PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

(1)

Universidad de la Rep´

ublica

Facultad de Ingenier´ıa

PROBABILIDAD Y ESTAD´ISTICA

_{Curso 2018 - Primer Semestre}

Pr´

actico 2: Definici´

on axiom´

atica y probabilidad condicional

Ejercicio 1 Un dado cargado

Si un dado est´a cargado de modo tal queP({i}) =αi,∀i= 1,2, . . . ,6. 1. Determinar el valor de α

2. ¿Cu´al es la probabilidad de sacar 5? 3. ¿Cu´al es la probabilidad de sacar par?

Ejercicio 2 Propiedades de la probabilidad

Sea (Ω,P) un espacio de probabilidad, AyB sucesos. Demostrar que:

1. SiA⊂B entoncesP(B\A) =P(B)−P(A). Deducir queP(A)≤P(B). 2. P(A∪B)≥max{P(A),P(B)} yP(A∩B)≤min{P(A),P(B)}.

3. SiA,B yC son sucesos entonces se cumple que:

P(A∪B∪C) =P(A) +P(B) +P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C) +P(A∩B∩C).

4. SiA1, . . . , An son sucesos probar que:

P n [ i=1 Ai ! = X 1≤i≤n P(Ai)− X 1≤i<j≤n P(Ai∩Aj) +· · ·+ (−1)n−1P(A1∩. . .∩An) .

Ejercicio 3 C´alculos a partir de los axiomas

Sean (Ω,P) un espacio de probabilidad,AyB sucesos.

1. Si A y B son tales que P(A) = 1/3 yP(B) = 1/2. Determinar el valor de P(Ac_∩_B_{) en los}

siguientes casos:

(a) AyB incompatibles (A∩B=∅). (b) A⊂B.

(c) P(A∩B) = 1/8.

2. SiAyB son tales queP(A) = 3/8,P(B) = 1/2,P(A∩B) = 1/4. Calcular: (a) P(Ac) yP(Bc).

(b) P(A∪B).

(c) P(Ac∩Bc).

(d) P(Ac∩B) yP(A∩Bc).

Ejercicio 4 Sobre la definici´on de probabilidad condicional

Sea (Ω,P) un espacio de probabilidad, AyB sucesos. 1. CalcularP(A|B) en los siguientes casos:

(a) B⊆A

(b) A∩B=∅

(c) ¿Qu´e pasa siP(B) = 0?

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3. SeanAyB sucesos tales queP(A) =1₄ yP(A∪B) = 1₃. CalcularP(B) en los siguientes casos:

(a) SiAyB son independientes

(b) SiAyB son disjuntos (o incompatibles)

(c) SiAes un subconjunto deB

Ejercicio 5 Usando una tabla de contingencia

Los empleados de una compañ´ıa se encuentran separados en tres divisiones: administración, operación de planta y ventas. La siguiente tabla indica el número de empleados en cada división clasificados por género:

Mujer (M) Hombre (H) Totales Administraci´on (A) 20 30 50 Operaci´on de planta (O) 60 140 200

Ventas (V) 100 50 150

Totales 180 220 400

1. ¿Son O y M incompatibles?

2. Si se elige aleatoriamente un empleado:

(a) HallarP(V|M) yP(V|H). DeducirP(V)

(b) HallarP(M|O),P(M|A) yP(M|V). DeducirP(M)

(c) Indicar si los sucesos V yH son independientes. Justifique su respuesta. (d) Indicar si los sucesosAyM son independientes. Justifique su respuesta.

Ejercicio 6 Sobre la definici´on de independencia

1. En una caja se tienen 4 tickets con dos n´umeros cada uno (1,2) (1,3) (4,2) (4,3) . Se elige un ticket al azar. ¿Los dos n´umeros que aparecen en el ticket son dependientes o independientes? 2. ¿Y si la caja contiene los tickets (1,2) (1,3) (1,3) (4,2) (4,2) (4,3) ?

3. Completar los n´umeros de los tickets de la siguiente caja

(1, ) (1,2) (1,2) (1,3) (3,1) (3,2) (3, ) (3, ) de modo que los n´umeros de un ticket elegido al azar sean independientes.

Ejercicio 7 Independientes dos a dos, ¿y de a tres?

Se tira una moneda dos veces y se consideran los sucesos:

• A={en la primera tirada sale cara},

• B ={en la segunda tirada sale cara},

• C={en las dos tiradas salen un n´umero y una cara, en cualquier orden}. Estudiar la independencia de a pares. ¿SonA, ByC independientes?

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Ejercicio 8 ¿Cu´al es el mejor f´armaco?

Un investigador quiere determinar las eficacias relativas de dos f´armacos. Los resultados (diferenciando entre hombres y mujeres) fueron los siguientes:

Hombres Mujeres

Fármaco I Fármaco II Fármaco I Fármaco II ´

Exito 19 1000 200 10

Fracaso 1 1000 1800 190

1. Calcular la probabilidad de que el F´armaco I tenga ´exito sabiendo que el paciente es hombre. ¿Y sabiendo que el paciente es mujer?

2. Repetir los c´alculos de la parte anterior para el F´armaco II.

3. ¿Cu´al es la probabilidad de elegir al azar una de las personas en tratamiento y que sea mujer? ¿Y de que sea hombre?

4. Calcular la probabilidad de éxito de cada fármaco e indicar cuál de los dos considera más exitoso.

Ejercicio 9 Bolillas y urnas

1. Se consideran tres cajas con bolillas:

La caja 1 contiene 10 bolillas de las cuales 4 son rojas La caja 2 contiene 6 bolillas de las cuales 1 es roja La caja 3 contiene 8 bolillas de las cuales 3 son rojas

Escogemos al azar una caja y luego sacamos una bolilla al azar ¿Cu´al es la probabilidad de que la bolilla sea roja?

2. Se considera una caja que contiene 6 bolillas rojas, 4 blancas y 5 azules.

(a) Se extraen tres bolillas en forma sucesiva y sin reposici´on. Calcular la probabilidad que la primera sea roja, la segunda blanca y la tercera azul. ¿Los resultados son independientes? (b) Repetir la parte anterior, suponiendo que las extracciones se realizan con reposici´on.

3. Se consideran dos cajas con bolas. La caja 1 contiene 3 bolas rojas y 2 azules, la caja 2 contiene 2 bolas rojas y 8 azules. Se lanza una moneda, si se obtiene cara se saca una bola de la caja 1, y si se obtiene cruz se saca una bola de la caja 2.

(a) Hallar la probabilidad que la bola extra´ıda sea roja.

(b) Si se sabe que la bola extra´ıda es roja, ¿cu´al es la probabilidad que provenga de la caja 1? 4. De una caja que contiene 3 bolas rojas y 2 azules se extrae una bola al azar y se la coloca en una

segunda caja que contiene 4 bolas azules y 2 rojas. A continuaci´on, se extrae una bola al azar de la segunda caja.

(a) ¿Cu´al es la probabilidad de que se extraiga la misma bola que se extrajo de la primera caja? (b) ¿Cu´al es la probabilidad de que la bola extra´ıda de la segunda caja sea roja?

(c) Si la bola extra´ıda de la segunda caja es roja, ¿cu´al es la probabilidad de que sea la misma bola que se extrajo de la primera caja?

Ejercicio 10 Anticuerpos del virus del sida

Una prueba para detectar la presencia de anticuerpos del virus del sida en la sangre tiene una probabilidad del 0.997 de detectarlos cuando éstos están presentes y una probabilidad de 0.003 de no detectarlos. Cuando los anticuerpos del virus del sida no están presentes, la probabilidad de que la prueba dé positivo (falso positivo) es de 0.015 y la probabilidad de que dé negativo es 0.9856. Se supone que el 1% de una gran población tiene anticuerpos del virus del sida en su sangre.

1. La información proporcionada incluye cuatro probabilidades condicionales y una probabilidad no condicionada. Asignar letras a los sucesos y expresar la información como P(A), P(B|A) y as´ı sucesivamente. Utilizar esta notación en lo que resta del ejercicio.

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2. ¿Cu´al es la probabilidad de que la persona escogida no tenga anticuerpos del virus del sida y sin embargo el resultado de la prueba sea positivo?

3. ¿Cu´al es la probabilidad de que la persona escogida tenga anticuerpos del virus del sida y el resultado de la prueba sea positivo?

4. ¿Cu´al es la probabilidad de que el resultado de la prueba sea positivo?

5. Hallar la probabilidad de que una persona de la poblaci´on no tenga anticuerpos del virus del sida sabiendo que el resultado de la prueba fue positivo.

6. Supongamos ahora que la probabilidad de que una persona tenga anticuerpos del virus del sida en su sangre esp. Calcular la probabilidad de que la persona tenga dichos anticuerpos sabiendo que el resultado de la prueba fue positivo (en funci´on dep). ¿Cu´anto tiene que valerppara que dicha probabilidad sea mayor que 0.5? ¿Y mayor que 0.9?

Ejercicio 11 Sobre los falsos positivos

Se estima que en Uruguay hay 40.000 personas cel´ıacas. Se asume que la poblaci´on del Uruguay es de 3.400.000 habitantes.

1. Un primer indicio de la enfermedad cel´ıaca es la presencia de un n´umero elevado de anticuerpos IgA endomysial en una muestra de sangre. Se sabe que para dicho examen de sangre:

• la probabilidad de que el examen sea positivo dado que la persona es cel´ıaca es de 0.92 (se denominasensibilidaddel examen).

• la probabilidad de que el examen sea negativo dado que la persona no es cel´ıaca es de 0.985 (se denomina especificidaddel examen)

Calcular las siguientes probabilidades:

(a) Probabilidad de que el examen sea positivo dado que la persona no es cel´ıaca. (b) Probabilidad de que el examen sea negativo dado que la persona es cel´ıaca.

(c) Probabilidad de que el examen sea positivo. Idem para examen negativo. (d) Probabilidad de que la persona sea cel´ıaca dado que el examen es positivo.

2. Otra posibilidad para detectar la enfermedad cel´ıaca en una muestra de sangre es la presencia de anticuerpos IgA tissue transglutaminase. En la tabla siguiente se muestran los resultados obtenidos para una muestra aleatoria de mil personas:

Examen Positivo Examen Negativo

Cel´ıaco 11 1

No Cel´ıaco 40 948

Calcular la sensibilidad y especificidad de este examen.

Ejercicio 12 ¿Sorteo arreglado?

El resultado del sorteo por los cuartos de final de la Champions League del a˜no 2013 fue:

• M´alaga - Borussia Dortmund

• Real Madrid - Galatasaray

• Paris Saint Germain - Barcelona

• Bayern Munich - Juventus

Se puede ver que en estos cruces los 4 equipos grandes (Real Madrid, Barcelona, Bayern Munich y Borus-sia Dortmund) no compiten entre ellos, lo que resulta sin dudas en semifinales y final con mayor atractivo. Muchos comentaristas deportivos en su momento dudaron de la legitimidad del sorteo, suponiendo que el mismo fue irregular (esto es, que el resultado no fue fruto meramente del azar). En lo que sigue se plantea un modelo bayesiano para analizar la legitimidad del sorteo.

Supongamos que en el bolillero hay 4 bolillas marcadas (que corresponden a los 4 equipos grandes) y 4 sin marcar (que corresponden a los otros 4 equipos). Lo ´unico que nos interesa aqu´ı es que los 4 equipos no se crucen entre ellos. Se saca una bolilla y luego otra y eso marca uno de los cruces. As´ı con los cuatro cruces. Por lo tanto queremos que las bolillas marcadas y sin marcar se alternen.

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1. Suponiendo que el sorteo es leg´ıtimo, probar que la probabilidad de que los 4 equipos grandes no se cruces es igual a 8/35. Interpetar este resultado en t´erminos de frecuencias.

2. Se consideran los siguientes sucesos: L={el sorteo fue leg´ıtimo}yE={los cuatro grandes se evitan}. (a) Probar que:

P(L|E) P(Lc_|_E₎ = P(L) P(Lc₎ P(E|L) P(E|Lc₎.

(b) Supongamos que tenemos una creencia a priori que nos indica que la probabilidad de que el sorteo haya sido arreglado es p, esto es P(Lc) =p. Probar que

P(L|E) = 1− 35p/8

1−p+ 35p/8. Esta probabilidad se conoce como “probabilidad a posteriori”.

i. Graficar la probabilidad hallada en funci´on dep. ii. ¿Cu´al ser´ıa la probabilidad a posteriori sip= 0.2?

iii. ¿Cu´al es la m´ınimo valor deppara el cu´al se verifica que la probabilidad a posteriori es menor a 0.5?

Problema divertido

Ejercicio 13 ¿Culpable?

Se ha cometido un asesinato. El asesino es con seguridad una de las dos personas X e Y. Ambas personas están prófugas de la justicia, y luego de una investigación inicial, ambos fugitivos son igualmente probables de ser el asesino. Al avanzar la investigación se revela que el asesino del crimen tiene sangre tipo A. Diez por ciento de la población tiene sangre tipo A. Una investigación suplementaria revela que la personaX tiene sangre tipo A, pero no ofrece información alguna sobre el tipo de sangre de la persona

Y. ¿Cu´al es la probabilidad de que la personaX sea el asesino?

Ejercicios suplementarios

Se sugiere hacer los siguientes ejercicios (con soluci´on) del Cap´ıtulo 1 del libro Probabilidad y Es-tad´ıstica, Serie Schaum, Segunda Edici´on (2003) de Spiegel-Schiller-Srinivasan: del 1.8 al 1.17.

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Preguntas Conceptuales

1. Dos extracciones se har´an al azar y con

reposici´on de la urna 1,1,2,2,3

(a) Si la primera extracción es 1, ¿qué chances hay de sacar 2 en la segunda? (b) Si la primera extracción es 2, ¿qué

chances hay de sacar 2 en la segunda? (c) ¿Cambian las chances si se extrae sin

reposici´on?

2. SiAyBson sucesos independientes yB yC

tambi´en son sucesos independientes. ¿Puede afirmarse queAyC son independientes? En caso afirmativo demostrarlo, en caso contrario dar un contraejemplo.

3. Indicar si la siguiente afirmaci´on es verdadera o falsa: A es independiente de A si y s´olo si

P(A) = 0 ´o P(A) = 1.

4. DadosAyB sucesos no nulos, se cumple que

P(A|Bc_{) = 1}₋_P₍_A_|_B_{). ¿Verdadero o Falso?}

Probar o dar un contraejemplo

5. En una caja se tienen 4 bolillas numeradas del 1 al 4. Se sacan dos bolillas al azar y con reposición. Luego de que se sacan las dos bo-lillas, se pierde la primera y nadie recuerda cuál hab´ıa salido. Pregunta: ¿los resultados de la primer y segunda extracción son inde-pendientes? ¿Verdadero o falso? Explicar. 6. Para alentar la promisoria carrera de tennis

de Pablito, su padre le ofrece un premio si gana al menos dos sets seguidos en una se-rie de tres sets a ser jugados con su padre y con el campeón del club alternadamente. Entonces la serie puede ser: Padre-Campe´ on-Padre o Campeón-Padre-Campeón. Pablito puede elegir cuál serie jugar. Sabiendo que el campeón del club es mejor jugador que el padre, ¿cuál de las dos series deberá elegir? Justifique su respuesta.

7. La probabilidad de un evento A es 1/2. La probabilidad de un evento B es 1/3. Indicar para cada una de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Explicar.

• La probabilidad de que ocurran A y B

debe ser 1/2×1/3 = 1/6.

• Si A y B son independientes, la proba-bilidad de que ambos ocurran debe ser 1/2×1/3 = 1/6.

• Si A y B son incompatibles, la proba-bilidad de que ambos ocurran debe ser 1/2×1/3 = 1/6.

• La probabilidad de que al menos uno de los dos ocurra debe ser 1/2 + 1/3 = 5/6.

• Si A y B son independientes, la proba-bilidad de que al menos uno de los dos ocurra debe ser 1/2 + 1/3 = 5/6.

• Si A y B son incompatibles, la proba-bilidad de que al menos uno de los dos ocurra debe ser 1/2 + 1/3 = 5/6. 8. Una moneda se tira 10 veces. ¿Verdadero o

falso? Explicar:

(a) La probabilidad de obtener 10 caras seguidas es 1/1024.

(b) Dado que las primeras 9 fueron cara, la probabilidad de obtener 10 caras sguidas es 1/2.

9. Una moneda equilibrada se tira cinco veces y hasta ahora todas las veces sali´o cara. ¿Cu´al de las siguientes afirmaciones es la correcta?

(a) Es m´as probable que en la siguiente tirada salga n´umero.

(b) Es igual de probable que en la siguiente tirada salga cara o n´umero.