Matemáticas para Ingenierías. en el ITCJ. Cálculo Diferencial

Matemáticas para Ingenierías

en el ITCJ

Cálculo Diferencial

Índice general

I

CÁLCULO DIFERENCIAL

1

1. Números Reales 3

1.1. Clasificación de los números reales . . . 3

1.2. Propiedades . . . 4

1.3. Los números reales y los puntos de la recta . . . 4

1.3.1. Conversión de números racionales. . . 5

1.3.2. Expansiones decimales. . . 5

1.4. Desigualdades . . . 7

1.4.1. Propiedades de las desigualdades . . . 8

1.4.2. Lineales . . . 8 1.4.3. Cuadráticas . . . 10 1.4.4. De Valor Absoluto . . . 11 2. Funciones y gráficas 15 2.1. Motivación . . . 15 2.2. Definición de función . . . 15

2.3. Otra clasificación de las funciones . . . 16

2.4. Representaciones de una función . . . 16

2.4.1. Analítica, gráfica, tabular y verbal . . . 16

2.5. Clasificación de las funciones por sus propiedades . . . 17

2.5.1. Funciones crecientes y decrecientes . . . 17

2.5.2. Funciones pares e impares . . . 17

2.5.3. Funciones simétricas . . . 17

2.5.4. Funciones periódicas . . . 17

2.5.5. Funciones definidas por secciones . . . 17

2.6. Funciones algebraicas y trascendentes . . . 17

2.6.1. Funciones algebraicas . . . 17

2.6.2. Trascendentes . . . 17

2.7. Operaciones con funciones . . . 17

2.8. Composición de funciones . . . 18

2.9. Inversa de una función . . . 18

2.10. Traslación de funciones . . . 18 2.11. Funciones implícitas . . . 18 3. Límites y continuidad 21 3.1. Definición de límite . . . 21 3.2. Propiedades . . . 21 3.3. Límites laterales . . . 22 3.4. Asíntotas rectilíneas . . . 22 3.5. Límites especiales . . . 22 3.6. Definición de continuidad . . . 22 3.7. Propiedades de la continuidad . . . 22 iii

4. La Derivada 25

4.1. Definición de derivada . . . 25

4.2. Interpretación geométrica y física . . . 26

4.3. Derivación de funciones . . . 26

4.3.1. Derivación de funciones algebraicas . . . 26

4.3.2. Derivación de funciones trascendentes . . . 26

4.3.3. Derivación de funciones implícitas . . . 26

4.4. Derivación sucesiva . . . 26

4.5. Funciones hiperbólicas y sus derivadas . . . 26

4.6. Teorema de Rolle y teorema del valor medio . . . 26

5. Aplicaciones de la derivada 27 5.1. Regla de L’Hopital . . . 28

5.2. Aplicaciones geométricas y físicas . . . 28

5.3. Trazado de curvas . . . 28

5.3.1. Máximos y mínimos . . . 29

5.3.2. Monotonía de una función . . . 29

5.3.3. Criterio de la primera derivada . . . 29

5.3.4. Concavidad y punto de inflexión . . . 29

5.3.5. Criterio de la segunda derivada . . . 29

5.4. Tasas relacionadas . . . 29

5.5. Problemas de optimización . . . 30

6. Diferenciales 35 6.1. Definición de diferencial . . . 35

6.2. Incrementos y diferenciales, interpretación geométrica . . . 35

6.3. Teoremas típicos de diferenciales . . . 35

6.4. Cálculo de diferenciales . . . 35

6.5. Cálculo de aproximaciones usando la diferencial . . . 35

II

FORMULARIO

37

ÍNDICE GENERAL v

Dedico este libro a mis amigos cuya familiaridad me hace dudar de su amistad.

Parte I

CÁLCULO DIFERENCIAL

Cap´itulo Primero

N ´umeros Reales

“La reducción al absurdo, que Euclides amaba tanto, es una de las armas más finas del matemático. Es muchísimo más fina que cualquier gambito en el ajedrez; un jugador de ajedrez puede ofrecer el sacrificio de un peón o hasta de una pieza, pero un matemático ofrece el juego”.

G. H. Hardy. “Mathematics is the subject in which we never know what we are talking about, nor what we are saying is true”.

Bertrand Russell. “Die Wissenschaftler rechnen damit, dass sie eines Tages eine Theorie haben, die alles erklärt, so dass nichts mehr erklärt werden muss”. “Los científicos esperan algún día tener una teoría que lo explique todo para que nada más necesite ser explicado”

Albert Einstein.

Veremos la forma en la cual está constituída la estructura de los números reales. Este conjunto de los números reales es fundamental para el estudio del cálculo diferencial e integral. El entendimiento del conjunto de los números reales, se dió hasta el surgimiento del llamado Cálculo.

1.1.

Clasificación de los números reales

La forma en que vamos a clasificar a los números reales es por medio de sus subconjuntos.

Números naturales.El primer conjunto de números que vamos a abordar es el conjunto de los números naturales, lo repre-sentamos por N = {1, 2, 3, . . .}, que se lee: “N es el conjunto de los números que van desde el uno, de uno en uno, hasta el infinito”. Este conjunto también se conoce como el conjunto de los números de contar. Por convención, aquí, el conjunto de los números naturales comienza exactamente en el 1, en otras convenciones éste conjunto puede comenzar en el 0.

Números enteros.Enseguida tenemos el conjunto de los números enteros, este conjunto contiene al conjunto de los números naturales, a los números negativos y al cero. Se representa como Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}. En este caso, los puntos suspen-sivos en ambos lados indican que los enteros se recorren desde el infinito negativo hasta el infinito positivo.

Números racionales.Tenemos ahora al conjunto de los números racionales, que son todos los números que se pueden escribir

como el cociente de dos números enteros, siendo el denominador diferente de cero, esto es, Q = {pq; q , 0 | p, q ∈ Z

1_{}. Tomemos}

en cuenta que las expresiones1

2 y 4

8 representan, ambas, dos expresiones diferentes de números enteros, sin embargo, sabemos

que representan el mismo número racional.

Números irracionales.El conjunto de los números irracionales son el complemento de los números racionales, esto es, si un

número racional se puede escribir como un cociente de dos enterosp_qcon el denominador diferente de cero, q , 0, entonces un

número irracional no se puede escribir como cociente de dos números enteros. Se representa como Q0= Qc.

Números reales.Finalmente, diremos que el conjunto de los números reales, es la unión del conjunto de los números

racio-nales y el de los números irracioracio-nales, esto es, R = Q ∪ Q0.

1_{División por cero.De acuerdo con la forma que tienen los números racionales, cualesquier número se puede escribir como el cociente de dos números}

enteros, p/q donde necesariamente q , 0. Siendo esto así, ¿que sucede con la división por cero? Tenemos los casos: a) la división cero entre cero, 0/0, de acuerdo con el algoritmo de la división, el resultado de esta división es cualquier número, y b) la división uno entre cero, 1/0, por el mismo algoritmo, no existe un resultado de dividir uno entre cero.

U= R Z N Z Q Q0 Subconjuntos de R N = {1, 2, 3, . . .} Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} Q = n_p q, q , 0 y p, q ∈ Z o Q0= Qc R = Q ∪ Q0

1.2.

Propiedades

Sean x, y y z números reales cualesquiera, se cumplen las siguientes propiedades

i. Cerradura de la suma. Si x, y ∈ R, entonces x + y ∈ R.

ii. Cerradura de la multiplicación. Si x, y ∈ R, entonces xy ∈ R.

iii. Conmutativa de la suma. x+ y = y + x para todo x, y ∈ R.

iv. Conmutativa de la multiplicación. xy= yx para todo x, y ∈ R.

v. Asociativa de la suma. x+ (y + z) = (x + y) + z para todo x, y, z ∈ R.

vi. Asociativa de la multiplicación. x(yz)= (xy)z para todo x, y, z ∈ R.

vii. Inverso aditivo. Para todo x ∈ R existe un −x ∈ R tal que x + (−x) = 0.

viii. Inverso multiplicativo. ∀x ∈ R, con x , 0, existe un 1

x tal que x · 1 x = 1.

ix. Elemento neutro de la suma. x+ 0 = 0 para todo x ∈ R

x. Elemento neutro de la multiplicación. 1x= x para todo x ∈ R

xi. Distribuiva. x(y+ z) = xy + xz

xii. Transitiva. Si x= y y y = z, entonces x = z

1.3.

Los números reales y los puntos de la recta

Si nos damos a la tarea de representar de una forma gráfica a los números reales, una forma es hacerlo por medio de puntos:2

Primero “dibujamos” un punto que va a representar al número 1, enseguida, a una distancia arbitraria y hacia la derecha ponemos otro punto que será el número 2, repetimos el mismo proceso para el número 3 y así sucesivamente dibujamos a todos los números naturales.

Enseguida, sobre la misma secuencia de puntos, pero en sentido contrario (hacia la izquierda) dibujamos al cero (siguiendo la misma distancia abritraria), luego continuamos con el −1, el −2, y todos los negativos. En este momento ya tenemos dibujados a todos los enteros.

Para dibujar a los números racionales, primero ponemos en la mitad, entre dos puntos a los medios, y después enmedio de éstos a los cuartos, luego a los octavos, etc.

Al finalizar este proceso, por simple inspección llegamos a la conclusión de que obtuvimos una línea “sólida”, solo que en

realidad no está completamente sólida, tiene algunos “huecos”3_{, estos huecos, serán los llamados números irracionales. Esto es}

lo que conforma lo que conocemos como recta de números reales4_.

2_{Aquí se podría entrar en una discusión filosófica sobre lo que es un punto, esto es, en la definición de punto, sin embargo, no es la intención de este curso.}

Simplemente diremos que un punto es la marca que deja la punta un lápiz al tocar la superficie de una hoja de papel.

3_{De hecho, aunque la línea parezca sólida, tiene más huecos que puntos.}

4_{Un estudio exhaustivo y formal de la construcción de los números reales se puede ver en Foundations of Analysis, Edmund Landau, 2nd. Ed. (New York: Chelsea}

1.3. LOS NÚMEROS REALES Y LOS PUNTOS DE LA RECTA 5

1.3.1.

Conversión de números racionales.

Conversión de números en forma de fracción a cantidades decimales.

En ocasiones es importante saber si una cantidad en forma decimal se puede representar como una fracción. Por ejemplo, al resolver un sistema de ecuaciones lineales, si usamos cantidades decimales en los resultados, al momento de comprobar las soluciones si usamos dichas cantidades decimales podríamos llegar a resultados que no serían los esperados, es por eso que necesitamos saber como realizar la conversión entre números en forma decimal y en forma fraccionaria.

Para convertir un número fraccionario a decimal, se efectúa la división, es decir, tomar el numerador de la fracción como el dividendo y el denominador como divisor y realizamos la operación indicada (con el procedimiento conocido como “la casita”). Al efectuar la división de dos números enteros, podemos encontrar dos diferentes comportamientos en su expansión

de-cimal, pongamos como ejemplo la fracción 3

8, después de efectuar la división, su representación decimal es el número 0.375,

mientras que por otra parte, la fracción1₃tiene una representación decimal 0.333 . . ., estos puntos suspensivos al final del último

3, significan “y así sucesivamente5_{”. ¿Qué queremos decir con esta última frase? Pues que la división no ha sido exacta, o que}

no hemos podido hacer que el residuo de la división sea cero. A partir de esta observación, podemos clasificar las expansiones decimales de la siguiente forma.

1.3.2.

Expansiones decimales.

Expansiones decimales.

En un sentido estricto, todas las expansiones decimales son infinitas de acuerdo al algoritmo de la división, sin embargo,

para hacer una distinción, diremos que las expansiones decimales son finitas6_{o infinitas. Si es finita entonces, tal número es un}

número racional. Por otra parte, si la expansión decimal es infinita, es necesario verificar si es una expansión decimal infinita periódica o no periódica. Si es no periódica, entonces se trata de un número irracional, si es periódica, entonces el número es racional. Veamos el siguiente diagrama.

Expansiones decimales              Finitas∈ Q Infinitas        Periódicas∈ Q No periódicas< Q

Los números con expansión decimal infinita periódica también pueden escribirse de forma abreviada por medio de un símbolo testa que en este caso significará periodo ya que en Estadística se usa para indicar media o promedio. Por ejemplo, el número 0.333. . . , donde los puntos decimales indican que la sucesión de treses continúa hasta el infinito puede reescribirse como sigue:

0.333 . . . = 0.3. Otros ejemplos son:

1.111 . . . = 1.1 0.001666 . . . = 0.0016 0.121212 . . . = 0.12 0.08333 . . . = 0.083 0.123412341234 . . . = 0.1234 0.142857142857142857 . . . = 0.142857, etc.

Como se puede ver en los ejemplos, hay números en los cuales solamente se repite solo un dígito, en otros dos dígitos, etc. Si en una expansión decimal infinita periodica se repite un dígito, se dice que es de periodo uno, si son dos, de periodo dos y así sucesivamente dependiendo de la cantidad de dígitos que se repiten.

5_{También suele utilizarse la testa para indicar el período, por ejemplo 0.333 . . . = 0.3.} 6_{Si su expansión decimal es de ceros después de algún último otro número.}

Conversión de decimales periódicos a fracciones. EJEMPLO 1.1. Convertir el número 0.83030303. . .

Para convertir un número con expansión decimal periódica a fracción, primero lo igualamos a una incógnita, digamos que

f = 0.8303030 . . . (1.1)

notamos lo siguiente: (a) se repite la cifra 30, que está compuesta de dos dígitos, entonces m= 2, y (b) el punto decimal está a un

lugar (n= 1) a la izquierda de donde comienza el período, entonces primero multiplicamos (1.1) por 10n_{= 10 así que tendremos}

10 f = 8.303030 . . . (1.2)

y ahora multiplicamos esta ecuación (1.2) por 10m_{= 100 y tenemos}

1000 f = 830.303030 . . . (1.3)

Ahora vemos que ambas partes decimales son idénticas, entonces restamos (1.2) de (1.3) y tenemos

1000 f = 830.303030 . . .

10 f = 8.303030 . . .

el resultado de efectuar la resta es

990 f = 822

ya que la expansión decimal es la misma en ambas ecuaciones su diferencia es cero. Despejando y simplificando la f tenemos

f = 137

165.

La importancia de los números irracionales.

Ya dijimos que los números irracionales son números con expansiones decimales no periódicas, también dijimos que son el complemento de los números racionales, así que, por estas características, los números irracionales no pueden escribirse como el cociente de dos números racionales o dicho de otra forma, no existen dos números racionales cuyo cociente sea un número irracional.

¿Cómo podemos asegurar que tal afirmación es cierta? Euclides (325–265 a. n. e.) demostró la irracionalidad7 _de √_{2, con}

un método muy interesante llamado método de reducción al absurdo8 _{o prueba por contradicción. ¿Pero, en verdad son}

importantes son los números irracionales? ¿Para qué sirven?

Veamos el siguiente ejemplo. Si tenemos dos rectas, por ejemplo, las rectasL1 : 2x+ 3y = 6yL2: 3x+ 2y = 4y necesitamos

(más que nada, esto es una necesidad espiritual) conocer el punto en el que se van a intersecar. Primero, despejamos la misma variable de cada ecuación e igualamos las dos variables despejadas, esto es, por ejemplo,

x= 6 − 3y

2 y x=

4 − 2y 3

y la propiedad transitiva nos lleva a

x=x =⇒ 6 − 3y

2 =

4 − 2y 3

que resolviendo para x e y tenemos

x= 0, y = 2 o también (0, 2).

Y así, mostramos que la intersección de las rectas es en un punto cuyas componentes son números racionales. En general, el resultado que se obtiene en la intersección de dos rectas, digamos L1 : a1x+ b1y= c1y L2: a2x+ b2y= c2donde a1, a2, b1, b2, c1y

c2∈ Z es (x0, y0), donde x0= b1c2− b2c1 a2b1− a1b2 y y0= a1c2− a2c1 a1b2− a2b1

que son números racionales.

7 _{Se cuenta que Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales intentando escribir la raíz cuadrada de 2 en forma de fracción}

(usando geometría ya que los matemáticos griegos en realidad eran geómetras). Pero en su lugar demostró que no se puede escribir como fracción, así que es irracional. Este hecho no complació a Pitágoras, que para su desgracia no podía aceptar que existieran este tipo de números, –los consideraba monstruosos– creía que todos los números tienen valores perfectos y estaban en razón unos con otros. Como no pudo demostrar que los “números irracionales” de Hipaso no existían, ¡tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó!

1.4. DESIGUALDADES 7 Por otra parte, si encontramos las intersecciones entre una recta que pasa por el orígen cuya pendiente es 1, y una

circunfe-rencia con centro en el orígen y radio 2, esto es, L : x − y= 0 y C : x2_{+ y}2_{= 4, usando el método de sustitución, vemos que una}

de las dos intersecciones es ( √

2,√2). En éste caso, ¿qué significa el símbolo

√

2? Significa que debemos encontrar un número

que al elevarlo al cuadrado debe ser igual a 2. ¿Podremos encontrar un número entero, decimal,9 _{o mejor dicho, racional que}

represente a este símbolo, es decir a la raíz cuadrada10_{de 2?}

Empecemos a aproximar un número que elevado al cuadrado sea igual a 2, si hacemos 12_{= 1 < 2, por otra parte, si hacemos}

22= 4 > 2, entonces un número en el intervalo (1, 2) nos da la aproximación (1, 4) y si reducimos el primer intervalo (1.4, 1.5)

nos da (1.96, 2.25), que acota más al 2. Otra aproximación (1.41, 1.42) nos da (1.9881, 2.0164). Hagamos una tabla para concentrar los datos.

Intervalo del número Intervalo del cuadrado

(1, 2) (1, 4)

(1.4, 1.5) (1.96, 2.25)

(1.41, 1.42) (1.9881, 2.0164)

(1.414, 1.415) (1.999396, 2.002225)

(1.4142, 1.4143) (1.99996164, 2.00024449)

Sabemos por algunos medios que √

2 ≈ 1.41 42 13 56 23 73 09 50 48 80 16 88 72 42 09 69 80 78 56 96 71 87 53 76 94 80 73 17 66 79 73

-79 90 98 76 54 32 34 56 78 76 54 32 46 77 65 33 45 67 89 8. . . y en verdad, saber cuales son los dígitos que siguen después de los

puntos suspensivos es en verdad un gran problema. Una primera aproximación para la raíz cuadrada de 2, sería como sigue:

Símbolo_√ Decimal Racional

2 1.4 ≈ 7 5 √ 2 1.41 ≈ 141 100 √ 2 1.414 ≈ 707 500 √ 2 1.4142 ≈ 7071 5000 √ 2 1.41421 ≈ 141421 100000

Sin embargo, vemos que no podemos continuar aproximando a la raíz cuadrada de dos si no sabemos qué decimal sigue. El proceso para calcular estos decimales está fuera del alcance de este curso.

El númeroπ (a 100 decimales) es11_{igual a:}

3.14 15 92 65 35 89 79 32 38 46 26 43 38 32 79 50 28 84 19 71 69 39 93 75 10 58 20 97 49 44 59 23 07 81 64 06 28 62 08 99 86 28 03 48 25 34 21 -17 06 79. . .

1.4.

Desigualdades

Ya una vez definida la estructura de los números reales, es necesario establecer un orden12entre ellos. Si de la recta numérica

tomamos arbitrariamente dos números, podemos encontrar que estos, o bien son iguales, o bien son diferentes. Esto es un 9_{Recordemos que todo número decimal periódico se puede escribir como un cociente de dos números enteros donde el denominador debe ser diferente de}

cero.

10_{Una muy buena aproximación es}99 70.

11_{En esta página electrónica hay una lista de números irracionales a los cuales se les ha calculado una gran cantidad de dígitos:}

http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html

principio o ley llamada Ley de dicotomía y que se enuncia a continuación:

Ley de Dicotomía. Sean a y b dos números reales cualesquiera, entonces se cumple exactamente una de dos i. a= b

ii. a , b

A pesar que esta ley diferencía entre dos números reales, sin embargo, no describe con exactitud la diferencia entre ellos ya que si esto podría ser que el primero sea mayor que el segundo, o que el primero sea menor que el segundo. Para contemplar éste casi enunciamos una ley llamada Ley de tricotomía.

Ley de Tricotomía. Sean a y b dos números reales cualesquiera, entonces se cumple que i. a= b

ii. a< b

iii. a> b

En otros términos, si tenemos dos números reales, para saber si el primero es menor que el segundo, verificamos que su

diferencia sea negativa, esto es, con símbolos, a< b ⇔ a − b < 0. De la misma forma, para saber si el primer número es mayor

que el segundo, verificamos que su diferencia sea positiva, esto es, a> b ⇔ a − b > 0.

Ya en posesión de este símbolo, nos damos cuenta que en realidad es el mismo en los dos casos, pero hay que tener en cuenta

la forma de leerlo, por ejemplo, el símbolo> si se lee de izquierda a derecha (como es habitual en nuestro sistema de escritura)

es “mayor que”, sin embargo, si lo leemos de derecha a izquierda, entonces sería “menor que”. Por convención, siempre leemos

de izquierda a derecha, así que, el símbolo de menor que es<. Las relaciones que se dan con estos símbolos son llamadas

desigualdades o inecuaciones.

Una conjetura personal.Me he preguntado varias veces a qué se debe que el símbolo de mayor o menor tengan esa forma y creo que es algo bastante sencillo. Empezando por el signo de igual que se interpreta como que lo que está del lado derecho tiene la misma magnitud que lo que está en el lado izquierdo, y en la desigualdad mayor que, el lado izquierdo tiene una mayor distancia mientras que el lado derecho es un vértice nada mas.

Las desigualdades juegan un papel muy importante en la matemática, en este caso, en el cálculo. Una desigualdad es una proposición matemática que nos dice que un número real dado es mayor o menor que otro y que entre estos dos, hay una cantidad infinita de elementos.

1.4.1.

Propiedades de las desigualdades

Sean a, b y c números reales, entonces i. Si a< b, entonces a + c < b + c. ii. Si a< b y c < d, entonces a + c < b + d. iii. Si a< b y c > 0, entonces ac < bc. iv. Si a< b y c < 0, entonces ac > bc. v. Si 0< a < b, entonces 1 a > 1 b.

Las desigualdades originales en las propiedades 1, 2 y 3 se mantienen a pesar de la operación indicada, mientras que en la propiedad 4 el sentido de la desigualdad cambia.

1.4.2.

Lineales

EJEMPLO 1.2. Resolver la desigualdad5x − 2> 3x − 4.

Solución. Despejemos la x, esto es, por álgebra vamos a llegar a la forma Ax> B, entonces la desigualdad original es

5x − 3x> −4 + 2 o

1.4. DESIGUALDADES 9 y al despejar la x tenemos como resultado

x> −1. Este resultado es equivalente a los siguientes:

x> −1 (−1, ∞) {x|x> −1}.

EJEMPLO 1.3. Resolver la desigualdad2x − 5 ≤ 8x+ 1.

Solución. Despejemos la x, esto es, por álgebra vamos a llegar a la forma Ax ≤ B, entonces la desigualdad original es

2x − 8x ≤ 1+ 5

o

−6x ≤ 6 y al despejar la x tenemos como resultado

x ≥ −1. Este resultado es equivalente a los siguientes:

x ≥ 1 [1, ∞) {x|x ≥ 1}

EJEMPLO 1.4. Resolver la desigualdad doble3x − 2> 7x − 3 > x − 4.

Solución. Vamos a formar dos desigualdades lineales, esto es, 3x − 2> 7x − 3 y 7x − 3 > x − 4. Resolviendo la primera tenemos

−4x> −1 o x < 1

4. La segunda desigualdad es 6x> −1 o x > −

1

6 y para encontrar la solución general tomamos la intersección de

estos dos intervalos así que, la solución es

−1 6 < x < 1 4  −1 6, 1 4   x      −1 6 < x < 1 4 

EJEMPLO 1.5. Resolver la desigualdad doble −x+ 4 ≤ 5x + 2 < 2x + 1.

Solución. Vamos a formar dos desigualdades lineales, esto es, −x+ 4 ≤ 5x + 2 y 5x + 2 < 2x + 1. Resolviendo la primera

tenemos −6x ≤ −2 o x ≥ 1

3. La segunda desigualdad es 3x< −1 o x > −

1

3y para encontrar la solución general tomamos la unión

de estos dos intervalos así que, la solución es

−1

3 ≥ x> 1 3

1.4.3.

Cuadráticas

EJEMPLO 1.6. Resolver la desigualdad cuadrática x2− 3x − 4 ≤ 0

Solución. Factorizamos la expresión cuadrática como (x − 4)(x+ 1) ≤ 0. Cada uno de los factores los igualamos a cero y al

despejarlos, estos valores nos servirán para formar tres intervalos, por ejemplo, si los valores que obtuvimos fueron 4 y −1,

entonces los intervalos13_{serán (−∞, −1), (−1, 4) y (4, ∞). Ya podemos acomodarlos en la primer fila de la tabla:}

(−∞, −1) (−1, 4) (4, ∞) (x − 4)

(x+ 1)

Producto

En la primer columna tenemos los dos factores de prueba, y para llenar los renglones vacíos, procedemos de la siguiente forma. Tomamos un valor numérico en el intervalo de (−∞, −1), por ejemplo, −2 y lo sustituímos en cada expresión de la primer columna, del resultado solo tomamos el signo, entonces tenemos

(−∞, −1) (−1, 4) (4, ∞)

(x − 4) −

(x+ 1) −

Producto +

El último signo es el resultado del producto de los dos primeros factores, esto es, de la expresión original, hacemos lo mismo con las otras dos columnas, tomamos, por ejemplo, 0 para la columna central y 5 para la columna derecha y llenamos la tabla.

(−∞, −1) (−1, 4) (4, ∞)

(x − 4) − − +

(x+ 1) − + +

Producto + − +

Y como la solución de la desigualdad cuadrática exige que sea negativa, el resultado está en los intervalos que tienen signo negativo, esto es, en (−1, 4). Nos fijamos que la desigualdad original es menor o igual a cero, en este caso, el resultado final será el intervalo cerrado [−1, 4]. En el caso que solamente fuera menor, sin signo de igual, entonces el intervalo queda abierto.

EJEMPLO 1.7. Resolver la desigualdad cuadrática x2_{+ 5x + 6 ≥ 0}

Solución. Factorizando queda (x+ 2)(x + 3) ≥ 0. Los valores encontrados para formar los intervalos son −2 y −3, los valores

de prueba pueden ser −4, −2.5 y 0, entonces la tabla será:

(−∞, −3) (−3, −2) (−2, ∞)

(x+ 2) − − +

(x+ 3) − + +

Producto + − +

Nuevamente la desigualdad nos exige que sea mayor o igual que cero, entonces la solución viene dada por la unión de los intervalos de la izquierda y de la derecha. Esto es, para encontrar la solución debemos usar a los intervalos (−∞, −3) (−2, ∞) y además con el signo igual de la desigualdad original tenemos que la solución es (−∞, −3] ∪ [−2, ∞).

Podemos resolver las desigualdades más rápidamente, sigamos un atajo con el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 1.8. Resolver la desigualdad cuadrática x2_{+ 4x − 5 ≤ 0}

Solución. Sigamos unos pasos:

i. Factorizamos la expresión cuadrática: (x+ 5)(x − 1) ≤ 0.

ii. Los valores de cada factor nos dan los intervalos: (−∞, −5), (−5, 1) y (1, ∞).

iii. Si la desigualdad es menor o menor igual, escogemos el intervalo de enmedio, de lo contrario, si la desigualdad es mayor

o mayor igual, escogemos con una unión los intervalos de los extremos. (−∞, −5] ∪ [1, ∞)

1.4. DESIGUALDADES 11

La idea de la tabla se puede extender a desigualdades de diversas formas, entre ellas

Ax+ B

Cx+ D , 0, (x − a)(x − b)(x − c) , 0

y el símbolo , se usa para indicar que en ese lugar va alguna de las desigualdades menor, menor igual, mayor o mayor igual.

1.4.4.

De Valor Absoluto

Motivación.¿Qué significado tiene el valor absoluto? Si decimos que el valor absoluto “convierte” cualesquier número, ya sea positivo o negativo en un número positivo, estamos cometiendo un ligero error. Para ejemplificar veamos la siguiente lista:

X | − 3 | = 3 X | 4 | = 4 X | − 8.5 | = 8.5 X | − π | = π

Si pensamos inductivamente, llegaríamos a la siguiente cuestión. ¿Acaso es verdad que

| − x |= x (1.4)

para cualesquier valor de x? Ahora el problema es que (1.4) es una ecuación y si cambiamos el valor de x por un valor positivo o cero, no va a haber ningún problema. La igualdad se mantiene. Sin embargo, si el valor que sustituyamos es negativo la igualdad no se mantiene.

Lo anterior nos lleva a definir el valor absoluto de la siguiente forma: | x |=

(

−x, x < 0

x, x ≥ 0

Esto quiere decir que si el tomamos el valor absoluto de un número negativo escogemos la definición en el primer renglón y si tomamos el valor absoluto de un número positivo escogemos la definición en el segundo renglón.

Como ya señalamos anteriormente, las desigualdades juegan un papel muy importante en la matemática y también en la vida diaria, por ejemplo, en México, una persona es menor de edad hasta que cumpla 18 años, esto es, un mexicano es

menor de edad cuando 0 ≤ e < 18, donde la e representa una variable para la edad. Si vamos a el cine a ver una película,

podemos decir que el tiempo de duración es de una hora y media a dos horas y media y lo podemos representar como 1.5 < t < 2.5 donde t es el tiempo en horas. Por otra parte, si tenemos una resistencia con las especificaciones 120Ω ± 10 % esto quiere decir que su valor puede variar 12Ω arriba o abajo, esto es, puede variar desde desde 108 hasta 132 ohms o 108 ≤ Ω ≤ 132.

En la resolución de las desigualdades de valor absoluto, usaremos el siguiente teorema

TEOREMA 1.1. Sea u una expresión algebraica y k ∈ R, entonces

i. | u |< k ⇐⇒ −k < u < k

ii. | u |> k ⇐⇒ −k > u > k

iii. | u | ≤ k ⇐⇒ −k ≤ u ≤ k

iv. | u | ≥ k ⇐⇒ −k ≥ u ≥ k

La simbología en los primeros dos incisos se deben leer de la siguiente forma: −k< u < k

quiere decir que el valor de −k es menor que u,Yu es menor que k. Por otra parte,

−k> u > k

quiere decir que el valor de −k es mayor que u,Ou es mayor que k.

En la siguiente tabla se resumen los tipos de desigualdades finitas e infinitas con sus nombres y diferentes formas de representación: intervalo, desigualdad y de conjuntos.

Nombre Intervalo Desigualdad Conjunto gráfica

Abierto (a, b) a< x < b {x | a< x < b} 

Cerrado [a, b] a ≤ x ≤ b {x | a ≤ x ≤ b} 

Semiabierto (a, b] a< x ≤ b {x | a< x ≤ b} 

Semiabierto [a, b) a ≤ x< b {x | a ≤ x< b} 

Abierto izq. (a, ∞) x> a {x | x> a} →

Cerrado izq. [a, ∞) x ≥ a {x | x ≥ a} _→•

Abierto der. (−∞, b) x< b {x | x< b} ←(

Cerrado der. (−∞, b] x ≤ b {x | x ≤ b} ←(•

Infinito (−∞, ∞) a ≥ x ∪ x ≥ a {x | a ≥ x ∪ x ≥ a} ←→

1.4. DESIGUALDADES 13

Ejercicios de práctica

i. Convierte los siguientes números en forma decimal a fracción, recuerda simplificar totalmente cada fracción.

1. 0.111 . . . 2. −1.252525 . . . 3. 0.016 4. 0.24 5. 0.008333 . . . 6. 1.999 . . . 7. 3.163

ii. Resuelve las siguientes desigualdades lineales. Escribe la solución con todas las notaciones. Incluye sus respectivas

gráficas. 8. 2x+ 7 > 3 9. 3x − 11< 4 10. 1 − x ≤ 2 11. 4 − 3x ≥ 6 12. 2x+ 1 < 5x − 8 13. 1+ 5x > 5 − 3x 14. −1< 2x − 5 < 7 15. 1< 3x + 4 ≤ 16 16. 0 ≤ 1 − x< 1 17. −5 ≤ 3 − 2x ≤ 9 18. 4x< 2x − 1 ≤ 3x + 2 19. 2x − 3< x + 4 < 3x − 2

iii. Resuelve las siguientes desigualdades cuadráticas. Escribe la solución con todas las notaciones. Incluye sus respectivas

gráficas. 20. (x − 1)(x − 2)> 0 21. (2x+ 3)(x − 1) ≥ 0 22. 2x2+ x ≤ 1 23. x2< 2x + 8 24. x2_{+ x + 1 > 0} 25. x2_{+ x > 1} 26. x2_{< 3} 27. x2≥ 5 28. (x − 2)2≥ 2 29. x2_{< 5x + 14}

iv. Resuelve las siguientes desigualdades de valor absoluto. Escribe la solución con todas las notaciones. Incluye sus

respec-tivas gráficas. 30. |x|< 3 31. |x| ≤ 3 32. |x − 4|< 1 33. |x − 6|< 0.1 34. |x+ 5| ≥ 2 35. |x+ 1| ≥ 3 36. |2x − 3| ≤ 0.4 37. |5x − 2|< 6 38. 1 ≤ |x| ≤ 4 39. 0< |x − 5| < 2 v. Problemas de aplicacion.

40. El número de horas de trabajo x para fabricar un pro-ducto no es menor que dos y media ni mayor que cua-tro.

41. Para una compañía que fabrica termostatos el costo combinado de mano de obra y materiales es de $5 dó-lares por termostato. Los costos fijos (costos que se dan independientemente de la producción) son de $60,000 dólares. Si el procio de venta del termostato es de $7 dó-lares. ¿Cuántos termostatos deben venderse para que la compañía obtenga utilidades?

42. A una persona se quedó sin empleo le dieron su liqui-dación y quiere evaluar si compra una soldadora o la renta para poder trabajar en forma independiente, si renta la máquina, el pago mensual sería de $6,000 (con base en un año) y el costo diario de soldadura, energía y mantenimiento sería de $600 por día que sea utiliza-da. Si la compra, su costo fijo anual sería de $40,000 y

los costos de operación y manteniemiento serían $800 por cada día que la máquina sea utilizada. ¿Cuál es el número mínimo de días que tendría que usarse la máquina para justificar la renta en lugar de la compra? 43. Si el intervalo de temperatura para Montreal Canadá,

durante enero es de −15 < C◦ _{< −5, determine el}

in-tervalo en grados Farenheit en Montreal para el mismo periodo.

44. La compañía Carrillo fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20.00 y un costo unitario de $15.00. Si los costos fijos son de $600,000.00 determine el número mínimo de unidades que deben ser vendidas para que la compañía tenga utilidades.

45. Una pelota se lanza hacia arriba, de modo que su altura

despues de t segundos es 4+128t−16t2pies. Determine

el tiempo durante el cual la pelota estará arriba de una altura de 196 pies.

vi. Problemas avanzados.

46. Demuestra que √

2 es irracional.

47. Demuestra que la raíz cuadrada de un número primo es irracional.

48. Demuestra que la suma de dos racionales es otro racio-nal pero la suma de dos irracioracio-nales no necesariamente es irracional.

49. Demuestre que entre dos racionales diferentes cuales-quiera siempre existe otro racional.

50. Demuestra que entre dos irracionales diferentes cuales-quiera siempre existe otro irracional.

51. Demuestra que entre dos reales diferentes cualesquiera siempre existe otro real.

52. Demuestra que el producto de dos números pares es par.

53. Demuestra que el producto de dos números impares es otro impar.

54. Demuestra que si n es par, entonces n2_{es par.}

55. Demuestra que si n es impar, entonces n2es impar.

56. Demuestra que si a , 0 entonces a2_{> 0.}

57. Demuestra que si |x|< 1 entonces x2_{< x.}

58. Demuestra que si |x|> 1 entonces x2> x.

59. Demuestra que el producto de un racional y un irracio-nal es un irracioirracio-nal.

60. Demuestra la desigualdad triangular |x+ y| ≤ |x| + |y|.

61. Demuestra la desigualdad de Cauchy-Schwarz (a1b1+

. . . + anbn)2≤ (a2₁+ . . . + a2n)(b21+ . . . + b 2 n)

62. Demuestra la desigualdad entre la media geométrica y la media aritmética

√

ab ≤a+b₂ .

63. Demostrar la desigualdad de Bernoulli (1+ a)n_{≥ 1+ an}

si a> −1.

64. Si a> 0 y b > 0, demuestra que a2_{> b}2_{sí y solo sí a> b.}

65. Si a> 0, b > 0 y a , b, demuestra que a b2 + b a2 > 1 a+ 1 b. 66. Si a> 0, b > 0 y a , b, demuestra que a b+ b a > 2.

67. Determina los valores de k para que 3x2_{+ kx + 4 = 0}

Cap´itulo Segundo

Funciones y gr ´aficas

2.1.

Motivación

Cuando tenemos una cantidad que de alguna forma varía, entramos al estudio de las funciones. Por lo general decimos que una cantidad varía con respecto (o que depende) de otra. Podríamos por ejemplo, estudiar la forma en cuánto, al paso de los días, una planta crece. En otro ejemplo podemos analizar c (econónomicamente hablando) por semana.

En el primer ejemplo nos damos cuenta que existen dos cantidades que cambian o varían: el tamaño (en unidades de longitud) y los días (en unidades de tiempo). En el otro ejemplo tenemos el gasto y las semanas.

En ambos casos, una cantidad “depende” de otra, esto es, el tamaño de la planta depende de cuantos días han transcurridos, asímismo, el gasto depende de cuantas semanas han pasado.

De esta forma, afirmamos que el tamaño de la planta y el gasto económico son variables dependientes mientras que los días y semanas son variables independientes.

2.2.

Definición de función

DEFINICIÓN 2.1. Provisional

Una función f es una regla que asigna un elemento x de un conjunto llamado dominio exactamente a un elemento y de un conjunto llamado contradominio.

DEFINICIÓN 2.2. Rigurosa

Una relación es un conjunto de pares ordenados. Una función es una relación F tal que si (x, y) ∈ F y (x, z) ∈ F,

entonces y= z. Si F es una función, el dominio de F se define como dom F = {x | (x, y) ∈ F para algún y} y la imagen

de F, que se denota como im F se define como im F= {y | (x, y) ∈ F para algún x ∈ dom F}.

Se debe entender pues, que el dominio de una función es el conjunto de valores de la recta real X que se asignan a la función,

sin que por ello se incurra en operaciones no definidas tales como divisiones por cero o raíces cuadradas1de números negativos.

Clasificación de funciones.

Las funciones se clasifican en elementales y no elementales. Las funciones elementales son aquellas que pueden expresarse

con una sola fórmula. Las funciones elementales se clasifican en algebraicas y trascendentes. Las algebraicas2_{son las polinomiales,}

las racionales y las irracionales. Las trascendentes3 _{son las trigonométricas, las trigonométricas inversas, las exponenciales, las}

logarítmicas, las hiperbólicas y las hiperbólicas inversas.

1_{De hecho, las raíces pares de números negativos no tienen resultados en los números reales, esto es, raíces como} 2n√

x donde n es un natural y x< 0.

2_{Definición.Un número complejo es algebraico sobre Q si es una raíz de una ecuación polinomial con coeficientes constantes. Por tanto, x es algebraico si}

hay números racionales a0, a1, . . . , anno todos cero, tal que anxn+ an−1xn−1+ . . . + a0x0= 0.

3_{Definición.Un número complejo es trascendente si no es algebraico, esto es, si no es raíz de cualquier polinomio con coeficientes reales.} 15

Como ejemplo de funciones no elementales tenemos: la función valor absoluto, escalón unitario, máximo entero, signo, Dirichlet, Ackerman, entre otras. Vea la siguiente clasificación.

Funciones                                                                  Elementales                                    Algebraicas          Polinomiales Racionales Irracionales Trascendentes                      Trigonométricas Trigonométricas Inversas Logarítmicas Exponenciales Hiperbólicas Hiperbólicas Inversas No elementales                          Valor absoluto Escalón unitario Máximo entero Mantisa Signo Dirichlet Ackerman

2.3.

Otra clasificación de las funciones

Inyectivas Son las funciones en las que cada elemento del contradominio se asocia con uno y sólo un elemento del dominio. En las funciones inyectivas no hay dos parejas que tengan la misma segunda componente.

DEFINICIÓN 2.3. Una función f es 1-1 (se dice “uno a uno”) si y sólo si, para todo x1, x2en el dominio de f , f (x1)= f (x2) implica

que x1= x2. En esencia, esto dice que una función 1-1 es la que asume cada valor en su imagen exactamente una vez.

Suprayectivas Son las funciones en las que el rango y el contradominio son iguales, es decir que todos y cada uno de los elementos del segundo conjunto están asociados con algún elemento del primer conjunto.

Biyectivas Son las funciones que son a la vez inyectivas y suprayectivas. No tienen parejas con la misma segunda componente y el rango es igual al contradominio.

2.4.

Representaciones de una función

Al surgir la necesidad de examinar la variación de una magnitud en relación con la variación de otra llegamos al estudio de las funciones.

2.4.1.

Analítica, gráfica, tabular y verbal

Las funciones se pueden expresar de diversas formas, tenemos la representación analítica, que son las fórmulas matemá-ticas o expresiones. Las representaciones gráficas son esquemas del comportamiento de las funciones. Las representaciones tabulares son tablas de valores numéricos del comportamiento de variables y las representaciones verbales son, precisamente descripciones verbales de la relación que hay entre ciertas variables.

De la representación tabular de una función, llegamos a la notación funcional

y= f (x)

donde el símbolo f (x) significa que la función f o y (que es la misma) se evalúa en el valor de x dado4_{. Por ejemplo, considerando}

la función f (x)= x2_{+ 2x, f (x) significa que x}2_{+ 2x se va a evaluar con x = 3, entonces 3}2_{+ 2(3) = 15, es decir f (3) = 15.}

Funciones: Lineal y= mx+b, cuadrática y = ax2_{+bx+c ó y = a(x−h)}2_{+k, cúbica y = ax}3_+bx2_{+cx+d ó y = a(x−h)}3_{+k, inversa}

y= _x−ha + k, valor absoluto y = a|x − h| + k, raíz cuadrada y = a

√

x − h+ k exponencial y = aex−h_{+ k, logarítmica y = a log}

bx − h+ k,

seno y= a sin (x − h) + k, coseno y = a cos (x − h) + k, tangente y = a tan (x − h) + k

2.5. CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES POR SUS PROPIEDADES 17

2.5.

Clasificación de las funciones por sus propiedades

2.5.1.

Funciones crecientes y decrecientes

DEFINICIÓN 2.4. Una función es creciente en un intervalo I ⊂ R si para todo par de números reales x0, x1∈ I con x0< x1tenemos que

f (x0)< f (x1).

DEFINICIÓN 2.5. Una función es decreciente en un intervalo I ⊂ R si para todo par de números reales x0, x1 ∈ I con x0< x1tenemos

que f (x0)> f (x1).

2.5.2.

Funciones pares e impares

DEFINICIÓN 2.6. Una función es par si para todo x ∈ R de su dominio, tenemos que f (−x) = f (x). DEFINICIÓN 2.7. Una función es impar si para todo x ∈ R de su dominio, tenemos que f (−x) = − f (x).

Si una función no es par, ni impar, se dice que es ninguna de las dos.

2.5.3.

Funciones simétricas

i. Toda f (x) que sea par es simétrica con respecto al eje Y.

ii. Toda f (y) que sea par es simétrica con respecto al eje X.

iii. Toda f (x) que sea impar es simétrica con respecto al origen.

2.5.4.

Funciones periódicas

2.5.5.

Funciones definidas por secciones

2.6.

Funciones algebraicas y trascendentes

2.6.1.

Funciones algebraicas

2.6.2.

Trascendentes

2.7.

Operaciones con funciones

Suma: dos funciones f y g se pueden sumar de la siguiente forma f (x)+ g(x) = ( f + g)(x). Resta: dos funciones f y g se pueden restar de la siguiente forma

f (x) − g(x)= ( f − g)(x).

Multiplicación: dos funciones f y g se pueden multiplicar de la siguiente forma f (x) · g(x)= ( f g)(x).

División: dos funciones f y g se pueden dividir de la siguiente forma f (x) g(x) = f g ! (x) siempre y cuando g(x) , 0.

2.8.

Composición de funciones

Sean g : A → B y f : B → C funciones5. Entonces f ◦ g es la siguiente función:

f ◦ g : A → C x → f (g(x)) Es decir, ( f ◦ g)(x)= f (g(x)).

Si f y g son como arriba y h= f ◦ g, entonces decimos que h es una factorización de f y g. Esto lo podemos expresar mediante

el siguiente diagrama:

A g // B f // C

h= f ◦g

ff

Sea R1 una relación de un conjunto A a B y R2una relación del conjunto B a C. La composición de R1 y R2, que se denota

R2◦ R1, es la relación de A a C definida como

R2◦ R1= {(x, z)|(x, y) ∈ R1y (y, z) ∈ R2para alguna y ∈ B}

EJEMPLO 2.1. La composición de las relaciones

R1= {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)}

y

R2= {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}

es

R2◦ R1= {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u)}

2.9.

Inversa de una función

DEFINICIÓN 2.8. Función inversa

Sea S una relación, entonces lo contrario de S, escrito como ˆS, está definido por

ˆ

S= {(x, y)|(y, x) ∈ S}

EJEMPLO 2.2. Calcular la inversa de y= f (x).

Solución. Sea y= f (x) una función biyectiva. Entonces f (x) = y puede expresarse como x = f (y) así que f−1_{(x) = f (y)|}

y=x.

EJEMPLO 2.3. Calcular la inversa de f(x)= x3_{− 4.}

Solución. Sea f (x)= y, entonces, x3_{− 4= y y despejemos ahora x, por álgebra, x =p y}3 + 4, luego tenemos que x = f (y), así que

f (y)=_{p y}3 _{+ 4 y la inversa de la función es f−1}

(x)= f (y)|y=x= 3

√

x+ 4

2.10.

Traslación de funciones

Sea y= f (x) una función de variable real, para todo par de valores h, k ∈ R, el desplazamiento vertical está dado por y = f (x)+k

y el desplazamiento horizontal está dado por y= f (x − h) y la traslación es el movimiento combinado, y = f (x − h) + k.

2.11.

Funciones implícitas

Cuando una función esta totalmente expresada en términos de una variable independiente, digamos x, se dice que es una función explícita.

DEFINICIÓN 2.9. Una ecuación f(x, y) = 0 define a y como una función implícita de x.

El dominio de una función implícita consta de ciertas x para las cuales existe una única y tal que f (x, y) = 0.

5_{Tomemos en cuenta que si la función g es una función que va de A a B, esto es g : A → B, decimos que g(a)= b y si la función f va de B en C es decir,}

2.11. FUNCIONES IMPLÍCITAS 19

Problemas.

i. Grafica las siguientes funciones lineales.

1. f (x)= 2 −1 2x 2. f (x)= x + 8 3. f (x)= 6₅x − 3 4. f (x)= −x + π2 5. f (x)= −1₃x 6. f (x)= 2₅x −1₃

ii. Grafica las siguientes funciones cuadráticas.

7. f (x)= x2_{− 2} 8. f (x)= 2x2_{− x − 2} 9. f (x)= x2_{− 4x+ 3} 10. f (x)= x2_{− 2x+ 2} 11. f (x)= 2x2_{− x − 1} 12. f (x)= 9 − x2 13. f (x)= 2 + 3x − x2 14. f (x)= x2_{+ x − 2} 15. f (x)= x2_{− x} 16. f (x)= x2+ 3 17. f (x)= (x − 3)2 18. f (x)= 2x2_{+ x} 19. f (x)= x2_{+ 6x} 20. f (x)= 4x − x2 21. f (x)= 5 − x2

iii. Grafica las siguientes funciones cúbicas.

22. f (x)= x3_{− x}2 23. f (x)= x3_{− x} 24. f (x)= 9x − x3 25. f (x)= x3− 4x 26. f (x)= 5x2_{− x}3 27. f (x)= 4x − x3 28. f (x)= −x3_{+ 2x}2 29. f (x)= x3− 7x+ 6 30. f (x)= (x − 1)3+ 2 31. f (x)= x3_{+ x}2_{− 12}

iv. Grafica las siguientes funciones de valor absoluto.

32. f (x)= | − x| 33. f (x)= −| − x| 34. f (x)= |x + 1| 35. f (x)= |x| + 1 2 36. f (x)= |x − 4| + 2

v. Encuentra el dominio y contradominio de las funciones.

37. f (x)=

√ x

vi. Problemas avanzados.

38. Si f (x)= 1_x, demostrar que f (a) − f (b)= f_b−aab . 39. Si f (x)= x2_{− 2x, demostrar que f (x+ 1) = f (−x).}

vii. Aplicaciones. En electrónica, el voltaje de una fuente se puede determinar de acuerdo con su resistencia interna R_Sy su

resistencia de carga RL, cuando ésta última es variable, tenemos VL(RL)= f VSdonde f es una fracción del voltaje de la

fuente, así f = RL

RS+RL por tanto VL(RL)= RLVS RS+RL = VS

− VSRS

RL+RS. Suponga que RS= 0.1Ω, VS= 12 v y RLes variable. ¿Para qué

Cap´itulo Tercero

L´imites y continuidad

3.1.

Definición de límite

Presentaremos tanto la definición informal de límite, como la definición rigurosa de él. Aunque para nuestro propósito, solamente aplicaremos la definición informal para realizar los cálculo de límites que veremos a lo largo de este capítulo.

DEFINICIÓN 3.1(Provisional). El l´ımx→x0 f (x)= L significa que cuando x está cerca, pero diferente de x0, entonces f (x) está cerca de L.

DEFINICIÓN 3.2 (Rigurosa). El l´ımx→x0f (x) = L significa que para cada  > 0 (no importa que tan pequeño sea) existe una

correspondienteδ > 0, tal que | f (x) − L| < , siempre que 0 < |x − x0|< δ, esto es,

0< |x − x0|< δ ⇒ | f (x) − L| < .

3.2.

Propiedades

Sean f y g funciones que tengan límites en x0. Entonces

i. l´ım x→x0 k= k ii. l´ım x→x0 x= x0 iii. l´ım x→x0 k f (x)= k l´ım x→x0 f (x) iv. l´ım x→x0 [ f (x)+ g(x)] = l´ım x→x0 f (x)+ l´ım x→x0 g(x) v. l´ım x→x0 [( f (x) − g(x)]= l´ım x→x0 f (x) − l´ım x→x0 g(x) vi. l´ım x→x0 [ f (x)g(x)]= l´ım x→x0 f (x) l´ım x→x0 g(x) vii. l´ım x→x0[ f (x)/g(x)] = l´ımx→x0f (x)/ l´ımx→x0 g(x) viii. l´ım x→x0 [ f (x)]n=  l´ım x→x0 f (x) n ix. l´ım x→x0 n p f (x)= n q l´ım x→x0 f (x)

EJEMPLO 3.1. Calcular el límite de la función

l´ım x→1 √ x+ 3 − 2 5 − √ x+ 24

Solución. Al evaluar el límite en el valor al que tiende x, encontramos una indeterminación, así que vamos a aplicar alguna técnica para calcular este límite. Multipliquemos ambas expresiones (del numerador y del denominador) por sus respectivos conjugados. Primero multiplicamos por el conjugado del numerador, esto es, por

√ x+ 3 + 2 en el denominador y en el numerador, entonces l´ım x→1 √ x+ 3 − 2 5 − √ x+ 24 = l´ımx→1 √ x+ 3 − 2 5 − √ x+ 24 · √ x+ 3 + 2 √ x+ 3 + 2= l´ımx→1 x − 1 (5 − √ x+ 24)( √ x+ 3 + 2) 21

ahora multiplicamos este límite por el conjugado del denominador, esto es, l´ım x→1 x − 1 (5 − √ x+ 24)( √ x+ 3 + 2) ·(5+ √ x+ 24) (5+ √ x+ 24) = l´ımx→1 (x − 1)(5+ √ x+ 24) (1 − x)( √ x+ 3 + 2) y simplificando, llegamos a l´ım x→1 −(5+ √ x+ 24) ( √ x+ 3 + 2)

y evaluando el límite, tenemos

l´ım x→1 −(5+ √ x+ 24) ( √ x+ 3 + 2) = − 10 4 = − 5 2

3.3.

Límites laterales

DEFINICIÓN 3.3. Se dice que el límite de f(x) cuando x se aproxima a x0por la derecha es L1, y se denota

l´ım

x→x+₀ f (x)= L1

si para cualquier > 0, existe un δ > 0 tal que

| f (x) − L1|< , siempre que 0 < x − x0< δ.

DEFINICIÓN 3.4. Se dice que el límite de f(x) cuando x se aproxima a x0por la izquierda es L2, y se denota

l´ım

x→x− 0

f (x)= L2

si para cualquier > 0, existe un δ > 0 tal que

| f (x) − L2|< , siempre que 0 < x − x0< δ.

3.4.

Asíntotas rectilíneas

3.5.

Límites especiales

3.6.

Definición de continuidad

DEFINICIÓN 3.5. Una función es continua en x0si y solo si

l´ım

x→x0

f (x)= f (x0).

Esto es, se debe cumplir que:

i) El l´ımx→x0debe existir

ii) La función f (x) debe estar definida o determinada en x0, y

iii) El límite en i) debe ser igual al resultado en ii).

Tipos de discontinuidad. Existen dos tipos de discontinuidad: removibles y no removibles.

Discontinuidad               

Removiblen Por indeterminación

No removible        De salto Infinita (Asintótica)

3.7.

Propiedades de la continuidad

DEFINICIÓN 3.6. Se dice que una función es continua para un cierto valor de la variable independiente, si el incremento si el incremento

3.7. PROPIEDADES DE LA CONTINUIDAD 23

Problemas.

i. Ejercicios de práctica. Calcula los siguientes límites.

1. l´ım x→2x 2 2. l´ım x→−3(3x+ 2) 3. l´ım x→0(2x − 1) 4. l´ım x→1(−x 2_{+ 1)} 5. l´ım x→2(−x 2_{+ x − 2)} 6. l´ım x→1(3x 3_{− 2x}2_{+ 4)} 7. l´ım x→3 √ x+ 1 8. l´ım x→4 3 √ x+ 4 9. l´ım x→−4(x+ 3) 2 10. l´ım x→0(2x − 1) 3 11. l´ım x→2 ₁ x  12. l´ım x→−3  ₂ x+ 2  13. l´ım x→−1 x2_{+ 1} x ! 14. l´ım x→3 √ x+ 1 x − 4 ! 15. l´ım x→π₂sin x 16. l´ım x→πtan x 17. l´ım x→1cosπx 18. l´ım x→1sin πx 2 19. l´ım x→0sec 2x 20. l´ım x→πcos 3x 21. l´ım x→5π₆ sin x 22. l´ım x→5π 3 cos x 23. l´ım x→3tan πx 4 24. l´ım x→7sec πx 6 25. Si l´ım x→c f (x)= 2 y l´ımx→cg(x)= 3, calcular a. l´ım x→c[ f (x)+ g(x)] b. l´ım x→c[ f (x)g(x)] c. l´ım x→c[ f (x)/g(x)]

ii. Ejercicios de práctica. Técnicas para obtener límites.

26. l´ımx→3x 2_−5x+6 4x−12 27. l´ımx→5x 2_−10x+25 3x2₋₇₅ 28. l´ımx→3x4/3x−3_−3x1/3 29. l´ımx→2 8−x 3 x2_+2x−8 30. l´ımx→−5 q 2x2_+7x−15 x2₋₂₅ 31. l´ımx→2 x 2_−2x x4_−2x3_+x2_−3x+2 32. l´ımx→1 √ x+4−√5 x2_−x3 33. l´ımx→3 3 √ x+5−2 x−3 34. l´ımx→1 √ x+3−2 5− √ x+24 35. l´ımx→0 3 √ x+1−1 5 √ x+1−1 36. l´ımx→2 3 √ x+62−4 8− √ x+62

iii. Ejercicios de práctica. Límites al infinito.

37. l´ımx→∞ x 2_−5x+6 4x−12 38. l´ımx→∞ x2_−5x+6 4x−12 iv. Problemas avanzados.

39. Demostrar que la hipérbola x2

a2 + y2

b2 = 1 se aproxima arbitrariamente a la asíntota y =

b

ax cuando x tiende a

Cap´itulo Cuarto

La Derivada

4.1.

Definición de derivada

El problema de las tangentes.

Trazar una recta tangente a una curva dada en un punto dado fue un problema que abordaron los antiguos griegos y lo pudieron resolver para varias curvas particulares, sobretodo las curvas cónicas pero, encontrar una forma general de trazar una recta tangente a una curva en general dada en un punto dado fue un problema que tuvo que esperar a la llegada de Sir Isaac Newton y Wilheim Gottfried von Leibniz. Cada uno de forma independiente llegaron a resolver éste problema, aunque llegó a haber un problema sobre la autoría de dicha solución.

PROBLEMA 4.1 (Problema de las tangentes). Sea y = f (x) una función de variable real definida para todos los números reales. Encontrar la recta tangente en un punto dado.

Solución. Sea y= f (x) una función continua de variable real. Tracemos una línea secante que pasa por los puntos (1.5, 3.75) y

(3.5, 1.75). x f (x) y= f (x) l1 l2 l3 l4 l5 Figura 4.1: Función DEFINICIÓN 4.1. La derivada

Sea y= f (x) una función de variable real continua, entonces la derivada se define como

dy dx = l´ım∆x→0

f (x+ ∆x) − f (x) ∆x siempre y cuando el límite exista.

4.2.

Interpretación geométrica y física

La derivada es la pendiente de la recta tangente a una curva dada en un punto dado.

La derivada es la razón de cambio, de una variable dependiente con respecto a la variable independiente

4.3.

Derivación de funciones

4.3.1.

Derivación de funciones algebraicas

4.3.2.

Derivación de funciones trascendentes

4.3.3.

Derivación de funciones implícitas

4.4.

Derivación sucesiva

4.5.

Funciones hiperbólicas y sus derivadas

4.6.

Teorema de Rolle y teorema del valor medio

Ejercicios de práctica.

i. Calcula la derivada de las siguientes funciones.

1. f (x)= x3− 8x−1_{+ (x}2_{+ 3)}4 2. f (x)= (x + 1)(3x2_{+ 4x)} 3. f (x)= sin(4x2_{) − cos(12x}2_{)+ 8x}3_{+ 4} 4. f (x)= sin(2x2_)(8x4_{+ 2x)} 5. f (x)= 18x2_{− 4x}3_{+ (8x}2_{+ 4x + 1)}3 6. f (x)= 2x(x2_{+ 3x)}2 7. f (x)= sin(8x2_{)+ (4x}3_)(2x−3_{)+ 4x} 8. f (x)= sin(14x) − 8x−3_{+ (16x}3_{+ 2x)}2 9. f (x)= 9x1/3+ 5x4_{+ sin(12x) + 18} 10. f (x)= 8x−3+ (4x2)(5x+ 3)2+ 8x 11. f (x)= 7x3+ (4x2)(8x3+ 2x)5− 5x3 12. f (x)= 18x2+ (12x3+ 4)5+ cos 16x3 13. f (x)= sin(4x3_{) cos(4x}3₎ 14. f (x)= 12x4_{− cos(18x)} 15. f (x)= sin(5x4_{)+ (5x}3_{+ 2x)}

ii. Calcula los siguientes límites por medio de la regla de L’Hopital.

Cap´itulo Quinto

Aplicaciones de la derivada

DEFINICIÓN 5.1. Extremos

Sea f una función definida en un intervalo (a, b) ⊃ c.

i. f (c) es el mínimo de f en el intervalo (a, b) si f (c) 6 f (x), ∀x ∈ (a, b).

ii. f (c) es el máximo de f en el intervalo (a, b) si f (c) > f (x), ∀x ∈ (a, b).

El mínimo y el máximo de una función en un intervalo se llama valores extremos o extremos de la función en ese intervalo.

TEOREMA 5.1. Teorema del valor extremo

Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene un máximo y también un mínimo en ese intervalo, a excepción que la función sea constante.

DEFINICIÓN 5.2. Extremos relativos

Sea f una función de variable real

i. Si existe algún intervalo abierto (a, b) en el que f (c) es el valor mínimo, se dice que f (c) es un mínimo relativo

de f .

ii. Si existe algún intervalo abierto (a, b) en el que f (c) es el valor máximo, se dice que f (c) es un máximo relativo

de f .

DEFINICIÓN 5.3. Número crítico

Si f esta definida en c, se dirá que c es un número crítico de f si f0

(c)= 0 o si f0

(c) no está definida en c.

TEOREMA 5.2. Teorema del número crítico

Si f es una función continua que tiene un extremo relativo en x= c, entonces c es un número crítico de f .

TEOREMA 5.3. Teorema de Rolle

Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si f (a) = f (b) entonces ∃ c ∈ (a, b)| f0

(c)= 0.

COROLARIO 5.1. Corolario del teorema de Rolle

Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b]. Si f (a) = f (b), entonces f tiene algún número crítico en el intervalo abierto (a, b). Si f (a) = f (b) entonces ∃ c ∈ (a, b)| f0

(c)= 0.

COROLARIO 5.2(Corolario del teorema de Rolle). Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b]. Si f (a) = f (b), entonces

f tiene algún número crítico en el intervalo abierto (a, b).

TEOREMA 5.4(Teorema del valor medio). Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto

(a, b), ∃c en (a, b) tal que

f0(c)= f (b) − f (a) b − a

DEFINICIÓN 5.4. Una función f se dice creciente en un intervalo abierto(a, b), si ∀ par de números x1y x2en el intervalo,

x1< x2→ f (x1)< f (x2).

Una función f se dice decreciente en un intervalo abierto (a, b), si ∀ par de números x1y x2en el intervalo,

x1< x2→ f (x1)> f (x2).

TEOREMA 5.5. Criterio para funciones crecientes o decrecientes

Sea f una función derivable en el intervalo (a, b). i. Si f0(x)> 0 ∀x ∈ (a, b) → f es creciente en (a, b).

ii. Si f0(x)< 0 ∀x ∈ (a, b) → f es decreciente en (a, b).

iii. Si f0(x)= 0 ∀x ∈ (a, b) → f es constante en (a, b).

TEOREMA 5.6. Criterio de la primer derivada.

Sea c un número crítico de una función f continua en un intervalo abierto (a, b) que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto quizá en c, f (c) puede clasificarse como sigue:

i. Si f0cambia de negativa a positiva en c, f (c) es un mínimo relativo de f .

ii. Si f0cambia de positiva a negativa en c, f (c) es un máximo relativo de f .

iii. Si f0no cambia su signo en c, f (c) no es un máximo ni un mínimo relativo de f .

DEFINICIÓN 5.5(Concavidad). Sea f derivable en un intervalo abierto. Diremos que la gráfica de f es cóncava hacia arriba se f0

es

creciente en ese intervalo y cóncava hacia abajo si f0

es decreciente en el intervalo.

TEOREMA 5.7(Criterio de concavidad). Sea f una función cuya segunda derivada ∃ en un intervalo abierto (a, b).

i. Si f00(x)> 0 para todo x ∈ (a, b), la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a, b). ii. Si f00(x)< 0 para todo x ∈ (a, b), la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (a, b).

DEFINICIÓN 5.6(Punto de inflexión). Sea f una función cuya gráfica tiene una recta tangente en (c, f (c)). Se dice que el punto (c, f (c))

es un punto de inflexión si la concavidad de f cambia de ser hacia arriba a ser hacia abajo (o viceversa) en ese punto.

TEOREMA 5.8(Puntos de inflexión). Si (c, f (c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f , entonces o es f00(c)= 0 o f00

no existe en x= c.

5.1.

Regla de L’Hopital

5.2.

Aplicaciones geométricas y físicas

5.3.

Trazado de curvas

En ocasiones tenemos una función expresada en forma analítica. Para analizar su comportamiento en ocasiones en más fácil si se traza en el plano cartesiano. Cuando una función es de las formas sencillas (o canónicas) es muy fácil trazar la gráfica,

5.4. TASAS RELACIONADAS 29

sin embargo, en ocasiones no es tan fácil, por ejemplo, si graficamos x2_{es muy sencillo pero xe}−x_{ya no lo es tanto. Enseguida}

haremos uso de los extremos de una función para auxiliarnos y trazar la gráfica.

5.3.1.

Máximos y mínimos

Los extremos de una función son máximos y mínimos que también son conocidos como puntos críticos. Para encontrar los puntos críticos debemos de hacer los siguiente:

i. Derivar la función,

ii. Igualar la derivada a cero, y

iii. Despejar la x

Dichos valores serán los números críticos.

5.3.2.

Monotonía de una función

5.3.3.

Criterio de la primera derivada

5.3.4.

Concavidad y punto de inflexión

5.3.5.

Criterio de la segunda derivada

Resumen

Trazar la curva f (x)= x3_{− 12x+ 11 haciendo uso de la primer y segunda derivadas.}

Solución. Calcular la primer derivada

f0(x)= 3x2− 12

Números críticos: x1= −2 y x2= 2 Segunda derivada

f00(x)= 6x

Números de inflexión: x= 0

5.4.

Tasas relacionadas

Otra de las aplicaciones de las derivadas es la de encontrar razones de cambio de dos o más variables que cambian con respecto al tiempo u otra variable independiente. Para ilustrar la situación, veamos el siguiente

5.5.

Problemas de optimización

EJEMPLO 5.2. Administración y Economía. Suponer que la utilidad p diaria (en dólares) al fabricar x artículos se modela por

p(x)= −0.01x2_{+ 5x − 400, donde 0 ≤ x ≤ 300. Determine el número x de artículos que da lugar a la utilidad máxima.}

Solución. La producción de artículos se encuentra acotada por los límites naturales, donde el número de artículos no puede encontrarse fuera de ellos. Y para encontrar ese número, el que da la utilidad máxima, (aunque no sea necesario utilizar cálculo) calculemos la derivada

p0(x)= −0.02x + 5, donde 0 ≤ x ≤ 300

y el lugar donde ocurre un extremo relativo es cuando la derivada de la función es igual a cero (y0= 0), es decir, cuando

−0.02x + 5 = 0

donde x= 250. Sin embargo, este resultado es un candidato a extremo relativo ya que se trata de un intervalo cerrado. Entonces

evaluamos

p(0)= −400

p(250)= 225

p(300)= 200

y nos damos cuenta que cuando x es 250, el extremo es un máximo, por tanto, la respuesta del número de artículos que da lugar a la

máxima utilidad es cuando x= 250.

x p(x)= −0.01x2_{+ 5x − 400} 100 200 300 400 −400 −300 −200 −100 100 200 300 Máximo (250, 225)

Figura 5.1: Utilidad máxima

EJEMPLO 5.3. Administración y Economía. Considere que el costo c (en dólares) de fabricar x artículos se modela por c(x) =

400+ 10x + 0.01x2_{, entonces el costo por artículo, llamado “costo unitario”, se da por cu(x) =} c(x)

x , donde x ≥ 10. Hallar el número de

artículos que minimizará este costo unitario cu(x).

Solución. En este caso, el número de artículos debe ser mayor o gual a 10, esto quiere decir que el intervalo en discusión es un in-tervalo semiabierto hasta el infinito.

EJEMPLO 5.4. Administración y Economía. La gerente de un restaurante observa que cuando al servicio de ensaladas se le pone un

precio de $2.50 (dólares), se atienden a 200 clientes en el mismo durante el almuerzo. No obstante, por cada dólar de aumento en el precio, se pierden 100 clientes. De manera análoga, por cada dólar de disminución en el precio, se ganan 100 clientes. Obtenga el aumento en el precio que maximizará el ingreso que se obtenga del servicio de ensaladas.

EJEMPLO 5.5. Administración y Economía. El dueño de una tienda de comestibles planea su inventario de cereales secos y los pedidos

los hace a cierto mayorista. Cada pedido consiste en varias cajas (cada una con 50 paquetes de cereal) a un costo de $40.00 dólares cada una más un cargo por manejo de $50.00 dólares por pedido. La tienda vende 500 cajas de cereal al año. Un costo de almacenamiento de $5.00 dólares por caja por año cubre el seguro y el espacio ocupado por el cereal no vendido. Si el dueño de la tienda hace un pedido muy grande, pagará un cargo bajo por manejo, pero un costo grande de almacenamiento. Empero, varios embarques más pequeños reducirán los costos de almacenamiento, pero incrementarán los costos de pedido. El objetivo es hallar un tamaño óptimo de embarque, en alguna parte entre estos valores críticos, de modo que se minimicen los costos totales.

5.5. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 31

EJEMPLO 5.6. Ciencias Biológicas. Tanto los biólogos como los psicólogos estudian las respuestas a diversos estímulos s. En ciertos

animales, la respuesta al estímulo s se mide por la contracción del iris después de exponer el ojo a una luz brillante. Suponer que la respuesta se modela por s(t)=        t2_{, 0 ≤ t ≤ 2} 8 t, t > 2

ya que t es el tiempo (en segundos) después de que se concentra la luz sobre el ojo. ¿En qué instante se presenta la respuesta máxima?

EJEMPLO 5.7. Ciencias Biológicas. Investigadores de la fauna silvestre introducen a una isla cierta especie de faisán a un coto de caza.

Se da a la población 3 años para que se establezca antes de permitir la cacería limitada. Suponer que la población p de faisanes (en cientos) en el tiempo t (en años) se modela por

p(t)=        t2_{− 2t+ 4, 0 ≤ t ≤ 3} 6 t + t + 2, t> 3

Hallar los valores críticos en esta población.

EJEMPLO 5.8. Se desea construir un canalón de desagüe, a partir de una lámina rectangular donde la longitud de la lámina no se toma en

cuenta. El ancho de la lámina es de 23 cm, y se van a hacer dos dobleces (para formar una u cuadrada). Calcula las dimensiones de la sección transversal para que el canalón de desagüe transporte la máxima cantidad de agua.

EJEMPLO 5.9. Un hombre construye una granja, a500 yardas de una carretera estatal. La tubería del alcantarillado más cercana se encuentra a 800 yardas sobre esta carretera. El costo para hacer la conexión a la alcantarilla es de $2.00 dólares por yarda de la casa a cualquier punto p sobre la carretera, y de $1.00 dólar por yarda del punto p a la alcantarilla a lo largo de la misma. ¿Dónde debe localizarse el punto p para minimizar el costo de la construcción de esta tubería?