Escribe un polinomio que cumpla las siguientes
condiciones:
A)
Se llama P(x, y)
B)
Tiene 5 términos
C)
Es de grado seis
D)
No tiene término independiente
EJERCICIOS
Escribe un polinomio que cumpla las siguientes
condiciones:
A)
Se llama R(x)
B)
Tiene 3 términos
C)
Es de grado 5
D)
Sus coeficientes suman 1
EJERCICIOS
Dado el polinomio: :
Escribe:
1. Un nombre para él:
2. El grado del primer término:
3. El grado del segundo término:
4. El grado del tercer término:
5. El coeficiente del término de mayor grado:
6. El coeficiente del término independiente:
6
x
5-
3
x
3+
4
x
2+
2
x
-
7
EJERCICIOSDado el polinomio: :
Calcula:
1. Q(3,-1)
2. Q(0, -2)
3. Q(-2, 2)
Q
(
x
,
t
)
= -2
x
2t
3-
xt
2+
6
EJERCICIOSDados los polinomios:
Calcula:
Q
(
x
)
= -
2
x
3-3
x
+
2
P
(
x
)
= -
x
4+
3
x
2-5
R
(
x
)
=
5
x
4-2
x
3+
3
x
S
(
x
)
=
2
x
-
1
Q
(
x
)
-
2
×
P
(
x
)
=
Q
(
x
)
×
S
(
x
)
-
R
(
x
)
=
R
(
x
)
-
2[
Q
(
x
)
-
2
P
(
x
)]
=
EJERCICIOS
División de polinomios
•
Dados dos polinomios P (el dividendo) y D (el
divisor), dividir P entre D es encontrar dos
polinomios Q (el cociente) y R (el resto) tales
que P = Q . D + R
resto
–(– 3x2 – 2x+ 4)
Se resta (–1) . D
cociente
Cociente de los términos de mayor grado Cociente de los términos de mayor grado
x3 Algoritmo de la división
3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4
– (3x5 + 2x4 –4x3)
6x4 + 4x3 – 11x2 – 3x+ 6
PRIMER PASO
3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4
x3
– (3x5 + 2x4 –4x3)
6x4 +4x3 – 11x2 – 3x+ 6
SEGUNDO PASO
– (6x4+ 4x3 – 8x2)
– 3x2 – 3x+ 6
3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4 x3 + 2x2
– (3x5 + 2x4 –4x3) 6x4+ 4x3 – 11x2 – 3x+ 6
– (6x4+ 4x3 – 8x2) – 3x2 – 3x+ 6
TERCER PASO
– x + 2 Se resta x3 .
D
Se resta 2x2 . D
+ 2x2
Cociente de los términos de mayor grado
– 1
*Pág. 95 ejercicio 8
-10
EJERCICIO
EJERCICIO EJERCICIO
EJERCICIO
Regla de Ruffini
La regla de Ruffini nos permite
realizar
la división entre dos polinomios
utilizando un método más sencillo,
siempre y cuando se cumplan las
siguientes condiciones:
•
El divisor debe tener la forma: x-a
•
a debe ser un número real.
Regla de Ruffini
•Ejercicio: ¿Cuáles de las siguientes divisiones se pueden realizar por Ruffini?
(
x
3-2
x
+
3) : (
x
+
2)
(2
x
3-x
+
4) : (
x
-
1)
(
x
4-x
2+
3
x
) : (
-
x
2-1)
(2
x
5-
1
2
x
+
3) : (
x
-1
2
)
Sí
(x-(-2))
Sí
NO
Regla de Ruffini
r
se suma
Coeficientes de P 2 – 6 – 4 12
a 2
Se opera: 2 – 6 – 4 12
2 2
4 –2
– 4 –8
– 16 – 4
Hemos obtenido que: P =2x3 – 6x2 – 4x + 12 = (2x2 – 2x – 8) (x – 2) + (– 4) se multiplica por a
(2x3 – 6x2 – 4x + 12) :(x – 2) Divide usando la regla de ruffini. EJERCICIO
EJERCICIO
Ejercicio: Halla el valor de m para que la división siguiente sea exacta:
Si hacemos la división por ruffini tenemos que:
1 -5 -2 m
4
1
4
-1
-4
-6
-24
m-24
Por tanto la división será exacta si m=24
(
x
3-5
x
2-2
x
+
m
) : (
x
-
4)
EJERCICIO
Realiza estas operaciones usando la regla de Ruffini y escribe el cociente y el resto.
Teoremas del resto y del factor
•El teorema del resto permite conocer el resto de una división de un polinomio entre otro de la forma x-a, sin necesidad de realizarla
El resto R de la división de un polinomio P(x)
entre x-a es igual al valor numérico del
polinomio en x=a, es decir: R=P(a)
Demostración del teorema del resto
El teorema se puede deducir con facilidad partiendo de la definición de división.
P
(
x
)
=
(
x
-
a
)×
C
(
x
)
+
R
P
(
x
)
=
d
(
x
)×
C
(
x
)
+
R
Si calculamos P(a)
P
(
a
)
=
(
a
-
a
)
×
C
(
a
)
+
R
P
(
a
)
=
R
Como queríamos demostrar0
x
3+
7
x
2+
12
x
+
10
=
(
x
+
5)
×
C
(
x
)
+
R
P
(
x
)
=
d
(
x
)
×
C
(
x
)
+
R
P
(
-
5)
=
(
-
5
+
5)
×
C
(
-
5)
+
R
P
(
-
5)
=
R
P
(
x
)
=
x
3+
7
x
2+
12
x
+
10
¿Cuál es el resto de dividir P(x) entre d(x)?
d
(
x
)
=
x
+
5
¿Es de la forma x-a? ¿x-5=x-a?
Sí para a=-5 x-a=x-(-5)=x+5
Si calculamos P(-5)
P
(
-
5)
=
(
-
5)
3+
7
×
(
-
5)
2+
12
×
(
-
5)
+
10
=
0
R
=
0
Teorema del factor
•El teorema del factor nos permite conocer los factores de la forma x-a de un polinomio.
•Este teorema es consecuencia directa del teorema del resto.
Si el valor numérico del polinomio P(x) en x=a
es 0, entonces P(x) tiene como factor x-a y por
tanto P(x) puede escribirse de la forma
P(x)=(x-a)
C(x)
Dado el polinomio P(x), si se cumple que P(a)=0, sabemos por el teorema del resto que el resto de dividir P(x) entre x-a es 0:
P
(
x
)
=
(
x
-
a
)×
C
(
x
)
+
R
P
(
a
)
=
0
Resto de dividir P(x) entre x-a es 0 (R=0)P
(
x
)
=
(
x
-
a
)
×
C
(
x
)
0
Es decir P(x) puede expresarse como un producto de factores. Uno de los cuales es (x-a)
Estudia cuáles de las siguientes divisiones son exactas, sin realizar la división:
Calcula el resto de esta división sin realizarla
Usando el teorema del resto podemos asegurar que el resto de la división es: P(1)=3
EJERCICIO
Utiliza el teorema del resto para calcularlo en estas divisiones:
EJERCICIO
La división de
entre x-3 da resto 0 ¿Cuánto vale k?
P(x)=x3+2x2+k
(-3)3+
2(-3)2+k= 0
P
(
-
3)
=
0
k= -(-3)3-2(-3)2= -27-18= -45 EJERCICIO
Comprueba si x+1 es un factor de estos polinomios
A(x)=3x4 -2x2+
x
B(x)= -2x2+ 3x
C(x)=x7+ 1
D(x)=2x3 -3x+1
A
(
-
1)
=
0
SÍB
(
-
1)
= -
5
C
(
-
1)
=
0
D(-1)=2 NO
SÍ
NO Por el teorema del resto sabemos que P(a) nos dará el resto de la división de P(x) entre x-a
EJERCICIO
Encuentra entre los siguientes factores los del polinomio
P
(
x
)
=
x
3-3
x
2-6
x
+
8
x
-
3
b)
x
-
1
a)
x
+
1
c)
x
+
2
d) EJERCICIO
Raíces de un polinomio
•Las
raíces o ceros
del polinomio P(x) son los valores que lo hacen cero, es decir las soluciones de la ecuación P(x)=0Compruebas que las raíces del polinomio P(x)=x2-4x+3
son x=1 y x=3
•x=1->P(1)=(+1)2-4(+1)+3=0 •x=3->P(3)=(3)2-4(3)+3=0 EJEMPLO
Número de raíces de un polinomio
•Número de raíces de un polinomio: “Un polinomio de grado n tiene, como máximo, n raíces reales.”
EJERCICIO
EJERCICIO
EJERCICIO
37
EJERCICIO
38
EJERCICIO
39 EJERCICIO
Factorización de polinomios
•Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios de menor grado, de forma que su producto sea el polinomio dado.
•Cuando un polinomio no se puede descomponer en factores se dice que es un polinomio irreducible.
¿A qué debemos atender para factorizar un
polinomio?
1
Extraer factor común
Buscar factores comunes entre los términos del polinomio
2
Usar las identidades notables
Comprobar si el polinomio es el resultado de desarrollar alguna identidad notable: (a+b)2, (a-b)2, (a-b)(a+b)
3
Buscar las raíces enteras
1
Extraer factor común
Buscar factores comunes entre los términos del polinomio
2
Buscar las raíces enteras
Probamos mediante ruffini con aquellos candidatos a raíces enteras del polinomio. Que como sabemos, son aquellos valores enteros divisores del término independiente.
3
Usar las identidades notables
Comprobar si el polinomio es el resultado de desarrollar alguna identidad notable: (a+b)2, (a-b)2, (a-b)(a+b)
Ejercicio: Factoriza
P
(
x
)
=
2
x
4-
14
x
3+
30
x
2-
18
x
P(x)=2x×(x3 -7x2+
15x-9)
1 -7 +15 -9
1
1 -6 +9 0 1 -6 9
(x2
-6x+9)=(x-3)2
P
(
x
)
=
2
x
×
(
x
-
1)(
x
-
3)(
x
-
3)
P
(
x
)
=
3
x
5-24
x
4+
69
x
3-84
x
2+
36
x
P(x)=3x×(x4-8
x3+23
x2-28
x+12)
(x2
-4x+4)=(x-2)2
P
(
x
)
=
3
x
×
(
x
-
1)(
x
-
3)(
x
-
2)
21 -8 +23 -28 +12
+3
1 -5 +8 -4 0 3 -15 +24 -12
+1
1 -4 +4 0 1 -4 +4
EJERCICIO Factoriza:
2 x 2 x 3 x
12
28
5
7
2
)
(
x
x
4
x
3
x
2
x
S
Raíces enteras
Descomposición
2 4 2
2 1 0
simp le raíz 3 simp le raíz 2 simp le raíz 2 x x x
2
2
3
2
1
)
(
x
x
x
x
x
Q
entera no simple raíz 2 1/ x
9 4 12
)
(xxx4x2 x P 12 4 9 0 2
4 x x
x
simple Raíz x
1 0 -9 4 12
-1 -1 1 8 -12 1 -1 -8 12 0 2 2 2 -12
1 1 -6 0
1 x 2 x Raíces descomposición simple raíz 3 doble raíz 2 simple raíz 1 simple raíz 0 x x x x
1
2
3
)
(
x
x
x
x
2x
P
2 2 6
1 3 0 x2
-3 -3 1 0
3 x DESCOMPOSICIÓN
POLINOMIOS DESCOMPOSICIÓN
41 EJERCICIO 41 EJERCICIO
42 EJERCICIO
Escribe en cada apartado un polinomio que cumpla:
1) Tenga grado 2 y como factor (x-5)
2) Tenga una raíz doble y grado 3
EJERCICIO
Escribe un polinomio P(x) con las siguientes características:
x
-
1
Es factor de P(x) Tiene una raíz doble Tiene grado 3 Término independiente 12x
-
1
(
)
(
x
-
1
)
=
x
2-2
x
+
1
Þ
(
x
2-
2
x
+
1)
×
(
x
+
1)
=
x
3-x
2-x
+
1
Þ
12
x
3-x
2-x
+
1
(
)
=
12
x
3-
12
x
2-
12
x
+
12
Hacemos que (x-1) sea factor y que tenga una solución doble.
Grado 3
Si multiplicamos por 12, el polinomio es diferente pero tiene las mismas soluciones .
EJERCICIO 43 EJERCICIO
49 EJERCICIO 50 EJERCICIO
52 EJERCICIO 53 EJERCICIO
k
= -3
k
=
6
k
= -7
61 EJERCICIO 62 EJERCICIO
63 EJERCICIO 64 EJERCICIO
![CONDICIONES SUFICIENTES PARA QUE UN POLINOMIO SEA IRREDUCIBLE EN K[x]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)