SISTEMAS MIXTOS 1.- SISTEMA ELECTRO-MECANICO
Sistema de control de velocidad de un motor DC por un circuito de campo representado por una resistencia Rf y una inductancia Lf . El voltaje aplicado al campo Ef se obtiene de un amplificador a baja potencia. La corriente Ia es suministrada por una fuente o una línea AC. La carga TL es la carga que se le aplica al motor (entrada del sistema).
Rf Circuito equivalente del campo Ef Lf If J T (motor)
ω
TL (carga) Ia (ctte)Objetivo: Determinar la respuesta dinámica la velocidad angular del eje ω(t) ante una variación del voltaje Ef(t) y como función de la carga del motor TL(t). Suposiciones:
1.- Corriente Ia constante
2.- Comportamiento lineal de los elementos Constantes:
k1 = Constante propia del motor Rf = Resistencia Ia = Corriente de la armadura Lf = Inductancia
Br = Coeficiente viscoso de fricción k1 = Constante de prop. J = Inercia de la armadura km = Constante del motor Variables:
ω(t) = velocidad angular del eje
If (t) = Corriente del campoφ(t) = Flujo magnético del campo
TL(t) = Torque de carga Ef (t) = Voltaje aplicado al campo Tf (t) = Torque de fricción ER (t) = Voltaje en la resistencia EL(t) = Voltaje en el inductor T(t) = Torque o par desarrollado por el motorMODELO MATEMATICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES
• Ley de Kirchoff en la parte eléctrica
) t ( E ) t ( E ) t ( Ef = R + L (1)
• Ley de Newton en la parte mecánica
dt ) t ( d J ) t ( T ) t ( T ) t ( T − f − L =
ω
(2) • Ecuaciones constitutivas ) t ( B ) t ( Tf = r ω (3) ) t ( I R ) t ( ER = f f (4) dt ) t ( dI L ) t ( EL = f f (5) • Ecuaciones de transformación ) ( ) (t f I f T = (6) ) ( ) (t fω
EL = (7)Para encontrar estas relaciones de transformación sabemos que: ) ( ) (t =kf I f t
φ
(8) I t k t T( )= 1φ
( ) a (9)Sustituyendo (8) en (9) ) ( ) (t k1 I k I t T = a f f (10) ) t ( k ) t ( EL =
ω
(11)Modelo completo del sistema electro-mecánico:
dt ) t ( d J ) t ( T ) t ( B ) t ( I I km a f − r ω − L = ω (12) dt ) t ( dI L ) t ( I R ) t ( Ef = f f + f f (13)
MODELO MATEMATICO EN FUNCION DE TRANSFERENCIA
Expresando las ecuaciones (12) y (13) en variables de perturbación:
dt ) t ( d J ) t ( T ) t ( B ) t ( I I k * * L * r * f a m ω = − ω − (14) dt ) t ( dI L ) t ( I R ) t ( E * f f * f f f = + (15)
Aplicando Transformada de Laplace:
) ( ) ( ) ( ) ( * * * * s Js s T s B s I I km a f − r
ω
− L =ω
(16) ) ( ) ( ) (s R I * s L sI * s Ef = f f + f f (17)y manipulando convenientemente:
(
J s B)
(
K I I (s) T (s))
) s ( m a f* L* r * − + = ω 1 (18)(
)
E (s) R s L ) s ( I f* f f * f = + 1 (19)donde TL queda como una perturbación al sistema.
DIAGRAMA DE BLOQUES ) s ( TL* - + ) s ( I f* a m I k s J Br + 1 ) s ( Ef* ) R s L ( f + f 1
ω(s)
2.- SISTEMA ELECTRICO-MECANICO ROTACIONAL-MECANICO TRASLACIONAL L2 J r M1 M2 L1 + E -b2 K2 L k eb K1 b1
Objetivo: Determinar la respuesta dinámica de la velocidad v1(t) de la masa M1 ante una variación en el voltaje de entrada E(t).
Suposiciones:
1.- La resistencia del sub-sistema eléctrico tiene una relación no-lineal 2.- Los amortiguadores del sub-sistema mecánico tienen relación no-lineal 3.- No existe fricción
Constantes:
K1, K2 = Constantes de los resortes b1 , b2 = Cttes. de fricción viscosa r = radio del cilindro L1, L2 = Longitudes de la barra J = Momento de inercia M1 , M2 = Masas
L = Inductancia Kb ,K = Cttes. del motor k = Ctte. de relación en la resistencia
Variables:
ω
j(t) = velocidad angular del eje i(t) = Corriente del circuito eléctricoτ(t) = Torque del motor
τ
rueda(t) = Torque de la ruedaeb(t)= fuerza contraelectromotriz frueda(t) = fuerza de la rueda fresorte1(t), fresorte2(t) = fuerza de los resortes
famort1(t), famort2(t) = fuerza de los amortiguadores f1(t), f2(t) = fuerzas
MODELO MATEMATICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES • Sub-sistema eléctrico 0 = − − −eL eR eb E (74)
• Sub-sistema mecánico rotacional
dt d J j rueda j ω = τ − τ (75)
• Sub-sistema mecánico traslacional1
dt dv M f f f
frueda − resorte1− amort1− 1= 1 1 (76)
• Sub-sistema mecánico traslacional2
dt dv M f f f2 − resorte2 − amort2 = 2 2 (77) • Ecuaciones constitutivas dt di L eL = (78) 2 i k eR = (79)
∫
= 1 1 1 K v fresorte (80) 2 1 1 1 b v famort = (81)∫
= 2 2 2 K v fresorte (82) 2 2 2 2 b v famort = (83)• Ecuaciones de transformación eb = Kbωj (84) Eléctrico-mecánico rotacional τj =K i (85) τrueda =r frueda (86) Mecánico rotacional-traslacional j rueda v1 r 1 = =
ω
ω
(87) 2 2 1 1 v L L v = − (88) Mecánico traslacional1-traslacional2 1 2 1 2 f L L f = (89)Sustituyendo las ecuaciones constitutivas y de transformación en las ecuaciones (74), (75), (76) y (77): 0 2 − ω = − − k i Kb j dt di L E (90) dt d J f r i K − rueda = ωj (91) 1 2 1 1 1 1 1 1 f K v b v f dt dv M = rueda −
∫
− − (92) 2 2 2 2 2 2 2 2 f K v b v dt dv M = −∫
− (93)1 j v r 1 = ω (87) 2 2 1 1 v L L v =− (88) 1 2 1 2 f L L f = (89)
Organizando las ecuaciones (87), (88), (89), (90), (91), (92) y (93) se obtiene el modelo matemático del sistema:
j b K i k E dt di L = − 2 − ω (94) rueda j f r i K dt d J ω = − (95) 1 2 1 1 1 1 1 1 f K v b v f dt dv M = rueda −
∫
− − (92) 2 2 2 2 2 2 2 2 f K v b v dt dv M = −∫
− (83) 1 j v r 1 = ω (87) 2 2 1 1 v L L v =− (88) 1 2 1 2 f L L f = (89)MODELO MATEMATICO EN FUNCION DE TRANSFERENCIA
Linealizando las ecuaciones y restando el estado estacionario
* * * * 2kii Kb j E dt di L = − −
ω
(96) * rueda * * j f r i K dt d J ω = − (97) * * 1 * * rueda * f v v b v K f dt dv M1 1 = − 1∫
1 −2 1 1 − 1 (98) * 2 * * * v v b v K f dt dv M2 2 = 2 − 2∫
2 −2 2 2 (99) * 1 * j v r 1 = ω (100) * * v L L v 2 2 1 1 =− (101) * * f L L f 1 2 1 2 = (102)Tomando transformada de Laplace: ) ( ) ( 2 ) ( ) ( * * * * s E s ki I s K W s I s L = − − b j (103) ) s ( F r ) s ( I K ) s ( W s J j* = * − rueda* (104) ) s ( F ) s ( V v b ) s ( V s K ) s ( F ) s ( V s M1 1* = rueda* − 1 1* −2 1 1 1* − 1* (105) ) s ( V v b ) s ( V s K ) s ( F ) s ( V s M2 2* = 2* − 2 2* −2 2 2 2* (106) ) s ( V r ) s ( Wj* =1 1* (107) ) s ( V L L ) s ( V* 2* 2 1 1 =− (108) ) s ( F L L ) s ( F * 1* 2 1 2 = (109)
