Estudio del fenómeno de cavitación en un tubo de Venturi por medio de dinámica de fluidos computacional
Proyecto de grado para optar por el título de ingeniero mecánico
Presentado por: Luis Fernando Niño Forero
Asesor del Proyecto: Omar López Profesor asociado
Co-asesor del Proyecto: Sebastián Leguizamón
MSc. Ingeniería Mecánica, École Polytechnique Fédéral de Lausanne Candidato a PhD., École Polytechnique Fédéral de Lausanne
Bogotá. Colombia Universidad de los Andes Departamento de Ingeniería Mecánica
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Contenido
Capítulo 1: Introducción y definición del problema... 3
Introducción ... 3
Antecedentes ... 3
Definición del problema ... 4
Objetivos ... 5
Objetivo general ... 5
Objetivos específicos ... 5
Capítulo 2: El Fenómeno de Cavitación ... 6
Aplicaciones ... 6
Proceso de Cavitación ... 7
Tipos de Cavitación en un flujo ... 8
Capítulo 3: Ecuaciones gobernantes ... 11
Ecuaciones de conservación ... 11
Modelos de Cavitación ... 11
Modelos de Turbulencia ... 12
Capítulo 4: Generación de la malla y configuración del caso ... 14
Independencia de la malla ... 14
Configuración del Caso ... 15
Condiciones de Frontera... 15
Casos de Estudio ... 16
Capítulo 5: Presentación de Resultados ... 17
Resultados Caso Estacionario ... 17
Comparación global ... 17
Comparación Local ... 25
Resultados Caso Transitorio ... 31
Comparación global ... 31
Comparación Local ... 34
Capítulo 6: Análisis de Resultados ... 37
Análisis Caso Estacionario ... 37
Análisis Caso Transitorio ... 38
Capítulo 7: Conclusiones y Recomendaciones ... 39
Conclusiones ... 39
Trabajo Futuro ... 39
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Anexo A. Coordenadas de la geometría del dominio. ... 41
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Capítulo 1: Introducción y definición del problema
Introducción
Existen dos formas de pasar de estado líquido a vapor. La primera consiste en calentar el fluido, a presión constante, hasta alcanzar su temperatura de saturación. La segunda, conocida como cavitación, consiste en disminuir la presión del fluido hasta su presión de vapor, en un proceso que se puede considerar isotérmico. Allí se aplican esfuerzos a tensión mayores a los que el líquido puede soportar y por lo tanto se crean núcleos, además de los ya existentes como micro cavidades de gas no condensable. Cuando estos superan un radio crítico, crecen y se convierten en cavidades de vapor visibles. Adicionalmente, si los núcleos o cavidades se someten a esfuerzos a compresión colapsan (Arakeri, 1978). Este fenómeno se presenta frecuentemente en turbomáquinas, como turbinas y bombas. La importancia de su estudio radica principalmente en los daños que puede causar. Entre ellos se destacan: la erosión, el deterioro de las propiedades estructurales del material, la disminución de la eficiencia y vibración inducida por las oscilaciones de presión. De allí que, en general, la cavitación sea indeseable (Knapp, 1970). Ahora bien, existen algunos casos en los cuales la cavitación es un fenómeno deseable, como es el caso en el tratamiento de aguas residuales para reducir la presencia de bacterias (Dular et al, 2015).
Hoy en día, dicho fenómeno no se comprende en su totalidad. De allí que se sigan realizando investigaciones que expliquen la física del problema. Recientemente, la comunidad científica ha desarrollado modelos computacionales que se acercan a la predicción del fenómeno. La validación con resultados experimentales es fundamental en estas investigaciones.
El tubo de Venturi es un dispositivo comúnmente utilizado como caso de estudio base del fenómeno de la cavitación, ya que un rápido montaje experimental permite observar dicho fenómeno y analizarlo. Una vez entendido, su dinámica se puede extender a sistemas más complejos como turbomáquinas. Este proyecto pretende estudiar de forma computacional por medio de la Dinámica de Fluidos Computacional (CFD) el fenómeno de cavitación sobre un tubo de Venturi con un ángulo de divergencia de 4° y comparar su dinámica con resultados experimentales obtenidos en trabajos reportados en la literatura.
Antecedentes
1. “A comparative study of cavitation models in a Venturi flow”
(Charrière, Decaix & Goncalvès, 2014).
En este trabajo se estudia el fenómeno de cavitación en un tubo de Venturi de forma experimental y computacional. En particular, se evalúan los siguientes parámetros: fracción de vacío, velocidad instantánea local y presión de pared. Para la simulación se estudian cuatro modelos de turbulencia (Smith k−ℓ, Spalart–Allmaras, Jones–Launder k−ε y Menter k −ω SST turbulence models) y dos de cavitación. Estos últimos se basan en la misma ecuación de transporte para la fracción de vacío, pero presentan dos ecuaciones de estado diferentes, una barotrópica y otra de gas rígido. Allí fueron utilizados dos solucionadores: un código de LEGI Grenoble y el código abierto OpenFOAM. El trabajo muestra que el modelo de turbulencia no afecta significativamente los resultados, mientras que el de cavitación sí, presentando
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diferencias en la predicción del flujo reentrante. Por otro lado, los resultados computacionales se acercan a los experimentales principalmente para las secciones del tubo de Venturi más cercanas a la garganta.
Este trabajo es de suma relevancia para el presente proyecto debido a que proporciona los resultados experimentales para realizar la comparación y validación de resultados.
2. “Investigation of three-dimensional effects on a cavitating Venturi flow” (Decaix & Goncalvès, Investigation of three-dimensional effects on a cavitating Venturi fow, 2013)
En este documento se presenta una comparación entre estudios 2D y 3D del fenómeno de cavitación en un tubo de Venturi. Para esto se utiliza un solucionador híbrido RANS-LES. Los resultados son similares en cuanto a la predicción de fracción de vacío. Sin embargo, estos difieren en la presión a lo largo del tubo de estudio.
La importancia de este documento radica en la descripción detallada de la configuración del caso seleccionada. Lo cual sirve como base para determinar los modelos de turbulencia a estudiar en el proyecto presente. Complementariamente, este documento muestra la validez de simulaciones 2D como una aproximación del caso de estudio.
3. “Performance and image analysis of a cavitating process in a small type venturi” (Abdulaziz, 2013)
En este estudio se presenta un modelo de predicción de fracción de vacío en un tubo de Venturi y es validado experimentalmente. Para esto se realiza un análisis de imágenes basado en la intensidad de luz emitida. Allí se interpreta la alta influencia de la temperatura en la relación de presión crítica. Esta toma valores en el rango [0.70 − 0.72] a temperatura ambiente. Además, se observa la presencia de cavidades de vapor
a la salida de la sección divergente del tubo, aun cuando la presión es mayor que la presión de saturación.
Este documento sirve como guía para validar los resultados, teniendo en cuenta la tendencia de los resultados, dado que la geometría es muy similar.
Definición del problema
Se quiere reproducir computacionalmente el comportamiento del flujo de agua en el tubo de Venturi del túnel de cavitación del Centro de Pruebas de Máquinas Hidráulicas de Grenoble (CREMHyG por sus siglas en francés). Este se caracteriza por una zona divergente de 4° y una transición brusca entre las secciones convergente y divergente. Este tubo de Venturi posee cinco agujeros de prueba para realizar mediciones en estaciones locales, ubicadas a 5.1, 20.9, 38.4, 55.8 𝑦 73.9 mm en el eje horizontal, como se muestra en la figura 1.
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Figura 1. Geometría de estudio. Tomada de (Decaix & Goncalvès, Time-dependent simulation of cavitating flow with k-l turbulence models, 2011)
Objetivos
Objetivo general
Determinar la influencia del modelamiento de la turbulencia y la cavitación en la predicción de la cavitación en algunas secciones de un tubo de Venturi con un ángulo de divergencia de 4° por medio de CFD.
Objetivos específicos
1. Estudiar y entender el modelo de cavitación a emplear.
2. Generar la geometría y una malla que garantice la validez de simulaciones computacionales en 2D para el tubo de Venturi de la referencia [10].
3. Implementar y correr el modelo en un software comercial.
4. Evaluar computacionalmente la fracción de vacío, la velocidad y la presión de pared en algunas secciones a lo largo del tubo de Venturi.
5. Comparar los resultados variando el modelo de turbulencia.
6. Comparar los resultados variando los parámetros del modelo de cavitación. 7. Comparar con resultados experimentales reportados en la referencia [10].
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Capítulo 2: El Fenómeno de Cavitación
En esta sección se explica físicamente el fenómeno de cavitación que se quiere estudiar.
Aplicaciones
La cavitación aparece en muchas aplicaciones de la ingeniería. Por un lado, la cavitación es indeseable por disminuir la eficiencia de las turbomáquinas y deteriorar sus materiales. La figura 2 muestra la cavitación en una hélice marina, generada en los vórtices de la punta. La figura 3 muestra el daño causado a una bomba centrífuga.
Figura 2. Cavitación en una hélice marina. Tomado de (Veem Propellers, 2016)
Figura 3. Daño en una bomba centrífuga por cavitación. Tomado de (Flow Control Network, 2016)
Por otro lado, en otras aplicaciones es fundamental inducir dicho fenómeno para aprovechar sus propiedades. Un claro ejemplo son las boquillas de inyección en los motores diésel. Allí la cavitación mejora el proceso de atomización, el cual facilita la mezcla entre el aire y el combustible. De allí que se realicen numerosas investigaciones en esta área (Bicer & Sou, 2015). Otra aplicación en la que el control de la cavitación es clave es en el tratamiento de aguas. El objetivo es eliminar contaminantes tales como farmacéuticos, bacterias y virus, en conjunto con tratamientos biológicos. En este proceso se busca aprovechar las altas presiones y temperaturas alcanzadas en el proceso de colapso de las burbujas (Dular et al, 2015).
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Proceso de Cavitación
En primer lugar, se debe tener en cuenta que todo sumidero de agua contiene gas. Si este se deja reposar, parte del gas se difunde en el medio y eventualmente es expulsado al ambiente. Sin embargo, no todo el gas se logra difundir, lo cual se atribuye a la interacción del gas con las paredes y la presencia de impurezas como polvo y sedimentos (Eisenberg). Adicionalmente, para que no haya difusión la presión del gas debe ser menor a la del líquido que lo rodea. El gas contenido en el agua, sin importar si se puede difundir o no, se puede mezclar con vapor de agua para conformar los núcleos que permiten la cavitación.
El crecimiento del núcleo hasta formar burbujas visibles se conoce como incepción de cavitación. Para entender este proceso es necesario entender el equilibrio del núcleo, descrito por la ecuación 1. Allí los primeros términos son la presión dentro y fuera de la burbuja. El tercer término se refiere a la razón entre la tensión superficial del agua líquida y el radio de la burbuja. Cabe resaltar que la presión interna está dada por la suma entre la presión del vapor de agua y la presión del gas contenido.
𝑃𝑖𝑛 = 𝑃𝑜𝑢𝑡+2𝛾 𝑅 (1)
La figura 4 muestra el diagrama de estabilidad del núcleo. El mínimo de la curva corresponde a la condición que satisface la ecuación 1 en la presión crítica del medio y el radio crítico del núcleo. A continuación se estudian varios escenarios del diagrama (Eisenberg):
1. La presión del medio es mayor a la presión de vapor. En esta condición el núcleo reduce su tamaño en la medida en que difunde el gas que contiene hasta donde se le permita (note que la curva no toca el eje vertical). Es decir, existen dos posibilidades: la burbuja puede colapsar o quedar reducida a un núcleo muy pequeño que será posible fuente de incepción más adelante. Esto último se deriva del hecho que la cavitación reaparece frecuentemente en zonas donde alguna vez hubo presencia de burbujas, lo cual se denomina “memory effect”. (Bai et al, 2016).
2. La presión del medio es menor que la presión crítica. En esta condición el núcleo crece muy rápidamente hasta formar cavidades de vapor visibles.
3. La presión del medio está comprendida entre la presión crítica y la presión de vapor. En esta condición el comportamiento del núcleo depende de su radio. Si el radio es menor al radio crítico el núcleo crece o decrece lentamente hasta alcanzar su condición de equilibrio estable. Por el contrario, si el radio es mayor sucede lo mismo que en el escenario 2. Nótese que 𝑃 ≤ 𝑃𝑣 es condición necesaria, mas no suficiente para la incepción. Lo sería bajo la suposición que todos los núcleos son lo suficientemente grandes.
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Figura 4. Diagrama de estabilidad del núcleo. Tomado de (Eisenberg).
Las bajas presiones se presentan en secciones determinadas de una geometría. Por lo general, esto ocurre en zonas donde aumenta la velocidad del fluido. Por ejemplo, en zonas de reducción en la sección transversal-como en la garganta de un tubo de Venturi o en una boquilla-. Ahora bien, una vez el fluido se aleja de estas zonas la presión del medio aumenta de nuevo de tal forma que se produce el escenario 1 de nuevo.
Por último, se quiere dar un orden de magnitud de algunas variables involucradas. Un radio del núcleo que permite incepción en el escenario 3 siempre que 𝑃 ≤ 𝑃𝑣 es del orden de 100 𝜇𝑚 (Arakeri, 1978). En el proceso de colapso de la burbuja se desarrollan presiones hasta del orden de 𝐺𝑃𝑎 y temperaturas hasta de 10 000𝐾 en su interior
(Dular et al, 2015). En adición, al inicio del colapso, el radio de la burbuja se estima 100
veces el radio del núcleo original (Brennen, 1995).
Tipos de Cavitación en un flujo
Se ha mencionado, a groso modo, que las bajas presiones que inducen la cavitación están relacionadas con altas velocidades Más específicamente, la relación existe con la energía cinética que porta el fluido. Esta se puede manifestar principalmente de dos formas.
La primera está dada por la vorticidad (𝜔̅) de una partícula del fluido, estudiada en un
análisis Lagrangiano. Es decir, qué tanto rota una partícula con respecto a su posición. Para dar una noción de este término con respecto a la velocidad angular 𝛺 de la partícula,
vale la pena aclarar que la vorticidad está dada por 𝜔̅ = 2|𝛺|. Entonces, si la partícula de fluido presenta una alta vorticidad (cuya fuente de aceleración son los esfuerzos cortantes), las presiones locales pueden ser lo suficientemente bajas como para dar lugar a la incepción de cavitación. Este es el primer tipo de cavitación en un flujo. Lo anterior es común en: las hélices marinas, mostradas en la figura 1; el extremo de un aerodeslizador, mostrado en la parte superior de la figura 5; y aguas abajo en una turbina Francis, mostrado en la figura 6.
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Figura 5. Cavitación por vorticidad en un aerodeslizador. Tomado de (Brennen, 1995).
Figura 6. Cavitación por vorticidad en una turbina Francis. Tomado de (Brennen, 1995).
La segunda forma está relacionada con las líneas de corriente. Cuando se generan zonas de recirculación, el fluido se acelera para llenar espacios vacíos que quedan del desprendimiento del flujo. De allí que las líneas de corriente sean curvas (sin que necesariamente el fluido rote significativamente) y las velocidades identificadas–ya sea por un análisis Langrangiano o Euleriano- sean altas. Bajo este comportamiento se derivan dos tipos de cavitación: por nubes y por bloque. El primero se caracteriza por la
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presencia de varias nubes de cavitación en el espacio, las cuales se pueden generar y destruir en el tiempo. Esto se muestra en la figura 7 para un aerodeslizador. El segundo se diferencia en que las burbujas se encuentran agrupadas como una única cavidad de vapor, como se puede observar en la figura 8 para un aerodeslizador.
Figura 7. Cavitación por nubes en un aerodeslizador. Tomado de (u-tokyo, 2016)
Figura 8. Cavitación por bloque en un aerodeslizador. Tomado de (u-tokyo, 2016)
Para cerrar esta sección, se quiere resaltar el hecho que en un tubo de Venturi se suele observar una cavitación por nubes. Sin embargo, existe un bloque dominante justo después de la garganta y pequeñas nubes aguas abajo. De allí que, en ocasiones, en esta geometría sea aceptable estudiar la cavitación globalmente como un único bloque.
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Capítulo 3: Ecuaciones gobernantes
En esta sección se presentan las ecuaciones gobernantes de la física del problema, enfocadas en el solucionador del software comercial ANSYS FLUENT. Esta es una recopilación de diversas fuentes.
Ecuaciones de conservación
A continuación se presenta brevemente la derivación de las ecuaciones Reynolds-averaged Navier Stokes (RANS). A groso modo, se parte de las ecuaciones de Navier Stokes, se aplica la descomposición de Reynolds y se reemplaza en las ecuaciones originales. Así se modela el valor medio de las propiedades y resultan nuevos términos correspondientes a la turbulencia del flujo.
Las ecuaciones 2-5 son las ecuaciones de conservación de masa y momento de Navier Stokes en el plano Cartesiano para el flujo compresible. Allí los términos 𝒖, 𝑢, 𝑣 y 𝑤 se refieren a la velocidad como vector, y sus componentes en los ejes 𝑥, 𝑦 y 𝑧,
respectivamente. Además, los términos 𝑝, 𝜌, 𝜌̅ y 𝜇 se refieren a la presión, la densidad,
la densidad promedio y la viscosidad.
𝜕𝜌
𝜕𝑡 + 𝑑𝑖𝑣 (𝜌𝒖) = 0 (2) 𝜕(𝜌𝑢)
𝜕𝑡 + 𝑑𝑖𝑣(𝜌𝑢𝒖) = −
𝜕𝑝
𝜕𝑥+ 𝑑𝑖𝑣(𝜇 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢) + 𝑆𝑀𝑥 (3) 𝜕(𝜌𝑣)
𝜕𝑡 + 𝑑𝑖𝑣(𝜌𝑣𝒖) = −
𝜕𝑝
𝜕𝑥+ 𝑑𝑖𝑣(𝜇 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑣) + 𝑆𝑀𝑦 (4) 𝜕(𝜌𝑤)
𝜕𝑡 + 𝑑𝑖𝑣(𝜌𝑤𝒖) = −
𝜕𝑝
𝜕𝑥+ 𝑑𝑖𝑣(𝜇 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑤) + 𝑆𝑀𝑧 (5)
La descomposición de Reynolds consiste en expresar una propiedad del flujo 𝜑 como
su valor medio en el tiempo 𝜙 (se escribe con la letra mayúscula) y su fluctuación 𝜑′ (se
escribe con una tilde). Es decir, 𝜑(𝑡) = 𝜙 + 𝝋′(𝑡) donde 𝜙 = 1
∆𝑡 ∫ 𝜑(𝑡)𝑑𝑡 ∆𝑡
0 y 𝜑̅̅̅ =′ 1
∆𝑡 ∫ 𝜑
′(𝑡)𝑑𝑡 ≡ 0 ∆𝑡
0 .
Aplicando dicha descomposición a 𝒖, 𝑢, 𝑣 y 𝑤 se obtienen las ecuaciones deseadas 6-9.
Los nuevos términos, escritos entre corchetes, son esfuerzos adicionales que resultan de la turbulencia. Estos son resueltos por el modelo de turbulencia utilizado (Versteeg & Malalasekera, 2007).
𝜕𝜌̅
𝜕𝑡 + 𝑑𝑖𝑣 (𝜌̅𝑼) = 0 (6)
𝜕(𝜌̅𝑈)
𝜕𝑡 + 𝑑𝑖𝑣(𝜌̅𝑈𝑼) = − 𝜕𝑃̅
𝜕𝑥+ 𝑑𝑖𝑣(𝜇 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑈) + [
𝜕(−𝜌̅𝑢̅̅̅̅̅̅)′2
𝜕𝑥 +
𝜕(−𝜌̅𝑢̅̅̅̅̅̅̅)′𝑣′
𝜕𝑦 +
𝜕(−𝜌̅𝑢̅̅̅̅̅̅̅̅)′𝑤′
𝜕𝑧 ] + 𝑆𝑀𝑥 (7)
𝜕(𝜌̅𝑉)
𝜕𝑡 + 𝑑𝑖𝑣(𝜌̅𝑉𝑼) = − 𝜕𝑃̅
𝜕𝑥+ 𝑑𝑖𝑣(𝜇 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉) + [
𝜕(−𝜌̅𝑢̅̅̅̅̅̅̅)′𝑣′
𝜕𝑥 +
𝜕(−𝜌̅𝑣̅̅̅̅̅̅)′2
𝜕𝑦 +
𝜕(−𝜌̅𝑣̅̅̅̅̅̅̅̅)′𝑤′
𝜕𝑧 ] + 𝑆𝑀𝑦 (8)
𝜕(𝜌̅𝑊)
𝜕𝑡 + 𝑑𝑖𝑣(𝜌̅𝑊𝑼) = − 𝜕𝑃̅
𝜕𝑥+ 𝑑𝑖𝑣(𝜇 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑊) + [
𝜕(−𝜌̅𝑢̅̅̅̅̅̅̅̅)′𝑤′
𝜕𝑥 +
𝜕(−𝜌̅𝑣̅̅̅̅̅̅̅̅)′𝑤′
𝜕𝑦 +
𝜕 (−𝜌̅𝑤̅̅̅̅̅̅̅)′2
𝜕𝑧 ] + 𝑆𝑀𝑧 (9)
Modelos de Cavitación
La ecuación 10 es la ecuación gobernante de transporte de vapor. Allí las variables
𝛼𝑣, 𝜌𝑣, 𝑉𝑣, 𝑅𝑒 𝑦 𝑅𝑐 se refieren a: la fracción de vapor, la densidad del vapor (con valor constante 0.0173 𝑘𝑔/𝑚3), la velocidad de la fase de vapor, la transferencia de masa por el crecimiento de las cavidades de vapor (evaporación) y la transferencia de masa por el colapso de las cavidades de vapor (condensación), respectivamente.
12 𝜕(𝛼𝑣𝜌𝑣)
𝜕𝑡 + ∇. (𝛼𝑣𝜌𝑣𝑉𝑣) = 𝑅𝑒 − 𝑅𝑐 (10)
La ecuación 11, una simplificación de la ecuación de Rayleigh-Plesset, determina la dinámica de las burbujas, que se suponen esféricas. Esta desprecia los efectos de la tensión superficial, del gas no condensable y los efectos térmicos. Allí las variables
𝑅𝐵, 𝑃𝐵, 𝑃 𝑦 𝜌𝑙 se refieren al radio de la burbuja, la presión de la burbuja en la superficie,
la presión local de la celda y la densidad de la fase líquida.
𝐷(𝑅𝐵)
𝐷𝑡 = √
2 3
(𝑃𝐵− 𝑃)
𝜌𝑙 (11)
Los modelos de cavitación de interés son Schnerr Sauer (SS) y Zwart Gerber Belamri (ZGB). La diferencia entre ellos radica en los términos 𝑅𝑒 𝑦 𝑅𝑐. Las ecuaciones 12 y 13 rigen el primer modelo y las ecuaciones 14 y 15 el segundo. En el modelo SS la variable
𝜌 se refiere a la densidad de la mezcla, dada por la ecuación 16 y los términos 𝛼𝑛𝑢𝑐, 𝑅𝐵, 𝐹𝑣𝑎𝑝 𝑦 𝐹𝑐𝑜𝑛𝑑 son constantes determinadas por el usuario en el modelo ZGB.
La diferencia entre ellos radica en que en las ecuaciones 12 y 13 (modelo 𝑆𝑆) 𝑅𝑒 𝑦 𝑅𝑐
son proporcionales a 𝛼(1 − 𝛼), lo cual le da un sentido físico adicional al modelo. Luego,
si no hay fracción de vapor en la celda (𝛼 = 0) no habrá generación de burbujas ya que
no hay núcleos disponibles, ni colapso de burbujas ya que no hay burbujas por colapsar, pero si toda la celda contiene vapor (𝛼 = 1) tampoco habrá generación porque no hay
más volumen por ocupar, ni colapso porque no hay líquido en el medio cuyas altas presiones lo induzcan. (ANSYS, 2015). Nótese además que las dos fases de asumen incompresibles y, por lo tanto, no se resuelve la ecuación de la energía para la fase de vapor.
𝑅𝑒 =3𝛼𝑣(1 − 𝛼𝑣)
𝑅𝐵 (
𝜌𝑣𝜌𝑙
𝜌 ) √ 2 3
𝑃𝑣 − 𝑃
𝜌𝑙 (12)
𝑅𝑐 =3𝛼𝑣(1 − 𝛼𝑣)
𝑅𝐵 (
𝜌𝑣𝜌𝑙 𝜌 ) √
2 3
𝑃 − 𝑃𝑣
𝜌𝑙 (13)
𝑅𝑒 = 𝐹𝑣𝑎𝑝3𝛼𝑛𝑢𝑐(1 − 𝛼𝑣)𝜌𝑣
𝑅𝐵 √
2 3
𝑃𝑣 − 𝑃 𝜌𝑙 (14)
𝑅𝑐 = 𝐹𝑐𝑜𝑛𝑑
3𝛼𝑣𝜌𝑣 𝑅𝐵
√2 3
𝑃 − 𝑃𝑣 𝜌𝑙
(15)
𝜌 = 𝛼𝑣𝜌𝑣+ (1 − 𝛼𝑣)𝜌𝑙 (16)
Modelos de Turbulencia
Los modelos de turbulencia de interés son el 𝑘 − 𝜔 𝑆ℎ𝑒𝑎𝑟 𝑆𝑡𝑟𝑒𝑠𝑠 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡 (𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇) y el 𝑅𝑒𝑦𝑛𝑜𝑙𝑑𝑠 𝑆𝑡𝑟𝑒𝑠𝑠 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙 (𝑅𝑆𝑀). En ambos se busca modelar los esfuerzos de Reynolds 𝜏𝑖𝑗 ≡ −𝜌𝑢̅̅̅̅̅̅𝑖′𝑢𝑗′. El modelo 𝑆𝐴𝑆 es de interés para el caso transitorio.
Las ecuaciones 17-19 describen el modelo 𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇. Las primeras dos resuelven 𝑘 𝑦 𝜔, que se refieren a la energía cinética turbulenta y su tasa de disipación específica; las variables 𝜌 𝑦 𝑢 se refieren a la densidad y la velocidad. Adicionalmente, los términos
Ґ, 𝐺, 𝑌 𝑦 𝑆 se refieren a la difusividad efectiva, generación, disipación y fuente definida
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corrección 𝑆𝑆𝑇 para incorporar el modelo 𝑘 − 𝜔 cerca a la pared y el modelo 𝑘 − 𝜖
lejos de ella.
𝜕(𝜌𝑘)
𝜕𝑡 +
𝜕(𝜌𝑘𝑢𝑖) 𝜕𝑥𝑖 = 𝜕 𝜕𝑥𝑗 (Ґ𝑘 𝜕𝑘 𝜕𝑥𝑗
) + 𝐺̃ − 𝑌𝑘 𝑘+ 𝑆𝑘 (17)
𝜕(𝜌𝜔)
𝜕𝑡 +
𝜕(𝜌𝜔𝑢𝑖) 𝜕𝑥𝑖 = 𝜕 𝜕𝑥𝑗 (Ґ𝜔 𝜕𝜔 𝜕𝑥𝑗
) + 𝐺𝜔− 𝑌𝜔 + 𝐷𝜔 + 𝑆𝜔 (18)
Para calcular los esfuerzos de Reynolds se utiliza la aproximación de Boussinesq. Esta supone que los esfuerzos dependen únicamente del gradiente de las velocidades medias. La ecuación 19 presenta tal aproximación. Las variables 𝜇𝑡, 𝑆 𝑦 𝛿 se refieren a la
viscosidad turbulenta, la tasa de deformación media y el operador de Kronecker. Es importante resaltar que la aproximación supone 𝜇𝑡 igual en todos los esfuerzos y por lo tanto implica un comportamiento isotrópico del flujo.
−𝜌𝑢̅̅̅̅̅̅̅ = 𝜇𝑖′𝑢𝑗′ 𝑡(
𝜕𝑢̅𝑖 𝜕𝑥𝑗
+𝜕𝑢̅𝑗 𝜕𝑥𝑖
) −2
3𝜌𝑘𝛿𝑖𝑗 = 2𝜇𝑡𝑆𝑖𝑗 − 2
3𝜌𝑘𝛿𝑖𝑗 (19)
Las ecuaciones 20 y 21 describen el modelo 𝑅𝑆𝑀. En la ecuación 20 𝐶𝑖𝑗, 𝐷𝑇,𝑖𝑗, 𝐷𝐿,𝑖𝑗, 𝑃𝑖𝑗, 𝐺𝑖𝑗, 𝜙𝑖𝑗, 𝜖𝑖𝑗, 𝐹𝑖𝑗 𝑦 𝑆 se refieren a la convección, la difusión turbulenta, la difusión molecular, la generación de esfuerzos, la generación de flotabilidad, deformación por presión, disipación, generación por rotación y fuente definida por el usuario, respectivamente. El hecho que se resuelva esta ecuación para cada uno de los esfuerzos de Reynolds muestra que el modelo no supone un comportamiento isotrópico (Cable, 2009). Adicionalmente, se debe resolver la ecuación de la tasa de disipación 𝜖. Para ello es necesaria la ecuación 21, en la cual 𝐶𝜖1 𝑦 𝐶𝜖2 son constantes del modelo. Cabe mencionar que si el usuario no inicializa los esfuerzos de Reynolds es necesario resolver
𝑘, lo cual se realiza básicamente mediante la ecuación 17 (ANSYS, 2015). 𝜕(𝜌𝑢𝑖′𝑢
𝑗′
̅̅̅̅̅̅)
𝜕𝑡 + 𝐶𝑖𝑗 = −𝐷𝑇,𝑖𝑗+ 𝐷𝐿,𝑖𝑗− 𝑃𝑖𝑗 − 𝐺𝑖𝑗 + 𝜙𝑖𝑗− 𝜖𝑖𝑗 − 𝐹𝑖𝑗 + 𝑆 (20) 𝜕(𝜌𝜖)
𝜕𝑡 +
𝜕(𝜌𝜖𝑢𝑖)
𝜕𝑥𝑖 =
𝜕 𝜕𝑥𝑗(Ґ𝑘
𝜕𝑘
𝜕𝑥𝑗 ) + 𝐶𝜖1 1
2(𝑃𝑖𝑗+ 𝐺𝑖𝑖) 𝜖
𝑘 − 𝐶𝜖2𝜌 𝜖
𝑘+ 𝑆𝜖 (21)
Por último, el modelo SAS es de interés para capturar el fenómeno de cavitación en el tiempo. Las ecuaciones 22 y 23, tomadas de su publicación original, lo describen (Menter & Egorov, 2010). Se resalta la similitud con las ecuaciones del modelo 𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇 y la principal diferencia del modelado del nuevo término 𝜙 = √𝑘𝐿. Se debe tener en cuenta
que 𝐿 es la escala de longitud integral que determina la escala de los vórtices generados
y 𝐿𝑣𝐾 es la escala de longitud de Von Karman. 𝜕(𝜌𝑘)
𝜕𝑡 +
𝜕(𝜌𝑘𝑈𝑖)
𝜕𝑥𝑖 =
𝜕 𝜕𝑥𝑗(
𝜇𝑡
𝜎𝑘 𝜕𝑘
𝜕𝑥𝑗 ) + 𝑃𝑘− 𝑐𝜇 3 4𝜌𝑘
2
𝜙 (22) 𝜕(𝜌𝜙) 𝜕𝑡 + 𝜕(𝜌𝜙𝑈) 𝜕𝑥𝑖 = 𝜕 𝜕𝑥𝑗
(𝜇𝑡 𝜎𝜙
𝜕𝜙 𝜕𝑥𝑗
) +𝜙
𝑘𝑃𝑘(𝜁1− 𝜁2( 𝐿 𝐿𝑣𝐾
)
2
) − 𝜁3𝜌𝑘 (23)
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜇𝑡= 𝑐𝜇
1
4𝜌𝜙, 𝐿𝑣𝐾= 𝑘 |𝑈
′
𝑈′′| , 𝑈
′′ = √𝜕 2𝑈
𝑖
𝜕𝑥𝑘2
𝜕2𝑈
𝑖
𝜕𝑥𝑗2 , 𝑈′= 𝑆 = √2𝑆𝑖𝑗𝑆𝑖𝑗∗ 𝑦 𝑆𝑖𝑗 =
1
2(
𝜕𝑈𝑖
𝜕𝑥𝑗
+𝜕𝑈𝑗
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Capítulo 4: Generación de la malla y configuración del caso
Independencia de la malla
En primer lugar, el dominio computacional se muestra en la figura 9. Este consiste de tres zonas: una de sección transversal constante, una convergente y otra divergente con un ángulo de 4°. El anexo A presenta las coordenadas de la geometría utilizada, con el fin de hacerla fácilmente reproducible. Se debe aclarar que la independencia de la malla se realizó para una configuración del caso sin el modelo de cavitación activado, con el fin de no incurrir en costos computacionales innecesarios. Previamente, se estimó el tamaño del elemento más cercano a la pared para garantizar la condición 𝑦+< 1. Dicha
condición se definió con el fin de predecir correctamente los efectos viscosos. Se estima que el elemento más pequeño tiene un altura de 2.35𝑥10−6 𝑚. Adicionalmente, se restringió la relación de aspecto promedio menor a 1000. Dicho lo anterior, se
generaron 5 mallas diferentes aumentando el número de elementos en un factor entre
1.7 y 3.1. La tabla 1 muestra sus características más relevantes.
Figura 9. Dominio Computacional
Tabla 1. Información sobre las mallas generadas
Letra No elementos Relación de Aspecto Promedio y+ (Fluent)
O 13287 247 1,12
A 22926 246 1,12
B 70772 166 1,10
C 166624 113 1,10
D 339288 76 1,10
Para determinar la convergencia se tuvieron en cuenta: la diferencia entre la presión de entrada y la presión a la salida, y el perfil de velocidad en dos secciones, una en la zona convergente del tubo (𝑥 = −0.05𝑚) y otra en la zona divergente (𝑥 = 0.05𝑚). El primer criterio no presenta variaciones significativas entre las mallas, contrario al segundo criterio. El perfil de velocidad en la zona divergente se muestra en la figura 10. Allí se observa la clara tendencia desde la malla O hacia la D. Cabe mencionar que la diferencia del máximo del perfil de velocidad entre las mallas C y D es menor a 0.02%.
Un comportamiento similar ocurre para el perfil de velocidad en la zona convergente. De allí que la malla C sea considerada como la malla independiente de menor número de elementos y por lo tanto sea la indicada para la solución del problema. La figura 11 muestra el detalle de la malla seleccionada en la zona de la garganta. Allí se puede apreciar el uso de elementos rectangulares en la malla estructurada y su alta resolución cerca de la pared.
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Figura 10. Comparación del perfil de velocidad en la sección 𝒙 = 𝟎. 𝟎𝟓𝒎.
Figura 11. Detalle de la malla seleccionada.
Configuración del Caso
En el presente trabajo se estudian: dos modelos de cavitación, Schnerr Sauer (SS) y Zwart Gerber Belamri (ZGB); tres modelos de turbulencia, 𝑘 − 𝜔 Shear Stress
Transport (𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇), Reynolds Stress Model (RSM) y Scale Adaptive Simulation (SAS); y se comparan con los resultados experimentales encontrados por Goncalvès et al (2014).
Condiciones de Frontera
La configuración experimental se describe por los siguientes parámetros:
𝑈𝑖𝑛𝑙𝑒𝑡 = 10.8𝑚
𝑠 , 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝜎𝑖𝑛𝑙𝑒𝑡 = 0.55, 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑇𝑟𝑒𝑓= 293𝐾, 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐿𝑟𝑒𝑓 = 252𝑚𝑚, 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑅𝑒𝐿𝑟𝑒𝑓= 2.7 106, 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑦𝑛𝑜𝑙𝑑𝑠
En la configuración de los casos computacionales a estudiar se tomaron como condiciones de frontera la velocidad a la entrada y la presión a la salida. Los demás parámetros se conservan con respecto a la configuración experimental. Adicionalmente, los detalles de dicha configuración se presentan en el anexo B.
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Casos de Estudio
La tabla 2 muestra el número de cavitación a la entrada en cada uno de los casos de estudio, en el caso estacionario. En este último se utilizaron el acople presión-velocidad PISO y una discretización espacial Upwind de 1𝑒𝑟 orden.
Tabla 2. Configuración computacional en caso estacionario.
Caso Modelo de Turbulencia Modelo de Cavitación entrada σ en la
1 k-ω SST SS 0,62
2 k-ω SST ZGB 0,62
3 RSM SS 0,63
4 RSM ZGB 0,63
En el caso transitorio se empleó el acople presión-velocidad PISO, una discretización espacial Upwind de 2𝑑𝑜 orden y una discretización temporal implícita de 2𝑑𝑜 orden.
Además se usó un paso de tiempo ∆𝑡 = 1.1386 10−4𝑠 y 30 iteraciones por paso de tiempo, lo cual es suficiente para hacer que los residuales caigan por debajo de 10−4.
17
Capítulo 5: Presentación de Resultados
En esta sección se presentan los resultados de los casos estacionario y transitorio. Para mayor claridad estos se dividen en una comparación global y otra local.
Resultados Caso Estacionario
Los cuatro casos presentados en la tabla 2 se simularon en caso estacionario con el fin de hacer un análisis global y otro local en las cinco secciones de medición especificadas anteriormente. En el primero se evaluaron la longitud de cavitación, la distribución de presión en la pared inferior y los contornos de velocidad, presión y fracción de vapor. En el segundo se detallaron los perfiles de velocidad y la fracción de vapor.
Comparación global
La longitud de cavitación experimental está comprendida en el rango 70 − 85mm, con un valor medio cercano a 80mm. La longitud de cavitación de los cuatro casos
computacionales se muestra en la tabla 3, la cual está comprendida dentro del rango observado en el experimento referenciado, pero se aleja un poco del valor promedio.
Tabla 3. Comparación de la longitud de cavitación.
Combinación
(Comb) Turbulencia Modelo de Modelo de Cavitación cavitación (mm) Longitud de
1 k-ω SST SS 82,0
2 k-ω SST ZGB 82,7
3 RSM SS 82,1
4 RSM ZGB 84,2
Los contornos de velocidad, presión y fracción de vapor describen globalmente el comportamiento del flujo. La velocidad y presión a lo largo del tubo en la combinación 4 se muestran en las figuras 12 y 13. En la primera se observa que el fluido se acelera al pasar por la garganta, alcanzando velocidades casi 1.3 veces la velocidad de entrada. Adicionalmente, se observa la clara relación entre estas dos variables: a medida que aumenta la velocidad cae la presión. En la segunda también se resalta el hecho que las presiones caen hasta la presión de saturación del agua a 20°𝐶 𝑃𝑣 = 2339.2 𝑃𝑎. Los contornos a lo largo de todo el tubo difieren muy poco entre los modelos de cavitación y turbulencia. De allí que solo se presenten para una de las combinaciones.
Por otro lado, en la zona de cavitación se presentan diferencias significativas. Los contornos de velocidad, mostrados en la figura 14 para las cuatro combinaciones, difieren principalmente en la predicción de la zona de recirculación cercana a la pared inferior. Los contornos de presión se muestran en la figura 15. En ellos se destaca el hecho que para el modelo de turbulencia 𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇 la presión en la pared inferior en
la zona de colapso es la presión de vapor, contrario a la predicción del modelo 𝑅𝑆𝑀. Los contornos de fracción de vapor se presentan en la figura 16. El modelo 𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇
no logra predecir la presencia de agua líquida en la pared en la zona de colapso, a diferencia del modelo 𝑅𝑆𝑀. Por lo tanto, en la pared inferior, el 𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇 predice que
el colapso de las burbujas se da en un solo punto en el espacio, mientras que el 𝑅𝑆𝑀
predice una zona de transición de vapor a líquido. También se observa que las combinaciones 1,3 y 4 predicen cavitación por bloque en el estado estacionario, mientras que la combinación 2 predice cavitación por nubes.
18 Figura 12. Contorno de velocidad a lo largo del tubo.
19 Caso 1
20 Caso 3
Caso 4
21 Caso 1
22 Caso 3
Caso 4
23 Caso 1
Caso 2
24 Caso 3
Caso 4
Figura 16. Contornos de fracción de vapor en la zona de cavitación, en las cuatro combinaciones.
Un último aspecto a tener en cuenta globalmente, es la distribución de presión en la pared inferior del tubo de Venturi. Esta se presenta en la figura 17 en su forma normalizada, dada por (𝑃−𝑃𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟)
𝑃𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟 . Allí se observa que los cuatro casos computacionales sobre predicen la zona en la cual la presión del medio es igual a la presión de vapor, lo cual es aún más notorio en los casos con el modelo de turbulencia 𝑘 − 𝜔 𝑆𝑇𝑇.
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Figura 17. . Distribución de presión en la pared inferior.
Comparación Local
Perfil de Velocidad
La figura 18 muestra el perfil de velocidad en las cinco estaciones de interés. En la comparación con los datos experimentales se debe tener en cuenta: la intensidad del flujo de recirculación, el grosor de la zona de recirculación y el grosor de la capa límite.
El modelo 𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇 predice incorrectamente el flujo reentrante ya sea porque lo
sobre estima con el modelo de cavitación 𝑆𝑆 (estaciones 1 y 2) o no lo logra capturar
con el modelo de cavitación 𝑍𝐺𝐵 (estaciones 3 y 4). Luego, el 𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇 es bastante sensible al modelo de cavitación. Esta diferencia se puede observar tanto en los contornos de velocidad de la figura 14 como en los perfiles de velocidad de la figura 18. Aguas abajo, la predicción de la intensidad del flujo de recirculación es bastante acertada, a pesar de ser un poco menor a lo reportado experimentalmente.
En general, el 𝑅𝑆𝑀 captura correctamente los perfiles de velocidad, a pesar que la
predicción aguas abajo es aún menor (estaciones 4 y 5) e inexistente en la estación 3. Sus resultados no dependen fuertemente del modelo de cavitación, pero la forma como afecta el modelo de cavitación es similar y se evidencia más claramente en los contornos de la figura 14. De ellos se interpreta que si existiera una estación 3.5 (comprendida entre las estaciones 3 y 4) se sería evidente el hecho que en el 𝑆𝑆 la zona de recirculación
se extiende hasta un punto más cercano a la garganta, con respecto al 𝑍𝐺𝐵.
En ambos modelos se sobre predice el grosor de la zona de recirculación aguas abajo, llegando a ser casi dos veces el experimental en la estación 5. En adición, el grosor de la capa límite se predice correctamente en todas las estaciones.
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Figura 18. Perfil de Velocidad en las cinco estaciones de interés, caso estacionario.
Fracción de Vapor
La figura 19 muestra la fracción de vapor en las cinco estaciones de interés. En la comparación es importante tener en cuenta: la fracción de vapor en la pared y el máximo alcanzado en la zona media, comprendida entre 0.002 y 0.006𝑚 en las estaciones 4 y 5.
En primer lugar, se observa que los cuatro casos predicen correctamente la fracción de vapor en las estaciones cercanas a la garganta. Aguas abajo, la fracción de vapor estimada por el modelo de turbulencia 𝑅𝑆𝑀 en la pared se ajusta mejor a los datos
experimentales, a pesar de sobre predecirla en la estación 3. Por otro lado, el modelo
𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇 predice pobremente la fracción de vapor ya que no logra predecir la
presencia de agua líquida en la pared.
El 𝑅𝑆𝑀, aunque prediga correctamente la fracción de vapor cerca de la pared, la sobre
estima en la zona media del área de cavitación. Para entender esto mejor nótese que aguas abajo se mantiene una relación entre el máximo de la fracción de vapor experimental y el computacional. Dicha relación de 3 a 1 se observa en las estaciones 4 y 5.
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Figura 19. Fracción de Vapor en las cinco estaciones de interés, caso estacionario.
Resultados Caso Transitorio
Se realizaron simulaciones para el modelo de turbulencia 𝑅𝑆𝑀 en caso transitorio sin
obtener buenos resultados. Lo anterior se debe a que en la versión original de este modelo la viscosidad turbulenta no está acotada. Por lo tanto, esta puede aumentar a tal punto de disipar las fluctuaciones. Por otro lado, el modelo SAS se caracteriza por limitar esta variable y, por consiguiente, sí logra predecir las fluctuaciones. Por ejemplo, en la estación 5, el 𝑅𝑆𝑀 muestra un máximo de 5 𝑘𝑔/𝑚𝑠 en la viscosidad turbulenta cerca a
la pared inferior; mientras que el SAS muestra un máximo de 0.4 𝑘𝑔/𝑚𝑠. En esta sección
se hace una breve comparación entre el modelo SAS y el experimento reportado. Comparación global
En el modelo SAS, la longitud de cavitación fluctúa entre 62 y 97 𝑚𝑚. Es claro que esta
fluctuación se sobre predice con respecto al rango experimental 70 − 85 𝑚𝑚. Adicionalmente, estas oscilaciones se repiten periódicamente cada 2000 pasos de tiempo o 0.23 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 aproximadamente. Lo anterior se muestra en la figura 20.
Complementariamente, el avance en el tiempo- cada 0.023 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠- del contorno de
la fracción de vapor en la zona de cavitación se muestra en la figura 21.
Figura 20. Variación de la longitud de cavitación en el tiempo.
0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120
0 2000 4000 6000 8000
Cavi
ty
le
n
gth
(
m
)
34
Figura 21. Avance en el tiempo cada 𝟎. 𝟎𝟐𝟑 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐𝒔 del contorno de fracción de vapor, usando el modelo SAS.
Comparación Local
En las primeras tres estaciones no se observan variaciones significativas en el tiempo tanto en el perfil de velocidad como en la fracción de vapor. En las primeras dos estaciones, la predicción se ajusta a los datos experimentales. En la tercera no se logra predecir el flujo reentrante ni la presencia de agua líquida cerca a la pared. Aguas abajo las fluctuaciones son altas y por lo tanto el análisis se enfoca en las estaciones 4 y 5. El promedio en el tiempo, en la ventana de 0.023 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠, del perfil de velocidad y la
fracción de vapor de las últimas dos estaciones se muestran en las figuras 22 y 23, respectivamente.
35
36
Figura 23. Fracción de vapor promediado en el tiempo en las estaciones 4 y 5.
Se observa que en la estación 4 no se logra predecir el flujo reentrante. Por el contrario, en la estación 5 se predice correctamente la intensidad del flujo de recirculación, a pesar de sobre predecir el grosor de la zona de recirculación. En cuanto a la fracción de vapor, se sobre predice el valor en la pared inferior. Nótese además, que la forma de la fracción de vapor estimada se aleja de la experimental.
Al realizar una comparación cualitativa con las simulaciones en caso estacionario se interpreta que el modelo SAS –en caso transitorio- muestra una predicción más similar a la del 𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇 que a la del 𝑅𝑆𝑀 –en caso estacionario-.
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Capítulo 6: Análisis de Resultados
En esta sección se da una explicación física a los resultados. Algunas hipótesis se comparten con autores de otras publicaciones, otras son planteamientos propios.
Análisis Caso Estacionario
En primer lugar, se quiere evidenciar parte del planteamiento teórico del proceso de cavitación descrito en el capítulo 2. Para comenzar, los contornos de velocidad y presión mostrados en las figuras 12 y 13 justifican la relación inversa entre estas dos variables. Adicionalmente, en la zona seguida a la garganta las presiones de las celdas se reducen a la presión de vapor dando lugar al tercer escenario del diagrama de estabilidad de una burbuja mostrado en la figura 4. Los contornos de presión y fracción de vapor en esta zona, mostrados en las figuras 15 y 16, confirman el hecho que la condición 𝑃 ≤ 𝑃𝑣 es necesaria mas no suficiente para dar lugar a la incepción. Para entender esto nótese que en todas las celdas en las cuales hay presencia de vapor, la presión es la presión de vapor. No obstante, no en todas estas celdas la fracción de vapor es alta. Por el contrario, esta oscila entre cero y uno. Se interpreta que las celdas en las cuales la fracción de vapor es alta, el radio del núcleo es grande, lo cual permite el rápido crecimiento de las burbujas, dando lugar a la incepción. Por otro lado, las celdas en las cuales la fracción de vapor es baja, el radio del núcleo es pequeño, de tal forma que las burbujas alcanzan una condición estable.
Además, se observa una tendencia generalizada de la distribución de la fracción de vapor. Esta es máxima en la pared inferior y disminuye hasta cero en la dirección normal a la pared. Esto se interpreta también como una suposición acertada de los modelos de cavitación sobre la distribución original de los núcleos y sus tamaños. En el capítulo 2 se mencionó que la presencia de núcleos se debe parcialmente a la interacción entre el gas y las paredes. Luego, a pesar que los modelos de cavitación no tienen en cuenta el gas no condensable, suponen correctamente el papel que estos tendrían en la iniciación de la cavitación cerca a la pared. Lo anterior no es cierto aguas abajo dada la zona de recirculación.
De la comparación local, es claro que el modelo de turbulencia 𝑅𝑆𝑀 predice mejor los
perfiles de velocidad -se interpreta que estos son determinados por la dinámica del flujo, en la cual el modelo de turbulencia domina sobre el modelo de cavitación-. Lo anterior se atribuye al hecho que este modelo resuelve los esfuerzos de Reynolds en todas las direcciones. Es decir, se resuelve la ecuación 20 en las direcciones 𝑖𝑖, 𝑗𝑗, 𝑘𝑘, 𝑖𝑗 dadas por
el eje cartesiano. Por el contrario, el modelo 𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇 aproxima los esfuerzos de
Reynolds mediante la relación de Boussinesq dada por la ecuación 19, en la cual se supone difusión turbulenta isotrópica. Para ello utiliza resultados parciales de las ecuaciones 17 y 18. Se resalta que los aproxima mas no los resuelve. De lo anterior se interpreta que el modelo 𝑅𝑆𝑀 logra capturar mejor el carácter anisotrópico del flujo en
la zona de cavitación. Trabajos pasados demuestran la existencia de dicho carácter anisotrópico en las fluctuaciones turbulentas de la velocidad, que se hace aún más notoria en la mezcla líquido-vapor (Aeschlimann, Barre, & Djeridi, 2011). Este mismo argumento explica la mejor predicción de la fracción de vapor en la pared inferior del tubo usando el modelo 𝑅𝑆𝑀, ya que el carácter anisotrópico es aún más pronunciado en esta zona.
Aunque de menor influencia, el modelo de cavitación también afecta los resultados. Se afirma que es de menor influencia dada la similitud entre los dos modelos, pues ambos
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asumen las mismas suposiciones para partir de la ecuación 11. El hecho que el 𝑆𝑆 prediga una zona de recirculación mayor, extendiéndose hasta un punto más cercano de la garganta, se explica de la siguiente manera. Los contornos de la figura 16 muestran que el 𝑆𝑆 predice una mayor fracción de vapor. Se interpreta que la presencia de vapor aumenta las fluctuaciones turbulentas de la velocidad, lo cual se relaciona con un aumento de la difusividad turbulenta dentro del bloque de vapor generado. Por consiguiente, la presencia de vapor adicional permite un mayor transporte de momento que se ve reflejado en la extensión de la zona de recirculación. Para explicar la mayor presencia de vapor en el modelo 𝑆𝑆 se recurre a las ecuaciones 13 y 15 de transferencia
de masa por el colapso de burbujas. Estas muestran que el colapso en el primer modelo de cavitación es menor porque 𝛼𝑣(1 − 𝛼𝑣) < 𝛼𝑣. Lo anterior se confirma en los resultados computacionales, puesto que la transferencia de masa por generación es similar entre los dos modelos de cavitación, pero la transferencia de masa por colapso es casi el doble en el modelo ZGB entre las combinaciones 3 y 4, y casi 100 veces en el modelo ZGB entre las combinaciones 1 y 2. Esto último también muestra por qué los resultados de contornos de velocidad son más sensibles al modelo de cavitación si se utiliza el modelo de turbulencia 𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇. Sin embargo, no se conoce una clara relación
con las ecuaciones del modelo que expliquen dicha sensibilidad.
Una vez discutidas las diferencias entre los modelos, vale la pena aclarar su principal semejanza. Esta consiste en que las cuatro combinaciones sobre predicen la presencia de vapor (ver tabla 3 y figuras 17 y 19), lo cual se atribuye a una falla de las suposiciones del modelamiento computacional. Por ejemplo, el hecho que los modelos de cavitación desprecien la presencia de gas no condensable en el fluido puede alejar significativamente el problema de la realidad. Para entender esto, nótese que las ecuaciones 12 y 14 de transferencia de masa por la generación de burbujas dependen de (1 − 𝛼𝑣). Ahora bien,
si se tiene en cuenta la fracción de gas no condensable 𝛼𝑔, las ecuaciones 12 y 14 dependerían de (1 − 𝛼𝑣− 𝛼𝑔). Entonces, la generación de burbujas sería menor,
posiblemente acercando los resultados de longitud de cavitación y perfiles de fracción de vapor a los experimentales. Sin embargo, se debe tener presente que la concentración del gas no condensable puede ser del orden de 15 𝑝𝑝𝑚 en la entrada del tubo (ANSYS, 2015) y, en teoría, se incrementa significativamente en la zona de cavitación. Una segunda posible falla consiste en que se estudió el problema de forma bidimensional. Luego, es posible que efectos tridimensionales afecten los resultados. Una tercera falla consiste en el modelamiento euleriano del fenómeno, ya que un modelamiento lagrangiano podría capturar mejor el avance de las cavidades de vapor en el tiempo, pero no se puede comentar sobre la dinámica global del flujo. Una última falla podría ser el modelamiento incompresible de la fase de vapor. Nótese que las anteriores son posibles explicaciones, mas no se tiene certeza de ninguna.
Análisis Caso Transitorio
Dado que las ecuaciones del modelo SAS se derivan de forma similar a las del modelo
𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇, los resultados en el caso transitorio del primero son parecidos a los del caso
estacionario del segundo. Es decir, la mala predicción del campo de velocidades y la fracción de vapor en el modelo 𝑆𝐴𝑆 se atribuye, de nuevo, a la suposición del
comportamiento isotrópico del flujo. Luego, se interpreta que aun si se predicen correctamente los vórtices de todos los tamaños, el carácter anisotrópico de la mezcla líquido-vapor no se puede pasar por alto.
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Capítulo 7: Conclusiones y Recomendaciones
Conclusiones
En el caso estacionario, la combinación 3 (modelo de turbulencia 𝑅𝑆𝑀 y modelo de
cavitación 𝑆𝑆) es la que mejor predice el fenómeno de cavitación en el tubo de Venturi
del túnel de cavitación de CREMHyG. Se interpreta que la predicción del modelo de turbulencia 𝑅𝑆𝑀 es más acertada gracias a que, al resolver los esfuerzos de Reynolds,
se tiene en cuenta el carácter anistrópico de la mezcla líquido-vapor. También se interpreta que la predicción de modelo de cavitación 𝑆𝑆 es más acertada dado que el
𝑍𝐺𝐵 sobre predice la longitud de cavitación y la transferencia de masa por el colapso de
burbujas. Sin embargo, ambos modelos de cavitación sobre predicen la presencia de vapor, posiblemente debido a algunas de las fuertes hipótesis del modelamiento. En el caso transitorio, el modelo de turbulencia 𝑅𝑆𝑀 no logra predecir las fluctuaciones de la
dinámica del flujo ya que se desarrollan viscosidades turbulentas muy elevadas. La limitación de dicha variable en el modelo 𝑆𝐴𝑆 permite estudiar la evolución del flujo en
el tiempo. Sin embargo, la predicción de dicho modelo se aleja de la realidad porque, al igual que en el modelo 𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇, se desprecian los efectos anisotrópicos de la mezcla.
Trabajo Futuro
Los resultados del proyecto apuntan a que el modelo de turbulencia 𝑅𝑆𝑀 tiene una ventaja sobre los demás en la predicción de la dinámica del flujo. Sin embargo, en su versión original, este tiene el problema que desarrolla una viscosidad turbulenta muy elevada, a tal punto que no permite capturar las fluctuaciones del flujo en el tiempo. Otros aspectos del proyecto reflejan que una de las fallas de los modelos de cavitación estudiados es que desprecian el efecto del gas no condensable dentro del fluido. De allí que sea muy atractivo como paso siguiente en esta línea de investigación modelar el fenómeno de cavitación incorporando una limitación en la viscosidad turbulenta, como la limitación de Reboud, y utilizando otro modelo de cavitación que tenga en cuenta el gas no condensable.
Otro trabajo sumamente interesante sería replicar el fenómeno experimentalmente para:
1. Recrear los contornos (y no solo los perfiles) de velocidad y fracción de vapor, para lo cual se recomienda un análisis de imágenes. Un punto de partida es el documento “Performance and image analysis of a cavitating process in a small type venturi” (Abdulaziz, 2013).
2. Medir las fluctuaciones turbulentas de la velocidad y la difusividad turbulenta, como reportado en la publicación “Velocity field analysis in an experimental cavitating mixing layer” (Aeschlimann, Barre, & Djeridi, 2011).
40
Bibliografía
Abdulaziz, A. M. (2013). Performance and image analysis of a cavitating process in a
small type venturi. Elsevier.
Aeschlimann, V., Barre, S., & Djeridi, H. (2011). Velocity flied analysis in an
experimental cavitating mixing layer. Physics of fluids, American Institute of
Physics, volume 23 pp 055105. ANSYS. (2015). Manual de ANSYS FLUENT.
Arakeri, V. H. (1978). Cavitation inception. India: Proceedings of the Indian Academy of Science.
Bai et al, L. (2016). Memory effect and redistribution of cavitation nuclei in a thin liquid
layer. Elsevier: Ultrasonic Sonochemistry.
Barre, A., Rolland, J., Boitel, G., Goncalvès, E., & Fortes Patella, R. (2008). Experiments
ond modelling of cavitating flows in venturi: attached sheet cavitation. Elsevier.
Bicer, B., & Sou, A. (2015). Application of the improved cavitation model to turbulent
cavitating flow in fuel injector nozzle. Elsevier: Applied Mathematical
Modelling.
Brennen, C. E. (1995). Cavitation and Bubble Dynamics. Oxford University Press. Cable, M. (2009). An evaluation of Turbulence Models for the Numerical Study of
Forced and Natural Convective Flow in Atria. Kingston.
Charrière, B., Decaix, J., & Goncalvès, E. (2014). A comparative study of cavitation
models in a Venturi flow. Elsevier.
Decaix, J., & Goncalvès, E. (2011). Time-dependent simulation of cavitating flow with
k-l turbuk-lence modek-ls. Internationak-l Journak-l for Numericak-l Methods in Fk-luids.
Decaix, J., & Goncalvès, E. (2013). Investigation of three-dimensional effects on a
cavitating Venturi fow. Elsevier.
Dular et al, M. (2015). Use of hydrodynamic cavitation in (waste)water treatment. Elsevier.
Eisenberg, P. (n.d.). Cavitation. MIT.
Flow Control Network. (2016, 05 22). Retrieved from
http://www.flowcontrolnetwork.com/qa-pump-cavitation-diagnosis-control/ García Oliver, J. (2006). El proceso de combustión turbulenta de chorros diesel de
inyección directa. Valencia: Reverté.
Goncalvès da Silva, E., & Fortes Patella, R. (2009). Numerical Simulation of Cavitation
Flows with Homogeneous Models. Elsevier.
Knapp, R. T. (1970). Cavitation. New York: McGraw Hill.
Menter, F., & Egorov, Y. (2010). The Scale-Adaptative Simulation Method for Unsteady
Turbulent Flow Predictions. Part 1: Theory and Model Description. Springer
Sciende+Business Media B.V.
u-tokyo. (2016, 05 22). Retrieved from
http://www.1.k.u-tokyo.ac.jp/yama/fluidlab/Research/CavPictures/index_e.html
Veem Propellers. (2016, 05 22). Retrieved from
http://www.veempropellers.com/features/cavitationresistance
Versteeg, H., & Malalasekera, W. (2007). An Introduction to Computational Fluid
41
Anexo A. Coordenadas de la geometría del dominio.
La tabla 4 muestra 627 pares de coordenadas que permiten reproducir exactamente el dominio computacional del presente trabajo.
Tabla 4. Coordenadas de la geometría del dominio.
X (m) Y (m) X (m) Y (m) X (m) Y (m) X (m) Y (m) X (m) Y (m) X (m) Y (m) X (m) Y (m) X (m) Y (m)
-0,249 0,000 -0,249 0,033
-0,005 -0,005 0,045 0,004 0,309 -0,031
-0,018 0,050 0,033 0,050 0,245 0,045
1,257 -0,135 1,264
-0,055
-0,004 0,005 0,046 0,003 0,316 -0,032
-0,017 0,050 0,034 0,050 0,251 0,045
-0,249 0,000 -0,249 0,034
-0,004 0,005 0,047 0,003 0,324 -0,033
-0,015 0,050 0,035 0,050 0,256 0,044
1,257 -0,134 1,264
-0,052
-0,003 0,005 0,048 -0,003 0,332 -0,035
-0,014 0,050 0,036 0,050 0,262 0,044
-0,249 0,001 -0,249 0,035
-0,003 0,005 0,050 -0,003 0,340 -0,036
-0,013 0,050 0,037 0,050 0,268 0,044
1,257 -0,133 1,264
-0,049
-0,003 0,005 0,051 -0,003 0,348 -0,037
-0,012 0,050 0,039 0,050 0,274 0,043
-0,249 0,001 -0,249 0,036
-0,002 0,005 0,052 0,003 0,357 -0,038
-0,011 0,050 0,040 0,050 0,280 0,043
1,257 -0,132 1,264
-0,046
-0,002 0,005 0,054 0,003 0,366 -0,040
-0,010 0,050 0,041 0,050 0,287 0,043
-0,249 0,001 -0,249 0,038
-0,001 0,005 0,055 0,003 0,375 -0,041
-0,010 0,050 0,042 0,050 0,293 0,042
1,257 -0,132 1,265
-0,043
-0,001 0,005 0,057 0,003 0,384 -0,042
-0,009 0,050 0,043 0,050 0,300 0,042
-0,249 0,002
-0,249 0,039 0,000 0,005 0,058 0,003 0,394 -0,044
-0,009 0,050 0,045 0,050 0,307 0,042
1,257 -0,131 1,265
-0,040 0,000 0,005 0,060 0,002 0,404 -0,045
-0,008 0,050 0,046 0,050 0,315 0,041
-0,249 0,002
-0,249 0,040 0,000 0,006 0,061 0,002 0,414 -0,047
-0,008 0,050 0,047 0,050 0,322 0,041
1,257 -0,130 1,265
-0,037 0,001 0,006 0,063 0,002 0,425 -0,048
-0,007 0,050 0,049 0,050 0,330 0,040
-0,249 0,002
-0,249 0,041 0,001 0,006 0,065 0,002 0,436 -0,050
-0,007 0,050 0,050 0,050 0,338 0,040
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42
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