Justificacion de paes 2013 matematica 2 año

(1)

PROYECTO DE REFUERZO ACADÉMICO

PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN

MEDIA

JUSTIFICACIÓN DE LAS

OPCIONES DE RESPUEST

A DE LA

PRIMERA PRUEBA DE AV

ANCE

DE MATEMÁTICA

2 ° AÑO DE

BACHILLERATO

PRAEM 2013

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

DIR

ECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN

GERENCIA DE SEGUIMIENTO A LA CALIDAD

DEPARTAMENTO DE EVALUACIÓN DE LOS APRENDIZAJES

(2)

Número de ítem: 1 Enunciado:

Selecciona el término general (o término n

-

ésimo) que corresponde a la

sucesión: 17, 15, 13,…

Opciones de respuesta:

A. 17-2n B. 15-2n C. 15+2n D. 19-2n Respuesta Correcta: D

Determina tanto el valor de la diferencia como el producto de d(n-1) correctamente. Y si conoce y aplica correctamente .

Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada.

A. Al utilizar la fórmula y calcular el producto (n-1)d olvida multiplicar “d" por -1.

B. Calculó correctamente el valor de la diferencia, d; sin embargo, en el producto de (n-1)d aplica incorrectamente la ley de los signos, -2(-1) = -2.

C. Invierte la manera de calcular el valor de “d”; es decir, 17 – 15, 15 –13.

Indicador de logro: 1.5 Calcula, con seguridad, el n-ésimo término de una sucesión aritmética.

(3)

Una sucesión aritmética tiene el siguiente término general:

�

= − �� + ��,

¿cuál de las opciones corresponde al segundo y tercer término de dicha

sucesión?

Se interpolan tres medios aritméticos entre 8 y

- 12

, ¿cuál de los siguientes

términos representa uno de esos medios aritméticos?

Opciones de respuesta: A. 56 y 52 B. 60 y 56 C. 68 y 72 D. 72 y 76 Respuesta Correcta: A

Utiliza correctamente el término general e Identifica que primero debe sustituir para n =2 y luego para n=3, y aplica correctamente la regla para operar enteros con igual o diferente signo.

B. Confunde el cálculo del primer y segundo término con lo solicitado, aunque los cálculos no tienen errores.

C. Además de confundir el primer y segundo término con lo solicitado, suma los enteros con diferente signo cuando en realidad se restan.

D. Reconoce que debe calcular el segundo y tercer término de la sucesión, sin embargo, aplica incorrectamente la regla para operar enteros.

Indicador de logro: 1.6 Utiliza con seguridad el término general al calcular cualquier término de una sucesión aritmética.

(4)

Si el primer término de una sucesión aritmética es 1; la diferencia es 2, y la

suma de los “n” primeros términos es 900, ¿cuántos términos se

han sumado

de esa sucesión?

Opciones de respuesta: A. -10

B. -7

C. -5

D. -4 Respuesta Correcta: B

Determinó correctamente la diferencia para interpolar medios aritméticos, , luego genera los tres medios aritméticos: 3, -2, -7; -7 es uno de ellos.

A. Desconoce cómo obtener los medios aritméticos entre dos números dados, por eso realiza la suma errónea de los datos proporcionados.

C. Resuelve parcialmente el ejercicio porque solo determinó la diferencia.

D. Suma correctamente los dos números enteros proporcionados, pero desconoce cómo obtener un medio aritmético de una sucesión aritmética

Indicador de logro: 1.7 Identifica y calcula, con interés, todos los medios aritméticos entre dos términos de una sucesión aritmética.

Opciones de respuesta: A. 450 B. 90 C. 30 D. 9 Repuesta Correcta: C

(5)

Número de ítem: 5

Enunciado:

Doris debe sumar correctamente los primeros 1007 números impares, es decir,

1 + 3 + 5 + 7 +… + 2013, ¿cuánto es el total de dicha suma?

Sustituyó correctamente los datos proporcionados tanto en la fórmula para determinar cualquier término de la sucesión como en la fórmula para sumar los primeros términos de una sucesión aritmética.

A. Desconoce cómo aplicar con precisión la fórmula para determinar la suma de los primeros términos de una sucesión aritmética, por eso divide entre 2 dicha suma o aplica el cálculo del término general de suma sucesión aritmética, pero con errores.

B. Considera que para obtener 900 se ha sumado 10 veces noventa, lo que evidencia desconocer cómo utilizar el término general de una sucesión en combinación con la fórmula de cálculo de la suma de los primeros términos de una sucesión

D. Desconoce cómo aplicar las sucesiones a este tipo de situaciones, razón por la cual considera que se ha sumado 9 veces el número 100.

Indicador de logro explorado: 1.8 Aplica correctamente y con precisión la fórmula para obtener la suma de los primeros términos de una sucesión aritmética.

Opciones de respuesta: A. 2, 028, 098 B. 1, 014, 049 C. 3036 D. 2029 Repuesta Correcta: B

(6)

Resuelve correctamente el ejercicio sobre sucesiones aritmética, por eso sustituye correctamente el primer y último término de la sucesión, así como la cantidad de términos sumados, realiza todos los cálculos utilizando:

A. Comprende que son ejercicios de sucesiones aritméticas, aunque los cálculos que realizó están correctos, olvidó dividir entre dos la cantidad de términos sumados de la sucesión.

C. Suma todos los datos observados en el enunciado, posiblemente porque desconoce como sumar los términos de una sucesión aritmética.

D. Suma los datos que observa en la sucesión, sin aplicar nada referido a la suma de los primeros términos de una sucesión aritmética.

Indicador de Logro: 1.9 Resuelve, ejercicios y problemas sobre sucesiones aritméticas, con interés y perseverancia.

Un paciente del Hospital Rosales recibe en su receta médica la dosis de su

medicamento así: “100 mg (miligramos) el primer día, y 5 mg menos cada uno

de los siguientes”. Si el tratamiento dura doce días, ¿cuántos miligramos (mg)

tiene

que tomar durante todo el tratamiento?

Opciones de respuesta: A. 45 B. 155 C. 870 D. 1140 Respuesta correcta: C

Las responden correctamente aquellos estudiantes que asocian correctamente cada uno de los datos con las respectivas variables de las sucesiones aritméticas, así

(7)

Nú mero de ítem: 7 Enunciado:

¿Cuál de las siguientes sucesiones es geométrica?

A. Resuelve parcialmente correcta la situación, pero interpreta incorrectamente la pregunta, por ello se quedan en el cálculo de los mg que recibirá en el doceavo día. Cuando se le está pidiendo el consumo durante todo el tratamiento.

B. Este grupo de estudiantes es posible que reconozcan la presencia del primer término de la progresión, pero interpretan incorrectamente el valor de la diferencia al tomar la positiva, y la pregunta de la situación, ya que se pide el consumo en todo el tratamiento, no el del doceavo día.

D. Quienes eligen esta opción desconocen el tipo de situación que se les presenta, por ello lo resuelven haciendo uso de su “lógica”, y piensan que por ser 12 días, y si recibiera 100 mg cada día, consumirá un total de 1200 mg del medicamento, pero como se menciona de 5 mg menos, creen que cada día recibirá 95 mg, pero la situación es clara al decir “5 mg menos cada uno de los siguientes”. 1200 – 60 ó 95 x 12 = 1140

Indicador de logro: 1.9 Resuelve, ejercicios y problemas sobre sucesiones aritméticas, con interés y perseverancia.

Opciones de respuesta: A. , … B. -8, -4, 0, 4, 8, … C. 1, 2, 4, 8, 16, … D. 21, 23, 25, 27, … Respuesta correcta: C

Comprende que al realizar las restas consecutivas, segundo término y primer término, no obtiene una diferencia constante, pero, sí al realizar los cocientes, es decir, r = 2, por lo cual concluye que esta sucesión es la geométrica.

(8)

El término general

�

= 2(−3)

�−1

para n: 1, 2, 3,…

, permite calcular una de las

siguientes series, ¿cuál?

Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes

seleccionaron una opción equivocada.

A. Es posible que tenga una idea equivocada en relaciona que las sucesiones que involucra fracciones corresponde a sucesiones aritméticas

B. Posiblemente tiene dificultades para encontrar la diferencia cuando algunos datos son negativas, por eso al ver dicha variación, concluye erróneamente que se trata de una sucesión aritmética.

D. Confunde el cálculo de la diferencia con el de la razón de una sucesión geométrica

Indicador de logro: 1.12 Establece, con claridad y seguridad, la diferencia entre una sucesión aritmética y una geométrica.

Opciones de respuesta: A. -6,-6, 36, 216, … B. -6, -6, 18,-54 … C. 2, -6, 18, … D. 0,-6,-12, … Respuesta correcta: C

Utiliza correctamente el término general y dominio de las propiedades de potenciación, y evalúan correctamente la expresión

Para n=1 Para n=2 Para n=3

(9)

Si se i

ntercalan 4 términos entre 4 y 972 de modo que formen una progresión

geométrica, ¿cuál opción presenta uno de los cuatro té

rminos intercalados?

A. Al evaluar en el término general comete un error de transformar en ; evidencia tener problema al tratar una potencia con el exponente cero, así

para n=1,

B. En el cálculo de los términos de la sucesión tienen problemas únicamente con el

exponente cero en . para n=1, ; para n=2, ; para

n=3, = ; para n=4, ; etc.

D) Son los estudiantes que cometen el error de multiplicar la base por el exponente. para n=1, = ; para n=2, = ; para n=3,

2 = ; etc

Indicador de logro: 1.14 Utiliza, con seguridad, el término general para calcular cualquier término de una sucesión geométrica.

Opciones de respuesta: A. 364 B. 243 C. 242 D. 108 Respuesta correcta: D

Comprende que para intercalar debe determinar primero la razón, la cuál es 3 , Además, basado en que son seis términos en total los de la sucesión geométrica (porque son 4 términos los que hay que intercalar entre 4 y 972). Utiliza la fórmula general ( ) y el valor de , para determinar los cuatro términos intercalados, entre ellos 108 (

, que es uno de los presentados.

(10)

Opciones de respuesta: Número de ítem: 10

Enunciado:

La suma de los diez primeros términos de la sucesión geométrica: 768, 384,

192,... es

A. Desconocen cómo intercalar, por eso confunden la situación con la suma de términos de una progresión geométrica, aunque obtienen correctamente la razón de

la sucesión, calculan incorrectamente la suma. porque olvidan multiplicar el resultado por el primer término de la sucesión.

B. Desconoce como intercalar términos entre dos dados o lo sabe incompleto, por ello determinan en primer lugar el valor de la razón (r), y luego realizan el cociente entre el último y primer término, olvidando que es válido si los términos son consecutivos (

C. Tienen dificultad para abordar una sucesión geométrica cuando se debe intercalar términos, pero comprenden que el número buscado debe estar entre 4 y 972, entonces realizan la resta de la mayor y menor cantidad (972 – 4), la cual es 968, este número lo dividen entre , que son los términos que debe intercalar, obteniendo 242.

Indicador de logro: 1.15 Identifica y calcula los medios geométricos entre dos términos de una sucesión geométrica.

A. B. C. D. Respuesta correcta: C

Comprende que para utilizar la fórmula apropiada debe determinar la razón (r), el valor de y n, lo cual le permite el cálculo de la suma de los términos solicitados utilizando la

fórmula , sustituye los respectivos valores

(11)

, por eso suma de los datos que observa.

B. Utiliza la fórmula apropiada pero al utilizar Olvida multiplicar por y realiza r – 1 de forma inversa (1- r). Y se reduce a calcular

= 0.001953125 = 1953.125 x

D. Al aplicar la fórmula olvida dividir por r-1 = - 0.5, y realiza el cálculo

768 ( =

Indicador de logro: 1.16 Aplica, con precisión, la fórmula para la obtención de la suma de los términos de una sucesión geométrica.

Número de ítem: 11 Enunciado:

Una empresa tiene

dos depósitos de agua, A y B. Todos los días los empleados

sacan ci

erta cantidad de agua de cada uno. Del depósito A se extrajo 5 litros

el primer día; 10, el segundo; 20, el tercero y así sucesivamente. Del depósito

B se extrajo 2 litros el primer día; 4, el segundo; 8, el tercero y así

sucesivamente. El último día se extrajeron del depósito A 96 litros más que

del depósito B. ¿Cuántos litros de agua se extrajeron en total, de cada

depósito?

Opciones de respuesta: A. 110 y 14 B. 129 y 32 C. 160 y 64 D. 315 y 126 Respuesta correcta: D

Aplica las sucesiones aritméticas y comprende que para realizar la suma de los litros de agua extraídos de cada depósito debe conocer el último término de cada una de las sucesiones, lo que implica construir el término general para cada una considerando la condición: “El último día se extrajo del depósito A 96 litros más que del depósito B”. Depósito A: tienen 96 + X, r =2, . Debe determinarse “X” y “n”.

Al sustituir en , se llega a tener que , y al despejar en . Se tiene que .

(12)

Enunciado:

¿Cuál es el valor de “x” para que x

-1

, x+1, 2(x+1) estén en progresión

geométrica?

Depósito B: tienen X, r =2, . Debe determinarse “X” y “n”. Al sustituir en , se llega a tener que , luego Y al simplificar .

Iguala ambas expresiones se obtiene que x = 64. El anterior dato lo sustituye en , se tiene que n=6.

Al determinar el último término de cada sucesión, se puede encontrar cuántos días se estuvo sacando agua de los depósitos (n=6). Finalmente realiza la suma para cada sucesión.

La suma de los términos del depósito A es 315, y los de B son 126.

A. Desconoce que es una situación referida a las sucesiones geométricas por eso al contar los litros presentados del segundo depósito nota que la diferencia es 96.

B. Aplica las sucesiones geométricas, pero al realizar la igualdad entre y olvida multiplicar 2 por cada término así

: llegando a con lo que concluye erróneamente que el último término de la otra sucesión es 129.

C. Comprende parcialmente el problema, porque encuentra el último término de cada sucesión, pero no es lo requerido por la situación.

Indicador de logro: 1.17 Resuelve correctamente y con interés, ejercicios y problemas aplicando la sucesiones geométrica.

(13)

B. 1 C. 2 D. 3

Repuesta Correcta: D

Aplica las sucesiones geométricas por eso realiza , la iguala a 2 que

es la razón. Determinando de esta manera que x=3.

A. Lo abordan algebraicamente, olvidando que debe determinar el valor de “x” y no parte del cociente entre el segundo y primer término. Olvidan que está resolviendo un ejercicio en el campo de las sucesiones geométricas.

B. Aplica las sucesiones geométricas pero relaciona incorrectamente algunos datos, por eso sustituye el valor de 1 en la serie de expresiones presentadas, encuentra la serie 0, 2, 4 y como entonces el resto de términos que desconoce cumplirán con que su razón es 2. Pasa por alto que el cociente entre el segundo y primer término no existe.

C. La seleccionan quienes realizan el cociente entre el tercer término y el segundo, =2 concluyendo que es el valor de la razón. Cuando es el valor de x.

Indicador de Logro: 1.17 Resuelve correctamente y con interés, ejercicios y problemas aplicando la sucesiones geométrica.

En un local de comida (comedor) se ofrece: tres tipos de carnes, cuatro tipos

de ensalada, cinco postres y seis bebidas. Si un plato completo consiste de una

porción de carne, una ensalada, un postre y una bebida, ¿De cuántas formas

distintas puede pedirse un plato completo?

(14)

A. 3 B. 18 C. 90 D. 360

Repuesta Correcta: D

Aplica correctamente el principio de la multiplicación: 3x4x5x6. Es posible que los estudiantes que escogen ésta opción comprenden de lo que consta cada plato completo, por ello al elegir el tipo de carne, tienen cuatro posibilidades de ensalada, y que por el principio de la multiplicación son 3x4 =12 formas distintas en las que se puede pedir estos, pero por cada éstas 12 posibilidades tiene cinco opciones de postre, y por el mismo principio, tiene 12x5 = 60 posibilidades de escoger solo incluyendo tres de las cuatro opciones. Pero se quiere un plato completo, entonces tiene todavía seis opciones de bebidas, con lo cual un visitante a este local tendrá 60x6 = 360 formas distintas para pedir un plato completo.

A. Desconoce cómo abordar estas situaciones, posiblemente considera que sólo hay tres formas distintas de un plato de comida porque hay sólo tres tipos de carne.

B. Se equivoca al considerar que los eventos son independientes, y suma las opciones del menú: 3+4+5+6 =18.

C. Desconoce cómo utilizar el principio de multiplicación, ya que las cantidades las Multiplica 3x4x5x6, y este producto lo divide entre 4, porque lee que cada plato consta de cuatro cosas.

Indicador de Logro: 2.2 Resuelve problemas, utilizando el principio de la multiplicación con seguridad.

(15)

Enunciado:

Una máquina automática llena bolsas de plástico con una mezcla de

frijoles, brócoli y otras legumbres. La mayor parte de las bolsas contiene

el peso correcto, pero debido a variaciones en

el tamaño de las verduras,

un paquete puede tener un peso ligeramente diferente. Una verificación

de 4,000 paquetes que se llenaron el mes pasado reveló lo siguiente:

Peso

Evento

Número

de

Paquetes

Probabilidad

Menor

A

100

0.025 Satisfactor

io

B

3600

0.900 Mayor

C

300

0.075 4,000

1.000

Opciones de respuesta: A. 400 B. 2.5 % C. 0.050 D. 0.1 Respuesta Correcta: D

Interpretan correctamente el planteamiento, además tienen claro que es una situación con dos eventos mutuamente excluyentes y hacen uso del principio de la suma, por lo que proceden así: P(A U B) = P(A) + P(B) =0.025 + 0.075.

(16)

En un saco se tienen dos pelotas rojas, cinco verdes, tres negras y cuatro

amarrillas.

Si se extrae una pelota, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea

amarrilla o verde?

A. Desconocen u olvidan que la probabilidad de un evento oscila entre 0 y 1, e interpretan incorrectamente la situación ya que no se ha solicitado determinen la cantidad de paquetes que cumplen con que tenga un peso menor o mayor.

B. Este grupo de estudiantes se dejan llevar por lo de “un peso menor o mayor” y por ello eligen 0,025 y multiplican por 100, muy lejos de mostrar cómo calcular la probabilidad de dos eventos mutuamente excluyentes utilizando el principio de la suma.

C. Este grupo identifica los dos datos de los que habla la situación, pero consideran que la probabilidad de que eso suceden se encuentra entre los dos datos mostrados en la tabla, por eso realizan (0.075+ 0.025)/2. En realidad desconocen cómo abordar este tipo de situaciones.

Indicador de Logro: 2.4 Calcular la probabilidad de dos eventos mutuamente excluyentes utilizando el principio de la suma, con interés y confianza.

Opciones de respuesta: A. B. C. D. Respuesta Correcta: D

(17)

Este grupo de estudiantes comprende que debe realizar el planteamiento de cada evento (A: aparece una pelota amarilla, B: aparece una pelota verde) y obtiene la probabilidad para cada una (P(A): y P(B) : ); luego, por ser los eventos mutuamente excluyentes P(A U B) = P(A) + P(B), con lo cual

P(A U B) = lo cual es la probabilidad que la pelota extraída sea amarrilla o verde.

Confunde la probabilidad de dos eventos mutuamente excluyentes con el cálculo de la probabilidad clásica y calculan

.

A. La eligen aquellos estudiantes que presentan problemas para plantear la probabilidad de solo un evento. Por eso realizan el cociente entre las pelotas amarrillas y las verdes.

B. La eligen aquellos estudiantes que presentan problemas para plantear la probabilidad de solo un evento. Por eso realizan el cociente entre las pelotas amarrillas y las verdes.

C. La eligen aquellos estudiantes que todavía no trascienden el problema clásico del lanzamiento de una moneda, ya que considera a los colores amarillos y verdes como los únicos resultados posibles, y como solo un color saldrá, reproduce la idea de la moneda

Indicador de Logro: 2.4 Calcular la probabilidad de dos eventos mutuamente excluyentes utilizando el principio de la suma, con interés y confianza.

Si las empresas de transporte terrestre A, B, C, D y E ofrecen su servicio diario

entre San Salvador y San Miguel; y las empresas de avia

ción P, Q y R tienen

vuelos diarios entre los mismos departamentos. ¿De cuántas maneras

diferentes se puede viajar de San Salvador a San Miguel?

Opciones de respuesta: A. 15

(18)

¿De cuántas formas se pueden elegir dos libros de diferentes asignaturas entre

cinco libros distintos de ciencias, tres libros distintos de matemática y dos

libros distintos de psicología?

B. 16 C. 8 D. 2

Repuesta Correcta: C

Son aquellos estudiantes que comprenden que este tipo de situaciones se resuelven por el principio de la adición, por que las operaciones (viajar por vía terrestre o aérea) no pueden realizarse simultáneamente, sino que o viaja por una de las cinco opciones de vía terrestre o viaja en una de las tres opciones aéreas, es decir, se tienen 5 + 3 formas diferentes para viajar de San Salvador a San miguel.

A. Son aquellos estudiantes que confunden el principio de la multiplicación con el principio de la suma, sin darse cuenta que las dos operaciones son mutuamente excluyentes (SOLO UNA DE ELLAS PUEDE OCURRIR). Por otro lado no hay que olvidar que se está pidiendo las maneras diferentes de viajar de San Salvador a San Miguel. B. Son aquellos estudiantes que consideran ida y vuelta en transporte terrestre (10) e ida

y vuelta de trasporte aéreo (6). Aunque aplican el principio de la adición, no interpretan correctamente lo que la situación.

D. Son aquellos estudiantes que desconocen condición de uno de los principios más básicos, como lo es el de la edición, por lo cual consideran que sólo existen dos formas de viajar o lo hace por autobús (vía terrestre) o lo realiza por aire (avión).

Indicador de Logro: 2.5 Resuelve problemas, utilizando el principio de la suma con seguridad Opciones de respuesta: A. 12 B. 31 C. 60 D. 90 Repuesta Correcta: B

Comprende correctamente lo que se le plantea por ello aplica primero el principio de multiplicación respetando las condiciones de la situación; sabe que puede elegir 2 libros, uno de ciencias y uno de matemáticas, de 5 x 3 = 15 formas.

(19)

Enunciado:

¿Cuál es el resultado de simplificar

�−2 ! �

0! �!

?

De manera análoga, puede elegir 2 libros, uno de ciencias y uno de psicología, de 5 x 2 = 10 formas y puede elegir dos libros, uno de matemática y uno de psicología, de 3 x 2 = 6 formas. Como estos conjuntos de selecciones son ajenos por pares, puede utilizarse el principio de la suma para concluir que existen 15 + 10 + 6 = 31 formas de elegir dos libros de diversas asignaturas entre los libros de ciencias, libros de matemática y los libros de psicología.

A. Quienes elijen esta opción desconocen la aplicación combinada del principio de la multiplicación y la suma, sólo logra identificar que involucra el principio de la multiplicación.

C. Encuentra el producto de los datos que se le presentan, aplicando incorrectamente el principio de la multiplicación 2x5x3x2 = 60.

D. Tiene cierta noción de compresión del problema, se da cuenta que son dos libros que se escogerán, pero cometen el error de sumar todos los libros (10) y aplican el principio de la multiplicación, 10x9 = 90.

Indicador de Logro: 2.6 Resuelve, con interés y confianza, problemas del entorno que involucren la aplicación combinada de los principios de multiplicación y suma.

Opciones de respuesta: A. 0 B. ! C. D. ! Respuesta correcta: C

Conoce y aplica correctamente las propiedades del factorial de cualquier número, por esa razón aplica que 0! y que

(20)

¿Cuántos arreglos de cinco elementos pueden formarse con las siguientes

figuras geométricas, si ninguna de ellas puede repetirse?

A. Desconoce que el factorial de cero es 1, además que la división entre cero no existe, es decir, obtiene porque operan y concluye que al simplificar el resultado es .

B. Desconoce que el factorial de “m” tienen el desarrollo

!

, por eso realiza es decir cancela .

D. Desconoce ! es diferente a decir el numero “m”, aunque es posible que tenga claro , el vacio mostrado lo lleva a una respuesta incorrecta.

Indicador de logro: 2.8 Simplifica, con precisión, expresiones que contienen notación factorial. Opciones de respuesta: A. 21 B. 42 C. 120 D. 2520 Respuesta correcta: D

Sabe que debe utilizar Pkn _ n! , porque ordena los elementos tomado grupos

de (nk)!

5 de los 7 que posee el conjunto, por eso sustituye y opera así P7

(21)

¿Cuál es el número de arreglos distint

os que pueden formarse con las letras

de:

“V, A, M, O, S, A, L, A, E, S, C, U, E, L, A”

, si

todas las letras son

tomadas a la vez?

5



2520

.

A. Desconoce la diferencia entre una permutación y una combinación por eso considera que se trata de un ejercicio que se resuelve por combinaciones . B. Aplica incorrectamente la fórmula para calcular el ordenamiento de los elementos

de

n

n!

_{, porque}

realiza un conjunto si se tomar parte de ellos

P

k



(nk)!

D. Confunde el aplicar el ordenamiento de los elementos de un conjunto tomando parte de los elementos con tomarlos todos, por eso realiza 5!=120

Indicador de logro: 2.11 Soluciona, con autonomía y confianza, ejercicios que involucren el ordenamiento de un conjunto de objetos diferentes, tomados todos o parte de ellos. Opciones de respuesta: A. 362, 880 B. 6,810, 804,000 C. 1,307,674,368,000 D. 1,816, 214,400 Respuesta Correcta: B

Reconoce que tiene un ejercicio que requiere resolverse por permutaciones. Nota que a pesar que se le presentan 15 letras hay cuatro letras “A”; aparecen 2 letras “S” y lo mismo sucede con la letra “L” y “E”. Con lo cual 6,810, 804,000.

(22)

Formula: Para calcular el número de permutaciones de este tipo bastará dividir el factorial del número total de símbolos, contando sus repeticiones, entre el número de veces que se repite cada uno.

n!

P

n

 x!y!z!...

A. Se equivoca al calcular 9!, sin considerar la condicionante de las permutaciones cuando las letras se repiten, por eso calcula el factorial de la cantidad total de letras observadas, pero eliminando las que se van repitiendo.

C. Calcula 15! porque no diferencia entre obtener el número de permutaciones de un conjunto cuyos elementos se repiten de otro que no.

D. Desconoce cómo resolver este tipo de variante de las permutaciones, por eso cuenta solo una vez las letras que se repiten, y combina el total de letras con las 9 que resultaron de su conteo sin repetición, por eso calcula �915. Con esto estaría indicando

que tiene una idea equivocada de lo que significa determinar el número de permutaciones posibles tomando parte de los elementos cuando hay repetición de los elementos del conjunto.

Indicador de Logro: 2.13 Resuelve problemas aplicando permutaciones con seguridad

(23)

En una carrera de ciclismo participan 3 salvadoreños, 2 guatemaltecos,

1 nicaragüense, 3 panameños, 2 hondureños y 1 beliceño. El número de formas

en que es posible que clasifiquen tres de ellos de acuerdo a su llegada a la

meta es

Opciones de respuesta: A. 12 B. 36 C. 108 D. 1320 Respuesta Correcta: D

Comprenden que es una aplicación de permutaciones tomando parte de los elementos, por eso cuenta el número de participantes (12) y como solo existen tres clasificaciones o

tres plazas para este grupo de personas calcula otros pudieron aplicar 12x11x10.

A. No comprenden la situación, por eso solo suman el número de participantes.

B. Emplea equivocadamente como aplicar en situaciones de la vida cotidiana las permutaciones por eso considera que por existir en una carrea solo el primer, segundo y tercer lugar en la carrera bastará con operar 3x12 =36.

C. Son aquellos que, equivocadamente, aplican de forma incorrecta el principio de la multiplicación pues efectúan: 3x2x1x3x2x1 = 36 y este resultado lo multiplican por el número de clasificaciones: 36x3

Indicador de Logro: 2.13 Resuelve problemas aplicando permutaciones con seguridad.

(24)

Opciones de respuesta: A. 10 Número de ítem: 22 Enunciado:

El valor de la expresión

5

C

3

ó

C

(

5 .

3 )

ó













3

5 es

B. 60 C. 20 D. Repuesta Correcta: A

Reconoce el cálculo de las combinaciones por eso reconoce la expresión y efectúa

10.

B. Desconoce la diferenciación entre una expresión referida a combinaciones y una a permutaciones por eso desarrolla la expresión dada como una permutación,

!

60

!

C. Reconoce la expresión y efectúa

 20,

equivocándose al no dividir por 2!.

5!

D. Plantea la expresión



.

3!2! 6!

Los errores observados son los siguientes: plantea correctamente la expresión, pero el denominador lo efectúa incorrectamente, porque 3!x2! lo plantea como 6!; es decir efectúa el producto de 3 por 2 y les coloca el signo de factorial. Luego comete otro error, el signo de factorial lo interpreta como un factor y no como un operador, luego

lo simplifica y le queda finalmente .

(25)

Juan, Luis, Antonio y Pedro son amigos que se encontraron en una fiesta y se

saludaron calurosamente. ¿Cuántos apretones de mano se dieron entre todos?

Opciones de respuesta: A. 6 B. 3 C. 2 D. 12 Repuesta Correcta: A

Comprende que la situación que corresponde a las combinaciones; la cual puede que la resuelva al menos de dos maneras: Por un lado, que interprete que Juan saluda a sus tres amigos. Luis saluda a Antonio y Pedro, porque antes se saludó con Juan y por último Antonio saluda a Pedro, obteniéndose de esta manera 6 saludos.

Otra forma de interpretar: hay 4 personas y en un saludo intervienen dos de ellas, es decir

4

4!

432!

4 3

2



2!(42)!

 2!21

 2

 6

.



B. Desconoce que la situación se refiera a combinaciones por eso interpreta que Juan saluda a sus tres amigos y ahí se terminaron los saludos.

C. Interpreta saludos entre pares de amigos, Juan con Luis y Antonio con Pedro.

D. La confunde con una permutación, considerando que el orden es importante, por eso obtuvo

4



que eran seis saludos y luego multiplica por dos ó bien en la expresión

2

no dividió por (4-2)!,

4

 4! 432!

resultando

2

 2!

 2! 4x312

.

(26)

Indicador de Logro: 2.15 Resuelve problemas aplicando las combinaciones con seguridad.

Un sorbetero tiene en su carretón 4 distintos sabores de helado (fresa, vainilla,

coco y tamarindo). Los sorbetes que valen $0.50 están conformados por tres

cucharadas de helado, de los sabores que se deseen. ¿De cuántas formas

distintas e

l sorbetero puede ofrecer su producto?

Opciones de respuesta: A. 20 B. 4 C. 12 D. 8 Respuesta correcta: A

Comprende que se trata de combinaciones con repetición por eso considera que puede colocar tres cucharadas de un solo sabor, pudiéndose dar cuatro sorbetes distintos de un solo sabor (fff, vvv, ccc,ttt), puede poner tres cucharadas de distinto sabor, generándose cuatro variedades distintas (fvc, fvt, fct, vct), o bien poner dos cucharadas de un sabor y otra cucharada de otro sabor, generándose otras doce variedades de presentación del sorbete (fcc, fvv, ftt, vff, vcc, vtt, cff, cvv,ctt, tff, tvv,tcc)

B. Desconoce que trata una situación de ordenamiento con repetición por ello solo toma en cuenta que puede hacer un sorbete poniendo tres cucharadas de un solo sabor (fff, vvv, ccc,ttt) o bien tres cucharadas de distinto sabor (fvc, fvt, fct, vct).

C. Comprende incorrectamente la situación que se le plantea por eso solo toma en cuenta que puede hacer sorbetes de dos sabores distintos una cucharada de un sabor y dos cucharadas de otro sabor (fcc, fvv, ftt, vff, vcc, vtt, cff, cvv,ctt, tff, tvv,tcc) D. Comprende parcialmente que se trata de ordenamiento con repetición por eso toma

en cuenta los sorbetes de un solo sabor (4) y los sorbetes de tres sabores (4) y supone que el vendedor puede ofrecer ocho variedades distintas de su producto. Indicador de logro: 2.18 Resuelve con seguridad problemas de aplicación sobre el número de ordenamientos de objetos, entre los cuales hay repeticiones o no las hay.

(27)

¿Cuál es el valor de “x” en la ecuación

4

x − 3

= 8 ?

Opciones de respuesta: A... B... C...

D.

Respuesta correcta: D

Reconoce que este tipo de situación requiere la aplicación de la propiedad “Para x diferente de cero, entonces ax = bx si y sólo si a = b “, por eso transforma

correctamente en , luego llegando a obtener .

A. Erróneamente considera que es equivalente a 8. Por eso, aunque tiene claridad de la propiedad (Para x diferente de cero, entonces ax = bx si y sólo si a = b), plantea incorrectamente que con lo cual llega a x=5.

B. Aplica incorrectamente la propiedad “Para x diferente de cero, entonces ax = bx si y sólo si a = b “, por eso lo transforma en , e iguala los exponentes x-3 = 3, obteniendo x=6.

C. Desconoce cómo aplicar las propiedades de las funciones exponenciales, por eso iguala x-3 = 8 – 4 y obtiene x= 7.

Indicador de logro: 3.2 Identifica y aplica, con interés y seguridad, las propiedades de la función exponencial.

(28)

¿Cuál es la representación gráfica de

y = 3

−x

?

A.

C.

B.

D.

Respuesta correcta: C

Identifica correctamente que lo cual es una función decreciente

(29)

N úmero de ítem: 27 Enunciado:

El valor de log

2

64 es

A. Se equivoca al considerar que por tener ordenada igual a 3 en la gráfica, este corresponda con la base de y=3−x_{, cuando en realidad la gráfica corresponde a}

y=3x2x_.

B. Se equivoca al considerar que y=3x_{es igual a y=3}−x_.

D. Se equivoca al considerar que y=2x_{es igual a y=3}−x

Indicador de logro: 3.3 Selecciona, con seguridad, la escala apropiada para representar la gráfica de una función exponencial.

(30)

Opciones de respuesta: Número de ítem: 28 Enunciado:

La expresión

x

3 log

z

3 log



es equivalente a

A. 6 B. 8 C. 32 D. 128 Respuesta correcta: A

Interpreta que el logaritmo base “a” de un número “b” es un valor “x” tal que si “a” se eleva al exponente “x”, se obtiene el número “b”. Para la situación planteada, el exponente al que se debe elevar la base 2, para obtener 64 es 6.

log2 64=x

x 64=2

6 x

2 =2 entonces x=6.

B. Desconoce como determinar el logaritmo de un número por esa razón lo asocia con determinar raíz cuadrada de 64, por eso selecciona 8.

C. Interpreta incorrectamente que determinar el logaritmo equivale a simplificar los datos observados, por eso obtiene 32.

D. Desconoce cómo abordar la expresión log2 64, por eso interpreta que si multiplica 64 por 2, obtendrá 128 como solución.

Indicador de logro: 3.9 Determina el logaritmo de un número dada la base.

A.

log

 x 

(31)



3

x



B.

log



 z

3





C.

logx3z

3



D.

log



3

xz

3



Respuesta correcta: B

Reconoce que es equivalente a , además que es equivalente a , además que la diferencia de logaritmos es equivalente al logaritmo de un cociente, por lo tanto:

logx

3

_{3logx  logxlogz}

3  logx logz

3

 log

3

_xlogz

3



3

_x



 log

_

 z

3





A. Aplica incorrectamente la propiedad de la potencia de un logaritmo logx

3logzlogx9logz log x 



(32)

Enunciado:

De la ecuación

log

5

(

2 x

3 )



log

5

(

11 )



log

5

(

5 )

, el valor de x es

crecimiento del

mercado nacional?

C. Considera que log (logaritmo) es un factor y aplica factor común

log

, obtiene la expresión presentada.

D. Reconoce que es equivalente a

log

3

x

, además que

3logz

es equivalente a

log

�

3_{, pero desconoce que la diferencia de logaritmos es equivalente al logaritmo de}

un cociente, por eso la diferencia de logaritmos la considera como la diferencia de los argumentos.

Indicador de logro: 3.17 Resuelve ejercicios aplicando las propiedades de las

funciones logarítmicas.

A. 26 B. 6.5

(33)

C.

D.

Respuesta correcta: A

Reconoce que está en presencia de una ecuación logarítmica, aplica en el miembro derecho, la propiedad de la suma de logaritmos, quedando la ecuación de la forma

log

5

(2x3)log

5

(115)

, luego como tiene una igualdad de logaritmos con la misma base,

iguala los argumentos

2x355

, la cual al resolver le queda x= 26

B. Aplica incorrectamente la propiedad de la suma de los logaritmos, por lo tanto en el miembro derecho reduce

log

5

(11)log

5

(5)log16

, luego iguala

log

5

(2x3)log

5

(16)

, obteniendo

2x316

, por último queda x=6.5

C. No comprende que está ante una ecuación logarítmica y procede como si fuera una ecuación algebraica.

D. Aplica incorrectamente la propiedad de la suma de logaritmo y luego procede como si fuera una ecuación algebraica.

Indicador de logro: 3.17 Resuelve ejercicios aplicando las propiedades de las funciones logarítmicas.

Si

q



q

o



2 

1600 t

representa la cantidad que hay en miligramos de radio

(elemento radioactivo) después de “

t

” años y

q

o

la cantidad que inicialmente

había de dicho elemento radioactivo, ¿qué expresión resulta al despejar “

t

”?

(34)

lnqq

o



A.



1600ln2 q

(35)

C. o



1600

D.

q



2q

o



1600

Respuesta correcta: A

Comprende que se trata de una situación que utiliza la función logarítmica por eso

q

1600 t

aplica el logaritmo natural en ambos miembros,





2 

,

q

o

 q 

1600tln



2 

, despeja t, y pasa a dividir al miembro izquierdo a los

ln



q

o











q 

demás factores, obtiene

lnq

o

t



1600ln2

B. Tiene dificultad para identificar la aplicación de las propiedades de los logaritmos,

q

o al miembro izquierdo resultando

q



(2)

1600 t

por eso Inicia pasando a dividir

(36)

1600 , no

interpreta que la variable a despejar es un exponente y la expresión



2 

la entiende

como un factor de “

t

” , lo pasa a dividir al miembro izquierdo, y obtiene que

q

1600

q

o

t

.

2

C. El alumno desconoce que si un factor de un término va pasar a otro miembro debe hacerlo dividiendo o multiplicando, dependiendo como era su situación original, pero en este caso lo pasa a restar como si fueran términos que se suman o restan en el otro miembro de la ecuación, luego el -1600 si lo ve como factor de “t”, por lo tanto lo

q2 q

o

t

pasa a dividir, llega a obtener

1600

D. En este caso desconoce que los factores que acompañan a la variable “t”, los interpreta como términos que se suman o restan y que traslada al miembro contrario, y llega a

q2q

o

1600t

, luego pasa a sumar el factor -1600, y obtiene la expresión

q2q

o

1600t

Indicador de logro: 3.18 Resuelve con seguridad y confianza, problemas de aplicación de la función logarítmica, en cooperación con otros.