tarea 10

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON ODE45

1. El circuito eléctrico mostrado en la figura está descrito por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

d x₁ dt =

−1 2 ¿x1−

1 8¿x2+

1 2∗I(t)

d x2

dt =2∗x1− 1 2x2

Donde: x1=Corriente en el inductor , x2=Voltaje en el capacitor ,

I(t)=corrienteabastecida por una fuente externa

a) Si I(t)=e−t/2, resuelva el sistema de ecuaciones para un rango de tiempo de [0 10] y para las siguientes condiciones iniciales: x1(0)=0, x2(0)=0. Escriba aquí las

instrucciones dadas en Matlab:

>> dx=@(t,x) [-(1/2)*x(1)-(1/8)*x(2)+(1/2)*(exp(-t/2));2*x(1)-(1/2)*x(2)]; >> [t,x]=ode45(dx,[0 10],[0 0]);

b) Grafique en una ventana Figure dividida (2,1) la evolución de las dos variables de estado: La corriente de la bobina (x1) arriba y el voltaje del capacitor (x2) abajo.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 TIEMPO t C O R R IE N TE

CORRIENTE DE LA BOBINA X1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 VOLTAJE DEL CAPACITOR X2

TIEMPO t V O LT A JE

c) Cuál es el valor máximo de la caída de voltaje a través del capacitor? Vmax= 0.8314

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 X: 1.497 Y: 0.3219 TIEMPO t C O R R IE N TE

CORRIENTE DE LA BOBINA X1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 X: 3.164 Y: 0.8314

VOLTAJE DEL CAPACITOR X2

TIEMPO t V O LT A JE

e) Grafique la solución del sistema en el plano fase. Copie aquí la instrucción dada en Matlab y el resultado generado. No olvide poner los títulos a los ejes coordenados >> figure(2),plot(x(:,1),x(:,2))

-0.050 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0.9 SOLUCION DEL SISTEMA EN EL PLANO FASE

CORRIENTE DE LA BOBINA

V

O

LT

A

JE

D

E

L

C

A

P

A

C

IT

O

2. La ecuación de van der Pol describe la evolución temporal de la corriente en un triodo oscilador (Ver Circuito):

d2u

d t2−μ

(

2

₎

dt+u=A∗sin⁡(ωt) (1)

Donde: u es la corriente en el triodo, μ es un parámetro de amortiguamiento no lineal, A es la amplitud de la onda (fuente de voltaje) y ω es la frecuencia de la fuente.

Se trata de una ecn diferencial no lineal de 2do orden con término forzante. Para

resolverla vamos a convertirla en un sistema de ecuaciones de primer orden. Definamos una nueva variable de estado (x):

du

dt=x (2),

entonces: d

2

u d t2=

dx

dt Por lo tanto, la ecn 1) puede escribirse de la sig. Manera: dx

dt−μ

(

2

)

dx_dt=μ

(

)

Las ecs 2) y 4) forman un sistema de ecuaciones de primer orden con variables de estado u y x.

Suponga que

[

]

[

y(2)

]

ω=0.2∗¿, para un rango de tiempo de 0 a 300 seg. Y para las siguientes condiciones iniciales: u(0)=0,

x(0)=0, Copie aquí las instrucciones dadas en Matlab:

>> dy=@(t,y) [y(2);8.53*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)+1.2*sin(0.2*pi*t)]; >> [t,y]=ode45(dy,[0 300],[0 0]);

Triode circuit providing a forced van der Pol oscillator, consisting of a triode, resistance (R), self inductor (L), capacitor (C), mutual inductance (M) and a sinusoidal source (Es). Further ia is the plate

b) Grafique la corriente del triodo (u ) en función del tiempo. Escriba aquí el comando de Matlab utilizado y el resultado generado. Ponga los títulos correspondientes a los ejes coordenados.

0 50 100 150 200 250 300

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

2.5 CORRIENTE DEL TRIODO (u)

TIEMPO (seg)

C

O

R

R

IE

N

TE

c) Comente sobre las características de las oscilaciones de la corriente en el triodo: Amplitud de oscilación de la corriente? , ¿Detecta algún patrón característico en las oscilaciones? La amplitud de oscilación de la corriente, va aproximadamente de -2 a 2

d) Grafique la solución del sistema en el plano fase. Copie aquí el comando utilizado y el resultado generado.

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -15

-10 -5 0 5 10 15

TRIODO (u)

3. Considere los dos tanques interconectados que se muestran en la figura 7.1.6. El tanque 1 inicialmente contiene 30 galones de agua y 25 onzas de sal, mientras que el tanque 2 inicialmente contiene 20 galones de agua y 15 onzas de sal. Una solución salina que contiene 1 oz/gal de sal fluye hacia el tanque 1 con un flujo volumétrico de 1.5 gal/min. La mezcla fluye desde el tanque 1 al tanque 2 con una rapidez de 3 gal/min. Por otro lado, una solución salina que contiene 3 oz/gal de sal fluye hacia el tanque 2 con una rapidez de 1 gal/min. La mezcla de este tanque 2 sale por la parte de abajo con una rapidez de 4 gal/min, de los cuales 1.5 gal/min fluyen de regreso al tanque 1, y el resto (2.5 gal/min) abandonan el sistema.

a) Suponga que Q1(t) es la cantidad de sal en el tanque 1 al instante t y Q2(t) es la

cantidad de sal en el tanque 2, también en el instante t.

Escriba el sistema de ecs diferenciales que permite modelar la evolución de la cantidad de sal en ambos tanques:

BALANCE DE MASA (SAL) EN EL TANQUE 1:

Rapidez de acumulación de sal = Rapidez de Ingreso de sal - Rapidez de egreso de sal

d Q1

dt =

(

)(

oz gal

)

(

min

)

20 −

(

gal min

)

Q1 30

Donde: Q2

20=Concentración de sal en el tanque2[¿]

oz gal Q₁

30=Concentración de sal en el tanque1[¿]

oz gal

Por lo tanto, la ecn que describe cómo evoluciona la cantidad de sal en el tanque 1 es: d Q₁

Realice el BALANCE DE MASA (SAL) EN EL TANQUE 2 para obtener la ecn que describe la evolución de la cantidad de sal en dicho tanque :

d Q2

dt =

(

)(

oz gal

)

(

min

)

30 −

(

gal min

)

Q2 20

Por lo tanto, la ecn que describe cómo evoluciona la cantidad de sal en el tanque 2 es: dQ2

dt =3+0.1Q1−0.2Q2

b) Resuelva el sistema de ecs diferenciales formado por las ecuaciones resaltadas en amarillo, considerando las C.I.s Q1(0)=25, Q2(0)=15y en un rango de tiempo de 0

a 120 min.

Escriba aquí las instrucciones dadas en Matlab:

>> dy=@(t,y) [1.5+0.075*y(2)-0.1*y(1);3+0.1*y(1)-0.2*y(2)]; >> [t,y]=ode45(dy,[0 120],[25 15]);

c) Grafique, en una misma figura, la evolución de la cantidad de sal en ambos tanques. Agregue la leyenda correspondiente para identificar cada trazo. Copie aquí el comando utilizado y el resultado generado.

>> plot(t,y)

0 20 40 60 80 100 120 15

20 25 30 35 40 45

TIEMPO (min)

C

A

N

TI

D

A

D

D

E

S

A

L

(o

z)

EVOLUCIÓN DE CANTIDAD DE SAL EN AMBOS TANQUES TANQUE 1 TANQUE 2

d) Con base en el gráfico del apartado c), determine hacia que valores tienden las soluciones Q1 y Q2 cuando t  . Estos valores se conocen como valores de equilibrio del sistema.

Q1E=Valor de equilibrio en el tanque1=41.95

Q2

E

=Valor de equilibrio en el tanque2=35.97

e) Iguale a 0 las ecs resaltadas en amarillo, y resuelva el sistema de ecuaciones algebraicas resultante para las incógnitas Q1 y Q2.

Q1=42