1. Números racionales e irracionales

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1. Números racionales e irracionales

Cálculo con números enteros

Se le proporcionará al alumno una relación de ejercicios de cálculo incluyendo las soluciones.

1. Números fraccionarios

Actividad 1, página 20

Equivalentes: a = c = e = 4/3. Propias: b, d. Impropias: a, c, e. Actividad 4, página 21

Primeramente simplificamos 9/6 = 3/2. Las fracciones buscadas son 15/10 y 75/50. Actividad 9, página 37

Los apartados a) y b) ofrecen multitud de posibles respuestas. c) 2/5, −1/3, 2/5

d) 6/15, −5/15 Actividad 5, página 22

Reducimos a común denominador para comparar las fracciones: 45/120, 10/120 y 48/120. Por tanto, es más efectiva con lanzamientos de 3, 1 y 2 puntos, respectivamente.

2. Números racionales

Respuestas en la página 23 del libro. Actividad 15, página 37

Hay multitud de posibles respuestas, basta con hallar fracciones equivalentes. Actividad 16, página 37

Es conveniente hacer el ejercicio usando una regla graduada o bien en una hoja cuadriculada. Observa que redu-ciendo a común denominador, se representan en la recta dividiendo cada unidad en 15 partes iguales.

3. Operaciones con números racionales

Actividad 9, página 24 a) −7/20 b) −31/15 c) 151/30 d) −193/36 Actividad 12, página 25 a) 5/3 b) −11/140 c) 22/75 Actividad 27, página 38 Actividad resuelta. Actividad 29, página 38 a) 12 4 3       b) 9 4 3       c) 5 5 2 3 3 2       =       − d) 5 5 5 5 2 2 5 2 5      ₋ =      ₋ =       − − − Actividad 25, página 38 a) 34/3 b) −11/6 c) 4/9 d) −3/7 e) −1/12 f) −126

Cálculo con números racionales

Se le proporcionará al alumno una relación de ejercicios de cálculo incluyendo las soluciones.

4. Conversión entre racionales y decimales

a) 0'3) decimal periódico puro b) 0'75 decimal exacto c) 3'76) decimal periódico mixto d) 1 decimal exacto '7 Actividad 21, página 29 a) 5/4 b) 293/90 c) 41/30 d) 7.111/33.000 Actividad 48, página 40 a) 1'451 000 . 1 451 . 1 − = − b) 18'595 225 184 . 4 ) = c) 0'71887 000 . 90 699 . 64 ) = d) 691 500 . 1

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Resolución de problemas

Actividad 16, página 27 1.320 metros. Actividad 12, página 37

Los 7/45 del trabajo. Actividad 13, página 37

Le queda las 11/54 partes del busto. Actividad 32, página 39

Aún no ha derribado 7 bolos. Actividad 34, página 39

972/175 euros, lo que aproximadamente es 5’55 €. Actividad 35, página 39

Actividad resuelta. Actividad 36, página 39

25 céntimos de euro. Actividad 37, página 39

El agua destilada que queda en el contenedor supone 1/12 parte del mismo. Actividad 42, página 40

El coste es de 24’75 €.

5. Números irracionales y reales

Los apartados a), b) y c) ofrecen infinidad de posibles respuestas. No existe respuesta para el apartado d). Actividad 28, página 31

La respuesta es afirmativa. Se deja al alumno que exponga un ejemplo. Actividad 49, página 40

Es cierta únicamente las afirmación a), el resto son falsas. Se deja al alumno el razonamiento de las respuestas. Actividad 52, página 40

π 4 117

m2, lo que supone aproximadamente 91’89 m2 Actividad 53, página 40

Exactamente 100 metros, la mayor posible. Actividad 50, página 40

Se debe hacer el ejercicio usando una regla graduada o bien en una hoja cuadriculada.

6. Aproximaciones y errores

Se le proporcionará al alumno una relación de problemas incluyendo las soluciones.

7. Notación científica. Operaciones

a) 7’89 ⋅ 10−7 b) 1’23321 ⋅ 1013 c) 82.360.000 d) 0’000005066 Actividad 61, página 41

a) Correcto b) 2’45 ⋅ 10−5 c) Correcto d) 2’523 ⋅ 1010 e) Correcto f) 1’38 Actividad 62, página 41 a) 3 ⋅ 108 b) ≅ 3’30 ⋅ 101 c) ≅ 2’242 ⋅ 1012 d) 2’25 ⋅ 1012 Actividad 63, página 41 a) 1’882 ⋅ 1019 km b) 1’989 ⋅ 106 años luz c) 1’258 ⋅ 1011 UA Actividad 64, página 41 Actividad resuelta. 8. Radicales

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Relación de ejercicios nº 1.1. Cálculo con números enteros Soluc. a) (−2) − (−1) − (+4) + (−3) + (+2) + (−7) − (+6) −19 b) −10 − 8 + 4 − 2 + 5 + 1 − 6 + 3 −1 − 4 −18 c) 24 + (5 − 3) −12 + (3 − 11 + 2) 8 d) −12 − (−20) − [6 + (5 − 9) − (16 − 8 − 11)] 3 e) {(8 − 9) − [12 + (−5 + 13)] − 3} − [2 − (−3) + (12 − 8) − (7 − 2 −12)] −40 f) 2 + (−7) ⋅ (8 − 5) + 24 : (−13 + 7) −23 g) 4 ⋅ 3 : 2 − (15 : 5 − 1) + 9 − 8 : 2 ⋅ 3 1 h) 4 + 3 ⋅ [5 + (−2) ⋅ (−7)] − [(2 + 11 ⋅ 3) : 7] ⋅ (−2) 71 i) {3 ⋅ [30 − 2 ⋅ (4 + 3)] − 6 ⋅ (6 − 2)} : (12 ⋅ 4 − 4 ⋅ 9) 2 j) −[−4 + 56 : (−5 + 3 − 2) ⋅ 2] + (9 − 3 ⋅ 25) : [5 − (−2) ⋅ 3] − 28 : (43 − 9 ⋅ 4) 22 k) 24: (−8) − 1 + 4 ⋅ (−3)2: 6 + (−1)5⋅ 15 −12 l) 2 ⋅ 3 ⋅ 5 : (37 − 9 ⋅ 22) − 7 ⋅ (−2)3− 3 ⋅ 4 + (−4)2+ 1 91 m) (1 − 9 + 5)3+ [32 : (−8)]2: 4 + (−1)6⋅ 33− (−2)3: (−2) 0 n) [(3 − 23)2+ (13− 23+ 33) : (−2) − (7 − 9)4]10⋅ (−1)10 1 ñ) [(21 − 17)3+ (17 − 21)3] ⋅ (−4) + [(21 − 17)2+ (17 − 21)2] : [(−3)2− 5]2 2

Relación de ejercicios nº 1.2. Cálculo con números racionales

a) 7 3 : 4 3 3 1 3 4 5 4 3 2 : 5 3 − + ⋅ − b) 5 2 5 4 5 3 10 3 4 5 : 4 5 5 1 − − − ⋅ − ⋅ + ⋅ − c) 6 1 4 3 2 3 : 6 5 3 1 6 5 − ⋅       + − d)       − ⋅ −       − ⋅ − 2 1 5 4 3 2 3 7 5 3 4 1 5 3 e) 2 2 1 4 5 3 8 3 1 : 4 3 6 5 2 3       − ⋅ +       − − f) 1 5 1 4 2 : 5 3 2 1 3 4 10 3 : 5 14 3 14 −       −       − − + g) 2 2 2 4 3 : 3 2 1 4 1 : 2 1 3 1 3 4 1       −       + −             + − + h) 10 3 : 5 3 5 4 4 1 2 3 1 2 2 3 8 5 : 4 3 + ⋅ +       − ⋅ − i)       − ⋅             + ⋅ −       + ⋅       − ⋅ 2 1 1 4 1 1 2 1 1 5 4 2 3 : 2 5 4 3 2 j)       + − −       + − − −             ⋅ − + − ⋅ − 3 2 3 4 2 3 4 2 3 4 9 3 : 2 5 2 4 3 6 2 5 3 3 5 2 k)       − −             − − ⋅ + ⋅       − 3 1 8 3 : 2 1 3 2 7 2 : 3 1 : 6 1 4 3 : 4 1 8 5 2 1 3 4 4 3 6 1 2 1 l) 2 1 1 1 1 2 1 1 2 9 4 : 3 2 5 14 21 20 + +       + ⋅ + − ⋅ Soluciones a) 12 19 − b) 125 43 c) 0 d) 6 5 e) 4 11 f) 2 19 − g) 36 31 − h) 22 7 i) 5 28 j) 8 39 k) 67 272 − l) 2 5

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Relación de ejercicios nº 1.3. Aproximaciones y errores

1. Trunca y redondea los siguientes números a las centésimas y a las milésimas. a) 1’23456 b) 2’77777… c) 4’51515… d) 2’43643 e) 2’22222… f) 3’12777… g) 5 h) 13 i) π k) 6’54321

2. Halla el error absoluto y relativo cometido al redondear los siguientes números a las décimas y a las centésimas. a) 5’692 b) 0’28888…

3. Escribe un número que cumpla las siguientes condiciones.

a) Al redondearlo y truncarlo a las décimas dé el mismo resultado. b) Al redondearlo a las centésimas dé como resultado 5’87.

c) Al redondearlo a las centésimas dé como resultado 11’56 y el error absoluto cometido sea 0’003. d) Al truncarlo a las décimas dé como resultado 0’7 y el error absoluto cometido sea 0’025.

4. La distancia a la estación de tren más próxima es de 16’74 km. Luis dice que dicha distancia es 16 km y Sara afir-ma que es 17 km. ¿Quién aproxiafir-ma de forafir-ma más precisa?

5. Un piso tiene una superficie de 117’92 m2 y la de otro es 73’65 m2. Trunca la superficie de cada piso a metros cuadrados. Indica qué aproximación es más precisa.

6. Se toman aproximaciones por redondeo a las unidades del peso de un buey de 824’36 kilogramos y, por redondeo a las centésimas, del peso de un gusano de 2’127 gramos. ¿En qué caso hemos cometido mayor error?

7. En una garrafa de 5 litros de agua mineral figura escrito “5 litros ± 2 %”. a) ¿Qué quiere decir esa indicación?

b) ¿Entre qué valores está comprendido el contenido de la garrafa?

Soluciones

1. Los resultados figuran en la siguiente tabla.

Truncamiento Redondeo

a las centésimas a las milésimas a las centésimas a las milésimas

a) 1’23456 1’23 1’234 1’23 1’235 b) 2’77777… 2’77 2’777 2’78 2’778 c) 4’51515… 4’51 4’515 4’52 4’515 d) 2’43643 2’43 2’436 2’44 2’436 e) 2’22222… 2’22 2’222 2’22 2’222 f) 3’12777… 3’12 3’127 3’13 3’128 g) 5 2’23 2’236 2’24 2’236 h) 13 3’60 3’605 3’61 3’606 i) π 3’14 3’141 3’14 3’142 j) 6’54321 6’54 6’543 6’54 6’543

2. Los resultados figuran en la siguiente tabla.

A las décimas A las centésimas Error absoluto Error relativo Error absoluto Error relativo

a) 5’692 0’008 ≅ 0’14 % 0’002 ≅ 0’04 %

b) 0’28888… 1/90 1/26 ≅ 3’85 % 1/900 1/260 ≅ 0’38 % 3. a) a’bc, c ≤ 4 b) 5’87a, a ≤ 4 ; 5’86b, b ≥ 5 c) 11’563 y 11’557 d) 0’725

(5)

4. Sara, pues ∆Sara =16'74−17 =0'26km < ∆Luis =16'74−16 =0'74km

5. La del primer piso, pues 0'88%

73'65 73 73'65 % 0'78 117'92 117 117'92 2 1 ≅ − = < ≅ − = ε ε 6. En el gusano, pues 0'14% 127 ' 2 13 ' 2 127 ' 2 % 0'04 36 ' 824 824 36 ' 824 gusano buey ≅ − = < ≅ − = ε ε

7. a) Que el contenido no es exactamente 5 litros, pues hay una variación de, al menos, un 2 % b) 2 % de 5 = 0’1 litros, por lo que la garrafa contiene entre 4’9 y 5’1 litros, respectivamente.

(6)

Relación de ejercicios nº 1.4. Radicales

1. Calcula el valor de las siguientes raíces.

a) 64 b) 3 64 c) 3 −27 d) 4625 e) −16 f) 5−32 g) 4 9 h) 5 32 243 − i) 25 81 j) 1+ 6+ 5+ 16 k) 33+3−10+416

2. Halla aproximaciones por defecto y por exceso de 17 y de 3183 con error menor que una centésima. 3. Transforma en potencias las siguientes raíces.

a) 325 b) 4 5 ₂3_      c) 4 3 2 25 5 d) 5 ₄₉ 1 e) 3 27 8 _     

4. Simplifica las siguientes raíces.

a) 464 b) 3 729 c) 6125 d) 51.024

5. Reduce a índice común y ordena los siguientes radicales. a) 5 y 3 25 b) 27, 69 y 39

6. Realiza las siguientes operaciones.

a) 2⋅ 32 b) 3−81:33 c) 39⋅3 243:381 d) 3 3 9 4 3 16 ⋅ e) 4 3 125 8 16 625 ⋅ 7. Extrae los factores posibles de los siguientes radicales.

a) 45 b) 354 c) 1.200 d) 3500

8. Introduce los factores en los radicales.

a) 2 5 b) 437 c) 5 3 d) 53 2

9. Realiza las siguientes operaciones, sacando factores y simplificando en aquellos casos que sea posible. a) 332: 8 b) 8⋅316 c) 8:42 d) 5: 5

10. Escribe bajo un único radical, simplificando y sacando factores en aquellos casos que sea posible.

a)

( )

32 4 b)

( )

584 c)

( )

3422 d)

( )

5 23 e)

(

2⋅ 3

)

4 f)

(

325:35

)

6

11. Escribe bajo un único radical, simplificando y sacando factores en aquellos casos que sea posible. a) 5 b) 316 c) 5 31024 d) 3 2 2 e) 38 2 f) 3 3 4 1 2⋅ g) 3 ₂ 8 1

12. Halla la suma de los siguientes radicales extrayendo previamente los posibles factores. a) 5+ 500− 80+ 20 b) 12+ 3+ 27− 75

c) 5381+3 24 d) 354−316+3 250

e) 432+34162+341250 f) 2 500−5 108−3 80+ 432

13. Realiza las siguientes operaciones con radicales.

a) 3−8+

(

2⋅ 5

)

2−3 −27 b) 3125−416− 81:364 c)

(

)

( )

₃ 6 3 3 3 6 2 3 4 2 3 : 24 3 125 16 + − − + d)

(

)

6 3 2 2 4 2 2 3       + e) 4 3 3 3 9 6 2 3 3 3 2 4 2 27 : 81 + ⋅ + f) 18 8 72 50 16 4 3 3 − + ⋅ ⋅

(7)

Soluciones 1. a) 8 b) 4 c) −3 d) 5 e) No tiene raíces f) −2 g) 2 3 h) 2 3 − i) 5 9 j) 2 k) 1 2. 4'12< 17<4'13, 5'67<3183<5'68 3. a) ₅23 _b) ₂125 _c) ₅61 _d) ₇−52 _e) 2 9 3 2_      4. a) 8 b) 9 c) 5 d) 4 5. a) 653 y 654 , luego 5<325 b) 639 , 69 y 634 , luego 69<39< 27 6. a) 8 b) −3 c) 3 d) 3 4 e) 1 7. a) 3 5 b) 332 c) 20 3 d) 534 8. a) 20 b) 3 448 c) 75 d) 3 250 9. a) 62 b) 4632 c) 242 d) 5 10. a) 23 2 b) 454 c) 9 2 d) 250 2 e) 36 f) 25 11. a) 45 b) 3 4 c) 32 d) 2 e) 262 f) 9 2 g) 62 2 1 12. a) 9 5 b) 3 c) 1733 d) 632 e) 2642 f) 8 5−18 3 13. a) 11 b) 4 3 c) 0 d) 1 e) 1 f) 3 3₂ 2 4 4 ₌

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2. Proporcionalidad numérica

1. Proporcionalidad directa

a) Observa que he cambiado el orden de las magnitudes para una mejor compresión. Nº de glóbulos rojos 4’5 9 40’5 13’5

mm3 de sangre 1 2 9 3

b) Si establecemos en el eje X los mm3 de sangre y en el eje Y el nº de glóbulos rojos, la gráfica que se obtiene es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

c) k = 4’5 glob/mm3

d) Hablamos del triple de volumen de sangre. Aumentará. El triple, concretamente 6 mm3. Actividad 10, página 57

a) En la tienda A existe una proporcionalidad directa. b) k = 3’50 €/CD

2. Proporcionalidad inversa

Hagamos una tabla con bastantes datos que nos ayude a elaborar la gráfica correspondiente. Velocidad (km/h) 50 100 25 5 10 30 75 150 Tiempo (m) 15 7’5 30 150 75 25 10 5

Si establecemos en el eje X el tiempo y en el eje Y la velocidad, la gráfica que se obtiene es una hipérbola. Las magnitudes tiempo y velocidad son inversamente proporcionales.

A 10 20 5

B 600 300 1.200

3. Regla de tres simple

Actividad 9, página 46 8 alumnos. Actividad 10, página 46 3 días. Actividad 14, página 57 Aproximadamente, unos 484’85 km. Actividad 17, página 57

Cada mensaje tiene un precio de 0’15 €. Actividad 18, página 57

Un tubo de 60 gramos contiene 0’9 gramos de caléndula y 0’09 gramos de equinácea.

4. Regla de tres compuesta

Actividad 12, página 47 Necesitaremos 25 rollos. Actividad 13, página 47

Tendré alimento para 6 días. Actividad 22, página 58 40 kilogramos. Actividad 24, página 58 150 azulejos. Actividad 25, página 58 8 cajas. 5. Porcentajes Actividad 16, página 48 16’60 €.

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Actividad 17, página 48 309’12 €.

No, los precios bajaron un 2’25 %. Por ejemplo, un artículo que costaba 100 €, tras subir un 15 % y, posterior-mente, bajar un 15 %, el precio final es de 97’75 €.

Actividad 28, página 58 60 invitados. Actividad 29, página 58 7.735 €. Actividad 30, página 58 270 atletas europeos. Actividad 36, página 58 a) 20 b) 11’5 c) 67’5 d) 4.000 e) 4 f) 625 Actividad 38, página 58 1’5 % de caléndula y 0’15 % de equinácea.

Nota: si haces los cálculos con un tubo de 60 gramos, lógicamente los resultados son iguales. Actividad 39, página 58

El tubo de 60 gramos debería costar 7’56 €, por lo que obtiene unos beneficios de 1’64 €, esto es, obtiene unas ganancias del 21’7 %, aproximadamente.

El peso real de Federico es de 85 kg.

6. Escalas Actividad 20, página 49 90 kilómetros. Actividad 21, página 49 1 : 200.000 Actividad 23, página 49

Un centímetro en el plano equivales a 2 metros reales, esto es, una escala 1 : 200. Actividad 44, página 59 80 centímetros. Actividad 45, página 59 60 kilómetros. Actividad 46, página 59 175 kilómetros. Actividad 48, página 59 1 : 800 7. Interés simple Actividad 27, página 51 Un capital inicial de 5.000 €. Actividad 28, página 51

Pagará un total de 20.350 €, lo que supone 1.356’67 €/mes. Actividad 50, página 59 a) 137’50 € b) 412’50 € c) 5’73 € d) 17’19 € Actividad 53, página 59 Actividad resuelta. Actividad 54, página 59 Un rédito del 2’5 % Actividad 55, página 59

Aproximadamente 6’86 años, esto es: 6 años, 10 meses y 10 días. Actividad 56, página 59

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Producirá unos intereses de 133’33 €.

8. Repartos proporcionales Actividad 59, página 59 1.600 €, 2.000 € y 2.400 €, respectivamente. Actividad 61, página 59 575 €, 2.300 € y 2.760 €, respectivamente. Actividad 34, página 53 230’77 €, 461’54 € y 307’69 €, respectivamente. Actividad 62, página 59

A Pedro le corresponden 1.645 €, a Javier 1.974 € y a Elena 1.410 €. Actividad 63, página 60

A cada una de las parejas que se quedaron en Venecia le corresponden 187’50 €, y 62’50 € a cada una de las otras dos.

9. Mezclas

El precio de la mezcla es de 5’25 €/kg. Actividad 66, página 60

El precio de la mezcla es de 2 €/L, por lo que se vendería a 2’30 €/L.

Exactamente deberemos mezclar 8’75 kg de café de 3 €. Actividad 68, página 60

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4. Polinomios

1. Polinomios

a) Ya está ordenado de forma decreciente.

b) No es completo, faltan los monomios de grado 8, 7, 6, 5, 4 y 1. c) Por ejemplo, B(x) = 2x9+ 3x8− x7+ 6x6− 2x5+ 3x4+ x3− 12x2−8x + 1 Actividad 5, página 77

a) 4x9 es el término de mayor grado y no tiene término independiente. b) 17x7 es el término de mayor grado y 49 el término independiente. c) 9x7 es el término de mayor grado y no tiene término independiente. Actividad 8, página 97 a) P(x) = x + (x + 1) = 2x + 1 b) P(x) = x ⋅ (x − 1) = x2− x c) P(x) = x2+ x3 d) P(x) = x ⋅ (x + 3) = x2+ 3x Actividad 7, página 83

a) A(1) = 22 b) A(2) = 33 c) A(0) = 5 Actividad 12, página 97

a) A(−2) =−85 b) A(1) =−4 c) A(2) =−1 Actividad 15, página 97

Para x = 1 es la suma de los coeficientes de los términos del polinomio. Para x = 0 es el término independiente.

2. Adición y sustracción de polinomios

Actividad 10, página 84 a) A(x) + B(x) = 5x4+ 20x3− 6x − 6 A(x) − B(x) = x4− 10x3− 6x + 10 b) A(x) + B(x) = x4+ 10x3− 2x A(x) − B(x) = 2x5− x4− 8x3− 2x + 2 c) A(x) + B(x) = x6− x5+ 2x4+ 5x3− 9x + 3 A(x) − B(x) = x6+ 5x5− 6x4− 5x3+ 7x − 1 Actividad 19, página 97 a) x6− x5+ 2x4+ 5x3− 6x + 6 b) x6− x5+ 2x4+ 5x3− 6x + 6

c) Sí, se obtiene el mismo resultado, se está verificando la propiedad asociativa de la suma de polinomios. d) x6− x5+ 2x4+ 5x3− 12x

e) x6+ 5x5− 6x4− 5x3+ 10x + 2 f) x6+ 5x5− 6x4− 5x3+ 4x − 4 Actividad 20, página 97

a) −A(x) =−x7− 3x5+ x4+ x − 1

b) Se obtiene el polinomio nulo: A(x) + [−A(x)] = A(x) − A(x) = 0

3. Multiplicación de polinomios Actividad 14, página 86 a) A(x) ⋅ B(x) = 2x5+ 30x4− 22x3− 88x2+ 78x − 16 b) A(x) ⋅ B(x) = 9x7+ 42x5− 33x3+ 9x2+ 6x − 3 c) A(x) ⋅ B(x) = 5x9+ 10x8− 18x7− 14x6+ 20x5− 9x4+ 5x3+ 8x2− 10x + 2 d) A(x) ⋅ B(x) = 6x9+ 8x8− 3x7− 10x6+ 13x5+ 25x4− 2x3− 14x2+ 6x + 15 Actividad 15, página 86 a) 10 b) 5 c) 12 d) 10, 15, −12 Actividad 23, página 98 a) A(x) ⋅ B(x) = x4− x3− x2+ 10x b) A(x) ⋅ B(x) = 9x8+ 9x6− 3x5− 18x4+ 6x3+ 6x − 3 c) A(x) ⋅ B(x) = 4x8+ 12x7− 7x6− 8x5+ 2x4+ 3x3+ 3x2− 4x + 1 Actividad 17, página 87 a) A(x) ⋅ B(x) = B(x) ⋅ A(x) = 45x7+ 75x6− 24x4− 40x3 b) [A(x) ⋅ B(x)] ⋅ C(x) = A(x) ⋅ [B(x) ⋅ C(x)] =−90x8− 15x7+ 225x6+ 48x5+ 8x4− 120x3 c) A(x) ⋅ [B(x) + C(x)] = A(x) ⋅ B(x) + A(x) ⋅ C(x) = 45x7+ 75x6− 6x5− 25x4− 25x3

(12)

4. Potencias de polinomios. Igualdades notables Actividad 19, página 88 a) x2+ 4x + 4 b) 16 + 8y + y2 c) 4a2+ 12a + 9 d) 36 + 12z + z2 e) x2− 4x + 4 f) 16 − 8y + y2 g) 4a2− 12a + 9 h) 36 − 12z + z2 Actividad 20, página 88 a) 4x2+ 12xy + 9y2 b) 4 1 2₊ ₊ a a c) 4 9 4 9 2 + + x x d) 2 4 2 3 16 9 16 a za z + + e) 4m2− 4mn + n2 f) 25 4 5 8 4c2+ c+ g) 2 2 4 3 4 9 xz z x + − h) 2 2 4 9 3zx x z + + Actividad 21, página 89 a) x3+ 3x2+ 3x + 1 b) 8 − 12a + 6a2− a3 c) a3+ 9a2+ 27a + 27 d) c3− 3c2+ 3c − 1 Actividad 23, página 89 a) a2− 1 b) 4a2− 9 c) 25x2− 1 d) 16a2− 4 Actividad 30, página 98 a) (x − 2)2 b) (x + 4)2 c) (x + 6)2 d) (2x − 3)2 Actividad 31, página 98 a) (x + 1) ⋅ (x − 1) b) (x + 6) ⋅ (x − 6) c) (2x + 5) ⋅ (2x − 5) d) (1 + 3x) ⋅ (1 − 3x)

5. División de polinomios. Regla de Ruffini

Actividad 25, página 90 a) c(x) = x2− 7x + 24 r(x) =−74 b) c(x) = x3+ 2x2− x − 4 r(x) =−8 c) c(x) = x3− 12x r(x) = 95x d) c(x) = 2x3+ 8x2+ 14x + 20 r(x) = 31x + 5 Actividad 26, página 90

a) Se deja para el alumno. b) c(x) = x2− 10x + 25

c) Sí, B(x) es un divisor de A(x).

d) El resto es el polinomio nulo, r(x) = 0, por eso decimos que B(x) es un divisor de A(x). La división es exacta. Actividad 27, página 90

a) c(x) = x − 1

b) Se obtiene el polinomio A(x), porque B(x) y el polinomio x2− 10x + 25 son los dos divisores de A(x). Actividad 33, página 98 a) c(x) = x + 2 r(x) =−4x − 8 b) c(x) = x2− 6x + 3 r(x) =−16x + 9 c) c(x) = x4+ 2x3− 3x2− 16x − 17 r(x) = 51x + 90 d) c(x) = 2x2+ 3x + 9 r(x) = 21x + 33 Actividad 28, página 91 a) c(x) = x2− 7x + 24 r =−74 b) c(x) = x3+ x2− x − 4 r =−8 c) c(x) = x4− 5x3+ 18x2− 90x + 485 r =−2.425 d) c(x) = x2+ x + 6 r = 31 Actividad 30, página 91 a) Cociente c(x) = x2− 6x + 5, y de resto r = 0 b) Cociente c(x) = x − 1, y de resto r = 0 Actividad 31, página 91

A(x) = x3− 11x2+ 35x − 25, lo que significa que los polinomios (x − 1) y (x − 5)2 son divisores de A(x). Actividad 32, página 91 Cociente c(x) = x − 1, y resto r = 0 Actividad 34, página 98 a) c(x) = x4− x3− x2+ 2x − 2 r =−3 b) c(x) = x3+ 4x2+ 11x + 33 r = 99 c) c(x) = x3+ 4x2+ 13x + 60 r = 240 d) c(x) = x + 8 r =−11

(13)

Actividad 38, página 99 a) x6− 4x5+ x4− 4x3+ x2+ 33x − 13 b) −5x3+ x2+ 18x + 1 c) x4+ 5x3+ 9x2+ 9x + 8 d) x − 2 e) c(x) = 4x3+ 3x2− x + 1, r(x) = 0 Actividad 40, página 99 Actividad resuelta. Actividad 43, página 99

a) m = 10, por tanto el dividendo es el polinomio x5− 9x2+ 10 b) m = 4, por tanto el dividendo es el polinomio x4− 4x2+ 3

c) ,

3 2

=

m por tanto el dividendo es el polinomio 5 3 3

2 3₋ ₊ x x

d) m =−12, por tanto el dividendo es el polinomio 3x2− 12x + 12 e) m =−4, por tanto el dividendo es el polinomio −4x2− 2x + 12

6. Descomposición factorial de polinomios

a) No puede ser una raíz porque no es divisor de 36.

b) Todos los divisores de 36: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 y ±36. Actividad 39, página 99

a) Si, pues el resto de la división A(x) : B(x) es r = A(−3) = 0 b) Si, pues el resto de la división A(x) : B(x) es r = A(1) = 0 c) Si, pues el resto de la división A(x) : B(x) es r = A(2) = 0 d) No, pues el resto de la división A(x) : B(x) es r = A(−1) =−3 Actividad 34, página 92

a) Las posibles raíces son los divisores del término independiente 4: ±1, ±2 y ±4.

B(1) = 0, B(−1) = 6, B(2) = 0, B(−2) = 0; no es necesario hallar B(4) y B(−4), pues las raíces son 1, 2 y − 2. b) B(x) = x3− x2− 4x + 4 = (x − 1) ⋅ (x − 2) ⋅ (x + 2)

Por ejemplo, A(x) = 3 ⋅ (x − 1) ⋅ (x + 1)= 3x2− 3 Actividad 44, página 99

a) No, porque 4 no es divisor del término independiente 2. b) Los divisores del término independiente 2: ±1 y ±2. c) Las raíces son 1, −1 y 2, pues A(1) = A(−1) = A(2) = 0. d) A(x) = x3− 2x2− x + 2 = (x − 1) ⋅ (x + 1) ⋅ (x − 2) Actividad 45, página 99

a) Las posibles raíces son los divisores del término independiente 9: ±1, ±3 y ±9.

B(1) = 0, B(−1) = 16, B(3) = 0, B(−3) = 0. No son necesarios más cálculos, las raíces son 1, 3 y −3. b) B(x) = x3− x2− 9x + 9 = (x − 1) ⋅ (x − 3) ⋅ (x + 3)

a) Las posibles raíces son los divisores del término independiente 6: ±1, ±2, ±3 y ±6.

A(1) = 0, A(−1) = 0, A(2) = 36, A(−2) = 0. No son necesarios más cálculos, las raíces son 1, −1 y −2. b) A(x) = 3x3+ 6x2− 3x − 6 = 3 ⋅ (x − 1) ⋅ (x + 1) ⋅ (x + 2)

Anexo: Método de factorización por divisiones sucesivas

Factoriza por este método los siguientes polinomios:

Solución A(x) = x4+ x3− 7x2− x + 6 A(x) = (x − 1) ⋅ (x + 1) ⋅ (x − 2) ⋅ (x + 3) B(x) = x3+ 4x2 + 5x + 2 B(x) = (x + 1)2⋅ (x + 2) C(x) = x4− 2x3− 7x2+ 20x − 12 C(x) = (x − 1) ⋅ (x − 2)2⋅ (x + 3) D(x) = x3+ 2x2+ x D(x) = x ⋅ (x + 1)2 E(x) = x5+ x4− 5x3− x2+ 8x − 4 E(x) = (x − 1)3⋅ (x + 2)2 F(x) = 2x6+ 8x5+ 2x4− 20x3− 8x2+ 16x F(x) =2x ⋅ (x − 1)2⋅ (x + 2)3 G(x) = 3x6+ 36x5+ 150x4+ 252x3+ 135x2 G(x) =3x2⋅ (x + 1) ⋅ (x + 3)2⋅ (x + 5)

(14)

7. Aplicaciones de la factorización de polinomios Actividad 39, página 94 a) 5 3 + + x x b) 2 4 − − x x Actividad 47, página 99 a) 3 ⋅ (x + 2) = 3x + 6 b) 2 1 − x c) 9 2 ) 3 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 2 2 − − − = − ⋅ + − ⋅ + x x x x x x x d) 2 1 − x e) 4 x Actividad 49, página 100 a) 3 1 − x b) 2 2 − x c) 1 1 + x d) x x x x 6 5 2 2 2 3 2 + − + Actividad 50, página 100 a) 6 4 2₋ ₋ x x b) 4 8 − x