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Agradecimientos
Agradezco a mi familia por su apoyo y acompañamiento a lo largo de toda mi vida de formación como profesional y como persona. Al profesor Juan Carlos Reyes por su asesoría en el proyecto. Al CIMOC por su apoyo en el desarrollo. A todo el personal del laboratorio por su ayuda en la fase experimental.
Resumen
Los disipadores tipo muro viscoso (VDW) son un sistema de amortiguamiento viscoso usado con el fin de reducir la respuesta generada por solicitaciones laterales de viento y sismo en edificios. Este documento muestra detalles de la modelación y el diseño de edificios con VDW. Inicialmente, se condujeron dos ensayos demostrativos para caracterizar el comportamiento visco-elástico de un dispositivo a escala usando aceite de motor convencional como fluido llenante. Posteriormente, se desarrolló una metodología de diseño, la cual se ilustró mediante un ejemplo numérico. El trabajo permitió concluir que los VDWs son un dispositivo efectivo para la disipación de energía en estructuras y que es posible utilizar fluidos no convencionales como fluidos llenantes.
Abstract
Viscous Damping Walls (VDWs) are dampers used to reduce the displacements and internal forces of structures subjected to extreme forces such as earthquakes and wind. This document shows details of the modeling and design of buildings with VDWs. Initially, two demonstrative laboratory tests were conducted on a scale model of a VDW with engine oil as the viscous fluid. Afterwards, a design methodology was proposed and illustrated using an example. This work led to the conclusion that VDWs are an effective device for energy dissipation in structures using non-conventional fluids.
Tabla de Contenido
1. Introducción ... 5
1.1 Antecedentes ... 5
1.2 Objetivos ... 6
1. 3 Organización ... 6
2. Marco Teórico ... 7
3. Modelo Demostrativo ... 10
3.1 Descripción del Ensayo ... 10
3.2 Protocolo de Carga ... 11
3.3 Resultados ... 12
4. Guía de Diseño ... 19
4.1 Concepción y Pre- Dimensionamiento ... 19
4.2 Diseño del sistema resistente a fuerzas verticales ... 19
4. 3 Diseño del sistema resistente a fuerzas laterales ... 19
5. Ejemplo Numérico ... 23
5.1 Concepción y pre-dimensionamiento general. ... 23
5.2 Diseño del sistema resistente a fuerzas verticales ... 24
5.3 Diseño del sistema resistente a fuerzas laterales ... 27
a) Determinación del requerimiento final de amortiguamiento. ... 27
b) Cálculo de las fuerzas de viento ... 27
c) Cálculo de fuerzas sísmicas utilizando el método de fuerza horizontal equivalente (FHE): ... 27
d) Cálculo del cortante basal sísmico. ... 28
e) Modelación de la estructura ... 29
f) Determinación de periodos y modos de vibración. ... 30
g) Cálculo de las fuerzas actuantes sobre el disipador. ... 30
i) Verificación y dimensionamiento del disipador. ... 32
j) Diseño de los elementos de borde de amortiguador (EB). ... 33
k) Verificación de los pórticos resistentes a momento (PRMs). ... 37
l) Diseño de conexiones... 39
6. Conclusiones ... 42
1. Introducción
Los disipadores tipo muro viscoso (VDW) por su siglas en inglés, son un sistema de amortiguamiento viscoso instalado en estructuras con el fin de reducir la respuesta dinámica generada por solicitaciones laterales de viento y sismo. Se componen principalmente de un cajón de acero pernado al piso inferior y una placa de acero pernada al superior, la cual está contenida dentro del primero, dejando un espacio entre las paredes del cajón; este espacio estará lleno de un líquido altamente viscoso. Tras una fuerza lateral, debido a la dilatación entre la lámina y el tanque, se generará un diferencial de velocidad produciendo una fuerza resistente en dirección contraria a la primera. El amortiguamiento, será proporcional al área de contacto de las paredes y a la viscosidad del material llenante.
1.1 Antecedentes
La idea de este disipador surgió en 1980 con el concepto del ingeniero japonés Mitsuo Miyazaki, con el fin de aumentar el porcentaje de amortiguamiento de las estructuras en más de 15%. El primer proyecto en el tema comenzó en 1986 en Japón con un modelo a escala real de 5 pisos (Yeung N. , 2000). Éste consistía en tanques, con láminas contenidas, y silicona líquida como fluido viscoso, adaptados a un esqueleto metálico de 5 pisos. Tenía un peso aproximado de 40 toneladas, y buscaba corroborar las ecuaciones empíricas desarrolladas por Miyazaki en 1982, que caracterizaban el sistema. El modelo fue probado en una mesa vibratoria, al ser sometido a la señal del sismo de El Centro (1940) arrojando resultados satisfactorios. El periodo de la estructura se redujo de 0.376 a 0.286 segundos, el radio de amortiguamiento aumentó de 2% a 32% y la magnitud de la respuesta dinámica se redujo en un 66% (Miyazaki M. et al, 1992). Posteriormente, se evaluaron los costos de una edificación con estos disipadores, concluyendo que era un sistema viable para edificaciones altas de más de 20 pisos.
Posteriormente, en 1988 el ingeniero japonés Arima volvió a probar el sistema en un modelo de tamaño real de 4 pisos. A diferencia del primer ensayo, éste tenía todo el sistema estructural de una edificación típica y elementos no estructurales como muros divisorios y de fachada. En total la estructura tenía un peso de 102.2 toneladas. Los resultados permitieron establecer la relación entre la velocidad y la temperatura con la efectividad del sistema. Se determinó que la aceleración disminuyó en 35 veces la inicial, el segundo modo del sistema desapareció y la rigidez aumentó en 44% (Arima F. et al, 1988). Finalmente se concluyó que el sistema era altamente efectivo para todo tipo de estructuras, pero al ser un sistema dependiente de la velocidad, los mejores resultados se daban ante sismos de mayor magnitud y en especial con altos picos de aceleración.
El primer edificio para uso comercial construido con este sistema se desarrolló en Japón en 1992. La edificación era en acero, con pórticos resistentes a momentos en donde se instalaban los disipadores. La estructura tenía instalados 170 disipadores en ambas direcciones, distribuidos a lo largo de 22 pisos. Durante la planeación de la distribución de los amortiguadores en altura se realizaron nuevos estudios haciendo énfasis en evitar las concentraciones de esfuerzos axiales en las columnas, un problema que había surgido en investigaciones pasadas (Yeung N. , 2000).
Recientemente, el Hospital de California (“California Pacific Medical Center”) ubicado en San Francisco y finalizado en 2012 fue construido con este sistema, luego de que un panel de expertos planteara una serie de retos en términos estructurales, arquitectónicos y de sismo resistencia para su construcción. Antes de su instalación en la estructura del hospital, en “UC San Diego´s SRMD Testing Facility” se construyeron 4 modelos a escala real de éstos para caracterizar el comportamiento del muro ante diferentes velocidades y aceleraciones de señales armónicas y aleatorias. Finalmente, se probó su efectividad y el sistema fue implementado en la estructura haciendo énfasis en sus ventajas económicas, versatilidad arquitectónica y eficiencia sismo resistente.
En todos los casos se han utilizado fluidos altamente viscosos con una viscosidad dinámica en un rango de 30,000 a 60,000 Poise. Los más comunes son el polyisobutileno y “silicone oil”. Sin embargo, éstos son
productos de alto costo y producción restringida, siendo un obstáculo para la implementación del dispositivo (Yeung N. , 2000).
1.2 Objetivos
El objetivo general de este proyecto de grado es desarrollar una metodología de diseño de pórticos con un sistema de disipación de energía tipo muro y verificar la efectividad de fluidos no convencionales de menor costo en el funcionamiento general del dispositivo como amortiguador viscoso.
En específico se quiere lograr lo siguiente:
Estudiar la teoría referente al comportamiento de una estructura ante un sismo y entender como se ve
modificada esta respuesta ante el cambio de factores como el amortiguamiento y la rigidez.
Conceptualizar teóricamente el funcionamiento del dispositivo de disipación de energía tipo muro y
su aplicación a la teoría dinámica de las estructuras.
Realizar un montaje y conducir un ensayo experimental para recolectar información sobre la reología
del fluido llenante del disipador de energía.
Caracterizar el material llenante con base en la información de los ensayos de laboratorio.
Desarrollar una metodología de diseño para la construcción de un disipador de energía tipo muro.
Aplicar la metodología de diseño a un caso de estudio, usando los datos de caracterización del fluido
viscoso hallados previamente.
1. 3 Organización
En el segundo capítulo se presenta un marco teórico que describe el funcionamiento de los VDW, en el cual se presentan los estudios previos, los componentes y el comportamiento interno del mismo. El tercer capítulo contiene la descripción del ensayo demostrativo, la concepción de éste y los resultados arrojados. El cuarto capítulo contiene una guía de diseño para edificaciones en acero con VDW como sistema de amortiguamiento donde se describen los pasos necesarios para su diseño e implementación. En el quinto capítulo se ilustra el procedimiento de diseño mediante un ejemplo y finalmente se presentan las conclusiones.
2. Marco Teórico
Los VDW fueron inventados como un sistema para reducir las oscilaciones en estructuras generadas por solicitaciones laterales de viento o sismo, disipando la energía asociada a éstos, la cual es transformada en fuerzas axiales que se re-direccionan a la cimentación (Yeung, 2000). La disipación generada es debido al amortiguamiento inducido al mover un objeto dentro de un fluido viscoso, creando un diferencial de velocidad. El modelo planteado en este documento fue introducido por Miyazaki en 1980, consiste en desplazar una placa metálica en un sentido en medio de un cajón, el cual contiene un fluido altamente viscoso. La placa interna está soldada a la viga superior por una conexión de alta resistencia, mientras el cajón está sujeto a la placa inferior. La Figura 1 ilustra el dispositivo. Una vez la estructura es sometida a una oscilación, se van a generar unos desplazamientos entre placas, que van a generar una deriva interna en el sistema de amortiguamiento. El fluido en el cual está contenido, va generar fuerzas opuestas al desplazamiento, reduciendo la respuesta dinámica (Miyazaki M. et al, 1992).
Al implementar un VDW, existe un cambio en el factor de amortiguamiento en la ecuación básica dinámica, ya que al ser dependiente de la velocidad, surge un exponente de no linealidad. En la ecuación 1 se ve esta modificación. Sin embargo, determinar las propiedades de amortiguamiento no es posible de manera determinista (Chopra A., 2007), por lo que es necesario recurrir a métodos experimentales. Existen metodologías para acoplar la matriz de amortiguamiento la cual puede estar desacoplada o acoplada. En el primer caso, ésta es diagonal y es posible utilizar métodos tradicionales de análisis como Rayleigh o Caughey (Chopra A., 2007), conocido como amortiguamiento clásico. En el segundo caso, cuando la matriz está acoplada, es necesario utilizar métodos numéricos para hallar la matriz de amortiguamiento, ya que la matriz no es diagonal. Los métodos comúnmente usados son el de Newmark o el método de la de Aceleración. Todo lo descrito anteriormente es una solución analítica, con poca aplicabilidad en la realidad. Por lo tanto investigadores como Miyazaki (1986) y Arima (1988) han realizado proyectos para caracterizar mejor este sistema.
Tanque Lamina Rigidizador
Soldadura de Filete
Fluido Viscoso
∙ ∙ ∙ ∙ (1)
En la actualidad se ha establecido que la magnitud de la fuerza resistente generada en VDW va a estar en función de 3 variables principalmente: 1. Área de contacto del fluido, 2. Dilatación entre las paredes internas del tanque y la lámina interna, y 3. Viscosidad del fluido. El mecanismo en que se genera la disipación puede ser expresado como la suma de la resistencia viscosa Qc y la resistencia del diferencial de velocidad Qk que
generan una resistencia total Qw (Miyazaki et al, 1992).
La resistencia viscosa se define a partir de la ley de Newton, por el esfuerzo generado sobre el fluido viscoso. Esto se define en la ecuación 2 donde es la viscosidad del fluido, es un coeficiente de no linealidad en
función de la temperatura, es el gradiente de velocidad y es la dilatación entre las paredes del las
superficies. Transformando esta ecuación, para incluir el área de contacto y los factores de comportamiento no lineal de fluido se obtiene la ecuación 3, la resistencia generada por el amortiguamiento contra las fuerzas actuantes del sismo. La resistencia aportada a la rigidez, está en función del área de contacto , la viscosidad
, el desplazamiento máximo relativo entre los extremos del disipador y un coeficiente de no linealidad
por el comportamiento no newtoniano del fluido referente a la ecuación 4. Finalmente, sumando ambas fuerzas resistentes se obtiene la respuesta total como se ve en la ecuación 5 (Yeung N. , 2000).
∙ (2)
∙ ∙ ∙ (3)
∙ ∙ ∙ (4)
∙ (5)
Los factores de no linealidad, y α, se han caracterizados experimentalmente por medio de ensayos. Éstos en
general tiene valores entre 0.5 y 2 (Yeung N. , 2000). En un VDW, donde la no linealidad del fluido se genera por la velocidad y no por las fluctuaciones de temperatura, el valor característico es de 0.8.
Los efectos globales de una estructura con VDW se reflejan en una disminución en los desplazamientos generales de la estructura. Sin embargo, por el mecanismo de funcionamiento, las cargas axiales sobre las columnas se incrementan en gran medida. Como se observa en la Figura 2, una vez hay un desplazamiento lateral de sismo o viento, el sistema crea una fuerza en el sentido opuesto, generando una serie de fuerzas sobre la porción de la lámina que está embebida en el fluido. Esta fuerza se puede idealizar como una fuerza puntual en el centroide de la sección embebida que se puede colocar sobre la viga, generando un momento adicional, que es resistido por las columnas. Por ende, la reacción en las columnas se aumenta proporcionalmente a la aceleración de la señal. Adicional a lo anterior, Arima (1988) determinó que este sistema era altamente efectivo para controlar oscilaciones y la respuesta dinámica, pero no aportaba la suficiente rigidez para controlar las derivas, por lo cual se estableció que era necesario utilizar pórticos resistentes a momentos en cada marco con VDW.
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Figura 5. Protocolo de carga. 3.3 Resultados
En el primer ensayo el montaje se instrumentó con un deformímetro y un acelerómetro de uso académico. Se caracterizaron las curvas de aceleración en el tiempo, evaluando el efecto de los fluidos en el amortiguamiento total del pórtico ante un desplazamiento inicial. La curva correspondiente al tanque vacío es equiparable a una teórica de vibración libre amortiguada de 4.3% (Figura 6(a)), la correspondiente a aceite nuevo es equiparable a la teórica de 8.25% (Figura 6(b)) y la correspondiente a aceite viejo es equiparable la teórica de 9.86% (Figura 6(c)). Basado en los resultados, hay un incremento de 3.95% y 5.56% de porcentaje de amortiguamiento según el fluido. La Figura 6(d) compara las respuestas experimentales entre el aceite nuevo, aceite viejo y el tanque vacío. El ajuste de las curvas se hizo mediante mínimos cuadrados usando el criterio de mínimo error cuadrático para minimizar el error de las gráficas teóricas ajustadas a las experimentales. Disminuyendo el residuo cuadrado iterativamente se obtuvo una convergencia para todas las curvas del 0.1%.
Observe que la respuesta del sistema con aceite viejo es significativamente más eficaz ya que en el tercer ciclo alcanza una amplitud igual a la del sistema sin fluido en el sexto y con fluido nuevo en el cuarto. Además se esperaba un desfase mayor a medida que el amortiguamiento incrementa debido a que el periodo
fundamental amortiguado ( se define como:
1 .
donde es la rigidez de la estructura, y es la frecuencia. Por ende, si aumenta el amortiguamiento,
disminuye el denominador y el periodo aumenta (Figura 6(d)), justificando la razón por la cual la respuesta del aceite viejo es la de mayor desfase.
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-15 -10 -5 0 5 10 15
D
esp
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m
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m
Figura 6. Curvas de amortiguamiento en vibración libre: (a) tanque vacío; (b) aceite nuevo; (c) aceite viejo; (d) comparación entre curvas.
Para el segundo ensayo, una vez definida la señal, se instrumentó el modelo con una roseta de “strain gauges”, una celda de carga que midiera la fuerza impuesta por el actuador sobre el pórtico y un LVDT que registrara el desplazamiento total del montaje. Se realizó la toma de datos de desplazamiento unitario en tres
sentidos ( °, y ), los datos de carga en N y el desplazamiento en cubierta en mm. La gráfica del
desplazamiento en cubierta contra la carga se utilizó para obtener las curvas de histéresis, donde el área
encerrada es la energía disipada , y la pendiente entre el origen y el punto de máximo desplazamiento y
carga es la rigidez del sistema (Chopra A., 2007). Utilizando la matriz de rotación que se muestra a
continuación, se inclinan las curvas obtenidas, eliminando la rigidez del sistema para obtener el aporte neto del disipador:
cos sen
sen cos
Las Figuras 7(a), 7(b), 7(c), 8(a), 8(b), 8(c), 9(a), 9(b) y 9(c) ilustran los ciclos de histéresis originales para cada frecuencia considerando el caso de tanque vacío, tanque con aceite nuevo y tanque con aceite viejo, respectivamente. Las Figuras 7(d), 8(d) y 9(d) comparan las curvas rotadas para las tres frecuencias. Es evidente que cuando la frecuencia es baja, la diferencia entre área de las curvas histeréticas para el tanque vacío y con algún fluido es mínima. Sin embargo, el caso con aceite viejo muestra una respuesta con un leve incremento con respecto al nuevo. Esta tendencia se mantiene y crece de manera lineal, como sugiere la
0 1 2 3
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0 1 2 3
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 Tiempo, seg A cel erac io n, m m /s 2 (b)
Teorico =8.25%
Aceite Nuevo
0 1 2 3
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 Tiempo, seg A cel erac io n, mm/ s 2 (c)
Teorico =9.86%
Aceite Viejo
0 1 2 3
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 Tiempo, seg A cel erac io n, m m /s 2 (d) Tanque Vacio Aceite Viejo Aceite Nuevo
teoría. Entonces, considerando la respuesta de las tres frecuencias aplicadas, es posible concluir que a medida que aumenta la frecuencia, y por ende la velocidad del ensayo, el área encerrada crece para los casos en los cuales hay un fluido llenante, lo que equivale a mayor disipación de energía, y permanece constante para el tanque vacío. Además, la respuesta del aceite quemado siempre es mejor que la del aceite nuevo, debido a su contenido particular residual. Lo anterior se refiere a que debido al proceso de combustión interna en un motor, el aceite se contamina con residuos internos tales como acero, aluminio, pintura y demás que generan rozamiento. Eso podría generar un segundo tipo de amortiguamiento por fricción, conocido como amortiguamiento de Coulomb, donde del decremento en la aceleración se ajusta a una recta y no de forma exponencial como el viscoso. La anterior hipótesis no se validó en este trabajo, pero podría ser objeto de futura investigación.
Figura 7. Ensayo de señal sinusoidal con una frecuencia constante f=0.5 Hz: (a) tanque vacío; (b) aceite nuevo; (c) aceite viejo; (d) comparación entre curvas.
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Fu
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Desplazamiento, mm (d)
aceite viejo aceite nuevo tanque vacio
Figura 8. Ensayo de señal sinusoidal con una frecuencia constante f=1.0 Hz: (a) tanque vacío; (b) aceite nuevo; (c) aceite viejo; (d) comparación entre curvas.
-20 -10 0 10 20
-100 -50 0 50 100
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Desplazamiento, mm (a)
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Figura 9. Ensayo de señal sinusoidal con una frecuencia constante f=1.5 Hz: (a) tanque vacío; (b) aceite nuevo; (c) aceite viejo; (d) comparación entre curvas.
El siguiente paso es el cálculo del porcentaje de amortiguamiento viscoso utilizando la definición de amortiguamiento viscoso equivalente. A pesar de que no es un método exacto, conduce a una aproximación lo suficientemente acertada que nos permite comparar los resultados de los dos ensayos realizados en términos de radio de amortiguamiento (Tabla 2). La ecuación es:
1
4
Tabla 2. Resultados ensayo 2. Frecuencia
(Hz) 0.5 1 1.5
(N-mm) (%) (N-mm) (%) (N-mm) (%)
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Desplazamiento, mm (d)
aceite viejo aceite nuevo tanque vacio
A pesar de la diferencia en la sensibilidad de los dispositivos de lectura y de aplicación de carga, el comportamiento sigue la misma tendencia en ambos ensayos con órdenes de magnitud similares, validando el incremento en el amortiguamiento del sistema. El aceite viejo alcanza un amortiguamiento del 9.12%, el nuevo de 6.54% y el tanque vacío de 4.89%. Además, se reitera lo concluido previamente sobre el incremento lineal de la relación entre de la energía disipada y la frecuencia de la señal para el caso en que había un fluido llenante, mientras que el tanque vacío siguió arrojando valores prácticamente iguales para todas las frecuencias.
Adicionalmente se verificó si la disipación viscosa del dispositivo era dependiente de la frecuencia de
aplicación de la carga, conocido como “rate-dependent linear damping” (Chopra A., 2007). Según la teoría
de disipación viscosa, la energía disipada incrementa linealmente con la frecuencia de excitación. Este procedimiento se llevó a cabo mediante una regresión lineal de los valores energía disipada máxima hallados a partir de las curvas histeréticas del ensayo previo para cada una de las frecuencias como se muestra en la Figura 10. Sin embargo, la dependencia mostró no ser tan fuerte como se esperaba. El aceite viejo es el fluido con mayor pendiente, es decir, el que incrementa su tasa de amortiguamiento de manera más efectiva. Sin embargo, las pendientes son poco pronunciadas y no se aprecia total dependencia entre la frecuencia y la
energía. Esto, según Chopra (2007), sería similar a un “non rate- dependent linear damping”. Además se
observa en la Figura 10 que para un mismo valor de frecuencia la energía disipada siempre es mayor si se comparan ambos fluidos.
Figura 10. Energía disipada versus frecuencia.
Finalmente se construye el tensor de esfuerzos planares para hallar los esfuerzos principales y construir el diagrama del estado general de esfuerzos sobre la lámina con base en las deformaciones unitarias medidas con los “strain gauges” distribuidos como se ilustra en la Figura 11. La forma del tensor resultante es:
donde,
y , son las deformaciones horizontales y verticales medidas;
, es la deformacion fuera del plano de la lámina;
y son los esfuerzos cortantes fuera del plano;
es el esfuerzo cortante en el plano, el cual no se puede medir de manera directa;
0.5 1 1.5
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
Frecuencia, 1/s
Ene
rgi
a D
isi
pa
da
, J
Aceite Nuevo Aceite Viejo Tanque Vacio
Conociendo la distribución de los “strain gauges” se halla el valor de por medio de una transformacion
de esfuerzos, al plano del cual se conocen las mediciones ( ° ° (Dorado J. & Rincón R., 2013). Para
este caso el ángulo es 45°. La matriz de transformación es la misma que la utilizada previamente para girar
las curvas histeréticas, ajustando las dimensiones para el nuevo cálculo. De esta manera la matriz en el nuevo plano es:
º 0
º 0
0 0 0
donde, ° °, siendo la deformacion unitaria medida en el “strain gauge” diagonal. Entonces se
procede a plantear un sistema de ecuaciones de la siguiente manera:
°∙ ∙ ° °
para hallar el cortante en el plano y completar de esta manera el tensor de esfuerzos (Dorado J. & Rincón R., 2013). El esfuerzo cortante hallado se introduce en la ecuación de flujo de cortante, para encontrar la fuerza real ejercida sobre la lámina de la siguiente manera:
∙ ∙
donde, es el efuerzo cortante, es la inercia de la lámina, es es espesor de la lámina y es el primer
momento del área. Esta se toma como la fuerza medida.
La fuerza medida debería ser comparable a la fuerza teórica encontrada a partir de la siguiente ecuación:
ó ∙
donde, es la carga aplicada medida con la celda, es la rigidez del pórtico calculada en las Figuras
7, 8 y 9 y es el desplazamiento en el tiempo del montaje arrojado por el LVDT. Es evidente que a partir
de lo obtenido en los tres casos el área encerrada por la curva histerética para los datos de fuerza teórica es mayor frente a los de fuerza medida. Esto permite afirmar que debido a la reducida escala del montaje los “strain gauges” no recolectaron datos significativos de la deformación unitaria de la lámina. Previamente en las Figuras 7, 8 y 9 (ensayo dinámico) se evidenció un cambio en el amortiguamiento que corroboró el ensayo resumido en la Figura 6 (ensayo de vibración libre), por lo cual también se esperaría tener curvas con áreas significativas en este ensayo, lo que no se evidencia en las gráficas.
°
4. Guía de Diseño
4.1 Concepción y Pre- Dimensionamiento
a) Definición de las características y la categoría de la estructura según su ubicación geográfica, suelo y tipo de utilización, para establecer los parámetros establecidos en el Reglamento colombiano de construcción sismo resistente (AIS, 2010), de aquí en adelante NSR-10, incluyendo el tiempo requerido de resistencia al fuego. Definición de materiales que se van a emplear y la configuración geométrica en planta y en altura del edificio.
b) Definición del sistema de piso.
c) Cálculo del avalúo de cargas.
4.2 Diseño del sistema resistente a fuerzas verticales
a) Análisis y diseño del tablero metálico basado en la separación de las viguetas para establecer alturas,
calibres y recubrimientos.
b) Análisis y diseño de viguetas para la fase constructiva. Utilizando la Tabla 3-2 del manual “Steel
contruction manual” (AISC, 2005), de aquí en adelante AISC, se obtiene el momento y cortante nominal de las secciones.
c) Análisis y diseño de viguetas para la fase de operación, siguiendo el proceso del literal c). considerando que se trabaja con una sección compuesta para lo cual se utiliza la Tabla 3-19 del AISC. El chequeo en ambos casos se realiza para cortante, flexión y deflexión tomando cargas distribuidas a lo largo de la sección. Una vez diseñadas ambas se toma la dominante como la sección de diseño.
d) Análisis y diseño de vigas de carga para la fase constructiva. Este proceso es similar al de las viguetas,
pero las cargas impuestas son puntuales a lo largo de la luz de la sección según el número de viguetas, incluyendo la carga distribuida del peso propio de la viga.
e) Análisis y diseño de vigas de carga para la fase de operación, siguiendo el proceso del literal d) y
considerando lo establecido en el c) para secciones compuestas. Una vez diseñadas ambas se toma la dominante como la sección de diseño.
f) Análisis y diseño de columnas de gravedad calculando la carga aferente de cada una. De la Tabla 4-1 del
AISC se toman los valores de resistencia a carga axial.
g) Diseño de conexiones de viga-vigueta y viga-columna.
4. 3 Diseño del sistema resistente a fuerzas laterales
a) Determinación de amortiguamiento final de la estructura. Se establece cuanto es el porcentaje adicional
de amortiguamiento que va a tener la estructura. El amortiguamiento total del nuevo sistema va a ser la suma del valor intrínseco propio de los elementos estructurales y del nuevo valor aportado por dispositivo como se ve en la siguiente ecuación:
donde es el amortiguamiento aportado por los disipadores y es el amortiguamiento intrínseco de la estructura.
b) Cálculo de fuerzas de viento utilizando el procedimiento analítico de la NSR-10.
c) Cálculo de fuerzas de sísmicas utilizando el método de fuerza horizontal equivalente (FHE).
d) Cálculo de las cortantes basales de diseño sísmico incluyendo el amortiguamiento de demanda. El nuevo
espectro construido debe incluir los coeficientes de modificación del manual “Minimum Design Loads for Buildings and other structures” (ASCE-7), de aquí en adelante ASCE-7, que considera el efecto del dispositivo sobre el comportamiento general de la estructura.
e) Modelación de la estructura con el pre-dimensionamiento y configuración de los VDW en los pórticos de
la estructura.
f) Determinación de periodos y modos de vibración de la estructura.
g) Cálculo de las fuerzas actuantes sobre el disipador.
Este procedimiento va a seguir lo especificado en el Capítulo 18 del ASCE-7. Primero se calcula del
peso efectivo de la estructura para el primer modo de vibración así:
∑ ∙
∑ ∙
donde, es el componente de la matriz modal en cada grado de libertad para el primer modo y
es la masa en cada grado de libertad en el sentido analizado.
Luego se deben calcular el factor de participación modal y el periodo espectral de diseño para el
primer modo
Γ
∑ ∙ ;
donde, es el parámetro espectral de aceleración de diseño para el primer modo y es el
parámetro espectral de periodo de diseño definidos a partir del tipo de sistema estructural, el tipo de suelo y la ubicación de la edificación especificados en los Capítulos 4 y 11 del ASCE-7.
El siguiente paso es el cálculo del periodo efectivo de la estructura, que remplaza el periodo elástico
intrínseco, debido a la respuesta no lineal del sistema el cual se puede determinar usando la siguiente ecuación:
donde, es el periodo fundamental de la estructura, es el desplazamiento de diseño para el
modo fundamental en el centro de rigidez del nivel de cubierta en la dirección considerada y es el
desplazamiento de fluencia en el centro de rigidez en el nivel de cubierta de la estructura en la dirección de análisis considerado.
A continuación se debe calcular el máximo desplazamiento en cubierta con base en las siguientes
ecuaciones según los dos valores de periodo efectivo hallados previamente:
Para
4 ∙ ∙
∙
4 ∙ ∙
Para 4 ∙ ∙ ∙ 4 ∙ ∙ ∙
donde, y son coeficientes numéricos para amortiguamiento efectivo establecidos en la
Tabla 18.6-1 del ASCE-7. A partir de la relación entre el trabajo realizado en el rango inelástico y el rango elástico de la respuesta de la estructura para una señal armónica se puede obtener el amortiguamiento suplementario aportado por el sistema de disipación viscoso (Landi L., 2013). En la
Figura 12 se muestra gráficamente la definición de la energía disipada ( ) en un ciclo armónico
dinámico en relación al máximo esfuerzo ( ) para un VDW de un grado de libertad.
La ecuación 6 utiliza esta relación para calcular el amortiguamiento efectivo de disipadores en
el grado de libertad del primer modo de vibración así:
∙8 ∙ ∑ ∙
2 ∙ ∙ ∙ ∙ ∑ ∙ (6)
donde, es la masa en el respectivo nivel, es el componente de cada nivel de la matriz modal
para el primer modo, es el periodo fundamental de la estructura, es un coeficiente de no
linealidad debido al amortiguamiento viscoso, es una constante determinada a partir de la FEMA
450 para diferentes valores de , es el máximo desplazamiento relativo en cubierta, es
el total de dispositivos, es el coseno del ángulo en grados en el cual trabaja el dispositivo con
respecto a las fuerzas laterales actuantes y es el componente de cada nivel de la matriz de deriva
modal para el primer modo.
El cálculo estático de las fuerzas actuantes sobre los disipadores no es correcto ya que este
amortiguamiento está directamente relacionado con la velocidad. Por ende, se debe evaluar la fuerza para el caso más crítico en donde la velocidad es máxima y el desplazamiento es nulo (Landi L., 2013). En la Figura 13 se muestra un ciclo de histéresis de un VDW donde A representa la condición de máximo desplazamiento, B máxima velocidad sin desplazamiento y C máxima aceleración. El punto B representa la condición más crítica, es decir la fuerza dominante de diseño sobre cada amortiguador. Por lo tanto, hallando la fuerza actuante en este punto, la fuerza resistente sobre cada dispositivo se calcula de la siguiente manera:
2 ∙ ∙ ∙ ∙ (7)
A medida que aumenta el caso modal, la respuesta del disipador disminuye significativamente, por lo cual se únicamente se utilizan los valores del primer modo (Hwang J., 2000).
Fuerza
Desplazamiento
WD
WS
h) Chequeo de Derivas con base en el ASCE-7 verificando que los valores sean cercanos y menores al 1%. De no serlo se debe retornar al literal e), cambiar la configuración y/o el número de VDWs en la estructura y recalcular los pasos f) y g). El cumplimiento de derivas se realiza con las combinaciones de
carga del Capitulo B de la NSR-10, sin el coeficiente de reducción sísmico .
i) Dimensionamiento del disipador
Para obtener los valores de viscosidad del fluido, el área de contacto requerida y la dilatación, es posible despejar la Ecuación 8 sabiendo cúal es el amortiguamiento objetivo y el amortiguamiento inicial del sistema (Reinhorn A. et al, 1995),
2.48 ∙ 10
1 8528∙ ∙ ∙ 1000 (8)
donde, es la viscocidad en centistokes, es la dilatación entre la pared interna del tanque y la lámina
de acero en metros, es un coeficiente de no linealidad asumido como uno y es el área de contacto en
ambas caras de la lámina con el fluido llenante en m .
j) Diseño de los elementos de borde del amortiguador que toman las cargas actuantes generadas por la
fuerza resistente basado en el Capitulo F de la NSR-10. Con base en la Figura 2(b) de fuerzas internas, se determinan las solicitaciones internas en cada elemento que se resumen en la Tabla 3.
Tabla 3. Solicitaciones sobre elementos de borde.
Columna Viga Conexión
Axial Flexión Cortante
Pandeo Carga Axial Carga Axial
Flexo-tensión Cortante Flexo-compresión
k) Verificación de los pórticos resistentes a momento (PRM) con base en el Capitulo F de la NSR-10.
l) Diseño de conexiones del PRM y la placa base.
m) Representación final de la estructura diseñada.
µ
A B
Fuerza
Desplazamient
C
K
Figura 13. Primer ciclo de histéresis de un VDW.
5. Ejemplo Numérico
5.1 Concepción y pre-dimensionamiento general.
Con el fin de ilustrar el procedimiento del capítulo 4, en el capítulo 5 se desarrolla un ejemplo paso a paso. El procedimiento se basa en la NSR-10 y el ASCE-7. La edificación está ubicada en la ciudad de Pasto, Nariño, zona de amenaza sísmica alta según la NSR-10. El edificio a diseñar está compuesto por 3 pisos con un área
de 1620 m en cada uno, con cuatro luces de 9 m en el sentido este-oeste y cinco luces de 9 m en el sentido
norte-sur, con una altura de entrepiso de 3.9 metros (12.8 ft). Es de uso comercial. Su fachada está compuesta por un sistema de paneles prefabricados con particiones livianas como muros divisorios. Los materiales del edificio se resumen en la Tabla 4.
Tabla 4. Materiales edificación.
Acero A992 Grado 50
50 ksi ; 65 ksi
Concreto ´ 3 ksi
a) Tiempo requerido de resistencia al fuego:
Según la Tabla J.1.1-1 para el uso tipo "oficinas", se tiene una clasificación de tipo Institucional de educación (I-3). Según el grupo de ocupación la categoría de la edificación es Categoría II. Con base en el área y la altura, se está en una categorización de I. La resistencia al fuego requerida se calcula mediante la Tabla J.3.4.3 de la NSR-10 donde a partir de la categoría se definen los tiempos de resistencia al fuego de cada elemento de la construcción.
b) Sistema de Piso:
Para el sistema de piso se recomienda utilizar el tablero metálico con separación entre viguetas de 3 metros, para lo cual se requiere un tablero de altura de 3” de calibre 18 y galvanizado 60 (G60, Z180).
=7.5 cm. Se utiliza concreto liviano (1440-1840 kg/cm ) de 10.5 cm de espesor para una
resistencia al fuego requerida de 3 horas. Al espesor del concreto se debe adicionar el espesor del tablero para encontrar el espesor final de la siguiente manera:
7.5 cm 10.5 cm 18 cm
c) Avalúo de Cargas:
Tabla 5. Avalúo de cargas.
Carga Muerta Carga Viva
Ítem Carga Ítem Carga
Fachada 1.2 kN/m2 Oficinas 2.0 kN/m2
Rociadores 0.15 kN/m2 Sobrepuesta Admisible 11.49 kN/m2
Acabados 1.1 kN/m2 Ductos 0.2 kN/m2
Cielo Raso 0.25 kN/m2
5. 2 Diseño del sistema resistente a fuerzas verticales
a) Diseño del tablero metálico
Primero se debe verificar que la carga sobre impuesta es menor a la carga admisible del tablero en sí mismo.
3.9 2.0 5.9 kN/m 11.49 kN/m → OK!
b) Diseño de viguetas como sección no compuesta (fase constructiva):
Luego se toma un peso inicial para realizar el pre-dimensionamiento de la sección de la vigueta que cumpla con los parámetros establecidos. Durante esta fase únicamente se toman en cuenta las cargas de construcción y el peso propio de la sección no compuesta. Se supone el peso propio de la vigueta de
50 lbf/ft obteniendo un 9.531 kN/m y 16.642 kN/m. A partir de la distribución carga
y los apoyos, el momento y el cortante último son 124.27 Kip ft y 16.816 Kip. Con estos
valores se entra a la Tabla 3-2 del AISC y se toma la sección W14x22.
Chequeo de deflexiones
Con base en la sección tomada se verifica que se cumplan ambos requisitos de deflexión.
min
360, 1 in 25mm;
5 ∙ ∙
384 ∙ ∙ 50.89mm
Al ser mayor al , se debe cambiar a una sección W14x38 que cumpla las deflexiones. La
nueva sección tiene una inercia 385 in . La nueva deflexión 24.21 mm → OK!
Verificación a Flexión
Se estima a partir de la sección tomada sabiendo que 61.6 in .
0.9 ∙ ∙ 230.8 Kip ft M → OK!
Verificación a Cortante
Refiriéndose a la Tabla 3-2 se halla el cortante nominal de la sección y se compara contra el actuante.
131 ∙ Kip → OK!
c) Diseño de viguetas como sección compuesta (fase de operación)
Para esta fase se considera el peso propio de la sección compuesta y la carga viva real. Se supone un peso
propio de la vigueta mayor al anterior, de 60 lbf/ft, una carga viva de 6 kN/m y el peso propio de
la losa de 3.14 kN/m con lo cual 10.3 kN/m y 21.96 kN/m. A partir de la distribución
de la carga y los apoyos, el momento y el cortante último son 164 Kip ft y 22.2 Kip.
Entonces, se selecciona la sección W14x38 tomando como referencia los valores de la fase previa. Los valores de verificación de la sección se ilustran a continuación:
7.76 mm → OK!
383 Kip ft → OK!
El valor del momento nominal para esta fase se toma a partir de la suposición de la ubicación del eje neutro de la sección compuesta con lo cual se entra a la Tabla 3-19 de la AISC. En este caso se supone la posición 5 del eje neutro plástico para la viga escogida.
Se usan pernos de 3/4” como conectores de cortante donde cada uno resiste una fuerza 17.2 Kip a
partir de la Tabla 3-21 del AISC. Se calcula el número de conectores requeridos:
∑
∙ 2 8.4 → 9 conectores
El largo efectivo de la losa permite la colocación del total de conectores.
d) Diseño de vigas sección no compuesta (fase constructiva):
Los cálculos para el diseño de la fase constructiva son iguales que los realizados en la fase de diseño de las viguetas considerando las nuevas cargas y su distribución a lo largo de toda la sección. Se supone un
peso propio de la viga 80 lbf/ft y una carga viva de construcción 1 kN/m con el
cual el 144.2 kN y los valores de fuerza y momento para realizar el pre-dimensionamiento son
33.72Kip y M 328.95 Kip ft. Con base en la inercia obtenida y entrando a la Tabla 3-2 del AISC se toma la sección viga W18x60. Los valores de verificación de la sección obtenidos se ilustran a continuación:
22.4 mm → OK!
404.46 Kip ft M → OK!
273 Kip V → OK!
e) Diseño de vigas cargueras como sección compuesta (fase de operación):
Siguiendo el mismo procedimiento para la fase de operación utilizado para el diseño de las viguetas y contemplando la distribución de las cargas a lo largo de la sección, se supone un peso propio de la viga
80 lbf/ft y una carga viva de operación 2 kN/m con lo cual 285.45 kN y
los valores de fuerza y momento para realizar el pre-dimensionamiento son 637.99 Kip ft
y 65.4 Kip respectivamente. Se selecciona la sección W18x46, tomada con base en la Tabla 3-2 del AISC. Los valores de verificación de la sección obtenidos se ilustran a continuación:
22.7 mm → OK!
804.46 Kip ft M → OK!
293 Kip V → OK!
Se usan pernos de 3/4” con una resistencia individual a cortante 17.2 Kip. Se calculan el número de
conectores requeridos usando la misma relación que la utilizada en viguetas, obteniendo 20 pernos. El largo efectivo de la losa permite la colocación del total de conectores. En la Tabla 6 se resumen las secciones horizontales finales seleccionadas para cada caso.
Tabla 6. Secciones de elementos horizontales.
Viguetas W 14 x 38
f) Diseño de columnas de gravedad:
Se van a seleccionar tres tipos de columnas para toda la estructura. Habrá un único caso de sección para las columnas internas, la cual será determinada a partir de aquella que a mayor carga vertical esté sometida. De igual manera, se hará con las columnas esquineras y las perimetrales. En la Tabla 7 se discriminan las columnas en su respectivo grupo. Luego se hace el cálculo de la sección de cada caso con base en la Tabla 4-1 del AISC.
Tabla 7. Grupos de columnas.
Interna 2B, 2C, 2D,3B, 3C, 3D,4B, 4C, 4D,5B, 5C, 5D
Esquinera 1A,1E,6A,6E
Perimetral 1B,1C,1D,6B,6C,6D,2A,3A,4A,5A,2E,3E,4E,5E
La longitud efectiva de las columnas es de aproximadamente 13 ft. Los valores de diseño para las columnas internas, esquineras y perimetrales respectivamente son:
3pisos ∙ 2 ∙ . 2 ∙ . 597.6 Kip
3pisos . . 262.8Kip/piso
3pisos . 2 ∙ . 328.2Kip/piso
escogiendo para cada caso las secciones resumidas en la Tabla 8. En todos los casos es mucho
mayor a la carga de diseño, por lo cual se considera conservador el diseño.
Tabla 8. Resumen columnas. Tipo
Columna
Carga Diseño Sección
(Kip) Preseleccionada (Kip)
Interna 525 W14 x 68 670
Esquinera 262.8 W14 x 48 361
Perimetral 328.2 W14 x 61 499
g) Diseño de Conexiones.
Conexión viga-vigueta
Las fuerzas actuantes sobre la conexión, es decir el cortante máximo, es 98.7 kN, con lo cual se
hace el pre-dimensionamiento, tomando 3 pernos de 3/4” de diámetro y un espesor de platina de 1/4”. El
largo efectivo 8.5". Según la Tabla 10-9 del manual del AISC, se obtiene que para un espesor
de 1/4” la resistencia es de 38.3Kip y un tamaño de soldadura de 3/16” obteniendo:
38.3 Kip → OK!
La resistencia al aplastamiento y desgarramiento en bloque del alma de la vigueta se determina por medio de la Tabla 10-1 del AISC de la siguiente manera:
200 Kip/in ∙ 0.27 in 54 Kip → OK!
Para verificar la ruptura en cortante del alma de la viga se toma una soldadura 70 ksi en ambos
0.6 ∙ ∙ √2/2 ∙ /16 ∙ 2 0.6 ∙
6.19 ∙
0.28 in 0.41 in W18x60 → OK!
Finalmente se verifican los estados límites de las viguetas cortadas
∙ 98.75 kN ∙ 12.5 cm 12.35 kN-m
" " 0.9 ∙ ∙ → OK!
" " 0.9 ∙ ∙ → OK!
Conexión viga – columna
Esta conexión se realizó usando el Software “RAM Connection V8”. Los resultados se muestran en el Anexo 2.
5.3 Diseño del sistema resistente a fuerzas laterales
a) Basado en la Tabla 11.2.1 de “Dynamics of Structures” (Chopra A., 2007), las estructuras de acero
intrínsecamente tienen un amortiguamiento entre 5% y 7%. Para este caso se toma 5%. Se
determina que el amortiguamiento final de la estructura deseado es del 25%, donde 5% corresponde al aportado intrínsecamente por la estructura y 20% por los VDWs.
b) El cálculo de las fuerzas de viento no se llevará a cabo ya que las fuerzas de diseño de sismo en
Colombia son predominantes sobre las primeras. Una vez se realice el diseño para cargas de sismo se garantiza la resistencia para éstas.
c) Cálculo de fuerzas sísmicas utilizando el método de fuerza horizontal equivalente (FHE):
Se deben tener en cuenta las características del suelo y la ubicación de la estructura para determinar los parámetros establecidos en el Capitulo A de la NSR-10 para caracterizar el espectro de diseño (Figura 14) y parámetros iniciales de diseño resumidos en la Tabla 9.
Tabla 9. Parámetros de diseño
Coeficientes sísmicos de aceleración y velocidad pico efectiva , =0.25
Coeficientes de amplificación de periodos cortos e intermedios =1.15, =1.55
Perfil del suelo Tipo C
Grupo de uso Oficinas (Grupo 1)
Coeficiente importancia I=1
Capacidad de disipación DES
Coeficiente de capacidad de disipación ( sin irregularidades) R=7
Periodo de vibración =0.515 s
Máximo aceleración horizontal de diseño 0.72
Figura 14. Espectro de diseño Pasto.
Tabla 10. FHE.
Placa ∙
(kN) (m) (kN)
1 12765.6 3.9 49786 0.167 4959
2 12765.6 7.8 99572 0.333 9191
3 12765.6 11.7 149358 0.500 13786
∑ 38296.8 298715 1.000 27573.7
d) Cálculo del cortante basal sísmico.
Con base en el Capítulo 18 del ASCE-7 se establece el cortante basal sísmico que incluye los factores
de modificación proporcionales al amortiguamiento establecido definido como:
donde, es el valor de diseño para el cortante basal del modo fundamental en la dirección deseada,
es el valor de diseño para el cortante basal residual en la dirección deseada y se determina como el
mayor entre
15756.40 kN y 0.75 ∙ 20680.28 kN
donde, es el cortante basal calculado a partir de FHE y se toma de la Tabla 18.6-1 del ASCE-7.
Para determinar se determina un coeficiente de respuesta modal para el modo fundamental y el
peso efectivo sísmico de la estructura para el caso modal de análisis . Entonces:
∙ ∙ Ω ∙ 81 0.515 ∙ 3 ∙ 1.750.17 0.55 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Sa, g
donde acelera 1 del A
En el riesgo
donde Colom C. La n
Para c la dista se calc
Para h period cortan El cort 20680 e) Model La mo extern maner v.15, u lateral
, y se ación de dise ASCE-7 para
Capitulo 11, (MCE) así:
, se toma
mbia, se toma nueva aceler
calcular el pe ancia desde l cula de la sig
127
hallar el cort do y el peso
te basal resid
tante basal sí .28 kN, deter
lación de la e
odelación se os en ambos ra independie utilizando PR es. En la Fig
toman del C eño espectral a el amortigu
, Sección 4 d
a de las Fig aron valores ración espectr
eso sísmico s la superficie guiente forma
12765kN ∙
765kN ∙ 11.73.9
tante residua sísmico def dual es
ísmico de dis rminado prev
estructura
realiza supo s sentidos pa ente. Según l RMs y emp gura 15 se mu
Capítulo 12 d para un peri amiento de d
del ASCE-7
guras 22.3 y característico ral de diseño
se calculan p hasta el nive a: 3.9m 11.7m 12 9m 7m 127 ∙
al se utilizan finidos como
913.66kN.
seño equival viamente.
oniendo 8 d ara evaluar la
la configurac potrando las uestra el mod
Figura
del ASCE-7 iodo de 1 seg demanda.
están los pa
∙ 1.7
22.4 respec os de la Tabl o es:
2/3 ∙
rimero los fa el i y es la
765kN ∙11.77.8
765kN ∙ 11.7.8
32825.8 ∙
las mismas
o 0.4 ∙
e a 18077.29
disipadores p a respuesta ción pre-esta columnas qu delo. 15. Modelo para valore
gundo y s
arámetros esp
7 ∙ 0.15 0.2
ctivamente. C la 11.4-1 y 1
0.17
actores de fo a altura total
8m 7m 12765 8m 7m 127 0.55 180 ecuaciones y
9kN, pero al
or piso ubic en cada nive ablecida se m ue contenían
SAP2000.
s característi se determina
pectrales de a
255
Como estas 11.4-2 del AS
orma modal de la edifica
5kN ∙11.7m11.7m
765kN ∙ 11.11.
54.2
anteriores va . Po
ser menor a
cados simétri el el sentido modeló la estr n el sistema
icos de PRM a partir de la
aceleración d
Figuras no SCE-7 para u
/
ación. De esta
7m 7m
32
ariando la d or ende
, el valor
icamente en este-oeste y ructura usan
de resistenc
Ms, es la
a Tabla
18.6-de zona y 18.6-de
aplican para un suelo tipo
donde, es a manera
2825.8kN
efinición del
0.167 y el
de diseño es
los pórticos norte-sur de do SAP2000 cia a fuerzas a -e a o s l l s s e 0 s
f) Determinación de periodos y modos de vibración.
Utilizando el modelo de SAP2000 se obtienen los vectores propios de cada modo de la estructura por medio de un caso modal de carga sin el sistema de disipación. Al ser una estructura tridimensional con diafragma rígido en cada piso se asegura que el grado de libertad traslacional va a ser igual en todos los nodos del mismo nivel para los sentidos este-oeste y norte-sur. Al ser un problema matemático de vectores propios, es posible normalizarlos y hallar los factores modales absolutos de la siguiente manera:
1 0.695 0.284
0.88 s 0.6531 0.247
0.79 s
Finalmente se calculan las matrices de deriva modal, que se definen como la resta entre los valores de las matrices modales normalizadas. El resultado es el siguiente
0.3050.411 0.284
0.3470.406 0.247
g) Cálculo de las fuerzas actuantes sobre el disipador.
Calculados los modos de vibración y los periodos en cada sentido del análisis modal, se halla el peso efectivo de la estructura y el factor de participación modal con base en el Capítulo 18 del ASCE-7. En este caso se utilizan los factores modales hallados en la modelación y no la aproximación del ASCE-7.
12765 ∙ 1 12765 ∙ 0.695 12765 ∙ 0.284
12765 ∙ 1 12765 ∙ 0.695 12765 ∙ 0.284 31971.6 kN
Γ 1 0.695 0.284
1 0.695 0.284 1.26
Para hallar el periodo efectivo se debe encontrar la ductilidad del sistema de manera iterativa,
buscando la convergencia de un valor con base en las ecuaciones del ASCE-7 obteniendo lo siguiente:
/ 4.32; 0.88 ∙ √4.32 1.82 seg
De igual manera es posible corroborar este valor utilizando SAP2000, por medio de un caso de carga estático no lineal tipo “pushover” y otro espectral. Se halla el “performance point”, que corresponde al
punto de deformación para un análisis modal. Este punto es donde se interceptan el espectro de
diseño con la curva resultante del “pushover” (Landi L., 2013). Es necesario realizar un escalamiento del espectro para efectuar el anterior cálculo. El desplazamiento para el cual se forman las primeras rótulas
plásticas corresponde a . Estas se definen con base en el Capitulo 5 de la FEMA 356, en la sección de
diseño no-lineal para conexiones restringidas a momento, utilizando un diagrama de fuerza-deformación para las rotaciones.
Para hallar el periodo espectral de diseño se debe referir a las tablas del ASCE-7. En el Capitulo 11, Sección 4 de la ASCE-7 se definen los parámetros espectrales de aceleración de zona y de riesgo (MCE) así:
∙ 1.2 ∙ 0.25 0.3 ∙ 1.7 ∙ 0.15 0.25
donde, los valores y se toman de las Tablas 11.4-1 y 11.4-2 del ASCE-7 para un suelo tipo C. Con base en esto calculan los parámetros espectrales de aceleración de diseño y el periodo espectral de diseño de la siguiente manera:
2/3 ∙ 0.20; / 0.85 seg
Al ser el desplazamiento máximo en cubierta se define como:
4 ∙ 1.26 ∙
0.17 ∙ 1.82
1.75 4 ∙ 1.26 ∙
0.17 ∙ 0.88
1.75 0.055 m 0.026 m → OK!
Usando la ecuación 6 se encuentra el amortiguamiento con una demanda final del 25% distribuido en 4
amortiguadores en cada piso en cada dirección. Los coeficientes y se toman como 1 y
respectivamente segun la FEMA 450.
0.2 ∙ 8 ∙ 1300387.36 ∙ 1 1300387.36 ∙ 0.611 1300387.36 ∙ 0.284
2 ∙ ∙ ∙ 12 ∙ 1 ∙ 0.305 1 ∙ 0.411 1 ∙ 0.284
1751.28 kN ∙ sm
El siguiente paso es el cálculo de la fuerza actuante sobre cada disipador de acuerdo a la ecuación 9.
2
1.82 s ∙ 1751.28 kN ∙ π ∙ 0.055m ∙
0.305 0.411 0.284
318.57 429.28
296.64 kN
Este mismo procedimiento se debe realizar para cada disipador en el sentido norte-sur para obtener las fuerzas de diseño en esta dirección obteniendo:
2285.07 kN ∙ s
m ;
558.99 654.11 397.85
kN
h) Chequeo de derivas.
El Capitulo 18.6 propone una respuesta amortiguada modificada a partir de factores de la Tabla 18.6 del ASCE-7 para calcular las derivas. El amortiguamiento efectivo final para el desplazamiento de diseño para el primer modo se calcula de la siguiente manera:
25.0%
donde, es el amortiguamiento intrínseco que se tomó previamente como 5%, es el amortiguamiento
viscoso para el primer modo de vibración que corresponde a 20% para este caso , es la ductilidad
previamente calculada y es el componente de amortiguamiento debido al comportamiento de
post-fluencia histerético del sistema de resistencia a fuerzas laterales despreciado en este caso. El cálculo de las derivas se realiza de la siguiente manera:
Δ siendo 4 Γ
donde, y ya se calcularon previamente y corresponde a la deformación residual de un
Tabla 11. Derivas a partir del ASCE-7. Piso Este-Oeste Norte-Sur
3 0.55% 0.35% 2 0.38% 0.23% 1 0.16% 0.09%
A pesar de que las derivas cumplen ante la NSR-10 ya que todos los valores calculados son menores al 1%, son valores muy pequeños lo que indica que la estructura se está sobre dimensionando. Por lo tanto, se sugiere reducir el número de dispositivos para disminuir los costos de construcción, sin salir del margen permitido. La nueva configuración tendrá dos dispositivos en cada sentido de cada nivel ubicados en los pórticos externos, para un total de 4 VDWs por piso. Las ecuaciones para el procedimiento de cálculo de la nueva configuración no varían. Los nuevos valores de diseño son los siguientes:
0.641 0.27
1.19 s 0.581 0.24
1.06 s
9850.74 kN ∙ sm ; 2493.942563.22
1870.46 kN
Este mismo procedimiento se debe realizar para cada disipador en el sentido norte-sur para obtener las fuerzas de diseño en esta dirección.
8486.19 kN ∙ s
m ;
2586.96 2094.21 1478.27
kN
Nuevamente se calculan las derivas utilizando el anterior proceso resumidas en la Tabla 12.
Tabla 12. Derivas con nueva distribución. Piso Este-Oeste Norte-Sur 3 0.96% 0.92% 2 0.88% 0.84% 1 0.77% 0.73%
Con la segunda configuración se optimizó el diseño ya que los valores de derivas son cercanos y menores al 1%. Entonces, se garantiza el diseño de una estructura que cumple la NSR-10 y está optimizando la cantidad de VDWs necesarios para cumplir derivas.
i) Verificación y dimensionamiento del disipador.
Utilizando la Ecuación 8 se encuentra el área de contacto de la lámina tomando como valores característicos la viscosidad del fluido llenante y la dilatación entre la pared interna del tanque y la lámina. En este caso se va a suponer el uso de Polysobutileno con una viscosidad de 20,000cts y una dilatación de 3 mm entre la pared interna del tanque y la lámina (Yeung N. , 2000). El área necesaria es:
8258
j) Diseño de los elementos de borde de amortiguador (EB).
Definidas las fuerzas actuantes sobre cada disipador y el área efectiva se procede a diseñar los EB basados en el diagrama de fueras internas de la Figura 2. La capacidad de la lámina a cortante para garantizar que no fluya según la Sección F.3.6.5.5.2 de la NSR-10 se calcula de la siguiente manera:
0.6 ∙ ∙ 0.6 ∙ ∙ 2.0m ∙ 0.008m 3144.0 kN
donde, A es el plano sometido a la fuerza cortante. Según lo estipulado en el ASCE-7 se calculó
previamente el cortante actuante sobre la lámina del disipador en cada nivel en el literal g), con lo cual se verifica que el dispositivo no va a fluir ante un sismo de diseño como se ve en la Tabla 13.
Tabla 13. Cortantes actuantes sobre dispositivo.
Este - Oeste Norte - Sur
Piso (kN) (kN) (kN)
3 2493.94 2586.76 3144.0 OK!
2 2563.22 2094.21 3144.0 OK!
1 1870.46 1478.27 3144.0 OK!
En la Figura 16 se ilustra un esquema de las fuerzas actuantes sobre cada una de los elementos de borde horizontales (EBH) durante un sismo para las vigas del piso superior resumidas en la Tabla 14. Un modelo de la sección se realiza en SAP2000 para establecer las reacciones en los apoyos que se resumen en la Tabla 15. Los signos de las fuerzas indican su dirección.
Tabla 14. Fuerzas actuantes sobre elementos de borde piso tres.
(kN) (kN-m)
(kN/m) (kN/m) (kN)
3144.0 5659.2 26.25 2 2.5
Tabla 15. Reacciones piso superior.
(kN kN-m) (kN
1073.03 1116.27 1572.0 -769.2 -1475.27 -1572.0
Se pre-dimensiona con base en la Tabla 3-2 del AISC y se toma la sección W21x147. Luego se verifica a flexión teniendo en cuenta que se encuentra totalmente arriostrada a lo largo de toda la luz superior y en los tercios de la luz en el alma. De las Tablas 3-1 y 3-2 del AISC se obtienen los valores de diseño de la sección para el diseño a flexión usando un =1 para ser tener un resultado más conservador. A partir del Capitulo F.2.6 de la NSR-10 el diseño es:
∙ ∙
/ 1 0.0078 ∙ ∙ 246.7 Ksi
∙ 6734 Kip ft; ∙ 1554 Kip ft; 1306.7 Kip ft
0.9 → OK!; 0.9 → OK!
A continuación se debe realizar la verificación a cortante a partir del Capitulo F.2.7 de la NSR-10 de la siguiente manera:
∙ 15.92 in
0.6 ∙ ∙ ∙ 477.36 Kip; 244.26 Kip
Finalmente se realiza la verificación de interacción de con base en el Capítulo F.2.8.1.2 de la NSR-10
verificando que / 0.2:
89 0.89 1 → OK!
Para las EBH del sistema de los pisos uno y dos, el diagrama de fuerzas internas debe incluir el peso del tanque y del fluido del piso superior como se ve en la Figura 17. Las fuerzas actuantes se resumen en la Tabla 16. Incluyendo al anterior modelo las nuevas cargas se realiza un nuevo análisis en SAP2000 para establecer las reacciones (Tabla17).
Tabla 16. Fuerzas actuantes sobre EBH.
(kN) kN- m
kN/m
kN/m kN kN kN
3144.0 5659.2 26.25 2 2.5 8.3 1.2
y
x
Nuevamente se realiza la verificación con esta sección para las nuevas solicitaciones de diseño. La misma sección tomada anteriormente cumple los requisitos de la NSR-10.
Tabla 17. Reacciones pisos uno y dos.
(kN)
(kN-m)
(kN) 1212.4 1300.32 1862.0 -897.7 1582.11 -1862.0
El siguiente paso es el diseño de las columnas o elementos de borde verticales (EBV) los cuales van a estar sometidos a carga por las solicitaciones verticales y por las fuerzas adicionales trasmitidas por el momento generado en el dispositivo como se ve en la Figura 18. En la Tabla 18 se resumen las cargas de diseño a tensión y compresión en las columnas en cada nivel.
Tabla 18. Fuerzas de diseño EBV.
Piso Fuerza (kN)
3 Tensión 769.2
Compresión 1073.2
2 Tensión 1666.2
Compresión 2285.4
1 Tensión 2563.4
Compresión 3197.2
Conociendo que la tensión en los EBV es de 2563.4 kN y la compresión de 3197.4 kN se toma una sección W14x211 con base en la Tabla 4-1 del AISC. Observe que también se debe considerar el momento generado en el VDW trasmitido por la viga a la columna para escoger la sección indicada para el EBH. Primero se verifica el estado de fluencia en tensión tomando el valor de la Tabla 5-1 del AISC y realizando la verificación a partir del Capitulo F.2.4 de la NSR-10:
2790 kip → OK!
