Matemáticas Aplicadas II
Mis queridos alumnos, al final os he preparado una mezcla de ejercicios con su solución para
que podáis repasar. ¡Mucho ánimo y a currar, que ya queda poco!.
Problema nº1
En una farmacia se venden dos compuestos vitamínicos. El A contiene 30 mg de vitaminas
y 450 calorías cada 100 gramos. El B contiene 20 mg de vitaminas y 450 calorías por cada
100 gramos. No se debe tomar más de 150 mg de mezcla ni menos de 50. No se debe tomar
más de B que de A. No se deben tomar más de 100 gramos de A. Crear las dosis del
compuesto para obtener:
a) El preparado más rico en vitaminas.
b) El más pobre en calorías.
Solución
a) Hay que maximizar la función F(x,y)=30x+20y con las siguientes condiciones:
B. la y A la mejores Son a apartado el en que s condicione mismas las con 450y 450x y) G(x, función la minimizar que Hay b) D. el es mejor El E(75,75) y D(100,50) C(100,0), B(50,0), A(25,25), son puntos los 100 x 0 x y 150 y x 50 + = → ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤
Problema nº2
Un orfebre tiene 1 kg de oro. Le encargan medallas de 2 tamaños con la condición de que el
número de medallas pequeñas tiene que ser al menos el doble de las grandes y deben contener
50 y 100 g de oro respectivamente. El orfebre gana con 3 grandes lo mismo que con 4
pequeñas. Calcular el reparto para que la ganancia sea máxima.
Solución
A.
es
mejor
Lo
B(5,10)
y
A(0,20)
son
críticos
puntos
Los
1000
50y
100x
2x
y
:
s
condicione
siguientes
las
con
y
3
4x
y)
F(x,
maximizar
que
Hay
→
→
≤
+
≥
+
=
Problema nº3
En un depósito caben 200 bidones, de los cuales siempre debe haber 10 de petróleo y 20 de
gasolina como mínimo, pero siempre 50 bidones como mínimo. Calcular el reparto para que
el gasto de almacén sea mínimo, sabiendo que un bidón de petróleo genera un gasto de 0,12
euros y uno de gasolina 0,18.
Solución
Hay que minimizar G(x,y)=0,12x+0,18y con las condiciones siguientes:
B. es mínima La B(30,20) A(10,40), son críticos puntos 200 50 20 10 → → ≤ + + ≤ ≥ ≥ Los y x y x y x
Matemáticas Aplicadas II
Problema nº4
Un supermercado oferta el aceite C a 1,50 euros la botella y el D a 0,75 con las condiciones
de que compre 6 botellas como mínimo y de que la cantidad de C esté comprendida entre la
mitad y el doble que la de D. Calcular cual será la mejor compra si disponemos de 18,75
euros.
Solución
Maximizar F(x,y)=1,50x+0,75y con las siguientes condiciones:
B. es mejor La B(10,5) y A(6,12) son críticos valores 2 2 6 75 , 18 75 , 0 50 , 1 → → ≤ ≤ ≥ + ≤ + Los y x x y y x y x
Problema nº5
Un químico dispone de 80 litros de A y 120 litros de B. El perfume C se prepara con 3 partes
de B y una de A y el perfume D al 50% de ambos. Los frascos son de 4 litros. El perfume C
se vende 30 euros y el D a 36 euros. Calcular el reparto para una venta máxima.
Solución
Hay que maximizar F(x,y)=30x+36y con las siguientes condiciones:
A.
reparto
El
B(26,7;0)
y
A(0,40)
son
puntos
os
l
120
y
2
x
80
y
2
x
3
→
→
≤
+
≤
+
Matemáticas Aplicadas II Ejericicio nº1 . 36 x 18 3x lim b) ; 28 11x x 21 10x x lim a) : Calcular 2 6 x 2 2 7 x − + + + + − → − → Solución
.
6
x
3
lim
6
x
3
lim
0
3
6
x
3
lim
)6
x
)(
6
x(
)6
x(
3
lim
36
x
18
x
3
lim
)b
.
3
4
4
x
3
x
lim
)4
x
)(
7
x(
)3
x
)(
7
x(
lim
)
Ruffini
(
ación
min
er
det
in
0
0
28
x
11
x
21
x
10
x
lim
)a
6
x
6
x
6
x
6
x
2
6
x
7
x
7
x
2
2
7
x
∞
=
−
−∞
=
−
=
=
−
=
−
+
+
=
−
+
=
+
+
=
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
−
→
→
→
→
→
−
→
−
→
−
→
Problema nº2Probar que la función:
8 7x x 1 x f(x) 3 2 − + − =
no es continua en x = 1 e indicar qué tipo de discontinuidad presenta en dicho punto. Solución
La función f (x) no está definida en x = 1, pues al reemplazar x por 1 en ésta se obtiene cero en el numerador y en el denominador. 5 1 10 2 8) x (x 1) (x lim 8) x 1)(x (x 1) 1)(x (x lim f(x) lim 2 1 x 2 1 x 1 x + + = = + = + + − + − = → → →
La función dada f (x) se dice que tiene una discontinuidad evitable en x = 1. Ejercicio nº3
Calcular los siguientes límites: 1 x 1 x lim 2 1 x + + → 1 x 1 x lim 4 1 x − − → 1 x 1 x lim 2 4 x − − ∞ → 1 x 1 x lim 7 5 x − − ∞ → Solución
1
2
2
1)
(x
lim
1)
(x
lim
1
x
1
x
lim
1 x 2 1 x 2 1 x+
=
=
+
=
+
+
→ → → 4 1) x x (x lim 1) (x 1) x x 1)(x (x lim 1 x 1 x lim 3 2 1 x 2 3 1 x 4 1 x − = + + + = + + + − = − − → → →Matemáticas Aplicadas II
∞
=
∞
=
−
−
=
−
−
∞ → ∞ →1
x
1
1
x
1
x
lim
1
x
1
x
lim
2 2 2 x 2 4 x0
1
0
x
1
1
x
1
x
1
lim
1
x
1
x
lim
7 7 2 x 7 5 x=
=
−
−
=
−
−
∞ → ∞ → Ejercicio nº4 . 9 3x 2 5x x lim b) ; 6 5x x 1 x x x lim a) : Calcular 2 3 x 2 2 3 1 x − + − − − + + + → − → Solución( )
.
)3
x(
3
2
x
5
x
lim
)3
x(
3
2
x
5
x
lim
0
4
9
x
3
2
x
5
x
lim
)b
.
7
2
6
x
1
x
lim
)6
x
)(
1
x(
1
x
)1
x(
lim
)
Ruffini
(
ación
min
er
det
in
0
0
lim
6
x
5
x
1
x
x
x
lim
)a
2
3
x
2
3
x
2
3
x
2
1
x
2
1
x
1
x
2
2
3
1
x
−∞
=
−
+
−
∞
=
−
+
−
=
−
=
−
+
−
−
=
−
+
=
−
+
+
+
=
=
−
−
+
+
+
+ −→
→
→
−
→
−
→
−
→
−
→
Ejercicio nº5 Dada la función: 4 x 3 3 x 2 2 x 0 si si si 1 2x 2 x x f(x) ≤ ≤ < ≤ < ≤ − + =Estudiar su continuidad en los puntos x = 2 y x = 3. Solución
Calculamos los límites a la izquierda y a la derecha de dichos puntos:
4
2
x
lim
f(x)
lim
2
x
lim
f(x)
lim
2 x 2 x 2 x 2 x=
+
=
=
=
+ + − − → → → → La función no es continua en x = 25
1
2x
lim
f(x)
lim
5
2
x
lim
f(x)
lim
3 x 3 x 3 x 3 x=
−
=
=
+
=
+ + − − → → → →Como f (3) = 5 la función si es continua en x = 3. Ejercicio nº6
¿ en qué puntos son continuas o discontinuas las funciones siguientes ? a) f (x) = 2x + 5
Matemáticas Aplicadas II 3 x 1 f(x) c) + =
2
x
2
x
0
0
x
4
2
x
1
x
f(x)
d)
2
>
≤<
≤
+
+
=
Solucióna) f (x) es continua en toda la recta real. b) f (x) es continua en toda la recta real. c) f (x) es discontinua en x = -3.
d) f (x) es discontinua en x = 0 y continua en el resto, pues a la izquierda de cero se va acercando hacia 1, y a la derecha de cero se va acercando hacia 2.
Ejercicio nº7
Calcular cuánto debe valer a para que la función siguiente sea continua:
> − ≤ + = 1 x si ax 3 1 x si 1 x f(x) 2 Solución
Por ser polinómicas las dos formas de la función, sólo existe duda de la continuidad en x = 1, punto donde cambia la forma de la función:
[ ]
[ ]
=
+
=
−
=
−
=
=
+
=
→
→
→
→
+
2
1
1
f(1)
a
3
a
3
lim
)
f(
lim
2
1
lim
)
f(
lim
2
1
x
1
x
1
x
1
x
-x
x
x
x
la función será continua en x = 1 si a = 1 Ejercicio nº8 . 1 x g(x) de y 3 x 1 x ln f(x) de derivada la Calcular 3 2 2 2 + = − + = Solución
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
x 1)
. 3 x 2 ) x ( ' g . 3 x 1 x x 8 3 x 1 x x 2 3 x x 2 1 x 3 x ) x ( ' f 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = − + − = − + − − ⋅ + − =Matemáticas Aplicadas II Ejercicio nº9
(
x 1)
. 5sen g(x) de y 1 5x 3 7x f(x) de derivada la Calcular 2 2 + = + + = Solución(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
. x 2 1 x cos 5 ) x ( ' g . 1 x 5 x 16 1 x 5 3 x 7 x 10 1 x 5 x 14 ) x ( ' f 2 2 2 2 2 2 + = + − = + + − + = Problema nº10 . 5 x x g(x) de y xe f(x) de derivada la Calcular x2 2 − = = − Solución(
)
(
)
(
x 5)
. 5 x 5 x x 2 5 x ) x ( ' g . e x 2 1 e x 2 e ) x ( ' f 2 2 2 2 2 2 2 x 2 x 2 x2 2 2 − + − = − − − = − = − = − − − Problema nº11 . 9 2x 5 3x g(x) de y 1 3x x f(x) de derivada la Calcular 2 2 5 2 + − = + − = Solución(
)
(
)
(
)
(
)
(
2x 9)
. x 74 9 x 2 5 x 3 x 4 9 x 2 x 6 ) x ( ' g . 1 x 3 x 5 3 x 2 ) x ( ' f 2 2 2 2 2 2 5 2 4 + = + − − + = + − − =Estudia el crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de la función:
8 6 ) (x =x2− x+ f . Solución: Derivada de la función: f'(x) = 2x - 6 f'(x) = 0 2 x - 6 = 0 x = 3
a)
Para x < 3 es f'(x) < 0, luego la función es decreciente en(
−∞ ,3)
.b)
Para x > 3 es f'(x) > 0, luego la función es creciente en(
3 ,+∞)
.c)
En x = 3, la función presenta un mínimo, ya que pasa de decreciente a creciente. El punto mínimo tiene por coordenadas (3, -1)Averigua las coordenadas de los puntos críticos (máximos y mínimos) de la función
. 6 5 ) (x x2 x3 f = + − Solución:
Matemáticas Aplicadas II
( )
( )
⇒
<
−=
>
⇒
=
⇒
−
=
=
=
⇒
=
−
⇒
=
⇒
−
=
37
4
0
12
)4(
5
0
0
12
)0(
6
12
)(
4
0
0
)
4(
3
0
)(
3
12
)(
2
,
M
f''
,
m
f''
x
x
f''
x
x
x
x
x
f'
x
x
x
f'
Estudia el crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de la función:
8 9 6 ) (x =x3 − x2+ x− f . Solución: Derivada de la función: 9 12 3 ) (x = x2 − x+ f' 3 1 0 9 12 3 0 ) (x = ⇒ x2 − x+ = ⇒x = ; x= f'
d)
Para x < 1 es f'(x) > 0, luego la función es creciente en(
−∞,1)
.e)
Para 1 < x < 3 es f'(x) < 0, luego la función es decreciente en (1, 3).f)
Para x > 3 es f'(x) > 0, luego la función es creciente en (
3 ,+∞)
.g)
En x = 1, la función presenta un máximo, ya que pasa de creciente a decreciente.h)
En x = 3, la función presenta un mínimo, ya que pasa de decreciente a creciente.El coste total expresado en euros de fabricación de x unidades de cierto artículo viene dado por la función: f(x)=x2−10x +2000.
a) Representa gráficamente la función en su dominio real de definición, sabiendo que, por razones técnicas, no es posible fabricar diariamente más de 20 unidades de producto.
b) ¿En qué nivel de fabricación se producen los gastos mínimos?
c) ¿Cuáles son los costes semanales de fabricación, a pleno rendimiento, si no se trabaja el sábado ni el domingo?
d) ¿Cuál deberá ser el precio unitario del producto para cubrir gastos en esas condiciones? Solución:
a)
Derivadas sucesivas:f'
(
x
)
=
2
x
−
10
; f"
(
x
)
=
2
El dominio natural es el número de unidades de producto diarias: [0, 20] La curva es una parábola convexa (f” > 0)
f'(x) = 0 implica 2x - 10 = 0, por tanto: x = 5 El vértice, punto mínimo es V(5, f(5)) = V(5, 1975)
Matemáticas Aplicadas II
b)
Los gastos mínimos se producen para x = 5c)
El coste para x = 20: f(20) = 2200 €, por tanto el coste semanal es 2200 · 5 = 11 000 €. d) El precio unitario: 11020 2200
= €.
A un vendedor de coches de lujo le cuesta 14 000 euros cada modelo de la marca PC. Ha comprobado que al precio de 24 000 euros cada unidad vende 30 coches al mes y que por cada 200 euros de descuento en el precio de venta puede vender 3 unidades más al mes. Formula la función beneficio y determina el precio de venta óptimo.
Solución:
Si vende 30 + 3x coches, el precio de venta será: P(x) = 24 000 - 200x euros. La función beneficio se obtiene como diferencia entre ventas y costo:
000 300 000 24 600 ) ( ) 3 30 ( 000 14 ) 3 30 )( 200 000 24 ( ) (x = − x + x − + x ⇒B x =− x2+ x+ B
La función beneficio es una parábola cóncava, ramas hacia abajo.
Sus derivadas son:
B'
(
x
)
=
−
1200
x
+
24
000
; B"
(
x
)
=
−
1200
El beneficio máximo se obtiene cuando:20 0 000 24 1200 0 ) (x = ⇒− x+ = ⇒x = B'
se trata de un máximo ya que B” < 0
El precio de venta ha de ser 20 000 euros, que se consigue vendiendo 50 coches al mes.
Durante los 30 días consecutivos de un mes las acciones de una determinada compañía han tenido unas cotizaciones dadas por la función:
100 8 2 0 ) (x = , x2− x+ f
donde x es el número de días transcurridos.
Halla los días en los que las respectivas acciones estuvieron en baja (bajando de precio) y los que estuvieron en alza.
¿Qué día del mes alcanzaron el valor máximo? ¿Y el mínimo? Solución:
Funciones derivadas: f'(x) = 0,4x - 8; f”(x) = 0,4
Se trata de una parábola convexa (ramas hacia arriba) dado que f” > 0
f'(x) = 0 implica 0,4x - 8 = 0, por tanto x = 20 El vértice, punto mínimo es V(20, f(20)) = V(20, 20)
Se trata de ver ahora el comportamiento de la función en el intervalo [0, 30]
f(0) = 100 y f(30) = 40, por tanto:
Matemáticas Aplicadas II
Fueron bajando hasta el día 20 en el que alcanzaron la mínima cotización f(20) = 20.
Fueron subiendo desde ese día hasta el día 30 (final de mes) donde alcanzaron una cotización de 40. Por tanto el primer día del mes fue cuando alcanzaron el valor máximo, y el día 20 el que alcanzaron el valor mínimo.
El área (cm2) ocupada por una infección cutánea se extiende a partir del instante inicial del
contagio, según la función
1 10 ) ( 2 + + = t t t S
cuando t se mide en días. Se pide:
a) La superficie ocupada por la infección en el momento inicial del contagio. b) ¿En qué instante adquiere mayor virulencia la infección?
c) Con el paso del tiempo ¿Llegará a desaparecer la infección? ¿Se estabiliza? Solución:
El dominio de la función es
[
0,+∞)
.a)Para t = 0, se tiene un área infectada S(0) = 10 cm2.
b) Para ver en qué instante la infección es más virulenta, estudiamos el crecimiento y decrecimiento de la función: Función derivada:
(
2)
2 2 1 1 ) ( + − = t t t S'que se anula para t = 1, por tanto El signo de la derivada es:
<
⇒
>
⇒
>
<
t
S'
t
t
S'
t
0
)(
1
Si
0
)(
1
Si
Por tanto la máxima virulencia de la infección se alcanza al transcurrir el primer día.
c) A medida que aumenta el tiempo, la superficie tiende a estabilizarse en el valor 10 cm2, dado que:
10 1 10 lim ) ( lim 2 = + + = ∞ → ∞ → t t t S t t
Un establecimiento de hostelería abre sus puertas a las 9 de la noche, sin ningún cliente y las cierra cuando se han marchado todos. Se supone que la función que representa el número de clientes C, en función del número de las horas que lleva abierto h, es: C =80h−10h2.
a) Determina el número máximo de clientes que van una noche al establecimiento.
b) Si deseamos ir cuando haya menos de 150 personas y más de 70, ¿entre qué horas debemos hacerlo?
c) Si deseamos ir cuando haya menos de 150 personas y más de 70 y, además, queremos que durante nuestra estancia disminuya el número de clientes, ¿entre qué horas debemos hacerlo? d) ¿A qué hora cierra?
Solución:
a) Funciones derivadas: C'(h) = 80 - 20h; C”(h) = -20 La función C(h) es una parábola concava.
Matemáticas Aplicadas II
Su máximo se obtiene cuando C'(h) = 0 80 - 20h = 0 h = 4 Por tanto el máximo de clientes es C(4) = 160 personas.
b) Se trata de resolver la doble inecuación 70 C(h) 150
C(h) = 80h−10h2 =70 cuyas soluciones son h = 1 y h = 7.
C(h) = 80h−10h2 =150 cuyas soluciones son h = 3 y h = 5.
Por tanto se debe ir entre las 10 y las 12 o bien entre las 2 y las 4 de la madrugada. c) Si a las condiciones anteriores, añadimos que C'(h) < 0 80 - 20h < 0 h > 4 Debemos ir entre la 2 y las 4 de la madrugada.
d) C(h) = 0 (puntos de corte con el eje de abscisas), se verifica para h = 0 y h = 8 Para h = 0 (9 de la noche) abre, luego cierra a las 5 de la madrugada.
