CONCEPTO DE ESPACIO TOPOL ´OGICO
FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ
Resumen. Proporcionamos ejercicios resueltos sobre el concepto de es- pacio topol´ogico.
1. Definici´on. Si X es un conjunto no vac´ıo, se llama topolog´ıa en X a cualquier colecci´on T de subconjuntos de X que satisface los axiomas:
[1) ∅, X ∈ T .
(2) Si A y B son elementos de T, entonces A ∩ B ∈ T.
(3) Si {Ai : i ∈ I} es una familia de elementos de T, entoncesS
i∈IAi∈ T.
A los elementos de T se les llama conjuntos abiertos y al par (X, T ), espacio topol´ogico. Si no ha lugar a confusiones, al espacio topol´ogico (X, T ) se le designar´a simplemente por X.
Problema 1. Se considera el conjunto X = {1, 2, 3, 4, 5}. Demostrar que T es topolog´ıa en X, siendo T = {∅, X, {1}, {3, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4, 5}} . Soluci´on. Los conjuntos ∅ y X pertenecen a T y es f´acil comprobar que se verifican los otras dos condiciones de topolog´ıa.
Problema 2. Se considera el conjunto X = {1, 2, 3, 4, 5}. Demostrar que T no es topolog´ıa en X, siendo T = {∅, X, {1}, {3, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}} . Soluci´on. {1, 3, 4} y {2, 3, 4} pertenecen a T, sin embargo {1, 3, 4} ∪ {2, 3, 4}
= {1, 2, 3, 4} 6∈ T.
Problema 3. Se considera el conjunto X = {1, 2, 3, 4, 5}. Demostrar que T no es topolog´ıa en X, siendo T = {∅, X, {1}, {3, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 4, 5}} . Soluci´on. {1, 3, 4} y {1, 2, 4, 5} pertenecen a T, sin embargo {1, 3, 4}∩{1, 2, 4, 5}
= {1, 4} 6∈ T.
Problema 4. Sea X 6= ∅ y T = P (X) (conjunto de las partes de X).
Demostrar que T es topolog´ıa en X. Se la llama topolog´ıa discreta.
Soluci´on. ∅ y X pertenecen a P (X). Por otra parte sabemos P (X) es cerrado con respecto a uniones e intersecciones arbitrarias, en consecuencia T = P (X) es topolog´ıa en X.
Problema 5. Sea X 6= ∅ y T = {∅, X} Demostrar que T es topolog´ıa en X. Se la llama topolog´ıa indiscreta.
Key words and phrases. Concepto, espacio, topol´ogico.
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Soluci´on. ∅ y X pertenecen a T. Por otra parte es inmediato verificar las otras dos condiciones de topolog´ıa.
Problema 6. Sea X 6= ∅ y T = {∅} ∪ {A ⊂ X : Aces finito}. Demostrar que T es topolog´ıa en X. Se la llama topolog´ıa de los complementos finitos.
Soluci´on. ∅ ∈ T por definici´on de T y Xc= ∅ que es finito, luego X ∈ T. Si A, B ∈ T entonces, si uno de ellos es vac´ıo, A ∩ B = ∅ ∈ T . Si ninguno de ellos es vac´ıo, (A ∩ B)c= Ac∪ Bc y al ser Ac y Bcfinitos Ac∪ Bctambi´en lo es, luego A ∩ B ∈ T.
Sea ahora una familia {Ai : i ∈ I} de elementos de T. Podemos suponer sin p´erdida de generalidad que todos son no vac´ıos pues si algunos lo fueran, se pueden suprimir y la uni´onS
i∈IAino var´ıa. Tenemos S
i∈IAic
=T
i∈IAci y este conjunto es finito al estar contenido en cada Aci que es finito. Por tanto, S
i∈IAi ∈ T.
Problema 7. Sea X un conjunto y p ∈ X fijo. Demostrar que T = {∅} ∪ {A ⊂ X : p ∈ X} es un topolog´ıa en X. Se la llama topolog´ıa del punto particular.
Soluci´on. ∅ ∈ T por definici´on de T y p ∈ X por tanto, X ∈ T . Si A y B son abiertos y alguno de ellos es vac´ıo, A ∩ B = ∅, que es abierto. Si ambos son no vac´ıos, ambos contienen a p y por tanto, A ∩ B tambi´en lo contiene, es decir A ∩ B es abierto.
De la misma forma si {Ai} es familia de abiertos, podemos suponer sin p´erdida de generalidad que todos son no vac´ıos pues si algunos lo fueran, se pueden suprimir y la uni´on S
iAi no var´ıa. Entonces p ∈ Ai para todo i con lo cual p ∈S
iAi y por tanto S
iAi es abierto.
Problema 8. Para todo n ∈ N se define Sn = {n.n + 1, n + 2, . . .}.
Demostrar que T = {∅} ∪ {Sn : n ∈ N} es una topolog´ıa en N. Determinar todos los abiertos que contienen al n´umero natural n0.
Soluci´on. ∅ ∈ T por definici´on de T y N = S0 ∈ T. Si A, B ∈ T entonces, si uno de ellos es vac´ıo, A ∩ B = ∅ ∈ T . Si ninguno de ellos es vac´ıo, entonces A = Sm y B = Skpara ciertos m, k n´umeros naturales y Sm∩ Sk= Sm´ax{m,k}∈ T.
Sea una familia {Ai : i ∈ I} de elementos de T. Podemos suponer sin p´erdida de generalidad que todos son no vac´ıos pues si algunos lo fueran, se pueden suprimir y la uni´on de los Ai no var´ıa. Entonces, la uni´on de los Ai
es de la formaS
i∈I⊂NSi = Sm´ın{i:i∈I}∈ T.
Es claro que los abiertos que contienen a n0 son S0, S1S2, . . . , Sn0. Problema 9. Demostrar que T = {∅, R} ∪ {Iq: q ∈ Q} con Iq= (0, +∞) no es una topolog´ıa en R.
Soluci´on. Consideremos la familia de elementos de T dada por {Iq : q >√ 2}.
Es claro que su uni´on esS
q>√
2Iq = (√
2, +∞) y por tanto no pertenece a T pues √
2 es irracional.
Problema 10. Sea X 6= ∅ un conjunto e (Y, T0) un espacio topol´ogico.
Sea f : X → Y una aplicaci´on. Demostrar que T = {f−1(G) : G ∈ T0} es topolog´ıa en X.
Soluci´on. ∅ = f−1(∅) y X = f−1(Y ) con lo cual ∅, X ∈ T.
Si A, B ∈ T existen G1, G2 ∈ T0 tales que A = f−1(G1) y B = f−1(G2).
Entonces, A ∩ B = f−1(G1) ∩ f−1(G2) = f−1(G1∩ G2). Pero G1∩ G2 ∈ T0 por ser T0 topolog´ıa, luego A ∩ B ∈ T.
Si {Ai: i ∈ I} es una familia de elementos de T, existen Gi∈ T0 tales que Ai = f−1(Gi). Entonces, S
i∈IAi = S
i∈If−1(Gi) = f−1 S
i∈IGi . Pero S
i∈IGi ∈ T0 por ser T0 toplog´ıa, luegoS
i∈IAi ∈ T.
Problema 11. Sea (X, T ) un espacio topol´ogico tal que para todo x ∈ X el conjunto unitario {x} es abierto. Demostrar que T es la topolog´ıa discreta.
Soluci´on. Si A ⊂ X entonces, A =S
x∈A{x} que es uni´on de abiertos y por tanto abierto. N´otese que tambi´en es v´aldo para A = ∅ pues sabemos que la uni´on de una familia vac´ıa de conjuntos es el conjunto vac´ıo.
Problema 12. Sea X un conjunto infinito y T una topolog´ıa sobre X en la cual todos los subconjuntos infinitos de X son abiertos. Demostrar que T es la topolog´ıa discreta.
Soluci´on. Al ser X infinito, contiene a un subconjunto numerable, conjun- to que ser´a de la forma {x1, x2, x3, . . .}. Llamemos A = {x1, x3, x5, . . .}.
Entonces, A y Ac son infinitos y para todo x ∈ X se verifica {x} = (A ∪ {x}) ∩ (Ac∪ {x}) . Pero A ∪ {x} y Ac∪ {x} son infinitos y por tanto abiertos, con lo cual todo subconjunto unitario {x} de X es abierto. Por el problema 11 concluimos que T es la topolog´ıa discreta.
2. Teorema. Sea {Ti : i ∈ I} una familia de topolog´ıas en un conjunto X. Entonces, la intersecci´on T =T
iTi es tambi´en una topolog´ıa en X.
Problema 13. Demostrar el teorema anterior.
Soluci´on. (1) Al ser Ti topolog´ıa para todo i, ∅ y X ∈ Ti para todo i, por tanto ∅, X ∈T
iTi. (2) Si A, B ∈ T
iTi, entonces, A, B ∈ Ti para todo i y al ser Ti topolog´ıa, A ∩ B ∈ Ti para todo i luego A ∩ B ∈T
iTi. (3) Si {Aj : j ∈ J } es familia de elementos de T
iTi, entonces para todo j, Aj ∈ Ti para todo i. Al ser Ti topolog´ıa, S
jAj ∈ Ti para todo i, luego S
jAj ∈T
iTi.
Problema 14. Demostrar que la uni´on de dos topolog´ıas en X no tiene por qu´e ser topolog´ıa en X.
Soluci´on. Sea X = {a, b, c}. Es inmediato comprobar que T1 = {∅, X, {a}} y T2= {∅, X, {b}} son topolog´ıas en X. Sin embargo T1∪ T2 = {∅, X, {a}, {b}}
no es topolog´ıa pues {a} y {b} pertenecen a T1∪ T2 sin embargo, {a} ∪ {b} = {a, b} /∈ T1∪ T2.
3. Definici´on. Sean T y T0 dos topolog´ıas en X. Se dice que T es menos fina que T0 o bien que T0 es m´as fina que T, si T ⊂ T0.
Problema 15. Dado un conjunto X no vac´ıo, determinar la topolog´ıa m´as fina y la menos fina que se pueden definir en X.
Soluci´on. Claramente la menos fina es la indiscreta y la m´as fina, la discreta.
4. Teorema. Sea X un conjunto no vac´ıo y llamemos T (X) al conjunto T (X) = {T : T es topolog´ıa en X} ⊂ P (P (X)) . Entonces, (T (X), ⊂) es un conjunto ordenado con primer y ´ultimo elemento. Si X es un conjunto con m´as de un elemento, (T (X), ⊂) no est´a totalmente ordenado.
Problema 16. Demostrar el teorema anterior.
Soluci´on. T (X) es un conjunto ordenado por la inclusi´on ⊂ por ser sub- conjunto de P (P (X)) que est´a ordenado por ⊂ . Claramente la topolog´ıa indiscreta TI es el primer elemento de T (X) y la discreta TD es el ´ulti- mo elemento. Si X contiene a los elementos distintos x1 y x2, entonces T1= {∅, X, {x1}} y T2 = {∅, X, {x2}} son topolog´ıas en X no comparables.
Problema 17. Sea X un conjunto no vac´ıo y T una colecci´on de subcon- juntos de X. Demostrar que T es una topolog´ıa en X si y s´olo si se verifican los axiomas:
[1) ∅, X ∈ T .
(2) Si A y B son elementos de T, entonces A ∩ B ∈ T.
(30) Si {Ai : i ∈ I} es una familia de elementos de T − {∅, X}, entonces S
i∈IAi∈ T.
Soluci´on. Si T es topolog´ıa se verifican trivialmente los axiomas (1), (2) y (30). Si se verifican los axiomas (1), (2) y (30), trivialmente se verifican los axiomas (1) y (2) de topolog´ıa. Falta pues demostrar que se verifica el (3).
En efecto, sea {A : A ∈ A } una familia de elementos de T. Si X ∈ A entonces, S
A∈A A = X que pertenece a T por (1).
Si X /∈A , entonces SA∈A A =S
A∈A −{X}A. Dado que el conjunto vac´ıo no a˜nade ning´un elemento a la uni´on, podemos expresar
[
A∈A
A = [
A∈A −{X}
A = [
A∈A −{X,∅}
A,
y por (30), S
A∈A A ∈ T.
Problema 18. Para cada entero positivo n se considera el intervalo abier- to de la recta real In= (−n, n). Demostrar que (R, T ) es espacio topol´ogico, en donde T = {∅, R} ∪ {In: n = 1, 2, . . .}.
Soluci´on. Por hip´otesis. ∅ y R pertenecen a T. Sean A, B ∈ T. Los elementos de T est´an totalmente ordenados por inclusi´on: ∅ ⊂ I1⊂ I2⊂ . . . ⊂ R y por tanto, la intersecci´on de dos elementos de T pertenece a T.
Usamos el problema 17. Sea {Ai : i ∈ I} una familia de elementos de T − {∅, R}. Cada i es de la forma Ai = Ini con ni entero positivo. Pero en
este caso, si el conjunto {ni : i ∈ I} est´a acotado superiormente,S
ni∈IIni = Im´ax{ni:i∈I}∈ T y si no est´a acotado,S
ni∈IIni = R ∈ T.
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M´as material enhttp://www.fernandorevilla.es .
Fernando Revilla Jim´enez. Jefe del Departamento de Matem´aticas del IES San- ta Teresa de Jes´us de la Comunidad de Madrid y Profesor de M´etodos Ma- tem´aticos de la Universidad Alfonso X El Sabio de Villanueva de la Ca˜nada, Madrid (Hasta el curso acad´emico 2008-2009).
E-mail address: frej0002@ficus.pntic.mec.es