x = 3.

Luego, las raíces de p(x) son x = 2, x = 3

- Si un polinomio p está expresado como producto de otros polinomios, p = p₁ . p₂. … . p_n , entonces para encontrar las raíces del polinomio igualamos a 0 cada uno de los factores y despejamos x.

Por ejemplo, las raíces del polinomio p(x) = 2x(3x – 5)²(x + 1)(x² + 9) se obtienen igualando a 0 cada

factor:

= → =

 − = → − = → =



 + = → = −



+ = → = −



2

2 2

2x 0 x 0

(3x 5) 0 3x 5 0 x 5

3

x 1 0 x 1

x 9 0 x 9 (no tiene solución)

Las raíces de p(x) son: x = 0 , x = ⁵

3, x = –1

- Página 20 -

- Las raíces enteras de un polinomio son siempre divisores del término independiente.

Por ejemplo, para hallar una raíz entera del polinomio p(x) = x³ – 3x² – 4x + 12 probamos hallando el valor numérico con los divisores del término independiente 12 (positivos y negativos), que son

±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 hasta que el valor numérico dé 0 → p(1) = 6 ≠ 0 , p(–1) = 12 ≠ 0, p(2) = 0.

Luego, x = 2 es una raíz entera del polinomio.

Actividad resuelta

Halla todas las raíces del polinomio x⁵(x – 1)(2x – 3)(x² + x +1)(x² – 16) Resolución

x⁵ = 0 → x = 0 x – 1 = 0 → x = 1 2x – 3 = 0 → x = 3/2 x² + x +1 = 0 → no tiene solución x² – 16 = 0 → x = ± 4

Luego, las raíces del polinomio son: x = 0, x = 1, x = 3/2, x = ± 4

Factorización usando el teorema del factor

Teorema del factor: Si el resto, r, de la división p(x) : (x – a) es 0 usando la regla de la división p(x) = (x – a).c(x) + r = (x – a).c(x) + 0. Luego, p(x) (x a).c(x)= −

Está demostrado que los únicos valores de “a” que pueden dar resto 0 son las raíces del polinomio Ejemplos:

1) p(x) = x² – 3x + 2, hallando una raíz entera entre los divisores del término independiente 2, que son 1, –1, 2, –2, resulta que x = 1 es una raíz, pues p(1) = 1² – 3.1 + 2 = 0

Dividiendo entre x – 1 obtenemos

1 3 2

1 1 2

1 2 0

−

−

−

, c(x) = x – 2. Luego, p(x) = (x – 1)(x – 2)

2) p(x) = 2x² + 5x – 3, hallando una raíz entera entre los divisores del término independiente –3, que son 1, –1, 3, –3, resulta que x = –3, es una raíz, pues p(–3) = 2(–3)² + 5.(–3) – 3 = 18 – 15 – 3 = 0 Dividiendo entre x + 3 obtenemos

2 5 3

3 6 3

2 1 0

−

− −

−

, c(x) = 2x – 1. Luego, p(x) = (x + 3)(2x – 1)

3) p(x) = 2x² + 5x – 7

Si x 1 p(1) 2.12 5.1 7 2 5 7 0 x 1 es una raíz del polinomio 2 5 7

Divi dimos p(x) : (x 1) 1 2 7 p(x) d(x).c(x) r (x 1).(2x 7) 0 (x 1)(2x 7) 2 7 0

= → = + − = + − = → =

−

− → → = + = − + + = − +

4) p(x) = 7x² – 11x + 4

Si x 1 p(1) 7.12 11.1 4 7 11 4 0 x 1 es una raíz del polinomio 7 11 4

Divi dimos p(x) : (x 1) 1 7 4 p(x) d(x).c(x) r (x 1).(7x 4) 0 (x 1)(7x 4) 7 4 0

= → = − + = − + = → =

−

− → − → = + = − − + = − −

−

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5) x⁵ – 3x⁴ – 5x³ + 27x² – 32x + 12

2 2

1 3 5 27 32 12 1 1 2 7 20 12

Factores 1 2 7 20 12 0

(x 1) 1 1 1 8 12

(x 1) 1 1 8 12 0

(x 2) 2 2 2 12

(x 2) 1 1 6 0

c (x 3) 2 2 6

1 3 0

Factorización : (x 1) (x 2) (x 3)

− − −

− − −

− − −

− − −

− −  −

− −

− −

= +

− − +

Factorización de un polinomio usando todas sus raíces

Si un polinomio p(x) de grado n tiene n raíces x₁, x₂, …, x_n entonces la factorización del polinomio es p(x) = a(x – x₁)(x – x₂). ….(x – x_n), siendo “a” el coeficiente del término de grado n. Por ejemplo, si el coeficiente de x² de un polinomio de 2º grado es 7 y tiene como raíces 1 y –3, entonces la factorización del polinomio es 7(x – 1)(x + 3)

Actividad resuelta Factoriza los siguientes polinomios hallando previamente las raíces:

a) 10x² – 3x – 4

Resolución Las raíces son las soluciones de la ecuación 10x² – 3x – 4 = 0

2 1

2

x 4

b b 4ac 3 9 4.10.( 4) 3 13 5

x 2a 2.10 20 x 1

2

−  −  − −  =

= = = →

= −

. Las raíces son x₁= 4/5 , x₂ = –1/2

La factorización se obtiene sustituyendo en la fórmula a(x – x₁)(x – x₂)

4 1 4 1

10(x )(x ) 5(x )2(x ) (5x 4)(2x 1)

5 2 5 2

− +  − + = − +

b) 6x² – x – 2.

Resolución

Resolvemos la ecuación p(x) = 0 → 6x² – x – 2 = 0 → x = 2/3, x = – 1/2

Por tanto, p(x) 6 x 2 x 1 2.3 x 2 x 1 3 x 2 2 x 1 (3x 2)(2x 1)

3 2 3 2 3 2

   

         

=  −  + =  −  + =  −     + = − +

c) 10x² – 3x – 4

Resolución

a) Resolvemos la ecuación 10x² – 3x – 4 = 0 → x = 4/5, x = – 1/2

Por tanto, 10 x 4 x 1 2.5 x 4 x 1 5 x 4 2 x 1 (5x 4)(2x 1)

5 2 5 2 5 2

   

 −  + =  −  + =  −   +  = − +

           

           

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d) 15x² – 11x + 2

Resolución Resolvemos la ecuación 15x² – 11x + 2 = 0 → x = 2/5, x = 1/3

Por tanto, 15 x 2 x 1 3.5 x 2 x 1 5 x 2 3 x 1 (5x 2)(3x 1)

5 3 5 3 5 3

   

 −  − =  −  − =  −   −  = − −

           

           

Factorización usando varios métodos

Cuando queramos factorizar un polinomio p(x) y no sepamos qué método utilizar procederemos de la siguiente forma:

1) En el caso de que falte el término independiente sacamos factor común y al polinomio obtenido le aplicamos el paso siguiente. Si no se puede pasamos directamente al paso siguiente

2) Si se puede expresar como una igualdad notable, lo expresamos y ya lo tenemos factorizado.

Si no, usamos el teorema del factor y, en el caso de que tenga una raíz entera x = a, nos queda expresado como (x – a).c(x).

3) Repetimos el paso 2º con el cociente c(x) hasta llegar a un polinomio irreducible.

Hay que tener en cuenta que cuando se hace una primera descomposición los polinomios obtenidos hay que seguir descomponiéndolos, si se pudiese

Ejemplo:

p(x) = 18x⁴ + 3x³ – 6x². Sacando factor común 3x² queda 3x²(6x² + x – 2).

Como el polinomio del paréntesis no se puede factorizar mediante las identidades notables ni por el teorema del factor (porque no tiene raíces enteras), hallamos las raíces resolviendo la

ecuación 6x² + x – 2 = 0, que tiene como soluciones x = 1/2, x = –2/3.

Nos queda: p(x) = 3x² 6(x – 1/2)(x + 2/3) = 3x² 2(x – 1/2) 3(x + 2/3) = 3x²(2x – 1)(3x + 2)

Actividad resuelta Factoriza el polinomio por el uso combinado de varios métodos:

a) x4−8x3+16x2⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯sacando factor común x²→x (x2 2−8x 16)+ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯usando las igualdades notables→x (x 4)2 − 2 b) x3 4x2 5x sacando factor común x x(x2 4x 5). Usando el teorema del factor

1 4 5 probamos y encontramos que x 1 es una raíz y divi dimos entre (x 1) : 1 1 5

1 5 0 Obtenemos entonces que la factorización es x(x 1)(x 5)

+ − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + −

−

= −

− +

c) ^{3 2}

usando las igualdades notables 2

x x 100x 100. Usamos el teorema del factor : x 1 es una raíz , divi dimos entre (x 1) :

1 1 100 100

1 1 0 100 . Obtenemos : (x 1)(x 100) (x 1)(x 10)(x 10)

1 0 100 0

+ − − = − +

− −

− − + − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + + −

−